Součásti dokumentu 01DIFRnew
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01DIFRnew}
% ****************************************************************************************************************************
% KAPITOLA: Teoretické vlastnosti řešení diferenciálních rovnic
% ****************************************************************************************************************************
\chapter{Teoretické vlastnosti řešení diferenciálních rovnic}
\label{chap:teor_vlastnosti}
% ****************************************************************************************************************************
% SEKCE: Diferenciální rovnice tvaru $y'=f(x,y)$
% ****************************************************************************************************************************
\section{Diferenciální rovnice tvaru $y'=f(x,y)$}
% ****************************************************************************************************************************
% PODSEKCE: Existence řešení
% ****************************************************************************************************************************
\subsection{Existence řešení}
\begin{define}
\index{funkce!stejně spojité}
\index{funkce!stejně omezené}
Nechť $I\subset\R$ je omezený interval a $\Ms$ je množina funkcí definovaných na $I$. Potom říkáme, že funkce z~$\Ms$ jsou \textbf{stejně omezené}
právě tehdy, když
\begin{equation*}
\Bigl( \exists K>0 \Bigr) \Bigl( \forall f \in \Ms \Bigr) \Bigl( \forall x \in I \Bigr) \Bigl( \abs{f(x)} < K \Bigr).
\end{equation*}
Říkáme, že funkce z~$\Ms$ jsou \textbf{stejně spojité} právě tehdy, když
\begin{equation*}
\Bigl( \forall \epsilon>0 \Bigr) \Bigl( \exists \delta>0 \Bigr) \Bigl( \forall f \in \Ms \Bigr) \Bigl( \forall x_1,x_2 \in I \Bigr)
\Bigl( \abs{x_1 - x_2}<\delta \Rightarrow \abs{f(x_1) - f(x_2)} < \epsilon \Bigr).
\end{equation*}
\end{define}
\begin{remark}
Bolzanova\footnote{\textbf{Bernhard Placidus Johann Nepomuk Bolzano} (1781--1848), německy hovořící český matematik, filozof a katolický
kněz.}--Weierstrassova\footnote{\textbf{Karl Theodor Wilhelm Weierstrass} (1815--1897), německý matematik.} věta (viz~např.~\cite[Věta 3.6]{rudin1}) nám zaručuje, že
máme-li posloupnost definovanou na kompaktním intervalu $\left[ a,b \right]$, lze z~ní vybrat konvergentní podposloupnost. Následující věta nám poskytuje
analogické tvrzení pro funkce.
\end{remark}
\begin{theorem}[Arzelàova\footnote{\textbf{Cesare Arzelà} (1847--1912), italský matematik.}--Ascoliova\footnote{\textbf{Guilio Ascoli} (1843--1896), italský matematik.}]
\index{věta!Arzelàova--Ascoliova}
\label{theo:arzela}
Nechť $\Ms$ je množina funkcí definovaných na omezeném intervalu $I\subset\R$, které jsou na $I$ stejně omezené a stejně spojité. Pak z~každé posloupnosti
funkcí $\{g_n\}_{n\geq1}$ v~$\Ms$ lze vybrat podposloupnost $\{g_{n'}\}_{n'\geq1}$, která je na $I$ stejnoměrně konvergentní.
\begin{proof}
Označme např.~$I=(a,b)$. O~intervalu $I$ víme, že je částí $\R$ a je omezený. Na intervalu $I$ zkonstruujeme hustou množinu bodů (tj.~množinu, jejíž uzávěr je
roven celému intervalu $I$). Tuto množinu navíc zkonstruujeme tak, aby byla spočetná.
V~prvním kroku rozdělíme interval $I=(a,b)$ na dvě poloviny. Dělicí bod označíme $x_1$ a zřejmě platí
\[
x_1 = a + \frac{b-a}{2}.
\]
Ve druhém kroku rozdělíme dvě poloviny intervalu $I$ opět na dvě poloviny. Tím dostaneme dělicí body $x_2$ a $x_3$, pro které platí
\parbox{7cm}{\begin{eqnarray*} x_2 &=& a + \frac{1}{2}\frac{b-a}{2} \end{eqnarray*}}
\hfill a \hfill
\parbox{7cm}{\begin{eqnarray*} x_3 &=& x_1 + \frac{1}{2}\frac{b-a}{2}. \end{eqnarray*}}
Ve třetím analogicky sestrojíme body $x_4$ až $x_7$ definované následujícím způsobem:
\parbox{7cm}{\begin{eqnarray*} x_4 &=& a + \frac{1}{4}\frac{b-a}{2}\\ x_5 &=& x_2 + \frac{1}{4}\frac{b-a}{2} \end{eqnarray*}}
\hfill a \hfill
\parbox{7cm}{\begin{eqnarray*} x_6 &=& x_1 + \frac{1}{4}\frac{b-a}{2}\\ x_7 &=& x_3 + \frac{1}{4}\frac{b-a}{2}. \end{eqnarray*}}
Dále postupujeme analogicky. Je zřejmé, že takto konstruujeme posloupnost bodů z~$I$. Tyto body jsou rozmístěny rovnoměrně a neustále se přibližují. Množina těchto
bodů je tedy hustá v~$I$. V~každém kroku konstrukce jsou vzdálenosti mezi body stejné.
Nechť $\{ g_n \}_{n \geq 1}$ je posloupnost funkcí z~množiny $\Ms$. %(tím máme na mysli, že funkce $g_n$ jsou na $I$ stejně omezené a stejně spojité)
Potom:
\begin{enumerate}
\item Pro $x=x_1$ je číselná posloupnost $\{ g_n (x_1) \}_{n \geq 1}$ omezená na kompaktu a podle Bolzanovy--Weierstrassovy věty existuje její konvergentní
číselná podposloupnost, kterou označíme $\{ g_n^{(1)} (x_1) \}_{n \geq 1}$. Posloupnost $\{ g_n^{(1)} \}_{n \geq 1}$ je funkční posloupnost vybraná z~původní
funkční posloupnosti $\{ g_n \}_{n \geq 1}$ a má tedy i příslušné vlastnosti.
\item Pro $x=x_2$ je číselná posloupnost $\{ g_n^{(1)} (x_2) \}_{n \geq 1}$ omezená a opět tedy existuje její konvergentní podposloupnost, kterou analogicky označíme
$\{ g_n^{(2)} (x_2) \}_{n \geq 1}$. Potom $\{ g_n^{(2)} (x) \}_{n \geq 1}$ je funkční posloupnost, která konverguje v~bodě $x_1$ a $x_2$.
\item V~procesu můžeme pokračovat matematickou indukcí. Předpokládejme, že $\{ g_n^{(k)} (x) \}_{n \geq 1}$ je posloupnost funkcí z~$\Ms$, konvergující
v~bodech $x=x_1,\ldots,x_k$. Potom v~$(k+1)$-ním kroku položme $x=x_{k+1}$. Pak číselná posloupnost $\{ g_n^{(k)} (x_{k+1}) \}_{n \geq 1}$ je omezená. A opět tedy
existuje její konvergentní podposloupnost, kterou označíme $\{ g_n^{(k+1)} (x_{k+1}) \}_{n \geq 1}$. Potom analogicky $\{ g_n^{(k+1)} (x) \}_{n \geq 1}$ je funkční
posloupnost v~$\Ms$, která konverguje v~bodech $x=x_1,\ldots,x_{k+1}$.
\end{enumerate}
Z~množiny vybraných posloupností vybereme jednu za pomoci diagonálního schématu. Uvažujeme tedy posloupnost $\{ g_n^{(n)} (x) \}_{n \geq 1}$, pro kterou platí:
je-li $x=x_k$, $k\in\N$ pevné, potom číselná posloupnost $\{ g_n^{(n)} (x_k) \}_{n \geq 1}$ konverguje.
Stejnoměrnou konvergenci takto sestrojené funkční posloupnosti $\{ g_n^{(n)} (x) \}_{n \geq 1}$ nám zaručí následující lemma. Tím bude důkaz ukončen.
\begin{lemma}
Posloupnost $\{g_n^{(n)}(x)\}_{n \geq 1}$ je na $I$ stejnoměrně konvergentní.
\begin{proof}
K~důkazu použijeme Bolzanovo--Cauchyho\footnote{\textbf{Augustin-Louis Cauchy} (1789--1857), francouzský matematik.} kritérium (viz~např.~\cite[Věta 3.11]{rudin1}),
podle něhož zkoumaná posloupnost konverguje na $I$ stejnoměrně právě tehdy, když
\begin{equation*}
\Bigl( \forall \epsilon > 0 \Bigr) \Bigl( \exists n_0\in\N \Bigr) \Bigl( \forall n > n_0 \Bigr) \Bigl( \forall p\in\N \Bigr) \Bigl( \forall x \in I \Bigr)
\Bigl( \abs{g_{n+p}^{(n+p)}(x) - g_{n}^{(n)}(x)} < \epsilon \Bigr).
\end{equation*}
Mějme tedy zadáno libovolné $\epsilon > 0$. Dále využijeme vlastností posloupnosti $\{ g_n^{(n)} \}_{n \geq 1}$. Především víme, že tato posloupnost je
stejně spojitá, což znamená, že platí
\[
\Bigl(\forall\epsilon>0\Bigr) \Bigl(\exists\delta>0\Bigr) \Bigl(\forall n\in\N\Bigr) \Bigl( \forall x',x'' \in I \Bigr) \Bigl(\abs{x'-x''}<\delta \Rightarrow
\abs{g_n^{(n)}(x') - g_n^{(n)}(x'')}<\frac{\epsilon}{3}\Bigr).
\]
Z~konstrukce posloupnosti $\{ g_n^{(n)} \}_{n \geq 1}$ je pak zřejmé, že existuje $\ol{p}\in\N$ takové, že sousední body v~množině
$\{ x_1, \ldots, x_{\ol{p}} \}$ jsou k~sobě blíže než $\delta$ (o~němž víme, že existuje ze stejné spojitosti). Posloupnost $\{ g_n^{(n)} \}_{n \geq 1}$
v~těchto bodech $\{ x_1, \ldots, x_{\ol{p}} \}$ konverguje, tzn.~pro libovolné $\epsilon > 0$ platí
\[
\Bigl(\exists n_0\Bigr) \Bigl(\forall n>n_0\Bigr) \Bigl(\forall p\in\N\Bigr) \Bigl( \forall j=1,\ldots,\ol{p}\Bigr)
\Bigl( \abs{g_{n+p}^{(n+p)}(x_j) - g_{n}^{(n)}(x_j)} < \frac{\epsilon}{3} \Bigr).
\]
Zřejmě platí, že vezmeme-li libovolný bod $x \in I$, pak tento bod určitě leží v~některém z~interválků vyrobených prostřednictvím bodů
$\{ x_1, \ldots, x_{\ol{p}} \}$. Tj.~existují jeho sousední body $x_l,x_{l'}\in\{ x_1, \ldots, x_{\ol{p}} \}$ tak, že $x\in\left[ x_l,x_{l'} \right]$
a $\abs{x_l - x_{l'}} < \delta$.
Z~trojúhelníkové nerovnosti zřejmě platí
\[
\abs{g_{n+p}^{(n+p)}(x) - g_{n}^{(n)}(x)} \leq \ub{\abs{g_{n+p}^{(n+p)}(x) - g_{n+p}^{(n+p)}(x_l)}}_{A}
+ \ub{\abs{g_{n+p}^{(n+p)}(x_l) - g_{n}^{(n)}(x_l)}}_{B}
+ \ub{\abs{g_{n}^{(n)}(x_l) - g_{n}^{(n)}(x)}}_{C}.
\]
Ze stejné spojitosti posloupnosti $\{ g_n^{(n)} \}_{n \geq 1}$ plyne $A,C < \epsilon/3$. Z~konvergence $\{ g_n^{(n)} \}_{n \geq 1}$ v~bodech
$\{ x_1, \ldots, x_{\ol{p}} \}$ pak plyne $B < \epsilon/3$. Shrneme-li dosavadní výsledky, zjistíme, že pro libovolné $\epsilon > 0$ existuje
$n_0\in\N$ tak, že pro každé $n>n_0$, $p\in\N$ a $x \in I$ platí
\[
\abs{g_{n+p}^{(n+p)}(x) - g_{n}^{(n)}(x)} < \epsilon,
\]
což jsme chtěli dokázat.
\end{proof}
\end{lemma}
Důkazem tohoto lemmatu je zakončen i důkaz Arzelàovy--Ascoliovy věty.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Zabývejme se \textbf{existencí řešení počáteční úlohy}
\begin{equation}
\label{eq:poculo}
\begin{array}{r@{ \ = \ }l}
y' & f(x,y), \\
y(x_0) & y_0,
\end{array}
\end{equation}
kde $f: \Gamma \to \R$, $\Gamma \subset \R^2$, $\Gamma$ je oblast, $\col{x_0}{y_0}\in\Gamma$ a $f \in \Cc(\Gamma)$. Důkaz existence řešení této úlohy je konstrukční a
postupuje se podle úvah Leonharda Eulera\footnote{\textbf{Leonhard Euler} (1707--1783), švýcarský matematik a fyzik.}. Pro ilustraci použijeme následující příklad.
\end{remark}
\begin{example}
Mějme sklenici s~pivem, jehož pěna postupně v~čase opadává. Zajímal by nás časový průběh rozpadu pivní pěny. Předpokládejme, že rozpad pivní pěny se řídí diferenciální
rovnicí ve tvaru
\begin{equation}
\label{eq:pivnipena}
y' = -\alpha y,
\end{equation}
kde $\alpha>0$ je konstanta rozpadu pěny a $y$ označuje výšku pěny. Dále předpokládejme, že počáteční výška pěny v~čase $t=0$ je $y(0) = y_0$. Je zřejmé, že řešíme
úlohu typu \eqref{eq:poculo}.
Označme $\tau>0$ časový krok řešení. Derivaci aproximujeme diferencí
\[
y'(k\tau) \approx \frac{y(k\tau) - y((k-1)\tau)}{\tau}.
\]
Označme $y(k\tau) = y_k$. Potom diferenciální rovnici \eqref{eq:pivnipena} nahradíme diferenční rovnicí ve tvaru
\[
\frac{y_k - y_{k-1}}{\tau} = -\alpha y_{k-1},
\]
kterou lze postupnými úpravami převést do tvaru
\[
y_k = (1-\alpha\tau)^k y_0.
\]
Nechť $\ol{t}\in\Rp$ je libovolný, ale pevně zvolený, časový okamžik. Pak pro libovolné $n\in\N$ lze interval $\left[ 0,\ol{t} \right]$ rozdělit na
kroky $\tau = \ol{t}/n$. Potom lze psát
\[
y_n = (1-\alpha\tau)^n y_0 = \left( 1-\alpha\frac{\ol{t}}{n} \right)^n y_0.
\]
Přejdeme-li v~předchozí rovnosti k~limitě $n\to\infty$, dojdeme k~přesnému řešení
\[
y(t) = \me^{-\alpha t} y_0.
\]
\end{example}
\begin{remark}
\index{funkce!Eulerova lomená}
\index{čára!Eulerova lomená}
Pokračujme dále v~úvahách o~existenci řešení úlohy \eqref{eq:poculo}. Zkonstruujeme tzv.~\textbf{Eulerovu lomenou čáru} (resp.~\textbf{funkci}).
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=1.0]{k_lomene_care.pdf}
\caption{Ke konstrukci Eulerovy lomené čáry.}
\label{fig:klomcare}
\end{figure}
Předpokládejme, že máme oblast $\Gamma$, dále nechť bod $\col{x_0}{y_0}\in\Gamma$. Pak zřejmě existuje okolí $U$ bodu $\col{x_0}{y_0}$ tak, že
je omezené a $U \subset \ol{U} \subset \Gamma$. Zřejmě platí následující tvrzení
\[
f \in \Cc(\ol{U}) \Rightarrow \Bigl(\exists M>0\Bigr) \Bigl(\forall \col{x}{y}\in U\Bigr) \Bigl(\abs{f(x,y)} \leq M \Bigr).
\]
Potom volíme $b \geq aM$ tak, aby $\left[ x_0-a,x_0+a \right] \times \left[ y_0-b,y_0+b \right] \subset U$. Tak okolo bodu $\col{x_0}{y_0}$ sestrojíme
obdélník o~délkách hran $2a$ a $2b$, který celý leží v~$U$ (viz~obr.~\ref{fig:klomcare}).
Dále se zabývejme intervalem $\left[ x_0, x_0+a \right]$ (všechny úvahy, které dále provedeme, bude možné analogicky provést i v~intervalu
$\left[ x_0-a,x_0 \right]$). Interval $\left[ x_0, x_0+a \right]$ rovnoměrně rozdělíme na $m$ podintervalů tvaru $\left[ x_{j-1},x_j \right]_{j=1,\ldots,m}$,
kde $x_m = x_0 + a$. Délka jednotlivých dílčích intervalů je zřejmě $h = a/m$. V~jednotlivých dílčích intervalech pak začneme postupně konstruovat Eulerovu
lomenou funkci $\phi_m(x)$ (o~této funkci lze také říci, že je po částech lineární). Definujme tedy
\[
\phi_m(x) = y_0 + f(x_0,y_0) (x-x_0) \qquad \text{pro } x \in \left[ x_0,x_1 \right].
\]
Dále označme
\[
y_1 = \phi_m(x_1) = y_0 + f(x_0,y_0) h.
\]
Tím jsme sestrojili bod $\col{x_1}{y_1}$, který je východiskem pro další krok konstrukce. Ve druhém podintervalu postupujeme analogicky a klademe
\[
\phi_m(x) = y_1 + f(x_1,y_1) (x-x_1) \qquad \text{pro } x \in \left[ x_1,x_2 \right].
\]
Pro krajní bod pak platí
\[
y_2 = \phi_m(x_2) = y_1 + f(x_1,y_1) h.
\]
Takto postupujeme dále. Obecně tedy můžeme psát
\begin{equation}
\label{eq:eulomfce}
\phi_m(x) = y_{j-1} + f(x_{j-1},y_{j-1}) (x - x_{j-1}) \qquad \text{pro } x \in \left[ x_{j-1},x_{j} \right],
\end{equation}
pro $j=1,\ldots,m$ a kde $y_j = y_{j-1} + f(x_{j-1},y_{j-1}) h$.
O~právě zkonstruované funkci $\phi_m$ je třeba ověřit, že pro libovolné $x\in\left[ x_0,x_0+a\right]$ splňuje $\phi_m(x) \in \left[ y_0-b,y_0+b \right]$. Jinými
slovy, požadujeme, aby funkce $\phi_m$ protínala náš obdélník pouze na svislých hranách. Tuto vlastnost nám zaručí následující lemma.
\end{remark}
\begin{lemma}
Funkce $\phi_m(x)$ má pro $x \in \left[ x_0,x_0+a \right]$ hodnoty z~intervalu $\left[ y_0-b,y_0+b \right]$. Přitom využíváme vztahu $b \geq M a$.
\begin{proof}
Chceme dokázat, že pro libovolné $x \in \left[ x_0,x_0+a \right]$ platí $\abs{\phi_m(x) - y_0} \leq b$. Jestliže $x \in \left[ x_0,x_0+a \right]$, pak zřejmě
$\exists k \in \{ 1,\ldots,m \}$ tak, že $x \in \left[ x_{k-1}, x_k \right]$.
Z~trojúhelníkové nerovnosti plyne následující odhad
\begin{eqnarray*}
\abs{\phi_m(x) - y_0} &\leq& \abs{\phi_m(x) - \phi_m(x_{k-1})} + \abs{\phi_m(x_{k-1}) - \phi_m(x_{k-2})} + \cdots \\
& & \cdots + \abs{\phi_m(x_2) - \phi_m(x_1)} + \abs{\phi_m(x_1) - \phi_m(x_0)},
\end{eqnarray*}
kde jsme označili $y_0 = \phi_m(x_0)$. Uvědomíme-li si, že $\phi_m(x_j) = y_j$, můžeme prostřednictvím \eqref{eq:eulomfce} jednotlivé absolutní hodnoty na pravé straně
nerovnosti odhadnout následujícím způsobem
\begin{eqnarray*}
\abs{\phi_m(x) - \phi_m(x_{k-1})} &\leq& \abs{f(x_{k-1},y_{k-1})} \abs{x-x_{k-1}}, \\
\abs{\phi_m(x_j) - \phi_m(x_{j-1})} &\leq& \abs{f(x_{j-1},y_{j-1})} h,
\end{eqnarray*}
kde $j=1,\ldots,k-1$. Můžeme tedy psát
\begin{equation*}
\abs{\phi_m(x) - y_0} \leq \ub{\abs{f(x_{k-1},y_{k-1})}}_{\leq M} \abs{x-x_{k-1}} + \sum_{j=1}^{k-1}\ub{\abs{f(x_{j-1},y_{j-1})}}_{\leq M} h
\leq M \abs{x-x_0} \leq Ma \leq b.
\end{equation*}
Tuto úvahu provádíme postupně pro $x \in \left[ x_0,x_1 \right]$, poté pro $x \in \left[ x_1,x_2 \right],\ldots,x \in \left[ x_{m-1},x_m \right]$. Tak je zajištěno,
že pro všechna $x \in \left[ x_0,x_0+a \right]$ je $\abs{\phi_m(x) - y_0} \leq b$, což jsme chtěli dokázat.
\end{proof}
\end{lemma}
\begin{remark}
Konstrukcí funkcí $\phi_m(x)$ pro $m=1,2,\ldots$ vzniká funkční posloupnost
\begin{equation}
\label{eq:poslomfci}
\{ \phi_m(x) \}_{m \geq 1}
\end{equation}
na intervalu $\left[ x_0, x_0+a \right]$. Zabývejme se dále vlastnostmi této posloupnosti.
\end{remark}
\begin{lemma}
\label{lem:1}
Funkční posloupnost \eqref{eq:poslomfci} je stejně omezená.
\begin{proof}
Z~předchozího lemmatu víme, že platí $\abs{\phi_m(x) - y_0} \leq b$ pro libovolné $m$. Odtud zřejmě
\[
\Bigl(\forall m\in\N \Bigr) \Bigl( \abs{\phi_m(x)} \leq \abs{y_0} + b \Bigr),
\]
což jsme chtěli dokázat.
\end{proof}
\end{lemma}
\begin{lemma}
\label{lem:2}
Funkční posloupnost \eqref{eq:poslomfci} obsahuje stejně spojité funkce.
\begin{proof}
Podle definice stejné spojitosti chceme ukázat, že platí
\[
\Bigl(\forall\epsilon>0\Bigr) \Bigl(\exists\delta>0\Bigr) \Bigl(\forall m\in\N\Bigr) \Bigl(\forall x,x'\in\left[ x_0,x_0+a\right]\Bigr)
\Bigl(\abs{x-x'}<\delta \Rightarrow \abs{\phi_m(x) - \phi_m(x')}<\epsilon\Bigr).
\]
Protože $x,x'\in\left[ x_0,x_0+a\right]$, zřejmě existují indexy $k,l\in\widehat{m}$ tak, že $x\in\left[ x_{k-1},x_k \right]$ a $x'\in\left[ x_{l-1},x_l\right]$.
Bez újmy na obecnosti nechť $k \leq l$. Potom tedy platí
\begin{eqnarray*}
\abs{\phi_m(x) - \phi_m(x')} &\leq& \abs{\phi_m(x) - \phi_m(x_k)} + \abs{\phi_m(x_k) - \phi_m(x_{k+1})} + \cdots \\
& & \cdots + \abs{\phi_m(x_{l-2}) - \phi_m(x_{l-1})} + \abs{\phi_m(x_{l-1}) - \phi_m(x')}.
\end{eqnarray*}
Odhadneme-li dílčí absolutní hodnoty na pravé straně této nerovnosti pomocí vztahu \eqref{eq:eulomfce}, dostaneme
\begin{eqnarray*}
\abs{\phi_m(x) - \phi_m(x_k)} &=& \abs{f(x_{k-1},y_{k-1})} \abs{x-x_k}, \\
\abs{\phi_m(x_{l-1}) - \phi_m(x')} &=& \abs{f(x_{l-1},y_{l-1})} \abs{x'-x_{l-1}}, \\
\abs{\phi_m(x_j) - \phi_m(x_{j-1})} &=& \abs{f(x_{j-1},y_{j-1})} h,
\end{eqnarray*}
kde $j=k+1,\ldots,l-1$. Uvážíme-li, že pro každé $j\in\widehat{m}$ platí $\abs{f(x_{j-1},y_{j-1})} \leq M$, dostáváme odhad
\[
\abs{\phi_m(x) - \phi_m(x')} \leq M \left(\abs{x-x_k} + \abs{x_k-x_{k+1}} + \cdots + \abs{x'-x_{l-1}} \right) = M \abs{x-x'}.
\]
Potom tedy pro libovolné $\epsilon>0$ položíme $\delta = \epsilon / M$ a pak pro každé $m\in\N$ a pro každé $x,x'\in\left[ x_0,x_0+a\right]$ platí
$\abs{x-x'}<\delta \Rightarrow \abs{\phi_m(x) - \phi_m(x')}<\epsilon$. Tím je důkaz ukončen.
\end{proof}
\end{lemma}
\begin{remark}
Sestrojili jsme funkční posloupnost $\{ \phi_m \}_{m \geq 1}$, o~níž jsme zjistili, že obsahuje funkce stejně omezené a stejně spojité na intervalu
$\left[ x_0,x_0+a \right]$. Podle věty \ref{theo:arzela} lze z~této posloupnosti vybrat stejnoměrně konvergentní podposloupnost na $\left[ x_0,x_0+a \right]$.
Zřejmě tedy
\[
\Bigl(\exists y(x) \text{ na } \left[ x_0,x_0+a \right] \Bigr) \Bigl( \phi_{m'} \stackrel{\left[ x_0,x_0+a \right]}{\rightrightarrows} y \Bigr).
\]
O~funkci $y$ je třeba dokázat, že řeší úlohu \eqref{eq:poculo}.
\begin{enumerate}[(1)]
\item Zřejmě platí $(\forall m\in\N) (\phi_m(x_0) = y_0)$, odkud $y(x_0) = y_0$ a funkce $y$ tedy splňuje počáteční podmínku.
\item O~tom, že funkce $y$ vyhovuje i příslušné diferenciální rovnici, nás přesvědčí následující lemma.
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{lemma}
\label{lem:3}
Platí
\[
\Biggl( \forall x \in (x_0,x_0+a) \Biggr) \Biggl( \lim_{\ol{h} \to 0} \left( \frac{y(x+\ol{h}) - y(x)}{\ol{h}} - f(x,y(x)) \right) = 0 \Biggr).
\]
\begin{proof}
Zvolíme $\ol{x}\in(x_0,x_0+a)$ pevně a $\ol{h}\in\R$ tak, aby $\ol{x} + \ol{h}\in(x_0,x_0+a)$ a budeme zkoumat chování výrazu
\[
\abs{\phi_{m'}(\ol{x} + \ol{h}) - \phi_{m'}(\ol{x}) - \ol{h} f(\ol{x},\phi_{m'}(\ol{x}))} \stackrel{\text{ozn.}}{=} A
\]
pro vysoká $m'$.
Protože $\ol{x}, \ol{x} + \ol{h}\in(x_0,x_0+a)$, zřejmě existují indexy $k,l\in\widehat{m'}$ tak, že $\ol{x}\in\left[ x_{k-1},x_k \right]$ a
$\ol{x} + \ol{h}\in\left[ x_{l-1},x_l \right]$. Bez újmy na obecnosti nechť $\ol{h} > 0$, tj.~také $k \leq l$ a pro dostatečně vysoká $m'$ bude
tato nerovnost ostrá -- k~tomu stačí\footnote{Požadujeme totiž $h<\ol{h}$, kde $h=a/m'$, odkud $m'>a/\ol{h}$.} $m' > a/\ol{h}$ (toho ještě později
využijeme). Zkoumaný výraz pak lze přepsat a odhadnout následujícím způsobem
\begin{eqnarray*}
A%\abs{\phi_m(\ol{x} + \ol{h}) - \phi_m(\ol{x}) - \ol{h} f(\ol{x},\phi_m(\ol{x}))}
% & = & \vert \phi_m(\ol{x}) - \phi_m(x_k) + \phi_m(x_k) - \phi_m(x_{k+1}) + \phi_m(x_{k+1}) - \cdots + \phi_m(x_{l-1}) - \phi_m(\ol{x}+\ol{h}) + \\
& = & \Big\vert \phi_{m'}(\ol{x}) - \phi_{m'}(x_k) + \sum_{j=k}^{l-2}\bigl[\phi_{m'}(x_j) - \phi_{m'}(x_{j+1})\bigr] + \phi_{m'}(x_{l-1}) - \phi_{m'}(\ol{x}+\ol{h}) + \\
% & & + (x_k - \ol{x} + x_{k+1} - x_k + \cdots + x_{l-1} - x_{l-2} + \ol{x} + \ol{h} - x_{l-1}) f(\ol{x},\phi_m(\ol{x})) \vert \\
& & + (x_k - \ol{x} + \sum_{j=k}^{l-2}\bigl[x_{j+1}-x_j\bigr] + \ol{x} + \ol{h} - x_{l-1}) f(\ol{x},\phi_{m'}(\ol{x})) \Big\vert \\
&\leq& \abs{ \phi_{m'}(\ol{x}) - \phi_{m'}(x_k) + (x_k-\ol{x}) f(\ol{x},\phi_{m'}(\ol{x})) } + \\
& & + \sum_{j=k}^{l-2} \big\vert \phi_{m'}(x_j) - \phi_{m'}(x_{j+1}) + (x_{j+1}-x_j) f(\ol{x},\phi_{m'}(\ol{x})) \big\vert + \\
& & + \abs{ \phi_{m'}(x_{l-1}) - \phi_{m'}(\ol{x}+\ol{h}) + (\ol{x}+\ol{h}-x_{l-1}) f(\ol{x},\phi_{m'}(\ol{x})) }.
\end{eqnarray*}
Využijeme-li definice funkce Eulerovy lomené funkce $\phi_m$ \eqref{eq:eulomfce} dostaneme
\begin{eqnarray*}
\phi_m(\ol{x}) - \phi_m(x_k) &=& f(x_{k-1},y_{k-1}) (\ol{x}-x_k), \\
\phi_m(x_j) - \phi_m(x_{j+1}) &=& f(x_j,y_j) (x_j-x_{j+1}), \\
\phi_m(x_{l-1}) - \phi_m(\ol{x}+\ol{h}) &=& f(x_{l-1},y_{l-1}) (x_{l-1} - (\ol{x}+\ol{h})),
\end{eqnarray*}
pro $j=k,\ldots,l-2$. V~souladu se zavedeným značením platí $x_j-x_{j+1} = -h$. Pomocí právě získaných vztahů upravíme odhad výrazu $A$, čímž dostaneme
\begin{eqnarray*}
A &\leq& \abs{\ol{x}-x_k} \abs{f(x_{k-1},y_{k-1}) - f(\ol{x},\phi_{m'}(\ol{x}))} + \\
& & + \sum_{j=k}^{l-2} h \abs{f(x_j,y_j) - f(\ol{x},\phi_{m'}(\ol{x}))} + \\
& & + \abs{x_{l-1} - (\ol{x}+\ol{h})} \abs{f(x_{l-1},y_{l-1}) - f(\ol{x},\phi_{m'}(\ol{x}))}.
\end{eqnarray*}
%Vidíme, že v~odhadu výrazu $A$ vystupují rozdíly tvaru
Protože $f\in \Cc(\Gamma)$ je funkce $f$ spojitá také na kompaktu $\left[ x_0-a,x_0+a \right] \times \left[ y_0-b,y_0+b \right] \subset \Gamma$. Funkce spojitá na
kompaktu je na něm spojitá stejnoměrně \cite[Věta 4.19]{rudin1} a platí tedy
\[
\begin{split}
\Bigl(\forall\epsilon>0\Bigr) \Bigl(\exists\delta>0\Bigr) \Bigl(\forall (x,y),(x',y') & \in \left[ x_0-a,x_0+a \right] \times \left[ y_0-b,y_0+b \right] \Bigr) \\
& \Bigl( \abs{x-x'}<\delta \wedge \abs{y-y'}<\delta \Rightarrow \abs{f(x,y)-f(x',y')}<\frac{\epsilon}{2}\Bigr).
\end{split}
\]
Dále víme, že funkce $\{\phi_m\}$ jsou stejně spojité na $\left[ x_0,x_0+a \right]$ a platí tedy
\[
\Bigl(\forall\delta>0\Bigr) \Bigl(\exists\delta'=\delta/M>0\Bigr) \Bigl(\forall m\in\N\Bigr)
\Bigl(\abs{x-\ol{x}}<\delta' \Rightarrow \abs{\phi_m(x)-\phi_m(\ol{x})}<\delta \Bigr).
\]
V~předchozí poznámce jsme ukázali, že funkční podposloupnost $\{\phi_{m'}\}$ konverguje stejnoměrně k~$y(x)$ na $\left[ x_0,x_0+a \right]$ a rovněž tedy platí
\[
\lim_{m'\to\infty} \phi_{m'}(x) = y(x),
\]
pro každé $x\in\left[ x_0,x_0+a \right]$.
Vezměme $m'>a/\ol{h}$ (viz začátek důkazu, zajímá nás $m' \to +\infty$). Dále zvolme pevné $\ol{h}$ tak, aby $\ol{h}<\min\{\delta,\delta/M\}$.
Potom zřejmě $\abs{\ol{x}+\ol{h}-x_{l-1}},\ldots,\abs{x_k-\ol{x}} \leq \ol{h}$ a také $\abs{x_j - \ol{x}} \leq \ol{h}$ pro všechna $j\in\{k-1,\ldots,l-1\}$.
Potom tedy
\begin{eqnarray*}
\abs{\phi_{m'}(x_{j}) - \phi_{m'}(\ol{x})} &<& \delta, \\
\abs{f(x_j,y_j) - f(\ol{x},\phi_{m'}(\ol{x}))} &<& \frac{\epsilon}{2}.
\end{eqnarray*}
Pomocí provedených odhadů můžeme dokončit odhad výrazu $A$, čímž dostaneme
\[
A < \frac{\epsilon}{2} \ub{\Bigl[\abs{\ol{x}-x_k} + \sum_{j=k}^{l-2} h + \abs{x_{l-1} - (\ol{x}+\ol{h})} \Bigr]}_{=\ol{h}} = \frac{\ol{h} \epsilon}{2}.
\]
Provedeme-li nyní v~nerovnosti limitní přechod $m' \to \infty$ obdržíme vztah
\[
\abs{y(\ol{x}+\ol{h}) - y(\ol{x}) - \ol{h} f(\ol{x},y(\ol{x})} \leq \frac{\ol{h} \epsilon}{2},
\]
odkud zřejmě
\[
\Biggl( \forall \epsilon > 0 \Biggr) \Biggl(\exists h_0 > 0 \Biggr) \Biggl(\forall \ol{h} < h_0 \Biggr)
\Biggl( \abs{\frac{y(\ol{x}+\ol{h}) - y(\ol{x})}{\ol{h}} - f(\ol{x},y(\ol{x})} < \epsilon \Biggr),
\]
a tedy
\[
\lim_{\ol{h} \to 0} \left( \frac{y(x+\ol{h}) - y(x)}{\ol{h}} - f(x,y(x)) \right) = 0,
\]
pro libovolné $x \in (x_0,x_0+a)$, což jsme chtěli dokázat.
\end{proof}
\end{lemma}
\begin{remark}
Podle právě dokázaného lemmatu a jemu předcházející poznámky je tedy funkce $y$, která je limitní funkcí podposloupnosti $\{\phi_{m'}\}$, řešením úlohy
\eqref{eq:poculo}.
\end{remark}
\begin{theorem}[Peanova\footnote{\textbf{Giuseppe Peano} (1858--1932), italský matematik.}, o~existenci]
\index{věta!Peanova}
\label{theo:peano}
Nechť funkce $f$ je spojitá na oblasti $\Gamma\subset\R^2$, $\col{x_0}{y_0}\in\Gamma$. Pak existuje alespoň jedno řešení rovnice $y'=f(x,y)$ splňující podmínku
$y(x_0)=y_0$.
\begin{proof}
Podle předchozí poznámky je hledaným řešením funkce $y$, která je limitní funkcí podposloupnosti $\{\phi_{m'}\}$.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Peanova věta nám dává k~dispozici \textbf{postačující podmínku} existence řešení, nikoliv však nutnou. Uvažme diferenciální rovnici
\[
y' = \sgn y.
\]
Je zřejmé, že funkce $f(x,y) = \sgn y$ není spojitá na $\R^2$, proto na tuto rovnici nelze rovnou použít Peanova věta. Snadno se však
přesvědčíme, že každým bodem $\R^2$ prochází právě jedna integrální křivka.
Pro $y>0$ dostáváme $y'=1$ odkud pro hledané řešení získáme vztah $y(x)=x+C_1$ pro $x>-C_1$. Konstantu $C_1$ dopočítáme jednoznačně
z~počátečních podmínek. Podobně pro $y<0$ je zřejmě $y'=-1$ a tedy hledané řešení má tvar $y(x)=-x+C_2$ pro $x<C_2$. Konstantu $C_2$ opět
jednoznačně určíme z~počátečních podmínek. Nakonec uvažme, že funkce $y(x) \equiv 0$ také vyhovuje dané diferenciální rovnici pro
všechna $x\in\R$. Integrální křivky jsou zachyceny na obr.~\ref{fig:k_pean_vete}.
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=1.0]{k_peanove_vete.pdf}
\caption{Integrální křivky rovnice $y'=\sgn y$.}
\label{fig:k_pean_vete}
\end{figure}
\end{remark}
% ****************************************************************************************************************************
% PODSEKCE: Jednoznačnost řešení
% ****************************************************************************************************************************
\subsection{Jednoznačnost řešení}
\begin{remark}
Peanova věta \textbf{nezaručuje jednoznačnost řešení}. Uvažme rovnici
\[
y' = \sqrt[3]{y^2}.
\]
Podle Peanovy věty prochází každým bodem $\R^2$ alespoň jedna integrální křivka této rovnice. Snadno se však přesvědčíme, že funkce
\begin{eqnarray*}
y(x) &=& 0, \\
y(x) &=& \frac{x^3}{27},
\end{eqnarray*}
řeší tuto diferenciální rovnici pro všechna $x\in\R$. Bodem $\col{0}{0}$ tedy prochází alespoň dvě různé integrální křivky.
\end{remark}
\begin{theorem}[Osgoodova\footnote{\textbf{William Fogg Osgood} (1864--1943), americký matematik.}, o~jednoznačnosti]
\index{věta!Osgoodova}
\label{theo:osgood}
Nechť funkce $f=f(x,y)$ má vlastnost
\[
\Bigl(\forall
\COL{x}{y_1}, \COL{x}{y_2} \in\Gamma\Bigr) \Bigl(\abs{f(x,y_1)-f(x,y_2)}\leq\Phi\left(\abs{y_2-y_1}\right)\Bigr),
\]
kde $\Phi: \left[ 0,C \right] \to \Rop$ je funkce spojitá a kladná na $\left(0,C\right]$, $\Phi(0)=0$ a dále platí, že
\[
\lim_{\epsilon \to 0_+} \int_{\epsilon}^{C} \frac{\dif u}{\Phi(u)} = +\infty.
\]
Potom každým bodem $\col{x_0}{y_0}\in\Gamma$ prochází nejvýše jedna integrální křivka rovnice \eqref{eq:poculo}.
\begin{proof}
Důkaz se provede sporem. Nechť funkce $y_1$ a $y_2$ jsou dvě navzájem různá řešení úlohy \eqref{eq:poculo}. Zřejmě tedy platí
$y_1(x_0) = y_2(x_0) = y_0$ a zároveň existuje $x_1$ (bez újmy na obecnosti nechť např.~$x_1>x_0$) takové, že $y_1(x_1)\neq y_2(x_1)$.
Dále definujme $z(x) = y_1(x)-y_2(x)$. Zřejmě tedy $z(x_0) = 0$. Bez újmy na obecnosti nechť $z(x_1) > 0$. Funkce $z$ je zřejmě
spojitá, a proto $\exists H_{x_1}$ tak, že $z(x)>0$ pro $\forall x \in H_{x_1}$. Potom podle předpokladů můžeme psát
\[
z'(x) = y'_1(x) - y'_2(x) = f(x,y_1(x))-f(x,y_2(x)) \leq \abs{f(x,y_1(x))-f(x,y_2(x))} \leq \Phi(\abs{z(x)}),
\]
kde jsme využili odhadu, že žádné číslo nepřevýší svoji absolutní hodnotu a předpokladů věty. Protože $z(x)>0$ na $H_{x_1}$, platí
$\abs{z(x)}=z(x)$ na $H_{x_1}$.
Je tedy potřeba řešit diferenciální nerovnici ve tvaru
\[
z'(x) \leq \Phi(z(x)) \qquad \forall x \in H_{x_1}.
\]
Nerovnici lze upravit na tvar
\[
\frac{z'(x)}{\Phi(z(x))} \leq 1 \quad \Longrightarrow \quad \int_x^{x_1} \frac{z'(x) \dif x}{\Phi(z(x))} \leq x_1-x.
\]
Podle věty o~integraci substitucí (\cite[Věta 6.19]{rudin1}) upravíme integrál v~nerovnosti pomocí substituce $u=z(x)$ na tvar
\[
\int_{z(x)}^{z(x_1)} \frac{\dif u}{\Phi(u)} \leq x_1-x.
\]
Uvážíme-li, že funkce $z$ je spojitá, zřejmě $\exists x_2 \in \left[ x_0,x_1\right)$ tak, že $z(x_2) = 0$. Bodů splňujících tento požadavek
může být v~intervalu $\left[ x_0,x_1\right)$ více. Určitě je tam alespoň jeden, a to přímo bod $x_0$. Bod $x_2$ vybereme tedy tak, aby
platilo $z(x_2)=0$ a zároveň $z(x)>0$ pro $x_2 < x \leq x_1$ (je tedy co nejblíže bodu $x_1$). Potom přejdeme v~nerovnosti k~limitě
$x \to x_2$, odkud $z(x) \to 0$ a dostaneme
\[
\ub{\lim_{\epsilon \to 0_+} \int_{\epsilon}^{z(x_1)} \frac{\dif u}{\Phi(u)}}_{+\infty} \leq \ub{x_1 - x_2}_{\in\R},
\]
což je ovšem spor.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Osgoodova věta neurčuje přesně funkci $\Phi$. Pouze nám říká, jaké vlastnosti mít musí. V~praxi se funkce $\Phi$ nejčastěji
volí ve tvaru
\[
\Phi(u) = ku.
\]
Dále se také můžeme setkat s~volbami
\begin{eqnarray*}
\Phi(u) &=& ku \cdot \abs{\ln u}, \\
\Phi(u) &=& ku \cdot \abs{\ln u} \cdot \abs{\ln\abs{\ln u}}
\end{eqnarray*}
a podobně.
\end{remark}
\begin{define}
\index{podmínka!Lipschitzova}
\index{funkce!lipschitzovská}
\index{funkce!lokálně lipschitzovská}
Nechť funkce $f=f(x,y)$ je definová na oblasti $\Gamma\subset\R^2$. Pak říkáme, že \textbf{funkce $f$ splňuje na $\Gamma$ Lipschitzovu}\footnote{
\textbf{Rudolf Otto Sigismund Lipschitz} (1832--1903), německý matematik.} \textbf{podmínku s~konstantou $L > 0$ vzhledem k~$y$} právě tehdy, když
\[
\Bigl(\forall
\COL{x}{y_1}, \COL{x}{y_2} \in\Gamma\Bigr) \Bigl(\abs{f(x,y_1)-f(x,y_2)} \leq L\abs{y_1-y_2}\Bigr).
\]
Řekneme, že \textbf{funkce $f$ splňuje na $\Gamma$ lokálně Lipschitzovu podmínku s~konstantou $L$ vzhledem k~$y$} právě tehdy, když $\forall\col{x_0}{y_0}\in\Gamma$
existuje okolí $H$ bodu $\col{x_0}{y_0}$ tak, že $f$ splňuje na $H$ Lipschitzovu podmínku s~konstantou $L$ vzhledem k~$y$.
\end{define}
\begin{remark}
O~funkci $f$, která na $\Gamma$ splňuje (resp.~lokálně splňuje) Lipschitzovu podmínku s~konstatnou $L$ vzhledem k~$y$ také říkáme, že je
\textbf{lipschitzovská} (resp.\textbf{~lokálně lipschitzovská}) \textbf{na $\Gamma$ vzhledem k~$y$}.
\end{remark}
\begin{theorem}
Nechť je $f: \Gamma \to \R$, kde $\Gamma$ je oblast v~$\R^2$ a dále nechť $\partial_y f \in \Cc(\Gamma)$. Potom $f$ je lokálně lipschitzovská
na $\Gamma$ vzhledem k~$y$.
\begin{proof}
Zvolme libovolný bod $\col{x_0}{y_0}\in\Gamma$. Protože podle předpokladů je funkce $\partial_y f\in \Cc(\Gamma)$, existuje konstanta $L>0$ a okolí $H$
bodu $\col{x_0}{y_0}$ takové, že $\forall \col{x}{y}\in H$ platí, že $\abs{\partial_y f(x,y)} \leq L$. ($L$ existuje podle věty o omezenosti spojité funkce na kompaktu $\ol{H}$, bod $\col{x_0}{y_0}$ musí být z vnitřku $H$.) Okolí $H$ lze zřejmě zvolit konvexní.
Pro pevné $x$ se můžeme na funkci $f(x,y)$ dívat jako na funkci jedné reálné proměnné $y$ a na rozdíl $\abs{f(x,y_1)-f(x,y_2)}$ aplikovat větu
o~přírůstku funkce (viz~\cite[Věta 5.10]{rudin1}). Potom pro libovolné $\col{x}{y_1},\col{x}{y_2}\in H$ platí
\[
\abs{f(x,y_1) - f(x,y_2)} = \abs{\partial_y f(x,\xi)} \abs{y_1-y_2} \leq L \abs{y_1-y_2},
\]
což jsme chtěli dokázat.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}
Nechť funkce $f$ je spojitá na $\Gamma$ a lokálně lipschitzovská vzhledem k~$y$ na $\Gamma$. Potom každým bodem $\col{x_0}{y_0}\in\Gamma$ prochází právě
jedna integrální křivka úlohy \eqref{eq:poculo}.
\begin{proof}
Věta je důsledkem věty \ref{theo:peano} a \ref{theo:osgood}.
\end{proof}
\end{theorem}
% ****************************************************************************************************************************
% PODSEKCE: Prodloužitelné a neprodloužitelné řešení
% ****************************************************************************************************************************
\subsection{Prodloužitelné a neprodloužitelné řešení}
\begin{remark}
Podle důkazu Peanovy věty \ref{theo:peano} jsme k~bodu $\col{x_0}{y_0} \in \Gamma$ sestrojili obdélník tak, že funkce $y(x)$ definovaná na intervalu
$\left[ x_0-a,x_0+a \right]$ splňovala $\forall x\in\left( x_0-a,x_0+a\right) $ rovnici $y'(x)=f(x,y(x))$ a zároveň $y(x_0)=y_0$. Peanova věta nám tedy zaručuje
existenci řešení úlohy \eqref{eq:poculo} \textbf{lokálně}, na jistém okolí (viz~obr.~\ref{fig:kprodlouzeni}).
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=1.0]{k_prodlouzeni.pdf}
\caption{Peanova věta zaručuje existenci řešení lokálně, ke konstrukci prodloužení řešení.}
\label{fig:kprodlouzeni}
\end{figure}
Označme
\begin{eqnarray*}
x_1 &=& x_0 + a, \\
y_1 &=& y(x_0 + a).
\end{eqnarray*}
Zřejmě platí $\col{x_1}{y_1}\in\Gamma$ a lze tedy řešit úlohu s~novou počáteční podmínkou (díky tomu, že nalezené řešení bylo definované na uzavřeném
intervalu)
\begin{eqnarray*}
y' &=& f(x,y), \\
y(x_1) &=& y_1.
\end{eqnarray*}
Z~Peanovy věty vyplývá existence funkce $y^{(1)}(x)$ definované na intervalu $\left[ x_1-a_1,x_1+a_1 \right]$, která řeší uvedenou úlohu
na otevřeném intervalu $(x_1-a_1,x_1+a_1)$. Původní funkci $y(x)$ definovanou na intervalu $\left[ x_0-a,x_0+a \right]$ lze zřejmě prodloužit
na interval $\left[ x_0-a,x_1+a_1 \right]$ tak, že položíme
\[
y(x) = \begin{cases} y(x) & \text{ pro } x\in\left[ x_0-a,x_0+a \right]\\ y^{(1)}(x) & \text{ pro } x\in\left( x_0+a,x_1+a_1\right] \end{cases}.
\]
Prodloužená funkce $y$ potom řeší původní úlohu na prodlouženém intervalu $(x_0-a,x_1+a_1)$.
Tímto postupem lze pokračovat v~prodlužování řešení úlohy \eqref{eq:poculo} dále. V~$k$-tém kroku prodlužování položíme
\begin{eqnarray*}
x_k &=& x_{k-1}+a_{k-1}, \\
y_k &=& y^{(k-1)}(x_{k-1}+a_{k-1}).
\end{eqnarray*}
Platí $\col{x_k}{y_k}\in\Gamma$ a z~Peanovy věty existuje $y^{(k)}(x)$ definované na intervalu $\left[ x_k-a_k,x_k+a_k \right]$. Původní řešení tedy
můžeme prodloužit o~interval $\left[ x_k,x_k+a_k \right]$ a $\forall x\in\left( x_0-a,x_k+a_k\right) $ je splněna rovnice $y'(x) = f(x,y(x))$.
Z~provedených úvah je zřejmé, že analogicky bychom mohli původní řešení prodlužovat doleva.
V~dalším textu se budeme zabývat definicí prodloužitelného a neprodloužitelného řešení, existencí neprodloužitelného řešení a budeme zkoumat, kam
až lze řešení prodloužit.
\end{remark}
\begin{define}
\index{řešení!prodloužitelné}
\index{řešení!neprodloužitelné}
Nechť funkce $\phi(x)$ je řešením úlohy \eqref{eq:poculo} na $\left[\alpha,\beta\right]$. Říkáme, že řešení $\phi$ je \textbf{prodloužitelné}
právě tehdy, jestliže existuje funkce $\phi_1(x)$, definovaná na $\left[\alpha_1,\beta_1\right]$ (takovém, že $\alpha_1\leq\alpha$, $\beta_1\geq\beta$
a přitom $\alpha_1<\alpha \vee \beta_1>\beta$), taková, že $\phi_1\vert_{\left[\alpha,\beta\right]} = \phi$ a $\phi_1$ řeší úlohu \eqref{eq:poculo}.
Funkce $\phi_1$ se pak nazývá \textbf{prodloužením} funkce $\phi$.
Řešení úlohy \eqref{eq:poculo} definované na $(\alpha,\beta)$, pro které neexistuje prodloužení, se nazývá \textbf{neprodloužitelné}.
\end{define}
\begin{remark}
Řešení definované na uzavřeném intervalu lze vždy prodloužit. Neprodloužitelné řešení je definováno pouze na otevřených intervalech.
\end{remark}
\begin{theorem}
\label{theo:krit_prodl}
Nechť $f\in \Cc(\Gamma)$. Pak řešení $\phi=\phi(x)$ úlohy \eqref{eq:poculo} definované na $(\alpha,\beta)$ je neprodloužitelné právě tehdy, když platí
alespoň jedna z~následujících podmínek (pro neprodloužitelnost v~daném směru):
\begin{enumerate}[(1)]
\item $\beta = +\infty$ (ve směru doprava), resp.~$\alpha=-\infty$ (ve směru doleva),
\item $\abs{\phi(x)} \to +\infty$ pro $x\to\beta_-$, resp.~pro $x\to\alpha_+$,
\item $\rho(\col{x}{\phi(x)},\partial\Gamma) \to 0$ pro $x\to\beta_-$, resp.~pro $x\to\alpha_+$.
\end{enumerate}
\begin{proof}
Věta je ekvivalencí a je tedy třeba dokázat obě implikace.
\begin{enumerate}
%\item
\item \underline{$\Leftarrow$:} Předpokládejme postupně splnění podmínky (1), (2) a (3).
\begin{enumerate}[(1)]
\item Nechť $\beta=+\infty$. Potom $(\alpha,\beta)$ nelze prodloužit za $\beta$, a tedy $\phi$ je neprodloužitelné (doprava). Analogicky se
ukáže neprodloužitelnost doleva pro bod $\alpha$.
\item Pokud $\phi$ lze prodloužit za $\beta$, pak lze určitě vyčíslit $\phi$ v~bodě $x=\beta$, tzn.~$\phi$ je řešením \eqref{eq:poculo}. Potom
$\exists \lim\limits_{x\to\beta_-} \phi(x) \in \R$, což je spor s~podmínkou (2).
\item Pokud lze $\phi$ prodloužit za $\beta$, pak $\lim\limits_{x\to\beta_-} \phi(x) \in \R$. Potom také
$\lim\limits_{x\to\beta_-} \col{x}{\phi(x)} \in \Gamma$. Z~podmínky (3) pak plyne $\lim\limits_{x\to\beta_-} \col{x}{\phi(x)} \in \partial\Gamma$. Pak
tedy $\lim\limits_{x\to\beta_-} \col{x}{\phi(x)} \in \Gamma \cap \partial\Gamma$, což je spor s~předpokladem, že $\Gamma$ je oblast.
\end{enumerate}
%\item
\item \underline{$\Rightarrow$:} Důkaz se provede sporem. Nechť $\phi=\phi(x)$ je neprodloužitelné řešení a zároveň nechť není splněna žádná z~podmínek
(1), (2), (3), tj.~platí $\neg (1) \wedge \neg (2) \wedge \neg (3)$. Z~lemmatu \ref{lem:k_prodl} pak $\exists\lim\limits_{x\to\beta_-}\col{x}{\phi(x)}\in\R^2$
a ze spojitosti funkce $\rho(\col{x}{y},\partial\Gamma)$ (kde za argument funkce považujeme $\col{x}{y}$) plyne, že
\[
\exists \lim_{x\to\beta_-} \rho\left(\COL{x}{\phi(x)},\partial\Gamma\right) \stackrel{\text{ozn.}}{=} \ub{d > 0}_{\text{z }\neg(3)}.
\]
Tento limitní bod tedy leží uvnitř $\Gamma$, tj.~platí
\[
\lim_{x\to\beta_-} \COL{x}{\phi(x)} = \COL{\beta}{\lim_{x\to\beta_-} \phi(x)} \in \Gamma.
\]
Označme $\lim\limits_{x\to\beta_-} \phi(x) = \phi(\beta)$. Lze tedy řešit počáteční úlohu $y'=f(x,y)$, $y(\beta) = \phi(\beta)$ a řešení $\phi$
prodloužit za bod $\beta$, což je spor.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Větu lze intuitivně pochopit tak, že řešení nelze prodloužit, pokud
\vspace{-2mm}
\begin{enumerate}[(1)]
\item není kam,\vspace{-2mm}
\item není co,\vspace{-2mm}
\item není kudy.
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{lemma}
\label{lem:k_prodl}
Nechť platí předpoklady předchozí věty a navíc nechť platí $\neg (1) \wedge \neg (2) \wedge \neg (3)$. Potom existuje $\lim\limits_{x\to\beta_-} \phi(x) \in \R$.
\begin{proof}
Při dokazování využijeme následující lemma:
\begin{lemma}
Spojitá funkce na $\left[ a,b \right]$ nabývá všech hodnot mezi svým maximem a minimem, resp.~mezi hodnotami $f(x')$ a $f(x'')$ pro každé
$x', x'' \in \left[ a,b \right]$.
\begin{proof}
Viz~např.~\cite[Věta 4.23]{rudin1}
\end{proof}
\end{lemma}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=1.0]{k_prodl_lemma.pdf}
\caption{Ke konstrukci bodů $P$ a $Q$.}
\label{fig:kprodlem}
\end{figure}
Z~předpokladu $\neg (1)$ plyne $\beta\in\R$. Definujme
\[
\pi = \Big\{ \{x_n\}_{n \geq 1} \ \Big\vert \ x_n \xrightarrow{n\to\infty} \beta_- \Big\}
\]
množinu všech posloupností, které konvergují k~bodu $\beta$ zleva. Dále označme
\begin{eqnarray*}
P &=& \inf \Big\{ \liminf_{n\to\infty} \phi(x_n) \ \Big\vert \ \{x_n\}_{n\geq1} \in \pi \Big\}, \\
Q &=& \sup \Big\{ \limsup_{n\to\infty} \phi(x_n) \ \Big\vert \ \{x_n\}_{n\geq1} \in \pi \Big\}.
\end{eqnarray*}
Z~konstrukce je zřejmé, že $P \leq Q$ a jistě také platí: $P<+\infty$ a $Q>-\infty$.
%Z~podmínky $\neg(2)$ plyne, že $\phi$ je omezená\footnote{To by chtělo nějak rozebrat -- já to nevidím.}, tj.~$P>-\infty$ a $Q<+\infty$.
Dále budeme uvažovat případ, kdy $P,Q\in\R$ -- situace by tedy mohla vypadat např.~jako na obr.~\ref{fig:kprodlem}.
Případ, kdy alespoň jedno z~$P$ nebo $Q$ není konečné, si laskavý čtenář jistě s~radostí přidokáže sám.
Hledaná limita zřejmě existuje právě, když $P=Q$ (a v~tom případě je reálná). Při dokazování této rovnosti budeme postupovat sporem, tj.~předpokládejme, že $P<Q$.
Nejdříve vyslovíme pomocné tvrzení.
\begin{corollary}
\[
\Bigl(\forall y\in\left[ P,Q \right] \Bigr) \Bigl( y\text{ je hromadný bod hodnot } \phi(x) \text{ pro } x\to\beta_- \Bigr).
\]
\begin{proof}
Chceme ukázat, že platí
\[
\Bigl(\forall y\in\left[ P,Q\right]\Bigr) \Bigl( \COL{\beta}{y} \text{ je hromadný bod grafu funkce } \phi\Bigr).
\]
Body $\col{\beta}{P}$ a $\col{\beta}{Q}$ tento požadavek zřejmě splňují, což okamžitě vyplývá z~definice $P$ a $Q$ (jako limes superior a limes inferior). Pro body
$\col{\beta}{y}$ takové, že $y\in(P,Q)$ postupujume následujícím způsobem.
Vezměme $0 < \epsilon' < \frac{1}{2} \min \{ \abs{y-P}, \abs{y-Q} \}$. Z~definice bodu $P$ pak plyne
\[
\Bigl( \exists \{x'_n\}_{n\geq1}\in\pi \Bigr) \Bigl( \liminf_{n\to\infty} \phi(x'_n) \in \left[ P,P+\epsilon' \right) \Bigr).
\]
Podobně z~definice bodu $Q$ plyne
\[
\Bigl( \exists \{x''_n\}_{n\geq1}\in\pi \Bigr) \Bigl( \limsup_{n\to\infty} \phi(x''_n) \in \left( Q-\epsilon',Q \right] \Bigr).
\]
Z~vlastností limes superior a limes inferior a posloupností $\{x'_n\}$ a $\{x''_n\}$ plyne existence vybraných posloupností (vzhledem k~tomu, že původní posloupnosti
už nebudeme potřebovat, označíme tyto vybrané posloupnosti stejně jako ty původní), pro něž platí
\[
\Bigl( \exists n_0 \Bigr) \Bigl( \forall n>n_0 \Bigr) \Bigl( \phi(x'_n) \in \left[ P,P+2\epsilon' ) \wedge \phi(x''_n) \in ( Q-2\epsilon',Q \right] \Bigr).
\]
Situace je zachycena na obr.~\ref{fig:kprodtvrz}.
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=1.0]{k_prodl_tvrz.pdf}
\caption{Ke konstrukci posloupností $\{x'_n\}_{n\geq1}$ a $\{x''_n\}_{n\geq1}$.}
\label{fig:kprodtvrz}
\end{figure}
Potom pro $n>n_0$ máme $x'_n,x''_n \in (\alpha,\beta)$ a
\begin{eqnarray*}
\phi(x'_n) &<& P+2\epsilon' < y, \\
\phi(x''_n) &>& Q-2\epsilon' > y.
\end{eqnarray*}
Funkce $\phi$ je spojitá a tedy pro každé $n_1,n_2 > n_0$ nabývá všech hodnot mezi $\phi(x'_{n_1})$ a $\phi(x''_{n_2})$. Speciálně tedy $\phi$ nabývá i hodnoty
$y$. Potom tedy musí platit
\[
\Bigl( \exists \{x'''_n\}_{n\geq1} \in \pi \Bigr) \Bigl( \phi(x'''_n) = y \Bigr).
\]
Odtud zřejmě $\lim\limits_{n\to\infty} [x'''_n,\phi(x'''_n)] = \col{\beta}{y}$ a tedy $\col{\beta}{y}$ je hromadný bod grafu $\phi$, což jsme chtěli dokázat.
\end{proof}
\end{corollary}
Ukázali jsme, že všechny body úsečky
\[
M = \Big\{ \COL{\beta}{y} \ \Big\vert \ y \in \left[ P,Q \right] \Big\}
\]
jsou hromadnými body grafu $\phi$. Z~předpokladu $\neg(3)$\footnote{tj.~$\neg\left(\rho(\col{x}{\phi(x)},\partial\Gamma)\xrightarrow{x\to\beta_-}0\right)$.}
plyne, že graf funkce $\phi$ se neblíží k~hranici $\partial\Gamma$. Situace je zachycena na obr.~\ref{fig:kprodlem2}.
Zřejmě každý bod úsečky $M$ leží buď v~$\Gamma$ anebo v~$\partial\Gamma$, není však možné, aby všechny tyto body ležely v~$\partial\Gamma$ (to by byl
spor s~$\neg (3)$).
Zvolme libovolné $y_0 \in (P,Q)$ tak, aby $\col{\beta}{y_0} \in \Gamma$. Okolo bodu $\col{\beta}{y_0}$ sestrojíme obdélník (viz~obr.~\ref{fig:kprodlem2})
\[
D = \left[ \beta-\delta_1,\beta \right] \times \left[ y_0-\epsilon_1,y_0+\epsilon_1 \right],
\]
kde konstanty $\epsilon_1,\delta_1$ volíme tak, aby $D\subset\Gamma$. Označme dále
\[
B = \max \Big\{ \abs{f(x,y)} \ \Big\vert \ \COL{x}{y} \in D \Big\}.
\]
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=1.0]{k_prodl_lemma_2.pdf}
\caption{Ke konstrukci obdélníku $D\subset\Gamma$.}
\label{fig:kprodlem2}
\end{figure}
Potom
\[
\Bigl( \exists \{x'_n\}_{n\geq1}, \{x''_n\}_{n\geq1} \in \pi \Bigr) \Bigl(\forall n\in\N\Bigr) \Bigl( \phi(x'_n) = y_0-\epsilon_1 \wedge \phi(x''_n) = y_0+\epsilon_1 \Bigr).
\]
Zvolme $\delta>0$ tak, že $\delta<\delta_1 \wedge \delta<\epsilon_1/2B$. Potom
\[
\Bigl(\exists n_0\Bigr) \Bigl(\forall n>n_0\Bigr) \Bigl( x'_n,x''_n \in (\beta-\delta,\beta) \Bigr)
\]
a přitom platí
\[
\abs{\phi(x'_n) - \phi(x''_n)} = 2\epsilon_1.
\]
Protože však $\phi$ je řešením, musí zároveň platit
\[
\abs{\phi(x'_n) - \phi(x''_n)} = \ub{\abs{\phi'(\xi_n)}}_{=\abs{f(\xi_n,\phi(\xi_n))} \leq B} \ub{\abs{x'_n - x''_n}}_{<\delta} < B\delta < \frac{\epsilon_1}{2}.
\]
Odtud $\abs{\phi(x'_n) - \phi(x''_n)} = 2\epsilon_1 < \frac{\epsilon_1}{2}$, což je spor.
Potom tedy $P=Q$ a $\lim\limits_{x\to\beta_-} \phi(x) \in \R$.
\end{proof}
\end{lemma}
\begin{remark}
Je-li $\Gamma\subset\R^2$ omezená oblast, potom
\begin{enumerate}[(1)]
\item $\alpha,\beta \in \R \Rightarrow \neg (1)$,
\item $\abs{\phi(x)} \text{ omezené } \Rightarrow \neg (2)$.
\end{enumerate}
Může tedy nastat pouze podmínka (3).
\end{remark}
\begin{theorem}
Nechť $\Gamma\subset\R^2$ je oblast, $f \in \Cc(\Gamma)$, $\col{x_0}{y_0} \in \Gamma$. Potom existuje alespoň jedno neprodloužitelné řešení úlohy \eqref{eq:poculo}.
% NOVÝ DŮKAZ
\begin{proof}
Opakovaně využijeme Peanovy věty a její konstrukce. Řešení budeme prodlužovat bez újmy na obecnosti doprava. Definujme
\[
E_n = \left\{ \COL{x}{y} \in \Gamma \ \Big| \ \abs{x-x_0} < n, \ \abs{y-y_0} < n, \rho ( \COL{x}{y},\partial \Gamma) > \frac{1}{n} \right\}.
\]
Potom platí $\overline{E}_n \subset E_{n+1}$ a dále
\begin{eqnarray*}
&&\Bigl( \forall n \in \N \Bigr) \Bigl( \COL{x_0}{y_0} \in E_n \Bigr), \\
&&\Bigl( \forall n \in \N \Bigr) \Bigl( \exists M_n > 0 \Bigr) \Bigl( \forall \COL{x}{y} \in E_n \Bigr) \Bigl( \abs{f(x,y)} \leq M_n \Bigr).
\end{eqnarray*}
V~$E_1$ lze pomocí Peanovy věty sestrojit řešení $\psi$ definované na intervalu $\left[ x_0-\tilde{a},x_0+\tilde{a} \right]$. Prodlužováním tohoto
řešení stejnou konstrukcí lze získat řešení $\phi$ na intervalu $\left[ x_0,a_0 \right]$ tak, že $\col{a_0}{\phi(a_0)} \notin \ol{E}_1$ (kdyby
to nešlo, tj.~kdyby neprodloužitelné řešení $\phi$ bylo celé v~$\ol{E}_1$, pak by bylo omezené a daleko od $\partial \Gamma$, což by byl spor s~větou
\ref{theo:krit_prodl}).
Bod $\col{a_0}{\phi(a_0)} \in \Gamma$. Nechť $n_1$ je nejmenší index takový, že $\col{a_0}{\phi(a_0)} \in \ol{E}_{n_1}$. Vezmeme tento bod za počáteční podmínku
a (opakovanou) Peanovou konstrukcí $\phi$ prodloužíme na $\left[ x_0,a_1 \right]$ tak, že $\col{a_1}{\phi(a_1)} \notin \ol{E}_{n_1}$.
Bod $\col{a_1}{\phi(a_1)} \in \Gamma$. Nechť $n_2$ je nejmenší index takový, že $\col{a_1}{\phi(a_1)} \in \ol{E}_{n_2}$. Opakovaně prodloužíme na
$\left[ x_0,a_2 \right]$ tak, že $\col{a_2}{\phi(a_2)} \notin \ol{E}_{n_2}$.
Takto sestrojíme posloupnosti $\{ n_k \}_{k \geq 1}$, $\{ a_k \}_{k \geq 1}$ rostoucí,
tj.~$\exists \lim\limits_{k \to \infty} a_k \in \R \cup \{ +\infty \}$
a přitom
\[
\Bigl( \forall k \in \N \Bigr) \Bigl( \COL{a_k}{\phi(a_k)} \notin \ol{E}_{n_k} \Bigr)
\]
a řešení $\phi$ je prodlouženo na interval $\left[ x_0, \lim\limits_{k \to \infty} a_k \right]$. Označme $\ol{a} = \lim\limits_{k \to \infty} a_k$.
Nechť neplatí ani jedna z~podmínek věty \ref{theo:krit_prodl} (tj.~platí $\neg (1) \wedge \neg (2) \wedge \neg (3)$). Potom, podle lemmatu
\ref{lem:k_prodl}, existuje
$\lim\limits_{k \to \infty} \col{a_k}{\phi(a_k)}$ a je rovna $[\ol{a},\phi(\ol{a})] \in \Gamma$ a tedy
\[
\Bigl( \exists \rho_0 > 0 \Bigr) \Bigl( \ol{B}([\ol{a},\phi(\ol{a})],\rho_0) \subset \Gamma \Bigr).
\]
Pak
\[
\Bigl( \exists d_0 > 0 \Bigr) \Bigl( \exists k_0 \Bigr) \Bigl( \forall k>k_0 \Bigr) \Bigl( \COL{a_k}{\phi(a_k)} \in B([\ol{a},\phi(\ol{a})],\rho_0)
\ \wedge \ \rho([ \COL{a_k}{\phi(a_k)},\partial\Gamma) > d_0 \Bigr).
\]
Navíc
\[
\Bigl( \exists k_1 \Bigr) \Bigl( \forall k>k_1 \Bigr) \Bigl( d_0 > \frac{1}{n_k} \ \wedge \ \abs{x_0 - \ol{a}} + \rho_0 + \abs{y_0 - \phi(\ol{a})} < n_k \Bigr).
\]
Pak ovšem
\[
\Bigl( \forall k > \max \{ k_0,k_1 \} \Bigr) \Bigl( \COL{a_k}{\phi(a_k)} \in E_{n_k} \Bigr),
\]
což je spor s~předpokladem $\neg (1) \wedge \neg (2) \wedge \neg (3)$. Z~věty \ref{theo:krit_prodl} pak plyne, že $\phi$ je neprodloužitelné.
\end{proof}
% PŮVODNÍ DŮKAZ Z PŘEDNÁŠKY (2009/2010)
% \begin{proof}
% Je dáno $[x_0,y_0]\in\Gamma$. Z~Peanovy věty \ref{theo:peano} plyne existence řešení $\phi_0$ na intervalu $\left[ x_0-a_0,x_0+a_0 \right]$. Obor hodnot
% $\phi_0$ je interval $\left[ y_0-b_0,y_0+b_0 \right]$, kde $a_0 M_0 \leq b_0$. Označme $x_1 = x_0+a_0$ a $y_1 = \phi_0 (x_1)$. Analogicky bychom postupovali
% pro bod $x_0-a_0$.
%
% Zformulujeme úlohu $y'=f(x,y)$, $y(x_1)=y_1$. Z~Peanovy věty plyne existence řešení $\phi_1$ definovaného na $\left[ x_1-a_1,x_1+a_1 \right]$ s~hodnotami
% v~intervalu $\left[ y_1-b_1,y_1+b_1 \right]$, kde $a_1 M_1 \leq b_1$.
%
% V~$k$-tém kroku tedy položme $x_k = x_{k-1} + a_{k-1}$, $y_k = \phi_{k-1}(x_k)$. Z~Peanovy věty máme opět zaručenu existenci řešení $\phi_k$ úlohy
% $y'=f(x,y)$, $y(x_k)=y_k$ definovaného na intervalu $\left[ x_k-a_k,x_k+a_k \right]$ s~hodnotami v~intervalu $\left[ y_k-b_k,y_k+b_k \right]$, kde
% $a_k M_k \leq b_k$.
%
% Protože posloupnost $\{x_k\}_{k\geq1}$ je monotonní, má zřejmě i limitu. Označme
% \[
% \beta = \lim\limits_{k\to+\infty} x_k.
% \]
% Potom zřejmě $\forall x \in \left[ x_0,\beta )$ existuje $k_0$ tak, že $x \in \left[ x_0,x_{k_0}+a_{k_0} \right]$. Definujme funkci $\phi$
% \[
% \phi(x) = \phi_{k_0}(x),
% \]
% která řeší úlohu \eqref{eq:poculo} na $\left[ x_0,\beta )$. Je zřejmé, že analogickou úvahou při rozšiřování doleva bychom
% získali bod $\alpha$ a sestrojili bychom řešení $\phi$ úlohy \eqref{eq:poculo} definované na intervalu $(\alpha,\beta)$.
%
% Zajímá nás, zda je $\phi$ neprodloužitelné. Pokud je splněna alespoň jedna z~podmínek (1), (2) nebo (3), je řešení $\phi$ neprodloužitelné. Zbývá vyšetřit
% případ, kdy není splněna ani jedna z~podmínek (1), (2) a (3), tj.~nechť platí $\neg (1) \wedge \neg (2) \wedge \neg (3)$. Z~lemmatu \ref{lem:k_prodl} plyne
% \[
% \exists \lim_{x\to\beta_-} \phi(x) \stackrel{\text{ozn.}}{=} B \in \R.
% \]
% Z~$\neg (1)$ plyne, že $\beta\in\R$ a tedy, přidáme-li předpoklad $\neg (3)$, $[\beta,B]\in\Gamma$. Potom lze zřejmě řešit úlohu
% \begin{eqnarray*}
% y' &=& f(x,y), \\
% y(\beta) &=& B.
% \end{eqnarray*}
% Z~Peanovy věty \ref{theo:peano} plyne existence řešení $\tilde{\phi}$ na $\left[ \beta-\tilde{a},\beta+\tilde{a} \right]$ s~hodnotami v~intervalu
% $\left[ B-\tilde{b},B+\tilde{b} \right]$, kde $\tilde{a} \tilde{M} \leq \tilde{b}$. Zřejmě tedy $\tilde{\phi}$ prodlužuje řešení $\phi$ za bod $\beta$, což
% je spor s~konstrukcí bodu $\beta$\footnote{Tady může taky být problém -- podle Peanovy věty lze volit $a_k$ malé a v~každém dalším kroku o~tolik menší než v~předchozím kroku, že posloupnost $\{x_k\}$ nepřeleze určitou pevnou mez, přitom při jiné volbě $a_k$ by tu mez přelezla.}.
% Situace $\neg (1) \wedge \neg (2) \wedge \neg (3)$ tedy nemůže nastat a $\phi$ je neprodloužitelné.
% \end{proof}
\end{theorem}
% ****************************************************************************************************************************
% PODSEKCE: Věta o hladkosti a o spojité závislosti na datech
% ****************************************************************************************************************************
\subsection{Věta o~hladkosti a o~spojité závislosti na datech}
\begin{theorem}[o~hladkosti, resp.~o~tzv.~regularitě]
Nechť $f=f(x,y)$ má na $\Gamma$ spojité derivace vzhledem k~$x$ a $y$ řádu $p \geq 0$. Pak řešení úlohy \eqref{eq:poculo} má spojité derivace podle $x$ řádu $p+1$.
\begin{proof}
Řešíme úlohu
\begin{eqnarray*}
y' &=& f(x,y), \\
y(x_0) &=& y_0,
\end{eqnarray*}
kde $f \in \Cc^{(p)}(\Gamma)$, $p \geq 0$. Důkaz se provede neúplnou matematickou indukcí podle $k \leq p$.
Zvolme $k=0$. Potom z~Peanovy věty \ref{theo:peano} máme řešení $\phi=\phi(x)$ na $\left[ x_0-a,x_0+a \right]$, a platí $\phi'(x) = f(x,\phi(x))$ pro
$\forall x \in \left( x_0-a,x_0+a\right) $. Funkce $\phi$ je tedy spojitá ($f$ je také spojitá), a~tedy $f(x,\phi(x))$ je také spojitá. Odtud zřejmě $\phi'$ je
spojitá, což znamená $\phi \in \Cc^{(1)}$.
Předpokládejme, že tvrzení věty platí, pro $0 \leq k-1 < p$ a dokažme jej i pro $k$. Víme tedy, že $\phi \in \Cc^{(k)} \wedge f \in \Cc^{(k)}$. Potom zřejmě
$\phi'(x) = f(x,\phi(x)) \in \Cc^{(k)}$, a tedy $\phi \in \Cc^{(k+1)}$.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Následovat by měla věta o~spojité závislosti na datech. Při jejím dokazování však narazíme na nerovnost, s~níž se ještě setkáme i v~dalších částech textu.
Připravíme si pro ni proto zvláštní způsob zpracování -- pomocí tzv.~Grönwallova lemmatu.
\end{remark}
\begin{lemma}[Grönwallovo\footnote{\textbf{Thomas Hakon Grönwall} (1877--1932), švédský matematik.}]
\label{lem:gronwall}
\index{lemma!Grönwallovo}
Nechť $u : \left[ x_0-a,x_0+a \right] \to \Rop$ je spojitá a nechť $\forall x \in \left[ x_0-a,x_0+a \right]$ platí
\[
u(x) \leq \alpha + \int_{x_0}^{x} \beta u(\xi) \dif \xi,
\]
kde $\alpha,\beta \geq 0$.
Potom $\forall x \in \left[ x_0,x_0+a \right]$ platí
\[
u(x) \leq \alpha + \int_{x_0}^{x} \beta u(\xi) \dif \xi \leq \alpha \me^{\beta(x-x_0)}.
\]
\begin{proof}
Označme
\[
v(x) = \alpha + \int_{x_0}^{x} \beta u(\xi) \dif \xi.
\]
Funkce $v$ je zřejmě spojitě diferencovatelná a pro její derivaci platí
\[
v'(x) = \beta u(x) \leq \beta v(x).
\]
Dostali jsme diferenciální nerovnost, kterou po snadné úpravě a po vynásobení kladným výrazem $\me^{-\beta(x-x_0)}$ převedeme na tvar
\[
v'(x)\me^{-\beta(x-x_0)} - \beta v(x) \me^{-\beta(x-x_0)} = \frac{\dif}{\dif x} \left( v(x) \me^{-\beta(x-x_0)}\right) \leq 0.
\]
Tuto nerovnost můžeme integrovat (v~mezích $x_0$ až $x$). Z~věty o~nerovnostech v~integrálech (\cite[Věta 6.12]{rudin1}) plyne, že nerovnost mezi integrandy se
po integraci zachová. Dostaneme tedy
\[
v(x) \me^{-\beta(x-x_0)} - v(x_0) \leq 0,
\]
odkud
\[
v(x) \leq \ub{v(x_0)}_{=\alpha} \me^{\beta(x-x_0)} = \alpha \me^{\beta(x-x_0)}.
\]
Potom tedy platí
\[
u(x) \leq v(x) \leq \alpha \me^{\beta(x-x_0)},
\]
čímž je důkaz lemmatu ukončen.
\end{proof}
\end{lemma}
\begin{remark}
\label{rmrk:gronwall}
Snadno si také rozmyslíme, že lze vyslovit i následující tvrzení.
Nechť $u : \left[ x_0-a,x_0+a \right] \to \Rop$ je spojitá a nechť $\forall x \in \left[ x_0-a,x_0+a \right]$ platí
\[
u(x) \leq \alpha + \Bigg| \int_{x_0}^{x} \beta u(\xi) \dif \xi \Bigg|,
\]
kde $\alpha,\beta \geq 0$.
Potom $\forall x \in \left[ x_0-a,x_0+a \right]$ platí
\[
u(x) \leq \alpha \me^{\beta \abs{x-x_0}}.
\]
% \begin{proof}
% ~
%
% \begin{enumerate}[(1)]
%%\item <x_0,x_0+a>
% \item Nechť $x\in\left[ x_0,x_0+a \right]$. Z~Grönwallova lemmatu pak přímo plyne
% \[
% u(x) \leq \alpha \me^{\beta(x-x_0)} = \alpha \me^{\beta \abs{x-x_0}}.
% \]
%
%%\item <x_0-a,x_0>
% \item Uvažme případ $x\in\left[ x_0-a,x_0 \right]$. Danou nerovnost lze nyní přepsat do tvaru
% \[
% u(x) \leq \alpha + \int_x^{x_0} \beta u(\xi) \dif \xi.
% \]
% V~analogii s~důkazem Grönwallova lemmatu položme
% \[
% v(x) = \alpha + \int_x^{x_0} \beta u(\xi) \dif \xi.
% \]
% Potom
% \[
% v'(x) = -\beta u(x) \geq -\beta v(x).
% \]
% Snadnou úpravou získáme nerovnost
% \[
% 0 \leq v'(x) \me^{-\beta(x_0-x)} + \beta v(x) \me^{-\beta(x_0-x)} = \frac{\dif}{\dif x} \left( v(x) \me^{-\beta(x_0-x)} \right).
% \]
% Integrací tohoto vztahu od $x$ do $x_0$ dostaneme
% \[
% 0 \leq v(x_0) - v(x) \me^{-\beta(x_0-x)},
% \]
% odkud
% \[
% u(x) \leq v(x) \leq \ub{v(x_0)}_{=\alpha} \me^{\beta(x_0-x)} = \alpha \me^{\beta \abs{x-x_0}}.
% \]
% \end{enumerate}
% \end{proof}
\end{remark}
\begin{theorem}[o~spojité závislosti na datech]
Nechť $\Gamma\subset\R^2$ je oblast, nechť
\[
\Fs = \Big\{ f:\Gamma\to\R \ \Big\vert \ f \text{ je spojitá }, \abs{f(x,y)} \leq M \text{ na } \Gamma, \abs{f(x,y) - f(x,\ol{y})} \leq L\abs{y-\ol{y}} \Big\},
\]
kde $M,L>0$. Nechť $\col{x_0}{y_0}\in\Gamma$, $y=y(x)$ řeší úlohu \eqref{eq:poculo} pro $f\in\Fs$ a je definováno na intervalu $\left[ x_0-a,x_0+a \right]$.
Potom $\Bigl(\forall\epsilon>0\Bigr) \Bigl(\exists\delta>0\Bigr) \Bigl(\forall\ol{x}_0\in(x_0-a,x_0+a)\Bigr) \Bigl(\forall\ol{y}_0\in\R\Bigr) \Bigl(\forall\ol{f}\in\Fs\Bigr)$: \\
pokud $\Bigl(\abs{\ol{x}_0-x_0}<\delta\Bigr) \wedge \Bigl(\abs{\ol{y}_0-y_0}<\delta\Bigr) \wedge \Bigl(\forall\COL{x}{y}\in\Gamma\Bigr) \Bigl(\abs{\ol{f}(x,y)-f(x,y)}<\delta\Bigr)$, \\
pak $\Bigl(\forall x\in(x_0-a,x_0+a)\Bigr) \Bigl(\abs{\ol{y}(x)-y(x)}<\epsilon\Bigr)$, kde $\ol{y}=\ol{y}(x)$ řeší úlohu $y'=\ol{f}(x,y)$, $y(\ol{x}_0) = \ol{y}_0$.
\begin{proof}
Nechť $\col{x_0}{y_0}\in\Gamma$. Potom zřejmě existuje okolí $U$ takové, že $\col{x_0}{y_0} \in U \subset \ol{U} \subset \Gamma$. V~blízkosti bodu $\col{x_0}{y_0}$ zvolíme
bod $\col{\ol{x}_0}{\ol{y}_0}$ tak, aby ležel v~obdélníku sestrojeném během Eulerovy konstrukce okolo bodu $\col{x_0}{y_0}$ (viz~obr.~\ref{fig:kestab}).
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=1.0]{ke_spoj_zav_na_datech.pdf}
\caption{K~důkazu věty o~spojité závislosti na datech.}
\label{fig:kestab}
\end{figure}
Potom počáteční úlohy
\parbox{7cm}{\begin{eqnarray*} y' &=& f(x,y) \\ y(x_0) &=& y_0 \end{eqnarray*}}
\hfill a \hfill
\parbox{7cm}{\begin{eqnarray*} y' &=& \ol{f}(x,y) \\ y(\ol{x}_0) &=& \ol{y}_0 \end{eqnarray*}}\linebreak
mají jednoznačně určená řešení definovaná na intervalu $\left[ x_0-a,x_0+a \right]$, která označíme postupně $y=y(x)$ a $\ol{y} = \ol{y}(x)$. Tyto funkce tedy
splňují na intervalu $(x_0-a,x_0+a)$ rovnosti
\parbox{7cm}{\begin{eqnarray*} y'(x) &=& f(x,y(x)) \\ y(x_0) &=& y_0 \end{eqnarray*}}
\hfill a \hfill
\parbox{7cm}{\begin{eqnarray*} (\ol{y})'(x) &=& \ol{f}(x,\ol{y}(x)) \\ \ol{y}(\ol{x}_0) &=& \ol{y}_0 \end{eqnarray*}}
Po integraci uvedených rovnic s~přihlédnutím k~počátečním podmínkám obdržíme rovnice
\begin{eqnarray*}
y(x) &=& y_0 + \int_{x_0}^{x} f(\xi,y(\xi)) \dif \xi, \\
\ol{y}(x) &=& \ol{y}_0 + \int_{\ol{x}_0}^{x} \ol{f}(\xi,\ol{y}(\xi)) \dif \xi.
\end{eqnarray*}
Snadno si rozmyslíme, že integrály na pravé straně uvedených rovnic jsou vlastní Riemannovy. Jejich odečtením dostaneme
\begin{eqnarray*}
y(x) - \ol{y}(x) &=& y_0 - \ol{y}_0 + \int_{x_0}^{x} f(\xi,y(\xi)) \dif \xi - \int_{\ol{x}_0}^{x} \ol{f}(\xi,\ol{y}(\xi)) \dif \xi \\
&=& y_0 - \ol{y}_0 + \int_{x_0}^{x} \Bigl[ f(\xi,y(\xi)) - \ol{f}(\xi,\ol{y}(\xi)) \Bigr] \dif \xi + \int_{x_0}^{\ol{x}_0} \ol{f}(\xi,\ol{y}(\xi)) \dif \xi.
\end{eqnarray*}
Výraz $y(x)-\ol{y}(x)$ budeme chtít odhadnout. Proto si připravíme odhady pro jednotlivé výrazy na pravé straně.
\begin{enumerate}[(a)]
\item Zřejmě lze volit $\abs{y_0-\ol{y}_0}<\delta$, kde $\delta>0$.
\item Protože $\ol{f} \in \Fs$ a lze volit $\abs{x_0-\ol{x}_0}<\delta$, platí odhad
\[
\abs{\int_{x_0}^{\ol{x}_0} \ol{f}(\xi,\ol{y}(\xi)) \dif \xi} \leq \abs{\int_{x_0}^{\ol{x}_0} \ub{\abs{\ol{f}(\xi,\ol{y}(\xi))}}_{\leq M} \dif \xi}
\leq M \ub{\abs{x_0-\ol{x}_0}}_{<\delta}.
\]
\item Při odhadu prostředního členu využijeme toho, že při konstrukci, podle předpokladů věty, rovnou požadujeme splnění podmínky
\[
\Bigl(\forall\COL{x}{y}\in\Gamma\Bigr) \Bigl(\abs{\ol{f}(x,y)-f(x,y)}<\delta\Bigr).
\]
Označme $A = \abs{\int_{x_0}^{x} \bigl[ f(\xi,y(\xi)) - \ol{f}(\xi,\ol{y}(\xi)) \bigr] \dif \xi}$. Protože $f\in\Fs$, platí
\begin{eqnarray*}
% \abs{\int_{x_0}^{x} \Bigl[ f(\xi,y(\xi)) - \ol{f}(\xi,\ol{y}(\xi)) \Bigr] \dif \xi}
A &\leq& \abs{\int_{x_0}^{x} \abs{f(\xi,y(\xi)) - \ol{f}(\xi,\ol{y}(\xi))} \dif \xi} \\
&\leq& \abs{\int_{x_0}^{x} \ub{\abs{f(\xi,y(\xi)) - f(\xi,\ol{y}(\xi))}}_{\leq L\abs{y(\xi)-\ol{y}(\xi)}} \dif \xi} + \abs{\int_{x_0}^{x} \ub{\abs{f(\xi,\ol{y}(\xi)) - \ol{f}(\xi,\ol{y}(\xi))}}_{<\delta} \dif \xi} \\
&\leq& L \abs{\int_{x_0}^{x} \abs{y(\xi) - \ol{y}(\xi)} \dif \xi} + \delta \ub{\abs{x-x_0}}_{\leq a}.
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}
Potom zřejmě platí následující odhad
\[
\abs{y(x) - \ol{y}(x)} \leq \delta + M\delta + a\delta + L \abs{\int_{x_0}^{x} \abs{y(\xi) - \ol{y}(\xi)} \dif \xi}.
\]
Označíme-li $u(x) = \abs{y(x)-\ol{y}(x)}$ ($u$ je zřejmě spojitá a nezáporná na $\left[ x_0-a,x_0+a \right]$), můžeme výše uvedenou nerovnost přepsat
do tvaru
\[
u(x) \leq (1+M+a) \delta + L \Bigg| \int_{x_0}^{x} u(\xi) \dif\xi \Bigg|.
\]
Z~Grönwallova lemmatu \ref{lem:gronwall}, resp.~z~poznámky \ref{rmrk:gronwall}, potom $\forall x\in\left[ x_0-a,x_0+a \right]$ platí
\[
\abs{y(x) - \ol{y}(x)} \leq (1+M+a) \ \delta \ \me^{L \abs{x-x_0}} \leq (1+M+a) \ \delta \ \me^{La}.
\]
Potom pro libovolné $\epsilon>0$ klademe
\[
\delta = \frac{\epsilon}{1+M+a} \me^{-La}
\]
a, volíme-li $\abs{\ol{x}_0-x_0}<\delta$, $\abs{\ol{y}_0-y_0}<\delta$ a lib.~$\ol{f}\in\Fs$ takovou, že $\abs{f(x,y)-\ol{f}(x,y)}<\delta$, pak
$\forall x \in \left[ x_0-a,x_0+a \right]$ platí, že $\abs{y(x)-\ol{y}(x)}<\epsilon$, což jsme chtěli dokázat.
\end{proof}
\end{theorem}
% ****************************************************************************************************************************
% SEKCE: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu
% ****************************************************************************************************************************
\section{Soustavy diferenciálních rovnic 1.~řádu}
\begin{define}
\index{soustava diferenciálních rovnic}
Nechť $F = (F^1,\ldots,F^n)$, kde $F^k : (\R^{1+n+n}) \to \R$, $k\in\widehat{n}$.
Potom soustava
\begin{equation}
\label{eq:sysdr}
\begin{array}{rcl}
F^1 \left( x,y^1,\ldots,y^n,\dfrac{\dif y^1}{\dif x},\ldots,\dfrac{\dif y^n}{\dif x} \right) & = & 0 \\
&\vdots& \\
F^n \left( x,y^1,\ldots,y^n,\dfrac{\dif y^1}{\dif x},\ldots,\dfrac{\dif y^n}{\dif x} \right) & = & 0
\end{array}
\end{equation}
pro neznámou vektorovou funkci $y=(y^1,\ldots,y^n)$, kde $y^k : (\R) \to \R$, $k\in\widehat{n}$ se nazývá \textbf{soustava diferenciálních rovnic 1.~řádu}.
\end{define}
\begin{remark}
Libovolný systém vyššího řádu (tím máme na mysli, že na levé straně soustavy \eqref{eq:sysdr} by vystupovaly netriviálně i derivace vyšších řádů), lze
převést na systém 1.~řádu. Uvažme následující soustavu diferenciálních rovnic řádu $k\in\N$
\begin{eqnarray*}
F^1 \left( x,y^1,\ldots,y^n,\frac{\dif y^1}{\dif x},\ldots,\frac{\dif y^n}{\dif x},\ldots,\frac{\dif^k y^1}{\dif x^k},\ldots,\frac{\dif^k y^n}{\dif x^k} \right) & = & 0 \\
&\vdots& \\
F^n \left( x,y^1,\ldots,y^n,\frac{\dif y^1}{\dif x},\ldots,\frac{\dif y^n}{\dif x},\ldots,\frac{\dif^k y^1}{\dif x^k},\ldots,\frac{\dif^k y^n}{\dif x^k} \right) & = & 0
\end{eqnarray*}
Do této soustavy zavedeme substituci ve tvaru
\[
z^l_j = \frac{\dif^l y^j}{\dif x^l},
\]
pro všechna $j\in\widehat{n}$ a pro všechna $l = 0,1,\ldots,k-1$. Uvedená soustava pak přejde do tvaru
\begin{eqnarray*}
F^1 \left( x,z^0_1,\ldots,z^0_n,z^1_1,\ldots,z^1_n,\ldots,z^{k-1}_1,\ldots,z^{k-1}_n,\frac{\dif z^{k-1}_1}{\dif x},\ldots,\frac{\dif z^{k-1}_n}{\dif x} \right) & = & 0 \\
&\vdots& \\
F^n \left( x,z^0_1,\ldots,z^0_n,z^1_1,\ldots,z^1_n,\ldots,z^{k-1}_1,\ldots,z^{k-1}_n,\frac{\dif z^{k-1}_1}{\dif x},\ldots,\frac{\dif z^{k-1}_n}{\dif x} \right) & = & 0 \\
\end{eqnarray*}
\[
\begin{array}{rclcrcl}
\dfrac{\dif z^0_1}{\dif x} & = & z^1_1, & \ldots, & \dfrac{\dif z^0_n}{\dif x} & = & z^1_n \\
&\vdots& & & & \\
\dfrac{\dif z^{k-2}_1}{\dif x} & = & z^{k-1}_1, & \ldots, & \dfrac{\dif z^{k-2}_n}{\dif x} & = & z^{k-1}_n
\end{array}
\]
což už je soustava 1.~řádu.
\end{remark}
\begin{define}
\label{eq:sysdrnorm}
\index{soustava diferenciálních rovnic!v~normálním tvaru}
Nechť $f=(f^1,\ldots,f^n)$, kde $f^k : (\R^{1+n})\to\R$, $k\in\widehat{n}$. Pak soustava
\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
\dfrac{\dif y^1}{\dif x} & = & f^1 \left( x,y^1,\ldots,y^n \right) \\
% \dfrac{\dif y^2}{\dif x} & = & f^2 \left( x,y^1,\ldots,y^n \right) \\
&\vdots& \\
\dfrac{\dif y^n}{\dif x} & = & f^n \left( x,y^1,\ldots,y^n \right) \\
\end{array}
\end{equation}
se nazývá \textbf{soustava diferenciálních rovnic 1.~řádu v~normálním tvaru} s~vektorovým zápisem
\begin{equation}
y' = f(x,y),
\end{equation}
pro neznámou vektorovou funkci $y=(y^1,\ldots,y^n)$.
\end{define}
\begin{define}
\index{řešení!diferenciální rovnice}
Vektorová funkce $y : I\to\R^n$, $I\subset\R$ je otevřený interval, je \textbf{řešením} soustavy \eqref{eq:sysdrnorm} právě tehdy, když splňuje \eqref{eq:sysdrnorm}
$\forall x \in I$ (tj.~bodově).
\end{define}
\begin{define}
\index{podmínka!Lipschitzova}
Nechť funkce $g=g(x,y^1,\ldots,y^n)$ je definována na $A\subset\R^{1+n}$ ($g : A \to \R$). Říkáme, že \textbf{$g$ splňuje na $A$ Lipschitzovu podmínku vzhledem
k~$y^1,\ldots,y^n$ s~konstantou $L>0$} právě tehdy, když platí
\[
% \Bigl( \forall (x,y^1,\ldots,y^n) \in A \Bigr) \Bigl( \forall (x,\hat{y}^1,\ldots,\hat{y}^n) \in A \Bigr)
\Bigl( \forall (x,y^1,\ldots,y^n),(x,\hat{y}^1,\ldots,\hat{y}^n) \in A \Bigr)
\Bigl( \abs{g(x,y^1,\ldots,y^n)-g(x,\hat{y}^1,\ldots,\hat{y}^n)} \leq L \sum_{k=1}^n \abs{y^k-\hat{y}^k} \Bigr).
\]
Říkáme, že funkce $g$ splňuje na $A$ Lipschitzovu podmínku \textbf{lokálně} právě tehdy, když pro každý bod $(x_0,y^1_0,\ldots,y^n_0) \in A$ existuje
jeho okolí $H \subset A$ tak, že $g$ splňuje na $H$ Lipschitzovu podmínku vzhledem k~$y^1,\ldots,y^n$ s~konstantou $L>0$.
\end{define}
\begin{remark}
Pokud $A$ je otevřená a $\dfrac{\partial g}{\partial y^j} \in \Cc(A)$, $j\in\widehat{n}$, pak $g$ splňuje na $A$ lokálně Lipschitzovu podmínku.
\end{remark}
\begin{theorem}[o~existenci a jednoznačnosti řešení počáteční úlohy]
Nechť $\Gamma\subset\R^{1+n}$ je oblast, $f : \Gamma\to\R^n$, $f \in \Cc(\Gamma)$ a
\[
\Bigl( \forall j,k\in\widehat{n} \Bigr) \left( \frac{\partial f^k}{\partial y^j} \in \Cc(\Gamma) \right).
\]
Nechť dále $\col{x_0}{y_0}\in\Gamma$.
Potom existuje $\delta>0$ a $\phi : (x_0-\delta,x_0+\delta) \to \R^n$ tak, že funkce $\phi=\phi(x)$ řeší počáteční úlohu s~vektorovým zápisem
\begin{equation}
\label{eq:poculo2}
\begin{array}{r@{ \ = \ }l}
y' & f(x,y), \\
y(x_0) & y_0.
\end{array}
\end{equation}
Pokud $I\subset\R$ je otevřený, $x_0 \in I$, $\psi : I\to\R^n$ je řešení \eqref{eq:poculo2}, potom platí
\[
\Bigl( \forall x \in I \cap (x_0-\delta,x_0+\delta) \Bigr) \Bigl( \phi(x) = \psi(x) \Bigr).
\]
\end{theorem}
\begin{remark}
\label{rmrk:sysdr_ex_jedn}
Důkaz právě uvedené věty vynecháváme. Analogický důkaz bude proveden pro větu o~existenci a jednoznačnosti řešení počáteční úlohy pro soustavu lineárních
diferenciálních rovnic. Postup důkazu však shrneme do krátkého komentáře.
Je třeba dokázat existenci a jednoznačnost. Zabývejme se nejdříve existencí řešení počáteční úlohy \eqref{eq:poculo2}. Existence se dokazuje pomocí
tzv.~\textbf{Picardových}\footnote{\textbf{Charles Émile Picard} (1856--1941), francouzský matematik.} \textbf{iterací}. Snadno si rozmyslíme,
že funkce $\phi=\phi(x)$ je řešením úlohy \eqref{eq:poculo2} právě tehdy, vyhovuje-li integrální rovnici (ve vektorovém tvaru)
\[
y = y_0 + \int_{x_0}^x f(\xi,y) \dif\xi.
\]
Nechť je funkce $\phi$ řešením úlohy \eqref{eq:poculo2}. Potom zřejmě platí $\phi'(x)=f(x,\phi(x))$. Integrací této rovnosti, s~přihlédnutím k~počátečním
podmínkám, přejdeme ke tvaru
\[
\phi(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(\xi,\phi(\xi)) \dif\xi.
\]
Odtud tedy plyne, že řešení úlohy \eqref{eq:poculo2} vyhovuje i uvedené integrální rovnici (tato rovnice v~sobě automaticky zahrnuje i příslušné počáteční
podmínky). Naopak nechť funkce $\phi$ splňuje uvedenou integrální rovnici. Potom je $\phi$ zřejmě diferencovatelná a také vyhovuje počátečním podmínkám
úlohy \eqref{eq:poculo2}. Derivací integrální rovnosti pak dostaneme rovnost $\phi'(x)=f(x,\phi(x))$, tj.~funkce $\phi$ je řešením úlohy \eqref{eq:poculo2}.
Nyní provedeme Picardovy iterace. Budeme pracovat na intervalu $(x_0-\delta,x_0+\delta)$, kde parametr $\delta$ se blíže určí v~průběhu důkazu. V~prvním
kroku označme
\[
\phi_1(x) = y_0
\]
a položme
\[
\phi_2(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(\xi,\phi_1(\xi))\dif\xi.
\]
Tímto způsobem postupujeme dále. V~$k$-tém kroku tedy položíme
\[
\phi_k(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(\xi,\phi_{k-1}(\xi)) \dif\xi.
\]
Vytváříme tak posloupnost funkcí definovaných na symetrickém intervalu $(x_0-\delta,x_0+\delta)$. O~této posloupnosti ukážeme, že pro vhodné
$\delta>0$ na intervalu $(x_0-\delta,x_0+\delta)$ stejnoměrně konverguje k~limitní funkci $\phi$, která je řešením dané úlohy.
Jednoznačnost se dokazuje pomocí Grönwallova lemmatu.
\end{remark}
% ****************************************************************************************************************************
% SEKCE: Soustavy lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu
% ****************************************************************************************************************************
\section{Soustavy lineárních diferenciálních rovnic 1.~řádu}
\begin{define}
\index{soustava diferenciálních rovnic!lineárních}
Nechť $a_{ij} : (\R)\to\R$, $b_i : (\R)\to\R$. Pak soustava
\begin{equation}
\label{eq:sysdrlin}
\begin{array}{lcr}
\dfrac{\dif y^1}{\dif x} & = & \sum\limits_{j=1}^{n} a_{1j}(x) y^j + b_1 (x) \\
&\vdots& \\
\dfrac{\dif y^n}{\dif x} & = & \sum\limits_{j=1}^{n} a_{nj}(x) y^j + b_n (x)
\end{array}
\end{equation}
se nazývá \textbf{soustava lineárních diferenciálních rovnic 1.~řádu} s~vektorovým zápisem
\[
y' = \mat{A}(x) y + b(x),
\]
pro neznámou vektorovou funkci $y=(y^1,\ldots,y^n)$.
\end{define}
\begin{remark}
Soustavu \eqref{eq:sysdrlin} lze formulovat také pro případ
\begin{eqnarray*}
a_{ij} &:& (\R)\to\C,\\
b_j &:& (\R)\to\C,\\
y^j &:& (\R)\to\C.
\end{eqnarray*}
\end{remark}
\begin{theorem}[o~existenci a jednoznačnosti řešení počáteční úlohy]
\label{theo:exajedn_sysdrlin}
Nechť $I\subset\R$ je otevřený interval, $a_{ij}: I\to\R$, $b_j: I\to\R$ jsou spojité, $x_0 \in I$, $y_0\in\R^n$. Pak úloha
\begin{equation}
\label{eq:poculo3}
\begin{array}{rcl}
y' &=& \mat{A}(x) y + b(x) \\
y(x_0) &=& y_0
\end{array}
\end{equation}
má na $I$ řešení $\phi=\phi(x)$. Je-li $J\subset\R$ otevřený interval, $x_0 \in J$, $\psi : J\to\R^n$ řešení \eqref{eq:poculo3}, pak
\[
\Bigl( \forall x \in I \cap J \Bigr) \Bigl( \phi(x) = \psi(x) \Bigr).
\]
\begin{proof}
Budeme postupovat podle poznámky \ref{rmrk:sysdr_ex_jedn}.
\begin{enumerate}[(1)]
%\item EXISTENCE
\item Nejprve dokážeme existenci. Uvažme, že $\phi : I\to\R^n$ řeší \eqref{eq:poculo3} právě tehdy, když
\[
\phi(x) = y_0 + \int_{x_0}^x \Bigl[ \mat{A}(\xi)\phi(\xi) + b(\xi) \Bigr] \dif\xi.
\]
Položme (Picardovy iterace) pro každé $x \in I$, $k\in\N$
\begin{eqnarray*}
\phi_0(x) & = & y_0, \\
& \vdots & \\
\phi_k(x) & = & y_0 + \int_{x_0}^x \Bigl[ \mat{A}(\xi)\phi_{k-1}(\xi) + b(\xi) \Bigr] \dif\xi.
\end{eqnarray*}
Tak jsme na intervalu $I$ sestrojili vektorovou funkční posloupnost $\{ \phi_k \}_{k\geq1}$. Dále dokážeme následující lemma.
\begin{lemma}
Funkční posloupnost $\{ \phi_k \}_{k\geq1}$ konverguje stejnoměrně na libovolném intervalu $\left[ \alpha,\beta \right] \subset I$ takovém,
že $x_0 \in (\alpha,\beta)$.
\begin{proof}
Zvolme libovolně $\left[ \alpha,\beta \right] \subset I$, $x_0 \in (\alpha,\beta)$. Chceme ukázat, že $\{ \phi_k \}_{k\geq1}$
konverguje na $\left[ \alpha,\beta \right]$ stejnoměrně. K~tomu využijeme Bolzanovo--Cauchyho kritérium (viz např. \cite[Věta 7.8]{rudin1}),
které lze zformulovat ve tvaru
\[
\Bigl( \forall \epsilon>0 \Bigr) \Bigl( \exists k_0\in\N \Bigr) \Bigl( \forall k\in\N, k>k_0 \Bigr) \Bigl( \forall p\in\N \Bigr)
\Bigl( \forall x\in\left[ \alpha,\beta \right] \Bigr) \Bigl( \abs{\phi^i_{k+p}(x) - \phi^i_{k}(x)} < \epsilon \Bigr),
\]
pro všechna $i\in\widehat{n}$.
Dále víme, že funkce $a_{ij}(x)$ a $b_i(x)$ jsou spojité na kompaktním intervalu $\left[ \alpha,\beta \right]$ a jsou tedy omezené, tj.~platí
\[
\Bigl( \exists K>0 \Bigr) \Bigl( \forall i,j\in\widehat{n} \Bigr) \Bigl( \forall x\in\left[ \alpha,\beta \right] \Bigr)
\Bigl( \abs{a_{ij}(x)} \leq K, \abs{b_i(x)} \leq K \Bigr).
\]
Zřejmě také platí
\[
\Bigl( \exists Y > 0 \Bigr) \Bigl( \forall j\in\widehat{n} \Bigr) \Bigl( \abs{y_0^j} \leq Y \Bigr).
\]
Z~B.-C.~kritéria je zřejmé, že budeme muset odhadovat rozdíly tvaru $\abs{\phi^i_{k+1}(x) - \phi^i_k(x)}$. Proto si tyto odhady nejprve připravíme.
Zřejmě $\forall i\in\widehat{n}$ platí
\begin{eqnarray*}
\abs{\phi^i_1(x) - \phi^i_0(x)}
& = & \Bigg| \int_{x_0}^x \Bigl[ \sum_{j=1}^n a_{ij}(\xi) y^j_0 + b_i(\xi) \Bigl] \dif\xi \Bigg|
\leq \Bigg| \int_{x_0}^x \Biggl[ \sum_{j=1}^n \ub{|a_{ij}(\xi)|}_{\leq K} \ \ub{|y^j_0|}_{\leq Y} + \ub{|b_i(\xi)|}_{\leq K} \Biggl] \dif\xi \Bigg| \\
&\leq& \Bigg| \int_{x_0}^x \Bigl[ \sum_{j=1}^n KY + K \Bigl] \dif\xi \Bigg| = (nY+1)K\abs{x-x_0}.
\end{eqnarray*}
Při odhadu $(k+1)$-ního rozdílu dojdeme k~rekurentnímu vztahu $\forall i\in\widehat{n}$
\begin{eqnarray*}
\abs{\phi^i_{k+1}(x) - \phi^i_k(x)}
& = & \Bigg| \int_{x_0}^x \Bigl[ \sum_{j=1}^n a_{ij}(\xi) (\phi^j_k(\xi) - \phi^j_{k-1}(\xi)) \Bigl] \dif\xi \Bigg| \\
&\leq& \Bigg| \int_{x_0}^x \sum_{j=1}^n \ub{\abs{a_{ij}(\xi)}}_{\leq K} \ \abs{\phi^j_k(\xi) - \phi^j_{k-1}(\xi)} \dif\xi \Bigg|.
\end{eqnarray*}
Abychom tuto rekurenci vyřešili, odhadněme nejdříve rozdíl $\abs{\phi^i_2(x) - \phi^i_1(x)}$, který nám pomůže určit tvar řešení. Jeho platnost potom ověříme
prostřednictvím matematické indukce. Zřejmě tedy $\forall i\in\widehat{n}$
\[
\abs{\phi^i_2(x) - \phi^i_1(x)} \leq \Bigg| \int_{x_0}^x (nY+1)K^2\abs{\xi-x_0}n \ \dif\xi \Bigg| = \frac{1}{2} (nK)^2 \left(Y+\frac{1}{n}\right) \abs{x-x_0}^2.
\]
Očekáváme tedy, že platí $\forall i\in\widehat{n}$
\[
\abs{\phi^i_k(x) - \phi^i_{k-1}(x)} \leq \frac{1}{k!} (nK)^k \left(Y+\frac{1}{n}\right) \abs{x-x_0}^k.
\]
Pro $k=1,2$ již máme platnost tohoto vztahu ověřenu. Předpokládejme, že pro $k$ platí a dokažme ji i pro $k+1$. Pro každé $i\in\widehat{n}$
\begin{eqnarray*}
\abs{\phi^i_{k+1}(x) - \phi^i_k(x)}
&\leq& \Bigg| \int_{x_0}^x \sum_{j=1}^n K \frac{1}{k!} (nK)^k \left(Y+\frac{1}{n}\right) \abs{\xi-x_0}^k \ \dif\xi \Bigg| \\
&\leq& \frac{1}{(k+1)!} (nK)^{k+1} \left(Y+\frac{1}{n}\right) \abs{x-x_0}^{k+1}.
\end{eqnarray*}
Tím je platnost našeho odhadu ověřena.
Potom $\forall i\in\widehat{n}$
\begin{eqnarray*}
\abs{\phi^i_{k+p}(x) - \phi^i_k(x)}
&\leq& \sum_{l=1}^p \abs{\phi^i_{k+l}(x) - \phi^i_{k+l-1}(x)} \\
&\leq& \ub{\sum_{l=1}^p \left(Y+\frac{1}{n}\right) \frac{1}{(k+l)!} (nK)^{k+l} \abs{x-x_0}^{k+l}}_{\text{úsek řady SK na lib.~omez.~intervalu}}.
\end{eqnarray*}
Vidíme, že na pravé straně našeho odhadu stojí úsek řady, která je stejnoměrně konvergentní na libovolném omezeném intervalu (poloměr konvergence
této řady je zjevně $+\infty$, stejnoměrná konvergence pak plyne např.~z~\cite[Věta 5.5]{vrana1}). V~důsledku toho se zřejmě pro $k \to +\infty$ a
$p \to +\infty$ musí pravá strana blížit k~$0$ a lze ji tedy udělat libovolně malou. Odtud funkční posloupnost $\{ \phi_k \}_{k\geq1}$ konverguje
na $\left[ \alpha,\beta \right]$ stejnoměrně a na $I$ lokálně stejnoměrně (vzhledem k~libovolnosti $\left[ \alpha,\beta \right]$).
Tím je důkaz lemmatu dokončen.
\end{proof}
\end{lemma}
Pokračujeme v~dokazování věty o~existenci a jednoznačnosti. Označme
\[
\phi_* (x) = \lim_{k\to+\infty} \phi_k(x).
\]
Potom v~iteračním vztahu
\[
\phi_{k+1}(x) = y_0 + \int_{x_0}^x \bigl[ \mat{A}(\xi) \phi_k(\xi) + b(\xi) \bigr] \dif \xi
\]
provedeme limitní přechod $k\to+\infty$, přičemž využijeme stejnoměrné konvergence funkční posloupnosti $\{ \phi_k \}_{k\geq1}$ na libovolném intervalu
$\left[ \alpha,\beta \right] \subset I$ (tj.~i na intervalu s~krajními body $x_0$ a $x$). Lze tedy provést záměnu limity a integrálu. Dostaneme
\[
\phi_*(x) = y_0 + \int_{x_0}^x \bigl[ \mat{A}(\xi) \phi_*(\xi) + b(\xi) \bigr] \dif \xi.
\]
Odtud vidíme, že platí
\[
\Bigl( \phi_*(x_0) = y_0 \Bigr) \wedge \Bigl( \exists \phi'_*(x) \Bigr) \Bigl( \forall x \in I \Bigr) \Bigl( \phi'_*(x) = \mat{A}(x) \phi_*(x) + b(x) \Bigr).
\]
To ale znamená, že $\phi_*$ řeší úlohu \eqref{eq:poculo3}, což jsme chtěli dokázat.
%\item JEDNOZNAČNOST
\item Zbývá dokázat jednoznačnost řešení. Nechť $\psi = \psi(x)$ je řešením úlohy \eqref{eq:poculo3} na intervalu $J \subset \R$. Nechť z~předchozího postupu
máme řešení $\phi_*$ na intervalu $I$. Dosadíme obě řešení do \eqref{eq:poculo3} a dostaneme
\begin{eqnarray*}
\phi_*(x) &=& y_0 + \int_{x_0}^x \bigl[ \mat{A}(\xi) \phi_*(\xi) + b(\xi) \bigr] \dif\xi, \\
\psi(x) &=& y_0 + \int_{x_0}^x \bigl[ \mat{A}(\xi) \psi(\xi) + b(\xi) \bigr] \dif\xi.
\end{eqnarray*}
Odečtením obou rovnic získáme rovnici
\[
\phi_*(x) - \psi(x) = \int_{x_0}^x \mat{A}(\xi) (\phi_*(\xi) - \psi(\xi)) \dif\xi.
\]
Uvažme nyní $\left[ \alpha,\beta \right] \subset I \cap J$, $x_0\in(\alpha,\beta)$. Potom
\begin{eqnarray*}
\abs{\phi_*^i(x) - \psi^i(x)}
&\leq& \Bigg| \int_{x_0}^x \sum_{j=1}^n \ub{\abs{a_{ij}(\xi)}}_{\leq K} \ub{\abs{\phi_*^j(\xi) - \psi^j(\xi)}}_{\leq\nor{\phi_*(\xi) - \psi(\xi)}_2} \dif\xi \Bigg| \\
&\leq& \Bigg| \int_{x_0}^x nK \nor{\phi_*(\xi) - \psi(\xi)}_2 \dif\xi \Bigg| \\
% &\leq& \Bigg| \int_{x_0}^x nK \ub{\nor{\phi_*(\xi) - \psi(\xi)}_2}_{=\left(\sum\limits_{j=1}^n \abs{\phi_*^j(\xi) - \psi^j(\xi)}^2\right)^{1/2}} \dif\xi \Bigg| \\
% &\leq& n^{3/2} K \Bigg| \int_{x_0}^x \ub{\nor{\phi_*(\xi) - \psi(\xi)}_2}_{\stackrel{\text{ozn}}{=}u(\xi)} \dif\xi \Bigg|.
\end{eqnarray*}
kde jsme využili zřejmou nerovnost
\[
\abs{\phi_*^i(x) - \psi^i(x)} \leq \nor{\phi_*(x) - \psi(x)}_2 = \left( \sum_{j=1}^n \abs{\phi_*^j(x) - \psi^j(x)}^2 \right)^{1/2}
\]
a odhadů z~předchozích částí důkazu. Potom můžeme psát
\begin{eqnarray*}
\nor{\phi_*(x) - \psi(x)}_2 & = & \left(\sum_{i=1}^n \abs{\phi_*^i(x) - \psi^i(x)}^2 \right)^{1/2} \\
&\leq& \left(\sum_{i=1}^n \Bigg| \int_{x_0}^x nK\nor{\phi_*(\xi) - \psi(\xi)}_2 \dif\xi \Bigg|^2 \right)^{1/2} \\
&\leq& n^{1/2} \Bigg| \int_{x_0}^x nK\nor{\phi_*(\xi) - \psi(\xi)}_2 \dif\xi \Bigg| \\
&\leq& n^{3/2} K \Bigg| \int_{x_0}^x \nor{\phi_*(\xi) - \psi(\xi)}_2 \dif\xi \Bigg|.
\end{eqnarray*}
Označíme-li tedy $u(x) = \nor{\phi_*(x) - \psi(x)}_2$, dostáváme nerovnost
\[
u(x) \leq n^{3/2} K \Bigg| \int_{x_0}^x u(\xi) \dif\xi \Bigg|.
\]
Z~Grönwallova lemmatu \ref{lem:gronwall}, resp.~z~poznámky \ref{rmrk:gronwall}, pak plyne
\[
u(x) \leq 0.
\]
Odtud zřejmě
\[
\Bigl( \forall x \in \left[ \alpha,\beta \right] \subset I \cap J \Bigr) \Bigl( \phi_*(x) = \psi(x) \Bigr),
\]
Sporem ukážeme, že uvedená rovnost musí platit i pro ostatní $x \in I \cap J$. Nechť tedy existuje
$x_1 \in I \cap J$ tak, že $\phi_*(x_1) \neq \psi(x_1)$. Potom zřejmě existuje interval $\left[ \alpha_1,\beta_1 \right] \subset I \cap J$ tak, že
$x_1 \in \left[ \alpha_1,\beta_1 \right]$ a $x_0 \in (\alpha_1,\beta_1)$. Zopakujeme-li nyní předchozí postup, dojdeme ke sporu. Platí tedy
\[
\Bigl( \forall x \in I \cap J \Bigr) \Bigl( \phi_*(x) = \psi(x) \Bigr).
\]
Tím je důkaz věty dokončen.
\qedhere
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
