Součásti dokumentu 01DIFRnew
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01DIFRnew}
% ****************************************************************************************************************************
% KAPITOLA: Analytické řešení soustav lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu
% ****************************************************************************************************************************
\chapter{Analytické řešení soustav lineárních diferenciálních rovnic 1.~řádu}
\begin{define}
\index{soustava diferenciálních rovnic!lineárních}
\index{soustava diferenciálních rovnic!lineárních!s~pravou stranou}
\index{soustava diferenciálních rovnic!lineárních!bez pravé strany}
Systém ve tvaru
\begin{equation}
\tag{\ref{eq:sysdrlin}}
y' - \mat{A}(x) y = b(x)
\end{equation}
se nazývá \textbf{soustava lineárních diferenciálních rovnic 1.~řádu bez pravé strany} právě tehdy, když $b \equiv \theta$. V~opačném případě
se nazývá \textbf{soustava lineárních diferenciálních rovnic 1.~řádu s~pravou stranou}.
\end{define}
\begin{remark}
V~dalším textu budeme kvůli větě o~existenci a jednoznačnosti předpokládat, že funkce $\mat{A}(x)$ a $b(x)$ jsou spojité na nějakém otevřeném intervalu
$I\subset\R$.
\end{remark}
\begin{remark}
Analogicky jako v~předchozí kapitole můžeme rovnice zapsat kompaktněji pomocí lineárního diferenciálního operátoru $L$ ve tvarech
\begin{eqnarray}
\label{eq:sysdrlin_sps} Ly &=& b(x), \\
\label{eq:sysdrlin1_bezps} Ly &=& \theta,
\end{eqnarray}
kde $Ly = y' - \mat{A}(x)y$.
\end{remark}
\begin{remark}
Vzhledem k~linearitě platí
\[
Lz = b \wedge Ly = \theta \Rightarrow L(y+z) = b.
\]
Libovolná funkce $z$ taková, že $Lz=b$, se nazývá \emph{partikulární řešení rovnice} \eqref{eq:sysdrlin}.
\end{remark}
% ****************************************************************************************************************************
% SEKCE: Řešení soustavy bez pravé strany
% ****************************************************************************************************************************
\section{Řešení soustavy bez pravé strany}
\begin{remark}
\label{rmrk:o_reseni_sysdrlin1r_bezps}
Uvedeme několik poznámek k~řešení soustavy bez pravé strany:
\begin{enumerate}[(1)]
\item Funkce $y \equiv \theta$ řeší rovnici bez pravé strany \eqref{eq:sysdrlin1_bezps}.
\item Počáteční úloha
\begin{equation}
\begin{array}{r@{ \ = \ }l}
y' - \mat{A}(x) y & \theta \\
y(x_0) & \theta
\end{array}
\end{equation}
má jediné řešení $y(x) = \theta$, $\forall x\in I$, kde $I$ je definiční obor maticové funkce $\mat{A}(x)$. Tvrzení plyne
z~věty o~existenci a jednoznačnosti \ref{theo:exajedn_sysdrlin}.
\item Pokud funkce $y_1,\ldots,y_n$ řeší rovnici \eqref{eq:sysdrlin1_bezps}, potom pro $\forall \alpha_1,\ldots,\alpha_n \in\R$ je
$y=\sum\limits_{i=1}^n \alpha_i y_i$ také řešení rovnice \eqref{eq:sysdrlin1_bezps}. Tvrzení plyne z~linearity $L$.
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{define}
\index{determinant!Wronskiho}
Nechť jsou dány funkce $y_1,\ldots,y_n : I \to \R^n$, $I$ je interval v~$\R$, kde $y_j(x) = (y_j^1(x),\ldots,y_j^n(x))$.
Potom \textbf{wrońskiánem funkcí} $y_1,\ldots,y_n$ rozumíme determinant
\begin{equation}
W_{y_1,\ldots,y_n}(x)
=
\left| \begin{matrix}
y_1^1(x) & \ldots & y_n^1(x) \\
y_1^2(x) & \ldots & y_n^2(x) \\
& \ddots & \\
y_1^n(x) & \ldots & y_n^n(x)
\end{matrix} \right|.
\end{equation}
\end{define}
\begin{define}
Funkce $y_1,\ldots,y_n$ jsou \textbf{na intervalu $I$ lineárně závislé (LZ)} právě tehdy, když
\[
\Bigl( \exists \alpha_1,\ldots,\alpha_n \in\R \Bigr) \Bigl( \exists i_0\in\widehat{n} \Bigr)
\Bigl( \alpha_{i_0} \neq 0 \wedge \forall x\in I : \sum_{j=1}^n \alpha_j y_j(x) = \theta\Bigr).
\]
V~opačném případě řekneme, že jsou \textbf{lineárně nezávislé (LN) na $I$}.
\end{define}
\begin{theorem}
Nechť $y_1,\ldots,y_n$ jsou LZ na $I$. Pak $(\forall x\in I)(W_{y_1,\ldots,y_n}(x) = 0)$.
\begin{proof}
Tvrzení je zřejmé.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Uvažme dvě funkce
\[
y_1(x) = \col{x}{0} \qquad \text{a} \qquad y_2(x) = \col{x^2}{0}.
\]
Potom zřejmě
\[
W_{y_1,y_2}(x) = \left| \begin{matrix} x & x^2 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right| = 0
\]
a přitom jsou funkce $y_1,y_2$ LN na libovolném intervalu.
Vidíme tedy, že tvrzení předchozí věty nelze jednoduše obrátit. Situace je podobná situaci v~předchozí kapitole o~lineárních diferenciálních rovnicích
$n$-tého řádu, kde jsme zformulovali opačné tvrzení s~dodatečným předpokladem, že funkce $y_1,\ldots,y_n$ splňovaly rovnici bez pravé strany.
Následující věta nás přesvědčí, že takové tvrzení lze zformulovat i zde.
\end{remark}
\begin{theorem}
Nechť $y_1,\ldots,y_n$ řeší rovnici \eqref{eq:sysdrlin1_bezps} na intervalu $I$ a nechť
\[
\Bigl( \exists x_0\in I \Bigr) \Bigl( W_{y_1,\ldots,y_n}(x_0) = 0 \Bigr).
\]
Potom $y_1,\ldots,y_n$ jsou LZ na $I$.
\begin{proof}
Je-li $W_{y_1,\ldots,y_n}(x_0) = 0$, pak jsou vektory $y_1(x_0),\ldots,y_n(x_0)$ LZ a tedy
\[
\Bigl( \exists \alpha_1,\ldots,\alpha_n \in\R \Bigr) \Bigl( \exists i_0\in\widehat{n} \Bigr)
\Bigl( \alpha_{i_0} \neq 0 \wedge \sum_{j=1}^n \alpha_j y_j(x_0) = \theta \Bigr).
\]
Definujme funkci $Y$ tak, že
\[
Y(x) = \sum_{j=1}^n \alpha_j y_j(x) \qquad \text{pro každé } x\in I.
\]
Potom $Y(x_0) = \theta$ a zároveň $Y$ řeší rovnici \eqref{eq:sysdrlin1_bezps} na intervalu $I$, což plyne z~poznámky
\ref{rmrk:o_reseni_sysdrlin1r_bezps}, bodu (3). Potom, využijeme-li ještě bod (2) poznámky \ref{rmrk:o_reseni_sysdrlin1r_bezps}, dostaneme
\[
Y(x) = \theta \qquad \text{pro všechna } x\in I
\]
a tedy funkce $y_1,\ldots,y_n$ jsou LZ na $I$.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Důsledkem právě uvedené věty je následující tvrzení.
Nechť $y_1,\ldots,y_n$ řeší rovnici \eqref{eq:sysdrlin1_bezps} na $I$. Pak platí buď
\[
\Bigl( \forall x\in I \Bigr) \Bigl( W_{y_1,\ldots,y_n}(x) = 0 \Bigr),
\]
nebo
\[
\Bigl( \forall x\in I \Bigr) \Bigl( W_{y_1,\ldots,y_n}(x) \neq 0 \Bigr).
\]
\end{remark}
\begin{define}
\index{systém!fundamentální}
Řekneme, že soubor $y_1,\ldots,y_n$ je \textbf{fundamentální systém (FS)} řešení rovnice \eqref{eq:sysdrlin1_bezps} na $I$ právě tehdy, když
tyto funkce řeší rovnici \eqref{eq:sysdrlin1_bezps} na $I$ a zároveň jsou LN na $I$.
\end{define}
\begin{theorem}
Nechť $y_1,\ldots,y_n$ je FS na $I$. Pak každé řešení rovnice \eqref{eq:sysdrlin1_bezps} lze v~něm jednoznačně vyjádřit (tj.~lze jej
jednoznačně zapsat jako lineární kombinaci funkcí $y_1,\ldots,y_n$).
\begin{proof}
Nechť $y(x)$ řeší \eqref{eq:sysdrlin1_bezps} na $I$ a nechť $x_0\in I$. Dále nechť $(y_1,\ldots,y_n)$ je FS na $I$.
Potom soubor vektorů $(y_1(x_0),\ldots,y_n(x_0))$ tvoří bázi prostoru $\R^n$. Pak
\[
\Bigl( \exists \alpha_1,\ldots,\alpha_n \in\R \Bigr) \Bigl( y(x_0) = \sum_{j=1}^n \alpha_j y_j(x_0) \Bigr).
\]
Definujme
\[
Y(x) = \sum_{j=1}^n \alpha_j y_j(x) \qquad \text{pro každé } x\in I.
\]
Ihned vidíme, že $Y(x_0) = y(x_0)$ a zároveň $Y$ řeší \eqref{eq:sysdrlin1_bezps} na $I$. Máme tedy počáteční úlohu
\begin{eqnarray*}
f' - \mat{A}(x) f &=& \theta, \\
f(x_0) &=& Y(x_0).
\end{eqnarray*}
Podle věty \ref{theo:exajedn_sysdrlin} má tato úloha jednoznačné řešení a přitom $y$ i $Y$ jsou jejím řešením na $I$. Musí tedy platit
\[
\Bigl( \forall x\in I \Bigr) \Bigl( Y(x) = y(x) \Bigr).
\]
Odtud dostáváme
\[
y(x) = \sum_{j=1}^n \alpha_j y_j(x) \qquad \text{pro všechna } x\in I.
\qedhere
\]
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Doposud jsme se zabývali situacemi, kdy jsme měli k~dispozici nějaký FS. Vůbec jsme však neřešili otázku existence FS. To napravíme
v~následující větě.
\end{remark}
\begin{theorem}
Pro systém \eqref{eq:sysdrlin1_bezps} existuje FS.
\begin{proof}
FS získáme řešením počátečních úloh ve tvaru
\begin{eqnarray*}
y' - \mat{A}(x) y &=& \theta, \\
y(x_0) &=& \vec{e}_j,
\end{eqnarray*}
pro $j\in\widehat{n}$, kde $\vec{e}_j$ značí $j$-tý vektor standardní báze $\R^n$.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}
Nechť $y_1,\ldots,y_n$ řeší \eqref{eq:sysdrlin1_bezps} na $I$, $\mat{C} = (c_{ij})_{i,j=1}^n$, $z_i(x) = \sum\limits_{j=1}^n c_{ij} y_j(x)$, $i\in\widehat{n}$, $x\in I$.
Pak $z_1,\ldots,z_n$ řeší \eqref{eq:sysdrlin1_bezps} a platí
\[
W_{z_1,\ldots,z_n}(x) = \abs{\mat{C}} W_{y_1,\ldots,y_n}(x), \qquad \forall x\in I
\]
a tedy $(z_1,\ldots,z_n)$ je FS právě tehdy, když $(y_1,\ldots,y_n)$ je FS a zároveň $\abs{\mat{C}} \neq 0$.
\begin{proof}
Snadno prověříme
\[
W_{z_1,\ldots,z_n}(x)
=
\left| \begin{matrix}
z_1^1(x) & \ldots & z_n^1(x) \\
& \ddots & \\
z_1^n(x) & \ldots & z_n^n(x)
\end{matrix} \right|
=
\left| \begin{matrix}
y_1^1(x) & \ldots & y_n^1(x) \\
& \ddots & \\
y_1^n(x) & \ldots & y_n^n(x)
\end{matrix} \right|
\cdot
\left| \begin{matrix}
c_{11} & \ldots & c_{n1} \\
& \ddots & \\
c_{1n} & \ldots & c_{nn}
\end{matrix} \right|
= \abs{\mat{C}} W_{y_1,\ldots,y_n}(x).
\]
Zbývající tvrzení je již zřejmé.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}
Nechť $y_1,\ldots,y_n$ řeší \eqref{eq:sysdrlin1_bezps} na $I$, $x_0 \in I$. Pak
\[
W_{y_1\ldots,y_n}(x) = W_{y_1\ldots,y_n}(x_0) \exp \left\{\int_{x_0}^x \Tr \mat{A}(\xi) \dif\xi \right\}, \qquad \forall x\in I.
\]
\begin{proof}
Podle poznámky \ref{rmrk:der_det} platí
\[
\frac{\dif}{\dif x} \Bigl( W_{y_1,\ldots,y_n}(x) \Bigr)
=
\sum_{j=1}^n
\left| \begin{matrix}
y_1^1(x) & \ldots & y_n^1(x) \\
& \ddots & \\
(y_1^j)'(x) & \ldots & (y_n^j)'(x) \\
& \ddots & \\
y_1^n(x) & \ldots & y_n^n(x)
\end{matrix} \right| = (*).
\]
Využijeme nyní toho, že podle předpokladů věty řeší $y_j$ rovnici \eqref{eq:sysdrlin1_bezps} a platí tudíž
\[
(y_i^j)'(x) = \sum_{l=1}^n a_{jl}(x) y_i^l(x).
\]
Dostaneme
\[
(*) =
\sum_{j=1}^n \sum_{l=1}^n a_{jl}(x)
\left| \begin{matrix}
y_1^1(x) & \ldots & y_n^1(x) \\
& \ddots & \\
y_1^l(x) & \ldots & y_n^l(x) \\
& \ddots & \\
y_1^n(x) & \ldots & y_n^n(x)
\end{matrix} \right|
\begin{matrix} \vdots \\ \vdots \\ \leftarrow \text{$j$-tý řádek} \\ \vdots \\ \vdots \end{matrix}.
\]
Snadno si rozmyslíme, že determinanty v~jednotlivých sčítancích jsou rovny $0$ pro $l \neq j$. Pro $l=j$ z~nich naopak dostáváme
wrońskiány $W_{y_1,\ldots,y_n}(x)$. Shrneme-li dosavadní výsledky, máme
\[
\frac{\dif}{\dif x} \Bigl( W_{y_1,\ldots,y_n}(x) \Bigr) = (*) = \ub{\sum_{j=1}^n a_{jj}(x)}_{\Tr \mat{A}(x)} W_{y_1,\ldots,y_n}(x).
\]
Dostali jsme tedy diferenciální rovnici ve tvaru
\[
\frac{\dif}{\dif x} \Bigl( W_{y_1,\ldots,y_n}(x) \Bigr) = \Tr \mat{A}(x) \ W_{y_1,\ldots,y_n}(x),
\]
jejímž řešením je (jak se snadno přesvědčíme dosazením)
\[
W_{y_1\ldots,y_n}(x) = W_{y_1\ldots,y_n}(x_0) \exp \left\{\int_{x_0}^x \Tr \mat{A}(\xi) \dif\xi \right\},
\]
což jsme chtěli dokázat.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}
Nechť funkce $y_1,\ldots,y_n \in \Cc^{(1)}(I)$ a nechť $W_{y_1,\ldots,y_n}(x) \neq 0$ na $I$. Potom existuje právě jeden systém tvaru
\eqref{eq:sysdrlin1_bezps}, pro nějž je $(y_1,\ldots,y_n)$ FS na $I$.
\begin{proof}
Je třeba dokázat existenci a jednoznačnost.
\begin{enumerate}[(1)]
%\item EXISTENCE
\item Existenci dokážeme konstrukcí. Označme nejdříve
\[
D_i (x,y(x))
=
\left| \begin{matrix}
(y^i)'(x) & (y_1^i)'(x) & \ldots & (y_n^i)'(x) \\
y^1(x) & y_1^1(x) & \ldots & y_n^1(x) \\
\vdots & & \ddots & \\
y^n(x) & y_1^n(x) & \ldots & y_n^n(x)
\end{matrix} \right|.
\]
Všimneme si, že pravý dolní minor matice na pravé straně je vlastně wrońskián $W_{y_1,\ldots,y_n}(x)$. Rovněž pozorujeme, že
\[
\Bigl( \forall j\in\widehat{n} \Bigr) \Bigl( D_i(x,y_j(x)) = 0 \Bigr).
\]
Rozvojem determinantu podle 1.~sloupce dostáváme
\[
D_i(x,y(x)) = (y^i)'(x) \ub{W_{y_1,\ldots,y_n}(x)}_{\neq 0} + \sum_{j=1}^n (-1)^j y^j(x) \tilde{D}_{ij}(x),
\]
kde $\tilde{D}_{ij}(x)$ je determinant matice, jež vznikne z~matice determinantu $D_i(x,y(x))$ vynecháním 1.~sloupce a $(j+1)$-ního řádku.
Sestavíme matici $\mat{A}(x) = (a_{ij}(x))$ tak, že
\[
a_{ij}(x) = (-1)^j \frac{\tilde{D}_{ij}(x)}{W_{y_1,\ldots,y_n}(x)}.
\]
Potom
\[
y' - \mat{A}(x) y = \theta
\]
je hledanou diferenciální rovnicí s~fundamentálním systémem $(y_1,\ldots,y_n)$.
%\item JEDNOZNAČNOST
\item Nechť funkce $y_j$ řeší na intervalu $I$ dvě různé diferenciální rovnice
\[
y' - \mat{A}(x) y = \theta \qquad \text{a} \qquad y' - \mat{B}(x) y = \theta,
\]
kde $(\exists x_0\in I)(\mat{A}(x_0) \neq \mat{B}(x_0))$.
Potom zřejmě platí
\[
\Bigl( \forall j\in\widehat{n} \Bigr) \Bigl( \forall x\in I \Bigr) \Bigl( \bigl(\mat{A}(x) - \mat{B}(x)\bigr) y_j(x) = \theta \Bigr)
\]
a zároveň vektory $y_1(x),\ldots,y_n(x)$ tvoří bázi vektorového prostoru $\R^n$, pro libovolné pevné $x\in I$. Potom ale musí platit
\[
\Bigl( \forall x\in I \Bigr) \Bigl( \mat{A}(x) = \mat{B}(x) \Bigr),
\]
což je spor. \qedhere
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
% ****************************************************************************************************************************
% SEKCE: Řešení soustavy s pravou stranou
% ****************************************************************************************************************************
\section{Řešení soustavy s~pravou stranou}
\begin{remark}[\textbf{Metoda variace konstant}]
\index{metoda!variace konstant}
Nechť $(y_1,\ldots,y_n)$ je fundamentální systém pro \eqref{eq:sysdrlin1_bezps} na intervalu $I$. Hledejme řešení rovnice \eqref{eq:sysdrlin_sps}
ve tvaru
\[
z(x) = \sum_{j=1}^n c_j(x) y_j(x),
\]
kde $c_j : I\to\R$ pro všechna $j\in\widehat{n}$. Potom platí
\[
z'(x)
= \sum_{j=1}^n c'_j(x) y_j(x) + \sum_{j=1}^n c_j(x) \ub{y'_j(x)}_{=\mat{A}(x) y_j(x)}
= \sum_{j=1}^n c'_j(x) y_j(x) + \mat{A}(x) \ub{ \left( \sum_{j=1}^n c_j(x) y_j(x) \right) }_{= z(x)}
\]
a zároveň
\[
z'(x) - \mat{A}(x) z(x) = b(x).
\]
Dostali jsme tedy soustavu $n$ lineárních rovnic pro $n$ neznámých $c'_j(x)$ ve tvaru
\[
\sum_{j=1}^n c'_j(x) y_j(x) = b(x)
\quad\Longleftrightarrow\quad
\left(\begin{matrix}
y_1^1(x) & \ldots & y_n^1(x) \\
& \ddots & \\
y_1^n(x) & \ldots & y_n^n(x)
\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} c'_1(x) \\ \vdots \\ c'_n(x) \end{matrix}\right)
= \left(\begin{matrix} b^1(x) \\ \vdots \\ b^n(x) \end{matrix}\right).
\]
Determinant matice soustavy je wrońskián $W_{y_1,\ldots,y_n}(x) \neq 0$, a proto jsou neznámé $c'_j(x)$ určeny jednoznačně. S~využitím
Cramerova pravidla dostáváme
\[
c'_j(x) = \frac{W_j(x)}{W_{y_1,\ldots,y_n}(x)},
\]
kde $W_j(x)$ je determinant matice, která vznikne z~matice soustavy nahradíme-li $j$-tý sloupec sloupcem pravých stran. Potom
\[
c_j(x) = \int \frac{W_j(x)}{W_{y_1,\ldots,y_n}(x)} \dif x + d_j,
\]
kde $d_j$ jsou integrační konstanty. Obecné řešení rovnice s~pravou stranou \eqref{eq:sysdrlin_sps} potom je
\[
z(x) = \sum_{j=1}^n \left[ \int \frac{W_j(x)}{W_{y_1,\ldots,y_n}(x)} \dif x \right] y_j(x) + \sum_{j=1}^n d_j y_j(x).
\]
\end{remark}
% ****************************************************************************************************************************
% SEKCE: Soustavy s konstantními koeficienty
% ****************************************************************************************************************************
\section{Soustavy s~konstantními koeficienty}
\begin{define}
\index{soustava diferenciálních rovnic!lineárních!s~konstatními koeficienty}
Nechť $\mat{A}\in\R^{n,n}$. Potom soustavu ve tvaru
\begin{equation}
\label{eq:sysdrlin1r_kk}
y' - \mat{A} y = b(x)
\end{equation}
nazveme \textbf{soustava lineárních diferenciálních rovnic 1.~řádu s~konstantními koeficienty}.
\end{define}
\begin{remark}
Uvažujme rovnici bez pravé strany ve tvaru
\[
y' - \mat{A} y = \theta.
\]
Předpokládejme řešení ve tvaru
\[
y(x) = \me^{\lambda x} v,
\]
kde $v\in\R^n$. Dosadíme-li za $y$ do rovnice, získáme vztah
\[
\lambda \me^{\lambda x} v - \mat{A} \me^{\lambda x} v = \theta \quad\Longleftrightarrow\quad (\mat{A} - \lambda \mat{E}) v = \theta.
\]
Řešíme tedy úlohu hledání vlastních čísel a k~nim příslušejících vlastních vektorů matice $\mat{A}$.
\end{remark}
\begin{remark}
\label{rmrk:Jordan}
\index{věta!Jordanova}
\index{matice!v~Jordanově normálním tvaru}
Než přistoupíme k~další větě, připomeneme si tvrzení, které se nám pro její důkaz bude hodit.
Podle \emph{Jordanovy}\footnote{\textbf{Marie Ennemond Camille Jordan} (1838--1922), francouzský matematik.} \emph{věty} (viz~\cite[Věta 17.8]{bican}) je každá
matice $\mat{A}\in\C^{n,n}$ podobná\footnote{\index{podobnost matic}Řekneme, že matice $\mat{A}$ je \textbf{podobná} matici $\mat{B}$ právě tehdy, když
existuje regulární matice $\mat{T}$ tak, že platí $\mat{A} = \mat{T}^{-1} \mat{B} \mat{T}$.} matici $\mat{J}$ v~tzv.~\emph{Jordanově normálním tvaru}.
Tj.~existuje regulární matice $\mat{P}$ tak, že platí
\[
\mat{A} = \mat{P}^{-1} \mat{J} \mat{P},
\]
kde matici $\mat{J}$ lze zapsat v~blokově diagonálním tvaru
\[
\mat{J}
=
\left(\begin{matrix}
\mat{J}_1^1 & & & & & & \\
& \ddots & & & & & \\
& & \mat{J}_{s_1}^1 & & & & \\
& & & \ddots & & & \\
& & & &\mat{J}_1^p & & \\
& & & & & \ddots & \\
& & & & & & \mat{J}_{s_p}^p \\
\end{matrix}\right),
\quad \text{kde }
\mat{J}_j^i
=
\left(\begin{matrix}
\lambda_i & & & \\
1 & \ddots & & \\
& \ddots & \ddots & \\
& & 1 & \lambda_i
\end{matrix}\right).
\]
Zde $\lambda_i \in \sigma(\mat{A})$, čtvercové matice $\mat{J}_j^i$ nazýváme Jordanovy bloky (buňky) příslušné vlastnímu číslu $\lambda_i$.
Čísla $s_i = \nu_g(\lambda_i)$ jsou geometrické násobnosti vlastního čísla $\lambda_i$ a zřejmě musí platit
\[
\sum_{j=1}^{s_i} \dim \mat{J}_j^i = \nu_a(\lambda_i),
\]
kde $\nu_a(\lambda_i)$ je algebraická násobnost vlastního čísla $\lambda_i$.
Snadno si také rozmyslíme, že každý blok $\mat{J}_j^i$ (považujeme-li jej za samostatnou matici) má právě jedno vlastní číslo $\lambda_i$
s~algebraickou násobností rovnou řádu matice $\mat{J}_j^i$ a s~geometrickou násobností 1. K~tomuto vlastnímu číslu tedy přísluší právě
jeden vlastní vektor (a pochopitelně jeho libovolné nenulové násobky).
\end{remark}
\begin{theorem}
Nechť $\lambda_1,\ldots,\lambda_p$ jsou různá vlastní čísla matice $\mat{A}$ s~algebraickými násobnostmi $k_1,\ldots,k_p$, $\sum\limits_{j=1}^p k_j = n$.
Pak FS pro rovnici $y' - \mat{A} y = \theta$ má tvar
\[
\begin{matrix}
\me^{\lambda_1 x} y_{11}(x), & \ldots, & \me^{\lambda_1 x} y_{1k_1}(x) \\
\me^{\lambda_2 x} y_{21}(x), & \ldots, & \me^{\lambda_2 x} y_{2k_2}(x) \\
\vdots & & \vdots \\
\me^{\lambda_p x} y_{p1}(x), & \ldots, & \me^{\lambda_p x} y_{pk_p}(x)
\end{matrix},
\]
kde $y_{ij}(x)$ je vektorový polynom stupně nejvýše $j-1$ (resp.~vektor o~složkách ve tvaru polynomů stupně menšího než $j$).
\begin{proof}
V~rovnici $y' - \mat{A} y = \theta$ provedeme substituci $y(x) = \mat{P}^{-1} z(x)$, kde $\mat{P}$ je matice z~poznámky \ref{rmrk:Jordan}. Dostaneme tak
novou rovnici ve tvaru
\[
z' - \mat{J} z = \theta.
\]
Ihned vidíme, že soustava se \uv{rozpadla} na několik nezávislých soustav podle bloků matice $\mat{J}$. Toho využijeme a řešení budeme hledat po
jednotlivých blocích. Nechť např.~první blok je tvaru
\[
\mat{J}_1^1
=
\ub{\left(\begin{matrix}
\lambda_1 & & & \\
1 & \ddots & & \\
& \ddots & \ddots & \\
& & 1 & \lambda_1
\end{matrix}\right)}_{\text{$k$ sloupců}}.
\]
Potom je třeba řešit soustavu ve tvaru
\begin{eqnarray*}
(z^1)' & = & \lambda_1 z^1, \\
(z^2)' & = & z^1 + \lambda_1 z^2, \\
&\vdots& \\
(z^k)' & = & z^{k-1} + \lambda_1 z^k.
\end{eqnarray*}
Přitom klademe $z^i(x) = 0$ pro $i>k$.
Provedeme-li další substituci $z^j(x) = \me^{\lambda_1 x} u^j(x)$, převedeme soustavu do tvaru
\begin{eqnarray*}
(u^1)' & = & 0, \\
(u^2)' & = & u^1, \\
&\vdots& \\
(u^k)' & = & u^{k-1}.
\end{eqnarray*}
Pro tuto soustavu však snadno nalezneme FS. Ten obsahuje $k$ funkcí
\[
u_1(x) = \left(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\right),\
u_2(x) = \left(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \\ x \end{matrix}\right),\
u_3(x) = \left(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ x \\ x^2/2 \end{matrix}\right),\
\ldots,\
u_k(x) = \left(\begin{matrix} 1 \\ x \\ \vdots \\ x^{k-2}/(k-2)! \\ x^{k-1}/(k-1)! \end{matrix}\right).
\]
Nyní je potřeba provést zpětnou transformaci
\[
y_j(x)
= \mat{P}^{-1} \cdot \left(\begin{matrix} z_j^1(x) \\ \vdots \\ z_j^k(x) \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{matrix}\right)
= \me^{\lambda_1 x} \ \ub{\mat{P}^{-1} \cdot \left(\begin{matrix} u_j^1(x) \\ \vdots \\ u_j^k(x) \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{matrix}\right)}_{=y_{1j}(x)}
\qquad \text{pro } j=1,\ldots,k.
\]
Odtud také vidíme, že řešení je v~požadovaném tvaru, kde $y_{1j}$ je vektorový polynom stupně nejvýše $j-1$.
Analogicky se zpracují i ostatní bloky.
\end{proof}
\end{theorem}