01DIFRnew:Kapitola3: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
(Založena nová stránka: %\wikiskriptum{01DIFRnew} % **************************************************************************************************************************** % ...)
 
m (oprava největší index -> nejmenší index v důkazu V 3.33)
 
(Není zobrazeno 22 mezilehlých verzí od 8 dalších uživatelů.)
Řádka 7: Řádka 7:
 
   
 
   
 
   
 
   
+
 
 
   
 
   
 
% ****************************************************************************************************************************
 
% ****************************************************************************************************************************
Řádka 34: Řádka 34:
 
   
 
   
 
\begin{remark}
 
\begin{remark}
   Bolzano\footnote{\textbf{Bernhard Placidus Johann Nepomuk Bolzano} (1781-1848), německy hovořící český matematik, filozof a katolický  
+
   Bolzanova\footnote{\textbf{Bernhard Placidus Johann Nepomuk Bolzano} (1781--1848), německy hovořící český matematik, filozof a katolický  
   kněz.}-Weierstrassova\footnote{\textbf{Karl Theodor Wilhelm Weierstrass} (1815-1897), německý matematik.} věta (viz~např.~\cite[Věta 3.6]{rudin1}) nám zaručuje, že  
+
   kněz.}--Weierstrassova\footnote{\textbf{Karl Theodor Wilhelm Weierstrass} (1815--1897), německý matematik.} věta (viz~např.~\cite[Věta 3.6]{rudin1}) nám zaručuje, že  
   máme-li posloupnost definovanou na kompaktním intervalu $\langle a,b \rangle$, lze z~ní vybrat konvergentní podposloupnost. Následující věta nám poskytuje  
+
   máme-li posloupnost definovanou na kompaktním intervalu $\left[ a,b \right]$, lze z~ní vybrat konvergentní podposloupnost. Následující věta nám poskytuje  
 
   analogické tvrzení pro funkce.
 
   analogické tvrzení pro funkce.
 
\end{remark}
 
\end{remark}
 
   
 
   
\begin{theorem}[Arzelàova\footnote{\textbf{Cesare Arzelà} (1847-1912), italský matematik.}-Ascoliova\footnote{\textbf{Guilio Ascoli} (1843-1896), italský matematik.}]
+
\begin{theorem}[Arzelàova\footnote{\textbf{Cesare Arzelà} (1847--1912), italský matematik.}--Ascoliova\footnote{\textbf{Guilio Ascoli} (1843--1896), italský matematik.}]
   \index{věta!Arzelàova-Ascoliova}
+
   \index{věta!Arzelàova--Ascoliova}
 
   \label{theo:arzela}
 
   \label{theo:arzela}
 
   Nechť $\Ms$ je množina funkcí definovaných na omezeném intervalu $I\subset\R$, které jsou na $I$ stejně omezené a stejně spojité. Pak z~každé posloupnosti  
 
   Nechť $\Ms$ je množina funkcí definovaných na omezeném intervalu $I\subset\R$, které jsou na $I$ stejně omezené a stejně spojité. Pak z~každé posloupnosti  
Řádka 50: Řádka 50:
 
     roven celému intervalu $I$). Tuto množinu navíc zkonstruujeme tak, aby byla spočetná.
 
     roven celému intervalu $I$). Tuto množinu navíc zkonstruujeme tak, aby byla spočetná.
 
   
 
   
     V~prvním kroku rozdělíme interval $I=(a,b)$ na dvě poloviny. Dělící bod označíme $x_1$ a zřejmě platí
+
     V~prvním kroku rozdělíme interval $I=(a,b)$ na dvě poloviny. Dělicí bod označíme $x_1$ a zřejmě platí
 
     \[
 
     \[
 
       x_1 = a + \frac{b-a}{2}.
 
       x_1 = a + \frac{b-a}{2}.
 
     \]
 
     \]
     Ve druhém kroku rozdělíme dvě poloviny intervalu $I$ opět na dvě poloviny. Tím dostaneme dělící body $x_2$ a $x_3$, pro které platí  
+
     Ve druhém kroku rozdělíme dvě poloviny intervalu $I$ opět na dvě poloviny. Tím dostaneme dělicí body $x_2$ a $x_3$, pro které platí  
 
   
 
   
 
     \parbox{7cm}{\begin{eqnarray*} x_2 &=& a + \frac{1}{2}\frac{b-a}{2} \end{eqnarray*}}
 
     \parbox{7cm}{\begin{eqnarray*} x_2 &=& a + \frac{1}{2}\frac{b-a}{2} \end{eqnarray*}}
 
     \hfill a \hfill
 
     \hfill a \hfill
     \parbox{7cm}{\begin{eqnarray*} x_3 &=& x_1 + \frac{1}{2}\frac{b-a}{2} \end{eqnarray*}}
+
     \parbox{7cm}{\begin{eqnarray*} x_3 &=& x_1 + \frac{1}{2}\frac{b-a}{2}. \end{eqnarray*}}
 
   
 
   
     Ve třetím analogicky sestrojíme body $x_4$ až $x_7$ definované následujícím způsobem
+
     Ve třetím analogicky sestrojíme body $x_4$ až $x_7$ definované následujícím způsobem:
 
   
 
   
 
     \parbox{7cm}{\begin{eqnarray*} x_4 &=& a + \frac{1}{4}\frac{b-a}{2}\\ x_5 &=& x_2 + \frac{1}{4}\frac{b-a}{2} \end{eqnarray*}}
 
     \parbox{7cm}{\begin{eqnarray*} x_4 &=& a + \frac{1}{4}\frac{b-a}{2}\\ x_5 &=& x_2 + \frac{1}{4}\frac{b-a}{2} \end{eqnarray*}}
 
     \hfill a \hfill
 
     \hfill a \hfill
     \parbox{7cm}{\begin{eqnarray*} x_6 &=& x_1 + \frac{1}{4}\frac{b-a}{2}\\ x_7 &=& x_3 + \frac{1}{4}\frac{b-a}{2} \end{eqnarray*}}
+
     \parbox{7cm}{\begin{eqnarray*} x_6 &=& x_1 + \frac{1}{4}\frac{b-a}{2}\\ x_7 &=& x_3 + \frac{1}{4}\frac{b-a}{2}. \end{eqnarray*}}
 
   
 
   
 
     Dále postupujeme analogicky. Je zřejmé, že takto konstruujeme posloupnost bodů z~$I$. Tyto body jsou rozmístěny rovnoměrně a neustále se přibližují. Množina těchto  
 
     Dále postupujeme analogicky. Je zřejmé, že takto konstruujeme posloupnost bodů z~$I$. Tyto body jsou rozmístěny rovnoměrně a neustále se přibližují. Množina těchto  
Řádka 70: Řádka 70:
 
   
 
   
 
     Nechť $\{ g_n \}_{n \geq 1}$ je posloupnost funkcí z~množiny $\Ms$. %(tím máme na mysli, že funkce $g_n$ jsou na $I$ stejně omezené a stejně spojité)
 
     Nechť $\{ g_n \}_{n \geq 1}$ je posloupnost funkcí z~množiny $\Ms$. %(tím máme na mysli, že funkce $g_n$ jsou na $I$ stejně omezené a stejně spojité)
     Potom
+
     Potom:
 
     \begin{enumerate}
 
     \begin{enumerate}
       \item pro $x=x_1$ je číselná posloupnost $\{ g_n (x_1) \}_{n \geq 1}$ omezená na kompaktu a podle Bolzano-Weierstrassovy věty existuje její konvergentní  
+
       \item Pro $x=x_1$ je číselná posloupnost $\{ g_n (x_1) \}_{n \geq 1}$ omezená na kompaktu a podle Bolzanovy--Weierstrassovy věty existuje její konvergentní  
 
         číselná podposloupnost, kterou označíme $\{ g_n^{(1)} (x_1) \}_{n \geq 1}$. Posloupnost $\{ g_n^{(1)} \}_{n \geq 1}$ je funkční posloupnost vybraná z~původní  
 
         číselná podposloupnost, kterou označíme $\{ g_n^{(1)} (x_1) \}_{n \geq 1}$. Posloupnost $\{ g_n^{(1)} \}_{n \geq 1}$ je funkční posloupnost vybraná z~původní  
 
         funkční posloupnosti $\{ g_n \}_{n \geq 1}$ a má tedy i příslušné vlastnosti.
 
         funkční posloupnosti $\{ g_n \}_{n \geq 1}$ a má tedy i příslušné vlastnosti.
       \item pro $x=x_2$ je číselná posloupnost $\{ g_n^{(1)} (x_2) \}_{n \geq 1}$ omezená a opět tedy existuje její konvergentní podposloupnost, kterou analogicky označíme  
+
       \item Pro $x=x_2$ je číselná posloupnost $\{ g_n^{(1)} (x_2) \}_{n \geq 1}$ omezená a opět tedy existuje její konvergentní podposloupnost, kterou analogicky označíme  
 
           $\{ g_n^{(2)} (x_2) \}_{n \geq 1}$. Potom $\{ g_n^{(2)} (x) \}_{n \geq 1}$ je funkční posloupnost, která konverguje v~bodě $x_1$ a $x_2$.
 
           $\{ g_n^{(2)} (x_2) \}_{n \geq 1}$. Potom $\{ g_n^{(2)} (x) \}_{n \geq 1}$ je funkční posloupnost, která konverguje v~bodě $x_1$ a $x_2$.
 
       \item V~procesu můžeme pokračovat matematickou indukcí. Předpokládejme, že $\{ g_n^{(k)} (x) \}_{n \geq 1}$ je posloupnost funkcí z~$\Ms$, konvergující  
 
       \item V~procesu můžeme pokračovat matematickou indukcí. Předpokládejme, že $\{ g_n^{(k)} (x) \}_{n \geq 1}$ je posloupnost funkcí z~$\Ms$, konvergující  
Řádka 92: Řádka 92:
 
   
 
   
 
       \begin{proof}
 
       \begin{proof}
         K~důkazu použijeme Bolzano-Cauchyovo\footnote{\textbf{Augustin-Louis Cauchy} (1789-1857), francouzský matematik.} kritérium (viz~např.~\cite[Věta 3.11]{rudin1}),  
+
         K~důkazu použijeme Bolzanovo--Cauchyho\footnote{\textbf{Augustin-Louis Cauchy} (1789--1857), francouzský matematik.} kritérium (viz~např.~\cite[Věta 3.11]{rudin1}),  
 
         podle něhož zkoumaná posloupnost konverguje na $I$ stejnoměrně právě tehdy, když
 
         podle něhož zkoumaná posloupnost konverguje na $I$ stejnoměrně právě tehdy, když
 
         \begin{equation*}
 
         \begin{equation*}
Řádka 114: Řádka 114:
 
   
 
   
 
         Zřejmě platí, že vezmeme-li libovolný bod $x \in I$, pak tento bod určitě leží v~některém z~interválků vyrobených prostřednictvím bodů  
 
         Zřejmě platí, že vezmeme-li libovolný bod $x \in I$, pak tento bod určitě leží v~některém z~interválků vyrobených prostřednictvím bodů  
         $\{ x_1, \ldots, x_{\ol{p}} \}$. Tj.~existují jeho sousední body $x_l,x_{l'}\in\{ x_1, \ldots, x_{\ol{p}} \}$ tak, že $x\in\langle x_l,x_{l'} \rangle$
+
         $\{ x_1, \ldots, x_{\ol{p}} \}$. Tj.~existují jeho sousední body $x_l,x_{l'}\in\{ x_1, \ldots, x_{\ol{p}} \}$ tak, že $x\in\left[ x_l,x_{l'} \right]$
 
         a $\abs{x_l - x_{l'}} < \delta$.
 
         a $\abs{x_l - x_{l'}} < \delta$.
 
   
 
   
Řádka 132: Řádka 132:
 
       \end{proof}
 
       \end{proof}
 
     \end{lemma}
 
     \end{lemma}
     Důkazem tohoto lemmatu je zakončen i důkaz Arzelàovy-Ascoliovy věty.
+
     Důkazem tohoto lemmatu je zakončen i důkaz Arzelàovy--Ascoliovy věty.
 
   \end{proof}
 
   \end{proof}
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
Řádka 145: Řádka 145:
 
     \end{array}
 
     \end{array}
 
   \end{equation}
 
   \end{equation}
   kde $f: \Gamma \to \R$, $\Gamma \subset \R^2$, $\Gamma$ je oblast, $[x_0,y_0]\in\Gamma$ a $f \in \Cc(\Gamma)$. Důkaz existence řešení této úlohy je konstrukční a  
+
   kde $f: \Gamma \to \R$, $\Gamma \subset \R^2$, $\Gamma$ je oblast, $\col{x_0}{y_0}\in\Gamma$ a $f \in \Cc(\Gamma)$. Důkaz existence řešení této úlohy je konstrukční a  
   postupuje se podle úvah Leonharda Eulera\footnote{\textbf{Leonhard Euler} (1707-1783), švýcarský matematik a fyzik.}. Pro ilustraci použijeme následující příklad.
+
   postupuje se podle úvah Leonharda Eulera\footnote{\textbf{Leonhard Euler} (1707--1783), švýcarský matematik a fyzik.}. Pro ilustraci použijeme následující příklad.
 
\end{remark}
 
\end{remark}
 
   
 
   
Řádka 171: Řádka 171:
 
     y_k = (1-\alpha\tau)^k y_0.
 
     y_k = (1-\alpha\tau)^k y_0.
 
   \]
 
   \]
   Nechť $\ol{t}\in\Rp$ je libovolný, ale pevně zvolený, časový okamžik. Pak pro libovolné $n\in\N$ lze interval $\langle 0,\ol{t} \rangle$ rozdělit na  
+
   Nechť $\ol{t}\in\Rp$ je libovolný, ale pevně zvolený, časový okamžik. Pak pro libovolné $n\in\N$ lze interval $\left[ 0,\ol{t} \right]$ rozdělit na  
 
   kroky $\tau = \ol{t}/n$. Potom lze psát
 
   kroky $\tau = \ol{t}/n$. Potom lze psát
 
   \[
 
   \[
Řádka 194: Řádka 194:
 
   \end{figure}
 
   \end{figure}
 
   
 
   
   Předpokládejme, že máme oblast $\Gamma$, dále nechť bod $[x_0,y_0]\in\Gamma$. Pak zřejmě existuje okolí $U$ bodu $[x_0,y_0]$ tak, že  
+
   Předpokládejme, že máme oblast $\Gamma$, dále nechť bod $\col{x_0}{y_0}\in\Gamma$. Pak zřejmě existuje okolí $U$ bodu $\col{x_0}{y_0}$ tak, že  
 
   je omezené a $U \subset \ol{U} \subset \Gamma$. Zřejmě platí následující tvrzení
 
   je omezené a $U \subset \ol{U} \subset \Gamma$. Zřejmě platí následující tvrzení
 
   \[
 
   \[
     f \in \Cc(\ol{U}) \Rightarrow \Bigl(\exists M>0\Bigr) \Bigl(\forall [x,y]\in U\Bigr) \Bigl(\abs{f(x,y)} \leq M \Bigr).
+
     f \in \Cc(\ol{U}) \Rightarrow \Bigl(\exists M>0\Bigr) \Bigl(\forall \col{x}{y}\in U\Bigr) \Bigl(\abs{f(x,y)} \leq M \Bigr).
 
   \]
 
   \]
   Potom volíme $b \geq aM$ tak, aby $\langle x_0-a,x_0+a \rangle \times \langle y_0-b,y_0+b \rangle \subset U$. Tak okolo bodu $[x_0,y_0]$ sestrojíme  
+
   Potom volíme $b \geq aM$ tak, aby $\left[ x_0-a,x_0+a \right] \times \left[ y_0-b,y_0+b \right] \subset U$. Tak okolo bodu $\col{x_0}{y_0}$ sestrojíme  
 
   obdélník o~délkách hran $2a$ a $2b$, který celý leží v~$U$ (viz~obr.~\ref{fig:klomcare}).  
 
   obdélník o~délkách hran $2a$ a $2b$, který celý leží v~$U$ (viz~obr.~\ref{fig:klomcare}).  
 
   
 
   
   Dále se zabývejme intervalem $\langle x_0, x_0+a \rangle$ (všechny úvahy, které dále provedeme, bude možné analogicky provést i v~intervalu  
+
   Dále se zabývejme intervalem $\left[ x_0, x_0+a \right]$ (všechny úvahy, které dále provedeme, bude možné analogicky provést i v~intervalu  
   $\langle x_0-a,x_0 \rangle$). Interval $\langle x_0, x_0+a \rangle$ rovnoměrně rozdělíme na $m$ podintervalů tvaru $\langle x_{j-1},x_j \rangle_{j=1,\ldots,m}$,  
+
   $\left[ x_0-a,x_0 \right]$). Interval $\left[ x_0, x_0+a \right]$ rovnoměrně rozdělíme na $m$ podintervalů tvaru $\left[ x_{j-1},x_j \right]_{j=1,\ldots,m}$,  
 
   kde $x_m = x_0 + a$. Délka jednotlivých dílčích intervalů je zřejmě $h = a/m$. V~jednotlivých dílčích intervalech pak začneme postupně konstruovat Eulerovu
 
   kde $x_m = x_0 + a$. Délka jednotlivých dílčích intervalů je zřejmě $h = a/m$. V~jednotlivých dílčích intervalech pak začneme postupně konstruovat Eulerovu
 
   lomenou funkci $\phi_m(x)$ (o~této funkci lze také říci, že je po částech lineární). Definujme tedy
 
   lomenou funkci $\phi_m(x)$ (o~této funkci lze také říci, že je po částech lineární). Definujme tedy
 
   \[
 
   \[
     \phi_m(x) = y_0 + f(x_0,y_0) (x-x_0) \qquad \text{pro } x \in \langle x_0,x_1 \rangle.
+
     \phi_m(x) = y_0 + f(x_0,y_0) (x-x_0) \qquad \text{pro } x \in \left[ x_0,x_1 \right].
 
   \]
 
   \]
 
   Dále označme
 
   Dále označme
Řádka 213: Řádka 213:
 
     y_1 = \phi_m(x_1) = y_0 + f(x_0,y_0) h.
 
     y_1 = \phi_m(x_1) = y_0 + f(x_0,y_0) h.
 
   \]
 
   \]
   Tím jsme sestrojili bod $[x_1,y_1]$, který je východiskem pro další krok konstrukce. Ve druhém podintervalu postupujeme analogicky a klademe
+
   Tím jsme sestrojili bod $\col{x_1}{y_1}$, který je východiskem pro další krok konstrukce. Ve druhém podintervalu postupujeme analogicky a klademe
 
   \[
 
   \[
     \phi_m(x) = y_1 + f(x_1,y_1) (x-x_1) \qquad \text{pro } x \in \langle x_1,x_2 \rangle.
+
     \phi_m(x) = y_1 + f(x_1,y_1) (x-x_1) \qquad \text{pro } x \in \left[ x_1,x_2 \right].
 
   \]
 
   \]
 
   Pro krajní bod pak platí
 
   Pro krajní bod pak platí
Řádka 224: Řádka 224:
 
   \begin{equation}
 
   \begin{equation}
 
     \label{eq:eulomfce}
 
     \label{eq:eulomfce}
     \phi_m(x) = y_{j-1} + f(x_{j-1},y_{j-1}) (x - x_{j-1}) \qquad \text{pro } x \in \langle x_{j-1},x_{j} \rangle,
+
     \phi_m(x) = y_{j-1} + f(x_{j-1},y_{j-1}) (x - x_{j-1}) \qquad \text{pro } x \in \left[ x_{j-1},x_{j} \right],
 
   \end{equation}
 
   \end{equation}
 
   pro $j=1,\ldots,m$ a kde $y_j = y_{j-1} + f(x_{j-1},y_{j-1}) h$.
 
   pro $j=1,\ldots,m$ a kde $y_j = y_{j-1} + f(x_{j-1},y_{j-1}) h$.
 
   
 
   
   O~právě zkonstruované funkci $\phi_m$ je třeba ověřit, že pro libovolné $x\in\langle x_0,x_0+a\rangle$ splňuje $\phi_m(x) \in \langle y_0-b,y_0+b \rangle$. Jinými  
+
   O~právě zkonstruované funkci $\phi_m$ je třeba ověřit, že pro libovolné $x\in\left[ x_0,x_0+a\right]$ splňuje $\phi_m(x) \in \left[ y_0-b,y_0+b \right]$. Jinými  
 
   slovy, požadujeme, aby funkce $\phi_m$ protínala náš obdélník pouze na svislých hranách. Tuto vlastnost nám zaručí následující lemma.
 
   slovy, požadujeme, aby funkce $\phi_m$ protínala náš obdélník pouze na svislých hranách. Tuto vlastnost nám zaručí následující lemma.
 
\end{remark}
 
\end{remark}
 
   
 
   
 
\begin{lemma}
 
\begin{lemma}
   Funkce $\phi_m(x)$ má pro $x \in \langle x_0,x_0+a \rangle$ hodnoty z~intervalu $\langle y_0-b,y_0+b \rangle$. Přitom využíváme vztahu $b \geq M a$.
+
   Funkce $\phi_m(x)$ má pro $x \in \left[ x_0,x_0+a \right]$ hodnoty z~intervalu $\left[ y_0-b,y_0+b \right]$. Přitom využíváme vztahu $b \geq M a$.
 
   
 
   
 
   \begin{proof}
 
   \begin{proof}
     Chceme dokázat, že pro libovolné $x \in \langle x_0,x_0+a \rangle$ platí $\abs{\phi_m(x) - y_0} \leq b$. Jestliže $x \in \langle x_0,x_0+a \rangle$, pak zřejmě
+
     Chceme dokázat, že pro libovolné $x \in \left[ x_0,x_0+a \right]$ platí $\abs{\phi_m(x) - y_0} \leq b$. Jestliže $x \in \left[ x_0,x_0+a \right]$, pak zřejmě
     $\exists k \in \{ 1,\ldots,m \}$ tak, že $x \in \langle x_{k-1}, x_k \rangle$.
+
     $\exists k \in \{ 1,\ldots,m \}$ tak, že $x \in \left[ x_{k-1}, x_k \right]$.
 
   
 
   
 
     Z~trojúhelníkové nerovnosti plyne následující odhad
 
     Z~trojúhelníkové nerovnosti plyne následující odhad
Řádka 256: Řádka 256:
 
     \end{equation*}
 
     \end{equation*}
 
   
 
   
     Tuto úvahu provádíme postupně pro $x \in \langle x_0,x_1 \rangle$, poté pro $x \in \langle x_1,x_2 \rangle,\ldots,x \in \langle x_{m-1},x_m \rangle$. Tak je zajištěno,  
+
     Tuto úvahu provádíme postupně pro $x \in \left[ x_0,x_1 \right]$, poté pro $x \in \left[ x_1,x_2 \right],\ldots,x \in \left[ x_{m-1},x_m \right]$. Tak je zajištěno,  
     že pro všechna $x \in \langle x_0,x_0+a \rangle$ je $\abs{\phi_m(x) - y_0} \leq b$, což jsme chtěli dokázat.
+
     že pro všechna $x \in \left[ x_0,x_0+a \right]$ je $\abs{\phi_m(x) - y_0} \leq b$, což jsme chtěli dokázat.
 
   \end{proof}
 
   \end{proof}
 
\end{lemma}
 
\end{lemma}
Řádka 267: Řádka 267:
 
     \{ \phi_m(x) \}_{m \geq 1}
 
     \{ \phi_m(x) \}_{m \geq 1}
 
   \end{equation}
 
   \end{equation}
   na intervalu $\langle x_0, x_0+a \rangle$. Zabývejme se dále vlastnostmi této posloupnosti.
+
   na intervalu $\left[ x_0, x_0+a \right]$. Zabývejme se dále vlastnostmi této posloupnosti.
 
\end{remark}
 
\end{remark}
 
   
 
   
Řádka 290: Řádka 290:
 
     Podle definice stejné spojitosti chceme ukázat, že platí
 
     Podle definice stejné spojitosti chceme ukázat, že platí
 
     \[
 
     \[
       \Bigl(\forall\epsilon>0\Bigr) \Bigl(\exists\delta>0\Bigr) \Bigl(\forall m\in\N\Bigr) \Bigl(\forall x,x'\in\langle x_0,x_0+a\rangle\Bigr)
+
       \Bigl(\forall\epsilon>0\Bigr) \Bigl(\exists\delta>0\Bigr) \Bigl(\forall m\in\N\Bigr) \Bigl(\forall x,x'\in\left[ x_0,x_0+a\right]\Bigr)
 
         \Bigl(\abs{x-x'}<\delta \Rightarrow \abs{\phi_m(x) - \phi_m(x')}<\epsilon\Bigr).
 
         \Bigl(\abs{x-x'}<\delta \Rightarrow \abs{\phi_m(x) - \phi_m(x')}<\epsilon\Bigr).
 
     \]
 
     \]
 
   
 
   
     Protože $x,x'\in\langle x_0,x_0+a\rangle$, zřejmě existují indexy $k,l\in\widehat{m}$ tak, že $x\in\langle x_{k-1},x_k \rangle$ a $x'\in\langle x_{l-1},x_l\rangle$.  
+
     Protože $x,x'\in\left[ x_0,x_0+a\right]$, zřejmě existují indexy $k,l\in\widehat{m}$ tak, že $x\in\left[ x_{k-1},x_k \right]$ a $x'\in\left[ x_{l-1},x_l\right]$.  
 
     Bez újmy na obecnosti nechť $k \leq l$. Potom tedy platí
 
     Bez újmy na obecnosti nechť $k \leq l$. Potom tedy platí
 
     \begin{eqnarray*}
 
     \begin{eqnarray*}
Řádka 310: Řádka 310:
 
       \abs{\phi_m(x) - \phi_m(x')} \leq M \left(\abs{x-x_k} + \abs{x_k-x_{k+1}} + \cdots + \abs{x'-x_{l-1}} \right) = M \abs{x-x'}.
 
       \abs{\phi_m(x) - \phi_m(x')} \leq M \left(\abs{x-x_k} + \abs{x_k-x_{k+1}} + \cdots + \abs{x'-x_{l-1}} \right) = M \abs{x-x'}.
 
     \]
 
     \]
     Potom tedy pro libovolné $\epsilon>0$ položíme $\delta = \epsilon / M$ a pak pro každé $m\in\N$ a pro každé $x,x'\in\langle x_0,x_0+a\rangle$ platí  
+
     Potom tedy pro libovolné $\epsilon>0$ položíme $\delta = \epsilon / M$ a pak pro každé $m\in\N$ a pro každé $x,x'\in\left[ x_0,x_0+a\right]$ platí  
 
     $\abs{x-x'}<\delta \Rightarrow \abs{\phi_m(x) - \phi_m(x')}<\epsilon$. Tím je důkaz ukončen.
 
     $\abs{x-x'}<\delta \Rightarrow \abs{\phi_m(x) - \phi_m(x')}<\epsilon$. Tím je důkaz ukončen.
 
   \end{proof}
 
   \end{proof}
Řádka 317: Řádka 317:
 
\begin{remark}
 
\begin{remark}
 
   Sestrojili jsme funkční posloupnost $\{ \phi_m \}_{m \geq 1}$, o~níž jsme zjistili, že obsahuje funkce stejně omezené a stejně spojité na intervalu  
 
   Sestrojili jsme funkční posloupnost $\{ \phi_m \}_{m \geq 1}$, o~níž jsme zjistili, že obsahuje funkce stejně omezené a stejně spojité na intervalu  
   $\langle x_0,x_0+a \rangle$. Podle věty \ref{theo:arzela} lze z~této posloupnosti vybrat stejnoměrně konvergentní podposloupnost na $\langle x_0,x_0+a \rangle$.
+
   $\left[ x_0,x_0+a \right]$. Podle věty \ref{theo:arzela} lze z~této posloupnosti vybrat stejnoměrně konvergentní podposloupnost na $\left[ x_0,x_0+a \right]$.
 
   Zřejmě tedy
 
   Zřejmě tedy
 
   \[
 
   \[
     \Bigl(\exists y(x) \text{ na } \langle x_0,x_0+a \rangle \Bigr) \Bigl( \phi_{m'} \stackrel{\langle x_0,x_0+a \rangle}{\rightrightarrows} y \Bigr).
+
     \Bigl(\exists y(x) \text{ na } \left[ x_0,x_0+a \right] \Bigr) \Bigl( \phi_{m'} \stackrel{\left[ x_0,x_0+a \right]}{\rightrightarrows} y \Bigr).
 
   \]
 
   \]
 
   O~funkci $y$ je třeba dokázat, že řeší úlohu \eqref{eq:poculo}.
 
   O~funkci $y$ je třeba dokázat, že řeší úlohu \eqref{eq:poculo}.
Řádka 343: Řádka 343:
 
     pro vysoká $m'$.
 
     pro vysoká $m'$.
 
   
 
   
     Protože $\ol{x}, \ol{x} + \ol{h}\in(x_0,x_0+a)$, zřejmě existují indexy $k,l\in\widehat{m'}$ tak, že $\ol{x}\in\langle x_{k-1},x_k \rangle$ a  
+
     Protože $\ol{x}, \ol{x} + \ol{h}\in(x_0,x_0+a)$, zřejmě existují indexy $k,l\in\widehat{m'}$ tak, že $\ol{x}\in\left[ x_{k-1},x_k \right]$ a  
     $\ol{x} + \ol{h}\in\langle x_{l-1},x_l \rangle$. Bez újmy na obecnosti nechť $\ol{h} > 0$, tj.~také $k \leq l$ a pro dostatečně vysoká $m'$ bude  
+
     $\ol{x} + \ol{h}\in\left[ x_{l-1},x_l \right]$. Bez újmy na obecnosti nechť $\ol{h} > 0$, tj.~také $k \leq l$ a pro dostatečně vysoká $m'$ bude  
     tato nerovnost ostrá --- k~tomu stačí\footnote{Požadujeme totiž $h<\ol{h}$, kde $h=a/m'$, odkud $m'>a/\ol{h}$.} $m' > a/\ol{h}$ (toho ještě později  
+
     tato nerovnost ostrá -- k~tomu stačí\footnote{Požadujeme totiž $h<\ol{h}$, kde $h=a/m'$, odkud $m'>a/\ol{h}$.} $m' > a/\ol{h}$ (toho ještě později  
 
     využijeme). Zkoumaný výraz pak lze přepsat a odhadnout následujícím způsobem
 
     využijeme). Zkoumaný výraz pak lze přepsat a odhadnout následujícím způsobem
 
     \begin{eqnarray*}
 
     \begin{eqnarray*}
Řádka 370: Řádka 370:
 
     \end{eqnarray*}
 
     \end{eqnarray*}
 
     %Vidíme, že v~odhadu výrazu $A$ vystupují rozdíly tvaru
 
     %Vidíme, že v~odhadu výrazu $A$ vystupují rozdíly tvaru
     Protože $f\in \Cc(\Gamma)$ je funkce $f$ spojitá také na kompaktu $\langle x_0-a,x_0+a \rangle \times \langle y_0-b,y_0+b \rangle \subset \Gamma$. Funkce spojitá na  
+
     Protože $f\in \Cc(\Gamma)$ je funkce $f$ spojitá také na kompaktu $\left[ x_0-a,x_0+a \right] \times \left[ y_0-b,y_0+b \right] \subset \Gamma$. Funkce spojitá na  
 
     kompaktu je na něm spojitá stejnoměrně \cite[Věta 4.19]{rudin1} a platí tedy
 
     kompaktu je na něm spojitá stejnoměrně \cite[Věta 4.19]{rudin1} a platí tedy
 
     \[
 
     \[
 
       \begin{split}
 
       \begin{split}
         \Bigl(\forall\epsilon>0\Bigr) \Bigl(\exists\delta>0\Bigr) \Bigl(\forall (x,y),(x',y') & \in \langle x_0-a,x_0+a \rangle \times \langle y_0-b,y_0+b \rangle \Bigr) \\
+
         \Bigl(\forall\epsilon>0\Bigr) \Bigl(\exists\delta>0\Bigr) \Bigl(\forall (x,y),(x',y') & \in \left[ x_0-a,x_0+a \right] \times \left[ y_0-b,y_0+b \right] \Bigr) \\
 
                                                                   & \Bigl( \abs{x-x'}<\delta \wedge \abs{y-y'}<\delta \Rightarrow \abs{f(x,y)-f(x',y')}<\frac{\epsilon}{2}\Bigr).
 
                                                                   & \Bigl( \abs{x-x'}<\delta \wedge \abs{y-y'}<\delta \Rightarrow \abs{f(x,y)-f(x',y')}<\frac{\epsilon}{2}\Bigr).
 
       \end{split}
 
       \end{split}
 
     \]
 
     \]
     Dále víme, že funkce $\{\phi_m\}$ jsou stejně spojité na $\langle x_0,x_0+a \rangle$ a platí tedy
+
     Dále víme, že funkce $\{\phi_m\}$ jsou stejně spojité na $\left[ x_0,x_0+a \right]$ a platí tedy
 
     \[
 
     \[
 
       \Bigl(\forall\delta>0\Bigr) \Bigl(\exists\delta'=\delta/M>0\Bigr) \Bigl(\forall m\in\N\Bigr)  
 
       \Bigl(\forall\delta>0\Bigr) \Bigl(\exists\delta'=\delta/M>0\Bigr) \Bigl(\forall m\in\N\Bigr)  
 
         \Bigl(\abs{x-\ol{x}}<\delta' \Rightarrow \abs{\phi_m(x)-\phi_m(\ol{x})}<\delta \Bigr).
 
         \Bigl(\abs{x-\ol{x}}<\delta' \Rightarrow \abs{\phi_m(x)-\phi_m(\ol{x})}<\delta \Bigr).
 
     \]
 
     \]
     V~předchozí poznámce jsme ukázali, že funkční podposloupnost $\{\phi_{m'}\}$ konverguje stejnoměrně k~$y(x)$ na $\langle x_0,x_0+a \rangle$ a rovněž tedy platí  
+
     V~předchozí poznámce jsme ukázali, že funkční podposloupnost $\{\phi_{m'}\}$ konverguje stejnoměrně k~$y(x)$ na $\left[ x_0,x_0+a \right]$ a rovněž tedy platí  
 
     \[
 
     \[
 
       \lim_{m'\to\infty} \phi_{m'}(x) = y(x),
 
       \lim_{m'\to\infty} \phi_{m'}(x) = y(x),
 
     \]
 
     \]
     pro každé $x\in\langle x_0,x_0+a \rangle$.
+
     pro každé $x\in\left[ x_0,x_0+a \right]$.
 
   
 
   
 
     Vezměme $m'>a/\ol{h}$ (viz začátek důkazu, zajímá nás $m' \to +\infty$). Dále zvolme pevné $\ol{h}$ tak, aby $\ol{h}<\min\{\delta,\delta/M\}$.  
 
     Vezměme $m'>a/\ol{h}$ (viz začátek důkazu, zajímá nás $m' \to +\infty$). Dále zvolme pevné $\ol{h}$ tak, aby $\ol{h}<\min\{\delta,\delta/M\}$.  
Řádka 424: Řádka 424:
 
\end{remark}
 
\end{remark}
 
   
 
   
\begin{theorem}[Peanova\footnote{\textbf{Giuseppe Peano} (1858-1932), italský matematik.}, o~existenci]
+
\begin{theorem}[Peanova\footnote{\textbf{Giuseppe Peano} (1858--1932), italský matematik.}, o~existenci]
 
   \index{věta!Peanova}
 
   \index{věta!Peanova}
 
   \label{theo:peano}
 
   \label{theo:peano}
   Nechť funkce $f$ je spojitá na oblasti $\Gamma\subset\R^2$, $[x_0,y_0]\in\Gamma$. Pak existuje alespoň jedno řešení rovnice $y'=f(x,y)$ splňující podmínku
+
   Nechť funkce $f$ je spojitá na oblasti $\Gamma\subset\R^2$, $\col{x_0}{y_0}\in\Gamma$. Pak existuje alespoň jedno řešení rovnice $y'=f(x,y)$ splňující podmínku
 
   $y(x_0)=y_0$.
 
   $y(x_0)=y_0$.
 
   
 
   
Řádka 473: Řádka 473:
 
     y(x) &=& \frac{x^3}{27},
 
     y(x) &=& \frac{x^3}{27},
 
   \end{eqnarray*}
 
   \end{eqnarray*}
   řeší tuto diferenciální rovnici pro všechna $x\in\R$. Bodem $[0,0]$ tedy prochází alespoň dvě různé integrální křivky.
+
   řeší tuto diferenciální rovnici pro všechna $x\in\R$. Bodem $\col{0}{0}$ tedy prochází alespoň dvě různé integrální křivky.
 
\end{remark}
 
\end{remark}
 
   
 
   
\begin{theorem}[Osgoodova\footnote{\textbf{William Fogg Osgood} (1864-1943), americký matematik.}, o~jednoznačnosti]
+
\begin{theorem}[Osgoodova\footnote{\textbf{William Fogg Osgood} (1864--1943), americký matematik.}, o~jednoznačnosti]
 
   \index{věta!Osgoodova}
 
   \index{věta!Osgoodova}
 
   \label{theo:osgood}
 
   \label{theo:osgood}
 
   Nechť funkce $f=f(x,y)$ má vlastnost  
 
   Nechť funkce $f=f(x,y)$ má vlastnost  
 
   \[
 
   \[
     \Bigl(\forall[x,y_1],[x,y_2]\in\Gamma\Bigr) \Bigl(\abs{f(x,y_1)-f(x,y_2)}\leq\Phi\left(\abs{y_2-y_1}\right)\Bigr),
+
     \Bigl(\forall
 +
    \COL{x}{y_1}, \COL{x}{y_2} \in\Gamma\Bigr) \Bigl(\abs{f(x,y_1)-f(x,y_2)}\leq\Phi\left(\abs{y_2-y_1}\right)\Bigr),
 
   \]
 
   \]
   kde $\Phi: \langle 0,C \rangle \to \Rop$ je funkce spojitá a kladná na $(0,C\rangle$, $\Phi(0)=0$ a dále platí, že
+
   kde $\Phi: \left[ 0,C \right] \to \Rop$ je funkce spojitá a kladná na $\left(0,C\right]$, $\Phi(0)=0$ a dále platí, že
 
   \[
 
   \[
 
     \lim_{\epsilon \to 0_+} \int_{\epsilon}^{C} \frac{\dif u}{\Phi(u)} = +\infty.
 
     \lim_{\epsilon \to 0_+} \int_{\epsilon}^{C} \frac{\dif u}{\Phi(u)} = +\infty.
 
   \]
 
   \]
   Potom každým bodem $[x_0,y_0]\in\Gamma$ prochází nejvýše jedna integrální křivka rovnice \eqref{eq:poculo}.
+
   Potom každým bodem $\col{x_0}{y_0}\in\Gamma$ prochází nejvýše jedna integrální křivka rovnice \eqref{eq:poculo}.
 
   
 
   
 
   \begin{proof}
 
   \begin{proof}
Řádka 514: Řádka 515:
 
     \]
 
     \]
 
   
 
   
     Uvážíme-li, že funkce $z$ je spojitá, zřejmě $\exists x_2 \in \langle x_0,x_1)$ tak, že $z(x_2) = 0$. Bodů splňujících tento požadavek  
+
     Uvážíme-li, že funkce $z$ je spojitá, zřejmě $\exists x_2 \in \left[ x_0,x_1\right)$ tak, že $z(x_2) = 0$. Bodů splňujících tento požadavek  
     může být v~intervalu $\langle x_0,x_1)$ více. Určitě je tam alespoň jeden, a to přímo bod $x_0$. Bod $x_2$ vybereme tedy tak, aby  
+
     může být v~intervalu $\left[ x_0,x_1\right)$ více. Určitě je tam alespoň jeden, a to přímo bod $x_0$. Bod $x_2$ vybereme tedy tak, aby  
 
     platilo $z(x_2)=0$ a zároveň $z(x)>0$ pro $x_2 < x \leq x_1$ (je tedy co nejblíže bodu $x_1$). Potom přejdeme v~nerovnosti k~limitě  
 
     platilo $z(x_2)=0$ a zároveň $z(x)>0$ pro $x_2 < x \leq x_1$ (je tedy co nejblíže bodu $x_1$). Potom přejdeme v~nerovnosti k~limitě  
 
     $x \to x_2$, odkud $z(x) \to 0$ a dostaneme
 
     $x \to x_2$, odkud $z(x) \to 0$ a dostaneme
Řádka 544: Řádka 545:
 
   \index{funkce!lokálně lipschitzovská}
 
   \index{funkce!lokálně lipschitzovská}
 
   Nechť funkce $f=f(x,y)$ je definová na oblasti $\Gamma\subset\R^2$. Pak říkáme, že \textbf{funkce $f$ splňuje na $\Gamma$ Lipschitzovu}\footnote{
 
   Nechť funkce $f=f(x,y)$ je definová na oblasti $\Gamma\subset\R^2$. Pak říkáme, že \textbf{funkce $f$ splňuje na $\Gamma$ Lipschitzovu}\footnote{
   \textbf{Rudolf Otto Sigismund Lipschitz} (1832-1903), německý matematik.} \textbf{podmínku s~konstantou $L$ vzhledem k~$y$} právě tehdy, když  
+
   \textbf{Rudolf Otto Sigismund Lipschitz} (1832--1903), německý matematik.} \textbf{podmínku s~konstantou $L > 0$ vzhledem k~$y$} právě tehdy, když  
 
   \[
 
   \[
     \Bigl(\forall[x,y_1],[x,y_2]\in\Gamma\Bigr) \Bigl(\abs{f(x,y_1)-f(x,y_2)} \leq L\abs{y_1-y_2}\Bigr).
+
     \Bigl(\forall
 +
\COL{x}{y_1}, \COL{x}{y_2} \in\Gamma\Bigr) \Bigl(\abs{f(x,y_1)-f(x,y_2)} \leq L\abs{y_1-y_2}\Bigr).
 
   \]
 
   \]
 
   
 
   
   Řekneme, že \textbf{funkce $f$ splňuje na $\Gamma$ lokálně Lipschitzovu podmínku s~konstantou $L$ vzhledem k~$y$} právě tehdy, když $\forall[x_0,y_0]\in\Gamma$  
+
   Řekneme, že \textbf{funkce $f$ splňuje na $\Gamma$ lokálně Lipschitzovu podmínku s~konstantou $L$ vzhledem k~$y$} právě tehdy, když $\forall\col{x_0}{y_0}\in\Gamma$  
   existuje okolí $H$ bodu $[x_0,y_0]$ tak, že $f$ splňuje na $H$ Lipschitzovu podmínku s~konstantou $L$ vzhledem k~$y$.
+
   existuje okolí $H$ bodu $\col{x_0}{y_0}$ tak, že $f$ splňuje na $H$ Lipschitzovu podmínku s~konstantou $L$ vzhledem k~$y$.
 
\end{define}
 
\end{define}
 
   
 
   
Řádka 559: Řádka 561:
 
   
 
   
 
\begin{theorem}
 
\begin{theorem}
   Nechť je $f: \Gamma \to \R$, kde $\Gamma$ je oblast v~$\R^2$ a dále nechť $\partial_y \in \Cc(\Gamma)$. Potom $f$ je lokálně lipschitzovská  
+
   Nechť je $f: \Gamma \to \R$, kde $\Gamma$ je oblast v~$\R^2$ a dále nechť $\partial_y f \in \Cc(\Gamma)$. Potom $f$ je lokálně lipschitzovská  
 
   na $\Gamma$ vzhledem k~$y$.
 
   na $\Gamma$ vzhledem k~$y$.
 
   
 
   
 
   \begin{proof}
 
   \begin{proof}
     Zvolme libovolný bod $[x_0,y_0]\in\Gamma$. Protože podle předpokladů je funkce $\partial_y f\in \Cc(\Gamma)$, existuje konstanta $L>0$ a okolí $H$  
+
     Zvolme libovolný bod $\col{x_0}{y_0}\in\Gamma$. Protože podle předpokladů je funkce $\partial_y f\in \Cc(\Gamma)$, existuje konstanta $L>0$ a okolí $H$  
     bodu $[x_0,y_0]$ takové, že $\forall [x,y]\in H$ platí, že $\abs{\partial_y f(x,y)} \leq L$. Okolí $H$ lze zřejmě zvolit konvexní.
+
     bodu $\col{x_0}{y_0}$ takové, že $\forall \col{x}{y}\in H$ platí, že $\abs{\partial_y f(x,y)} \leq L$. ($L$ existuje podle věty o omezenosti spojité funkce na kompaktu $\ol{H}$, bod $\col{x_0}{y_0}$ musí být z vnitřku $H$.) Okolí $H$ lze zřejmě zvolit konvexní.
 
   
 
   
 
     Pro pevné $x$ se můžeme na funkci $f(x,y)$ dívat jako na funkci jedné reálné proměnné $y$ a na rozdíl $\abs{f(x,y_1)-f(x,y_2)}$ aplikovat větu  
 
     Pro pevné $x$ se můžeme na funkci $f(x,y)$ dívat jako na funkci jedné reálné proměnné $y$ a na rozdíl $\abs{f(x,y_1)-f(x,y_2)}$ aplikovat větu  
     o~přírůstku funkce (viz~\cite[Věta 5.10]{rudin1}). Potom pro libovolné $[x,y_1],[x,y_2]\in H$ platí
+
     o~přírůstku funkce (viz~\cite[Věta 5.10]{rudin1}). Potom pro libovolné $\col{x}{y_1},\col{x}{y_2}\in H$ platí
 
     \[
 
     \[
 
       \abs{f(x,y_1) - f(x,y_2)} = \abs{\partial_y f(x,\xi)} \abs{y_1-y_2} \leq L \abs{y_1-y_2},
 
       \abs{f(x,y_1) - f(x,y_2)} = \abs{\partial_y f(x,\xi)} \abs{y_1-y_2} \leq L \abs{y_1-y_2},
Řádka 576: Řádka 578:
 
   
 
   
 
\begin{theorem}
 
\begin{theorem}
   Nechť funkce $f$ je spojitá na $\Gamma$ a lokálně lipschitzovská vzhledem k~$y$ na $\Gamma$. Potom každým bodem $[x_0,y_0]\in\Gamma$ prochází právě  
+
   Nechť funkce $f$ je spojitá na $\Gamma$ a lokálně lipschitzovská vzhledem k~$y$ na $\Gamma$. Potom každým bodem $\col{x_0}{y_0}\in\Gamma$ prochází právě  
 
   jedna integrální křivka úlohy \eqref{eq:poculo}.
 
   jedna integrální křivka úlohy \eqref{eq:poculo}.
 
   
 
   
Řádka 592: Řádka 594:
 
\subsection{Prodloužitelné a neprodloužitelné řešení}
 
\subsection{Prodloužitelné a neprodloužitelné řešení}
 
\begin{remark}
 
\begin{remark}
   Podle důkazu Peanovy věty \ref{theo:peano} jsme k~bodu $[x_0,y_0] \in \Gamma$ sestrojili obdélník tak, že funkce $y(x)$ definovaná na intervalu  
+
   Podle důkazu Peanovy věty \ref{theo:peano} jsme k~bodu $\col{x_0}{y_0} \in \Gamma$ sestrojili obdélník tak, že funkce $y(x)$ definovaná na intervalu  
   $\langle x_0-a,x_0+a \rangle$ splňovala pro všechna $x\in(x_0-a,x_0+a)$ rovnici $y'(x)=f(x,y(x))$ a zároveň $y(x_0)=y_0$. Peanova věta nám tedy zaručuje  
+
   $\left[ x_0-a,x_0+a \right]$ splňovala $\forall x\in\left( x_0-a,x_0+a\right) $ rovnici $y'(x)=f(x,y(x))$ a zároveň $y(x_0)=y_0$. Peanova věta nám tedy zaručuje  
 
   existenci řešení úlohy \eqref{eq:poculo} \textbf{lokálně}, na jistém okolí (viz~obr.~\ref{fig:kprodlouzeni}).
 
   existenci řešení úlohy \eqref{eq:poculo} \textbf{lokálně}, na jistém okolí (viz~obr.~\ref{fig:kprodlouzeni}).
 
   
 
   
Řádka 609: Řádka 611:
 
   \end{eqnarray*}
 
   \end{eqnarray*}
 
   
 
   
   Zřejmě platí $[x_1,y_1]\in\Gamma$ a lze tedy řešit úlohu s~novou počáteční podmínkou (díky tomu, že nalezené řešení bylo definované na uzavřeném  
+
   Zřejmě platí $\col{x_1}{y_1}\in\Gamma$ a lze tedy řešit úlohu s~novou počáteční podmínkou (díky tomu, že nalezené řešení bylo definované na uzavřeném  
 
   intervalu)
 
   intervalu)
 
   \begin{eqnarray*}
 
   \begin{eqnarray*}
Řádka 615: Řádka 617:
 
     y(x_1) &=& y_1.
 
     y(x_1) &=& y_1.
 
   \end{eqnarray*}
 
   \end{eqnarray*}
   Z~Peanovy věty vyplývá existence funkce $y^{(1)}(x)$ definované na intervalu $\langle x_1-a_1,x_1+a_1 \rangle$, která řeší uvedenou úlohu  
+
   Z~Peanovy věty vyplývá existence funkce $y^{(1)}(x)$ definované na intervalu $\left[ x_1-a_1,x_1+a_1 \right]$, která řeší uvedenou úlohu  
   na otevřeném intervalu $(x_1-a_1,x_1+a_1)$. Původní funkci $y(x)$ definovanou na intervalu $\langle x_0-a,x_0+a \rangle$ lze zřejmě prodloužit  
+
   na otevřeném intervalu $(x_1-a_1,x_1+a_1)$. Původní funkci $y(x)$ definovanou na intervalu $\left[ x_0-a,x_0+a \right]$ lze zřejmě prodloužit  
   na interval $\langle x_0-a,x_1+a_1 \rangle$ tak, že položíme
+
   na interval $\left[ x_0-a,x_1+a_1 \right]$ tak, že položíme
 
   \[
 
   \[
     y(x) = \begin{cases} y(x) & \text{ pro } x\in\langle x_0-a,x_0+a \rangle\\ y^{(1)}(x) & \text{ pro } x\in(x_0+a,x_1+a_1\rangle \end{cases}.
+
     y(x) = \begin{cases} y(x) & \text{ pro } x\in\left[ x_0-a,x_0+a \right]\\ y^{(1)}(x) & \text{ pro } x\in\left( x_0+a,x_1+a_1\right] \end{cases}.
 
   \]
 
   \]
 
   Prodloužená funkce $y$ potom řeší původní úlohu na prodlouženém intervalu $(x_0-a,x_1+a_1)$.
 
   Prodloužená funkce $y$ potom řeší původní úlohu na prodlouženém intervalu $(x_0-a,x_1+a_1)$.
Řádka 628: Řádka 630:
 
     y_k &=& y^{(k-1)}(x_{k-1}+a_{k-1}).
 
     y_k &=& y^{(k-1)}(x_{k-1}+a_{k-1}).
 
   \end{eqnarray*}
 
   \end{eqnarray*}
   Platí $[x_k,y_k]\in\Gamma$ a z~Peanovy věty existuje $y^{(k)}(x)$ definované na intervalu $\langle x_k-a_k,x_k+a_k \rangle$. Původní řešení tedy  
+
   Platí $\col{x_k}{y_k}\in\Gamma$ a z~Peanovy věty existuje $y^{(k)}(x)$ definované na intervalu $\left[ x_k-a_k,x_k+a_k \right]$. Původní řešení tedy  
   můžeme prodloužit o~interval $\langle x_k,x_k+a_k \rangle$ a pro každé $x\in(x_0-a,x_k+a_k)$ je splněna rovnice $y'(x) = f(x,y(x))$.
+
   můžeme prodloužit o~interval $\left[ x_k,x_k+a_k \right]$ a $\forall x\in\left( x_0-a,x_k+a_k\right) $ je splněna rovnice $y'(x) = f(x,y(x))$.
 
   
 
   
 
   Z~provedených úvah je zřejmé, že analogicky bychom mohli původní řešení prodlužovat doleva.
 
   Z~provedených úvah je zřejmé, že analogicky bychom mohli původní řešení prodlužovat doleva.
Řádka 640: Řádka 642:
 
   \index{řešení!prodloužitelné}
 
   \index{řešení!prodloužitelné}
 
   \index{řešení!neprodloužitelné}
 
   \index{řešení!neprodloužitelné}
   Nechť funkce $\phi(x)$ je řešením úlohy \eqref{eq:poculo} na $\langle\alpha,\beta\rangle$. Říkáme, že řešení $\phi$ je \textbf{prodloužitelné}  
+
   Nechť funkce $\phi(x)$ je řešením úlohy \eqref{eq:poculo} na $\left[\alpha,\beta\right]$. Říkáme, že řešení $\phi$ je \textbf{prodloužitelné}  
   právě tehdy, jestliže existuje funkce $\phi_1(x)$, definovaná na $\langle\alpha_1,\beta_1\rangle$ (takovém, že $\alpha_1\leq\alpha$, $\beta_1\geq\beta$  
+
   právě tehdy, jestliže existuje funkce $\phi_1(x)$, definovaná na $\left[\alpha_1,\beta_1\right]$ (takovém, že $\alpha_1\leq\alpha$, $\beta_1\geq\beta$  
   a přitom $\alpha_1<\alpha \vee \beta_1>\beta$), taková, že $\phi_1\vert_{\langle\alpha,\beta\rangle} = \phi$ a $\phi_1$ řeší úlohu \eqref{eq:poculo}.
+
   a přitom $\alpha_1<\alpha \vee \beta_1>\beta$), taková, že $\phi_1\vert_{\left[\alpha,\beta\right]} = \phi$ a $\phi_1$ řeší úlohu \eqref{eq:poculo}.
 
   
 
   
 
   Funkce $\phi_1$ se pak nazývá \textbf{prodloužením} funkce $\phi$.
 
   Funkce $\phi_1$ se pak nazývá \textbf{prodloužením} funkce $\phi$.
Řádka 653: Řádka 655:
 
   
 
   
 
\begin{theorem}
 
\begin{theorem}
 +
  \label{theo:krit_prodl}
 
   Nechť $f\in \Cc(\Gamma)$. Pak řešení $\phi=\phi(x)$ úlohy \eqref{eq:poculo} definované na $(\alpha,\beta)$ je neprodloužitelné právě tehdy, když platí
 
   Nechť $f\in \Cc(\Gamma)$. Pak řešení $\phi=\phi(x)$ úlohy \eqref{eq:poculo} definované na $(\alpha,\beta)$ je neprodloužitelné právě tehdy, když platí
 
   alespoň jedna z~následujících podmínek (pro neprodloužitelnost v~daném směru):
 
   alespoň jedna z~následujících podmínek (pro neprodloužitelnost v~daném směru):
Řádka 658: Řádka 661:
 
     \item $\beta = +\infty$ (ve směru doprava), resp.~$\alpha=-\infty$ (ve směru doleva),
 
     \item $\beta = +\infty$ (ve směru doprava), resp.~$\alpha=-\infty$ (ve směru doleva),
 
     \item $\abs{\phi(x)} \to +\infty$ pro $x\to\beta_-$, resp.~pro $x\to\alpha_+$,
 
     \item $\abs{\phi(x)} \to +\infty$ pro $x\to\beta_-$, resp.~pro $x\to\alpha_+$,
     \item $\rho([x,\phi(x)],\partial\Gamma) \to 0$ pro $x\to\beta_-$, resp.~pro $x\to\alpha_+$.
+
     \item $\rho(\col{x}{\phi(x)},\partial\Gamma) \to 0$ pro $x\to\beta_-$, resp.~pro $x\to\alpha_+$.
 
   \end{enumerate}
 
   \end{enumerate}
 
   
 
   
Řádka 672: Řádka 675:
 
             $\exists \lim\limits_{x\to\beta_-} \phi(x) \in \R$, což je spor s~podmínkou (2).
 
             $\exists \lim\limits_{x\to\beta_-} \phi(x) \in \R$, což je spor s~podmínkou (2).
 
           \item Pokud lze $\phi$ prodloužit za $\beta$, pak $\lim\limits_{x\to\beta_-} \phi(x) \in \R$. Potom také  
 
           \item Pokud lze $\phi$ prodloužit za $\beta$, pak $\lim\limits_{x\to\beta_-} \phi(x) \in \R$. Potom také  
             $\lim\limits_{x\to\beta_-} [x,\phi(x)] \in \Gamma$. Z~podmínky (3) pak plyne $\lim\limits_{x\to\beta_-} [x,\phi(x)] \in \partial\Gamma$. Pak  
+
             $\lim\limits_{x\to\beta_-} \col{x}{\phi(x)} \in \Gamma$. Z~podmínky (3) pak plyne $\lim\limits_{x\to\beta_-} \col{x}{\phi(x)} \in \partial\Gamma$. Pak  
             tedy $\lim\limits_{x\to\beta_-} [x,\phi(x)] \in \Gamma \cap \partial\Gamma$, což je spor s~předpokladem, že $\Gamma$ je oblast.
+
             tedy $\lim\limits_{x\to\beta_-} \col{x}{\phi(x)} \in \Gamma \cap \partial\Gamma$, což je spor s~předpokladem, že $\Gamma$ je oblast.
 
         \end{enumerate}
 
         \end{enumerate}
 
   
 
   
 
%\item
 
%\item
 
       \item \underline{$\Rightarrow$:} Důkaz se provede sporem. Nechť $\phi=\phi(x)$ je neprodloužitelné řešení a zároveň nechť není splněna žádná z~podmínek  
 
       \item \underline{$\Rightarrow$:} Důkaz se provede sporem. Nechť $\phi=\phi(x)$ je neprodloužitelné řešení a zároveň nechť není splněna žádná z~podmínek  
         (1), (2), (3), tj.~platí $\neg (1) \wedge \neg (2) \wedge \neg (3)$. Z~lemmatu \ref{lem:k_prodl} pak $\exists\lim\limits_{x\to\beta_-}[x,\phi(x)]\in\R^2$
+
         (1), (2), (3), tj.~platí $\neg (1) \wedge \neg (2) \wedge \neg (3)$. Z~lemmatu \ref{lem:k_prodl} pak $\exists\lim\limits_{x\to\beta_-}\col{x}{\phi(x)}\in\R^2$
         a ze spojitosti funkce $\rho([x,y],\partial\Gamma)$ (kde za argument funkce považujeme $[x,y]$) plyne, že  
+
         a ze spojitosti funkce $\rho(\col{x}{y},\partial\Gamma)$ (kde za argument funkce považujeme $\col{x}{y}$) plyne, že  
 
         \[
 
         \[
           \exists \lim_{x\to\beta_-} \rho([x,\phi(x)],\partial\Gamma) \stackrel{\text{ozn.}}{=} \ub{d > 0}_{\text{z }\neg(3)}.
+
           \exists \lim_{x\to\beta_-} \rho\left(\COL{x}{\phi(x)},\partial\Gamma\right) \stackrel{\text{ozn.}}{=} \ub{d > 0}_{\text{z }\neg(3)}.
 
         \]
 
         \]
 
         Tento limitní bod tedy leží uvnitř $\Gamma$, tj.~platí
 
         Tento limitní bod tedy leží uvnitř $\Gamma$, tj.~platí
 
         \[
 
         \[
           \lim_{x\to\beta_-} [x,\phi(x)] = [\beta, \lim_{x\to\beta_-} \phi(x)] \in \Gamma.
+
           \lim_{x\to\beta_-} \COL{x}{\phi(x)} = \COL{\beta}{\lim_{x\to\beta_-} \phi(x)\in \Gamma.
 
         \]
 
         \]
 
         Označme $\lim\limits_{x\to\beta_-} \phi(x) = \phi(\beta)$. Lze tedy řešit počáteční úlohu $y'=f(x,y)$, $y(\beta) = \phi(\beta)$ a řešení $\phi$  
 
         Označme $\lim\limits_{x\to\beta_-} \phi(x) = \phi(\beta)$. Lze tedy řešit počáteční úlohu $y'=f(x,y)$, $y(\beta) = \phi(\beta)$ a řešení $\phi$  
Řádka 692: Řádka 695:
 
   \end{proof}
 
   \end{proof}
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
 +
 +
\begin{remark}
 +
Větu lze intuitivně pochopit tak, že řešení nelze prodloužit, pokud
 +
\vspace{-2mm}
 +
\begin{enumerate}[(1)]
 +
    \item není kam,\vspace{-2mm}
 +
    \item není co,\vspace{-2mm}
 +
    \item není kudy.
 +
  \end{enumerate}
 +
\end{remark}
 
   
 
   
 
\begin{lemma}
 
\begin{lemma}
Řádka 700: Řádka 713:
 
     Při dokazování využijeme následující lemma:
 
     Při dokazování využijeme následující lemma:
 
     \begin{lemma}
 
     \begin{lemma}
       Spojitá funkce na $\langle a,b \rangle$ nabývá všech hodnot mezi svým maximem a minimem, resp.~mezi hodnotami $f(x')$ a $f(x'')$ pro každé  
+
       Spojitá funkce na $\left[ a,b \right]$ nabývá všech hodnot mezi svým maximem a minimem, resp.~mezi hodnotami $f(x')$ a $f(x'')$ pro každé  
       $x', x'' \in \langle a,b \rangle$.
+
       $x', x'' \in \left[ a,b \right]$.
 
       \begin{proof}
 
       \begin{proof}
 
         Viz~např.~\cite[Věta 4.23]{rudin1}
 
         Viz~např.~\cite[Věta 4.23]{rudin1}
Řádka 723: Řádka 736:
 
       Q &=& \sup \Big\{ \limsup_{n\to\infty} \phi(x_n) \ \Big\vert \ \{x_n\}_{n\geq1} \in \pi \Big\}.
 
       Q &=& \sup \Big\{ \limsup_{n\to\infty} \phi(x_n) \ \Big\vert \ \{x_n\}_{n\geq1} \in \pi \Big\}.
 
     \end{eqnarray*}
 
     \end{eqnarray*}
     Z~konstrukce je zřejmé, že $P \leq Q$. Z~podmínky $\neg(2)$ plyne, že $\phi$ je omezená\footnote{To by chtělo nějak rozebrat --- já to nevidím.}, tj.~$P>-\infty$ a $Q<+\infty$. Situace by tedy mohla vypadat např.~jako  
+
     Z~konstrukce je zřejmé, že $P \leq Q$ a jistě také platí: $P<+\infty$ a $Q>-\infty$.  
    na obr.~\ref{fig:kprodlem}. Hledaná limita zřejmě existuje právě, když $P=Q$ (a v~tom případě je reálná). Při dokazování této rovnosti budeme postupovat sporem,  
+
    %Z~podmínky $\neg(2)$ plyne, že $\phi$ je omezená\footnote{To by chtělo nějak rozebrat -- já to nevidím.}, tj.~$P>-\infty$ a $Q<+\infty$.
    tj.~předpokládejme, že $P<Q$. Nejdříve vyslovíme pomocné tvrzení.
+
    Dále budeme uvažovat případ, kdy $P,Q\in\R$ -- situace by tedy mohla vypadat např.~jako na obr.~\ref{fig:kprodlem}.  
 +
    Případ, kdy alespoň jedno z~$P$ nebo $Q$ není konečné, si laskavý čtenář jistě s~radostí přidokáže sám.
 +
    Hledaná limita zřejmě existuje právě, když $P=Q$ (a v~tom případě je reálná). Při dokazování této rovnosti budeme postupovat sporem, tj.~předpokládejme, že $P<Q$.  
 +
    Nejdříve vyslovíme pomocné tvrzení.
 
   
 
   
 
     \begin{corollary}
 
     \begin{corollary}
 
       \[
 
       \[
         \Bigl(\forall y\in\langle P,Q \rangle \Bigr) \Bigl( y\text{ je hromadný bod hodnot } \phi(x) \text{ pro } x\to\beta_- \Bigr).
+
         \Bigl(\forall y\in\left[ P,Q \right] \Bigr) \Bigl( y\text{ je hromadný bod hodnot } \phi(x) \text{ pro } x\to\beta_- \Bigr).
 
       \]
 
       \]
 
       \begin{proof}
 
       \begin{proof}
 
         Chceme ukázat, že platí
 
         Chceme ukázat, že platí
 
         \[
 
         \[
           \Bigl(\forall y\in\langle P,Q\rangle\Bigr) \Bigl( [\beta,y] \text{ je hromadný bod grafu funkce } \phi\Bigr).
+
           \Bigl(\forall y\in\left[ P,Q\right]\Bigr) \Bigl( \COL{\beta}{y} \text{ je hromadný bod grafu funkce } \phi\Bigr).
 
         \]
 
         \]
 
   
 
   
         Body $[\beta,P]$ a $[\beta,Q]$ tento požadavek zřejmě splňují, což okamžitě vyplývá z~definice $P$ a $Q$ (jako limes superior a limes inferior). Pro body  
+
         Body $\col{\beta}{P}$ a $\col{\beta}{Q}$ tento požadavek zřejmě splňují, což okamžitě vyplývá z~definice $P$ a $Q$ (jako limes superior a limes inferior). Pro body  
         $[\beta,y]$ takové, že $y\in(P,Q)$ postupujume následujícím způsobem.
+
         $\col{\beta}{y}$ takové, že $y\in(P,Q)$ postupujume následujícím způsobem.
 
   
 
   
 
         Vezměme $0 < \epsilon' < \frac{1}{2} \min \{ \abs{y-P}, \abs{y-Q} \}$. Z~definice bodu $P$ pak plyne
 
         Vezměme $0 < \epsilon' < \frac{1}{2} \min \{ \abs{y-P}, \abs{y-Q} \}$. Z~definice bodu $P$ pak plyne
 
         \[
 
         \[
           \Bigl( \exists \{x'_n\}_{n\geq1}\in\pi \Bigr) \Bigl( \liminf_{n\to\infty} \phi(x'_n) \in \langle P,P+\epsilon' ) \Bigr).
+
           \Bigl( \exists \{x'_n\}_{n\geq1}\in\pi \Bigr) \Bigl( \liminf_{n\to\infty} \phi(x'_n) \in \left[ P,P+\epsilon' \right) \Bigr).
 
         \]
 
         \]
 
         Podobně z~definice bodu $Q$ plyne
 
         Podobně z~definice bodu $Q$ plyne
 
         \[
 
         \[
           \Bigl( \exists \{x''_n\}_{n\geq1}\in\pi \Bigr) \Bigl( \limsup_{n\to\infty} \phi(x''_n) \in ( Q-\epsilon',Q \rangle \Bigr).
+
           \Bigl( \exists \{x''_n\}_{n\geq1}\in\pi \Bigr) \Bigl( \limsup_{n\to\infty} \phi(x''_n) \in \left( Q-\epsilon',Q \right] \Bigr).
 
         \]
 
         \]
         Z~vlastností limes superior a limes inferior dostáváme\footnote{Toto tvrzení platí, až když vezmeme příslušné vybrané posloupnosti.}
+
         Z~vlastností limes superior a limes inferior a posloupností $\{x'_n\}$ a $\{x''_n\}$ plyne existence vybraných posloupností (vzhledem k~tomu, že původní posloupnosti
 +
        už nebudeme potřebovat, označíme tyto vybrané posloupnosti stejně jako ty původní), pro něž platí
 
         \[
 
         \[
           \Bigl( \exists n_0 \Bigr) \Bigl( \forall n>n_0 \Bigr) \Bigl( \phi(x'_n) \in \langle P,P+2\epsilon' ) \wedge \phi(x''_n) \in ( Q-2\epsilon',Q \rangle \Bigr).
+
           \Bigl( \exists n_0 \Bigr) \Bigl( \forall n>n_0 \Bigr) \Bigl( \phi(x'_n) \in \left[ P,P+2\epsilon' ) \wedge \phi(x''_n) \in ( Q-2\epsilon',Q \right] \Bigr).
 
         \]
 
         \]
 
         Situace je zachycena na obr.~\ref{fig:kprodtvrz}.
 
         Situace je zachycena na obr.~\ref{fig:kprodtvrz}.
Řádka 771: Řádka 788:
 
           \Bigl( \exists \{x'''_n\}_{n\geq1} \in \pi \Bigr) \Bigl( \phi(x'''_n) = y \Bigr).
 
           \Bigl( \exists \{x'''_n\}_{n\geq1} \in \pi \Bigr) \Bigl( \phi(x'''_n) = y \Bigr).
 
         \]
 
         \]
         Odtud zřejmě $\lim\limits_{n\to\infty} [x'''_n,\phi(x'''_n)] = [\beta,y]$ a tedy $[\beta,y]$ je hromadný bod grafu $\phi$, což jsme chtěli dokázat.
+
         Odtud zřejmě $\lim\limits_{n\to\infty} [x'''_n,\phi(x'''_n)] = \col{\beta}{y}$ a tedy $\col{\beta}{y}$ je hromadný bod grafu $\phi$, což jsme chtěli dokázat.
 
       \end{proof}
 
       \end{proof}
 
     \end{corollary}
 
     \end{corollary}
Řádka 777: Řádka 794:
 
     Ukázali jsme, že všechny body úsečky
 
     Ukázali jsme, že všechny body úsečky
 
     \[
 
     \[
       M = \Big\{ [\beta,y] \ \Big\vert \ y \in \langle P,Q \rangle \Big\}
+
       M = \Big\{ \COL{\beta}{y} \ \Big\vert \ y \in \left[ P,Q \right] \Big\}
 
     \]
 
     \]
     jsou hromadnými body grafu $\phi$. Z~předpokladu $\neg(3)$\footnote{tj.~$\neg\left(\rho([x,\phi(x)],\partial\Gamma)\xrightarrow{x\to\beta_-}0\right)$.}  
+
     jsou hromadnými body grafu $\phi$. Z~předpokladu $\neg(3)$\footnote{tj.~$\neg\left(\rho(\col{x}{\phi(x)},\partial\Gamma)\xrightarrow{x\to\beta_-}0\right)$.}  
 
     plyne, že graf funkce $\phi$ se neblíží k~hranici $\partial\Gamma$. Situace je zachycena na obr.~\ref{fig:kprodlem2}.
 
     plyne, že graf funkce $\phi$ se neblíží k~hranici $\partial\Gamma$. Situace je zachycena na obr.~\ref{fig:kprodlem2}.
 
     Zřejmě každý bod úsečky $M$ leží buď v~$\Gamma$ anebo v~$\partial\Gamma$, není však možné, aby všechny tyto body ležely v~$\partial\Gamma$ (to by byl  
 
     Zřejmě každý bod úsečky $M$ leží buď v~$\Gamma$ anebo v~$\partial\Gamma$, není však možné, aby všechny tyto body ležely v~$\partial\Gamma$ (to by byl  
 
     spor s~$\neg (3)$).
 
     spor s~$\neg (3)$).
 
   
 
   
     Zvolme libovolné $y_0 \in (P,Q)$ tak, aby $[\beta,y_0] \in \Gamma$. Okolo bodu $[\beta,y_0]$ sestrojíme obdélník (viz~obr.~\ref{fig:kprodlem2})
+
     Zvolme libovolné $y_0 \in (P,Q)$ tak, aby $\col{\beta}{y_0} \in \Gamma$. Okolo bodu $\col{\beta}{y_0}$ sestrojíme obdélník (viz~obr.~\ref{fig:kprodlem2})
 
     \[
 
     \[
       D = \langle \beta-\delta_1,\beta \rangle \times \langle y_0-\epsilon_1,y_0+\epsilon_1 \rangle,
+
       D = \left[ \beta-\delta_1,\beta \right] \times \left[ y_0-\epsilon_1,y_0+\epsilon_1 \right],
 
     \]
 
     \]
 
     kde konstanty $\epsilon_1,\delta_1$ volíme tak, aby $D\subset\Gamma$. Označme dále
 
     kde konstanty $\epsilon_1,\delta_1$ volíme tak, aby $D\subset\Gamma$. Označme dále
 
     \[
 
     \[
       M = \max \Big\{ \abs{f(x,y)} \ \Big\vert \ [x,y] \in D \Big\}.
+
       B = \max \Big\{ \abs{f(x,y)} \ \Big\vert \ \COL{x}{y} \in D \Big\}.
 
     \]
 
     \]
 
   
 
   
Řádka 804: Řádka 821:
 
       \Bigl( \exists \{x'_n\}_{n\geq1}, \{x''_n\}_{n\geq1} \in \pi \Bigr) \Bigl(\forall n\in\N\Bigr) \Bigl( \phi(x'_n) = y_0-\epsilon_1 \wedge \phi(x''_n) = y_0+\epsilon_1 \Bigr).
 
       \Bigl( \exists \{x'_n\}_{n\geq1}, \{x''_n\}_{n\geq1} \in \pi \Bigr) \Bigl(\forall n\in\N\Bigr) \Bigl( \phi(x'_n) = y_0-\epsilon_1 \wedge \phi(x''_n) = y_0+\epsilon_1 \Bigr).
 
     \]
 
     \]
     Zvolme $\delta>0$ tak, že $\delta<\delta_1 \wedge \delta<\epsilon_1/2M$. Potom
+
     Zvolme $\delta>0$ tak, že $\delta<\delta_1 \wedge \delta<\epsilon_1/2B$. Potom
 
     \[
 
     \[
 
       \Bigl(\exists n_0\Bigr) \Bigl(\forall n>n_0\Bigr) \Bigl( x'_n,x''_n \in (\beta-\delta,\beta) \Bigr)
 
       \Bigl(\exists n_0\Bigr) \Bigl(\forall n>n_0\Bigr) \Bigl( x'_n,x''_n \in (\beta-\delta,\beta) \Bigr)
Řádka 814: Řádka 831:
 
     Protože však $\phi$ je řešením, musí zároveň platit
 
     Protože však $\phi$ je řešením, musí zároveň platit
 
     \[
 
     \[
       \abs{\phi(x'_n) - \phi(x''_n)} = \ub{\abs{\phi'(\xi_n)}}_{=\abs{f(\xi_n,\phi(\xi_n))} \leq M} \ub{\abs{x'_n - x''_n}}_{<\delta} < M\delta < \frac{\epsilon_1}{2}.
+
       \abs{\phi(x'_n) - \phi(x''_n)} = \ub{\abs{\phi'(\xi_n)}}_{=\abs{f(\xi_n,\phi(\xi_n))} \leq B} \ub{\abs{x'_n - x''_n}}_{<\delta} < B\delta < \frac{\epsilon_1}{2}.
 
     \]
 
     \]
 
     Odtud $\abs{\phi(x'_n) - \phi(x''_n)} = 2\epsilon_1 < \frac{\epsilon_1}{2}$, což je spor.
 
     Odtud $\abs{\phi(x'_n) - \phi(x''_n)} = 2\epsilon_1 < \frac{\epsilon_1}{2}$, což je spor.
Řádka 832: Řádka 849:
 
   
 
   
 
\begin{theorem}
 
\begin{theorem}
   Nechť $\Gamma\subset\R^2$ je oblast, $f \in \Cc(\Gamma)$, $[x_0,y_0] \in \Gamma$. Potom existuje alespoň jedno neprodloužitelné řešení úlohy \eqref{eq:poculo}.
+
   Nechť $\Gamma\subset\R^2$ je oblast, $f \in \Cc(\Gamma)$, $\col{x_0}{y_0} \in \Gamma$. Potom existuje alespoň jedno neprodloužitelné řešení úlohy \eqref{eq:poculo}.
 
   
 
   
 +
% NOVÝ DŮKAZ
 
   \begin{proof}
 
   \begin{proof}
     Je dáno $[x_0,y_0]\in\Gamma$. Z~Peanovy věty \ref{theo:peano} plyne existence řešení $\phi_0$ na intervalu $\langle x_0-a_0,x_0+a_0 \rangle$. Obor hodnot
+
     Opakovaně využijeme Peanovy věty a její konstrukce. Řešení budeme prodlužovat bez újmy na obecnosti doprava. Definujme
    $\phi_0$ je interval $\langle y_0-b_0,y_0+b_0 \rangle$, kde $a_0 M_0 \leq b_0$. Označme $x_1 = x_0+a_0$ a $y_1 = \phi_0 (x_1)$. Analogicky bychom postupovali
+
    pro bod $x_0-a_0$.
+
+
    Zformulujeme úlohu $y'=f(x,y)$, $y(x_1)=y_1$. Z~Peanovy věty plyne existence řešení $\phi_1$ definovaného na $\langle x_1-a_1,x_1+a_1 \rangle$ s~hodnotami
+
    v~intervalu $\langle y_1-b_1,y_1+b_1 \rangle$, kde $a_1 M_1 \leq b_1$.
+
+
    V~$k$-tém kroku tedy položme $x_k = x_{k-1} + a_{k-1}$, $y_k = \phi_{k-1}(x_k)$. Z~Peanovy věty máme opět zaručenu existenci řešení $\phi_k$ úlohy
+
    $y'=f(x,y)$, $y(x_k)=y_k$ definovaného na intervalu $\langle x_k-a_k,x_k+a_k \rangle$ s~hodnotami v~intervalu $\langle y_k-b_k,y_k+b_k \rangle$, kde
+
    $a_k M_k \leq b_k$.
+
+
    Protože posloupnost $\{x_k\}_{k\geq1}$ je monotonní, má zřejmě i limitu. Označme
+
 
     \[
 
     \[
       \beta = \lim\limits_{k\to+\infty} x_k.
+
       E_n = \left\{ \COL{x}{y} \in \Gamma \ \Big| \ \abs{x-x_0} < n, \ \abs{y-y_0} < n, \rho ( \COL{x}{y},\partial \Gamma)  > \frac{1}{n} \right\}.
 
     \]
 
     \]
     Potom zřejmě $\forall x \in \langle x_0,\beta )$ existuje $k_0$ tak, že $x \in \langle x_0,x_{k_0}+a_{k_0} \rangle$. Definujme funkci $\phi$
+
     Potom platí $\overline{E}_n \subset E_{n+1}$ a dále
 +
    \begin{eqnarray*}
 +
      &&\Bigl( \forall n \in \N \Bigr) \Bigl( \COL{x_0}{y_0} \in E_n \Bigr), \\
 +
      &&\Bigl( \forall n \in \N \Bigr) \Bigl( \exists M_n > 0 \Bigr) \Bigl( \forall \COL{x}{y} \in E_n \Bigr) \Bigl( \abs{f(x,y)} \leq M_n \Bigr).
 +
    \end{eqnarray*}
 +
   
 +
    V~$E_1$ lze pomocí Peanovy věty sestrojit řešení $\psi$ definované na intervalu $\left[ x_0-\tilde{a},x_0+\tilde{a} \right]$. Prodlužováním tohoto
 +
    řešení stejnou konstrukcí lze získat řešení $\phi$ na intervalu $\left[ x_0,a_0 \right]$ tak, že $\col{a_0}{\phi(a_0)} \notin \ol{E}_1$ (kdyby
 +
    to nešlo, tj.~kdyby neprodloužitelné řešení $\phi$ bylo celé v~$\ol{E}_1$, pak by bylo omezené a daleko od $\partial \Gamma$, což by byl spor s~větou
 +
    \ref{theo:krit_prodl}).
 +
   
 +
    Bod $\col{a_0}{\phi(a_0)} \in \Gamma$. Nechť $n_1$ je nejmenší index takový, že $\col{a_0}{\phi(a_0)} \in \ol{E}_{n_1}$. Vezmeme tento bod za počáteční podmínku
 +
    a (opakovanou) Peanovou konstrukcí $\phi$ prodloužíme na $\left[ x_0,a_1 \right]$ tak, že $\col{a_1}{\phi(a_1)} \notin \ol{E}_{n_1}$.
 +
   
 +
    Bod $\col{a_1}{\phi(a_1)} \in \Gamma$. Nechť $n_2$ je nejmenší index takový, že $\col{a_1}{\phi(a_1)} \in \ol{E}_{n_2}$. Opakovaně prodloužíme na
 +
    $\left[ x_0,a_2 \right]$ tak, že $\col{a_2}{\phi(a_2)} \notin \ol{E}_{n_2}$.
 +
   
 +
    Takto sestrojíme posloupnosti $\{ n_k \}_{k \geq 1}$, $\{ a_k \}_{k \geq 1}$ rostoucí,
 +
    tj.~$\exists \lim\limits_{k \to \infty} a_k \in \R \cup \{ +\infty \}$  
 +
    a přitom
 
     \[
 
     \[
       \phi(x) = \phi_{k_0}(x),
+
       \Bigl( \forall k \in \N \Bigr) \Bigl( \COL{a_k}{\phi(a_k)} \notin \ol{E}_{n_k} \Bigr)
 
     \]
 
     \]
     která řeší úlohu \eqref{eq:poculo} na $\langle x_0,\beta )$. Je zřejmé, že analogickou úvahou při rozšiřování doleva bychom
+
     a řešení $\phi$ je prodlouženo na interval $\left[ x_0, \lim\limits_{k \to \infty} a_k \right]$. Označme $\ol{a} = \lim\limits_{k \to \infty} a_k$.
    získali bod $\alpha$ a sestrojili bychom řešení $\phi$ úlohy \eqref{eq:poculo} definované na intervalu $(\alpha,\beta)$.
+
      
+
     Nechť neplatí ani jedna z~podmínek věty \ref{theo:krit_prodl} (tj.~platí $\neg (1) \wedge \neg (2) \wedge \neg (3)$). Potom, podle lemmatu  
     Zajímá nás, zda je $\phi$ neprodloužitelné. Pokud je splněna alespoň jedna z~podmínek (1), (2) nebo (3), je řešení $\phi$ neprodloužitelné. Zbývá vyšetřit
+
    \ref{lem:k_prodl}, existuje
     případ, kdy není splněna ani jedna z~podmínek (1), (2) a (3), tj.~nechť platí $\neg (1) \wedge \neg (2) \wedge \neg (3)$. Z~lemmatu \ref{lem:k_prodl} plyne
+
    $\lim\limits_{k \to \infty}  \col{a_k}{\phi(a_k)}$ a je rovna $[\ol{a},\phi(\ol{a})] \in \Gamma$ a tedy
 
     \[
 
     \[
       \exists \lim_{x\to\beta_-} \phi(x) \stackrel{\text{ozn.}}{=} B \in \R.
+
       \Bigl( \exists \rho_0 > 0 \Bigr) \Bigl( \ol{B}([\ol{a},\phi(\ol{a})],\rho_0) \subset \Gamma \Bigr).
 
     \]
 
     \]
     Z~$\neg (1)$ plyne, že $\beta\in\R$ a tedy, přidáme-li předpoklad $\neg (3)$, $[\beta,B]\in\Gamma$. Potom lze zřejmě řešit úlohu
+
     Pak
     \begin{eqnarray*}
+
    \[
       y'      &=& f(x,y), \\
+
      \Bigl( \exists d_0 > 0 \Bigr) \Bigl( \exists k_0 \Bigr) \Bigl( \forall k>k_0 \Bigr) \Bigl( \COL{a_k}{\phi(a_k)} \in B([\ol{a},\phi(\ol{a})],\rho_0)
      y(\beta) &=& B.
+
        \ \wedge \ \rho([ \COL{a_k}{\phi(a_k)},\partial\Gamma) > d_0 \Bigr).
    \end{eqnarray*}
+
     \]
    Z~Peanovy věty \ref{theo:peano} plyne existence řešení $\tilde{\phi}$ na $\langle \beta-\tilde{a},\beta+\tilde{a} \rangle$ s~hodnotami v~intervalu
+
    Navíc
     $\langle B-\tilde{b},B+\tilde{b} \rangle$, kde $\tilde{a} \tilde{M} \leq \tilde{b}$. Zřejmě tedy $\tilde{\phi}$ prodlužuje řešení $\phi$ za bod $\beta$, což
+
    \[
     je spor s~konstrukcí bodu $\beta$\footnote{Tady může taky být problém --- podle Peanovy věty lze volit $a_k$ malé a v~každém dalším kroku o~tolik menší než v~předchozím kroku, že posloupnost $\{x_k\}$ nepřeleze určitou pevnou mez, přitom při jiné volbě $a_k$ by tu mez přelezla.}.
+
       \Bigl( \exists k_1 \Bigr) \Bigl( \forall k>k_1 \Bigr) \Bigl( d_0 > \frac{1}{n_k} \ \wedge \ \abs{x_0 - \ol{a}} + \rho_0 + \abs{y_0 - \phi(\ol{a})} < n_k \Bigr).
    Situace $\neg (1) \wedge \neg (2) \wedge \neg (3)$ tedy nemůže nastat a $\phi$ je neprodloužitelné.
+
     \]
 +
   
 +
    Pak ovšem
 +
    \[
 +
      \Bigl( \forall k > \max \{ k_0,k_1 \} \Bigr) \Bigl(  \COL{a_k}{\phi(a_k)} \in E_{n_k} \Bigr),  
 +
     \]
 +
    což je spor s~předpokladem $\neg (1) \wedge \neg (2) \wedge \neg (3)$. Z~věty \ref{theo:krit_prodl} pak plyne, že $\phi$ je neprodloužitelné.
 
   \end{proof}
 
   \end{proof}
 +
 +
% PŮVODNÍ DŮKAZ Z PŘEDNÁŠKY (2009/2010)
 +
%  \begin{proof}
 +
%    Je dáno $[x_0,y_0]\in\Gamma$. Z~Peanovy věty \ref{theo:peano} plyne existence řešení $\phi_0$ na intervalu $\left[ x_0-a_0,x_0+a_0 \right]$. Obor hodnot
 +
%    $\phi_0$ je interval $\left[ y_0-b_0,y_0+b_0 \right]$, kde $a_0 M_0 \leq b_0$. Označme $x_1 = x_0+a_0$ a $y_1 = \phi_0 (x_1)$. Analogicky bychom postupovali
 +
%    pro bod $x_0-a_0$.
 +
%
 +
%    Zformulujeme úlohu $y'=f(x,y)$, $y(x_1)=y_1$. Z~Peanovy věty plyne existence řešení $\phi_1$ definovaného na $\left[ x_1-a_1,x_1+a_1 \right]$ s~hodnotami
 +
%    v~intervalu $\left[ y_1-b_1,y_1+b_1 \right]$, kde $a_1 M_1 \leq b_1$.
 +
%
 +
%    V~$k$-tém kroku tedy položme $x_k = x_{k-1} + a_{k-1}$, $y_k = \phi_{k-1}(x_k)$. Z~Peanovy věty máme opět zaručenu existenci řešení $\phi_k$ úlohy
 +
%    $y'=f(x,y)$, $y(x_k)=y_k$ definovaného na intervalu $\left[ x_k-a_k,x_k+a_k \right]$ s~hodnotami v~intervalu $\left[ y_k-b_k,y_k+b_k \right]$, kde
 +
%    $a_k M_k \leq b_k$.
 +
%
 +
%    Protože posloupnost $\{x_k\}_{k\geq1}$ je monotonní, má zřejmě i limitu. Označme
 +
%    \[
 +
%      \beta = \lim\limits_{k\to+\infty} x_k.
 +
%    \]
 +
%    Potom zřejmě $\forall x \in \left[ x_0,\beta )$ existuje $k_0$ tak, že $x \in \left[ x_0,x_{k_0}+a_{k_0} \right]$. Definujme funkci $\phi$
 +
%    \[
 +
%      \phi(x) = \phi_{k_0}(x),
 +
%    \]
 +
%    která řeší úlohu \eqref{eq:poculo} na $\left[ x_0,\beta )$. Je zřejmé, že analogickou úvahou při rozšiřování doleva bychom
 +
%    získali bod $\alpha$ a sestrojili bychom řešení $\phi$ úlohy \eqref{eq:poculo} definované na intervalu $(\alpha,\beta)$.
 +
%
 +
%    Zajímá nás, zda je $\phi$ neprodloužitelné. Pokud je splněna alespoň jedna z~podmínek (1), (2) nebo (3), je řešení $\phi$ neprodloužitelné. Zbývá vyšetřit
 +
%    případ, kdy není splněna ani jedna z~podmínek (1), (2) a (3), tj.~nechť platí $\neg (1) \wedge \neg (2) \wedge \neg (3)$. Z~lemmatu \ref{lem:k_prodl} plyne
 +
%    \[
 +
%      \exists \lim_{x\to\beta_-} \phi(x) \stackrel{\text{ozn.}}{=} B \in \R.
 +
%    \]
 +
%    Z~$\neg (1)$ plyne, že $\beta\in\R$ a tedy, přidáme-li předpoklad $\neg (3)$, $[\beta,B]\in\Gamma$. Potom lze zřejmě řešit úlohu
 +
%    \begin{eqnarray*}
 +
%      y'      &=& f(x,y), \\
 +
%      y(\beta) &=& B.
 +
%    \end{eqnarray*}
 +
%    Z~Peanovy věty \ref{theo:peano} plyne existence řešení $\tilde{\phi}$ na $\left[ \beta-\tilde{a},\beta+\tilde{a} \right]$ s~hodnotami v~intervalu
 +
%    $\left[ B-\tilde{b},B+\tilde{b} \right]$, kde $\tilde{a} \tilde{M} \leq \tilde{b}$. Zřejmě tedy $\tilde{\phi}$ prodlužuje řešení $\phi$ za bod $\beta$, což
 +
%    je spor s~konstrukcí bodu $\beta$\footnote{Tady může taky být problém -- podle Peanovy věty lze volit $a_k$ malé a v~každém dalším kroku o~tolik menší než v~předchozím kroku, že posloupnost $\{x_k\}$ nepřeleze určitou pevnou mez, přitom při jiné volbě $a_k$ by tu mez přelezla.}.
 +
%    Situace $\neg (1) \wedge \neg (2) \wedge \neg (3)$ tedy nemůže nastat a $\phi$ je neprodloužitelné.
 +
%  \end{proof}
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
 
   
 
   
Řádka 882: Řádka 954:
 
\subsection{Věta o~hladkosti a o~spojité závislosti na datech}
 
\subsection{Věta o~hladkosti a o~spojité závislosti na datech}
 
\begin{theorem}[o~hladkosti, resp.~o~tzv.~regularitě]
 
\begin{theorem}[o~hladkosti, resp.~o~tzv.~regularitě]
   Nechť $f=f(x,y)$ má na $\Gamma$ spojité derivace vzhledem k $x$ a $y$ řádu $p \geq 0$. Pak řešení úlohy \eqref{eq:poculo} má spojité derivace podle $x$ řádu $p+1$.
+
   Nechť $f=f(x,y)$ má na $\Gamma$ spojité derivace vzhledem k~$x$ a $y$ řádu $p \geq 0$. Pak řešení úlohy \eqref{eq:poculo} má spojité derivace podle $x$ řádu $p+1$.
 
   
 
   
 
   \begin{proof}
 
   \begin{proof}
Řádka 892: Řádka 964:
 
     kde $f \in \Cc^{(p)}(\Gamma)$, $p \geq 0$. Důkaz se provede neúplnou matematickou indukcí podle $k \leq p$.
 
     kde $f \in \Cc^{(p)}(\Gamma)$, $p \geq 0$. Důkaz se provede neúplnou matematickou indukcí podle $k \leq p$.
 
   
 
   
     Zvolme $k=0$. Potom z~Peanovy věty \ref{theo:peano} máme řešení $\phi=\phi(x)$ na $\langle x_0-a,x_0+a \rangle$, a platí $\phi'(x) = f(x,\phi(x))$ pro  
+
     Zvolme $k=0$. Potom z~Peanovy věty \ref{theo:peano} máme řešení $\phi=\phi(x)$ na $\left[ x_0-a,x_0+a \right]$, a platí $\phi'(x) = f(x,\phi(x))$ pro  
     $\forall x \in (x_0-a,x_0+a)$. Funkce $\phi$ je tedy spojitá ($f$ je také spojitá), a tedy $f(x,\phi(x))$ je také spojitá. Odtud zřejmě $\phi'$ je  
+
     $\forall x \in \left( x_0-a,x_0+a\right) $. Funkce $\phi$ je tedy spojitá ($f$ je také spojitá), a~tedy $f(x,\phi(x))$ je také spojitá. Odtud zřejmě $\phi'$ je  
 
     spojitá, což znamená $\phi \in \Cc^{(1)}$.
 
     spojitá, což znamená $\phi \in \Cc^{(1)}$.
 
   
 
   
Řádka 903: Řádka 975:
 
\begin{remark}
 
\begin{remark}
 
   Následovat by měla věta o~spojité závislosti na datech. Při jejím dokazování však narazíme na nerovnost, s~níž se ještě setkáme i v~dalších částech textu.  
 
   Následovat by měla věta o~spojité závislosti na datech. Při jejím dokazování však narazíme na nerovnost, s~níž se ještě setkáme i v~dalších částech textu.  
   Připravíme si pro ni proto zvláštní způsob zpracování --- pomocí tzv.~Grönwallova lemmatu.
+
   Připravíme si pro ni proto zvláštní způsob zpracování -- pomocí tzv.~Grönwallova lemmatu.
 
\end{remark}
 
\end{remark}
 
   
 
   
\begin{lemma}[Grönwallovo\footnote{\textbf{Thomas Hakon Grönwall} (1877-1932), švédský matematik.}]
+
\begin{lemma}[Grönwallovo\footnote{\textbf{Thomas Hakon Grönwall} (1877--1932), švédský matematik.}]
 
   \label{lem:gronwall}
 
   \label{lem:gronwall}
 
   \index{lemma!Grönwallovo}
 
   \index{lemma!Grönwallovo}
   Nechť $u : \langle x_0-a,x_0+a \rangle \to \Rop$ je spojitá a nechť $\forall x \in \langle x_0-a,x_0+a \rangle$ platí
+
   Nechť $u : \left[ x_0-a,x_0+a \right] \to \Rop$ je spojitá a nechť $\forall x \in \left[ x_0-a,x_0+a \right]$ platí
 
   \[
 
   \[
 
     u(x) \leq \alpha + \int_{x_0}^{x} \beta u(\xi) \dif \xi,
 
     u(x) \leq \alpha + \int_{x_0}^{x} \beta u(\xi) \dif \xi,
Řádka 915: Řádka 987:
 
   kde $\alpha,\beta \geq 0$.
 
   kde $\alpha,\beta \geq 0$.
 
   
 
   
   Potom $\forall x \in \langle x_0,x_0+a \rangle$ platí
+
   Potom $\forall x \in \left[ x_0,x_0+a \right]$ platí
 
   \[
 
   \[
     u(x) \leq \alpha \me^{\beta(x-x_0)}.
+
     u(x) \leq \alpha + \int_{x_0}^{x} \beta u(\xi) \dif \xi \leq \alpha \me^{\beta(x-x_0)}.
 
   \]
 
   \]
 
   
 
   
Řádka 955: Řádka 1 027:
 
   Snadno si také rozmyslíme, že lze vyslovit i následující tvrzení.  
 
   Snadno si také rozmyslíme, že lze vyslovit i následující tvrzení.  
 
   
 
   
   Nechť $u : \langle x_0-a,x_0+a \rangle \to \Rop$ je spojitá a nechť $\forall x \in \langle x_0-a,x_0+a \rangle$ platí
+
   Nechť $u : \left[ x_0-a,x_0+a \right] \to \Rop$ je spojitá a nechť $\forall x \in \left[ x_0-a,x_0+a \right]$ platí
 
   \[
 
   \[
 
     u(x) \leq \alpha + \Bigg| \int_{x_0}^{x} \beta u(\xi) \dif \xi \Bigg|,
 
     u(x) \leq \alpha + \Bigg| \int_{x_0}^{x} \beta u(\xi) \dif \xi \Bigg|,
Řádka 961: Řádka 1 033:
 
   kde $\alpha,\beta \geq 0$.
 
   kde $\alpha,\beta \geq 0$.
 
   
 
   
   Potom $\forall x \in \langle x_0-a,x_0+a \rangle$ platí
+
   Potom $\forall x \in \left[ x_0-a,x_0+a \right]$ platí
 
   \[
 
   \[
 
     u(x) \leq \alpha \me^{\beta \abs{x-x_0}}.
 
     u(x) \leq \alpha \me^{\beta \abs{x-x_0}}.
Řádka 971: Řádka 1 043:
 
%    \begin{enumerate}[(1)]
 
%    \begin{enumerate}[(1)]
 
%%\item <x_0,x_0+a>
 
%%\item <x_0,x_0+a>
%      \item Nechť $x\in\langle x_0,x_0+a \rangle$. Z~Grönwallova lemmatu pak přímo plyne
+
%      \item Nechť $x\in\left[ x_0,x_0+a \right]$. Z~Grönwallova lemmatu pak přímo plyne
 
%        \[
 
%        \[
 
%          u(x) \leq \alpha \me^{\beta(x-x_0)} = \alpha \me^{\beta \abs{x-x_0}}.
 
%          u(x) \leq \alpha \me^{\beta(x-x_0)} = \alpha \me^{\beta \abs{x-x_0}}.
Řádka 977: Řádka 1 049:
 
%
 
%
 
%%\item <x_0-a,x_0>
 
%%\item <x_0-a,x_0>
%      \item Uvažme případ $x\in\langle x_0-a,x_0 \rangle$. Danou nerovnost lze nyní přepsat do tvaru
+
%      \item Uvažme případ $x\in\left[ x_0-a,x_0 \right]$. Danou nerovnost lze nyní přepsat do tvaru
 
%      \[
 
%      \[
 
%        u(x) \leq \alpha + \int_x^{x_0} \beta u(\xi) \dif \xi.
 
%        u(x) \leq \alpha + \int_x^{x_0} \beta u(\xi) \dif \xi.
Řádka 1 011: Řádka 1 083:
 
     \Fs = \Big\{ f:\Gamma\to\R \ \Big\vert \ f \text{ je spojitá }, \abs{f(x,y)} \leq M \text{ na } \Gamma, \abs{f(x,y) - f(x,\ol{y})} \leq L\abs{y-\ol{y}} \Big\},
 
     \Fs = \Big\{ f:\Gamma\to\R \ \Big\vert \ f \text{ je spojitá }, \abs{f(x,y)} \leq M \text{ na } \Gamma, \abs{f(x,y) - f(x,\ol{y})} \leq L\abs{y-\ol{y}} \Big\},
 
   \]
 
   \]
   kde $M,L>0$. Nechť $[x_0,y_0]\in\Gamma$, $y=y(x)$ řeší úlohu \eqref{eq:poculo} pro $f\in\Fs$ a je definováno na intervalu $\langle x_0-a,x_0+a \rangle$.
+
   kde $M,L>0$. Nechť $\col{x_0}{y_0}\in\Gamma$, $y=y(x)$ řeší úlohu \eqref{eq:poculo} pro $f\in\Fs$ a je definováno na intervalu $\left[ x_0-a,x_0+a \right]$.
 
   
 
   
 
   Potom $\Bigl(\forall\epsilon>0\Bigr) \Bigl(\exists\delta>0\Bigr) \Bigl(\forall\ol{x}_0\in(x_0-a,x_0+a)\Bigr) \Bigl(\forall\ol{y}_0\in\R\Bigr) \Bigl(\forall\ol{f}\in\Fs\Bigr)$: \\
 
   Potom $\Bigl(\forall\epsilon>0\Bigr) \Bigl(\exists\delta>0\Bigr) \Bigl(\forall\ol{x}_0\in(x_0-a,x_0+a)\Bigr) \Bigl(\forall\ol{y}_0\in\R\Bigr) \Bigl(\forall\ol{f}\in\Fs\Bigr)$: \\
     pokud $\Bigl(\abs{\ol{x}_0-x_0}<\delta\Bigr) \wedge \Bigl(\abs{\ol{y}_0-y_0}<\delta\Bigr) \wedge \Bigl(\forall[x,y]\in\Gamma\Bigr) \Bigl(\abs{\ol{f}(x,y)-f(x,y)}<\delta\Bigr)$, \\
+
     pokud $\Bigl(\abs{\ol{x}_0-x_0}<\delta\Bigr) \wedge \Bigl(\abs{\ol{y}_0-y_0}<\delta\Bigr) \wedge \Bigl(\forall\COL{x}{y}\in\Gamma\Bigr) \Bigl(\abs{\ol{f}(x,y)-f(x,y)}<\delta\Bigr)$, \\
 
     pak $\Bigl(\forall x\in(x_0-a,x_0+a)\Bigr) \Bigl(\abs{\ol{y}(x)-y(x)}<\epsilon\Bigr)$, kde $\ol{y}=\ol{y}(x)$ řeší úlohu $y'=\ol{f}(x,y)$, $y(\ol{x}_0) = \ol{y}_0$.
 
     pak $\Bigl(\forall x\in(x_0-a,x_0+a)\Bigr) \Bigl(\abs{\ol{y}(x)-y(x)}<\epsilon\Bigr)$, kde $\ol{y}=\ol{y}(x)$ řeší úlohu $y'=\ol{f}(x,y)$, $y(\ol{x}_0) = \ol{y}_0$.
 
   
 
   
 
   \begin{proof}
 
   \begin{proof}
     Nechť $[x_0,y_0]\in\Gamma$. Potom zřejmě existuje okolí $U$ takové, že $[x_0,y_0] \in U \subset \ol{U} \subset \Gamma$. V~blízkosti bodu $[x_0,y_0]$ zvolíme
+
     Nechť $\col{x_0}{y_0}\in\Gamma$. Potom zřejmě existuje okolí $U$ takové, že $\col{x_0}{y_0} \in U \subset \ol{U} \subset \Gamma$. V~blízkosti bodu $\col{x_0}{y_0}$ zvolíme
     bod $[\ol{x}_0,\ol{y}_0]$ tak, aby ležel v~obdélníku sestrojeném během Eulerovy konstrukce okolo bodu $[x_0,y_0]$ (viz~obr.~\ref{fig:kestab}).
+
     bod $\col{\ol{x}_0}{\ol{y}_0}$ tak, aby ležel v~obdélníku sestrojeném během Eulerovy konstrukce okolo bodu $\col{x_0}{y_0}$ (viz~obr.~\ref{fig:kestab}).
 
   
 
   
 
     \begin{figure}
 
     \begin{figure}
Řádka 1 033: Řádka 1 105:
 
     \hfill a \hfill
 
     \hfill a \hfill
 
     \parbox{7cm}{\begin{eqnarray*} y' &=& \ol{f}(x,y) \\ y(\ol{x}_0) &=& \ol{y}_0 \end{eqnarray*}}\linebreak
 
     \parbox{7cm}{\begin{eqnarray*} y' &=& \ol{f}(x,y) \\ y(\ol{x}_0) &=& \ol{y}_0 \end{eqnarray*}}\linebreak
     mají jednoznačně určená řešení definovaná na intervalu $\langle x_0-a,x_0+a \rangle$, která označíme postupně $y=y(x)$ a $\ol{y} = \ol{y}(x)$. Tyto funkce tedy  
+
     mají jednoznačně určená řešení definovaná na intervalu $\left[ x_0-a,x_0+a \right]$, která označíme postupně $y=y(x)$ a $\ol{y} = \ol{y}(x)$. Tyto funkce tedy  
 
     splňují na intervalu $(x_0-a,x_0+a)$ rovnosti
 
     splňují na intervalu $(x_0-a,x_0+a)$ rovnosti
 
   
 
   
Řádka 1 061: Řádka 1 133:
 
       \item Při odhadu prostředního členu využijeme toho, že při konstrukci, podle předpokladů věty, rovnou požadujeme splnění podmínky  
 
       \item Při odhadu prostředního členu využijeme toho, že při konstrukci, podle předpokladů věty, rovnou požadujeme splnění podmínky  
 
         \[
 
         \[
           \Bigl(\forall[x,y]\in\Gamma\Bigr) \Bigl(\abs{\ol{f}(x,y)-f(x,y)}<\delta\Bigr).
+
           \Bigl(\forall\COL{x}{y}\in\Gamma\Bigr) \Bigl(\abs{\ol{f}(x,y)-f(x,y)}<\delta\Bigr).
 
         \]
 
         \]
 
         Označme $A = \abs{\int_{x_0}^{x} \bigl[ f(\xi,y(\xi)) - \ol{f}(\xi,\ol{y}(\xi)) \bigr] \dif \xi}$. Protože $f\in\Fs$, platí
 
         Označme $A = \abs{\int_{x_0}^{x} \bigl[ f(\xi,y(\xi)) - \ol{f}(\xi,\ol{y}(\xi)) \bigr] \dif \xi}$. Protože $f\in\Fs$, platí
Řádka 1 076: Řádka 1 148:
 
       \abs{y(x) - \ol{y}(x)} \leq \delta + M\delta + a\delta + L \abs{\int_{x_0}^{x} \abs{y(\xi) - \ol{y}(\xi)} \dif \xi}.
 
       \abs{y(x) - \ol{y}(x)} \leq \delta + M\delta + a\delta + L \abs{\int_{x_0}^{x} \abs{y(\xi) - \ol{y}(\xi)} \dif \xi}.
 
     \]
 
     \]
     Označíme-li $u(x) = \abs{y(x)-\ol{y}(x)}$ ($u$ je zřejmě spojitá a nezáporná na $\langle x_0-a,x_0+a \rangle$), můžeme výše uvedenou nerovnost přepsat
+
     Označíme-li $u(x) = \abs{y(x)-\ol{y}(x)}$ ($u$ je zřejmě spojitá a nezáporná na $\left[ x_0-a,x_0+a \right]$), můžeme výše uvedenou nerovnost přepsat
 
     do tvaru
 
     do tvaru
 
     \[
 
     \[
Řádka 1 082: Řádka 1 154:
 
     \]
 
     \]
 
   
 
   
     Z~Grönwallova lemmatu \ref{lem:gronwall}, resp.~z~poznámky \ref{rmrk:gronwall}, potom $\forall x\in\langle x_0-a,x_0+a \rangle$ platí
+
     Z~Grönwallova lemmatu \ref{lem:gronwall}, resp.~z~poznámky \ref{rmrk:gronwall}, potom $\forall x\in\left[ x_0-a,x_0+a \right]$ platí
 
     \[
 
     \[
 
       \abs{y(x) - \ol{y}(x)} \leq (1+M+a) \ \delta \ \me^{L \abs{x-x_0}} \leq (1+M+a) \ \delta \ \me^{La}.
 
       \abs{y(x) - \ol{y}(x)} \leq (1+M+a) \ \delta \ \me^{L \abs{x-x_0}} \leq (1+M+a) \ \delta \ \me^{La}.
Řádka 1 092: Řádka 1 164:
 
     \]
 
     \]
 
     a, volíme-li $\abs{\ol{x}_0-x_0}<\delta$, $\abs{\ol{y}_0-y_0}<\delta$ a lib.~$\ol{f}\in\Fs$ takovou, že $\abs{f(x,y)-\ol{f}(x,y)}<\delta$, pak
 
     a, volíme-li $\abs{\ol{x}_0-x_0}<\delta$, $\abs{\ol{y}_0-y_0}<\delta$ a lib.~$\ol{f}\in\Fs$ takovou, že $\abs{f(x,y)-\ol{f}(x,y)}<\delta$, pak
   $\forall x \in \langle x_0-a,x_0+a \rangle$ platí, že $\abs{y(x)-\ol{y}(x)}<\epsilon$, což jsme chtěli dokázat.
+
   $\forall x \in \left[ x_0-a,x_0+a \right]$ platí, že $\abs{y(x)-\ol{y}(x)}<\epsilon$, což jsme chtěli dokázat.
 
   \end{proof}
 
   \end{proof}
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
Řádka 1 195: Řádka 1 267:
 
     \Bigl( \forall j,k\in\widehat{n} \Bigr) \left( \frac{\partial f^k}{\partial y^j} \in \Cc(\Gamma) \right).
 
     \Bigl( \forall j,k\in\widehat{n} \Bigr) \left( \frac{\partial f^k}{\partial y^j} \in \Cc(\Gamma) \right).
 
   \]
 
   \]
   Nechť dále $[x_0,y_0]\in\Gamma$.
+
   Nechť dále $\col{x_0}{y_0}\in\Gamma$.
 
   
 
   
 
   Potom existuje $\delta>0$ a $\phi : (x_0-\delta,x_0+\delta) \to \R^n$ tak, že funkce $\phi=\phi(x)$ řeší počáteční úlohu s~vektorovým zápisem
 
   Potom existuje $\delta>0$ a $\phi : (x_0-\delta,x_0+\delta) \to \R^n$ tak, že funkce $\phi=\phi(x)$ řeší počáteční úlohu s~vektorovým zápisem
Řádka 1 218: Řádka 1 290:
 
   
 
   
 
   Je třeba dokázat existenci a jednoznačnost. Zabývejme se nejdříve existencí řešení počáteční úlohy \eqref{eq:poculo2}. Existence se dokazuje pomocí
 
   Je třeba dokázat existenci a jednoznačnost. Zabývejme se nejdříve existencí řešení počáteční úlohy \eqref{eq:poculo2}. Existence se dokazuje pomocí
   tzv.~\textbf{Picardových}\footnote{\textbf{Charles Émile Picard} (1856-1941), francouzský matematik.} \textbf{iterací}. Snadno si rozmyslíme,  
+
   tzv.~\textbf{Picardových}\footnote{\textbf{Charles Émile Picard} (1856--1941), francouzský matematik.} \textbf{iterací}. Snadno si rozmyslíme,  
 
   že funkce $\phi=\phi(x)$ je řešením úlohy \eqref{eq:poculo2} právě tehdy, vyhovuje-li integrální rovnici (ve vektorovém tvaru)
 
   že funkce $\phi=\phi(x)$ je řešením úlohy \eqref{eq:poculo2} právě tehdy, vyhovuje-li integrální rovnici (ve vektorovém tvaru)
 
   \[
 
   \[
Řádka 1 318: Řádka 1 390:
 
   
 
   
 
         \begin{lemma}
 
         \begin{lemma}
           Funkční posloupnost $\{ \phi_k \}_{k\geq1}$ konverguje stejnoměrně na libovolném intervalu $\langle \alpha,\beta \rangle \subset I$ takovém,  
+
           Funkční posloupnost $\{ \phi_k \}_{k\geq1}$ konverguje stejnoměrně na libovolném intervalu $\left[ \alpha,\beta \right] \subset I$ takovém,  
 
           že $x_0 \in (\alpha,\beta)$.
 
           že $x_0 \in (\alpha,\beta)$.
 
   
 
   
 
           \begin{proof}
 
           \begin{proof}
             Zvolme libovolně $\langle \alpha,\beta \rangle \subset I$, $x_0 \in (\alpha,\beta)$. Chceme ukázat, že $\{ \phi_k \}_{k\geq1}$
+
             Zvolme libovolně $\left[ \alpha,\beta \right] \subset I$, $x_0 \in (\alpha,\beta)$. Chceme ukázat, že $\{ \phi_k \}_{k\geq1}$
             konverguje na $\langle \alpha,\beta \rangle$ stejnoměrně. K~tomu využijeme Bolzanovo-Cauchyovo kritérium (viz např. \cite[Věta 7.8]{rudin1}),
+
             konverguje na $\left[ \alpha,\beta \right]$ stejnoměrně. K~tomu využijeme Bolzanovo--Cauchyho kritérium (viz např. \cite[Věta 7.8]{rudin1}),
 
             které lze zformulovat ve tvaru
 
             které lze zformulovat ve tvaru
 
             \[
 
             \[
 
               \Bigl( \forall \epsilon>0 \Bigr) \Bigl( \exists k_0\in\N \Bigr) \Bigl( \forall k\in\N, k>k_0 \Bigr) \Bigl( \forall p\in\N \Bigr)  
 
               \Bigl( \forall \epsilon>0 \Bigr) \Bigl( \exists k_0\in\N \Bigr) \Bigl( \forall k\in\N, k>k_0 \Bigr) \Bigl( \forall p\in\N \Bigr)  
                 \Bigl( \forall x\in\langle \alpha,\beta \rangle \Bigr) \Bigl( \abs{\phi^i_{k+p}(x) - \phi^i_{k}(x)} < \epsilon \Bigr),
+
                 \Bigl( \forall x\in\left[ \alpha,\beta \right] \Bigr) \Bigl( \abs{\phi^i_{k+p}(x) - \phi^i_{k}(x)} < \epsilon \Bigr),
 
             \]
 
             \]
 
             pro všechna $i\in\widehat{n}$.
 
             pro všechna $i\in\widehat{n}$.
 
   
 
   
             Dále víme, že funkce $a_{ij}(x)$ a $b_i(x)$ jsou spojité na kompaktním intervalu $\langle \alpha,\beta \rangle$ a jsou tedy omezené, tj.~platí
+
             Dále víme, že funkce $a_{ij}(x)$ a $b_i(x)$ jsou spojité na kompaktním intervalu $\left[ \alpha,\beta \right]$ a jsou tedy omezené, tj.~platí
 
             \[
 
             \[
               \Bigl( \exists K>0 \Bigr) \Bigl( \forall i,j\in\widehat{n} \Bigr) \Bigl( \forall x\in\langle \alpha,\beta \rangle \Bigr)  
+
               \Bigl( \exists K>0 \Bigr) \Bigl( \forall i,j\in\widehat{n} \Bigr) \Bigl( \forall x\in\left[ \alpha,\beta \right] \Bigr)  
 
                 \Bigl( \abs{a_{ij}(x)} \leq K, \abs{b_i(x)} \leq K \Bigr).
 
                 \Bigl( \abs{a_{ij}(x)} \leq K, \abs{b_i(x)} \leq K \Bigr).
 
             \]
 
             \]
Řádka 1 382: Řádka 1 454:
 
             této řady je zjevně $+\infty$, stejnoměrná konvergence pak plyne např.~z~\cite[Věta 5.5]{vrana1}). V~důsledku toho se zřejmě pro $k \to +\infty$ a  
 
             této řady je zjevně $+\infty$, stejnoměrná konvergence pak plyne např.~z~\cite[Věta 5.5]{vrana1}). V~důsledku toho se zřejmě pro $k \to +\infty$ a  
 
             $p \to +\infty$ musí pravá strana blížit k~$0$ a lze ji tedy udělat libovolně malou. Odtud funkční posloupnost $\{ \phi_k \}_{k\geq1}$ konverguje  
 
             $p \to +\infty$ musí pravá strana blížit k~$0$ a lze ji tedy udělat libovolně malou. Odtud funkční posloupnost $\{ \phi_k \}_{k\geq1}$ konverguje  
             na $\langle \alpha,\beta \rangle$ stejnoměrně a na $I$ lokálně stejnoměrně (vzhledem k~libovolnosti $\langle \alpha,\beta \rangle$).
+
             na $\left[ \alpha,\beta \right]$ stejnoměrně a na $I$ lokálně stejnoměrně (vzhledem k~libovolnosti $\left[ \alpha,\beta \right]$).
 
   
 
   
 
             Tím je důkaz lemmatu dokončen.
 
             Tím je důkaz lemmatu dokončen.
Řádka 1 397: Řádka 1 469:
 
         \]
 
         \]
 
         provedeme limitní přechod $k\to+\infty$, přičemž využijeme stejnoměrné konvergence funkční posloupnosti $\{ \phi_k \}_{k\geq1}$ na libovolném intervalu
 
         provedeme limitní přechod $k\to+\infty$, přičemž využijeme stejnoměrné konvergence funkční posloupnosti $\{ \phi_k \}_{k\geq1}$ na libovolném intervalu
         $\langle \alpha,\beta \rangle \subset I$ (tj.~i na intervalu s~krajními body $x_0$ a $x$). Lze tedy provést záměnu limity a integrálu. Dostaneme
+
         $\left[ \alpha,\beta \right] \subset I$ (tj.~i na intervalu s~krajními body $x_0$ a $x$). Lze tedy provést záměnu limity a integrálu. Dostaneme
 
         \[
 
         \[
 
           \phi_*(x) = y_0 + \int_{x_0}^x \bigl[ \mat{A}(\xi) \phi_*(\xi) + b(\xi) \bigr] \dif \xi.
 
           \phi_*(x) = y_0 + \int_{x_0}^x \bigl[ \mat{A}(\xi) \phi_*(\xi) + b(\xi) \bigr] \dif \xi.
Řádka 1 419: Řádka 1 491:
 
         \]
 
         \]
 
   
 
   
         Uvažme nyní $\langle \alpha,\beta \rangle \subset I \cap J$, $x_0\in(\alpha,\beta)$. Potom
+
         Uvažme nyní $\left[ \alpha,\beta \right] \subset I \cap J$, $x_0\in(\alpha,\beta)$. Potom
 
         \begin{eqnarray*}
 
         \begin{eqnarray*}
 
           \abs{\phi_*^i(x) - \psi^i(x)}  
 
           \abs{\phi_*^i(x) - \psi^i(x)}  
Řádka 1 429: Řádka 1 501:
 
         kde jsme využili zřejmou nerovnost
 
         kde jsme využili zřejmou nerovnost
 
         \[
 
         \[
           \abs{\phi_*^i(x) - \psi^i(x)} \leq \nor{\phi_*(x) - \psi(x)}_2 = \left( \sum_{j=1}^n \abs{\phi_*^j(\xi) - \psi^j(\xi)}^2 \right)^{1/2}
+
           \abs{\phi_*^i(x) - \psi^i(x)} \leq \nor{\phi_*(x) - \psi(x)}_2 = \left( \sum_{j=1}^n \abs{\phi_*^j(x) - \psi^j(x)}^2 \right)^{1/2}
 
         \]
 
         \]
 
         a odhadů z~předchozích částí důkazu. Potom můžeme psát
 
         a odhadů z~předchozích částí důkazu. Potom můžeme psát
Řádka 1 449: Řádka 1 521:
 
         Odtud zřejmě
 
         Odtud zřejmě
 
         \[
 
         \[
           \Bigl( \forall x \in \langle \alpha,\beta \rangle \subset I \cap J \Bigr) \Bigl( \phi_*(x) = \psi(x) \Bigr),
+
           \Bigl( \forall x \in \left[ \alpha,\beta \right] \subset I \cap J \Bigr) \Bigl( \phi_*(x) = \psi(x) \Bigr),
 
         \]
 
         \]
 
   
 
   
 
         Sporem ukážeme, že uvedená rovnost musí platit i pro ostatní $x \in I \cap J$. Nechť tedy existuje
 
         Sporem ukážeme, že uvedená rovnost musí platit i pro ostatní $x \in I \cap J$. Nechť tedy existuje
         $x_1 \in I \cap J$ tak, že $\phi_*(x_1) \neq \psi(x_1)$. Potom zřejmě existuje interval $\langle \alpha_1,\beta_1 \rangle \subset I \cap J$ tak, že  
+
         $x_1 \in I \cap J$ tak, že $\phi_*(x_1) \neq \psi(x_1)$. Potom zřejmě existuje interval $\left[ \alpha_1,\beta_1 \right] \subset I \cap J$ tak, že  
         $x_1 \in \langle \alpha_1,\beta_1 \rangle$ a $x_0 \in (\alpha_1,\beta_1)$. Zopakujeme-li nyní předchozí postup, dojdeme ke sporu. Platí tedy
+
         $x_1 \in \left[ \alpha_1,\beta_1 \right]$ a $x_0 \in (\alpha_1,\beta_1)$. Zopakujeme-li nyní předchozí postup, dojdeme ke sporu. Platí tedy
 
         \[
 
         \[
 
           \Bigl( \forall x \in I \cap J \Bigr) \Bigl( \phi_*(x) = \psi(x) \Bigr).
 
           \Bigl( \forall x \in I \cap J \Bigr) \Bigl( \phi_*(x) = \psi(x) \Bigr).
 
         \]
 
         \]
 
         Tím je důkaz věty dokončen.
 
         Tím je důkaz věty dokončen.
 +
\qedhere
 
     \end{enumerate}
 
     \end{enumerate}
 
   \end{proof}
 
   \end{proof}
 +
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}

Aktuální verze z 2. 6. 2018, 21:54

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01DIFRnew

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01DIFRnewNguyebin 1. 9. 201321:56
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:45
Header editovatHlavičkový souborNguyebin 1. 9. 201321:47 header.tex
Kapitola0 editovatPředmluvaNguyebin 29. 8. 201314:23 kapitola0.tex
Kapitola1 editovatÚvodKubuondr 7. 6. 201708:21 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatŘešení speciálních typů rovnicKubuondr 8. 6. 201709:00 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatTeoretické vlastnosti řešení diferenciálních rovnicPerinhyn 2. 6. 201821:54 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatAnalytické řešení lineárních diferenciálních rovnic n-tého řáduKubuondr 10. 6. 201710:19 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatAnalytické řešení soustav lineárních diferenciálních rovnic 1. řáduKrasejak 20. 6. 201400:32 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatOkrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovniceKubuondr 10. 6. 201710:16 kapitola6.tex
KapitolaA editovatLiteraturaKrasejak 20. 6. 201400:33 literatura.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Soubor:priklad1.pdf priklad1.pdf
Image:rotujici_sklenice.pdf rotujici_sklenice.pdf
Image:mat_kyvadlo.pdf mat_kyvadlo.pdf
Soubor:lorentz-attractor.pdf lorentz-attractor.pdf
Soubor:vedeni-tepla.pdf vedeni-tepla.pdf
Image:smerova_pole.pdf smerova_pole.pdf
Image:RL_obvod.pdf RL_obvod.pdf
Image:k_lomene_care.pdf k_lomene_care.pdf
Image:k_peanove_vete.pdf k_peanove_vete.pdf
Image:k_prodlouzeni.pdf k_prodlouzeni.pdf
Image:k_prodl_lemma.pdf k_prodl_lemma.pdf
Image:k_prodl_tvrz.pdf k_prodl_tvrz.pdf
Image:k_prodl_lemma_2.pdf k_prodl_lemma_2.pdf
Image:ke_spoj_zav_na_datech.pdf ke_spoj_zav_na_datech.pdf
Image:metoda_strelby.pdf metoda_strelby.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01DIFRnew}
% ****************************************************************************************************************************
%                             KAPITOLA: Teoretické vlastnosti řešení diferenciálních rovnic
% ****************************************************************************************************************************
\chapter{Teoretické vlastnosti řešení diferenciálních rovnic}
\label{chap:teor_vlastnosti}
 
 
 
 
% ****************************************************************************************************************************
%                             SEKCE: Diferenciální rovnice tvaru $y'=f(x,y)$
% ****************************************************************************************************************************
\section{Diferenciální rovnice tvaru $y'=f(x,y)$}
 
% ****************************************************************************************************************************
%                             PODSEKCE: Existence řešení
% ****************************************************************************************************************************
\subsection{Existence řešení}
\begin{define}
  \index{funkce!stejně spojité}
  \index{funkce!stejně omezené}
  Nechť $I\subset\R$ je omezený interval a $\Ms$ je množina funkcí definovaných na $I$. Potom říkáme, že funkce z~$\Ms$ jsou \textbf{stejně omezené} 
  právě tehdy, když 
  \begin{equation*}
    \Bigl( \exists K>0 \Bigr) \Bigl( \forall f \in \Ms \Bigr) \Bigl( \forall x \in I \Bigr) \Bigl( \abs{f(x)} < K \Bigr).
  \end{equation*}
  Říkáme, že funkce z~$\Ms$ jsou \textbf{stejně spojité} právě tehdy, když
  \begin{equation*}
    \Bigl( \forall \epsilon>0 \Bigr) \Bigl( \exists \delta>0 \Bigr) \Bigl( \forall f \in \Ms \Bigr) \Bigl( \forall x_1,x_2 \in I \Bigr) 
      \Bigl( \abs{x_1 - x_2}<\delta \Rightarrow \abs{f(x_1) - f(x_2)} < \epsilon \Bigr).
  \end{equation*}
\end{define}
 
\begin{remark}
  Bolzanova\footnote{\textbf{Bernhard Placidus Johann Nepomuk Bolzano} (1781--1848), německy hovořící český matematik, filozof a katolický 
  kněz.}--Weierstrassova\footnote{\textbf{Karl Theodor Wilhelm Weierstrass} (1815--1897), německý matematik.} věta (viz~např.~\cite[Věta 3.6]{rudin1}) nám zaručuje, že 
  máme-li posloupnost definovanou na kompaktním intervalu $\left[ a,b \right]$, lze z~ní vybrat konvergentní podposloupnost. Následující věta nám poskytuje 
  analogické tvrzení pro funkce.
\end{remark}
 
\begin{theorem}[Arzelàova\footnote{\textbf{Cesare Arzelà} (1847--1912), italský matematik.}--Ascoliova\footnote{\textbf{Guilio Ascoli} (1843--1896), italský matematik.}]
  \index{věta!Arzelàova--Ascoliova}
  \label{theo:arzela}
  Nechť $\Ms$ je množina funkcí definovaných na omezeném intervalu $I\subset\R$, které jsou na $I$ stejně omezené a stejně spojité. Pak z~každé posloupnosti 
  funkcí $\{g_n\}_{n\geq1}$ v~$\Ms$ lze vybrat podposloupnost $\{g_{n'}\}_{n'\geq1}$, která je na $I$ stejnoměrně konvergentní.
 
  \begin{proof}
    Označme např.~$I=(a,b)$. O~intervalu $I$ víme, že je částí $\R$ a je omezený. Na intervalu $I$ zkonstruujeme hustou množinu bodů (tj.~množinu, jejíž uzávěr je 
    roven celému intervalu $I$). Tuto množinu navíc zkonstruujeme tak, aby byla spočetná.
 
    V~prvním kroku rozdělíme interval $I=(a,b)$ na dvě poloviny. Dělicí bod označíme $x_1$ a zřejmě platí
    \[
      x_1 = a + \frac{b-a}{2}.
    \]
    Ve druhém kroku rozdělíme dvě poloviny intervalu $I$ opět na dvě poloviny. Tím dostaneme dělicí body $x_2$ a $x_3$, pro které platí 
 
    \parbox{7cm}{\begin{eqnarray*} x_2 &=& a + \frac{1}{2}\frac{b-a}{2} \end{eqnarray*}}
    \hfill a \hfill
    \parbox{7cm}{\begin{eqnarray*} x_3 &=& x_1 + \frac{1}{2}\frac{b-a}{2}. \end{eqnarray*}}
 
    Ve třetím analogicky sestrojíme body $x_4$$x_7$ definované následujícím způsobem:
 
    \parbox{7cm}{\begin{eqnarray*} x_4 &=& a + \frac{1}{4}\frac{b-a}{2}\\ x_5 &=& x_2 + \frac{1}{4}\frac{b-a}{2} \end{eqnarray*}}
    \hfill a \hfill
    \parbox{7cm}{\begin{eqnarray*} x_6 &=& x_1 + \frac{1}{4}\frac{b-a}{2}\\ x_7 &=& x_3 + \frac{1}{4}\frac{b-a}{2}. \end{eqnarray*}}
 
    Dále postupujeme analogicky. Je zřejmé, že takto konstruujeme posloupnost bodů z~$I$. Tyto body jsou rozmístěny rovnoměrně a neustále se přibližují. Množina těchto 
    bodů je tedy hustá v~$I$. V~každém kroku konstrukce jsou vzdálenosti mezi body stejné.
 
    Nechť $\{ g_n \}_{n \geq 1}$ je posloupnost funkcí z~množiny $\Ms$. %(tím máme na mysli, že funkce $g_n$ jsou na $I$ stejně omezené a stejně spojité)
    Potom:
    \begin{enumerate}
      \item Pro $x=x_1$ je číselná posloupnost $\{ g_n (x_1) \}_{n \geq 1}$ omezená na kompaktu a podle Bolzanovy--Weierstrassovy věty existuje její konvergentní 
        číselná podposloupnost, kterou označíme $\{ g_n^{(1)} (x_1) \}_{n \geq 1}$. Posloupnost $\{ g_n^{(1)} \}_{n \geq 1}$ je funkční posloupnost vybraná z~původní 
        funkční posloupnosti $\{ g_n \}_{n \geq 1}$ a má tedy i příslušné vlastnosti.
      \item Pro $x=x_2$ je číselná posloupnost $\{ g_n^{(1)} (x_2) \}_{n \geq 1}$ omezená a opět tedy existuje její konvergentní podposloupnost, kterou analogicky označíme 
          $\{ g_n^{(2)} (x_2) \}_{n \geq 1}$. Potom $\{ g_n^{(2)} (x) \}_{n \geq 1}$ je funkční posloupnost, která konverguje v~bodě $x_1$ a $x_2$.
      \item V~procesu můžeme pokračovat matematickou indukcí. Předpokládejme, že $\{ g_n^{(k)} (x) \}_{n \geq 1}$ je posloupnost funkcí z~$\Ms$, konvergující 
        v~bodech $x=x_1,\ldots,x_k$. Potom v~$(k+1)$-ním kroku položme $x=x_{k+1}$. Pak číselná posloupnost $\{ g_n^{(k)} (x_{k+1}) \}_{n \geq 1}$ je omezená. A opět tedy 
        existuje její konvergentní podposloupnost, kterou označíme $\{ g_n^{(k+1)} (x_{k+1}) \}_{n \geq 1}$. Potom analogicky $\{ g_n^{(k+1)} (x) \}_{n \geq 1}$ je funkční 
        posloupnost v~$\Ms$, která konverguje v~bodech $x=x_1,\ldots,x_{k+1}$.
    \end{enumerate}
 
    Z~množiny vybraných posloupností vybereme jednu za pomoci diagonálního schématu. Uvažujeme tedy posloupnost $\{ g_n^{(n)} (x) \}_{n \geq 1}$, pro kterou platí:
    je-li $x=x_k$, $k\in\N$ pevné, potom číselná posloupnost $\{ g_n^{(n)} (x_k) \}_{n \geq 1}$ konverguje.
 
    Stejnoměrnou konvergenci takto sestrojené funkční posloupnosti $\{ g_n^{(n)} (x) \}_{n \geq 1}$ nám zaručí následující lemma. Tím bude důkaz ukončen.
 
    \begin{lemma}
      Posloupnost $\{g_n^{(n)}(x)\}_{n \geq 1}$ je na $I$ stejnoměrně konvergentní.
 
      \begin{proof}
        K~důkazu použijeme Bolzanovo--Cauchyho\footnote{\textbf{Augustin-Louis Cauchy} (1789--1857), francouzský matematik.} kritérium (viz~např.~\cite[Věta 3.11]{rudin1}), 
        podle něhož zkoumaná posloupnost konverguje na $I$ stejnoměrně právě tehdy, když
        \begin{equation*}
          \Bigl( \forall \epsilon > 0 \Bigr) \Bigl( \exists n_0\in\N \Bigr) \Bigl( \forall n > n_0 \Bigr) \Bigl( \forall p\in\N \Bigr) \Bigl( \forall x \in I \Bigr) 
            \Bigl( \abs{g_{n+p}^{(n+p)}(x) - g_{n}^{(n)}(x)} < \epsilon \Bigr).
        \end{equation*}
 
        Mějme tedy zadáno libovolné $\epsilon > 0$. Dále využijeme vlastností posloupnosti $\{ g_n^{(n)} \}_{n \geq 1}$. Především víme, že tato posloupnost je 
        stejně spojitá, což znamená, že platí
        \[
          \Bigl(\forall\epsilon>0\Bigr) \Bigl(\exists\delta>0\Bigr) \Bigl(\forall n\in\N\Bigr) \Bigl( \forall x',x'' \in I \Bigr) \Bigl(\abs{x'-x''}<\delta \Rightarrow 
            \abs{g_n^{(n)}(x') - g_n^{(n)}(x'')}<\frac{\epsilon}{3}\Bigr).
        \]
        Z~konstrukce posloupnosti $\{ g_n^{(n)} \}_{n \geq 1}$ je pak zřejmé, že existuje $\ol{p}\in\N$ takové, že sousední body v~množině 
        $\{ x_1, \ldots, x_{\ol{p}} \}$ jsou k~sobě blíže než $\delta$ (o~němž víme, že existuje ze stejné spojitosti). Posloupnost $\{ g_n^{(n)} \}_{n \geq 1}$ 
        v~těchto bodech $\{ x_1, \ldots, x_{\ol{p}} \}$ konverguje, tzn.~pro libovolné $\epsilon > 0$ platí
        \[
          \Bigl(\exists n_0\Bigr) \Bigl(\forall n>n_0\Bigr) \Bigl(\forall p\in\N\Bigr) \Bigl( \forall j=1,\ldots,\ol{p}\Bigr) 
            \Bigl( \abs{g_{n+p}^{(n+p)}(x_j) - g_{n}^{(n)}(x_j)} < \frac{\epsilon}{3} \Bigr).
        \]
 
        Zřejmě platí, že vezmeme-li libovolný bod $x \in I$, pak tento bod určitě leží v~některém z~interválků vyrobených prostřednictvím bodů 
        $\{ x_1, \ldots, x_{\ol{p}} \}$. Tj.~existují jeho sousední body $x_l,x_{l'}\in\{ x_1, \ldots, x_{\ol{p}} \}$ tak, že $x\in\left[ x_l,x_{l'} \right]$
        a $\abs{x_l - x_{l'}} < \delta$.
 
        Z~trojúhelníkové nerovnosti zřejmě platí
        \[
          \abs{g_{n+p}^{(n+p)}(x) - g_{n}^{(n)}(x)} \leq \ub{\abs{g_{n+p}^{(n+p)}(x) - g_{n+p}^{(n+p)}(x_l)}}_{A} 
                                                       + \ub{\abs{g_{n+p}^{(n+p)}(x_l) - g_{n}^{(n)}(x_l)}}_{B} 
                                                       + \ub{\abs{g_{n}^{(n)}(x_l) - g_{n}^{(n)}(x)}}_{C}.
        \]
        Ze stejné spojitosti posloupnosti $\{ g_n^{(n)} \}_{n \geq 1}$ plyne $A,C < \epsilon/3$. Z~konvergence $\{ g_n^{(n)} \}_{n \geq 1}$ v~bodech 
        $\{ x_1, \ldots, x_{\ol{p}} \}$ pak plyne $B < \epsilon/3$. Shrneme-li dosavadní výsledky, zjistíme, že pro libovolné $\epsilon > 0$ existuje 
        $n_0\in\N$ tak, že pro každé $n>n_0$, $p\in\N$ a $x \in I$ platí
        \[
          \abs{g_{n+p}^{(n+p)}(x) - g_{n}^{(n)}(x)} < \epsilon,
        \]
        což jsme chtěli dokázat.
      \end{proof}
    \end{lemma}
    Důkazem tohoto lemmatu je zakončen i důkaz Arzelàovy--Ascoliovy věty.
  \end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
  Zabývejme se \textbf{existencí řešení počáteční úlohy}
  \begin{equation}
    \label{eq:poculo}
    \begin{array}{r@{ \ = \ }l}
      y'     & f(x,y), \\
      y(x_0) & y_0,
    \end{array}
  \end{equation}
  kde $f: \Gamma \to \R$, $\Gamma \subset \R^2$, $\Gamma$ je oblast, $\col{x_0}{y_0}\in\Gamma$ a $f \in \Cc(\Gamma)$. Důkaz existence řešení této úlohy je konstrukční a 
  postupuje se podle úvah Leonharda Eulera\footnote{\textbf{Leonhard Euler} (1707--1783), švýcarský matematik a fyzik.}. Pro ilustraci použijeme následující příklad.
\end{remark}
 
\begin{example}
  Mějme sklenici s~pivem, jehož pěna postupně v~čase opadává. Zajímal by nás časový průběh rozpadu pivní pěny. Předpokládejme, že rozpad pivní pěny se řídí diferenciální 
  rovnicí ve tvaru
  \begin{equation}
    \label{eq:pivnipena}
    y' = -\alpha y,
  \end{equation}
  kde $\alpha>0$ je konstanta rozpadu pěny a $y$ označuje výšku pěny. Dále předpokládejme, že počáteční výška pěny v~čase $t=0$ je $y(0) = y_0$. Je zřejmé, že řešíme 
  úlohu typu \eqref{eq:poculo}.
 
  Označme $\tau>0$ časový krok řešení. Derivaci aproximujeme diferencí
  \[
    y'(k\tau) \approx \frac{y(k\tau) - y((k-1)\tau)}{\tau}.
  \]
  Označme $y(k\tau) = y_k$. Potom diferenciální rovnici \eqref{eq:pivnipena} nahradíme diferenční rovnicí ve tvaru
  \[
    \frac{y_k - y_{k-1}}{\tau} = -\alpha y_{k-1},
  \]
  kterou lze postupnými úpravami převést do tvaru
  \[
    y_k = (1-\alpha\tau)^k y_0.
  \]
  Nechť $\ol{t}\in\Rp$ je libovolný, ale pevně zvolený, časový okamžik. Pak pro libovolné $n\in\N$ lze interval $\left[ 0,\ol{t} \right]$ rozdělit na 
  kroky $\tau = \ol{t}/n$. Potom lze psát
  \[
    y_n = (1-\alpha\tau)^n y_0 = \left( 1-\alpha\frac{\ol{t}}{n} \right)^n y_0.
  \]
  Přejdeme-li v~předchozí rovnosti k~limitě $n\to\infty$, dojdeme k~přesnému řešení
  \[
    y(t) = \me^{-\alpha t} y_0.
  \]
\end{example}
 
\begin{remark}
  \index{funkce!Eulerova lomená}
  \index{čára!Eulerova lomená}
  Pokračujme dále v~úvahách o~existenci řešení úlohy \eqref{eq:poculo}. Zkonstruujeme tzv.~\textbf{Eulerovu lomenou čáru} (resp.~\textbf{funkci}).
 
  \begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[scale=1.0]{k_lomene_care.pdf}
    \caption{Ke konstrukci Eulerovy lomené čáry.}
    \label{fig:klomcare}
  \end{figure}
 
  Předpokládejme, že máme oblast $\Gamma$, dále nechť bod $\col{x_0}{y_0}\in\Gamma$. Pak zřejmě existuje okolí $U$ bodu $\col{x_0}{y_0}$ tak, že 
  je omezené a $U \subset \ol{U} \subset \Gamma$. Zřejmě platí následující tvrzení
  \[
    f \in \Cc(\ol{U}) \Rightarrow \Bigl(\exists M>0\Bigr) \Bigl(\forall \col{x}{y}\in U\Bigr) \Bigl(\abs{f(x,y)} \leq M \Bigr).
  \]
  Potom volíme $b \geq aM$ tak, aby $\left[ x_0-a,x_0+a \right] \times \left[ y_0-b,y_0+b \right] \subset U$. Tak okolo bodu $\col{x_0}{y_0}$ sestrojíme 
  obdélník o~délkách hran $2a$ a $2b$, který celý leží v~$U$ (viz~obr.~\ref{fig:klomcare}). 
 
  Dále se zabývejme intervalem $\left[ x_0, x_0+a \right]$ (všechny úvahy, které dále provedeme, bude možné analogicky provést i v~intervalu 
  $\left[ x_0-a,x_0 \right]$). Interval $\left[ x_0, x_0+a \right]$ rovnoměrně rozdělíme na $m$ podintervalů tvaru $\left[ x_{j-1},x_j \right]_{j=1,\ldots,m}$, 
  kde $x_m = x_0 + a$. Délka jednotlivých dílčích intervalů je zřejmě $h = a/m$. V~jednotlivých dílčích intervalech pak začneme postupně konstruovat Eulerovu
  lomenou funkci $\phi_m(x)$ (o~této funkci lze také říci, že je po částech lineární). Definujme tedy
  \[
    \phi_m(x) = y_0 + f(x_0,y_0) (x-x_0) \qquad \text{pro } x \in \left[ x_0,x_1 \right].
  \]
  Dále označme
  \[
    y_1 = \phi_m(x_1) = y_0 + f(x_0,y_0) h.
  \]
  Tím jsme sestrojili bod $\col{x_1}{y_1}$, který je východiskem pro další krok konstrukce. Ve druhém podintervalu postupujeme analogicky a klademe
  \[
    \phi_m(x) = y_1 + f(x_1,y_1) (x-x_1) \qquad \text{pro } x \in \left[ x_1,x_2 \right].
  \]
  Pro krajní bod pak platí
  \[
    y_2 = \phi_m(x_2) = y_1 + f(x_1,y_1) h.
  \]
  Takto postupujeme dále. Obecně tedy můžeme psát 
  \begin{equation}
    \label{eq:eulomfce}
    \phi_m(x) = y_{j-1} + f(x_{j-1},y_{j-1}) (x - x_{j-1}) \qquad \text{pro } x \in \left[ x_{j-1},x_{j} \right],
  \end{equation}
  pro $j=1,\ldots,m$ a kde $y_j = y_{j-1} + f(x_{j-1},y_{j-1}) h$.
 
  O~právě zkonstruované funkci $\phi_m$ je třeba ověřit, že pro libovolné $x\in\left[ x_0,x_0+a\right]$ splňuje $\phi_m(x) \in \left[ y_0-b,y_0+b \right]$. Jinými 
  slovy, požadujeme, aby funkce $\phi_m$ protínala náš obdélník pouze na svislých hranách. Tuto vlastnost nám zaručí následující lemma.
\end{remark}
 
\begin{lemma}
  Funkce $\phi_m(x)$ má pro $x \in \left[ x_0,x_0+a \right]$ hodnoty z~intervalu $\left[ y_0-b,y_0+b \right]$. Přitom využíváme vztahu $b \geq M a$.
 
  \begin{proof}
    Chceme dokázat, že pro libovolné $x \in \left[ x_0,x_0+a \right]$ platí $\abs{\phi_m(x) - y_0} \leq b$. Jestliže $x \in \left[ x_0,x_0+a \right]$, pak zřejmě
    $\exists k \in \{ 1,\ldots,m \}$ tak, že $x \in \left[ x_{k-1}, x_k \right]$.
 
    Z~trojúhelníkové nerovnosti plyne následující odhad
    \begin{eqnarray*}
      \abs{\phi_m(x) - y_0} &\leq& \abs{\phi_m(x) - \phi_m(x_{k-1})} + \abs{\phi_m(x_{k-1}) - \phi_m(x_{k-2})} + \cdots \\
                            &    & \cdots + \abs{\phi_m(x_2) - \phi_m(x_1)} + \abs{\phi_m(x_1) - \phi_m(x_0)},
    \end{eqnarray*}
    kde jsme označili $y_0 = \phi_m(x_0)$. Uvědomíme-li si, že $\phi_m(x_j) = y_j$, můžeme prostřednictvím \eqref{eq:eulomfce} jednotlivé absolutní hodnoty na pravé straně 
    nerovnosti odhadnout následujícím způsobem
    \begin{eqnarray*}
      \abs{\phi_m(x) - \phi_m(x_{k-1})}   &\leq& \abs{f(x_{k-1},y_{k-1})} \abs{x-x_{k-1}}, \\
      \abs{\phi_m(x_j) - \phi_m(x_{j-1})} &\leq& \abs{f(x_{j-1},y_{j-1})} h,
    \end{eqnarray*}
    kde $j=1,\ldots,k-1$. Můžeme tedy psát
    \begin{equation*}
      \abs{\phi_m(x) - y_0} \leq \ub{\abs{f(x_{k-1},y_{k-1})}}_{\leq M} \abs{x-x_{k-1}} + \sum_{j=1}^{k-1}\ub{\abs{f(x_{j-1},y_{j-1})}}_{\leq M} h 
        \leq M \abs{x-x_0} \leq Ma \leq b.
    \end{equation*}
 
    Tuto úvahu provádíme postupně pro $x \in \left[ x_0,x_1 \right]$, poté pro $x \in \left[ x_1,x_2 \right],\ldots,x \in \left[ x_{m-1},x_m \right]$. Tak je zajištěno, 
    že pro všechna $x \in \left[ x_0,x_0+a \right]$ je $\abs{\phi_m(x) - y_0} \leq b$, což jsme chtěli dokázat.
  \end{proof}
\end{lemma}
 
\begin{remark}
  Konstrukcí funkcí $\phi_m(x)$ pro $m=1,2,\ldots$ vzniká funkční posloupnost
  \begin{equation}
    \label{eq:poslomfci}
    \{ \phi_m(x) \}_{m \geq 1}
  \end{equation}
  na intervalu $\left[ x_0, x_0+a \right]$. Zabývejme se dále vlastnostmi této posloupnosti.
\end{remark}
 
\begin{lemma}
  \label{lem:1}
  Funkční posloupnost \eqref{eq:poslomfci} je stejně omezená.
 
  \begin{proof}
    Z~předchozího lemmatu víme, že platí $\abs{\phi_m(x) - y_0} \leq b$ pro libovolné $m$. Odtud zřejmě
    \[
      \Bigl(\forall m\in\N \Bigr) \Bigl( \abs{\phi_m(x)} \leq \abs{y_0} + b \Bigr),
    \]
    což jsme chtěli dokázat.
  \end{proof}
\end{lemma}
 
\begin{lemma}
  \label{lem:2}
  Funkční posloupnost \eqref{eq:poslomfci} obsahuje stejně spojité funkce.
 
  \begin{proof}
    Podle definice stejné spojitosti chceme ukázat, že platí
    \[
      \Bigl(\forall\epsilon>0\Bigr) \Bigl(\exists\delta>0\Bigr) \Bigl(\forall m\in\N\Bigr) \Bigl(\forall x,x'\in\left[ x_0,x_0+a\right]\Bigr)
        \Bigl(\abs{x-x'}<\delta \Rightarrow \abs{\phi_m(x) - \phi_m(x')}<\epsilon\Bigr).
    \]
 
    Protože $x,x'\in\left[ x_0,x_0+a\right]$, zřejmě existují indexy $k,l\in\widehat{m}$ tak, že $x\in\left[ x_{k-1},x_k \right]$ a $x'\in\left[ x_{l-1},x_l\right]$. 
    Bez újmy na obecnosti nechť $k \leq l$. Potom tedy platí
    \begin{eqnarray*}
      \abs{\phi_m(x) - \phi_m(x')} &\leq& \abs{\phi_m(x) - \phi_m(x_k)} + \abs{\phi_m(x_k) - \phi_m(x_{k+1})} + \cdots \\
                                   &    & \cdots + \abs{\phi_m(x_{l-2}) - \phi_m(x_{l-1})} + \abs{\phi_m(x_{l-1}) - \phi_m(x')}.
    \end{eqnarray*}
    Odhadneme-li dílčí absolutní hodnoty na pravé straně této nerovnosti pomocí vztahu \eqref{eq:eulomfce}, dostaneme
    \begin{eqnarray*}
      \abs{\phi_m(x) - \phi_m(x_k)}       &=& \abs{f(x_{k-1},y_{k-1})} \abs{x-x_k}, \\
      \abs{\phi_m(x_{l-1}) - \phi_m(x')}  &=& \abs{f(x_{l-1},y_{l-1})} \abs{x'-x_{l-1}}, \\
      \abs{\phi_m(x_j) - \phi_m(x_{j-1})} &=& \abs{f(x_{j-1},y_{j-1})} h,
    \end{eqnarray*}
    kde $j=k+1,\ldots,l-1$. Uvážíme-li, že pro každé $j\in\widehat{m}$ platí $\abs{f(x_{j-1},y_{j-1})} \leq M$, dostáváme odhad
    \[
      \abs{\phi_m(x) - \phi_m(x')} \leq M \left(\abs{x-x_k} + \abs{x_k-x_{k+1}} + \cdots + \abs{x'-x_{l-1}} \right) = M \abs{x-x'}.
    \]
    Potom tedy pro libovolné $\epsilon>0$ položíme $\delta = \epsilon / M$ a pak pro každé $m\in\N$ a pro každé $x,x'\in\left[ x_0,x_0+a\right]$ platí 
    $\abs{x-x'}<\delta \Rightarrow \abs{\phi_m(x) - \phi_m(x')}<\epsilon$. Tím je důkaz ukončen.
  \end{proof}
\end{lemma}
 
\begin{remark}
  Sestrojili jsme funkční posloupnost $\{ \phi_m \}_{m \geq 1}$, o~níž jsme zjistili, že obsahuje funkce stejně omezené a stejně spojité na intervalu 
  $\left[ x_0,x_0+a \right]$. Podle věty \ref{theo:arzela} lze z~této posloupnosti vybrat stejnoměrně konvergentní podposloupnost na $\left[ x_0,x_0+a \right]$.
  Zřejmě tedy
  \[
    \Bigl(\exists y(x) \text{ na } \left[ x_0,x_0+a \right] \Bigr) \Bigl( \phi_{m'} \stackrel{\left[ x_0,x_0+a \right]}{\rightrightarrows} y \Bigr).
  \]
  O~funkci $y$ je třeba dokázat, že řeší úlohu \eqref{eq:poculo}.
  \begin{enumerate}[(1)]
    \item Zřejmě platí $(\forall m\in\N) (\phi_m(x_0) = y_0)$, odkud $y(x_0) = y_0$ a funkce $y$ tedy splňuje počáteční podmínku.
    \item O~tom, že funkce $y$ vyhovuje i příslušné diferenciální rovnici, nás přesvědčí následující lemma.
  \end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{lemma}
  \label{lem:3}
  Platí
  \[
    \Biggl( \forall x \in (x_0,x_0+a) \Biggr) \Biggl( \lim_{\ol{h} \to 0} \left( \frac{y(x+\ol{h}) - y(x)}{\ol{h}} - f(x,y(x)) \right) = 0 \Biggr).
  \]
 
  \begin{proof}
    Zvolíme $\ol{x}\in(x_0,x_0+a)$ pevně a $\ol{h}\in\R$ tak, aby $\ol{x} + \ol{h}\in(x_0,x_0+a)$ a budeme zkoumat chování výrazu
    \[
      \abs{\phi_{m'}(\ol{x} + \ol{h}) - \phi_{m'}(\ol{x}) - \ol{h} f(\ol{x},\phi_{m'}(\ol{x}))} \stackrel{\text{ozn.}}{=} A
    \]
    pro vysoká $m'$.
 
    Protože $\ol{x}, \ol{x} + \ol{h}\in(x_0,x_0+a)$, zřejmě existují indexy $k,l\in\widehat{m'}$ tak, že $\ol{x}\in\left[ x_{k-1},x_k \right]$ a 
    $\ol{x} + \ol{h}\in\left[ x_{l-1},x_l \right]$. Bez újmy na obecnosti nechť $\ol{h} > 0$, tj.~také $k \leq l$ a pro dostatečně vysoká $m'$ bude 
    tato nerovnost ostrá -- k~tomu stačí\footnote{Požadujeme totiž $h<\ol{h}$, kde $h=a/m'$, odkud $m'>a/\ol{h}$.} $m' > a/\ol{h}$ (toho ještě později 
    využijeme). Zkoumaný výraz pak lze přepsat a odhadnout následujícím způsobem
    \begin{eqnarray*}
      A%\abs{\phi_m(\ol{x} + \ol{h}) - \phi_m(\ol{x}) - \ol{h} f(\ol{x},\phi_m(\ol{x}))} 
%        & =  & \vert \phi_m(\ol{x}) - \phi_m(x_k) + \phi_m(x_k) - \phi_m(x_{k+1}) + \phi_m(x_{k+1}) - \cdots + \phi_m(x_{l-1}) - \phi_m(\ol{x}+\ol{h}) + \\
        & =  & \Big\vert \phi_{m'}(\ol{x}) - \phi_{m'}(x_k) + \sum_{j=k}^{l-2}\bigl[\phi_{m'}(x_j) - \phi_{m'}(x_{j+1})\bigr] + \phi_{m'}(x_{l-1}) - \phi_{m'}(\ol{x}+\ol{h}) + \\
%        &    & + (x_k - \ol{x} + x_{k+1} - x_k + \cdots + x_{l-1} - x_{l-2} + \ol{x} + \ol{h} - x_{l-1}) f(\ol{x},\phi_m(\ol{x})) \vert \\
        &    & + (x_k - \ol{x} + \sum_{j=k}^{l-2}\bigl[x_{j+1}-x_j\bigr] + \ol{x} + \ol{h} - x_{l-1}) f(\ol{x},\phi_{m'}(\ol{x})) \Big\vert \\
        &\leq& \abs{ \phi_{m'}(\ol{x}) - \phi_{m'}(x_k) + (x_k-\ol{x}) f(\ol{x},\phi_{m'}(\ol{x})) } + \\
        &    & + \sum_{j=k}^{l-2} \big\vert \phi_{m'}(x_j) - \phi_{m'}(x_{j+1}) + (x_{j+1}-x_j) f(\ol{x},\phi_{m'}(\ol{x})) \big\vert + \\
        &    & + \abs{ \phi_{m'}(x_{l-1}) - \phi_{m'}(\ol{x}+\ol{h}) + (\ol{x}+\ol{h}-x_{l-1}) f(\ol{x},\phi_{m'}(\ol{x})) }.
    \end{eqnarray*}
    Využijeme-li definice funkce Eulerovy lomené funkce $\phi_m$ \eqref{eq:eulomfce} dostaneme
    \begin{eqnarray*}
      \phi_m(\ol{x}) - \phi_m(x_k)            &=& f(x_{k-1},y_{k-1}) (\ol{x}-x_k), \\
      \phi_m(x_j) - \phi_m(x_{j+1})           &=& f(x_j,y_j) (x_j-x_{j+1}), \\
      \phi_m(x_{l-1}) - \phi_m(\ol{x}+\ol{h}) &=& f(x_{l-1},y_{l-1}) (x_{l-1} - (\ol{x}+\ol{h})),
    \end{eqnarray*}
    pro $j=k,\ldots,l-2$. V~souladu se zavedeným značením platí $x_j-x_{j+1} = -h$. Pomocí právě získaných vztahů upravíme odhad výrazu $A$, čímž dostaneme
    \begin{eqnarray*}
      A &\leq& \abs{\ol{x}-x_k} \abs{f(x_{k-1},y_{k-1}) - f(\ol{x},\phi_{m'}(\ol{x}))} + \\
        &    & + \sum_{j=k}^{l-2} h \abs{f(x_j,y_j) - f(\ol{x},\phi_{m'}(\ol{x}))} + \\
        &    & + \abs{x_{l-1} - (\ol{x}+\ol{h})} \abs{f(x_{l-1},y_{l-1}) - f(\ol{x},\phi_{m'}(\ol{x}))}.
    \end{eqnarray*}
    %Vidíme, že v~odhadu výrazu $A$ vystupují rozdíly tvaru
    Protože $f\in \Cc(\Gamma)$ je funkce $f$ spojitá také na kompaktu $\left[ x_0-a,x_0+a \right] \times \left[ y_0-b,y_0+b \right] \subset \Gamma$. Funkce spojitá na 
    kompaktu je na něm spojitá stejnoměrně \cite[Věta 4.19]{rudin1} a platí tedy
    \[
      \begin{split}
        \Bigl(\forall\epsilon>0\Bigr) \Bigl(\exists\delta>0\Bigr) \Bigl(\forall (x,y),(x',y') & \in \left[ x_0-a,x_0+a \right] \times \left[ y_0-b,y_0+b \right] \Bigr) \\
                                                                  & \Bigl( \abs{x-x'}<\delta \wedge \abs{y-y'}<\delta \Rightarrow \abs{f(x,y)-f(x',y')}<\frac{\epsilon}{2}\Bigr).
      \end{split}
    \]
    Dále víme, že funkce $\{\phi_m\}$ jsou stejně spojité na $\left[ x_0,x_0+a \right]$ a platí tedy
    \[
      \Bigl(\forall\delta>0\Bigr) \Bigl(\exists\delta'=\delta/M>0\Bigr) \Bigl(\forall m\in\N\Bigr) 
        \Bigl(\abs{x-\ol{x}}<\delta' \Rightarrow \abs{\phi_m(x)-\phi_m(\ol{x})}<\delta \Bigr).
    \]
    V~předchozí poznámce jsme ukázali, že funkční podposloupnost $\{\phi_{m'}\}$ konverguje stejnoměrně k~$y(x)$ na $\left[ x_0,x_0+a \right]$ a rovněž tedy platí 
    \[
      \lim_{m'\to\infty} \phi_{m'}(x) = y(x),
    \]
    pro každé $x\in\left[ x_0,x_0+a \right]$.
 
    Vezměme $m'>a/\ol{h}$ (viz začátek důkazu, zajímá nás $m' \to +\infty$). Dále zvolme pevné $\ol{h}$ tak, aby $\ol{h}<\min\{\delta,\delta/M\}$. 
    Potom zřejmě $\abs{\ol{x}+\ol{h}-x_{l-1}},\ldots,\abs{x_k-\ol{x}} \leq \ol{h}$ a také $\abs{x_j - \ol{x}} \leq \ol{h}$ pro všechna $j\in\{k-1,\ldots,l-1\}$. 
    Potom tedy
    \begin{eqnarray*}
      \abs{\phi_{m'}(x_{j}) - \phi_{m'}(\ol{x})} &<& \delta, \\
      \abs{f(x_j,y_j) - f(\ol{x},\phi_{m'}(\ol{x}))} &<& \frac{\epsilon}{2}.
    \end{eqnarray*}
 
    Pomocí provedených odhadů můžeme dokončit odhad výrazu $A$, čímž dostaneme
    \[
      A < \frac{\epsilon}{2} \ub{\Bigl[\abs{\ol{x}-x_k} + \sum_{j=k}^{l-2} h + \abs{x_{l-1} - (\ol{x}+\ol{h})} \Bigr]}_{=\ol{h}} = \frac{\ol{h} \epsilon}{2}.
    \]
 
    Provedeme-li nyní v~nerovnosti limitní přechod $m' \to \infty$ obdržíme vztah
    \[
      \abs{y(\ol{x}+\ol{h}) - y(\ol{x}) - \ol{h} f(\ol{x},y(\ol{x})} \leq \frac{\ol{h} \epsilon}{2},
    \]
    odkud zřejmě 
    \[
      \Biggl( \forall \epsilon > 0 \Biggr) \Biggl(\exists h_0 > 0 \Biggr) \Biggl(\forall \ol{h} <  h_0 \Biggr) 
        \Biggl( \abs{\frac{y(\ol{x}+\ol{h}) - y(\ol{x})}{\ol{h}} - f(\ol{x},y(\ol{x})} < \epsilon \Biggr),
    \]
    a tedy
    \[
      \lim_{\ol{h} \to 0} \left( \frac{y(x+\ol{h}) - y(x)}{\ol{h}} - f(x,y(x)) \right) = 0,
    \]
    pro libovolné $x \in (x_0,x_0+a)$, což jsme chtěli dokázat.
  \end{proof}
\end{lemma}
 
\begin{remark}
  Podle právě dokázaného lemmatu a jemu předcházející poznámky je tedy funkce $y$, která je limitní funkcí podposloupnosti $\{\phi_{m'}\}$, řešením úlohy 
  \eqref{eq:poculo}.
\end{remark}
 
\begin{theorem}[Peanova\footnote{\textbf{Giuseppe Peano} (1858--1932), italský matematik.}, o~existenci]
  \index{věta!Peanova}
  \label{theo:peano}
  Nechť funkce $f$ je spojitá na oblasti $\Gamma\subset\R^2$, $\col{x_0}{y_0}\in\Gamma$. Pak existuje alespoň jedno řešení rovnice $y'=f(x,y)$ splňující podmínku
  $y(x_0)=y_0$.
 
  \begin{proof}
    Podle předchozí poznámky je hledaným řešením funkce $y$, která je limitní funkcí podposloupnosti $\{\phi_{m'}\}$.
  \end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
  Peanova věta nám dává k~dispozici \textbf{postačující podmínku} existence řešení, nikoliv však nutnou. Uvažme diferenciální rovnici
  \[
    y' = \sgn y.
  \]
  Je zřejmé, že funkce $f(x,y) = \sgn y$ není spojitá na $\R^2$, proto na tuto rovnici nelze rovnou použít Peanova věta. Snadno se však 
  přesvědčíme, že každým bodem $\R^2$ prochází právě jedna integrální křivka.
 
  Pro $y>0$ dostáváme $y'=1$ odkud pro hledané řešení získáme vztah $y(x)=x+C_1$ pro $x>-C_1$. Konstantu $C_1$ dopočítáme jednoznačně 
  z~počátečních podmínek. Podobně pro $y<0$ je zřejmě $y'=-1$ a tedy hledané řešení má tvar $y(x)=-x+C_2$ pro $x<C_2$. Konstantu $C_2$ opět 
  jednoznačně určíme z~počátečních podmínek. Nakonec uvažme, že funkce $y(x) \equiv 0$ také vyhovuje dané diferenciální rovnici pro 
  všechna $x\in\R$. Integrální křivky jsou zachyceny na obr.~\ref{fig:k_pean_vete}.
 
  \begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[scale=1.0]{k_peanove_vete.pdf}
    \caption{Integrální křivky rovnice $y'=\sgn y$.}
    \label{fig:k_pean_vete}
  \end{figure}
\end{remark}
 
 
 
 
% ****************************************************************************************************************************
%                             PODSEKCE: Jednoznačnost řešení
% ****************************************************************************************************************************
\subsection{Jednoznačnost řešení}
\begin{remark}
  Peanova věta \textbf{nezaručuje jednoznačnost řešení}. Uvažme rovnici
  \[
    y' = \sqrt[3]{y^2}.
  \]
  Podle Peanovy věty prochází každým bodem $\R^2$ alespoň jedna integrální křivka této rovnice. Snadno se však přesvědčíme, že funkce
  \begin{eqnarray*}
    y(x) &=& 0, \\
    y(x) &=& \frac{x^3}{27},
  \end{eqnarray*}
  řeší tuto diferenciální rovnici pro všechna $x\in\R$. Bodem $\col{0}{0}$ tedy prochází alespoň dvě různé integrální křivky.
\end{remark}
 
\begin{theorem}[Osgoodova\footnote{\textbf{William Fogg Osgood} (1864--1943), americký matematik.}, o~jednoznačnosti]
  \index{věta!Osgoodova}
  \label{theo:osgood}
  Nechť funkce $f=f(x,y)$ má vlastnost 
  \[
    \Bigl(\forall  
    \COL{x}{y_1},  \COL{x}{y_2} \in\Gamma\Bigr) \Bigl(\abs{f(x,y_1)-f(x,y_2)}\leq\Phi\left(\abs{y_2-y_1}\right)\Bigr),
  \]
  kde $\Phi: \left[ 0,C \right] \to \Rop$ je funkce spojitá a kladná na $\left(0,C\right]$, $\Phi(0)=0$ a dále platí, že
  \[
    \lim_{\epsilon \to 0_+} \int_{\epsilon}^{C} \frac{\dif u}{\Phi(u)} = +\infty.
  \]
  Potom každým bodem $\col{x_0}{y_0}\in\Gamma$ prochází nejvýše jedna integrální křivka rovnice \eqref{eq:poculo}.
 
  \begin{proof}
    Důkaz se provede sporem. Nechť funkce $y_1$ a $y_2$ jsou dvě navzájem různá řešení úlohy \eqref{eq:poculo}. Zřejmě tedy platí 
    $y_1(x_0) = y_2(x_0) = y_0$ a zároveň existuje $x_1$ (bez újmy na obecnosti nechť např.~$x_1>x_0$) takové, že $y_1(x_1)\neq y_2(x_1)$.
 
    Dále definujme $z(x) = y_1(x)-y_2(x)$. Zřejmě tedy $z(x_0) = 0$. Bez újmy na obecnosti nechť $z(x_1) > 0$. Funkce $z$ je zřejmě 
    spojitá, a proto $\exists H_{x_1}$ tak, že $z(x)>0$ pro $\forall x \in H_{x_1}$. Potom podle předpokladů můžeme psát
    \[
      z'(x) = y'_1(x) - y'_2(x) = f(x,y_1(x))-f(x,y_2(x)) \leq \abs{f(x,y_1(x))-f(x,y_2(x))} \leq \Phi(\abs{z(x)}),
    \]
    kde jsme využili odhadu, že žádné číslo nepřevýší svoji absolutní hodnotu a předpokladů věty. Protože $z(x)>0$ na $H_{x_1}$, platí 
    $\abs{z(x)}=z(x)$ na $H_{x_1}$.
 
    Je tedy potřeba řešit diferenciální nerovnici ve tvaru 
    \[
      z'(x) \leq \Phi(z(x)) \qquad \forall x \in H_{x_1}.
    \]
    Nerovnici lze upravit na tvar
    \[
      \frac{z'(x)}{\Phi(z(x))} \leq 1 \quad \Longrightarrow \quad \int_x^{x_1} \frac{z'(x) \dif x}{\Phi(z(x))} \leq x_1-x.
    \]
    Podle věty o~integraci substitucí (\cite[Věta 6.19]{rudin1}) upravíme integrál v~nerovnosti pomocí substituce $u=z(x)$ na tvar
    \[
      \int_{z(x)}^{z(x_1)} \frac{\dif u}{\Phi(u)} \leq x_1-x.
    \]
 
    Uvážíme-li, že funkce $z$ je spojitá, zřejmě $\exists x_2 \in \left[ x_0,x_1\right)$ tak, že $z(x_2) = 0$. Bodů splňujících tento požadavek 
    může být v~intervalu $\left[ x_0,x_1\right)$ více. Určitě je tam alespoň jeden, a to přímo bod $x_0$. Bod $x_2$ vybereme tedy tak, aby 
    platilo $z(x_2)=0$ a zároveň $z(x)>0$ pro $x_2 < x \leq x_1$ (je tedy co nejblíže bodu $x_1$). Potom přejdeme v~nerovnosti k~limitě 
    $x \to x_2$, odkud $z(x) \to 0$ a dostaneme
    \[
      \ub{\lim_{\epsilon \to 0_+} \int_{\epsilon}^{z(x_1)} \frac{\dif u}{\Phi(u)}}_{+\infty} \leq \ub{x_1 - x_2}_{\in\R},
    \]
    což je ovšem spor.
  \end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
  Osgoodova věta neurčuje přesně funkci $\Phi$. Pouze nám říká, jaké vlastnosti mít musí. V~praxi se funkce $\Phi$ nejčastěji
  volí ve tvaru
  \[
    \Phi(u) = ku.
  \]
  Dále se také můžeme setkat s~volbami
  \begin{eqnarray*}
    \Phi(u) &=& ku \cdot \abs{\ln u}, \\
    \Phi(u) &=& ku \cdot \abs{\ln u} \cdot \abs{\ln\abs{\ln u}}
  \end{eqnarray*}
  a podobně.
\end{remark}
 
\begin{define}
  \index{podmínka!Lipschitzova}
  \index{funkce!lipschitzovská}
  \index{funkce!lokálně lipschitzovská}
  Nechť funkce $f=f(x,y)$ je definová na oblasti $\Gamma\subset\R^2$. Pak říkáme, že \textbf{funkce $f$ splňuje na $\Gamma$ Lipschitzovu}\footnote{
  \textbf{Rudolf Otto Sigismund Lipschitz} (1832--1903), německý matematik.} \textbf{podmínku s~konstantou $L > 0$ vzhledem k~$y$} právě tehdy, když 
  \[
    \Bigl(\forall
 	\COL{x}{y_1},  \COL{x}{y_2} \in\Gamma\Bigr) \Bigl(\abs{f(x,y_1)-f(x,y_2)} \leq L\abs{y_1-y_2}\Bigr).
  \]
 
  Řekneme, že \textbf{funkce $f$ splňuje na $\Gamma$ lokálně Lipschitzovu podmínku s~konstantou $L$ vzhledem k~$y$} právě tehdy, když $\forall\col{x_0}{y_0}\in\Gamma$ 
  existuje okolí $H$ bodu $\col{x_0}{y_0}$ tak, že $f$ splňuje na $H$ Lipschitzovu podmínku s~konstantou $L$ vzhledem k~$y$.
\end{define}
 
\begin{remark}
  O~funkci $f$, která na $\Gamma$ splňuje (resp.~lokálně splňuje) Lipschitzovu podmínku s~konstatnou $L$ vzhledem k~$y$ také říkáme, že je
  \textbf{lipschitzovská} (resp.\textbf{~lokálně lipschitzovská}) \textbf{na $\Gamma$ vzhledem k~$y$}.
\end{remark}
 
\begin{theorem}
  Nechť je $f: \Gamma \to \R$, kde $\Gamma$ je oblast v~$\R^2$ a dále nechť $\partial_y f \in \Cc(\Gamma)$. Potom $f$ je lokálně lipschitzovská 
  na $\Gamma$ vzhledem k~$y$.
 
  \begin{proof}
    Zvolme libovolný bod $\col{x_0}{y_0}\in\Gamma$. Protože podle předpokladů je funkce $\partial_y f\in \Cc(\Gamma)$, existuje konstanta $L>0$ a okolí $H$ 
    bodu $\col{x_0}{y_0}$ takové, že $\forall \col{x}{y}\in H$ platí, že $\abs{\partial_y f(x,y)} \leq L$. ($L$ existuje podle věty o omezenosti spojité funkce na kompaktu $\ol{H}$, bod $\col{x_0}{y_0}$ musí být z vnitřku $H$.) Okolí $H$ lze zřejmě zvolit konvexní.
 
    Pro pevné $x$ se můžeme na funkci $f(x,y)$ dívat jako na funkci jedné reálné proměnné $y$ a na rozdíl $\abs{f(x,y_1)-f(x,y_2)}$ aplikovat větu 
    o~přírůstku funkce (viz~\cite[Věta 5.10]{rudin1}). Potom pro libovolné $\col{x}{y_1},\col{x}{y_2}\in H$ platí
    \[
      \abs{f(x,y_1) - f(x,y_2)} = \abs{\partial_y f(x,\xi)} \abs{y_1-y_2} \leq L \abs{y_1-y_2},
    \]
    což jsme chtěli dokázat.
  \end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
  Nechť funkce $f$ je spojitá na $\Gamma$ a lokálně lipschitzovská vzhledem k~$y$ na $\Gamma$. Potom každým bodem $\col{x_0}{y_0}\in\Gamma$ prochází právě 
  jedna integrální křivka úlohy \eqref{eq:poculo}.
 
  \begin{proof}
    Věta je důsledkem věty \ref{theo:peano} a \ref{theo:osgood}.
  \end{proof}
\end{theorem}
 
 
 
 
% ****************************************************************************************************************************
%                             PODSEKCE: Prodloužitelné a neprodloužitelné řešení
% ****************************************************************************************************************************
\subsection{Prodloužitelné a neprodloužitelné řešení}
\begin{remark}
  Podle důkazu Peanovy věty \ref{theo:peano} jsme k~bodu $\col{x_0}{y_0} \in \Gamma$ sestrojili obdélník tak, že funkce $y(x)$ definovaná na intervalu 
  $\left[ x_0-a,x_0+a \right]$ splňovala $\forall x\in\left( x_0-a,x_0+a\right) $ rovnici $y'(x)=f(x,y(x))$ a zároveň $y(x_0)=y_0$. Peanova věta nám tedy zaručuje 
  existenci řešení úlohy \eqref{eq:poculo} \textbf{lokálně}, na jistém okolí (viz~obr.~\ref{fig:kprodlouzeni}).
 
  \begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[scale=1.0]{k_prodlouzeni.pdf}
    \caption{Peanova věta zaručuje existenci řešení lokálně, ke konstrukci prodloužení řešení.}
    \label{fig:kprodlouzeni}
  \end{figure}
 
  Označme
  \begin{eqnarray*}
    x_1 &=& x_0 + a, \\
    y_1 &=& y(x_0 + a).
  \end{eqnarray*}
 
  Zřejmě platí $\col{x_1}{y_1}\in\Gamma$ a lze tedy řešit úlohu s~novou počáteční podmínkou (díky tomu, že nalezené řešení bylo definované na uzavřeném 
  intervalu)
  \begin{eqnarray*}
    y'     &=& f(x,y), \\
    y(x_1) &=& y_1.
  \end{eqnarray*}
  Z~Peanovy věty vyplývá existence funkce $y^{(1)}(x)$ definované na intervalu $\left[ x_1-a_1,x_1+a_1 \right]$, která řeší uvedenou úlohu 
  na otevřeném intervalu $(x_1-a_1,x_1+a_1)$. Původní funkci $y(x)$ definovanou na intervalu $\left[ x_0-a,x_0+a \right]$ lze zřejmě prodloužit 
  na interval $\left[ x_0-a,x_1+a_1 \right]$ tak, že položíme
  \[
    y(x) = \begin{cases} y(x) & \text{ pro } x\in\left[ x_0-a,x_0+a \right]\\ y^{(1)}(x) & \text{ pro } x\in\left( x_0+a,x_1+a_1\right] \end{cases}.
  \]
  Prodloužená funkce $y$ potom řeší původní úlohu na prodlouženém intervalu $(x_0-a,x_1+a_1)$.
 
  Tímto postupem lze pokračovat v~prodlužování řešení úlohy \eqref{eq:poculo} dále. V~$k$-tém kroku prodlužování položíme
  \begin{eqnarray*}
    x_k &=& x_{k-1}+a_{k-1}, \\
    y_k &=& y^{(k-1)}(x_{k-1}+a_{k-1}).
  \end{eqnarray*}
  Platí $\col{x_k}{y_k}\in\Gamma$ a z~Peanovy věty existuje $y^{(k)}(x)$ definované na intervalu $\left[ x_k-a_k,x_k+a_k \right]$. Původní řešení tedy 
  můžeme prodloužit o~interval $\left[ x_k,x_k+a_k \right]$ a $\forall x\in\left( x_0-a,x_k+a_k\right) $ je splněna rovnice $y'(x) = f(x,y(x))$.
 
  Z~provedených úvah je zřejmé, že analogicky bychom mohli původní řešení prodlužovat doleva.
 
  V~dalším textu se budeme zabývat definicí prodloužitelného a neprodloužitelného řešení, existencí neprodloužitelného řešení a budeme zkoumat, kam 
  až lze řešení prodloužit.
\end{remark}
 
\begin{define}
  \index{řešení!prodloužitelné}
  \index{řešení!neprodloužitelné}
  Nechť funkce $\phi(x)$ je řešením úlohy \eqref{eq:poculo} na $\left[\alpha,\beta\right]$. Říkáme, že řešení $\phi$ je \textbf{prodloužitelné} 
  právě tehdy, jestliže existuje funkce $\phi_1(x)$, definovaná na $\left[\alpha_1,\beta_1\right]$ (takovém, že $\alpha_1\leq\alpha$, $\beta_1\geq\beta$ 
  a přitom $\alpha_1<\alpha \vee \beta_1>\beta$), taková, že $\phi_1\vert_{\left[\alpha,\beta\right]} = \phi$ a $\phi_1$ řeší úlohu \eqref{eq:poculo}.
 
  Funkce $\phi_1$ se pak nazývá \textbf{prodloužením} funkce $\phi$.
  Řešení úlohy \eqref{eq:poculo} definované na $(\alpha,\beta)$, pro které neexistuje prodloužení, se nazývá \textbf{neprodloužitelné}.
\end{define}
 
\begin{remark}
  Řešení definované na uzavřeném intervalu lze vždy prodloužit. Neprodloužitelné řešení je definováno pouze na otevřených intervalech.
\end{remark}
 
\begin{theorem}
  \label{theo:krit_prodl}
  Nechť $f\in \Cc(\Gamma)$. Pak řešení $\phi=\phi(x)$ úlohy \eqref{eq:poculo} definované na $(\alpha,\beta)$ je neprodloužitelné právě tehdy, když platí
  alespoň jedna z~následujících podmínek (pro neprodloužitelnost v~daném směru):
  \begin{enumerate}[(1)]
    \item $\beta = +\infty$ (ve směru doprava), resp.~$\alpha=-\infty$ (ve směru doleva),
    \item $\abs{\phi(x)} \to +\infty$ pro $x\to\beta_-$, resp.~pro $x\to\alpha_+$,
    \item $\rho(\col{x}{\phi(x)},\partial\Gamma) \to 0$ pro $x\to\beta_-$, resp.~pro $x\to\alpha_+$.
  \end{enumerate}
 
  \begin{proof}
    Věta je ekvivalencí a je tedy třeba dokázat obě implikace.
    \begin{enumerate}
%\item
      \item \underline{$\Leftarrow$:} Předpokládejme postupně splnění podmínky (1), (2) a (3).
        \begin{enumerate}[(1)]
          \item Nechť $\beta=+\infty$. Potom $(\alpha,\beta)$ nelze prodloužit za $\beta$, a tedy $\phi$ je neprodloužitelné (doprava). Analogicky se 
            ukáže neprodloužitelnost doleva pro bod $\alpha$.
          \item Pokud $\phi$ lze prodloužit za $\beta$, pak lze určitě vyčíslit $\phi$ v~bodě $x=\beta$, tzn.~$\phi$ je řešením \eqref{eq:poculo}. Potom 
            $\exists \lim\limits_{x\to\beta_-} \phi(x) \in \R$, což je spor s~podmínkou (2).
          \item Pokud lze $\phi$ prodloužit za $\beta$, pak $\lim\limits_{x\to\beta_-} \phi(x) \in \R$. Potom také 
            $\lim\limits_{x\to\beta_-} \col{x}{\phi(x)} \in \Gamma$. Z~podmínky (3) pak plyne $\lim\limits_{x\to\beta_-} \col{x}{\phi(x)} \in \partial\Gamma$. Pak 
            tedy $\lim\limits_{x\to\beta_-} \col{x}{\phi(x)} \in \Gamma \cap \partial\Gamma$, což je spor s~předpokladem, že $\Gamma$ je oblast.
        \end{enumerate}
 
%\item
      \item \underline{$\Rightarrow$:} Důkaz se provede sporem. Nechť $\phi=\phi(x)$ je neprodloužitelné řešení a zároveň nechť není splněna žádná z~podmínek 
        (1), (2), (3), tj.~platí $\neg (1) \wedge \neg (2) \wedge \neg (3)$. Z~lemmatu \ref{lem:k_prodl} pak $\exists\lim\limits_{x\to\beta_-}\col{x}{\phi(x)}\in\R^2$
        a ze spojitosti funkce $\rho(\col{x}{y},\partial\Gamma)$ (kde za argument funkce považujeme $\col{x}{y}$) plyne, že 
        \[
          \exists \lim_{x\to\beta_-} \rho\left(\COL{x}{\phi(x)},\partial\Gamma\right) \stackrel{\text{ozn.}}{=} \ub{d > 0}_{\text{z }\neg(3)}.
        \]
        Tento limitní bod tedy leží uvnitř $\Gamma$, tj.~platí
        \[
          \lim_{x\to\beta_-} \COL{x}{\phi(x)} = \COL{\beta}{\lim_{x\to\beta_-} \phi(x)}  \in \Gamma.
        \]
        Označme $\lim\limits_{x\to\beta_-} \phi(x) = \phi(\beta)$. Lze tedy řešit počáteční úlohu $y'=f(x,y)$, $y(\beta) = \phi(\beta)$ a řešení $\phi$ 
        prodloužit za bod $\beta$, což je spor.
    \end{enumerate}
  \end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
Větu lze intuitivně pochopit tak, že řešení nelze prodloužit, pokud
\vspace{-2mm}
\begin{enumerate}[(1)]
    \item není kam,\vspace{-2mm} 
    \item není co,\vspace{-2mm} 
    \item není kudy. 
  \end{enumerate} 
\end{remark}
 
\begin{lemma}
  \label{lem:k_prodl}
  Nechť platí předpoklady předchozí věty a navíc nechť platí $\neg (1) \wedge \neg (2) \wedge \neg (3)$. Potom existuje $\lim\limits_{x\to\beta_-} \phi(x) \in \R$.
 
  \begin{proof}
    Při dokazování využijeme následující lemma:
    \begin{lemma}
      Spojitá funkce na $\left[ a,b \right]$ nabývá všech hodnot mezi svým maximem a minimem, resp.~mezi hodnotami $f(x')$ a $f(x'')$ pro každé 
      $x', x'' \in \left[ a,b \right]$.
      \begin{proof}
        Viz~např.~\cite[Věta 4.23]{rudin1}
      \end{proof}
    \end{lemma}
 
    \begin{figure}
      \centering
      \includegraphics[scale=1.0]{k_prodl_lemma.pdf}
      \caption{Ke konstrukci bodů $P$ a $Q$.}
      \label{fig:kprodlem}
    \end{figure}
 
    Z~předpokladu $\neg (1)$ plyne $\beta\in\R$. Definujme
    \[
      \pi = \Big\{ \{x_n\}_{n \geq 1} \ \Big\vert \ x_n \xrightarrow{n\to\infty} \beta_- \Big\}
    \]
    množinu všech posloupností, které konvergují k~bodu $\beta$ zleva. Dále označme
    \begin{eqnarray*}
      P &=& \inf \Big\{ \liminf_{n\to\infty} \phi(x_n) \ \Big\vert \ \{x_n\}_{n\geq1} \in \pi \Big\}, \\
      Q &=& \sup \Big\{ \limsup_{n\to\infty} \phi(x_n) \ \Big\vert \ \{x_n\}_{n\geq1} \in \pi \Big\}.
    \end{eqnarray*}
    Z~konstrukce je zřejmé, že $P \leq Q$ a jistě také platí: $P<+\infty$ a $Q>-\infty$. 
    %Z~podmínky $\neg(2)$ plyne, že $\phi$ je omezená\footnote{To by chtělo nějak rozebrat -- já to nevidím.}, tj.~$P>-\infty$ a $Q<+\infty$.
    Dále budeme uvažovat případ, kdy $P,Q\in\R$ -- situace by tedy mohla vypadat např.~jako na obr.~\ref{fig:kprodlem}. 
    Případ, kdy alespoň jedno z~$P$ nebo $Q$ není konečné, si laskavý čtenář jistě s~radostí přidokáže sám.
    Hledaná limita zřejmě existuje právě, když $P=Q$ (a v~tom případě je reálná). Při dokazování této rovnosti budeme postupovat sporem, tj.~předpokládejme, že $P<Q$. 
    Nejdříve vyslovíme pomocné tvrzení.
 
    \begin{corollary}
      \[
        \Bigl(\forall y\in\left[ P,Q \right] \Bigr) \Bigl( y\text{ je hromadný bod hodnot } \phi(x) \text{ pro } x\to\beta_- \Bigr).
      \]
      \begin{proof}
        Chceme ukázat, že platí
        \[
          \Bigl(\forall y\in\left[ P,Q\right]\Bigr) \Bigl( \COL{\beta}{y} \text{ je hromadný bod grafu funkce } \phi\Bigr).
        \]
 
        Body $\col{\beta}{P}$ a $\col{\beta}{Q}$ tento požadavek zřejmě splňují, což okamžitě vyplývá z~definice $P$ a $Q$ (jako limes superior a limes inferior). Pro body 
        $\col{\beta}{y}$ takové, že $y\in(P,Q)$ postupujume následujícím způsobem.
 
        Vezměme $0 < \epsilon' < \frac{1}{2} \min \{ \abs{y-P}, \abs{y-Q} \}$. Z~definice bodu $P$ pak plyne
        \[
          \Bigl( \exists \{x'_n\}_{n\geq1}\in\pi \Bigr) \Bigl( \liminf_{n\to\infty} \phi(x'_n) \in \left[ P,P+\epsilon' \right)  \Bigr).
        \]
        Podobně z~definice bodu $Q$ plyne
        \[
          \Bigl( \exists \{x''_n\}_{n\geq1}\in\pi \Bigr) \Bigl( \limsup_{n\to\infty} \phi(x''_n) \in \left(  Q-\epsilon',Q \right] \Bigr).
        \]
        Z~vlastností limes superior a limes inferior a posloupností $\{x'_n\}$ a $\{x''_n\}$ plyne existence vybraných posloupností (vzhledem k~tomu, že původní posloupnosti
        už nebudeme potřebovat, označíme tyto vybrané posloupnosti stejně jako ty původní), pro něž platí
        \[
          \Bigl( \exists n_0 \Bigr) \Bigl( \forall n>n_0 \Bigr) \Bigl( \phi(x'_n) \in \left[ P,P+2\epsilon' ) \wedge \phi(x''_n) \in ( Q-2\epsilon',Q \right] \Bigr).
        \]
        Situace je zachycena na obr.~\ref{fig:kprodtvrz}.
 
        \begin{figure}
          \centering
          \includegraphics[scale=1.0]{k_prodl_tvrz.pdf}
          \caption{Ke konstrukci posloupností $\{x'_n\}_{n\geq1}$ a $\{x''_n\}_{n\geq1}$.}
          \label{fig:kprodtvrz}
        \end{figure}
 
        Potom pro $n>n_0$ máme $x'_n,x''_n \in (\alpha,\beta)$ a 
        \begin{eqnarray*}
          \phi(x'_n)  &<& P+2\epsilon' < y, \\
          \phi(x''_n) &>& Q-2\epsilon' > y. 
        \end{eqnarray*}
        Funkce $\phi$ je spojitá a tedy pro každé $n_1,n_2 > n_0$ nabývá všech hodnot mezi $\phi(x'_{n_1})$ a $\phi(x''_{n_2})$. Speciálně tedy $\phi$ nabývá i hodnoty
        $y$. Potom tedy musí platit
        \[
          \Bigl( \exists \{x'''_n\}_{n\geq1} \in \pi \Bigr) \Bigl( \phi(x'''_n) = y \Bigr).
        \]
        Odtud zřejmě $\lim\limits_{n\to\infty} [x'''_n,\phi(x'''_n)] = \col{\beta}{y}$ a tedy $\col{\beta}{y}$ je hromadný bod grafu $\phi$, což jsme chtěli dokázat.
      \end{proof}
    \end{corollary}
 
    Ukázali jsme, že všechny body úsečky
    \[
      M = \Big\{ \COL{\beta}{y} \ \Big\vert \ y \in \left[ P,Q \right] \Big\}
    \]
    jsou hromadnými body grafu $\phi$. Z~předpokladu $\neg(3)$\footnote{tj.~$\neg\left(\rho(\col{x}{\phi(x)},\partial\Gamma)\xrightarrow{x\to\beta_-}0\right)$.} 
    plyne, že graf funkce $\phi$ se neblíží k~hranici $\partial\Gamma$. Situace je zachycena na obr.~\ref{fig:kprodlem2}.
    Zřejmě každý bod úsečky $M$ leží buď v~$\Gamma$ anebo v~$\partial\Gamma$, není však možné, aby všechny tyto body ležely v~$\partial\Gamma$ (to by byl 
    spor s~$\neg (3)$).
 
    Zvolme libovolné $y_0 \in (P,Q)$ tak, aby $\col{\beta}{y_0} \in \Gamma$. Okolo bodu $\col{\beta}{y_0}$ sestrojíme obdélník (viz~obr.~\ref{fig:kprodlem2})
    \[
      D = \left[ \beta-\delta_1,\beta \right] \times \left[ y_0-\epsilon_1,y_0+\epsilon_1 \right],
    \]
    kde konstanty $\epsilon_1,\delta_1$ volíme tak, aby $D\subset\Gamma$. Označme dále
    \[
      B = \max \Big\{ \abs{f(x,y)} \ \Big\vert \ \COL{x}{y} \in D \Big\}.
    \]
 
    \begin{figure}
      \centering
      \includegraphics[scale=1.0]{k_prodl_lemma_2.pdf}
      \caption{Ke konstrukci obdélníku $D\subset\Gamma$.}
      \label{fig:kprodlem2}
    \end{figure}
 
    Potom 
    \[
      \Bigl( \exists \{x'_n\}_{n\geq1}, \{x''_n\}_{n\geq1} \in \pi \Bigr) \Bigl(\forall n\in\N\Bigr) \Bigl( \phi(x'_n) = y_0-\epsilon_1 \wedge \phi(x''_n) = y_0+\epsilon_1 \Bigr).
    \]
    Zvolme $\delta>0$ tak, že $\delta<\delta_1 \wedge \delta<\epsilon_1/2B$. Potom
    \[
      \Bigl(\exists n_0\Bigr) \Bigl(\forall n>n_0\Bigr) \Bigl( x'_n,x''_n \in (\beta-\delta,\beta) \Bigr)
    \]
    a přitom platí
    \[
      \abs{\phi(x'_n) - \phi(x''_n)} = 2\epsilon_1.
    \]
    Protože však $\phi$ je řešením, musí zároveň platit
    \[
      \abs{\phi(x'_n) - \phi(x''_n)} = \ub{\abs{\phi'(\xi_n)}}_{=\abs{f(\xi_n,\phi(\xi_n))} \leq B} \ub{\abs{x'_n - x''_n}}_{<\delta} < B\delta < \frac{\epsilon_1}{2}.
    \]
    Odtud $\abs{\phi(x'_n) - \phi(x''_n)} = 2\epsilon_1 < \frac{\epsilon_1}{2}$, což je spor.
 
    Potom tedy $P=Q$ a $\lim\limits_{x\to\beta_-} \phi(x) \in \R$.
  \end{proof}
\end{lemma}
 
\begin{remark}
  Je-li $\Gamma\subset\R^2$ omezená oblast, potom
  \begin{enumerate}[(1)]
    \item $\alpha,\beta \in \R \Rightarrow \neg (1)$,
    \item $\abs{\phi(x)} \text{ omezené } \Rightarrow \neg (2)$.
  \end{enumerate}
  Může tedy nastat pouze podmínka (3).
\end{remark}
 
\begin{theorem}
  Nechť $\Gamma\subset\R^2$ je oblast, $f \in \Cc(\Gamma)$, $\col{x_0}{y_0} \in \Gamma$. Potom existuje alespoň jedno neprodloužitelné řešení úlohy \eqref{eq:poculo}.
 
% NOVÝ DŮKAZ
  \begin{proof}
    Opakovaně využijeme Peanovy věty a její konstrukce. Řešení budeme prodlužovat bez újmy na obecnosti doprava. Definujme
    \[
      E_n = \left\{ \COL{x}{y} \in \Gamma \ \Big| \ \abs{x-x_0} < n, \ \abs{y-y_0} < n, \rho ( \COL{x}{y},\partial \Gamma)  > \frac{1}{n} \right\}.
    \]
    Potom platí $\overline{E}_n \subset E_{n+1}$ a dále
    \begin{eqnarray*}
      &&\Bigl( \forall n \in \N \Bigr) \Bigl( \COL{x_0}{y_0} \in E_n \Bigr), \\
      &&\Bigl( \forall n \in \N \Bigr) \Bigl( \exists M_n > 0 \Bigr) \Bigl( \forall \COL{x}{y} \in E_n \Bigr) \Bigl( \abs{f(x,y)} \leq M_n \Bigr).
    \end{eqnarray*}
 
    V~$E_1$ lze pomocí Peanovy věty sestrojit řešení $\psi$ definované na intervalu $\left[ x_0-\tilde{a},x_0+\tilde{a} \right]$. Prodlužováním tohoto
    řešení stejnou konstrukcí lze získat řešení $\phi$ na intervalu $\left[ x_0,a_0 \right]$ tak, že $\col{a_0}{\phi(a_0)} \notin \ol{E}_1$ (kdyby 
    to nešlo, tj.~kdyby neprodloužitelné řešení $\phi$ bylo celé v~$\ol{E}_1$, pak by bylo omezené a daleko od $\partial \Gamma$, což by byl spor s~větou
    \ref{theo:krit_prodl}). 
 
    Bod $\col{a_0}{\phi(a_0)} \in \Gamma$. Nechť $n_1$ je nejmenší index takový, že $\col{a_0}{\phi(a_0)} \in \ol{E}_{n_1}$. Vezmeme tento bod za počáteční podmínku 
    a (opakovanou) Peanovou konstrukcí $\phi$ prodloužíme na $\left[ x_0,a_1 \right]$ tak, že $\col{a_1}{\phi(a_1)} \notin \ol{E}_{n_1}$.
 
    Bod $\col{a_1}{\phi(a_1)} \in \Gamma$. Nechť $n_2$ je nejmenší index takový, že $\col{a_1}{\phi(a_1)} \in \ol{E}_{n_2}$. Opakovaně prodloužíme na 
    $\left[ x_0,a_2 \right]$ tak, že $\col{a_2}{\phi(a_2)} \notin \ol{E}_{n_2}$.
 
    Takto sestrojíme posloupnosti $\{ n_k \}_{k \geq 1}$, $\{ a_k \}_{k \geq 1}$ rostoucí, 
    tj.~$\exists \lim\limits_{k \to \infty} a_k \in \R \cup \{ +\infty \}$ 
    a přitom 
    \[
      \Bigl( \forall k \in \N \Bigr) \Bigl( \COL{a_k}{\phi(a_k)} \notin \ol{E}_{n_k} \Bigr)
    \]
    a řešení $\phi$ je prodlouženo na interval $\left[ x_0, \lim\limits_{k \to \infty} a_k \right]$. Označme $\ol{a} = \lim\limits_{k \to \infty} a_k$.
 
    Nechť neplatí ani jedna z~podmínek věty \ref{theo:krit_prodl} (tj.~platí $\neg (1) \wedge \neg (2) \wedge \neg (3)$). Potom, podle lemmatu 
    \ref{lem:k_prodl}, existuje 
    $\lim\limits_{k \to \infty}  \col{a_k}{\phi(a_k)}$ a je rovna $[\ol{a},\phi(\ol{a})] \in \Gamma$ a tedy
    \[
      \Bigl( \exists \rho_0 > 0 \Bigr) \Bigl( \ol{B}([\ol{a},\phi(\ol{a})],\rho_0) \subset \Gamma \Bigr).
    \]
    Pak 
    \[
      \Bigl( \exists d_0 > 0 \Bigr) \Bigl( \exists k_0 \Bigr) \Bigl( \forall k>k_0 \Bigr) \Bigl( \COL{a_k}{\phi(a_k)} \in B([\ol{a},\phi(\ol{a})],\rho_0) 
        \ \wedge \ \rho([ \COL{a_k}{\phi(a_k)},\partial\Gamma) > d_0 \Bigr).
    \]
    Navíc
    \[
      \Bigl( \exists k_1 \Bigr) \Bigl( \forall k>k_1 \Bigr) \Bigl( d_0 > \frac{1}{n_k} \ \wedge \ \abs{x_0 - \ol{a}} + \rho_0 + \abs{y_0 - \phi(\ol{a})} < n_k \Bigr).
    \]
 
    Pak ovšem 
    \[
      \Bigl( \forall k > \max \{ k_0,k_1 \} \Bigr) \Bigl(  \COL{a_k}{\phi(a_k)} \in E_{n_k} \Bigr), 
    \]
    což je spor s~předpokladem $\neg (1) \wedge \neg (2) \wedge \neg (3)$. Z~věty \ref{theo:krit_prodl} pak plyne, že $\phi$ je neprodloužitelné.
  \end{proof}
 
% PŮVODNÍ DŮKAZ Z PŘEDNÁŠKY (2009/2010)
%  \begin{proof}
%    Je dáno $[x_0,y_0]\in\Gamma$. Z~Peanovy věty \ref{theo:peano} plyne existence řešení $\phi_0$ na intervalu $\left[ x_0-a_0,x_0+a_0 \right]$. Obor hodnot 
%    $\phi_0$ je interval $\left[ y_0-b_0,y_0+b_0 \right]$, kde $a_0 M_0 \leq b_0$. Označme $x_1 = x_0+a_0$ a $y_1 = \phi_0 (x_1)$. Analogicky bychom postupovali 
%    pro bod $x_0-a_0$.
%
%    Zformulujeme úlohu $y'=f(x,y)$, $y(x_1)=y_1$. Z~Peanovy věty plyne existence řešení $\phi_1$ definovaného na $\left[ x_1-a_1,x_1+a_1 \right]$ s~hodnotami
%    v~intervalu $\left[ y_1-b_1,y_1+b_1 \right]$, kde $a_1 M_1 \leq b_1$.
%
%    V~$k$-tém kroku tedy položme $x_k = x_{k-1} + a_{k-1}$, $y_k = \phi_{k-1}(x_k)$. Z~Peanovy věty máme opět zaručenu existenci řešení $\phi_k$ úlohy 
%    $y'=f(x,y)$, $y(x_k)=y_k$ definovaného na intervalu $\left[ x_k-a_k,x_k+a_k \right]$ s~hodnotami v~intervalu $\left[ y_k-b_k,y_k+b_k \right]$, kde 
%    $a_k M_k \leq b_k$.
%
%    Protože posloupnost $\{x_k\}_{k\geq1}$ je monotonní, má zřejmě i limitu. Označme 
%    \[
%      \beta = \lim\limits_{k\to+\infty} x_k.
%    \]
%    Potom zřejmě $\forall x \in \left[ x_0,\beta )$ existuje $k_0$ tak, že $x \in \left[ x_0,x_{k_0}+a_{k_0} \right]$. Definujme funkci $\phi$
%    \[
%      \phi(x) = \phi_{k_0}(x),
%    \]
%    která řeší úlohu \eqref{eq:poculo} na $\left[ x_0,\beta )$. Je zřejmé, že analogickou úvahou při rozšiřování doleva bychom 
%    získali bod $\alpha$ a sestrojili bychom řešení $\phi$ úlohy \eqref{eq:poculo} definované na intervalu $(\alpha,\beta)$.
%
%    Zajímá nás, zda je $\phi$ neprodloužitelné. Pokud je splněna alespoň jedna z~podmínek (1), (2) nebo (3), je řešení $\phi$ neprodloužitelné. Zbývá vyšetřit 
%    případ, kdy není splněna ani jedna z~podmínek (1), (2) a (3), tj.~nechť platí $\neg (1) \wedge \neg (2) \wedge \neg (3)$. Z~lemmatu \ref{lem:k_prodl} plyne 
%    \[
%      \exists \lim_{x\to\beta_-} \phi(x) \stackrel{\text{ozn.}}{=} B \in \R.
%    \]
%    Z~$\neg (1)$ plyne, že $\beta\in\R$ a tedy, přidáme-li předpoklad $\neg (3)$, $[\beta,B]\in\Gamma$. Potom lze zřejmě řešit úlohu
%    \begin{eqnarray*}
%      y'       &=& f(x,y), \\
%      y(\beta) &=& B.
%    \end{eqnarray*}
%    Z~Peanovy věty \ref{theo:peano} plyne existence řešení $\tilde{\phi}$ na $\left[ \beta-\tilde{a},\beta+\tilde{a} \right]$ s~hodnotami v~intervalu 
%    $\left[ B-\tilde{b},B+\tilde{b} \right]$, kde $\tilde{a} \tilde{M} \leq \tilde{b}$. Zřejmě tedy $\tilde{\phi}$ prodlužuje řešení $\phi$ za bod $\beta$, což 
%    je spor s~konstrukcí bodu $\beta$\footnote{Tady může taky být problém -- podle Peanovy věty lze volit $a_k$ malé a v~každém dalším kroku o~tolik menší než v~předchozím kroku, že posloupnost $\{x_k\}$ nepřeleze určitou pevnou mez, přitom při jiné volbě $a_k$ by tu mez přelezla.}. 
%    Situace $\neg (1) \wedge \neg (2) \wedge \neg (3)$ tedy nemůže nastat a $\phi$ je neprodloužitelné.
%  \end{proof}
\end{theorem}
 
 
 
 
% ****************************************************************************************************************************
%                             PODSEKCE: Věta o hladkosti a o spojité závislosti na datech
% ****************************************************************************************************************************
\subsection{Věta o~hladkosti a o~spojité závislosti na datech}
\begin{theorem}[o~hladkosti, resp.~o~tzv.~regularitě]
  Nechť $f=f(x,y)$ má na $\Gamma$ spojité derivace vzhledem k~$x$ a $y$ řádu $p \geq 0$. Pak řešení úlohy \eqref{eq:poculo} má spojité derivace podle $x$ řádu $p+1$.
 
  \begin{proof}
    Řešíme úlohu
    \begin{eqnarray*}
      y'     &=& f(x,y), \\
      y(x_0) &=& y_0,
    \end{eqnarray*}
    kde $f \in \Cc^{(p)}(\Gamma)$, $p \geq 0$. Důkaz se provede neúplnou matematickou indukcí podle $k \leq p$.
 
    Zvolme $k=0$. Potom z~Peanovy věty \ref{theo:peano} máme řešení $\phi=\phi(x)$ na $\left[ x_0-a,x_0+a \right]$, a platí $\phi'(x) = f(x,\phi(x))$ pro 
    $\forall x \in \left( x_0-a,x_0+a\right) $. Funkce $\phi$ je tedy spojitá ($f$ je také spojitá), a~tedy $f(x,\phi(x))$ je také spojitá. Odtud zřejmě $\phi'$ je 
    spojitá, což znamená $\phi \in \Cc^{(1)}$.
 
    Předpokládejme, že tvrzení věty platí, pro $0 \leq k-1 < p$ a dokažme jej i pro $k$. Víme tedy, že $\phi \in \Cc^{(k)} \wedge f \in \Cc^{(k)}$. Potom zřejmě 
    $\phi'(x) = f(x,\phi(x)) \in \Cc^{(k)}$, a tedy $\phi \in \Cc^{(k+1)}$.
  \end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
  Následovat by měla věta o~spojité závislosti na datech. Při jejím dokazování však narazíme na nerovnost, s~níž se ještě setkáme i v~dalších částech textu. 
  Připravíme si pro ni proto zvláštní způsob zpracování -- pomocí tzv.~Grönwallova lemmatu.
\end{remark}
 
\begin{lemma}[Grönwallovo\footnote{\textbf{Thomas Hakon Grönwall} (1877--1932), švédský matematik.}]
  \label{lem:gronwall}
  \index{lemma!Grönwallovo}
  Nechť $u : \left[ x_0-a,x_0+a \right] \to \Rop$ je spojitá a nechť $\forall x \in \left[ x_0-a,x_0+a \right]$ platí
  \[
    u(x) \leq \alpha + \int_{x_0}^{x} \beta u(\xi) \dif \xi,
  \]
  kde $\alpha,\beta \geq 0$.
 
  Potom $\forall x \in \left[ x_0,x_0+a \right]$ platí
  \[
    u(x) \leq \alpha + \int_{x_0}^{x} \beta u(\xi) \dif \xi \leq \alpha \me^{\beta(x-x_0)}.
  \]
 
  \begin{proof}
    Označme 
    \[
      v(x) = \alpha + \int_{x_0}^{x} \beta u(\xi) \dif \xi.
    \]
    Funkce $v$ je zřejmě spojitě diferencovatelná a pro její derivaci platí
    \[
      v'(x) = \beta u(x) \leq \beta v(x).
    \]
 
    Dostali jsme diferenciální nerovnost, kterou po snadné úpravě a po vynásobení kladným výrazem $\me^{-\beta(x-x_0)}$ převedeme na tvar
    \[
      v'(x)\me^{-\beta(x-x_0)} - \beta v(x) \me^{-\beta(x-x_0)} = \frac{\dif}{\dif x} \left( v(x) \me^{-\beta(x-x_0)}\right) \leq 0.
    \]
    Tuto nerovnost můžeme integrovat (v~mezích $x_0$$x$). Z~věty o~nerovnostech v~integrálech (\cite[Věta 6.12]{rudin1}) plyne, že nerovnost mezi integrandy se 
    po integraci zachová. Dostaneme tedy
    \[
      v(x) \me^{-\beta(x-x_0)} - v(x_0) \leq 0,
    \]
    odkud
    \[
      v(x) \leq \ub{v(x_0)}_{=\alpha} \me^{\beta(x-x_0)} = \alpha \me^{\beta(x-x_0)}.
    \]
    Potom tedy platí
    \[
      u(x) \leq v(x) \leq \alpha \me^{\beta(x-x_0)},
    \]
    čímž je důkaz lemmatu ukončen.
  \end{proof}
\end{lemma}
 
\begin{remark}
  \label{rmrk:gronwall}
  Snadno si také rozmyslíme, že lze vyslovit i následující tvrzení. 
 
  Nechť $u : \left[ x_0-a,x_0+a \right] \to \Rop$ je spojitá a nechť $\forall x \in \left[ x_0-a,x_0+a \right]$ platí
  \[
    u(x) \leq \alpha + \Bigg| \int_{x_0}^{x} \beta u(\xi) \dif \xi \Bigg|,
  \]
  kde $\alpha,\beta \geq 0$.
 
  Potom $\forall x \in \left[ x_0-a,x_0+a \right]$ platí
  \[
    u(x) \leq \alpha \me^{\beta \abs{x-x_0}}.
  \]
 
%  \begin{proof}
%    ~
%
%    \begin{enumerate}[(1)]
%%\item <x_0,x_0+a>
%      \item Nechť $x\in\left[ x_0,x_0+a \right]$. Z~Grönwallova lemmatu pak přímo plyne
%        \[
%          u(x) \leq \alpha \me^{\beta(x-x_0)} = \alpha \me^{\beta \abs{x-x_0}}.
%        \]
%
%%\item <x_0-a,x_0>
%      \item Uvažme případ $x\in\left[ x_0-a,x_0 \right]$. Danou nerovnost lze nyní přepsat do tvaru
%      \[
%        u(x) \leq \alpha + \int_x^{x_0} \beta u(\xi) \dif \xi.
%      \]
%      V~analogii s~důkazem Grönwallova lemmatu položme
%      \[
%        v(x) = \alpha + \int_x^{x_0} \beta u(\xi) \dif \xi.
%      \]
%      Potom
%      \[
%        v'(x) = -\beta u(x) \geq -\beta v(x).
%      \]
%      Snadnou úpravou získáme nerovnost
%      \[
%        0 \leq v'(x) \me^{-\beta(x_0-x)} + \beta v(x) \me^{-\beta(x_0-x)} = \frac{\dif}{\dif x} \left( v(x) \me^{-\beta(x_0-x)} \right).
%      \]
%      Integrací tohoto vztahu od $x$ do $x_0$ dostaneme
%      \[
%        0 \leq v(x_0) - v(x) \me^{-\beta(x_0-x)},
%      \]
%      odkud
%      \[
%        u(x) \leq v(x) \leq \ub{v(x_0)}_{=\alpha} \me^{\beta(x_0-x)} = \alpha \me^{\beta \abs{x-x_0}}.
%      \]
%    \end{enumerate}
%  \end{proof}
\end{remark}
 
 
\begin{theorem}[o~spojité závislosti na datech]
  Nechť $\Gamma\subset\R^2$ je oblast, nechť
  \[
    \Fs = \Big\{ f:\Gamma\to\R \ \Big\vert \ f \text{ je spojitá }, \abs{f(x,y)} \leq M \text{ na } \Gamma, \abs{f(x,y) - f(x,\ol{y})} \leq L\abs{y-\ol{y}} \Big\},
  \]
  kde $M,L>0$. Nechť $\col{x_0}{y_0}\in\Gamma$, $y=y(x)$ řeší úlohu \eqref{eq:poculo} pro $f\in\Fs$ a je definováno na intervalu $\left[ x_0-a,x_0+a \right]$.
 
  Potom $\Bigl(\forall\epsilon>0\Bigr) \Bigl(\exists\delta>0\Bigr) \Bigl(\forall\ol{x}_0\in(x_0-a,x_0+a)\Bigr) \Bigl(\forall\ol{y}_0\in\R\Bigr) \Bigl(\forall\ol{f}\in\Fs\Bigr)$: \\
    pokud $\Bigl(\abs{\ol{x}_0-x_0}<\delta\Bigr) \wedge \Bigl(\abs{\ol{y}_0-y_0}<\delta\Bigr) \wedge \Bigl(\forall\COL{x}{y}\in\Gamma\Bigr) \Bigl(\abs{\ol{f}(x,y)-f(x,y)}<\delta\Bigr)$, \\
    pak $\Bigl(\forall x\in(x_0-a,x_0+a)\Bigr) \Bigl(\abs{\ol{y}(x)-y(x)}<\epsilon\Bigr)$, kde $\ol{y}=\ol{y}(x)$ řeší úlohu $y'=\ol{f}(x,y)$, $y(\ol{x}_0) = \ol{y}_0$.
 
  \begin{proof}
    Nechť $\col{x_0}{y_0}\in\Gamma$. Potom zřejmě existuje okolí $U$ takové, že $\col{x_0}{y_0} \in U \subset \ol{U} \subset \Gamma$. V~blízkosti bodu $\col{x_0}{y_0}$ zvolíme
    bod $\col{\ol{x}_0}{\ol{y}_0}$ tak, aby ležel v~obdélníku sestrojeném během Eulerovy konstrukce okolo bodu $\col{x_0}{y_0}$ (viz~obr.~\ref{fig:kestab}).
 
    \begin{figure}
      \centering
      \includegraphics[scale=1.0]{ke_spoj_zav_na_datech.pdf}
      \caption{K~důkazu věty o~spojité závislosti na datech.}
      \label{fig:kestab}
    \end{figure}
 
    Potom počáteční úlohy
 
    \parbox{7cm}{\begin{eqnarray*} y' &=& f(x,y) \\ y(x_0) &=& y_0 \end{eqnarray*}}
    \hfill a \hfill
    \parbox{7cm}{\begin{eqnarray*} y' &=& \ol{f}(x,y) \\ y(\ol{x}_0) &=& \ol{y}_0 \end{eqnarray*}}\linebreak
    mají jednoznačně určená řešení definovaná na intervalu $\left[ x_0-a,x_0+a \right]$, která označíme postupně $y=y(x)$ a $\ol{y} = \ol{y}(x)$. Tyto funkce tedy 
    splňují na intervalu $(x_0-a,x_0+a)$ rovnosti
 
    \parbox{7cm}{\begin{eqnarray*} y'(x) &=& f(x,y(x)) \\ y(x_0) &=& y_0 \end{eqnarray*}}
    \hfill a \hfill
    \parbox{7cm}{\begin{eqnarray*} (\ol{y})'(x) &=& \ol{f}(x,\ol{y}(x)) \\ \ol{y}(\ol{x}_0) &=& \ol{y}_0 \end{eqnarray*}}
 
    Po integraci uvedených rovnic s~přihlédnutím k~počátečním podmínkám obdržíme rovnice
    \begin{eqnarray*}
      y(x)      &=& y_0 + \int_{x_0}^{x} f(\xi,y(\xi)) \dif \xi, \\
      \ol{y}(x) &=& \ol{y}_0 + \int_{\ol{x}_0}^{x} \ol{f}(\xi,\ol{y}(\xi)) \dif \xi.
    \end{eqnarray*}
    Snadno si rozmyslíme, že integrály na pravé straně uvedených rovnic jsou vlastní Riemannovy. Jejich odečtením dostaneme
    \begin{eqnarray*}
      y(x) - \ol{y}(x) &=& y_0 - \ol{y}_0 + \int_{x_0}^{x} f(\xi,y(\xi)) \dif \xi - \int_{\ol{x}_0}^{x} \ol{f}(\xi,\ol{y}(\xi)) \dif \xi \\
                       &=& y_0 - \ol{y}_0 + \int_{x_0}^{x} \Bigl[ f(\xi,y(\xi)) - \ol{f}(\xi,\ol{y}(\xi)) \Bigr] \dif \xi + \int_{x_0}^{\ol{x}_0} \ol{f}(\xi,\ol{y}(\xi)) \dif \xi.
    \end{eqnarray*}
 
    Výraz $y(x)-\ol{y}(x)$ budeme chtít odhadnout. Proto si připravíme odhady pro jednotlivé výrazy na pravé straně.
    \begin{enumerate}[(a)]
      \item Zřejmě lze volit $\abs{y_0-\ol{y}_0}<\delta$, kde $\delta>0$.
      \item Protože $\ol{f} \in \Fs$ a lze volit $\abs{x_0-\ol{x}_0}<\delta$, platí odhad
        \[
          \abs{\int_{x_0}^{\ol{x}_0} \ol{f}(\xi,\ol{y}(\xi)) \dif \xi} \leq \abs{\int_{x_0}^{\ol{x}_0} \ub{\abs{\ol{f}(\xi,\ol{y}(\xi))}}_{\leq M} \dif \xi} 
            \leq M \ub{\abs{x_0-\ol{x}_0}}_{<\delta}.
        \]
      \item Při odhadu prostředního členu využijeme toho, že při konstrukci, podle předpokladů věty, rovnou požadujeme splnění podmínky 
        \[
          \Bigl(\forall\COL{x}{y}\in\Gamma\Bigr) \Bigl(\abs{\ol{f}(x,y)-f(x,y)}<\delta\Bigr).
        \]
        Označme $A = \abs{\int_{x_0}^{x} \bigl[ f(\xi,y(\xi)) - \ol{f}(\xi,\ol{y}(\xi)) \bigr] \dif \xi}$. Protože $f\in\Fs$, platí
        \begin{eqnarray*}
%          \abs{\int_{x_0}^{x} \Bigl[ f(\xi,y(\xi)) - \ol{f}(\xi,\ol{y}(\xi)) \Bigr] \dif \xi} 
          A &\leq& \abs{\int_{x_0}^{x} \abs{f(\xi,y(\xi)) - \ol{f}(\xi,\ol{y}(\xi))} \dif \xi} \\
            &\leq& \abs{\int_{x_0}^{x} \ub{\abs{f(\xi,y(\xi)) - f(\xi,\ol{y}(\xi))}}_{\leq L\abs{y(\xi)-\ol{y}(\xi)}} \dif \xi} + \abs{\int_{x_0}^{x} \ub{\abs{f(\xi,\ol{y}(\xi)) - \ol{f}(\xi,\ol{y}(\xi))}}_{<\delta} \dif \xi} \\
            &\leq& L \abs{\int_{x_0}^{x} \abs{y(\xi) - \ol{y}(\xi)} \dif \xi} + \delta \ub{\abs{x-x_0}}_{\leq a}.
        \end{eqnarray*}
    \end{enumerate}
 
    Potom zřejmě platí následující odhad
    \[
      \abs{y(x) - \ol{y}(x)} \leq \delta + M\delta + a\delta + L \abs{\int_{x_0}^{x} \abs{y(\xi) - \ol{y}(\xi)} \dif \xi}.
    \]
    Označíme-li $u(x) = \abs{y(x)-\ol{y}(x)}$ ($u$ je zřejmě spojitá a nezáporná na $\left[ x_0-a,x_0+a \right]$), můžeme výše uvedenou nerovnost přepsat
    do tvaru
    \[
      u(x) \leq (1+M+a) \delta + L \Bigg| \int_{x_0}^{x} u(\xi) \dif\xi \Bigg|.
    \]
 
    Z~Grönwallova lemmatu \ref{lem:gronwall}, resp.~z~poznámky \ref{rmrk:gronwall}, potom $\forall x\in\left[ x_0-a,x_0+a \right]$ platí
    \[
      \abs{y(x) - \ol{y}(x)} \leq (1+M+a) \ \delta \ \me^{L \abs{x-x_0}} \leq (1+M+a) \ \delta \ \me^{La}.
    \]
 
    Potom pro libovolné $\epsilon>0$ klademe
    \[
      \delta = \frac{\epsilon}{1+M+a} \me^{-La}
    \]
    a, volíme-li $\abs{\ol{x}_0-x_0}<\delta$, $\abs{\ol{y}_0-y_0}<\delta$ a lib.~$\ol{f}\in\Fs$ takovou, že $\abs{f(x,y)-\ol{f}(x,y)}<\delta$, pak
   $\forall x \in \left[ x_0-a,x_0+a \right]$ platí, že $\abs{y(x)-\ol{y}(x)}<\epsilon$, což jsme chtěli dokázat.
  \end{proof}
\end{theorem}
 
 
 
 
% ****************************************************************************************************************************
%                             SEKCE: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu
% ****************************************************************************************************************************
\section{Soustavy diferenciálních rovnic 1.~řádu}
\begin{define}
  \index{soustava diferenciálních rovnic}
  Nechť $F = (F^1,\ldots,F^n)$, kde $F^k : (\R^{1+n+n}) \to \R$, $k\in\widehat{n}$.
  Potom soustava
  \begin{equation}
    \label{eq:sysdr}
    \begin{array}{rcl}
      F^1 \left( x,y^1,\ldots,y^n,\dfrac{\dif y^1}{\dif x},\ldots,\dfrac{\dif y^n}{\dif x} \right) &   =  & 0 \\
                                                                                                   &\vdots&   \\
      F^n \left( x,y^1,\ldots,y^n,\dfrac{\dif y^1}{\dif x},\ldots,\dfrac{\dif y^n}{\dif x} \right) &   =  & 0
    \end{array}
  \end{equation}
  pro neznámou vektorovou funkci $y=(y^1,\ldots,y^n)$, kde $y^k : (\R) \to \R$, $k\in\widehat{n}$ se nazývá \textbf{soustava diferenciálních rovnic 1.~řádu}.
\end{define}
 
\begin{remark}
  Libovolný systém vyššího řádu (tím máme na mysli, že na levé straně soustavy \eqref{eq:sysdr} by vystupovaly netriviálně i derivace vyšších řádů), lze 
  převést na systém 1.~řádu. Uvažme následující soustavu diferenciálních rovnic řádu $k\in\N$
  \begin{eqnarray*}
    F^1 \left( x,y^1,\ldots,y^n,\frac{\dif y^1}{\dif x},\ldots,\frac{\dif y^n}{\dif x},\ldots,\frac{\dif^k y^1}{\dif x^k},\ldots,\frac{\dif^k y^n}{\dif x^k} \right) &   =  & 0 \\
                                                                                                                                                                     &\vdots&   \\
    F^n \left( x,y^1,\ldots,y^n,\frac{\dif y^1}{\dif x},\ldots,\frac{\dif y^n}{\dif x},\ldots,\frac{\dif^k y^1}{\dif x^k},\ldots,\frac{\dif^k y^n}{\dif x^k} \right) &   =  & 0
  \end{eqnarray*}
 
  Do této soustavy zavedeme substituci ve tvaru
  \[
    z^l_j = \frac{\dif^l y^j}{\dif x^l},
  \]
  pro všechna $j\in\widehat{n}$ a pro všechna $l = 0,1,\ldots,k-1$. Uvedená soustava pak přejde do tvaru
  \begin{eqnarray*}
    F^1 \left( x,z^0_1,\ldots,z^0_n,z^1_1,\ldots,z^1_n,\ldots,z^{k-1}_1,\ldots,z^{k-1}_n,\frac{\dif z^{k-1}_1}{\dif x},\ldots,\frac{\dif z^{k-1}_n}{\dif x} \right) &   =  & 0 \\
                                                                                                                                                                    &\vdots&   \\
    F^n \left( x,z^0_1,\ldots,z^0_n,z^1_1,\ldots,z^1_n,\ldots,z^{k-1}_1,\ldots,z^{k-1}_n,\frac{\dif z^{k-1}_1}{\dif x},\ldots,\frac{\dif z^{k-1}_n}{\dif x} \right) &   =  & 0 \\
  \end{eqnarray*}
  \[
    \begin{array}{rclcrcl}
      \dfrac{\dif z^0_1}{\dif x}     &   =  & z^1_1,     & \ldots, & \dfrac{\dif z^0_n}{\dif x}     & = & z^1_n \\
                                     &\vdots&            &                                          &   &       \\
      \dfrac{\dif z^{k-2}_1}{\dif x} &   =  & z^{k-1}_1, & \ldots, & \dfrac{\dif z^{k-2}_n}{\dif x} & = & z^{k-1}_n
    \end{array}
  \]
  což už je soustava 1.~řádu.
\end{remark}
 
\begin{define}
  \label{eq:sysdrnorm}
  \index{soustava diferenciálních rovnic!v~normálním tvaru}
  Nechť $f=(f^1,\ldots,f^n)$, kde $f^k : (\R^{1+n})\to\R$, $k\in\widehat{n}$. Pak soustava
  \begin{equation}
    \begin{array}{rcl}
      \dfrac{\dif y^1}{\dif x} &   =  & f^1 \left( x,y^1,\ldots,y^n \right) \\
%      \dfrac{\dif y^2}{\dif x} &   =  & f^2 \left( x,y^1,\ldots,y^n \right) \\
                               &\vdots&                                     \\
      \dfrac{\dif y^n}{\dif x} &   =  & f^n \left( x,y^1,\ldots,y^n \right) \\
    \end{array}
  \end{equation}
  se nazývá \textbf{soustava diferenciálních rovnic 1.~řádu v~normálním tvaru} s~vektorovým zápisem
  \begin{equation}
    y' = f(x,y),
  \end{equation}
  pro neznámou vektorovou funkci $y=(y^1,\ldots,y^n)$.
\end{define}
 
\begin{define}
  \index{řešení!diferenciální rovnice}
  Vektorová funkce $y : I\to\R^n$, $I\subset\R$ je otevřený interval, je \textbf{řešením} soustavy \eqref{eq:sysdrnorm} právě tehdy, když splňuje \eqref{eq:sysdrnorm}
  $\forall x \in I$ (tj.~bodově).
\end{define}
 
\begin{define}
  \index{podmínka!Lipschitzova}
  Nechť funkce $g=g(x,y^1,\ldots,y^n)$ je definována na $A\subset\R^{1+n}$ ($g : A \to \R$). Říkáme, že \textbf{$g$ splňuje na $A$ Lipschitzovu podmínku vzhledem 
  k~$y^1,\ldots,y^n$ s~konstantou $L>0$} právě tehdy, když platí
  \[
%    \Bigl( \forall (x,y^1,\ldots,y^n) \in A \Bigr) \Bigl( \forall (x,\hat{y}^1,\ldots,\hat{y}^n) \in A \Bigr)
    \Bigl( \forall (x,y^1,\ldots,y^n),(x,\hat{y}^1,\ldots,\hat{y}^n) \in A \Bigr) 
      \Bigl( \abs{g(x,y^1,\ldots,y^n)-g(x,\hat{y}^1,\ldots,\hat{y}^n)} \leq L \sum_{k=1}^n \abs{y^k-\hat{y}^k} \Bigr).
  \]
 
  Říkáme, že funkce $g$ splňuje na $A$ Lipschitzovu podmínku \textbf{lokálně} právě tehdy, když pro každý bod $(x_0,y^1_0,\ldots,y^n_0) \in A$ existuje
  jeho okolí $H \subset A$ tak, že $g$ splňuje na $H$ Lipschitzovu podmínku vzhledem k~$y^1,\ldots,y^n$ s~konstantou $L>0$.
\end{define}
 
\begin{remark}
  Pokud $A$ je otevřená a $\dfrac{\partial g}{\partial y^j} \in \Cc(A)$, $j\in\widehat{n}$, pak $g$ splňuje na $A$ lokálně Lipschitzovu podmínku.
\end{remark}
 
\begin{theorem}[o~existenci a jednoznačnosti řešení počáteční úlohy]
  Nechť $\Gamma\subset\R^{1+n}$ je oblast, $f : \Gamma\to\R^n$, $f \in \Cc(\Gamma)$ a 
  \[
    \Bigl( \forall j,k\in\widehat{n} \Bigr) \left( \frac{\partial f^k}{\partial y^j} \in \Cc(\Gamma) \right).
  \]
  Nechť dále $\col{x_0}{y_0}\in\Gamma$.
 
  Potom existuje $\delta>0$ a $\phi : (x_0-\delta,x_0+\delta) \to \R^n$ tak, že funkce $\phi=\phi(x)$ řeší počáteční úlohu s~vektorovým zápisem
  \begin{equation}
    \label{eq:poculo2}
    \begin{array}{r@{ \ = \ }l}
      y'     & f(x,y), \\
      y(x_0) & y_0.
    \end{array}
  \end{equation}
 
  Pokud $I\subset\R$ je otevřený, $x_0 \in I$, $\psi : I\to\R^n$ je řešení \eqref{eq:poculo2}, potom platí
  \[
    \Bigl( \forall x \in I \cap (x_0-\delta,x_0+\delta) \Bigr) \Bigl( \phi(x) = \psi(x) \Bigr).
  \]
\end{theorem}
 
\begin{remark}
  \label{rmrk:sysdr_ex_jedn}
  Důkaz právě uvedené věty vynecháváme. Analogický důkaz bude proveden pro větu o~existenci a jednoznačnosti řešení počáteční úlohy pro soustavu lineárních 
  diferenciálních rovnic. Postup důkazu však shrneme do krátkého komentáře.
 
  Je třeba dokázat existenci a jednoznačnost. Zabývejme se nejdříve existencí řešení počáteční úlohy \eqref{eq:poculo2}. Existence se dokazuje pomocí
  tzv.~\textbf{Picardových}\footnote{\textbf{Charles Émile Picard} (1856--1941), francouzský matematik.} \textbf{iterací}. Snadno si rozmyslíme, 
  že funkce $\phi=\phi(x)$ je řešením úlohy \eqref{eq:poculo2} právě tehdy, vyhovuje-li integrální rovnici (ve vektorovém tvaru)
  \[
    y = y_0 + \int_{x_0}^x f(\xi,y) \dif\xi.
  \]
  Nechť je funkce $\phi$ řešením úlohy \eqref{eq:poculo2}. Potom zřejmě platí $\phi'(x)=f(x,\phi(x))$. Integrací této rovnosti, s~přihlédnutím k~počátečním 
  podmínkám, přejdeme ke tvaru
  \[
    \phi(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(\xi,\phi(\xi)) \dif\xi.
  \]
  Odtud tedy plyne, že řešení úlohy \eqref{eq:poculo2} vyhovuje i uvedené integrální rovnici (tato rovnice v~sobě automaticky zahrnuje i příslušné počáteční 
  podmínky). Naopak nechť funkce $\phi$ splňuje uvedenou integrální rovnici. Potom je $\phi$ zřejmě diferencovatelná a také vyhovuje počátečním podmínkám 
  úlohy \eqref{eq:poculo2}. Derivací integrální rovnosti pak dostaneme rovnost $\phi'(x)=f(x,\phi(x))$, tj.~funkce $\phi$ je řešením úlohy \eqref{eq:poculo2}.
 
  Nyní provedeme Picardovy iterace. Budeme pracovat na intervalu $(x_0-\delta,x_0+\delta)$, kde parametr $\delta$ se blíže určí v~průběhu důkazu. V~prvním 
  kroku označme
  \[
    \phi_1(x) = y_0
  \]
  a položme
  \[
    \phi_2(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(\xi,\phi_1(\xi))\dif\xi.
  \]
  Tímto způsobem postupujeme dále. V~$k$-tém kroku tedy položíme
  \[
    \phi_k(x) = y_0 + \int_{x_0}^x f(\xi,\phi_{k-1}(\xi)) \dif\xi.
  \]
  Vytváříme tak posloupnost funkcí definovaných na symetrickém intervalu $(x_0-\delta,x_0+\delta)$. O~této posloupnosti ukážeme, že pro vhodné 
  $\delta>0$ na intervalu $(x_0-\delta,x_0+\delta)$ stejnoměrně konverguje k~limitní funkci $\phi$, která je řešením dané úlohy.
 
  Jednoznačnost se dokazuje pomocí Grönwallova lemmatu.
\end{remark}
 
 
 
 
% ****************************************************************************************************************************
%                             SEKCE: Soustavy lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu
% ****************************************************************************************************************************
\section{Soustavy lineárních diferenciálních rovnic 1.~řádu}
\begin{define}
  \index{soustava diferenciálních rovnic!lineárních}
  Nechť $a_{ij} : (\R)\to\R$, $b_i : (\R)\to\R$. Pak soustava
  \begin{equation}
    \label{eq:sysdrlin}
    \begin{array}{lcr}
      \dfrac{\dif y^1}{\dif x} & = & \sum\limits_{j=1}^{n} a_{1j}(x) y^j + b_1 (x) \\
                             &\vdots& \\
      \dfrac{\dif y^n}{\dif x} & = & \sum\limits_{j=1}^{n} a_{nj}(x) y^j + b_n (x)
    \end{array}
  \end{equation}
  se nazývá \textbf{soustava lineárních diferenciálních rovnic 1.~řádu} s~vektorovým zápisem
  \[
    y' = \mat{A}(x) y + b(x),
  \]
  pro neznámou vektorovou funkci $y=(y^1,\ldots,y^n)$.
\end{define}
 
\begin{remark}
  Soustavu \eqref{eq:sysdrlin} lze formulovat také pro případ
  \begin{eqnarray*}
    a_{ij} &:& (\R)\to\C,\\
    b_j    &:& (\R)\to\C,\\
    y^j    &:& (\R)\to\C.
  \end{eqnarray*}
\end{remark}
 
\begin{theorem}[o~existenci a jednoznačnosti řešení počáteční úlohy]
  \label{theo:exajedn_sysdrlin}
  Nechť $I\subset\R$ je otevřený interval, $a_{ij}: I\to\R$, $b_j: I\to\R$ jsou spojité, $x_0 \in I$, $y_0\in\R^n$. Pak úloha
  \begin{equation}
    \label{eq:poculo3}
    \begin{array}{rcl}
      y'     &=& \mat{A}(x) y + b(x) \\
      y(x_0) &=& y_0
    \end{array}
  \end{equation}
  má na $I$ řešení $\phi=\phi(x)$. Je-li $J\subset\R$ otevřený interval, $x_0 \in J$, $\psi :  J\to\R^n$ řešení \eqref{eq:poculo3}, pak
  \[
    \Bigl( \forall x \in I \cap J \Bigr) \Bigl( \phi(x) = \psi(x) \Bigr).
  \]
 
  \begin{proof}
    Budeme postupovat podle poznámky \ref{rmrk:sysdr_ex_jedn}.
    \begin{enumerate}[(1)]
%\item EXISTENCE
      \item Nejprve dokážeme existenci. Uvažme, že $\phi : I\to\R^n$ řeší \eqref{eq:poculo3} právě tehdy, když
        \[
          \phi(x) = y_0 + \int_{x_0}^x \Bigl[ \mat{A}(\xi)\phi(\xi) + b(\xi) \Bigr] \dif\xi.
        \]
 
        Položme (Picardovy iterace) pro každé $x \in I$, $k\in\N$
        \begin{eqnarray*}
          \phi_0(x) & = & y_0, \\
                 & \vdots & \\
          \phi_k(x) & = & y_0 + \int_{x_0}^x \Bigl[ \mat{A}(\xi)\phi_{k-1}(\xi) + b(\xi) \Bigr] \dif\xi.
        \end{eqnarray*}
        Tak jsme na intervalu $I$ sestrojili vektorovou funkční posloupnost $\{ \phi_k \}_{k\geq1}$. Dále dokážeme následující lemma.
 
        \begin{lemma}
          Funkční posloupnost $\{ \phi_k \}_{k\geq1}$ konverguje stejnoměrně na libovolném intervalu $\left[ \alpha,\beta \right] \subset I$ takovém, 
          že $x_0 \in (\alpha,\beta)$.
 
          \begin{proof}
            Zvolme libovolně $\left[ \alpha,\beta \right] \subset I$, $x_0 \in (\alpha,\beta)$. Chceme ukázat, že $\{ \phi_k \}_{k\geq1}$
            konverguje na $\left[ \alpha,\beta \right]$ stejnoměrně. K~tomu využijeme Bolzanovo--Cauchyho kritérium (viz např. \cite[Věta 7.8]{rudin1}),
            které lze zformulovat ve tvaru
            \[
              \Bigl( \forall \epsilon>0 \Bigr) \Bigl( \exists k_0\in\N \Bigr) \Bigl( \forall k\in\N, k>k_0 \Bigr) \Bigl( \forall p\in\N \Bigr) 
                \Bigl( \forall x\in\left[ \alpha,\beta \right] \Bigr) \Bigl( \abs{\phi^i_{k+p}(x) - \phi^i_{k}(x)} < \epsilon \Bigr),
            \]
            pro všechna $i\in\widehat{n}$.
 
            Dále víme, že funkce $a_{ij}(x)$ a $b_i(x)$ jsou spojité na kompaktním intervalu $\left[ \alpha,\beta \right]$ a jsou tedy omezené, tj.~platí
            \[
              \Bigl( \exists K>0 \Bigr) \Bigl( \forall i,j\in\widehat{n} \Bigr) \Bigl( \forall x\in\left[ \alpha,\beta \right] \Bigr) 
                \Bigl( \abs{a_{ij}(x)} \leq K, \abs{b_i(x)} \leq K \Bigr).
            \]
            Zřejmě také platí
            \[
              \Bigl( \exists Y > 0 \Bigr) \Bigl( \forall j\in\widehat{n} \Bigr) \Bigl( \abs{y_0^j} \leq Y \Bigr).
            \]
 
            Z~B.-C.~kritéria je zřejmé, že budeme muset odhadovat rozdíly tvaru $\abs{\phi^i_{k+1}(x) - \phi^i_k(x)}$. Proto si tyto odhady nejprve připravíme.
            Zřejmě $\forall i\in\widehat{n}$ platí
            \begin{eqnarray*}
              \abs{\phi^i_1(x) - \phi^i_0(x)} 
                                & =  & \Bigg| \int_{x_0}^x \Bigl[ \sum_{j=1}^n a_{ij}(\xi) y^j_0 + b_i(\xi) \Bigl] \dif\xi \Bigg| 
                                       \leq \Bigg| \int_{x_0}^x \Biggl[ \sum_{j=1}^n \ub{|a_{ij}(\xi)|}_{\leq K} \ \ub{|y^j_0|}_{\leq Y} + \ub{|b_i(\xi)|}_{\leq K} \Biggl] \dif\xi \Bigg| \\
                                &\leq& \Bigg| \int_{x_0}^x \Bigl[ \sum_{j=1}^n KY + K \Bigl] \dif\xi \Bigg| = (nY+1)K\abs{x-x_0}.
            \end{eqnarray*}
            Při odhadu $(k+1)$-ního rozdílu dojdeme k~rekurentnímu vztahu $\forall i\in\widehat{n}$
            \begin{eqnarray*}
              \abs{\phi^i_{k+1}(x) - \phi^i_k(x)} 
                                & =  & \Bigg| \int_{x_0}^x \Bigl[ \sum_{j=1}^n a_{ij}(\xi) (\phi^j_k(\xi) - \phi^j_{k-1}(\xi)) \Bigl] \dif\xi \Bigg| \\
                                &\leq& \Bigg| \int_{x_0}^x \sum_{j=1}^n \ub{\abs{a_{ij}(\xi)}}_{\leq K} \ \abs{\phi^j_k(\xi) - \phi^j_{k-1}(\xi)} \dif\xi \Bigg|.
            \end{eqnarray*}
            Abychom tuto rekurenci vyřešili, odhadněme nejdříve rozdíl $\abs{\phi^i_2(x) - \phi^i_1(x)}$, který nám pomůže určit tvar řešení. Jeho platnost potom ověříme 
            prostřednictvím matematické indukce. Zřejmě tedy $\forall i\in\widehat{n}$
            \[
              \abs{\phi^i_2(x) - \phi^i_1(x)} \leq \Bigg| \int_{x_0}^x (nY+1)K^2\abs{\xi-x_0}n \ \dif\xi \Bigg| = \frac{1}{2} (nK)^2 \left(Y+\frac{1}{n}\right) \abs{x-x_0}^2.
            \]
 
            Očekáváme tedy, že platí $\forall i\in\widehat{n}$
            \[
              \abs{\phi^i_k(x) - \phi^i_{k-1}(x)} \leq \frac{1}{k!} (nK)^k \left(Y+\frac{1}{n}\right) \abs{x-x_0}^k.
            \]
            Pro $k=1,2$ již máme platnost tohoto vztahu ověřenu. Předpokládejme, že pro $k$ platí a dokažme ji i pro $k+1$. Pro každé $i\in\widehat{n}$
            \begin{eqnarray*}
              \abs{\phi^i_{k+1}(x) - \phi^i_k(x)} 
                &\leq& \Bigg| \int_{x_0}^x \sum_{j=1}^n K \frac{1}{k!} (nK)^k \left(Y+\frac{1}{n}\right) \abs{\xi-x_0}^k \ \dif\xi \Bigg| \\
                &\leq& \frac{1}{(k+1)!} (nK)^{k+1} \left(Y+\frac{1}{n}\right) \abs{x-x_0}^{k+1}.
            \end{eqnarray*}
            Tím je platnost našeho odhadu ověřena.
 
            Potom $\forall i\in\widehat{n}$
            \begin{eqnarray*}
              \abs{\phi^i_{k+p}(x) - \phi^i_k(x)} 
                &\leq& \sum_{l=1}^p \abs{\phi^i_{k+l}(x) - \phi^i_{k+l-1}(x)} \\
                &\leq& \ub{\sum_{l=1}^p \left(Y+\frac{1}{n}\right) \frac{1}{(k+l)!} (nK)^{k+l} \abs{x-x_0}^{k+l}}_{\text{úsek řady SK na lib.~omez.~intervalu}}.
            \end{eqnarray*}
            Vidíme, že na pravé straně našeho odhadu stojí úsek řady, která je stejnoměrně konvergentní na libovolném omezeném intervalu (poloměr konvergence
            této řady je zjevně $+\infty$, stejnoměrná konvergence pak plyne např.~z~\cite[Věta 5.5]{vrana1}). V~důsledku toho se zřejmě pro $k \to +\infty$ a 
            $p \to +\infty$ musí pravá strana blížit k~$0$ a lze ji tedy udělat libovolně malou. Odtud funkční posloupnost $\{ \phi_k \}_{k\geq1}$ konverguje 
            na $\left[ \alpha,\beta \right]$ stejnoměrně a na $I$ lokálně stejnoměrně (vzhledem k~libovolnosti $\left[ \alpha,\beta \right]$).
 
            Tím je důkaz lemmatu dokončen.
          \end{proof}
        \end{lemma}
 
        Pokračujeme v~dokazování věty o~existenci a jednoznačnosti. Označme
        \[
          \phi_* (x) = \lim_{k\to+\infty} \phi_k(x).
        \]
        Potom v~iteračním vztahu
        \[
          \phi_{k+1}(x) = y_0 + \int_{x_0}^x \bigl[ \mat{A}(\xi) \phi_k(\xi) + b(\xi) \bigr] \dif \xi
        \]
        provedeme limitní přechod $k\to+\infty$, přičemž využijeme stejnoměrné konvergence funkční posloupnosti $\{ \phi_k \}_{k\geq1}$ na libovolném intervalu
        $\left[ \alpha,\beta \right] \subset I$ (tj.~i na intervalu s~krajními body $x_0$ a $x$). Lze tedy provést záměnu limity a integrálu. Dostaneme
        \[
          \phi_*(x) = y_0 + \int_{x_0}^x \bigl[ \mat{A}(\xi) \phi_*(\xi) + b(\xi) \bigr] \dif \xi.
        \]
        Odtud vidíme, že platí
        \[
          \Bigl( \phi_*(x_0) = y_0 \Bigr) \wedge \Bigl( \exists \phi'_*(x) \Bigr) \Bigl( \forall x \in I \Bigr) \Bigl( \phi'_*(x) = \mat{A}(x) \phi_*(x) + b(x) \Bigr).
        \]
        To ale znamená, že $\phi_*$ řeší úlohu \eqref{eq:poculo3}, což jsme chtěli dokázat.
 
%\item JEDNOZNAČNOST
      \item Zbývá dokázat jednoznačnost řešení. Nechť $\psi = \psi(x)$ je řešením úlohy \eqref{eq:poculo3} na intervalu $J \subset \R$. Nechť z~předchozího postupu
        máme řešení $\phi_*$ na intervalu $I$. Dosadíme obě řešení do \eqref{eq:poculo3} a dostaneme
        \begin{eqnarray*}
          \phi_*(x) &=& y_0 + \int_{x_0}^x \bigl[ \mat{A}(\xi) \phi_*(\xi) + b(\xi) \bigr] \dif\xi, \\
          \psi(x)   &=& y_0 + \int_{x_0}^x \bigl[ \mat{A}(\xi) \psi(\xi) + b(\xi) \bigr] \dif\xi.
        \end{eqnarray*}
        Odečtením obou rovnic získáme rovnici
        \[
          \phi_*(x) - \psi(x) = \int_{x_0}^x \mat{A}(\xi) (\phi_*(\xi) - \psi(\xi)) \dif\xi.
        \]
 
        Uvažme nyní $\left[ \alpha,\beta \right] \subset I \cap J$, $x_0\in(\alpha,\beta)$. Potom
        \begin{eqnarray*}
          \abs{\phi_*^i(x) - \psi^i(x)} 
            &\leq& \Bigg| \int_{x_0}^x \sum_{j=1}^n \ub{\abs{a_{ij}(\xi)}}_{\leq K} \ub{\abs{\phi_*^j(\xi) - \psi^j(\xi)}}_{\leq\nor{\phi_*(\xi) - \psi(\xi)}_2} \dif\xi \Bigg| \\
            &\leq& \Bigg| \int_{x_0}^x nK \nor{\phi_*(\xi) - \psi(\xi)}_2 \dif\xi \Bigg| \\
%             &\leq& \Bigg| \int_{x_0}^x nK \ub{\nor{\phi_*(\xi) - \psi(\xi)}_2}_{=\left(\sum\limits_{j=1}^n \abs{\phi_*^j(\xi) - \psi^j(\xi)}^2\right)^{1/2}} \dif\xi \Bigg| \\
%             &\leq& n^{3/2} K \Bigg| \int_{x_0}^x \ub{\nor{\phi_*(\xi) - \psi(\xi)}_2}_{\stackrel{\text{ozn}}{=}u(\xi)} \dif\xi \Bigg|.
        \end{eqnarray*}
        kde jsme využili zřejmou nerovnost
        \[
          \abs{\phi_*^i(x) - \psi^i(x)} \leq \nor{\phi_*(x) - \psi(x)}_2 = \left( \sum_{j=1}^n \abs{\phi_*^j(x) - \psi^j(x)}^2 \right)^{1/2}
        \]
        a odhadů z~předchozích částí důkazu. Potom můžeme psát
        \begin{eqnarray*}
          \nor{\phi_*(x) - \psi(x)}_2 & =  & \left(\sum_{i=1}^n \abs{\phi_*^i(x) - \psi^i(x)}^2 \right)^{1/2} \\
                                      &\leq& \left(\sum_{i=1}^n \Bigg| \int_{x_0}^x nK\nor{\phi_*(\xi) - \psi(\xi)}_2 \dif\xi \Bigg|^2 \right)^{1/2} \\
                                      &\leq& n^{1/2} \Bigg| \int_{x_0}^x nK\nor{\phi_*(\xi) - \psi(\xi)}_2 \dif\xi \Bigg| \\
                                      &\leq& n^{3/2} K \Bigg| \int_{x_0}^x \nor{\phi_*(\xi) - \psi(\xi)}_2 \dif\xi \Bigg|.
        \end{eqnarray*}
 
        Označíme-li tedy $u(x) = \nor{\phi_*(x) - \psi(x)}_2$, dostáváme nerovnost
        \[
          u(x) \leq n^{3/2} K \Bigg| \int_{x_0}^x u(\xi) \dif\xi \Bigg|.
        \]
        Z~Grönwallova lemmatu \ref{lem:gronwall}, resp.~z~poznámky \ref{rmrk:gronwall}, pak plyne
        \[
          u(x) \leq 0.
        \]
        Odtud zřejmě
        \[
          \Bigl( \forall x \in \left[ \alpha,\beta \right] \subset I \cap J \Bigr) \Bigl( \phi_*(x) = \psi(x) \Bigr),
        \]
 
        Sporem ukážeme, že uvedená rovnost musí platit i pro ostatní $x \in I \cap J$. Nechť tedy existuje
        $x_1 \in I \cap J$ tak, že $\phi_*(x_1) \neq \psi(x_1)$. Potom zřejmě existuje interval $\left[ \alpha_1,\beta_1 \right] \subset I \cap J$ tak, že 
        $x_1 \in \left[ \alpha_1,\beta_1 \right]$ a $x_0 \in (\alpha_1,\beta_1)$. Zopakujeme-li nyní předchozí postup, dojdeme ke sporu. Platí tedy
        \[
          \Bigl( \forall x \in I \cap J \Bigr) \Bigl( \phi_*(x) = \psi(x) \Bigr).
        \]
        Tím je důkaz věty dokončen.
\qedhere
    \end{enumerate}
  \end{proof}
 
\end{theorem}