Aktuální verze z 7. 6. 2017, 08:21

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01DIFRnew}
% ****************************************************************************************************************************
%                             KAPITOLA: Úvod
% ****************************************************************************************************************************
\chapter{Úvod}
\emph{Diferenciální rovnice je funkcionální rovnice obsahující neznámou funkci a její derivace. Cílem zkoumání je co nejzřetelněji (jednoznačně) určit tuto 
funkci (a její derivace).}
 
Podstatné tedy je, že neznámou je v~tomto případě funkce, a že se v~rovnicích vyskytují rovněž derivace neznámé funkce.
 
Diferenciálních rovnice lze klasifikovat podle řady hledisek. Zásadní je rozdělení na diferenciální rovnice obyčejné a parciální. 
\textit{Obyčejné diferenciální rovnice} se vyznačují tím, že neznámá funkce je funkcí jediné proměnné. V~\textit{parciálních diferenciálních rovnicích} 
se naproti tomu setkáme s~neznámou funkcí více proměnných. Diferenciální rovnice lze také dělit na lineární a nelineární atd.
 
Z hlediska řešení diferenciálních rovnic mají zásadní teoretickou hodnotu věty o~existenci a jednoznačnosti, které stanoví podmínky, při jejichž splnění 
je zaručena existence právě jednoho řešení. Metody řešení diferenciálních rovnic jsou rozmanité. Často se v~literatuře i praxi můžeme setkat s~metodami 
kvalitativními (také geometrickými), analytickými a numerickými. Analytické metody jsou ty, které nám přímo poskytují funkční předpis pro neznámou 
funkci. Bohužel třída úloh řešitelných analyticky není příliš rozsáhlá a v~zásadě se omezuje pouze na několik speciálních typů rovnic. V~praxi se 
většina úloh musí řešit prostřednictvím numerických, případně kvalitativních, metod.
 
V~tomto kurzu se budeme zabývat pouze \emph{obyčejnými diferenciálními rovnicemi} a \emph{analytickými metodami} jejich řešení.
 
 
 
% ****************************************************************************************************************************
%                             SEKCE: Příklady
% ****************************************************************************************************************************
\section{Příklady}
\begin{example}
  \textbf{Pohyb hmotného bodu po přímce}.
%	\begin{center}
%		\includegraphics{priklad1.pdf}
%	\end{center}
 
  Pro jednorozměrný pohyb hmotného bodu máme známou pohybovou rovnici
  \begin{equation}
    \label{eq:pohrov_hmbod}
    m \ddot{x} = F,
  \end{equation}
  kde $m$ představuje hmotnost bodu ($m$ je tedy kladná konstanta) a pro zjednodušení předpokládáme, že $F$ je reálná konstanta ($F$ představuje
  působící sílu). Dvojí integrací rovnice \eqref{eq:pohrov_hmbod} snadno zjistíme, že 
  \begin{equation}
    \label{eq:zakpoh_hmbod}
    x(t) = \frac{1}{2} \frac{F}{m}t^2 + C_1 t + C_2,
  \end{equation}
  kde $C_1$ a $C_2$ jsou nějaké reálné blíže neurčené integrační konstanty. Řešení \eqref{eq:zakpoh_hmbod} tedy není určeno jednoznačně a proto 
  naši úlohu doplníme o~dodatečné podmínky \index{podmínky!počáteční} (tzv.~počáteční podmínky)
  \begin{eqnarray*}
    x(0) 	& = & x_{ini}, \qquad \text{(počáteční poloha)} \\
    m\dot{x}(0) & = & p_{ini}. \qquad \text{(počáteční hybnost)}
  \end{eqnarray*}
  Potom zřejmě platí, že $C_1 = p_{ini}/m$ a $C_2 = x_{ini}$ a řešení této úlohy lze zapsat ve tvaru
  \begin{equation*}
    x(t) = \frac{1}{2} \frac{F}{m}t^2 + \frac{1}{m} p_{ini} t + x_{ini}.
  \end{equation*}
\end{example}
 
\begin{remark}
  \label{rmrk:poculo}
  \index{úloha pro diferenciální rovnici!počáteční}
  Úloha řešená v~předchozím příkladě se označuje jako tzv.~\emph{počáteční úloha pro diferenciální rovnici}. V~tomto případě měla tvar
  \begin{eqnarray*}
    m \ddot{x} 	 & = & F, \\
    x(0) 	 & = & x_{ini}, \\
    m \dot{x}(0) & = & p_{ini}.
  \end{eqnarray*}
 
  \index{Cauchyova počáteční úloha|see{úloha pro diferenciální rovnici, počáteční}}
  V~literatuře se také často setkáme s~názvem \emph{Cauchyova počáteční úloha}.
\end{remark}
 
\begin{example}
  \index{rotující sklenice}
  \index{vědro Newtonovo|see{rotující sklenice}}
  \textbf{Rotující sklenice.}
 
  \begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[scale=1.0]{rotujici_sklenice.pdf}
    \caption[Rotující sklenice.]{\textbf{A} Hladina kapaliny ve sklenici rotující okolo osy $y$. \textbf{B} Rovnováha sil na hladině kapaliny v~rotující sklenici.}
    \label{fig:rotskl}
  \end{figure}
 
  Máme sklenici naplněnou kapalinou umístěnou v~tíhovém poli. Sklenice rotuje okolo osy $y$. Situace je schematicky zachycena na obr.~\ref{fig:rotskl}A. Počátek soustavy 
  souřadné jsme umístili do nějnižšího bodu hladiny v~ustáleném stavu a zajímá nás tvar hladiny $y=y(x)$ za těchto okolností.
 
  V~ustáleném stavu je tvar hladiny v~čase neměnný. To nastává, je-li výslednice sil působících na hladině kolmá k~hladině. Tuto situaci znázorňuje obr.~\ref{fig:rotskl}B. 
  Na hladině působí jednak síla tíhová, jejíž velikost je $G = \rho g$ a jednak síla odstředivá, jejíž velikost $F_o(x) = \rho x \omega^2$. Zde $\rho$ je hustota kapaliny, 
  $g$ je tíhové zrychlení a $\omega$ je úhlová rychlost rotace sklenice. Vztah mezi úhlem $\alpha(x)$ a derivací $y'(x)$ je dán podmínkou rovnováhy. Z~obr.~\ref{fig:rotskl}B 
  je patrné, že musí platit
  \begin{equation*}
    y'(x) = \tg \alpha(x) = \frac{F_o(x)}{G}.
  \end{equation*}
 
  Hledaným řešením je tedy řešení úlohy
  \begin{eqnarray*}
    y' &=& \frac{x \omega^2}{g}, \\
    y(0) &=& 0,
  \end{eqnarray*}
  kde jsme pro jednoznačnost doplnili počáteční podmínku ve tvaru $y(0)=0$. Snadno ověříme, že hledanou funkcí je funkce
  \begin{equation*}
    y(x) = \frac{\omega^2}{2g} x^2.
  \end{equation*}
  Hladina má zřejmě tvar rotačního paraboloidu.
\end{example}
 
\begin{example}
  \index{rovnice diferenciální!parciální}
  \textbf{Parciální diferenciální rovnice.}
 
  Mějme funkci $u$ dánu předpisem:
  \begin{equation*}
	u(t,x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi Dt}}\me^{-\frac{(x-x_0)^2}{4Dt}},
  \end{equation*}
  kde $D>0$, $D$ je konstanta, $t>0$, $x\in\R$. Spočteme následující parciální derivace funkce $u$:
  \begin{eqnarray*}
    \partial_x u(t,x)      & = & \frac{1}{\sqrt{2\pi Dt}}\me^{-\frac{(x-x_0)^2}{4Dt}}\left( -\frac{x-x_0}{2Dt}\right), \\
    \partial_{xx}^2 u(t,x) & = & \frac{1}{\sqrt{2\pi Dt}}\me^{-\frac{(x-x_0)^2}{4Dt}}\left( \frac{(x-x_0)^2}{4D^2t^2} - \frac{1}{2Dt}\right), \\
    \partial_t u(t,x)      & = & \frac{1}{\sqrt{2\pi Dt}}\me^{-\frac{(x-x_0)^2}{4Dt}}\left( \frac{(x-x_0)^2}{4Dt^2} - \frac{1}{2t}\right).
  \end{eqnarray*}
 
  Porovnáním posledních dvou rovnic lze sestavit parciální diferenciální rovnici $\partial_t u = D \partial_{xx}^{2} u$, která může popisovat
  např.~vedení tepla.
\end{example}
 
\begin{example}
  \index{kyvadlo matematické}
  \textbf{Matematické kyvadlo.}
 
  \begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[scale=1]{mat_kyvadlo.pdf}
    \caption{Matematické kyvadlo.}
    \label{fig:matkyv}
  \end{figure}
 
  Dalším známým příkladem, který vede na řešení diferenciální rovnice je matematické kyvadlo (obr.~\ref{fig:matkyv}). Snadno sestavíme 
  pohybovou rovnici $I\ddot{\phi}(t) = -mgl\sin\phi (t)$, kde $I = ml^2$ je příslušný moment setrvačnosti, $m$ je hmotnost hmotného bodu, $l$ délka 
  závěsu, $g$ velikost tíhového zrychlení a $\phi$ je úhel (viz~obr.~\ref{fig:matkyv}). Rovnici nakonec upravíme do výsledného tvaru
  \begin{equation*}
    \ddot{\phi} + \frac{g}{l}\sin\phi = 0.
  \end{equation*}
 
  Z~tohoto tvaru je ihned patrné, že rovnici nebude možno řešit pouhou integrací ve tvaru $\int \dif t$ jako v~některých předešlých příkladech. 
  Podotýkáme, že v~literatuře se proces řešení diferenciální rovnice často nazývá integrací, přestože se o~integraci v~pravém slova smyslu 
  nejedná, stejně jako v~tomto případě.
 
  Příkladem řešení uvedené rovnice jsou např.~funkce $\phi(t)\equiv 0$ nebo $\phi(t)\equiv\pi$, které odpovídají setrvání kyvadla v~některé 
  z~rovnovážných poloh. V~prvním případě jde zřejmě o~stabilní rovnovážnou polohou, zatímco ve druhém se jedná o~rovnovážnou polohu labilní. 
  Rovnovážnou polohu také nazýváme pevný bod.
 
  Mimo uvedeného si na rovnici můžeme všimnout i toho, že v~ní explicitně nevystupuje proměnná $t$, což nám může pomoci při jejím řešením. Na závěr 
  ještě poznamenáme, že tato rovnice patří mezi tzv.~separabilní rovnice.
\end{example}
 
\begin{example}
  \index{rovnice!Clausiova--Clapeyronova}
  \textbf{Clausiova--Clapeyronova rovnice}.
 
  Máme diferenciální rovnici ve tvaru
  \begin{equation*}
    \frac{\dif p}{\dif T} = \frac{l}{T(\vartheta_2-\vartheta_1)},
  \end{equation*}
  která popisuje závislost tlaku na teplotě v~uzavřené nádobě konstantního objemu s~kapalinou a jejími parami. Zde $p$ je tlak, $T$ je teplota, 
  $l$ je měrné skupenské teplo (vypařování), $\vartheta_1$ je měrný objem kapaliny a $\vartheta_2$ je měrný objem páry.
 
  Hledáme funkci $p=p(T)$, která řeší uvedenou rovnici. Proces řešení se skládá ze dvou dílčích kroků -- separace a integrace. Tím dostaneme 
  \begin{equation*}
    p(T) = \frac{l}{\vartheta_2-\vartheta_1}\ln T + C, \qquad \text{kde } C\in\R.
  \end{equation*}
 
  Řešení je závislé na integrační konstantě $C$, kterou můžeme určit po zavedení doplňující podmínky, např.~ve tvaru $p(T_0) = p_0$. Odtud 
  $C = p_0 - \frac{l}{\vartheta_2-\vartheta_1}\ln T_0$ a výsledné řešení je ve tvaru
  \begin{equation*}
    p(T) = p_0 + \frac{l}{\vartheta_2-\vartheta_1}\ln \frac{T}{T_0}.
  \end{equation*}
 
  Na závěr je ještě třeba poznamenat, že výsledné řešení není dobře fyzikálně odůvodněné. Při řešení jsme předpokládali, že ani měrné skupenské 
  teplo $l$, ani měrný objem kapaliny $\vartheta_1$ a její páry $\vartheta_2$, nezávisí na teplotě. To však není příliš dobré přiblížení \cite{feynman1}.
\end{example}
 
%\begin{example}
%  \index{rovnice!Lorenzovy}
%	\textbf{Lorenzovy rovnice.}
%	\[
%	\begin{split}
%		\frac{\d x}{\d t}&=-\sigma x + \sigma y, \quad \sigma=10 \\
%		\frac{\d y}{\d t}&=rx - y - xz, \quad r=28 \\
%		\frac{\d z}{\d t}&=-bz + xy, \quad b=\frac{8}{3}
%	\end{split}
%	\]
%	Soustava 3 diferenciálních rovnic pro neznámé funkce $x=x(t), y=y(t), z=z(t)$, které představují 3 složky rychlostí pohybu vzduchu ve vybraném objemu atmosféry. 
%	Počáteční podmínky $x(t_0)=x_0, y(t_0)=y_0, z(t_0)=z_0$.
%	\begin{center}
%		\includegraphics[height=5cm]{lorentz-attractor.pdf}
%	\end{center}
%	Tyto rovnice mají citlivou závislost na počátečních podmínkách. To znamená, že stačí změnit počáteční podmínky na 9. řádu a řešení bude úplně jiné.
%\end{example}
 
%\begin{example}
%  \textbf{Dynamika křivek v~rovině}.
%\end{example}
 
%\begin{example}
%  \index{rovnice!van der Polova}
%  \textbf{van der Polova rovnice} (oscilátor)
%
%  \begin{equation*}
%    y'' - \mu(1-y^2)y' + y = 0 \qquad \mu > 0.
%  \end{equation*}
%\end{example}
 
%\begin{example}
%  \index{rovnice!Lotkovy-Volterrovy}
%  \textbf{Lotkovy-Volterrovy rovnice}.
%\end{example}
 
%\begin{example}
%  \index{Bruselátor}
%  Chemická reakce typu \uv{Bruselátor}.
%\end{example}
 
 
 
 
% ****************************************************************************************************************************
%                             SEKCE: Označení
% ****************************************************************************************************************************
\section{Označení}
 
\begin{define}
  \index{výraz diferenciální!obyčejný n-tého řádu}
  \textbf{Obyčejný diferenciální výraz n-tého řádu} je ve tvaru
  \begin{equation*}
    %\label{eq:difvyraz}
    F = F(x,y,y',y'',\dots,y^{(n)}),
  \end{equation*}
  kde $F\in \Cc^{(p)}:(\R^{n+2}) \rightarrow \R$, $p \geq 0$, $y^{(n)}$ je netriviálně zastoupena v~$F$.
 
  \index{rovnice diferenciální!obyčejná}
  Potom \textbf{obyčejnou diferenciální rovnicí n-tého řádu} nazveme rovnici
  \begin{equation}
    \label{eq:dr}
    F(x,y,y',y'',\dots,y^{(n)}) = 0, \qquad x\in I,
  \end{equation}
  kde $I \subset \R$ je otevřený interval a levá strana je obyčejný diferenciální výraz (n-tého řádu).
\end{define}
 
\begin{define}
  \index{řešení!diferenciální rovnice}
  \label{def:resdr}
  \textbf{Řešení rovnice \eqref{eq:dr} na intervalu $I$} je každá funkce $y=y(x)$, $y: I \rightarrow \R$, pro kterou $y^{(k)} = y^{(k)}(x)$ 
  existuje $\forall x \in I$ a $\forall k = 0,1,\dots,n$, a která splňuje rovnici \eqref{eq:dr} $\forall x \in I$.
\end{define}
 
\begin{remark}
  \index{řešení!klasické}
  Řešení diferenciální rovnice z~předchozí definice je tzv.~\emph{klasické řešení}, požadující bodové splnění rovnice \eqref{eq:dr}.
\end{remark}
 
\begin{remark}
  \index{křivka!integrální}
  Graf řešení $y = y(x)$ rovnice \eqref{eq:dr} je množina $G = \bigl\{ \col{x}{y(x)} \mid x \in I \bigr\}$. V~literatuře se množina 
  $G$ také nazývá \emph{integrální křivkou}.
\end{remark}
 
\begin{remark}
  \index{podmínky!okrajové}
  \index{úloha pro diferenciální rovnici!okrajová}
  V~příkladech v~předcházející sekci byly rovnice doplněny podmínkami, předepsanými v~jediné hodnotě nezávisle proměnné. Jedná se o~počáteční podmínky 
  (viz~poznámka~\ref{rmrk:poculo}). Kdybychom měli podmínky udány v~různých hodnotách nezávisle proměnné, hovořili bychom o~\emph{okrajových podmínkách}. 
  Hovoříme potom o~\emph{okrajové úloze pro diferenciální rovnici}.
\end{remark}
 
\begin{example}
  \label{ex:vedeni_tepla_1}
  \textbf{Vedení tepla stěnou}.
 
%  \begin{figure}
%    \centering
%     \includegraphics{vedeni-tepla.pdf}
%    \caption{K~vedení tepla stěnou.}
%    \label{fig:vedtepla}
%  \end{figure}
 
  Mějme rovnici
  \begin{equation*}
    -D\frac{\dif^2T}{\dif x^2} = 0,
  \end{equation*}
  kde $D>0$ nazýváme koeficient teplotní difuze. Tato rovnice popisuje jednoduchý případ stacionárního vedení tepla jednoduchou stěnou 
  s~konstantním koeficientem difuze. Okrajové podmínky pro naši úlohu jsou
  \begin{eqnarray*}
    T(0) & = & T_0, \\
    T(L) & = & T_L,
  \end{eqnarray*}
  kde $L$ je tloušťka stěny, $T_0$ chápeme jako vnitřní teplotu a $T_L$ jako vnější teplotu.
 
  Snadno nahlédneme, že řešení uvedené rovnice je $DT(x) = C_1 x+C_2$, kde $C_1$ a $C_2$ jsou integrační konstanty, které určíme z~okrajových 
  podmínek. Z~nich plyne $C_1 = \frac{D}{L}(T_L-T_0)$ a $C_2 = DT_0$. Konečné řešení tedy je
  \begin{equation*}
    T(x) = \frac{T_L-T_0}{L}x + T_0.
  \end{equation*}
 
  Řešení ukazuje lineární závislost teploty $T$ na souřadnici $x$. V~technické praxi se však často setkáme s~materiály, které se vyznačují 
  nelineárním vedením tepla (kde např.~$D = D(x)$ je nějakou obecnou funkcí). Tím se řešení rovnice pochopitelně komplikuje.
\end{example}
 
 
\begin{example}
  Řešme rovnici
  \begin{equation*}
    y'' + 100y = 0.
  \end{equation*}
  Tato rovnice má obecné řešení\footnote{K~pojmu \emph{obecné řešení} viz poznámka \ref{rmrk:drlinnr_bezps_obecres}.} $y(x) = C_1 \cos 10x + C_2 \sin 10x$.
 
  Zkoumejme řešení rovnice pro různé okrajové podmínky. Nejdříve nechť $y(0) = 0$ a $y(\pi) = 0$. Obě tyto podmínky lze zřejmě splnit zároveň 
  pro volbu $C_1 = 0$ a $C_2 \in \R$. Dostáváme tedy nekonečně mnoho řešení ve tvaru $y(x) = C_2 \sin 10x$, kde $C_2 \in \R$.
 
  Nechť jsou zadány následující okrajové podmínky: $y(0) = 1$ a $y(\pi) = 0$. Z~první podmínky plyne, že $C_1 = 1$ a $C_2 \in \R$, zatímco z~druhé 
  plyne $C_1 = 0$ a $C_2 \in \R$. Je zřejmé, že obě tyto podmínky nemohou být splněny současně, a proto taková okrajová úloha nemá řešení.
\end{example}
 
\begin{remark}
  \index{řešení!jednoznačnost}
  \label{rmrk:jednoznacnost}
  \textbf{Jednoznačnost řešení} rovnice \eqref{eq:dr}.
 
  Řekneme, že řešení rovnice \eqref{eq:dr} je dáno jednoznačně právě tehdy, když pro každé dvě řešení $y_1$, $y_2$ takové, že $y_1: I_1 \to \R$ a 
  $y_2: I_2 \to \R$, kde $I_1 \cap I_2 \neq \emptyset$ ($I_1$ a $I_2$ jsou otevřené intervaly) platí výrok 
  $\bigl( \forall x \in I_1 \cap I_2 \bigr) \bigl( y_1(x) = y_2(x) \bigr)$. Neboli řešení se musí shodovat na průniku svých definičních oborů.
\end{remark}
 
\begin{remark}
  \index{úpravy!ekivalentní}
  \index{úpravy!neekvivalentní}
  Postup hledání řešení diferenciální rovnice zahrnuje algebraické a funkcionální úpravy (substituce). Podobně jako v~lineární algebře mohou tyto 
  úpravy být \emph{ekvivalentní} nebo \emph{neekvivalentní}.
\end{remark}
 
\begin{define}
  \index{rovnice diferenciální!ekvivalentní}
  Dvě diferenciální rovnice nazveme \textbf{ekvivalentní} právě tehdy, když mají stejné množiny řešení. 
  %Rovnice (DR1) je \textbf{ekvivalentní} rovnici (DR2) právě tehdy, když množina řešení (DR1) je stejná jako množina řešení (DR2).
\end{define}
 
\begin{example}
  Nechť je dána rovnice
  \begin{equation*}
    xy' = y^2 - y,
  \end{equation*}
  z~níž úpravou (vynásobením výrazem $x^{-1}(y^2-y)^{-1}$) vznikne rovnice
  \begin{equation*}
    \frac{y'}{y^2 - y} = \frac{1}{x} \ .
  \end{equation*}
  Tuto úpravu však lze uvažovat pouze pro $x\neq 0$, $y \neq 0$ a $y \neq 1$. Uvažujme funkce $y(x) = 0$ nebo $y(x) = 1$ definované na $\R$. Obě 
  tyto funkce řeší první rovnici, ale nemohou být řešeními druhé. Je tedy zřejmé, že obě rovnice nemají stejné množiny řešení, a proto nemohou být 
  ani ekvivalentní. To je důsledkem provedení neekvivalentní úpravy. Navíc se lze přesvědčit, že řešení druhé rovnice řeší také první rovnici, ale 
  nikoli na stejné množině. Uvažujme např. funkci $y(x) = 1/(1-x)$, která řeší druhou rovnici pro $x\neq 0$ a $x\neq 1$. Tato funkce však 
  také řešením první rovnice pro $x\neq 1$. Při každé úpravě diferenciální rovnice je tedy třeba dávat pozor, zda je tato úprava ekvivalentní, nebo 
  ne.
\end{example}