01DIFRnew:Kapitola6: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
m (Změny na základě toho, co po mně pan profestor chtěl na zkoušce) |
m |
||
Řádka 53: | Řádka 53: | ||
Na $y'$ jsme položili jednu podmínku. Dosadíme $y,y',y''$ zpět do \eqref{eq:okrdr} ($p=p(x),\ q=q(x))$. | Na $y'$ jsme položili jednu podmínku. Dosadíme $y,y',y''$ zpět do \eqref{eq:okrdr} ($p=p(x),\ q=q(x))$. | ||
\[ | \[ | ||
− | Ly=p(c_1'v_1'-c_2'v_2')+c_1(\ub{-p'v_1'-pv_1''+qv_1}_{=Lv_1=0})+c_2(\ub{-p'v_2'-pv_2''+qv_2}_{=Lv_2=0})=f(x) | + | Ly=p(-c_1'v_1'-c_2'v_2')+c_1(\ub{-p'v_1'-pv_1''+qv_1}_{=Lv_1=0})+c_2(\ub{-p'v_2'-pv_2''+qv_2}_{=Lv_2=0})=f(x) |
\] | \] | ||
Obě označené závorky jsou nulové, neboť $v_1(x)$ i $v_2(x)$ řeší \eqref{eq:okrdr} bez pravé strany. | Obě označené závorky jsou nulové, neboť $v_1(x)$ i $v_2(x)$ řeší \eqref{eq:okrdr} bez pravé strany. | ||
Řádka 106: | Řádka 106: | ||
Jednoznačnost prozkoumáme vyšetřením výrazu $\left\langle Ly,y \right\rangle$ (skalární součin na~$\Ll^2$ prostoru všech kvadraticky integrabilních funkcí) | Jednoznačnost prozkoumáme vyšetřením výrazu $\left\langle Ly,y \right\rangle$ (skalární součin na~$\Ll^2$ prostoru všech kvadraticky integrabilních funkcí) | ||
\begin{eqnarray*} | \begin{eqnarray*} | ||
− | \left\langle Ly,y \right\rangle &=& \int_{a}^{b} Ly(x)y(x) \dif x = \int_{a}^{b} \left[ (-(p(x)y'(x))' + q(x)y(x) | + | \left\langle Ly,y \right\rangle &=& \int_{a}^{b} Ly(x)y(x) \dif x = \int_{a}^{b} \left[ (-(p(x)y'(x))' + q(x)y(x) \right]y \dif x \\ |
&=& -\int_{a}^{b} \left[(p(x)y'(x))' y\right] \dif x + \int_{a}^{b} q(x)y^2(x) \dif x \\ | &=& -\int_{a}^{b} \left[(p(x)y'(x))' y\right] \dif x + \int_{a}^{b} q(x)y^2(x) \dif x \\ | ||
&\overset{p.p.}{=}& \left( -\left[p(x)y'(x)y(x)\right]_b^a + \int_{a}^{b} p(x)\abs{y'(x)}^2 \dif x\right) + \int_{a}^{b} q(x)y^2(x) \dif x \\ | &\overset{p.p.}{=}& \left( -\left[p(x)y'(x)y(x)\right]_b^a + \int_{a}^{b} p(x)\abs{y'(x)}^2 \dif x\right) + \int_{a}^{b} q(x)y^2(x) \dif x \\ |
Verze z 19. 6. 2016, 11:05
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01DIFRnew
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01DIFRnew | Nguyebin | 1. 9. 2013 | 22:56 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:45 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Nguyebin | 1. 9. 2013 | 22:47 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Předmluva | Nguyebin | 29. 8. 2013 | 15:23 | kapitola0.tex | |
Kapitola1 | editovat | Úvod | Kubuondr | 7. 6. 2017 | 09:21 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Řešení speciálních typů rovnic | Kubuondr | 8. 6. 2017 | 10:00 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Teoretické vlastnosti řešení diferenciálních rovnic | Perinhyn | 2. 6. 2018 | 22:54 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Analytické řešení lineárních diferenciálních rovnic n-tého řádu | Kubuondr | 10. 6. 2017 | 11:19 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Analytické řešení soustav lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu | Krasejak | 20. 6. 2014 | 01:32 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice | Kubuondr | 10. 6. 2017 | 11:16 | kapitola6.tex | |
KapitolaA | editovat | Literatura | Krasejak | 20. 6. 2014 | 01:33 | literatura.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Soubor:priklad1.pdf | priklad1.pdf |
Image:rotujici_sklenice.pdf | rotujici_sklenice.pdf |
Image:mat_kyvadlo.pdf | mat_kyvadlo.pdf |
Soubor:lorentz-attractor.pdf | lorentz-attractor.pdf |
Soubor:vedeni-tepla.pdf | vedeni-tepla.pdf |
Image:smerova_pole.pdf | smerova_pole.pdf |
Image:RL_obvod.pdf | RL_obvod.pdf |
Image:k_lomene_care.pdf | k_lomene_care.pdf |
Image:k_peanove_vete.pdf | k_peanove_vete.pdf |
Image:k_prodlouzeni.pdf | k_prodlouzeni.pdf |
Image:k_prodl_lemma.pdf | k_prodl_lemma.pdf |
Image:k_prodl_tvrz.pdf | k_prodl_tvrz.pdf |
Image:k_prodl_lemma_2.pdf | k_prodl_lemma_2.pdf |
Image:ke_spoj_zav_na_datech.pdf | ke_spoj_zav_na_datech.pdf |
Image:metoda_strelby.pdf | metoda_strelby.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01DIFRnew} % **************************************************************************************************************************** % KAPITOLA: Okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice % **************************************************************************************************************************** \chapter{Okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice} \begin{define} \index{podmínky!okrajové} \index{úloha pro diferenciální rovnici!okrajová} \label{def:okrul} Nechť $p,p',q\in \Cc^1\left[a,b\right]$ a $p(x)\geq c_0 > 0$, pak rovnice \eqref{eq:okrdr}, \eqref{eq:okr1} a \eqref{eq:okr2} \begin{eqnarray} \label{eq:okrdr} -(p(x)y')' + q(x)y &=& f(x), \qquad \text{na } x\in(a,b), \\ \label{eq:okr1} \alpha_1 y(a) + \beta_1 y'(a) &=& 0, \\ \label{eq:okr2} \alpha_2 y(b) + \beta_2 y'(b) &=& 0, \end{eqnarray} se nazývají \textbf{okrajová úloha v samoadjungovaném tvaru} a vztahy \eqref{eq:okr1} a \eqref{eq:okr2} se nazývají \textbf{okrajové podmínky}. Levou stranu rovnice \eqref{eq:okrdr} lze opět zapsat pomocí lineárního diferenciálního operátoru $L$ ve tvaru $Ly=-(p(x)y')' + q(x)y$. \end{define} \begin{remark} Okrajová úloha nemusí být řešitelná jednoznačně. Například za podmínek \linebreak $q=0,\ \alpha_{1,2}=0, \ \beta_{1,2}=1$ je $y(x)$ určena jednoznačně až na aditivní konstantu. \end{remark} \begin{remark}[\textbf{Formální postup}] Rovnici \eqref{eq:okrdr} lze upravit na LDR druhého řádu ve~tvaru \[-p(x)'y'(x)-p(x)y''(x)+q(x)y(x)=f(x). \] Uvažujme nejprve obecné řešení. Zvolme si fundamentální systém $\left\lbrace v_1(x),v_2(x)\right\rbrace$ tak, aby platilo: \begin{itemize} \item $v_1(x)$ řeší \eqref{eq:okrdr} a \eqref{eq:okr1} a přitom neřeší \eqref{eq:okr2}. \item $v_2(x)$ řeší \eqref{eq:okrdr} a \eqref{eq:okr2} a přitom neřeší \eqref{eq:okr1}. \end{itemize} Sestrojíme Wrońskián \[ W_{y_1,y_2}(x) = W_{y_1,y_2}(x_0) \exp \ub{\left\{ -\int_{x_0}^x \frac{p'(x)}{p(x)} \dif x \right\}}_{=\ln p(x)-\ln p(x_0)}, \] z~něhož získáme \begin{equation} \label{eq:Wpk} \frac{W_{y_1,y_2}(x)}{ W_{y_1,y_2}(x_0)} = \frac{p(x_0)}{p(x)} \implies W_{y_1,y_2}(x)p(x)\overset{ozn.}{=}K=\text{konst.} \quad \forall x \in \left[ a,b\right] \end{equation} Pro získání partikulárního řešení provedeme variaci konstanty ($y=y(x),\ v_i=v(x), \linebreak c_i=c(x)$). \[ \begin{array}{lcl} y &=& c_1v_1+c_2v_2 \\ y' &=& \ub{c_1'v_1+c_2'v_2}_{:=0} + c_1v_1'+c_2v_2' \\ y''&=& c_1'v_1'+c_2'v_2' + c_1v_1''+c_2v_2'' \end{array} \] Na $y'$ jsme položili jednu podmínku. Dosadíme $y,y',y''$ zpět do \eqref{eq:okrdr} ($p=p(x),\ q=q(x))$. \[ Ly=p(-c_1'v_1'-c_2'v_2')+c_1(\ub{-p'v_1'-pv_1''+qv_1}_{=Lv_1=0})+c_2(\ub{-p'v_2'-pv_2''+qv_2}_{=Lv_2=0})=f(x) \] Obě označené závorky jsou nulové, neboť $v_1(x)$ i $v_2(x)$ řeší \eqref{eq:okrdr} bez pravé strany. Z~této rovnice a z předcházející podmínky získáme soustavu rovnic pro $c_1'$ a $c_2'$. \begin{eqnarray*} c_1'v_1'+c_2'v_2' &=& \frac{-f(x)}{p}\\ c_1'v_1+c_2'v_2 &=& 0 \end{eqnarray*} Řešení nalezneme Cramerovým pravidlem (determinant soustavy je nenulový Wrońskián). \begin{eqnarray*} c_1'(x) &=& \frac{1}{W_{y_1,y_2}(x)}\left|\begin{matrix} 0 & v_2(x) \\ -f(x)/p(x) & v_2'(x) \end{matrix}\right| = \frac{v_2(x)f(x)}{K} \\ c_2'(x) &=& \frac{1}{W_{y_1,y_2}(x)}\left|\begin{matrix} v_1(x) & 0 \\ v_1'(x) & -f(x)/p(x) \end{matrix}\right| = -\frac{v_1(x)f(x)}{K} \end{eqnarray*} Konstanta $K$ je z \eqref{eq:Wpk}. Dosadíme do okrajových podmínek: \begin{itemize} \item Z \eqref{eq:okr1} získáme $\alpha_1 (c_1v_1+c_2v_2)(a) + \beta_1 (c_1v_1'+c_2v_2')(a)=0$ \item Z \eqref{eq:okr2} získáme $\alpha_2 (c_1v_1+c_2v_2)(b) + \beta_2 (c_1v_1'+c_2v_2')(b)=0$ \end{itemize} Vytknutím upravíme na \begin{eqnarray*} c_1(a)\ub{(\alpha_1v_1(a)+\beta_1v_1'(a))}_{=0}+c_2(a)\ub{(\alpha_1v_2(a)+\beta_1v_2'(a))}_{\not=0} &=& 0 \\ c_1(b)\ub{(\alpha_2v_1(b)+\beta_2v_1'(b))}_{\not=0}+c_2(b)\ub{(\alpha_2v_2(b)+\beta_2v_2'(b))}_{=0} &=& 0 \end{eqnarray*} Nulovost dvou označených závorek vyplývá z~volby $v_1(x)$ a $v_2(x)$. Z~těchto podmínek tedy vyplývá, že $c_2(a)=c_1(b)=0$. Řešení získáme integrací. \[ c_1(x)= -\int_{x}^{b}\frac{v_2(s)f(s)}{K} \dif s \qquad \mbox{a} \qquad c_2(x)= -\int_{a}^{x}\frac{v_1(s)f(s)}{K} \dif s \] Vztahy lze sjednotit do jednoho použitím tzv.~\textbf{Greenovy funkce}. \[ G(x,s)=\begin{cases} -\frac{1}{K}v_1(s)v_2(x) &\forall s \in \left[a,x\right] \\ -\frac{1}{K}v_1(x)v_2(s) &\forall s \in \left[x,b\right] \end{cases} \] Výsledné řešení je pak \begin{equation} \label{eq:okrres} y(x)= \int_{a}^{b}G(x,s)f(s) \dif s \end{equation} \end{remark} \begin{theorem}(o~existenci) Za daných předpokladů existuje řešení okrajové úlohy ve tvaru \eqref{eq:okrres}. \begin{proof} Tvrzení vyplývá z~předchozí konstrukce. \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} Jednoznačnost prozkoumáme vyšetřením výrazu $\left\langle Ly,y \right\rangle$ (skalární součin na~$\Ll^2$ prostoru všech kvadraticky integrabilních funkcí) \begin{eqnarray*} \left\langle Ly,y \right\rangle &=& \int_{a}^{b} Ly(x)y(x) \dif x = \int_{a}^{b} \left[ (-(p(x)y'(x))' + q(x)y(x) \right]y \dif x \\ &=& -\int_{a}^{b} \left[(p(x)y'(x))' y\right] \dif x + \int_{a}^{b} q(x)y^2(x) \dif x \\ &\overset{p.p.}{=}& \left( -\left[p(x)y'(x)y(x)\right]_b^a + \int_{a}^{b} p(x)\abs{y'(x)}^2 \dif x\right) + \int_{a}^{b} q(x)y^2(x) \dif x \\ &=& -p(b)y'(b)y(b)+p(a)y'(a)y(a) + \int_{a}^{b} p(x)\abs{y'(x)}^2 \dif x + \int_{a}^{b} q(x)y^2(x) \dif x \end{eqnarray*} Ve třetím kroku jsme použili per partes na první sčítanec. V~okrajových podmínkách existuje alespoň jedno z $\alpha,\beta$ nenulové. \begin{itemize} \item buď $\beta_1=0$, pak $y(a)=0$; nebo $\beta_1\not=0$, pak $y'(a)=-\frac{\alpha_1}{\beta_1}y(a)$ \item buď $\beta_2=0$, pak $y(b)=0$; nebo $\beta_2\not=0$, pak $y'(b)=-\frac{\alpha_2}{\beta_2}y(b)$ \end{itemize} Můžeme pokračovat v~úpravách výrazu $\left\langle Ly,y \right\rangle$ a využijeme těchto podmínek. \begin{eqnarray*} \left\langle Ly,y \right\rangle &=& \frac{\alpha_2}{\beta_2}p(b)y^2(b) - \frac{\alpha_1}{\beta_1}p(a)y^2(a) + \int_{a}^{b} p(x)\abs{y'(x)}^2 \dif x + \int_{a}^{b} q(x)y^2(x) \dif x \end{eqnarray*} Z~definice \ref{def:okrul} platí $p(x)\geq \mat{c_0} > 0$. Touto nerovností odhadneme výraz $\left\langle Ly,y \right\rangle$. \begin{eqnarray*} \left\langle Ly,y \right\rangle &\geq& \frac{\alpha_2}{\beta_2}p(b)y^2(b) - \frac{\alpha_1}{\beta_1}p(a)y^2(a) + \mat{c_0} \int_{a}^{b} \abs{y'(x)}^2 \dif x + \int_{a}^{b} q(x)y^2(x) \dif x \end{eqnarray*} Tuto nerovnost jsme si připravili pro důkaz následující věty. \end{remark} \begin{theorem}(o jednoznačnosti) Nechť $q(x) \geq 0$ a dále $\alpha_2,\beta_2 \geq 0, \ \alpha_2+\beta_2 > 0$ a \linebreak $\alpha_1,-\beta_1 \geq 0, \ \alpha_1-\beta_1 > 0$. Pak pokud $\beta_1=0 \wedge \beta_2=0 \wedge q(x)\geq q_0 > 0, $ resp.~pokud $\Bigl( \beta_1 \not= 0 \ \vee \ \beta_2 \not= 0\Bigr) \wedge \Bigl( \alpha_1 \not= 0 \ \vee \ \alpha_2 \not= 0\Bigr) \ \vee \ q(x)\geq q_0 > 0$, řešení okrajové úlohy je jednoznačné. \begin{proof} Nechť $y_1$ a $y_2$ řeší okrajovou úlohu, tj. $Ly_1=f(x)$ a $Ly_2=f(x)$. Odečtením získám $L(y_1-y_2)=0$, pak i $\left\langle L(y_1-y_2),y_1-y_2 \right\rangle=0$. Dosadíme $\abs{y_1-y_2}$ za $y$ do předchozí nerovnosti. \begin{eqnarray*} 0 &\geq& \frac{\alpha_2}{\beta_2}p(b)\abs{y_1-y_2}^2(b) - \frac{\alpha_1}{\beta_1}p(a)\abs{y_1-y_2}^2(a) + \\ & & + \ c_0 \int_{a}^{b} \abs{(y_1-y_2)'}^2(x) \dif x + \int_{a}^{b} q(x)\abs{y_1-y_2}^2(x) \dif x \end{eqnarray*} Integrací nerovnosti získáme $(y_1-y_2)(x)=\mbox{konst.}$ Po přidání předpokladů z tvrzení věty získáme $y_1(x)=y_2(x)$ na $\left[a,b\right]$. \end{proof} \end{theorem} \begin{remark}[\textbf{Fyzikální motivace}] Uvažme úlohu vedení tepla stěnou, známe-li teploty na obou stranách této stěny. Tuto úlohu lze formalizovat následujícími rovnicemi \begin{eqnarray*} -ky'' &=& f(x), \qquad \text{na } x\in(a,b), \\ y(a) &=& T_a, \\ y(b) &=& T_b, \end{eqnarray*} kde $y(x)$ je neznámá funkce popisující průběh teploty ve stěně, $f(x)$ je funkce popisující zdroje/propady dané veličiny (tj.~teploty) ve stěně, konstanta $k$ je tepelná vodivost stěny a $T_a$, $T_b$ jsou teploty na krajích stěny. Vidíme tedy, že řešíme \emph{okrajovou úlohu pro diferenciální rovnici}. Řešení této úlohy s~nulovou pravou stranou je uvedeno v~příkladu \ref{ex:vedeni_tepla_1}. Obecné řešení naší úlohy lze zapsat v~následujícím tvaru \[ y(x) = -\frac{1}{k} \int_a^x \int_a^s f(p) \dif p \ \dif s + C_1 x + C_2, \] kde $C_1$, $C_2$ jsou integrační konstanty, které je potřeba určit za pomoci okrajových podmínek. Má tedy platit \begin{eqnarray*} y(a) = T_a &=& C_1 a + C_2, \\ y(b) = T_b &=& \ub{-\frac{1}{k} \int_a^b \int_a^s f(p) \dif p \ \dif s}_{=D} + C_1 b + C_2, \end{eqnarray*} což přepíšeme do tvaru \begin{eqnarray*} C_1 a + C_2 &=& T_a, \\ C_1 b + C_2 &=& T_b - D. \end{eqnarray*} Odtud nakonec dostáváme \begin{eqnarray*} C_1 &=& \frac{1}{b-a}(T_b - T_a - D), \\ C_2 &=& T_a - \frac{a}{b-a}(T_b - T_a - D). \end{eqnarray*} \end{remark} \begin{remark}[\textbf{Metoda střelby}] Mějme typovou úlohu \begin{equation} \label{eq:ex_okrulo} \begin{array}{r@{ \ = \ }l} y'' & f(x,y,y'), \qquad \text{kde } x\in(a,b), \\ y(a) & \gamma_1, \\ y(b) & \gamma_2. \end{array} \end{equation} Jeden z~možných postupů, jak vyšetřit existenci řešení této úlohy, je použití tzv.~\textbf{metody střelby}, která byla původně určena pro numerické úlohy. Tato metoda spočívá v~tom, že místo původní okrajové úlohy \eqref{eq:ex_okrulo} budeme řešit následující počáteční úlohu \begin{equation} \label{eq:ex_poculo} \begin{array}{r@{ \ = \ }l} y'' & f(x,y,y'), \\ y(a) & \gamma_1, \\ y'(a) & \alpha, \end{array} \end{equation} kde neznámý parametr $\alpha$ chceme zvolit tak, aby řešení dospělo do bodu $\col{b}{\gamma_2}$. Řešením úlohy \eqref{eq:ex_poculo} je tedy funkce $y(x;\alpha)$ (v~zápisu jsme zdůraznili závislost na parametru $\alpha$). Volba parametru $\alpha$ přitom odpovídá volbě počátečního sklonu křivky $y(x;\alpha)$, přičemž jej volíme tak, aby platilo $y(b;\alpha) = \gamma_2$. To nám může připomínat volbu náklonu děla s~požadavkem, aby vystřelený projektil zasáhl danou souřadnici. Odtud také pochází název této metody. Situace je znázorněna na obr.~\ref{fig:metoda_strelby}. \begin{figure} \centering \includegraphics[scale=1.0]{metoda_strelby.pdf} \caption{K~vysvětlení metody střelby.} \label{fig:metoda_strelby} \end{figure} Úloha \eqref{eq:ex_poculo} je počáteční a tudíž můžeme rozhodnout o~existenci a jednoznačnosti jejího řešení. Potom stačí zkoumat řešitelnost algebraické rovnice \[ y(b;\alpha) = \gamma_2, \] které pak odpovídá existence a počet řešení původní okrajové úlohy \eqref{eq:ex_okrulo}. \end{remark}