Verze z 19. 6. 2014, 23:41

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01DIFRnew}
% ****************************************************************************************************************************
%                             KAPITOLA: Analytické řešení lineárních diferenciálních rovnic $n$-tého řádu
% ****************************************************************************************************************************
\chapter{Analytické řešení lineárních diferenciálních rovnic $n$-tého řádu}
 
\begin{define}
  \index{rovnice diferenciální!lineární $n$-tého řádu}
  Nechť $q, p_j : (\R)\to\R$, $j\in\widehat{n}$, $n\in\N$. Pak rovnice
  \begin{equation}
    \label{eq:drlinnr}
    y^{(n)} + p_1(x)y^{(n-1)} + \cdots + p_n(x)y = q(x)
  \end{equation}
  se nazývá \textbf{lineární diferenciální rovnice $n$-tého řádu}.
 
  Levá strana rovnice \eqref{eq:drlinnr} je hodnotou lineárního diferenciálního operátoru $L$, tj.
  \begin{equation}
    Ly = y^{(n)} + p_1(x)y^{(n-1)} + \cdots + p_n(x)y.
  \end{equation}
 
  \index{rovnice diferenciální!lineární $n$-tého řádu!bez pravé strany}
  Rovnice
  \begin{equation}
    \label{eq:drlinnr_bezps}
    Ly = 0
  \end{equation}
  se nazývá \textbf{lineární diferenciální rovnice $n$-tého řádu bez pravé strany}.
 
  \index{rovnice diferenciální!lineární $n$-tého řádu!s~pravou stranou}
  Rovnice
  \begin{equation}
    \label{eq:drlinnr_sps}
    Ly = q(x)
  \end{equation}
  se nazývá \textbf{lineární diferenciální rovnice $n$-tého řádu s pravou stranou}.
\end{define}
 
\begin{remark}
  V~dalším textu budeme o~funkcích $p_j$ a $q$ předpokládat, že jsou spojité na nějakém otevřeném intervalu $I\subset\R$.
\end{remark}
 
\begin{remark}
  \label{rmrk:drlin_na_sysdrlin}
  Ukážeme, že lineární diferenciální rovnici $n$-tého řádu lze převést na soustavu $n$ lineárních diferenciálních rovnic 1.~řádu. Mějme diferenciální 
  rovnici \eqref{eq:drlinnr} s~počátečními podmínkami
  \begin{eqnarray*}
            y(x_0) &=& y_0^1\\
           y'(x_0) &=& y_0^2\\
                   &\vdots& \\
    y^{(n-1)}(x_0) &=& y_0^n
  \end{eqnarray*}
 
  Označme
  \begin{eqnarray*}
    y^1(x) &=& y(x) \\
    y^2(x) &=& y'(x) \\
           &\vdots& \\
    y^n(x) &=& y^{(n-1)}(x).
  \end{eqnarray*}
 
  Pak soustava 1.~řádu
  \begin{eqnarray*}
    (y^1)'     &=& y^2 \\
    (y^2)'     &=& y^3 \\
               &\vdots& \\
    (y^{n-1})' &=& y^n \\
    (y^n)'     &=& -p_n(x)y^1 - p_{n-1}(x)y^2 - \cdots - p_1(x)y^n + q(x)
  \end{eqnarray*}
  s~počátečními podmínkami
  \begin{eqnarray*}
    y^1(x_0) &=& y_0^1 \\
    y^2(x_0) &=& y_0^2 \\
             &\vdots& \\
    y^n(x_0) &=& y_0^n
  \end{eqnarray*}
  je ekvivalentní s~úlohou \eqref{eq:poculo3}, kde
  \[
    \mat{A}(x) = \left( \begin{matrix}
                 0    & 1        & 0        & 0        & \cdots & 0 \\
                 0    & 0        & 1        & 0        & \cdots & 0 \\
                      &          &          &          & \ddots &   \\
                 0    & 0        & 0        & 0        & \cdots & 1 \\
                 -p_n & -p_{n-1} & -p_{n-2} & -p_{n-3} & \cdots & -p_1
                 \end{matrix} \right)
    \qquad \text{a} \qquad
    b(x) = \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ q(x) \end{matrix} \right).
  \]
 
  Pak existence a jednoznačnost řešení této úlohy je dána příslušnou větou pro úlohu \eqref{eq:poculo3}, tj.~větou \ref{theo:exajedn_sysdrlin}.
\end{remark}
 
\begin{corollary}
  Nechť $(y_1,\ldots,y_l)$ jsou řešení \eqref{eq:drlinnr_bezps}. Pak $y=\sum\limits_{j=1}^l \alpha_j y_j$, kde $(\alpha_1,\ldots,\alpha_l)\in\R^l$, je řešením
  \eqref{eq:drlinnr_bezps}.
 
  \begin{proof}
    Zřejmě platí $(\forall j\in\widehat{l}) (Ly_j = 0)$. Odtud a z~linearity operátoru $L$ plyne
    \[
      \sum_{j=1}^l \alpha_j Ly_j = 0 = L \left( \sum_{j=1}^l \alpha_j y_j \right).
    \]
  \end{proof}
\end{corollary}
 
\begin{corollary}
  Nechť $z$ řeší \eqref{eq:drlinnr_sps}. Potom funkce $(y+z)$ řeší \eqref{eq:drlinnr_sps} právě tehdy, když $y$ řeší \eqref{eq:drlinnr_bezps}.
 
  \begin{proof}
    Podle předpokladů věty platí $Lz = q$.
    \begin{enumerate}[(1)]
      \item \underline{$\Rightarrow$:} $L(y+z) = q \Rightarrow Ly + Lz = q \Rightarrow Ly = 0$.
      \item \underline{$\Leftarrow$:} $Ly = 0 \Rightarrow Lz + Ly = q \Rightarrow L(y+z) = q$.
    \end{enumerate}
  \end{proof}
\end{corollary}
 
\begin{remark}
  Funkce $z$ se nazývá \emph{partikulární řešení rovnice} \eqref{eq:drlinnr_sps}.
  Funkce $y$ se někdy nazývá \emph{obecné řešení rovnice} \eqref{eq:drlinnr_bezps}. Blíže k~tomu, kdy nazveme funkci $y$ obecným řešením, 
  viz poznámka~\ref{rmrk:drlinnr_bezps_obecres}.
\end{remark}
 
 
 
 
% ****************************************************************************************************************************
%                             SEKCE: Řešení rovnice bez pravé strany
% ****************************************************************************************************************************
\section{Řešení rovnice bez pravé strany}
\begin{define}
  \index{funkce!lineárně závislé}
  \index{funkce!lineárně nezávislé}
  \label{def:lz_funkce}
  Nechť $k\in\N$, $f_j : I\to\R$, $j\in\widehat{k}$. Funkce $f_j$ jsou \textbf{lineárně závislé (LZ) na intervalu $I$} právě tehdy, když platí
  \[
    \Bigl( \exists \alpha_1,\ldots,\alpha_k \in\R \Bigr) \Bigl( \exists i_0\in\widehat{k} \Bigr) 
      \Bigl( \alpha_{i_0} \neq 0 \wedge \sum_{j=1}^k \alpha_j f_j(x) = 0, x \in I \Bigr).
  \]
 
  V~opačném případě jsou \textbf{lineárně nezávislé (LN) na $I$}.
\end{define}
 
\begin{remark}
  Nechť $J \subset I$. Pak jsou-li funkce $f_j$ LZ na $I$, jsou LZ také na $J$.
\end{remark}
 
\begin{example}
  \label{ex:ln_baze_pol}
  Uvažme funkce $1,x,x^2,\ldots,x^k$ na intervalu $(-1,1)$. Snadno si rozmyslíme, že tyto funkce jsou na každém intervalu LN, a tedy i na $(-1,1)$. 
  Fakt, že pro $x=0$ přejde soubor funkcí do tvaru $1,0,0,\ldots,0$, nemá vliv na lineární nezávislost funkcí na celém intervalu $(-1,1)$.
 
  Ukážeme, že funkce $1,x,x^2,\ldots,x^k$ jsou LN na libovolném intervalu $I$. Podle definice tedy zkoumáme, jaké musí být koeficienty lineární kombinace
  tak, aby platilo
  \[
    \sum_{j=1}^k \alpha_j x^{j-1} = 0
  \]
  pro všechna $x \in I$. Zderivujeme-li tuto rovnost $k$-krát, zjistíme, že odtud plyne $\alpha_k = 0$. Potom rovnost můžeme přepsat ve tvaru
  \[
    \sum_{j=1}^{k-1} \alpha_j x^{j-1} = 0.
  \]
  pro všechna $x \in I$. Rovnost opět zderivujeme, tentokrát $(k-1)$-krát, odkud vyplyne $\alpha_{k-1} = 0$. Tímto postupem nakonec ověříme, že má-li být
  rovnost splněna pro všechna $x \in I$, musí platit $\alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_k = 0$. Tedy funkce $1,x,x^2,\ldots,x^k$ jsou LN na libovolném intervalu.
\end{example}
 
\begin{define}
  \index{determinant!Wronskiho}
  \index{wronskián|see{determinant, Wronskiho}}
  Nechť $k\in\N$, $I\subset\R$ je otevřený, a nechť $\forall j\in\widehat{k}$ mají funkce $f_j : I\to\R$ derivace do řádu $k-1$. Funkce
  \[
    W(x) = W_{f_1,\ldots,f_k}(x) = \left| \begin{matrix}
                                     f_1(x)         & f_2(x)         & \cdots & f_k(x) \\
                                     f'_1(x)        & f'_2(x)        & \cdots & f'_k(x) \\
                                                    &                & \ddots & \\
                                     f^{(k-1)}_1(x) & f^{(k-1)}_2(x) & \cdots &f^{(k-1)}_k(x)
                                   \end{matrix} \right|
  \]
  se nazývá \textbf{Wrońskiho}\footnote{\textbf{Józef Maria Hoëne-Wroński} (1778--1853), polský filozof, matematik, fyzik, vynálezce, právník a ekonom.} 
  \textbf{determinant (wrońskián) funkcí $f_1,\ldots,f_k$ na intervalu $I$}.
\end{define}
 
\begin{remark}
  Matice wrońskiánu se také nazývá \emph{Wrońskiho matice}.
\end{remark}
 
 
\begin{theorem}
  \label{theo:lz_funkce}
  Nechť $k\in\N$, $f_j$ jsou na $I$ diferencovatelné do řádu $k-1$ pro všechna $j\in\widehat{k}$, $(f_1,\ldots,f_k)$ LZ na $I$. Pak
  \[
    \Bigl( \forall x \in I \Bigr) \Bigl( W_{f_1,\ldots,f_k}(x) = 0 \Bigr).
  \]
 
  \begin{proof}
    Protože $(f_1,\ldots,f_k)$ LZ na $I$, pak podle definice 
    \[
      \Bigl( \exists \alpha_1,\ldots,\alpha_k \Bigr) \Bigl( \exists i_0\in\widehat{k} \Bigr)
        \Bigl( \alpha_{i_0} \neq 0 \wedge \forall x \in I: \sum_{j=1}^k \alpha_j f_j(x) = 0 \Bigr).
    \]
    Z~předpokladu diferencovatelnosti pak také plyne, že $\forall x \in I$ a $\forall l\in\widehat{k-1}$ platí
    \[
      \sum_{j=1}^k \alpha_j f^{(l)}_j(x) = 0.
    \]
    Vidíme tedy, že sloupce Wrońskiho determinantu jsou LZ (pro každé $x \in I$ a se stejnými koeficienty $\alpha_i$). Proto musí platit
    \[
      W_{f_1,\ldots,f_k}(x) = 0, \qquad \forall x \in I,
    \]
    což jsme chtěli dokázat.
  \end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
  Předchozí větu jsme vyslovili ve formě implikace. Snadno si rozmyslíme, že opačná implikace za daných předpokladů neplatí.
 
  Uvažme např.~funkce $f_1(x) = x^3$ a $f_2(x) = \abs{x^3}$. Tyto funkce jsou na intervalu $(-1,1)$ LN. Spočtěme nyní wrońskián funkcí 
  $f_1$ a $f_2$ na intervalu $(-1,1)$. Nejdříve uvážíme, že platí
  \begin{eqnarray*}
    f_1(x) &=& f_2(x) \qquad \text{pro } x \geq 0, \\
    f_1(x) &=& -f_2(x) \qquad \text{pro } x < 0.
  \end{eqnarray*}
  Zřejmě tedy
  \begin{eqnarray*}
    W_{f_1,f_2}(x) &=& \left|\begin{matrix} x^3 & x^3 \\ 3x^2 & 3x^2 \end{matrix}\right| = 0 \qquad \text{pro } x > 0, \\
    W_{f_1,f_2}(x) &=& \left|\begin{matrix} x^3 & -x^3 \\ 3x^2 & -3x^2 \end{matrix}\right| = 0 \qquad \text{pro } x < 0, \\
    W_{f_1,f_2}(0) &=& 0.
  \end{eqnarray*}
  Vidíme tedy, že $W_{f_1,f_2}(x) = 0$ pro všechna $x \in (-1,1)$ i přesto, že funkce $f_1$ a $f_2$ jsou na $(-1,1)$ LN.
\end{remark}
 
\begin{remark}
    V~poznámce \ref{rmrk:drlin_na_sysdrlin} jsme převedli řešení počáteční úlohy pro rovnici \eqref{eq:drlinnr} na řešení počáteční úlohy
    příslušné soustavy lineárních diferenciálních rovnic 1.~řádu. Dále se budeme zabývat počáteční úlohou pro rovnici \eqref{eq:drlinnr},
    kterou zapíšeme ve tvaru
    \begin{equation}
    \label{eq:poculo4}
    \begin{array}{rcl}
      y^{(n)} + p_1(x)y^{(n-1)} + \cdots + p_n(x)y &=& q(x), \\
                                            y(x_0) &=& y_0, \\
                                           y'(x_0) &=& y_1, \\
                                                   &\vdots& \\
                                    y^{(n-1)}(x_0) &=& y_{n-1}.
    \end{array}
  \end{equation}
\end{remark}
 
\begin{remark}
  \label{rmrk:o_reseni_drlinnr_bezps}
  Několik poznámek k~rovnici bez pravé strany \eqref{eq:drlinnr_bezps}.
  \begin{enumerate}[(1)]
    \item Funkce definovaná předpisem $y(x) = 0$ pro $\forall x \in I$, řeší \eqref{eq:drlinnr_bezps}.
 
    \item Pro $q \equiv 0$ a $y_0=0,y_1=0,\ldots,y_{n-1}=0$ v~úloze \eqref{eq:poculo4} platí
      \[
        \Bigl( \exists_1 \text{ řešení \eqref{eq:poculo4} } Y=Y(x) \Bigr) \Bigl( \forall x \in I \Bigr) \Bigl( Y(x) = 0 \Bigr).
      \]
 
      \begin{proof} 
        Z~poznámky \ref{rmrk:drlin_na_sysdrlin} a z~věty \ref{theo:exajedn_sysdrlin} plyne pro \eqref{eq:poculo4} existence právě jednoho řešení 
        $y=y(x)$ na $I$. Z~bodu (1) této poznámky plyne, že $Y \equiv 0$ (na $I$) řeší rovnici bez pravé strany, 
        tj.~rovnici $Ly=0$. Funkce $Y$ zřejmě vyhovuje i daným počátečním podmínkám. Odtud tedy plyne
        \[
          \Bigl( \forall x \in I \Bigr) \Bigl( Y(x) = y(x) = 0 \Bigr),
        \]
        což jsme chtěli dokázat.
      \end{proof}
 
      \item Nechť $y_1,\ldots,y_k$ řeší \eqref{eq:drlinnr_bezps} na $I$, $k \geq n$ a nechť
        \[
          W_{y_1,\ldots,y_k}(x_0) = 0 \qquad \text{pro nějaké } x_0 \in I.
        \]
        To znamená, že sloupce matice
        \[
          \left( \begin{matrix}
            y_1(x_0)         & y_2(x_0)         & \cdots & y_k(x_0) \\
            y'_1(x_0)        & y'_2(x_0)        & \cdots & y'_k(x_0) \\
                             &                  & \ddots & \\
            y^{(k-1)}_1(x_0) & y^{(k-1)}_2(x_0) & \cdots &y^{(k-1)}_k(x_0)
          \end{matrix} \right)
        \]
        jsou LZ, tj.
        \[
          \Bigl( \exists \alpha_1,\ldots,\alpha_k \in\R \Bigr) \Bigl( \exists i_0\in\widehat{k} \Bigr) 
            \Bigl( \alpha_{i_0} \neq 0 \wedge \Bigl( \forall l=0,1,~\ldots,k-1 \Bigr) \Bigl( \sum_{j=1}^k \alpha_j y_j^{(l)}(x_0) = 0 \Bigr) \Bigr).
        \]
        Označme $Y(x) = \sum\limits_{j=1}^k \alpha_j y_j(x)$ pro $\forall x \in I$. Potom zřejmě $Y(x_0) = 0, \ldots, Y^{(k-1)}(x_0) = 0$ a $Y$ řeší 
        \eqref{eq:drlinnr_bezps}. Protože $k \geq n$, pak z~bodu (2) této poznámky plyne, že $Y(x) = 0$ pro všechna $x \in I$. Odtud potom
        \[
          \Bigl( \forall x \in I \Bigr) \Bigl( W_{y_1,\ldots,y_k}(x) = 0 \Bigr).
        \]
  \end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{theorem}
  Nechť $y_1,\ldots,y_n$ jsou řešení \eqref{eq:drlinnr_bezps} na intervalu $I$:
  \[
    y^{(n)} + p_1(x)y^{(n-1)} + \cdots + p_n(x)y = 0.
  \]
  Pak platí buď 
  \[
    \Bigl( \forall x \in I \Bigr) \Bigl( W_{y_1,\ldots,y_n}(x) = 0 \Bigr)
  \]
  nebo
  \[
    \Bigl( \forall x \in I \Bigr) \Bigl( W_{y_1,\ldots,y_n}(x) \neq 0 \Bigr).
  \]
 
  \begin{proof}
    Mohou nastat dvě možnosti. Buď $(\exists x_0 \in I)(W_{y_1,\ldots,y_n}(x_0) = 0)$ a potom z~předchozí poznámky (z~bodu (3)) plyne
    \[
      \Bigl( \forall x \in I \Bigr) \Bigl( W_{y_1,\ldots,y_n}(x) = 0 \Bigr),
    \]
    anebo takové $x_0$ neexistuje, tj.~platí
    \[
      \Bigl( \forall x \in I \Bigr) \Bigl( W_{y_1,\ldots,y_n}(x) \neq 0 \Bigr).
    \]
  \end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
  Nechť $y_1,\ldots,y_n$ řeší \eqref{eq:drlinnr_bezps} na $I$. Potom podle předchozí věty platí buď $W_{y_1,\ldots,y_n}(x) = 0$ anebo 
  $W_{y_1,\ldots,y_n}(x) \neq 0$ pro všechna $x \in I$.
 
  \begin{enumerate}[(a)]
%\item
    \item Uvažme nejdříve první případ, tj.~nechť platí $(\forall x \in I) (W_{y_1,\ldots,y_n}(x) = 0)$. Zvolme $x_0 \in I$, $W(x_0) = 0$, pak zřejmě
      existují koeficienty $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ a $\exists i_0\in\widehat{n}, \alpha_{i_0} \neq 0$ tak, že 
      \[
        \sum_{j=1}^n \alpha_j y_j^{(l)}(x_0) = 0, \qquad \forall l = 0,1,\ldots,n-1.
      \]
      Definujme
      \[
        Y(x) = \sum_{j=1}^n \alpha_j y_j(x).
      \]
 
      Platí $(\forall l = 0,1,\ldots,n-1) (Y^{(l)}(x_0) = 0)$ a z~poznámky \ref{rmrk:o_reseni_drlinnr_bezps} (bod (2)) plyne $Y(x) = 0$ pro všechna
      $x \in I$. Dohromady dostáváme
      \[
        \Bigl( \exists \alpha_1,\ldots,\alpha_n \in \R \Bigr) \Bigl( \exists i_0\in\widehat{n} \Bigr) 
          \Bigl( \alpha_{i_0} \neq 0 \wedge \forall x \in I : \sum_{j=1}^n \alpha_j y_j(x) = 0 \Bigl).
      \]
      To znamená, že funkce $(y_1,\ldots,y_n)$ jsou LZ na $I$.
 
      Spojíme-li dosažený výsledek s~větou \ref{theo:lz_funkce}, dostaneme kritérium pro lineární závislost funkcí na intervalu $I$. Nechť $y_1,\ldots,y_n$ řeší 
      \eqref{eq:drlinnr_bezps} na $I$. Potom
      \[
        \text{$(y_1,\ldots,y_n)$ jsou LZ na $I$} \Leftrightarrow \Bigl( \forall x \in I \Bigr) \Bigl( W_{y_1,\ldots,y_n}(x) = 0 \Bigr).
      \]
%\item
    \item Nechť nyní nastává druhá možnost, tj.~pro všechna $x \in I$ platí $W_{y_1,\ldots,y_n}(x) \neq 0$. Snadno dospějeme k~závěru, že
      \[
        \text{$(y_1,\ldots,y_n)$ jsou LN na $I$} \Leftrightarrow \Bigl( \forall x \in I \Bigr) \Bigl( W_{y_1,\ldots,y_n}(x) \neq 0 \Bigr).
      \]
  \end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{define}
  \index{systém!fundamentální}
  Soubor řešení $y_1,\ldots,y_n$ na intervalu $I$ rovnice
  \begin{equation}
    \tag{\ref{eq:drlinnr_bezps}}
    y^{(n)} + p_1(x)y^{(n-1)} + \cdots + p_n(x)y = 0
  \end{equation}
  se nazývá \textbf{fundamentální systém} (FS) právě tehdy, když funkce $y_1,\ldots,y_n$ jsou LN na $I$.
\end{define}
 
\begin{theorem}
  Je-li $(y_1,\ldots,y_n)$ fundamentální systém na $I$, pak každé řešení $y=y(x)$ rovnice \eqref{eq:drlinnr_bezps} na $I$ lze jednoznačně vyjádřit ve tvaru
  \[
    y(x) = \sum_{j=1}^n \alpha_j y_j(x), \qquad \forall x \in I.
  \]
 
  \begin{proof}
    Nechť $y=y(x)$ řeší \eqref{eq:drlinnr_bezps} na $I$. Potom zřejmě existují derivace $y',\ldots,y^{(n-1)},y^{(n)}$ na $I$. Pro zvolené $x_0 \in I$
    vyčíslíme hodnoty $y(x_0),y'(x_0),\ldots,y^{(n-1)}(x_0)$. Protože $(y_1,\ldots,y_n)$ je FS, pak $W_{y_1,\ldots,y_n}(x_0) \neq 0$. Potom soustava
    rovnic
    \[
      \sum_{j=1}^n \alpha_j y_j^{(l)}(x_0) = y^{(l)}(x_0), \qquad l = 0,1,\ldots,n-1
    \]
    má právě jedno řešení $\alpha_1,\ldots,\alpha_n \in \R$ (matice této soustavy je totiž Wrońskiho matice, a ta je regulární).
 
    Označme 
    \[
      Y(x) = \sum_{j=1}^n \alpha_j y_j(x), \qquad \text{pro každé } x \in I.
    \]
    Potom musí platit $Y^{(l)}(x_0) = y^{(l)}(x_0)$, pro ostatní $x \in I$ zatím nevíme. Definujme
    \[
      z(x) = Y(x) - y(x).
    \]
    Pak $z$ řeší rovnici \eqref{eq:drlinnr_bezps} s~počátečními podmínkami: $z(x_0) = 0, z'(x_0) = 0, \ldots, z^{(n-1)}(x_0) = 0$. Z~poznámky 
    \ref{rmrk:o_reseni_drlinnr_bezps} (z~bodu (2)) pak plyne
    \[
      \Bigl( \forall x \in I \Bigr) \Bigl( z(x) = 0 \Bigr) \Rightarrow \Bigl( \forall x \in I \Bigr) \Bigl( Y(x) = y(x) \Bigr).
    \]
    To tedy znamená
    \[
      \Bigl( \forall x \in I \Bigr) \Bigl( y(x) = \sum_{j=1}^n \alpha_j y_j(x) \Bigr).
    \]
    Tím je důkaz věty dokončen.
  \end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
  Z~právě uvedené věty plyne, že každý soubor $(Y_1,\ldots,Y_m)$, $m>n$, funkcí, jež řeší rovnici \eqref{eq:drlinnr_bezps} na $I$, musí být na $I$ LZ.
\end{remark}
 
\begin{remark}
  \label{rmrk:drlinnr_bezps_obecres}
  Nechť $(y_1,\ldots,y_n)$ je FS řešení rovnice bez pravé strany. Potom funkci 
  \[
    y = \sum_{i=1}^n \alpha_i y_i
  \]
  nazveme \emph{obecným řešením diferenciální rovnice} \eqref{eq:drlinnr_bezps}.
\end{remark}
 
\begin{remark}
  Podle předchozí věty platí, že máme-li fundamentální systém $(y_1,\ldots,y_n)$, můžeme libovolné řešení rovnice \eqref{eq:drlinnr_bezps} získat jako 
  jeho lineární kombinaci. Fundamentální systém tedy tvoří bázi lineárního prostoru a nabízí se otázka volby jiné báze (tj.~jiného FS). Tím se zabývá 
  následující věta.
\end{remark}
 
\begin{theorem}
  Nechť $y_1,\ldots,y_n$ jsou řešení \eqref{eq:drlinnr_bezps} a jsou LN (tj.~tvoří FS). Nechť dále
  \[
    Y_j(x) = \sum_{i=1}^n c_{ji} y_i(x), \qquad \forall j\in\widehat{n}, \forall x \in I.
  \]
  Potom
  \[
    W_{Y_1,\ldots,Y_n}(x) = \left| \begin{matrix} c_{11} & \cdots & c_{1n} \\ &\ddots& \\ c_{n1} & \cdots & c_{nn} \end{matrix} \right| \cdot W_{y_1,\ldots,y_n}(x), \qquad \forall x \in I
  \]
  a $(Y_1,\ldots,Y_n)$ je FS právě tehdy, když 
  \[
    \left| \begin{matrix} c_{11} & \cdots & c_{1n} \\ &\ddots& \\ c_{n1} & \cdots & c_{nn} \end{matrix} \right| \neq 0.
  \]
 
  \begin{proof}
    Označme $\forall x \in I$ a $\forall j\in\widehat{n}$
    \[
      Y_j^{(l)}(x) = \sum_{i=1}^n c_{ji} y_i^{(l)}(x), \qquad l=0,1,\ldots,n-1.
    \]
    Potom $\forall x \in I$
    \begin{eqnarray*}
      W_{Y_1,\ldots,Y_n}(x) 
        &=& 
        \left|
        \left( \begin{matrix} y_1(x) & \cdots & y_k(x) \\ y'_1(x) & \cdots & y'_k(x) \\ & \ddots & \\ y^{(n-1)}_1(x) & \cdots &y^{(n-1)}_k(x) \end{matrix} \right)
        \cdot
        \left( \begin{matrix} c_{11} & \cdots & c_{n1} \\ c_{12} & \cdots & c_{n2} \\ &\ddots& \\ c_{1n} & \cdots & c_{nn} \end{matrix} \right) 
        \right| \\
        &=& \ub{W_{y_1,\ldots,y_n}(x)}_{\neq 0} \left| \begin{matrix} c_{11} & \cdots & c_{1n} \\ &\ddots& \\ c_{n1} & \cdots & c_{nn} \end{matrix} \right|
    \end{eqnarray*}
    Odtud je již přímo vidět, že $(Y_1,\ldots,Y_n)$ je FS právě tehdy, když 
    $\left| \begin{matrix} c_{11} & \cdots & c_{1n} \\ &\ddots& \\ c_{n1} & \cdots & c_{nn} \end{matrix} \right| \neq 0$.
  \end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
  \label{rmrk:der_det}
  Nechť $\mat{A}(x) = \left( \begin{matrix} a_{11}(x) & \cdots & a_{1n}(x) \\ &\ddots& \\ a_{n1}(x) & \cdots & a_{nn}(x) \end{matrix} \right)$ je maticová funkce. Potom
  \begin{eqnarray*}
    \frac{\dif}{\dif x} \Bigl( \det\mat{A}(x) \Bigr)
      &=& \frac{\dif}{\dif x} \left( \sum_{\pi} \sgn\pi \ a_{1\pi(1)}(x) a_{2\pi(2)}(x) \cdots a_{n\pi(n)}(x) \right) \\
      &=& \sum_{\pi} \sgn\pi \sum_{i=1}^n a_{1\pi(1)}(x) \cdots \frac{\dif a_{i\pi(i)}(x)}{\dif x} \cdots a_{n\pi(n)}(x) \\
      &=& \sum_{i=1}^n \sum_{\pi} \sgn\pi \ a_{1\pi(1)}(x) \cdots \frac{\dif a_{i\pi(i)}(x)}{\dif x} \cdots a_{n\pi(n)}(x) \\
      &=& \sum_{i=1}^n 
        \left| \begin{matrix} 
          a_{11}(x)  & \cdots & a_{1n}(x) \\ 
              \vdots &        & \vdots \\ 
          a'_{i1}(x) & \cdots & a'_{in}(x) \\ 
              \vdots &        & \vdots \\ 
          a_{n1}(x)  & \cdots & a_{nn}(x) 
        \end{matrix} \right|.
  \end{eqnarray*}
\end{remark}
 
\begin{theorem}
  Nechť $y_1,\ldots,y_n$ jsou řešení \eqref{eq:drlinnr_bezps} na $I$, $x_0\in I$.
  Potom
  \[
    W_{y_1,\ldots,y_n}(x) = W_{y_1,\ldots,y_n}(x_0) \me^{-\int_{x_0}^x p_1(t) \dif t}.
  \]
 
  \begin{proof}
    Podle poznámky \ref{rmrk:der_det} určíme
    \begin{eqnarray*}
      \frac{\dif}{\dif x} \Bigl( W_{y_1,\ldots,y_n}(x) \Bigr)
        &=& 
          \sum_{l=0}^{n-1} 
            \left| \begin{matrix} 
                     y_1(x)  & \cdots & y_n(x) \\
                      \vdots &        & \vdots \\
              y^{(l+1)}_1(x) & \cdots & y^{(l+1)}_n(x) \\
              y^{(l+1)}_1(x) & \cdots & y^{(l+1)}_n(x) \\
                      \vdots &        & \vdots \\
              y^{(n-1)}_1(x) & \cdots & y^{(n-1)}_n(x)
            \end{matrix} \right|
            \begin{matrix} \vdots \\ \vdots \\ \leftarrow \text{$(l+1)$-ní řádek} \\ \leftarrow \text{$(l+2)$-hý řádek} \\ \vdots \\ \vdots \end{matrix} \\
        &=& 
          \left| \begin{matrix} 
                   y_1(x)  & \cdots & y_n(x) \\
                  y'_1(x)  & \cdots & y'_n(x) \\
                    \vdots &        & \vdots \\
            y^{(n-2)}_1(x) & \cdots & y^{(n-2)}_n(x) \\
              y^{(n)}_1(x) & \cdots & y^{(n)}_n(x)
          \end{matrix} \right|.
    \end{eqnarray*}
    Snadno si totiž rozmyslíme, že všechny subdeterminanty v~sumě, až na ten poslední (tj.~pro $l=n-1$), jsou subdeterminanty z~matic, které mají vždy alespoň
    dva řádky stejné. Rovněž si můžeme povšimnout, že výsledný determinant se liší od determinantu $W_{y_1,\ldots,y_n}(x)$ pouze na posledním řádku.
 
    Protože $y_1,\ldots,y_n$ řeší \eqref{eq:drlinnr_bezps} na $I$, lze zřejmě psát $\forall i\in\widehat{n}$
    \[
      y_i^{(n)}(x) + \sum_{j=1}^n p_j(x) y_i^{(n-j)}(x) = 0, \qquad x \in I.
    \]
    Odtud můžeme dosadit za $y_i^{(n)}$ do vztahu pro $\dfrac{\dif}{\dif x} \Bigl( W_{y_1,\ldots,y_n}(x) \Bigr)$ a po úpravě podle pravidel práce s~determinanty
    dostaneme
    \[
      \frac{\dif}{\dif x} \Bigl( W_{y_1,\ldots,y_n}(x) \Bigr)
        = 
          - \sum_{j=1}^{n} p_j(x) 
            \left| \begin{matrix} 
                     y_1(x)  & \cdots & y_n(x) \\
                      \vdots &        & \vdots \\
              y^{(n-2)}_1(x) & \cdots & y^{(n-2)}_n(x) \\
              y^{(n-j)}_1(x) & \cdots & y^{(n-j)}_n(x)
            \end{matrix} \right|
        = -p_1(x) W_{y_1,\ldots,y_n}(x).
    \]
    Dostali jsme tedy lineární diferenciální rovnici 1.~řádu bez pravé strany, tato rovnice je separovatelná a snadno ověříme, že jejím řešením je
    \[
      W_{y_1,\ldots,y_n}(x) = W_{y_1,\ldots,y_n}(x_0) \exp \left\{ -\int_{x_0}^x p_1(t) \dif t \right\},
    \]
    což jsme chtěli dokázat.
  \end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
  Vzorec z~předchozí věty zřejmě platí i pro $(y_1,\ldots,y_n)$ LZ na $I$. V~tom případě totiž podle definice musí platit $W(x) = 0$ pro všechna $x \in I$. 
  Speciálně tedy také $W(x_0) = 0$. Dosadíme-li do vzorce z~předchozí věty za $W(x_0) = 0$ zjistíme, že je tato podmínka splněna.
\end{remark}
 
\begin{remark}
  Zamysleme se nyní nad následující otázkou: Máme-li $n$ funkcí $y_1,\ldots,y_n$, které jsou na nějakém otevřeném intervalu $I$ LN a mají na něm derivace do
  $n$-tého řádu včetně, zda existuje nějaká diferenciální rovnice bez pravé strany taková, že $(y_1,\ldots,y_n)$ je její FS. To nám prozradí následující věta.
\end{remark}
 
\begin{theorem}
  Nechť $y_1,\ldots,y_n$ mají na otevřeném intervalu $I$ spojité derivace $n$-tého řádu a nechť $W_{y_1,\ldots,y_n}(x) \neq 0$, $\forall x \in I$.
  Potom existuje právě jedna diferenciální rovnice
  \[
    Ly = 0
  \]
  tak, že na intervalu $I$ ji funkce $y_1,\ldots,y_n$ řeší.
 
  \begin{proof}
    Je třeba ukázat existenci a jednoznačnost.
    \begin{enumerate}[(1)]
%\item EXISTENCE
      \item Nejdříve ukážeme existenci, a to tak, že příslušnou rovnici sestrojíme. Uvažme
        \[
          W_{y,y_1,\ldots,y_n}(x) 
            = 
              \left| \begin{matrix}
                y(x)         & y_1(x)         & \cdots & y_n(x) \\
                y'(x)        & y'_1(x)        & \cdots & y'_n(x) \\
                             &                & \ddots & \\
                y^{(n-1)}(x) & y^{(n-1)}_1(x) & \cdots & y^{(n-1)}_n(x) \\
                y^{(n)}(x)   & y^{(n)}_1(x)   & \cdots & y^{(n)}_n(x) \\
              \end{matrix} \right|.
        \]
        Provedeme rozvoj uvedeného determinantu podle prvního sloupce (viz~\cite[Věta 82]{pytlicek}). Dostaneme 
        \[
          W_{y,y_1,\ldots,y_n}(x) = \sum_{l=0}^{n-1} (-1)^l y^{(l)}(x) W_l(x) + (-1)^n y^{(n)}(x) W_{y_1,\ldots,y_n}(x),
        \]
        kde $W_l(x)$ je determinant matice, která vznikne z~matice determinantu $W_{y,y_1,\ldots,y_n}(x)$ vynecháním prvního sloupce a $(l+1)$-ního řádku.
        Snadno si rozmyslíme, že
        \[
          \Bigl( \forall i\in\widehat{n} \Bigr) \Bigl( W_{y_i,y_1,\ldots,y_n} (x) = 0 \Bigr).
        \]
        Z~předpokladů věty máme na $I$ zaručeno $W_{y_1,\ldots,y_n}(x) \neq 0$. Položme pro $\forall j\in\widehat{n}$
        \[
          p_j(x) = \frac{(-1)^j W_{n-j}(x)}{W_{y_1,\ldots,y_n}(x)}.
        \]
        Takto definované funkce $p_j$ jsou zřejmě spojité. Potom rovnice 
        \[
          y^{(n)} + p_1(x)y^{(n-1)} + \cdots + p_n(x)y = 0
        \]
        je lineární diferenciální rovnice $n$-tého řádu s~fundamentálním systémem $(y_1,\ldots,y_n)$.
 
%\item JEDNOZNAČNOST
      \item Zbývá dokázat jednoznačnost. Důkaz se provede, jako obvykle, sporem. Nechť tedy funkce $y_1,\ldots,y_n$ řeší dvě různé diferenciální rovnice
        \begin{eqnarray*}
          y^{(n)} + p_1(x)y^{(n-1)} + \cdots + p_n(x)y &=& 0, \\
          y^{(n)} + r_1(x)y^{(n-1)} + \cdots + r_n(x)y &=& 0.
        \end{eqnarray*}
        Odečtením obou rovnic dostaneme diferenciální rovnici
        \[
          (p_k(x)-r_k(x)) y^{(n-k)} + \cdots + (p_n(x) - r_n(x)) y = 0,
        \]
        kde $k = \min\{ j \ | \ p_j(x) \neq r_j(x) \}$, tzn.~$k$ je nejnižší index, kde se koeficienty $p_k$ a $r_k$ liší. Zřejmě platí $k \geq 1$. Je tedy vidět,
        že funkce $y_1,\ldots,y_n$ řeší diferenciální rovnici $(n-k)$-tého řádu a přitom jsou na $I$ LN, a to je spor.
    \end{enumerate}
  \end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{example}
  Najdeme lineární diferenciální rovnici 3.~řádu, jejíž fundamentální systém je tvořen funkcemi $x$, $x^2$ a $\me^x$.
 
  Podle důkazu předchozí věty lze tuto rovnici zapsat ve tvaru
  \[
    \frac{1}{(-1)^3 \ W(x)} 
      \left| \begin{matrix} 
        y    & x & x^2 & \me^x \\
        y'   & 1 & 2x  & \me^x \\
        y''  & 0 & 2   & \me^x \\
        y''' & 0 & 0   & \me^x
      \end{matrix} \right| 
    = 0,
  \]
  kde 
  \[
    W(x) =       
      \left| \begin{matrix} 
        x & x^2 & \me^x \\
        1 & 2x  & \me^x \\
        0 & 2   & \me^x
      \end{matrix} \right| 
    = (x^2 - 2x + 2) \me^x.
  \]
  Provedeme-li v~hledané diferenciální rovnici rozvoj determinantu podle 1.~sloupce, dostaneme
  \[
    \frac{-1}{W(x)} \left\{ 
      y
        \left| \begin{matrix}
          1 & 2x  & \me^x \\
          0 & 2   & \me^x \\
          0 & 0   & \me^x
        \end{matrix}\right| 
      - y'
        \left| \begin{matrix}
          x & x^2 & \me^x \\
          0 & 2   & \me^x \\
          0 & 0   & \me^x
        \end{matrix}\right|
      + y''
        \left| \begin{matrix}
          x & x^2 & \me^x \\
          1 & 2x  & \me^x \\
          0 & 0   & \me^x
        \end{matrix}\right| 
      - y'''
        \left| \begin{matrix}
          x & x^2 & \me^x \\
          1 & 2x  & \me^x \\
          0 & 2   & \me^x
        \end{matrix}\right|  
    \right\} = 0.
  \]
 
  Po úpravě a výpočtu příslušných determinantů dostaneme výslednou rovnici ve tvaru
  \[
    y''' - \frac{x^2}{x^2-2x+2} y'' + \frac{2x}{x^2-2x+2} y' - \frac{2}{x^2-2x+2} y = 0.
  \]
\end{example}
 
 
 
 
% ****************************************************************************************************************************
%                             SEKCE: Řešení rovnice s pravou stranou
% ****************************************************************************************************************************
\section{Řešení rovnice s~pravou stranou}
\begin{remark}[\textbf{Metoda variace konstant} (Lagrange\footnote{\textbf{Joseph-Louis Lagrange} (1736--1813), italsko-francouzský matematik a astronom.})]
  \index{metoda!variace konstant}
  \label{rmrk:var_konst_lindr_n}
  Uvažujeme diferenciální rovnici tvaru
  \begin{equation}
    \tag{\ref{eq:drlinnr_sps}}
    y^{(n)} + p_1(x)y^{(n-1)} + \cdots + p_n(x)y = q(x)
  \end{equation}
  a nechť $(y_1,\ldots,y_n)$ je FS příslušné rovnice bez pravé strany \eqref{eq:drlinnr_bezps}.
 
  Hledáme řešení \eqref{eq:drlinnr_sps} ve tvaru
  \begin{equation}
    z(x) = \sum_{j=1}^n c_j(x) y_j(x),
  \end{equation}
  kde $c_j(x)$ jsou zatím neurčené funkce. Řešíme rovnici $n$-tého řádu, a proto potřebujeme derivace $z$ až do $n$-tého řádu. První
  derivací získáme
  \[
    z'(x) = \sum_{j=1}^n c_j(x) y'_j(x) + \sum_{j=1}^n c'_j(x) y_j(x).
  \]
  V~poznámce \ref{rmrk:drlin1r_postup2}, kde jsme řešili lineární diferenciální rovnici 1.~řádu s~pravou stranou, jsme na funkci $D(x)$, 
  jejíž roli zde sehrávají právě funkce $c_j(x)$, kladli jednu dodatečnou podmínku. Snadno si rozmyslíme, že v~případě rovnice $n$-tého 
  řádu můžeme klást až $n$ podmínek. Podmínky samozřejmě volíme tak, aby nám maximálně usnadnily hledání funkcí $c_j(x)$. Nechť tedy platí
  \[
    \sum_{j=1}^n c'_j(x) y_j(x) = 0.
  \]
 
  Potom druhou derivací (s~přihlédnutím k~právě uvedené doplňující podmínce) obdržíme vztah
  \[
    z''(x) = \sum_{j=1}^n c_j(x) y''_j(x) + \sum_{j=1}^n c'_j(x) y'_j(x).
  \]
  Analogicky jako v~prvním kroku požadujeme splnění podmínky
  \[
    \sum_{j=1}^n c'_j(x) y'_j(x) = 0.
  \]
 
  Tímto způsobem postupujeme dále. V~$(n-1)$-ním kroku dostaneme
  \[
    z^{(n-1)}(x) = \sum_{j=1}^n c_j(x) y^{(n-1)}_j(x) + \sum_{j=1}^n c'_j(x) y^{(n-2)}_j(x),
  \]
  přičemž požadujeme splnění podmínky
  \[
    \sum_{j=1}^n c'_j(x) y^{(n-2)}_j(x) = 0.
  \]
 
  V~posledním, $n$-tém kroku už jen spočítáme vztah pro $n$-tou derivaci
  \[
    z^{(n)} = \sum_{j=1}^n c_j(x) y^{(n)}_j(x) + \sum_{j=1}^n c'_j(x) y^{(n-1)}_j(x).
  \]
 
  Odtud tedy dostáváme
  \[
    Lz = \sum_{j=1}^n c_j(x) \ub{Ly_j}_{=0} + \sum_{j=1}^n c'_j(x) y^{(n-1)}_j(x) = q(x),
  \]
  kde jsme využili toho, že funkce $z$ má řešit rovnici \eqref{eq:drlinnr_sps}. Dostáváme pak soustavu $n$ lineárních rovnic pro $n$ 
  neznámých $c'_1(x),\ldots,c'_n(x)$ ve tvaru
  \begin{eqnarray*}
    \sum_{j=1}^n c'_j(x) y_j(x)         &=& 0 \\
    \sum_{j=1}^n c'_j(x) y'_j(x)        &=& 0 \\
                                        &\vdots& \\
    \sum_{j=1}^n c'_j(x) y^{(n-1)}_j(x) &=& q(x)
  \end{eqnarray*}
  Matice soustavy je regulární, protože je přímo maticí wrońskiánu $W_{y_1,\ldots,y_n}(x)$, o~němž víme, že je nenulový ($(y_1,\ldots,y_n)$ je FS).
  Existuje tedy právě jedno řešení $c'_1(x),\ldots,c'_n(x)$. Podle Cramerova\footnote{\textbf{Gabriel Cramer} (1704–-1752), švýcarský matematik.} 
  pravidla (viz~\cite[Věta 83]{pytlicek}) tedy platí
  \[
    c'_j(x) = \frac{W_j(x)}{W_{y_1,\ldots,y_n}(x)},
  \]
  kde $W_j(x)$ je determinant matice, která vznikne z~matice soustavy nahradíme-li $j$-tý sloupec sloupcem pravých stran. Odtud potom dostaneme
  \[
    c_j(x) = \int_{x_0}^x \frac{W_j(\xi)}{W_{y_1,\ldots,y_n}(\xi)} \dif\xi + d_j.
  \]
  Obecné řešení rovnice \eqref{eq:drlinnr_sps} máme ve tvaru
  \[
    z(x) = \sum_{j=1}^n \left[ \int_{x_0}^x \frac{W_j(\xi)}{W_{y_1,\ldots,y_n}(\xi)} \dif\xi \right] y_j(x) + \sum_{j=1}^n d_j y_j(x).
  \]
\end{remark}
 
\begin{remark}
  V~předchozí větě jsme se zabývali konstrukcí řešení rovnice \eqref{eq:drlinnr_sps}, přičemž jsme předpokládali, že máme k~dispozici
  fundamentální systém $(y_1,\ldots,y_n)$. Nyní ukážeme, jakým způsobem takový fundamentální systém získáme. Řešme počáteční úlohy tvaru
  \begin{eqnarray*}
    y^{(n)} + p_1(x) y^{(n-1)} + \cdots + p_n(x) y &=& 0, \\
    \left( \begin{matrix} y(x_0) \\ y'(x_0) \\ \vdots \\ y^{(n-1)}(x_0) \end{matrix} \right) &=& \vec{e}_j,
  \end{eqnarray*}
  pro všechna $j\in\widehat{n}$. Zde $\vec{e}_j$ značí $j$-tý vektor standardní báze. Odtud získáme $n$ řešení $y_1,\ldots,y_n$. Vzhledem 
  k~počátečním podmínkám zřejmě platí $W_{y_1,\ldots,y_n}(x_0) \neq 0$ a z~poznámky \ref{rmrk:o_reseni_drlinnr_bezps} (bod (3)) plyne 
  $W_{y_1,\ldots,y_n}(x) \neq 0$ pro všechna $x \in I$ (kde $I$ je nějaký otevřený interval, na kterém hledáme řešení). Potom funkce 
  $y_1,\ldots,y_n$ jsou LN na $I$ a podle definice tedy tvoří fundamentální systém.
 
  Na závěr jen podotkněme, že naši úvahu by bylo možné zobecnit i pro volbu vektorů libovolné báze (ne standardní).
\end{remark}
 
 
 
 
% ****************************************************************************************************************************
%                             SEKCE: Lineární diferenciální rovnice $n$-tého řádu s konstantními koeficienty
% ****************************************************************************************************************************
\section{Lineární diferenciální rovnice $n$-tého řádu s~konstantními koeficienty}
\begin{define}
  \label{def:drlinnr_kk}
  \index{rovnice diferenciální!lineární $n$-tého řádu!s~konstantními koeficienty}
  Nechť $a_0 \neq 0$, $a_j\in\R$, $j\in\widehat{n}_0$, $q : (\R) \to \R$ je spojitá funkce. Potom rovnice
  \begin{equation}
    \label{eq:drlinnr_kk}
    a_0 y^{(n)} + a_1 y^{(n-1)} + \cdots + a_n y = q(x)
  \end{equation}
  se nazývá \textbf{lineární diferenciální rovnice $n$-tého řádu s~konstantními koeficienty}.
\end{define}
 
\begin{remark}
  Podobně jako v~předchozím textu zjednodušíme zápis lineární diferenciální rovnice $n$-tého řádu s~konstatními koeficienty prostřednictvím 
  diferenciálního lineárního operátoru $L$. Tzn.~místo tvarů \eqref{eq:drlinnr_kk}, resp.~\eqref{eq:drlinnr_kk_bezps}, budeme psát jednoduše
  $Ly = q(x)$, resp.~$Ly=0$.
\end{remark}
 
\begin{theorem}
  Funkce $\me^{\lambda x}$ je řešením rovnice
  \begin{equation}
    \label{eq:drlinnr_kk_bezps}
    a_0 y^{(n)} + a_1 y^{(n-1)} + \cdots + a_n y = 0
  \end{equation}
  právě tehdy, když $\lambda$ řeší algebraickou rovnici
  \[
    \sum_{j=0}^n a_j \lambda^{n-j} = 0.
  \]
 
  \begin{proof}
    Položme $y(x) = \me^{\lambda x}$. Dosadíme-li nyní do levé strany rovnice \eqref{eq:drlinnr_kk_bezps}, dostaneme
    \[
      Ly(x) = \sum_{j=0}^n a_j y^{(n-j)}(x) = \me^{\lambda x} \sum_{j=0}^n a_j \lambda^{n-j}.
    \]
    Odtud je ihned zřejmé, že $\me^{\lambda x}$ řeší \eqref{eq:drlinnr_kk_bezps} právě, když $\lambda$ řeší $\sum_{j=0}^n a_j \lambda^{n-j} = 0$.
  \end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{define}
  \label{def:char_pol}
  \index{rovnice!charakteristická}
  \index{polynom!charakteristický}
  Rovnice
  \[
    \sum_{j=0}^n a_j \lambda^{n-j} = 0
  \]
  se nazývá \textbf{charakteristická}.
 
  Polynom
  \[
    p(\lambda) = \sum_{j=0}^n a_j \lambda^{n-j}
  \]
  se nazývá \textbf{charakteristický}.
\end{define}
 
\begin{remark}
  Vzhledem k~definici \ref{def:drlinnr_kk} a \ref{def:char_pol} je charakteristický polynom $p(\lambda)$ polynomem s~reálnými koeficienty. Takové
  polynomy ovšem mohou mít i komplexní kořeny (máme speciálně na mysli kořeny s~nenulovou imaginární částí). Přitom komplexní funkce $\me^{\lambda_0 x}$, 
  kde $\lambda_0\in\C$ je kořenem charakteristického polynomu, splňuje příslušnou diferenciální rovnici ve tvaru \eqref{eq:drlinnr_kk_bezps}. 
  Z~tohoto důvodu by bylo vhodné rozšířit pojem řešení diferenciální rovnice.
 
  Podle definice \ref{def:resdr} totiž rozumíme řešením diferenciální rovnice reálnou funkci s~jistými vlastnostmi. Mohli bychom nyní upustit od 
  požadavku, že řešením může být pouze reálná funkce a nahradit jej požadavkem, že řešením může být komplexní funkce reálné proměnné (přičemž 
  ostatní požadavky na řešení bychom ponechali beze změny). To by nám později ušetřilo práci s~konstrukcí reálného fundamentálního systému.
\end{remark}
 
\begin{remark}
  Charakteristický polynom podle definice \ref{def:char_pol} je polynom stupně $n$. Takový polynom má právě $n$ obecně komplexních kořenů.
  V~následujících větách se budeme zabývat konstrukcí části fundamentálního systému v~případech, kdy jsme nalezli několik navzájem různých
  kořenů nebo jeden kořen $k$-násobný.
 
  Naším cílem přitom je zkonstruovat fundamentální systém v~obecném případě, kdy máme celkem $m$ navzájem různých kořenů $\lambda_i$ s~násobnostmi
  $k_i$, přičemž $\sum_{i=1}^m k_i = n$.
\end{remark}
 
\begin{theorem}
  Nechť $\lambda_1,\ldots,\lambda_m$ jsou různé kořeny charakteristické rovnice. Pak $\me^{\lambda_1 x}, \ldots, \me^{\lambda_m x}$ jsou LN řešení rovnice
  \eqref{eq:drlinnr_kk_bezps}.
 
  \begin{proof}
    Nechť $\alpha_1,\ldots,\alpha_m \in \R$. Položme $\forall x\in\R$
    \[
      \sum_{i=1}^m \alpha_i \me^{\lambda_i x} = 0
    \]
    a zkoumejme, jaké musí být koeficienty $\alpha_1,\ldots,\alpha_m$. Derivováním této rovnosti dostaneme
    \[
      \sum_{i=1}^m \alpha_i \lambda_i^l \me^{\lambda_i x} = 0, \qquad \text{pro } l=0,1,\ldots,n.
    \]
 
    Z~povahy rovnice \eqref{eq:drlinnr_kk} je zřejmé, že $m \leq n$. Můžeme tedy použít právě prvních $m$ takto vytvořených rovností. Dostaneme homogenní 
    soustavu $m$ lineárních rovnic pro $m$ neznámých koeficientů $\alpha_1,\ldots,\alpha_m$. Přitom pro determinant matice soustavy platí
    \[
      \left| \begin{matrix}
        \me^{\lambda_1 x}                 & \me^{\lambda_2 x}                 & \cdots & \me^{\lambda_m x} \\
        \lambda_1 \me^{\lambda_1 x}       & \lambda_2 \me^{\lambda_2 x}       & \cdots & \lambda_m \me^{\lambda_m x} \\
                                          &                                   & \ddots & \\
        \lambda_1^{m-1} \me^{\lambda_1 x} & \lambda_2^{m-1} \me^{\lambda_2 x} & \cdots & \lambda_m^{m-1} \me^{\lambda_m x}
      \end{matrix} \right|
      = 
      \prod_{i=1}^m \me^{\lambda_i x} 
      \ub{\left| \begin{matrix}
        1               & 1               & \cdots & 1 \\
        \lambda_1       & \lambda_2       & \cdots & \lambda_m \\
                        &                 & \ddots & \\
        \lambda_1^{m-1} & \lambda_2^{m-1} & \cdots & \lambda_m^{m-1}
      \end{matrix} \right|}_{\text{Vandermondeův determinant}}
      \neq 0.
    \]
 
    \index{determinant!Vandermondeův}
    K~výpočtu Vandermondeova\footnote{\textbf{Alexandre-Théophile Vandermonde} (1735--1796), francouzský hudebník a chemik.} determinantu 
    viz~např.~\cite[Příklad 516]{pytlicek2}. Matice homogenní lineární soustavy je regulární a soustava má tedy pouze triviální řešení, 
    tj.~$\alpha_1=\ldots=\alpha_m=0$ (viz~\cite[Poznámka 16, Věta 45]{pytlicek}). Potom funkce 
    $(\me^{\lambda_1 x}, \ldots, \me^{\lambda_m x})$ jsou LN.
  \end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
  Nechť $\lambda_0 \in \C$ je $k$-násobný kořen charakteristického polynomu $p$. Pak \eqref{eq:drlinnr_kk_bezps} řeší LN funkce
  $\me^{\lambda_0 x}, x \me^{\lambda_0 x}, x^2 \me^{\lambda_0 x}, \ldots, x^{k-1} \me^{\lambda_0 x}$.
 
  \begin{proof}
    Pro důkaz této věty se nám bude hodit následující lemma.
    \begin{lemma}
      Pokud má $\lambda_0$ násobnost $k$, pak $\forall l=0,1,\ldots,k-1$ je $p^{(l)}(\lambda_0) = 0$.
 
      \begin{proof}
        Protože $\lambda_0$ má násobnost $k$, lze zřejmě psát
        \[
          p(\lambda) = (\lambda-\lambda_0)^k Q(\lambda),
        \]
        kde $Q$ je polynom stupně $n-k$ takový, že $Q(\lambda_0) \neq 0$. Pro $l$-tou derivaci polynomu $p$ dostaneme s~pomocí známé 
        \emph{Leibnizovy}\footnote{\textbf{Gottfried Wilhelm Leibniz} (1646--1716), německý matematik a filozof.} \emph{formule}\footnote{
          \index{Leibnizova formule}Nechť funkce $\phi(x)$ a $\psi(x)$ mají derivace $n$-tého řádu, pak platí
          \[
            (\phi \psi)^{(n)} = \sum_{i=0}^n \col{n}{i} \phi^{(i)} \psi^{(n-i)}.
          \]
        }
        \[
          p^{(l)}(\lambda) = \sum_{j=0}^l \col{l}{j} (\lambda-\lambda_0)^{k-j} Q^{(l-j)}(\lambda) \frac{k!}{(k-j)!}, \qquad \text{pro } l=0,1,\ldots,k-1.
        \]
        Odtud již okamžitě plyne tvrzení lemmatu.
      \end{proof}
    \end{lemma}
 
    Zřejmě platí
    \[
      L(\me^{\lambda x}) = p(\lambda) \me^{\lambda x} \stackrel{\text{ozn.}}{=} g(x,\lambda).
    \]
    Nyní si vyjádříme $l$-tou derivaci $g$ podle $\lambda$, $l=0,1,\ldots,n$. S~použitím Leibnizovy formule dostáváme
    \[
      \partial_{\lambda}^l g(x,\lambda) = \partial_{\lambda}^l \left( p(\lambda) \me^{\lambda x} \right) = \sum_{j=0}^l \col{l}{j} p^{(j)}(\lambda) x^{l-j} \me^{\lambda x}.
    \]
    Pro $\lambda = \lambda_0$ zřejmě platí
    \[
      \Bigl( \forall l=0,1,\ldots,k-1 \Bigr) \Bigl( \partial_{\lambda}^l g(x,\lambda_0) = 0 \Bigr).
    \]
    Přitom pro $l=0,1,\ldots,k-1$ také platí
    \[
      \partial_{\lambda}^l g(x,\lambda_0) 
        = \partial_{\lambda}^l \Bigl( L \left( \me^{\lambda x} \right) \Bigr) \bigg|_{\lambda = \lambda_0} 
        = L \Biggl( \ub{ \frac{\partial^l}{\partial \lambda^l} \left( \me^{\lambda x} \right)}_{=x^l \me^{\lambda_0 x}} \Biggr) \Bigg|_{\lambda=\lambda_0} = 0.
    \]
    To znamená, že funkce $x^l \me^{\lambda_0 x}$, kde $l=0,1,\ldots,k-1$, řeší rovnici \eqref{eq:drlinnr_kk_bezps}.
 
    Zbývá dokázat, že funkce $x^l \me^{\lambda_0 x}$ jsou LN. Položme tedy
    \[
      \sum_{i=1}^k \alpha_i x^{i-1} \me^{\lambda_0 x} = 0
    \]
    a zkoumejme, jaké odtud plynou požadavky na koeficienty $\alpha_1,\ldots,\alpha_k$. Uvedená rovnost nastává zřejmě právě tehdy, když platí
    \[
      \sum_{i=1}^k \alpha_i x^{i-1} = 0.
    \]
    Snadno si rozmyslíme, že toto může nastat pouze tehdy, je-li $\alpha_1,\ldots,\alpha_k = 0$ (viz~příklad \ref{ex:ln_baze_pol}). Tím je důkaz dokončen.
  \end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
  Nechť $p(\lambda)$ má kořeny $\lambda_1,\ldots,\lambda_m$ s~násobnostmi $k_1,\ldots,k_m$, $\sum\limits_{i=1}^m k_i = n$. Potom
  funkce
  \[
    \begin{matrix}
      \me^{\lambda_1 x},& x \me^{\lambda_1 x},& \ldots,& x^{k_1 - 1} \me^{\lambda_1 x} \\
                        &                     & \vdots & \\
      \me^{\lambda_m x},& x \me^{\lambda_m x},& \ldots,& x^{k_m - 1} \me^{\lambda_m x}
    \end{matrix}
  \]
  tvoří FS rovnice \eqref{eq:drlinnr_kk_bezps}.
 
  \begin{proof}
    Z~předchozí věty víme, že tyto funkce řeší \eqref{eq:drlinnr_kk_bezps}. Zároveň víme, že funkce na jednotlivých řádcích jsou LN. Zbývá tedy vyšetřit 
    lineární nezávislost i mezi řádky.
 
    Jen pro účely tohoto důkazu definujme stupeň nulového polynomu: $\st p := -1$, je-li $p$ nulový polynom.
 
    Budeme postupovat sporem. Předpokládejme, že funkce jsou LZ, tj.~existují koeficienty $c_{ij}\in\R$, kde $j\in\widehat{m}, i=0,1,\ldots,k_j-1$, tak, že
    \[
      \sum_{j=1}^m \ub{\sum_{i=0}^{k_j-1} c_{ij} x^i}_{P_j(x)} \me^{\lambda_j x} = \sum_{j=1}^m P_j(x) \me^{\lambda_j x} = 0 \qquad \text{pro } \forall x\in\R,
    \]
    a přitom
    \[
      \sum_{j=1}^m \sum_{i=0}^{k_j-1} \abs{c_{ij}} > 0.
    \]
    $P_j$ je zřejmě polynom stupně $s_j \leq k_j-1$.
 
    \begin{lemma}
      Za daných předpokladů platí: $(\forall j\in\widehat{m}) (\forall x\in\R) (P_j(x) = 0)$.
 
      \begin{proof}
        Po vydělení výrazem $\me^{\lambda_1 x}$ můžeme rovnost $\sum P_j(x) \me^{\lambda_j x} = 0$ přepsat do tvaru
        \[
          P_1(x) + \sum_{j=2}^m P_j(x) \me^{(\lambda_j - \lambda_1)x} = 0.
        \]
        Stupeň polynomu $P_1$ je $s_1$. Zderivujeme tedy tuto rovnost $(s_1+1)$-krát, čímž získáme
        \[
          \ub{\frac{\dif^{s_1+1}}{\dif x^{s_1+1}} \Bigl( P_1(x) \Bigr)}_{=0} + \sum_{j=2}^m Q_j^{(2)}(x) \me^{(\lambda_j - \lambda_1) x} = 0,
        \]
        kde $\dfrac{\dif^{s_1+1}}{\dif x^{s_1+1}} P_1(x) = 0$, protože jsme derivovali vícekrát, než je stupeň polynomu. Snadno si také rozmyslíme,
        že stupeň polynomů $Q_j^{(2)}$ je právě $s_j$.\footnote{S~použitím Leibnizovy formule totiž dostáváme
        \[
          \frac{\dif^{s_1+1}}{\dif x^{s_1+1}} \Bigl( \sum_{j=2}^m P_j(x) \me^{(\lambda_j - \lambda_1)x} \Bigr)
            = \sum_{j=2}^m \ub{ \Bigl( \sum_{i=0}^{s_1+1} \col{s_1+1}{i} P_j^{(i)}(x) (\lambda_j - \lambda_1)^{s_1+1-i} \Bigr)}_{=Q_j^{(2)}(x)} \me^{(\lambda_j - \lambda_1)x}.
        \]
        }
 
        Novou rovnost upravíme analogicky jako v~předchozím kroku (tj.~dělíme výrazem $\me^{(\lambda_2 - \lambda_1)x}$), tím dostaneme
        \[
          Q_2^{(2)}(x) + \sum_{j=3}^m Q_j^{(2)}(x) \me^{(\lambda_j - \lambda_2)x} = 0.
        \]
        Polymom $Q_2^{(2)}$ je stupně $s_2$. Zderivujeme tedy tuto rovnost $(s_2+1)$-krát, přejde na tvar
        \[
          \ub{\frac{\dif^{s_2+1}}{\dif x^{s_2+1}} \Bigl( Q_2^{(2)}(x) \Bigr)}_{=0} + \sum_{j=3}^m Q_j^{(3)}(x) \me^{(\lambda_j - \lambda_2) x} = 0,
        \]
        kde $Q_j^{(3)}$ jsou opět polynomy stupně $s_j$.
 
        Tento postup opakujeme, dokud nedojdeme k~rovnosti
        \[
          Q_m^{(m)}(x) \me^{(\lambda_m - \lambda_{m-1}) x} = 0 \qquad \text{pro } \forall x\in\R,
        \]
        odkud vyplývá $Q_m^{(m)} \equiv 0$. Přitom stupeň polynomu $Q_m^{(m)}$ je právě $s_m$, tj.~stejný, jako stupeň polynomu $P_m$. Odtud tedy plyne 
        \[
          \Bigl( \forall x\in\R \Bigr) \Bigl( P_m(x) = 0 \Bigr).
        \]
 
        Analogicky zpracujeme i ostatní polynomy $P_j$.
      \end{proof}
    \end{lemma}
 
    Pokračujeme v~dokazování věty. Podle lemmatu tedy platí
    \[
      \Bigl( \forall j\in\widehat{m} \Bigr) \Bigl( \forall x\in\R \Bigr) \Bigl( P_j(x) = \sum_{i=0}^{k_j-1} c_{ij} x^i = 0 \Bigr).
    \]
    Funkce jsou $(1,x,\ldots,x^{k_j-1})$ jsou podle příkladu \ref{ex:ln_baze_pol} LN na $\R$, a proto pro všechna $i,j$ musí platit, že $c_{ij} = 0$,
    což je spor.
  \end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{corollary}
  Nechť $z=z(x)$ řeší \eqref{eq:drlinnr_kk_bezps}, $z : (\R) \to \C$. Pak $\Re\{z(x)\}$ a $\Im\{z(x)\}$ řeší \eqref{eq:drlinnr_kk_bezps}.
 
  \begin{proof}
    Označme
    \[
      z_1(x) = \Re\{z(x)\} \qquad \text{a} \qquad z_2(x) = \Im\{z(x)\}.
    \]
 
    Potom protože $z(x)$ řeší \eqref{eq:drlinnr_kk_bezps} (v~$\C$), pro všechna $x\in\R$ platí
    \[
      Lz(x) = L(z_1(x) + \mi z_2(x)) = Lz_1(x) + \mi Lz_2(x) = 0.
    \]
    To nastává právě, když $Lz_1(x) = 0$ a $Lz_2(x) = 0$ pro všechna $x\in\R$, což jsme chtěli dokázat.
  \end{proof}
\end{corollary}
 
\begin{remark}
  Již jsme uvedli, že polynom $p(\lambda)$ je polynom s~reálnými koeficienty. Je známo, že je-li $\lambda\in\C\sm\R$ kořenem tohoto polynomu, 
  pak je jeho kořenem i číslo komplexně sdružené $\bar{\lambda}$, a to se stejnou násobností (viz~např.~\cite[Dodatek, Věta 4]{pytlicek}). 
  Potom tedy funkce 
  \[
    z_1(x) = \me^{\lambda x} \qquad\qquad \text{a} \qquad\qquad z_2(x) = \me^{\bar{\lambda} x}
  \]
  řeší \eqref{eq:drlinnr_kk_bezps}. Označme
  \[
    \lambda = a + \mi b,
  \]
  kde $a,b\in\R$. Potom platí
  \[
    \me^{\lambda x} = \me^{(a + \mi b)x} = \me^{ax} \me^{\mi bx} = \me^{ax}(\cos bx + \mi \sin bx)
  \]
  a analogicky
  \[
    \me^{\bar{\lambda} x} = \me^{ax}(\cos bx - \mi \sin bx).
  \]
 
  Podle předchozí věty jsou tedy funkce 
  \[ 
    y_1(x) = \me^{\Re \lambda x} \cos(\Im\lambda x) \qquad\qquad \text{a} \qquad\qquad y_2(x) = \me^{\Re \lambda x} \sin(\Im\lambda x)
  \]
  řešením rovnice \eqref{eq:drlinnr_kk_bezps}. Tato dvě řešení jsou navíc LN na $\R$. K~funkci $z_2$ bychom našli reálné funkce $y_1$ a $-y_2$.
  Vidíme tedy, že pro dvě komplexně sdružené funkce $z_1,z_2$ jsme nalezli dvě LN reálné funkce $y_1,y_2$ tak, že $z_1,z_2$ jsou jejich
  lineární kombinací.
 
  Nechť máme $(z_1,z_2,y_3,\ldots,y_n)$ FS. Snadno si rozmyslíme, že $(y_1,y_2,y_3,\ldots,y_n)$ je rovněž fundamentální systém.
  K~tomu stačí ukázat lineární nezávislost funkcí $y_1,y_2,y_3,\ldots,y_n$. Zřejmě $y_1,y_2 \in [z_1,z_2]_{\lambda}$, protože
  \begin{eqnarray*}
    y_1(x) &=& \me^{\Re \lambda x} \cos(\Im\lambda x) = \frac{\me^{\lambda x} + \me^{\bar{\lambda} x}}{2} = \frac{z_1(x) + z_2(x)}{2}, \\
    y_2(x) &=& \me^{\Re \lambda x} \sin(\Im\lambda x) = \frac{\me^{\lambda x} - \me^{\bar{\lambda} x}}{2\mi} = \frac{z_1(x) - z_2(x)}{2\mi}.
  \end{eqnarray*}
  Sporem se ukáže, že je-li $y \in [z_1,z_2]_{\lambda}$, $y\neq\theta$, pak $y \notin [y_3,\ldots,y_n]_{\lambda}$. Nechť tedy platí
  $y\in[z_1,z_2]_{\lambda} \wedge y\in[y_3,\ldots,y_n]_{\lambda}$. Potom existují koeficienty $\alpha_i$, $i\in\widehat{n}$ tak, že
  \[
    y = - \alpha_1 z_1 - \alpha_2 z_2 = \sum_{i=3}^n \alpha_i y_i \qquad \wedge \qquad \sum_{i=1}^n \abs{\alpha_i} > 0.
  \]
  Po snadné úpravě dostaneme
  \[
    \alpha_1 z_1 + \alpha_2 z_2 + \sum_{i=3}^n \alpha_i y_i = \theta \qquad \wedge \qquad \sum_{i=1}^n \abs{\alpha_i} > 0,
  \]
  což je spor s~tím, že $(z_1,z_2,y_3,\ldots,y_n)$ je FS. Odtud ihned plyne, že $(y_1,\ldots,y_n)$ je FS.
 
  Nyní provedeme převod wrońskiánu. Snadno prověříme, že platí
  \[
    W_{z_1,z_2,y_3,\ldots,y_n}(x) 
      = 
        \left| \begin{matrix}
          1 & \mi  &   &        &   \\
          1 & -\mi &   &        &   \\
            &      & 1 &        &   \\
            &      &   & \ddots &   \\
            &      &   &        & 1
        \end{matrix} \right|
        \cdot W_{y_1,\ldots,y_n}(x)
      = -2\mi \cdot W_{y_1,\ldots,y_n}(x).
  \]
 
  Provedené závěry lze zobecnit i na případ, kdy násobnost kořene charakteristického polynomu je větší než $1$.
\end{remark}
 
\begin{remark}
  Reálný fundamentální systém tedy sestrojíme následujícím způsobem:
  \begin{enumerate}[(1)]
    \item je-li $\lambda_i$ jednoduchý, reálný kořen, pak do FS zařadíme funkci
      \[
        \me^{\lambda_i x};
      \]
 
    \item je-li $\lambda_i$ $k_i$-násobný reálný kořen, pak do FS zařadíme funkce 
      \[
        \me^{\lambda_i x},\ldots,x^{k_i-1} \me^{\lambda_i x};
      \]
 
    \item a nakonec, je-li $\lambda_i$ $k_i$-násobný kořen z~$\C\sm\R$, potom do FS zařadíme
      \begin{eqnarray*}
        \me^{\Re \lambda_i x} \cos(\Im\lambda_i x), \quad x \me^{\Re \lambda_i x} \cos(\Im\lambda_i x), \quad \ldots, \quad x^{k_i-1} \me^{\Re \lambda_i x} \cos(\Im\lambda_i x), \\
        \me^{\Re \lambda_i x} \sin(\Im\lambda_i x), \quad x \me^{\Re \lambda_i x} \sin(\Im\lambda_i x), \quad \ldots, \quad x^{k_i-1} \me^{\Re \lambda_i x} \sin(\Im\lambda_i x).
      \end{eqnarray*}
  \end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{remark}[Jak uhodnout partikulární řešení má-li pravá strana speciální tvar.]
  ~
 
  Doposud jsme se zabývali především otázkou konstrukce fundamentálního systému rovnice \eqref{eq:drlinnr_kk}. Řešíme-li však rovnici s~pravou stranou, 
  je třeba kromě fundamentálního systému nalézt také partikulární řešení. Podle poznámky \ref{rmrk:var_konst_lindr_n} můžeme hledat partikulární řešení 
  např.~za pomoci metody variace konstant. Snadno si však rozmyslíme, že tento postup je zdlouhavý a výpočetně namáhavý.
 
  Ve zvláštních případech, kdy má pravá strana rovnice speciální tvar, umíme partikulární řešení nalézt snáze:
  \begin{enumerate}
% \item
    \item Mějme rovnici ve tvaru
      \[
        Ly = P(x) \me^{ax},
      \]
      kde $P$ je polynom (stupně $p \geq 0$), $a$ je reálná konstanta. Partikulární řešení potom hledáme ve tvaru 
      \[
        z(x) = x^k Q(x) \me^{ax},
      \]
      kde $k$ je násobnost čísla $a$ jakožto kořene charakteristického polynomu uvedené diferenciální rovnice (není-li číslo $a$ kořenem, klademe $k=0$) a 
      $Q$ je polynom stejného stupně jako polynom $P$.
% \item
    \item Mějme rovnici ve tvaru
      \[
        Ly = \me^{ax} \bigl[ P_1(x) \cos bx + P_2(x) \sin bx \bigr],
      \]
      kde $a,b\in\R$ a funkce $P_1$, $P_2$ jsou polynomy stupňů $p_1$ a $p_2$. Pak partikulární řešení hledáme ve tvaru
      \[
        z(x) = \me^{ax} x^k \bigl[ Q_1(x) \cos bx + Q_2(x) \sin bx \bigr],
      \]
      kde $k$ je násobnost čísla $a + \mi b$ jakožto kořene charakteristického polynomu (není-li kořenem, klademe $k=0$) a funkce $Q_1$, $Q_2$ jsou polynomy
      stupně $\max \{ p_1, p_2 \}$.
% \item
    \item Mějme rovnici ve tvaru
      \[
        Ly = q_1(x) + q_2(x),
      \]
      kde $q_1$ a $q_2$ jsou reálné funkce spojité na otevřeném intervalu $I\subset\R$. Potom partikulární řešení hledáme ve tvaru součtu
      \[
        z(x) = z_1(x) + z_2(x),
      \]
      kde $z_1(x)$ je partikulární řešení rovnice $Ly = q_1(x)$ a $z_2(x)$ je partikulární řešení rovnice $Ly=q_2(x)$.
  \end{enumerate}
 
  Rigorózní rozbor těchto případů je proveden např.~v~\cite{kluvanek}.
\end{remark}