01DIFRnew:Kapitola1: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
m
Řádka 4: Řádka 4:
 
% ****************************************************************************************************************************
 
% ****************************************************************************************************************************
 
\chapter{Úvod}
 
\chapter{Úvod}
Materiál byl sestaven z~přednášek doc.~Ing.~Michala Beneše, CSc., které proběhly v~letním semestru akademického roku 2009/2010 na Fakultě jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v~Praze.
+
Materiál byl sestaven z~přednášek doc.~Ing.~Michala Beneše, CSc., které proběhly v~letním semestru akademického roku 2009/2010 na Fakultě jaderné a  
 +
fyzikálně inženýrské ČVUT v~Praze.
 
Tento učební text je určen posluchačům 2.~ročníku základního studia navštěvujím kurs 01DIFR (Diferenciální rovnice), který je zařazen  
 
Tento učební text je určen posluchačům 2.~ročníku základního studia navštěvujím kurs 01DIFR (Diferenciální rovnice), který je zařazen  
 
mezi předměty Matematika A. Při sestavování textu se předpokládaly znalosti základů matematiky na úrovni absolvování kurzů 01LA1  
 
mezi předměty Matematika A. Při sestavování textu se předpokládaly znalosti základů matematiky na úrovni absolvování kurzů 01LA1  
Řádka 27: Řádka 28:
 
%  \item 01MMF --- Metody matematické fyziky (náplní parciální diferenciální rovnice)
 
%  \item 01MMF --- Metody matematické fyziky (náplní parciální diferenciální rovnice)
 
%\end{enumerate}
 
%\end{enumerate}
+
 
%Zkouška sestává z
+
%\begin{enumerate}
+
%  \item Písemné části - 3 příklady, 90 minut
+
%  \item Ústní části
+
%\end{enumerate}
+
 
   
 
   
 
   
 
   
Řádka 187: Řádka 183:
 
   která popisuje závislost tlaku na teplotě v~uzavřené nádobě konstantního objemu s~kapalinou a jejími parami. Zde $p$ je tlak, $T$ je teplota,  
 
   která popisuje závislost tlaku na teplotě v~uzavřené nádobě konstantního objemu s~kapalinou a jejími parami. Zde $p$ je tlak, $T$ je teplota,  
 
   $l$ je měrné skupenské teplo (vypařování), $\vartheta_1$ je měrný objem kapaliny a $\vartheta_2$ je měrný objem páry.
 
   $l$ je měrné skupenské teplo (vypařování), $\vartheta_1$ je měrný objem kapaliny a $\vartheta_2$ je měrný objem páry.
%  Tato rovnice se nazývá Clausiova-Clapeyronova zřejmě proto, že ji jako první odvodil Carnot \cite{feynman1}.
 
 
   
 
   
 
   Hledáme funkci $p=p(T)$, která řeší uvedenou rovnici. Proces řešení se skládá ze dvou dílčích kroků -- separace a integrace. Tím dostaneme  
 
   Hledáme funkci $p=p(T)$, která řeší uvedenou rovnici. Proces řešení se skládá ze dvou dílčích kroků -- separace a integrace. Tím dostaneme  

Verze z 29. 9. 2010, 11:22

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01DIFRnew

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01DIFRnewNguyebin 1. 9. 201321:56
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:45
Header editovatHlavičkový souborNguyebin 1. 9. 201321:47 header.tex
Kapitola0 editovatPředmluvaNguyebin 29. 8. 201314:23 kapitola0.tex
Kapitola1 editovatÚvodKubuondr 7. 6. 201708:21 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatŘešení speciálních typů rovnicKubuondr 8. 6. 201709:00 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatTeoretické vlastnosti řešení diferenciálních rovnicPerinhyn 2. 6. 201821:54 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatAnalytické řešení lineárních diferenciálních rovnic n-tého řáduKubuondr 10. 6. 201710:19 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatAnalytické řešení soustav lineárních diferenciálních rovnic 1. řáduKrasejak 20. 6. 201400:32 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatOkrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovniceKubuondr 10. 6. 201710:16 kapitola6.tex
KapitolaA editovatLiteraturaKrasejak 20. 6. 201400:33 literatura.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Soubor:priklad1.pdf priklad1.pdf
Image:rotujici_sklenice.pdf rotujici_sklenice.pdf
Image:mat_kyvadlo.pdf mat_kyvadlo.pdf
Soubor:lorentz-attractor.pdf lorentz-attractor.pdf
Soubor:vedeni-tepla.pdf vedeni-tepla.pdf
Image:smerova_pole.pdf smerova_pole.pdf
Image:RL_obvod.pdf RL_obvod.pdf
Image:k_lomene_care.pdf k_lomene_care.pdf
Image:k_peanove_vete.pdf k_peanove_vete.pdf
Image:k_prodlouzeni.pdf k_prodlouzeni.pdf
Image:k_prodl_lemma.pdf k_prodl_lemma.pdf
Image:k_prodl_tvrz.pdf k_prodl_tvrz.pdf
Image:k_prodl_lemma_2.pdf k_prodl_lemma_2.pdf
Image:ke_spoj_zav_na_datech.pdf ke_spoj_zav_na_datech.pdf
Image:metoda_strelby.pdf metoda_strelby.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01DIFRnew}
% ****************************************************************************************************************************
%                             KAPITOLA: Úvod
% ****************************************************************************************************************************
\chapter{Úvod}
Materiál byl sestaven z~přednášek doc.~Ing.~Michala Beneše, CSc., které proběhly v~letním semestru akademického roku 2009/2010 na Fakultě jaderné a 
fyzikálně inženýrské ČVUT v~Praze.
Tento učební text je určen posluchačům 2.~ročníku základního studia navštěvujím kurs 01DIFR (Diferenciální rovnice), který je zařazen 
mezi předměty Matematika A. Při sestavování textu se předpokládaly znalosti základů matematiky na úrovni absolvování kurzů 01LA1 
(Lineární algebra 1), 01LAP (Lineární algebra plus), 01LAA2 (Lineární algebra A2), 01MA1 (Matematická analýza 1), 01MAA2 (Matematická 
analýza A2) a 01MAA3 (Matematická analýza A3).
 
~
 
\textbf{Doporučená literatura:}
\begin{enumerate}[(1)]
  \item J. Kluvánek, L. Mišík a M. Švec: \textit{Matematika II}, Bratislava 1959.
  \item L. S. Pontrjagin: \textit{Obyknovennyje differencialnyje uravnenija}, Nauka, Moskva 1965.
  \item V. V. Stěpanov: \textit{Kurs diferenciálních rovnic}, Praha 1950.
  \item M. W. Hirsch, S. Smale: \textit{Differential Equations, Dynamical systems and Linear Algebra}, Academic Press, Boston, 1974.
  \item F. Verhulst: \textit{Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems}, Springer-Verlag, Berlin 1990.
\end{enumerate}
 
%Diferenciální rovnice navazují na kurz lineární algebry a matematická analýzy. Na tento předmět budou v dalších semestrech navazovat:
%\begin{enumerate}
%  \item 01SEDR --- Seminář diferenciálních rovnic (náplní geometrická teorie diferenciálních rovnic)
%  \item 01MMNS --- Matematické modelování nelineárních systému
%  \item 01MMF --- Metody matematické fyziky (náplní parciální diferenciální rovnice)
%\end{enumerate}
 
 
 
% ****************************************************************************************************************************
%                             SEKCE: Význam
% ****************************************************************************************************************************
\section{Význam}
\emph{Diferenciální rovnice je funkcionální rovnice obsahující neznámou funkci a její derivace. Cílem zkoumání je co nejzřetelněji (jednoznačně) určit tuto 
funkci (a její derivace).}
 
V~tomto kurzu se budeme zabývat pouze \emph{obyčejnými diferenciálními rovnicemi} a \emph{analytickými metodami} jejich řešením.
 
 
 
% ****************************************************************************************************************************
%                             SEKCE: Příklady
% ****************************************************************************************************************************
\section{Příklady}
\begin{example}
  \textbf{Pohyb hmotného bodu po přímce}.
%	\begin{center}
%		\includegraphics{priklad1.pdf}
%	\end{center}
 
  Pro jednorozměrný pohyb hmotného bodu máme známou pohybovou rovnici
  \begin{equation}
    \label{eq:pohrov_hmbod}
    m \ddot{x} = F,
  \end{equation}
  kde $m$ představuje hmotnost bodu ($m$ je tedy kladná konstanta) a pro zjednodušení předpokládáme, že $F$ je reálná konstanta ($F$ představuje
  působící sílu). Dvojí integrací rovnice \eqref{eq:pohrov_hmbod} snadno zjistíme, že 
  \begin{equation}
    \label{eq:zakpoh_hmbod}
    x(t) = \frac{1}{2} \frac{F}{m}t^2 + C_1 t + C_2,
  \end{equation}
  kde $C_1$ a $C_2$ jsou nějaké reálné blíže neurčené integrační konstanty. Řešení \eqref{eq:zakpoh_hmbod} tedy není určeno jednoznačně a proto 
  naši úlohu doplníme o~dodatečné podmínky \index{podmínky!počáteční} (tzv.~počáteční podmínky)
  \begin{eqnarray*}
    x(0) 	& = & x_{ini}, \qquad \text{(počáteční poloha)} \\
    m\dot{x}(0) & = & p_{ini}. \qquad \text{(počáteční hybnost)}
  \end{eqnarray*}
  Potom zřejmě platí, že $C_1 = p_{ini}/m$ a $C_2 = x_{ini}$ a řešení této úlohy lze zapsat ve tvaru
  \begin{equation*}
    x(t) = \frac{1}{2} \frac{F}{m}t^2 + \frac{1}{m} p_{ini} t + x_{ini}.
  \end{equation*}
\end{example}
 
\begin{remark}
  \label{rmrk:poculo}
  \index{úloha pro diferenciální rovnici!počáteční}
  Úloha řešená v~předchozím příkladě se označuje jako tzv.~\emph{počáteční úloha pro diferenciální rovnici}. V~tomto případě měla tvar
  \begin{eqnarray*}
    m \ddot{x} 	 & = & F, \\
    x(0) 	 & = & x_{ini}, \\
    m \dot{x}(0) & = & p_{ini}.
  \end{eqnarray*}
 
  \index{Cauchyova počáteční úloha|see{úloha pro diferenciální rovnici, počáteční}}
  V~literatuře se také často setkáme s~názvem \emph{Cauchyova počáteční úloha}.
\end{remark}
 
\begin{example}
  \index{rotující sklenice}
  \index{vědro Newtonovo|see{rotující sklenice}}
  \textbf{Rotující sklenice.}
 
  \begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[scale=1.0]{rotujici_sklenice.pdf}
    \caption[Rotující sklenice.]{\textbf{A} Hladina kapaliny ve sklenici rotující okolo osy $y$. \textbf{B} Rovnováha sil na hladině kapaliny v~rotující sklenici.}
    \label{fig:rotskl}
  \end{figure}
 
  Máme sklenici naplněnou kapalinou umístěnou v~tíhovém poli. Sklenice rotuje okolo osy $y$. Situace je schematicky zachycena na obr.~\ref{fig:rotskl}A. Počátek soustavy 
  souřadné jsme umístili do nějnižšího bodu hladiny v~ustáleném stavu a zajímá nás tvar hladiny $y=y(x)$ za těchto okolností.
 
  V~ustáleném stavu je tvar hladiny v~čase neměnný. To nastává, je-li výslednice sil působících na hladině kolmá k~hladině. Tuto situaci znázorňuje obr.~\ref{fig:rotskl}B. 
  Na hladině působí jednak síla tíhová, jejíž velikost je $G = \rho g$ a jednak síla odstředivá, jejíž velikost $F_o(x) = \rho x \omega^2$. Zde $\rho$ je hustota kapaliny, 
  $g$ je tíhové zrychlení a $\omega$ je úhlová rychlost rotace sklenice. Vztah mezi úhlem $\alpha(x)$ a derivací $y'(x)$ je dán podmínkou rovnováhy. Z~obr.~\ref{fig:rotskl}B 
  je patrné, že musí platit
  \begin{equation*}
    y'(x) = \tg \alpha(x) = \frac{F_o(x)}{G}.
  \end{equation*}
 
  Hledaným řešením je tedy řešení úlohy
  \begin{eqnarray*}
    y' &=& \frac{x \omega^2}{g}, \\
    y(0) &=& 0,
  \end{eqnarray*}
  kde jsme pro jednoznačnost doplnili počáteční podmínku ve tvaru $y(0)=0$. Snadno ověříme, že hledanou funkcí je funkce
  \begin{equation*}
    y(x) = \frac{\omega^2}{2g} x^2.
  \end{equation*}
  Hladina má zřejmě tvar rotačního paraboloidu.
\end{example}
 
\begin{example}
  \index{rovnice diferenciální!parciální}
  \textbf{Parciální diferenciální rovnice.}
 
  Mějme funkci $u$ dánu předpisem:
  \begin{equation*}
	u(t,x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi Dt}}\me^{-\frac{(x-x_0)^2}{4Dt}},
  \end{equation*}
  kde $D>0$, $D$ je konstanta, $t>0$, $x\in\R$. Spočteme následující parciální derivace funkce $u$:
  \begin{eqnarray*}
    \partial_x u(t,x)      & = & \frac{1}{\sqrt{2\pi Dt}}\me^{-\frac{(x-x_0)^2}{4Dt}}\left( -\frac{x-x_0}{2Dt}\right), \\
    \partial_{xx}^2 u(t,x) & = & \frac{1}{\sqrt{2\pi Dt}}\me^{-\frac{(x-x_0)^2}{4Dt}}\left( \frac{(x-x_0)^2}{4D^2t^2} - \frac{1}{2Dt}\right), \\
    \partial_t u(t,x)      & = & \frac{1}{\sqrt{2\pi Dt}}\me^{-\frac{(x-x_0)^2}{4Dt}}\left( \frac{(x-x_0)^2}{4Dt^2} - \frac{1}{2t}\right).
  \end{eqnarray*}
 
  Porovnáním posledních dvou rovnic lze sestavit parciální diferenciální rovnici $\partial_t u = D \partial_{xx}^{2} u$, která může popisovat
  např.~vedení tepla.
\end{example}
 
\begin{example}
  \index{kyvadlo matematické}
  \textbf{Matematické kyvadlo.}
 
  \begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[scale=1]{mat_kyvadlo.pdf}
    \caption{Matematické kyvadlo.}
    \label{fig:matkyv}
  \end{figure}
 
  Dalším známým příkladem, který vede na řešení diferenciální rovnice je matematické kyvadlo (obr.~\ref{fig:matkyv}). Snadno sestavíme 
  pohybovou rovnici $I\ddot{\phi}(t) = -mgl\sin\phi (t)$, kde $I = ml^2$ je příslušný moment setrvačnosti, $m$ je hmotnost hmotného bodu, $l$ délka 
  závěsu, $g$ velikost tíhového zrychlení a $\phi$ je úhel (viz~obr.~\ref{fig:matkyv}). Rovnici nakonec upravíme do výsledného tvaru
  \begin{equation*}
    \ddot{\phi} + \frac{g}{l}\sin\phi = 0.
  \end{equation*}
 
  Z~tohoto tvaru je ihned patrné, že rovnici nebude možno řešit pouhou integrací ve tvaru $\int \dif t$, jako v~některých předešlých příkladech. 
  Podotýkáme, že v~literatuře se proces řešení diferenciální rovnice často nazývá integrací, přestože se o~integraci v~pravém slova smyslu 
  nejedná, stejně jako v~tomto případě.
 
  Příkladem řešení uvedené rovnice jsou např.~funkce $\phi(t)\equiv 0$ nebo $\phi(t)\equiv\pi$, které odpovídají setrvání kyvadla v~některé 
  z~rovnovážných poloh. V~prvním případě jde zřejmě o~stabilní rovnovážnou polohou, zatímco ve druhém se jedná o~rovnovážnou polohu labilní. 
  Rovnovážnou polohu také nazýváme pevný bod.
 
  Mimo uvedeného si na rovnici můžeme všimnout i toho, že v~ní explicitně nevystupuje proměnná $t$, což nám může pomoci při jejím řešením. Na závěr 
  ještě poznamenáme, že tato rovnice patří mezi tzv.~separabilní rovnice.
\end{example}
 
\begin{example}
  \index{rovnice!Clausiova-Clapeyronova}
  \textbf{Clausiova-Clapeyronova rovnice}.
 
  Máme diferenciální rovnici ve tvaru
  \begin{equation*}
    \frac{\dif p}{\dif T} = \frac{l}{T(\vartheta_2-\vartheta_1)},
  \end{equation*}
  která popisuje závislost tlaku na teplotě v~uzavřené nádobě konstantního objemu s~kapalinou a jejími parami. Zde $p$ je tlak, $T$ je teplota, 
  $l$ je měrné skupenské teplo (vypařování), $\vartheta_1$ je měrný objem kapaliny a $\vartheta_2$ je měrný objem páry.
 
  Hledáme funkci $p=p(T)$, která řeší uvedenou rovnici. Proces řešení se skládá ze dvou dílčích kroků -- separace a integrace. Tím dostaneme 
  \begin{equation*}
    p(T) = \frac{l}{\vartheta_2-\vartheta_1}\ln T + C, \qquad \text{kde } C\in\R.
  \end{equation*}
 
  Řešení je závislé na integrační konstantě $C$, kterou můžeme určit po zavedení doplňující podmínky, např.~ve tvaru $p(T_0) = p_0$. Odtud 
  $C = p_0 - \frac{l}{\vartheta_2-\vartheta_1}\ln T_0$ a výsledné řešení je ve tvaru
  \begin{equation*}
    p(T) = p_0 + \frac{l}{\vartheta_2-\vartheta_1}\ln \frac{T}{T_0}.
  \end{equation*}
 
  Na závěr je ještě třeba poznamenat, že výsledné řešení není dobře fyzikálně odůvodněné. Při řešení jsme předpokládali, že ani měrné skupenské 
  teplo $l$, ani měrný objem kapaliny $\vartheta_1$ a její páry $\vartheta_2$, nezávisí na teplotě. To však není příliš dobré přiblížení \cite{feynman1}.
\end{example}
 
\begin{example}
  \index{rovnice!Lorenzovy}
	\textbf{Lorenzovy rovnice.}
	\[
	\begin{split}
		\frac{\d x}{\d t}&=-\sigma x + \sigma y, \quad \sigma=10 \\
		\frac{\d y}{\d t}&=rx - y - xz, \quad r=28 \\
		\frac{\d z}{\d t}&=-bz + xy, \quad b=\frac{8}{3}
	\end{split}
	\]
	Soustava 3 diferenciálních rovnic pro neznámé funkce $x=x(t), y=y(t), z=z(t)$, které představují 3 složky rychlostí pohybu vzduchu ve vybraném objemu atmosféry. Počáteční podmínky $x(t_0)=x_0, y(t_0)=y_0, z(t_0)=z_0$.
	\begin{center}
		\includegraphics[height=5cm]{lorentz-attractor.pdf}
	\end{center}
	Tyto rovnice mají citlivou závislost na počátečních podmínkách. To znamená, že stačí změnit počáteční podmínky na 9. řádu a řešení bude úplně jiné.
\end{example}
 
%\begin{example}
%  \textbf{Dynamika křivek v~rovině}.
%\end{example}
 
%\begin{example}
%  \index{rovnice!van der Polova}
%  \textbf{van der Polova rovnice} (oscilátor)
%
%  \begin{equation*}
%    y'' - \mu(1-y^2)y' + y = 0 \qquad \mu > 0.
%  \end{equation*}
%\end{example}
 
%\begin{example}
%  \index{rovnice!Lotkovy-Volterrovy}
%  \textbf{Lotkovy-Volterrovy rovnice}.
%\end{example}
 
%\begin{example}
%  \index{Bruselátor}
%  Chemická reakce typu \uv{Bruselátor}.
%\end{example}
 
 
 
 
% ****************************************************************************************************************************
%                             SEKCE: Označení
% ****************************************************************************************************************************
\section{Označení}
 
\begin{define}
  \index{výraz diferenciální!obyčejný n-tého řádu}
  \textbf{Obyčejný diferenciální výraz n-tého řádu} je ve tvaru
  \begin{equation*}
    %\label{eq:difvyraz}
    F = F(x,y,y',y'',\dots,y^{(n)}),
  \end{equation*}
  kde $F\in \Cc^{(p)}:(\R^{n+2}) \rightarrow \R$, $p \geq 0$, $y^{(n)}$ je netriviálně zastoupena v~$F$.
 
  \index{rovnice diferenciální!obyčejná}
  Potom \textbf{obyčejnou diferenciální rovnicí n-tého řádu} nazveme rovnici
  \begin{equation}
    \label{eq:dr}
    F(x,y,y',y'',\dots,y^{(n)}) = 0, \qquad x\in I,
  \end{equation}
  kde $I \subset \R$ je otevřený interval a levá strana je obyčejný diferenciální výraz (n-tého řádu).
\end{define}
 
\begin{define}
  \index{řešení!diferenciální rovnice}
  \label{def:resdr}
  \textbf{Řešení rovnice \eqref{eq:dr} na intervalu $I$} je každá funkce $y=y(x)$, $y: I \rightarrow \R$, pro kterou $y^{(k)} = y^{(k)}(x)$ 
  existuje $\forall x \in I$ a $\forall k = 0,1,\dots,n$, a která splňuje rovnici \eqref{eq:dr} $\forall x \in I$.
\end{define}
 
\begin{remark}
  \index{řešení!klasické}
  Řešení diferenciální rovnice z~předchozí definice je tzv.~\emph{klasické řešení}, požadující bodové splnění rovnice \eqref{eq:dr}.
\end{remark}
 
\begin{remark}
  \index{křivka!integrální}
  Graf řešení $y = y(x)$ rovnice \eqref{eq:dr} je množina $\Gamma = \bigl\{ \bigl[ x,y(x) \bigr] \mid x \in I \bigr\}$. V~literatuře se množina 
  $\Gamma$ také nazývá \emph{integrální křivkou}.
\end{remark}
 
\begin{remark}
  \index{podmínky!okrajové}
  \index{úloha pro diferenciální rovnici!okrajová}
  V~příkladech v~předcházející sekci byly rovnice doplněny podmínkami, předepsanými v~jediné hodnotě nezávisle proměnné. Jedná se o~počáteční podmínky 
  (viz~poznámka~\ref{rmrk:poculo}). Kdybychom měli podmínky udány v~různých hodnotách nezávisle proměnné, hovořili bychom o~\emph{okrajových podmínkách}. 
  Hovoříme potom o~\emph{okrajové úloze pro diferenciální rovnici}.
\end{remark}
 
\begin{example}
  \label{ex:vedeni_tepla_1}
  \textbf{Vedení tepla stěnou}.
 
%  \begin{figure}
%    \centering
%     \includegraphics{vedeni-tepla.pdf}
%    \caption{K~vedení tepla stěnou.}
%    \label{fig:vedtepla}
%  \end{figure}
 
  Mějme rovnici
  \begin{equation*}
    -D\frac{\dif^2T}{\dif x^2} = 0,
  \end{equation*}
  kde $D>0$ nazýváme koeficient teplotní difuze. Tato rovnice popisuje jednoduchý případ stacionárního vedení tepla jednoduchou stěnou 
  s~konstantním koeficientem difuze. Okrajové podmínky pro naši úlohu jsou
  \begin{eqnarray*}
    T(0) & = & T_0, \\
    T(L) & = & T_L,
  \end{eqnarray*}
  kde $L$ je tloušťka stěny, $T_0$ chápeme jako vnitřní teplotu a $T_L$ jako vnější teplotu.
 
  Snadno nahlédneme, že řešení uvedené rovnice je $DT(x) = C_1 x+C_2$, kde $C_1$ a $C_2$ jsou integrační konstanty, které určíme z~okrajových 
  podmínek. Z~nich plyne $C_1 = \frac{D}{L}(T_L-T_0)$ a $C_2 = DT_0$. Konečné řešení tedy je
  \begin{equation*}
    T(x) = \frac{T_L-T_0}{L}x + T_0.
  \end{equation*}
 
  Řešení ukazuje lineární závislost teploty $T$ na souřadnici $x$. V~technické praxi se však často setkáme s~materiály, které se vyznačují 
  nelineárním vedením tepla (kde např.~$D = D(x)$ je nějakou obecnou funkcí). Tím se řešení rovnice pochopitelně komplikuje.
\end{example}
 
 
\begin{example}
  Řešme rovnici
  \begin{equation*}
    y'' + 100y = 0.
  \end{equation*}
  Tato rovnice má obecné řešení\footnote{K~pojmu \emph{obecné řešení} viz poznámka \ref{rmrk:drlinnr_bezps_obecres}.} $y(x) = C_1 \cos 10x + C_2 \sin 10x$.
 
  Zkoumejme řešení rovnice pro různé okrajové podmínky. Nejdříve nechť $y(0) = 0$ a $y(\pi) = 0$. Obě tyto podmínky lze zřejmě splnit zároveň 
  pro volbu $C_1 = 0$ a $C_2 \in \R$. Dostáváme tedy nekonečně mnoho řešení ve tvaru $y(x) = C_2 \sin 10x$, kde $C_2 \in \R$.
 
  Nechť jsou zadány následující okrajové podmínky: $y(0) = 1$ a $y(\pi) = 0$. Z~první podmínky plyne, že $C_1 = 1$ a $C_2 \in \R$, zatímco z~druhé 
  plyne $C_1 = 0$ a $C_2 \in \R$. Je zřejmé, že obě tyto podmínky nemohou být splněny současně, a proto taková okrajová úloha nemá řešení.
\end{example}
 
\begin{remark}
  \index{řešení!jednoznačnost}
  \label{rmrk:jednoznacnost}
  \textbf{Jednoznačnost řešení} rovnice \eqref{eq:dr}.
 
  Řekneme, že řešení rovnice \eqref{eq:dr} je dáno jednoznačně právě tehdy, když pro každé dvě řešení $y_1$, $y_2$ takové, že $y_1: I_1 \to \R$ a 
  $y_2: I_2 \to \R$, kde $I_1 \cap I_2 \neq \emptyset$ ($I_1$ a $I_2$ jsou otevřené intervaly) platí výrok 
  $\bigl( \forall x \in I_1 \cap I_2 \bigr) \bigl( y_1(x) = y_2(x) \bigr)$. Neboli řešení se musí shodovat na průniku svých definičních oborů.
\end{remark}
 
\begin{remark}
  \index{úpravy!ekivalentní}
  \index{úpravy!neekvivalentní}
  Postup hledání řešení diferenciální rovnice zahrnuje algebraické a funkcionální úpravy (substituce). Podobně jako v~lineární algebře mohou tyto 
  úpravy být \emph{ekvivalentní} nebo \emph{neekvivalentní}.
\end{remark}
 
\begin{define}
  \index{rovnice diferenciální!ekvivalentní}
  Dvě diferenciální rovnice nazveme \textbf{ekvivalentní} právě tehdy, když mají stejné množiny řešení. 
  %Rovnice (DR1) je \textbf{ekvivalentní} rovnici (DR2) právě tehdy, když množina řešení (DR1) je stejná jako množina řešení (DR2).
\end{define}
 
\begin{example}
  Nechť je dána rovnice
  \begin{equation*}
    xy' = y^2 - y,
  \end{equation*}
  z~níž úpravou (vynásobením výrazem $x^{-1}(y^2-y)^{-1}$) vznikne rovnice
  \begin{equation*}
    \frac{y'}{y^2 - y} = \frac{1}{x} \ .
  \end{equation*}
  Tuto úpravu však lze uvažovat pouze pro $x\neq 0$, $y \neq 0$ a $y \neq 1$. Uvažujme funkce $y(x) = 0$ nebo $y(x) = 1$ definované na $\R$. Obě 
  tyto funkce řeší první rovnici, ale nemohou být řešeními druhé. Je tedy zřejmé, že obě rovnice nemají stejné množiny řešení, a proto nemohou být 
  ani ekvivalentní. To je důsledkem provedení neekvivalentní úpravy. Navíc se lze přesvědčit, že řešení druhé rovnice řeší také první rovnici, ale 
  nikoli na stejné množině. Uvažujme např. funkci $y(x) = 1/(1-x)$, která řeší druhou rovnici pro $x\neq 0$ a $x\neq 1$. Tato funkce však 
  také řešením první rovnice pro $x\neq 1$. Při každé úpravě diferenciální rovnice je tedy třeba dávat pozor, zda je tato úprava ekvivalentní nebo 
  ne.
\end{example}