| 01PRA1 Pravděpodobnost a mat. statistika 1 | 01PRA1 Pravděpodobnost a mat. statistika 1

% 01PRA1 - Pravděpodobnost a matematická statistika 1 \title{Pravděpodobnost 1}

Mějme čísla $ 1,2,\dots,n $ a provádějme náhodné permutace. Jaká je pravděpodobnost, že $ 1 $ a $ 2 $ budou ve výsledné permutaci vedle sebe v pořadí $ 1, …0,1,2,\dots,9 $ a provádějme náhodný výběr s opakováním. Jaká je pravděpodobnost, že v $ k $ pokusech nebude $ 0 $

\begin{definition}[Pravděpodobnost]

$ \mathrm{P}(A) = p $ (pravděpodobnost úspěchu) a tedy $ \mathrm{P}\left(A^{\mathbb{C}}\right) = 1 - p $ (pravděpodobnost neúspěchu). Počet příznivých jevů při $ n $ opakováních je potom

…avděpodobné). Někdo nám tam ještě jednu kuličku přihodí. Jaká je pravděpodobnost vytažení bílé kuličky?

…achovává vlastnosti $ j- $tého původního prvku a současně $ j- $tá pravděpodobnost zachovává vlastnosti $ j- $té původní pravděpodobnosti. a nyní nezávislost. Chceme ukázat, že sdružená pravděpodobnost

\index{pravděpodobnost, klasická}\textsc{Klasická pravděpodobnost} je definována jako limita podílu …ání náhodného pokusu a $n_A$ počet případů příznivých jevu $A$. Pravděpodobnost $p$ udává

stejně často, respektive pravděpodobnost realizace určitých mikrostavů nemusí být stejná. Pravděpodobnost daného mikrostavu je pak určena hustotou pravděpodobnosti $w(q,p,t)$.

tj. v nejpravděpodobnějším rozdělení mají všechny mikrostavy stejnou pravděpodobnost realizace, závisející pouze na celkové energii systému. (Celková ener

Naším cílem bude nalézt pravděpodobnost $w_{nN} = w(E_{nN})$, že náhodně vybraný systém bude mít $N\equiv (N_

rezervoár). Pravděpodobnost, že nějaká určitá částice z místnosti se Pravděpodobnost, že $n$ částic z celkových $N$ v místnosti je zrovna v objemu $V_1$, j

…ud jsou nedegenerované), protože $w$ má každému mikrostavu přiřadit pravděpodobnost.}

\item $P(A)\geq 0$ -- pravděpodobnost každého jevu je nezáporná, \item $P(\Omega) = 1$ -- jev jistý nastane s pravděpodobností jedna,

Pravděpodobnost, že je spin natočen ve směru nebo proti směru pole, je rovna

…m rozsahem probírané látky v kombinaci s její náročností. Samotná pravděpodobnost zřejmě je těžká na pochopení, ale v přednášce Dr. Kůse je navíc …ři příklady. Jeden nebo dva bývají prakticky zaměřené (vypočítat pravděpodobnost pomocí Bayesovy věty,...). Horší jsou pak teoretické příklady: spoč

\def \pst {{pravděpodobnost}}

s~termostatem nabývat různých energií}. Pravděpodobnost výskytu oscilátoru ve stavu $s$ s~energií ${\epsilon}(s)$ je dána Boltz Čemu je úměrná pravděpodobnost nalezení částice popsané de Broglieovou vlnou \rf{dbvlna} v~oblasti $(x

Jaká je pravděpodobnost nalezení elektronu vodíkového obalu ve vzdálenosti $(r,r+\dr)$ od jádr

…ou osou svírá úhel $\Theta$, jaké můžeme naměřit hodnoty a s~jakou pravděpodobností? …ého na osu $z$ není vůbec určená - podle cvičení (\ref{spin:pr}) je pravděpodobnost naměření kladné i záporné projekce spinu rovna $\frac{1}{2}$.

…e-li, že pravděpodobnost nalézt první \cc i v~oblasti $O_1$ je $w_1$ a pravděpodobnost nalézt …ti $O_2$ je $w_2$, pak (za předpokladu, že tyto \pst i jsou nezávislé) pravděpodobnost nalézt první \cc i

…gonální projektor na podprostor odpovídající vlastní hodnotě $a_j$. Pravděpodobnost výsledku $a_j$ je rovna $||\hat P_j \psi||^2$. a fázový faktor $e^{i\phi}$ je irelevantní. Pravděpodobnost tohoto výsledku měření je

…ti, charakterizovaným kvantovými čísly $(l,m)$, předpovědět \textbf{pravděpodobnost

…eboť neovlivní žádné fyzikálně interpretovatelné výsledky jako je pravděpodobnost nalezení v~místě $\vex$, pravděpodobnost přechodu do jiného stavu v~důsledku měření, ani střední hodnotu lib

…ají až na vyjímky pravděpodobnostní charakter - můžeme určit pouze pravděpodobnost daného výsledku měření, ale ne přesný výsledek jednoho měření. V postulátu \ref{proj:post} jsme uvedli, že pravděpodobnost naměření hodnoty $a_j$ pozorovatelné $A$ na částici ve stavu popsané

Pravděpodobnost $P$ je funkce $P:\A\mapsto\R$ taková, že Pravděpodobnost je spojitá funkce shora i zdola:

Experiment se $n$-krát opakuje, přičemž pravděpodobnost úspěchu je Pro pravděpodobnost platí

Nechť $y_k$ odpovídá pravděpodobnost $q_k$. Potom

pravděpodobnost, že ten odhad \uv{uletí}. Otázka je, jak nízko lze s pravděpodobností $1$ platí

\def \pst {pravděpodobnost}

Čemu je úměrná pravděpodobnost nalezení částice popsané Protože $|\psi(\vec{x},t)|^2=|A|^2=konst.$, je pravděpodobnost nalezení částice popsané

Pravděpodobnost nalezení pod daným prostorovým úhlem je rovna $|Y_{l,m}(\theta,\varphi)

S jakou pravděpodobností naměříme hodnoty energie rovné …í $\omega=\hbar/M$ je v koherentním stavu s amplitudou $\alpha$. S jakou pravděpodobností naměříme hodnotu energie rovnu $(n+\frac{1}{2})\hbar\omega$? Jaká je

…rovými úhly $\theta,\varphi$, jaké můžeme naměřit hodnoty a s jakou pravděpodobností? Jaká je střední hodnota projekce spinu do směru $\vec{n}$? …ase $t$ je dána skalárním součinem $\psi(t)$ a $\psi_{y+}$. Výsledná pravděpodobnost je rovna

s pravděpodobností $\frac{1}{2}$ (pro každé dva vrcholy si hodíme mincí, a pokud padne líc, spojíme je hranou). Ptejme se, jaká je pravděpodobnost,

Nechť je dáno $k\in\N$. Spočítáme pravděpodobnost, že náhodný graf $n$ je tato pravděpodobnost menší než $1$, tj.\begin{equation}

…ění jsou \textbf{úmrtnostní tabulky}. Cílem těchto tabulek je určit pravděpodobnost úmrtí člověka v daném věku. Příklad části tabulky je na Obr. \ref …jeden rok se často používá aproximace $_uq_x = uq_x$. Dále $_np_x$ je pravděpodobnost přežití $n$ let po věku $x$.

…člověk platí konstantní pojistné, ale v nižším věku má nižší pravděpodobnost smrti. Nyní si zavedeme označení: $p_k(t)=P(N_t=k)$ (pravděpodobnost, že v čase od 0 do $t$ nastane $k$ pojistných událostí). Zřejmě pla

…ož je samozřejmě zásadní problém, pokud ho chceme interpretovat jako pravděpodobnost.

\section{Pravděpodobnost dvou-částicového rozpadu} …e pravděpodobnost takového přechodu rovna $|S_{fi}|^2$. Chceme-li znát pravděpodobnost rozpadu částice, musíme určit, kolik je možných finálních stavů v

…dobnosti budou operátory na $\hilbert$, které každému stavu přiřadí pravděpodobnost, že se v něm systém nachází. …u (jádra). To budeme interpretovat, že stavu $\ket{\psi}$ je přiřazena pravděpodobnost $1$ a všem stavům kolmým na $\ket{\psi}$ nulová.

…e kvantová částice může bariérou protunelovat, a spočetli, s jakou pravděpodobností, budeme hledat stacionární řešení, které se asymptoticky bude chova …án stav systému $\ket{\psi(t_0)}$ v čase $t_0$ a zajímá nás, s jakou pravděpodobností přejde systém po provedení měření v čase $t_f$ do stavu $\ket{\psi

%Poznámky k předmětu Míra a pravděpodobnost dle přednášek vedených dr. Václavem Kůsem na FJFI ČVUT v akademické

…stních stavů $\hat{H}_\textrm{částice}$ a $\hat{H}_\textrm{pole}$. Pro pravděpodobnost přechodu tedy platí Vidíme, že z hlediska pole jsou jediné povolené přechody (s nenulovou pravděpodobností v první řádu rozvoje) takové, kde $\ket{f_\textrm{p}}$ má překryv b

…1$, je tato veličina nulová. V takovém případě totiž jev spjatý s pravděpodobností $p_{i_0}$ nastává vždy a žádný jiný jev nenastává. Toto rozděle …no vyjadřuje, že se daný systém nachází v čistém stavu $\ket{i}$ s pravděpodobností $\lambda_i$. Pokud jsou všechna vlastní čísla vyjma jednoho nulová,

Vlastnost $B$ je přitom naměřena s pravděpodobností% $p(B) \equiv \tr(E(B) \rho E(B)) = \tr(E(B) \rho)$. …intervalu $\Delta r_i$. Intervalu odpovídá projektor $\Delta E_i$, tato pravděpodobnost je tedy podle von Neumanna rovna $p(\Delta r_i) = \tr(\Delta E_i \, \rho)$.

…aru $\frac{1}{p_m} \phi_m (\rho)$. Tento stav se přitom mohl vyskytovat s pravděpodobností $p_m = \tr \phi_m(\rho)$. Zde $\phi_m: \bound{\hilb} \to \bound{\hilb}$ j …$\rho_i$, tak přitom může nastat s pravděpodobností $p(i|m)$, což je pravděpodobnost změření operátoru $\rho_i$ za předpokladu, že hodnota měření byla

…ůžeme rozumět skutečnost, že "padne šestka"). Pak definujeme \textbf{pravděpodobnost jevu} $ A $ následovně: …lá na výsledku experimentu. To by znamenalo, že v pondělí může být pravděpodobnost padnutí šestky jiná než v úterý, což intuitivně nedává příliš

…naše známá pravděpodobnostní míra, která této množině přiřadí pravděpodobnost. Je tedy $ P^{\xx}\!\colon \bb_n \rightarrow [0,1] $. $ P^{\xx} $ je defino …_F $ je ve smyslu disjunktního sjednocení. Přesvědčíme se, že jde o~pravděpodobností míru. Ověřme tedy axiomy K\ref{k1}--K\ref{k3}.

…rrow 0_+} \frac{o(h)}{h} = 0 $. Tato podmínka vyjadřuje skutečnost, že pravděpodobnost, že jev $ A $ nastane právě jednou v~časovém intervalu o~délce $ h $, …\left(X_{t+h} - X_t \geq 2\right) = o(h) $, tj. jevy jsou \emph{řídké}. Pravděpodobnost, že v~intervalu délky~$ h $ nastanou alespoň dva jevy, je malá.

Jak víme, distribuční funkce je s~pravděpodobností spojena vztahem $ F_X(x) =\linebreak= P(X \leq x) = \alpha \in [0,1]$. Uk \item \textbf{$ \P $ je pravděpodobnost.} Ukažme platnost Kolmogorovových axiomů:

…b{N}$. Podobné učiníme s~výrokem $ \forall n \geq k $. Výše uvedenou pravděpodobnost můžeme tedy ekvivalentně přepsat do tvaru …isté konvergence \ref{def-konv-sj} -- vystačíme si totiž s~faktem, že pravděpodobnost, že se $ (X_n) $ blíží k~$ X $, \emph{konverguje} k~jedné (nemusí jí