Součásti dokumentu 01PRA1
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01PRA1}
\section{Axiomatická definice pravděpodobnosti}
\subsection{Jevy a operace s nimi}
Jedním ze základních pojmů teorie pravděpodobnosti jsou jevy a operace s nimi pojaté jako operace s množinami. Uvažujme pokus, a
označme
\begin{description}
\item [$ \Omega $] {Množinu všech možných výsledků pokusu, tzv. elementárních jevů. Tuto množinu nazýváme \textit{prostor elementárních jevů}, \textit{základní pravděpodobnostní prostor}, \textit{výběrový prostor}, apod.}
\item [$ \omega \in \Omega $] {Prvky prostoru elementárních jevů nazýváme \textit{elementárními jevy}.}
\item [$ A \subset \Omega $] {Libovolnou podmnožinu nazýváme \textit{jev}.}
\end{description}
Říkáme že jev $ A \subset \Omega $ nastal, pokud nastal elementární jev $ \omega \in A $. Jev $ \Omega $ nazýváme \textit{jevem jistým} a $ \emptyset $ nazýváme \textit{jevem nemožným}.
\begin{definition}
Buď $ \Omega $ prostor elementárních jevů a $ A,B \subset \Omega $ jevy. Potom definujeme:
\begin{enumerate}
\item $ A^\mathbb{C}$ - \textbf{jev opačný}, který nastává právě tehdy když nenastává $ A $, tj. $$ \omega \in A^C \Leftrightarrow \omega \not \in
A$$
\item $ A \cup B $ - \textbf{sjednocení jevů}, nastává právě když nastává alespoň jeden z jevů $ A,B $.
\item $ A \cap B $ - \textbf{průnik jevů}, nastává právě když nastávají oba jevy $ A,B $ současně.
\item Říkáme že jevy $ A,B $ jsou \textbf{neslučitelné}, pokud $ A \cap B = \emptyset $. Potom také píšeme $ A \cup B = A + B $.
\item $ A \subset B $ - jev $ A $ je \textbf{podjevem} jevu $ B $, právě když $$ \omega \in A \Rightarrow \omega \in B $$
\item $ A = B $ - jevy jsou \textbf{ekvivalentní}, pokud $ A \subset B \land B \subset A$
\item $ A - B $ - nastává jev $ A $, ale nenastává jev $ B $. Platí $ A - B = A \cap B^C $.
\item $ A \Delta B = (A - B) \cup (B - A)$ - \textbf{symetrická diference}
\end{enumerate}
\end{definition}
\begin{theorem}
Nechť $ A,B,C \subset \Omega $ jsou jevy. Potom platí:
\begin{enumerate}
\item $ A \subset A $ \quad Dk: $\omega \in A \Rightarrow \omega \in A$
\item $ (A \subset B) \land (B \subset C) \Rightarrow (A \subset C)$ \quad Dk: $\omega \in A \Rightarrow \omega \in B \Rightarrow \omega \in C$
\item $ A \cup A = A $, $ A \cap A = A $ \quad Dk: $\omega \in A \Rightarrow \omega \in A$, $\omega \in A \lor \omega \in A \Rightarrow \omega \in A$
\item $ A \cup B = B \cup A $, $ A \cap B = B \cap A $ (komutativita)
\item $ A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C $, $ A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C $ (asociativita)
\item $ \emptyset \subset A \subset \Omega $
\item $ (A \cap B) \subset A \subset (A \cup B) $
\item $ \emptyset \cup A = A $, $ \emptyset \cap A = \emptyset $
\item $ A \cup \Omega = \Omega $, $ A \cap \Omega = A $
\item $ \left(A^C\right)^C = A $
\item $ (A \cup B)^C = A^C \cap B^C $, $ (A \cap B)^C = A^C \cup B^C $ (de Morganovy zákony)
\item $(A \cup B) = A + B \cap A^C$
\item $ B = (A \cap B) + (A^C \cap B)$
\item $ A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$, $ A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$ (distributivita)
\item $ A \cup A^C = \Omega $
\item $ A \cap A^C = \emptyset $ (zákon vyloučeného středu)
\item $ A \cap (B + C) = (A \cap B) + (A \cap C) $
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{theorem}
Buďte $ \left\{A_k\right\}_{k=1}^{N,+\infty} $ jevy. Potom platí:
\begin{enumerate}
\item $ {\bigcup}_{n=1}^{N,+\infty} A_k = A_1 + \sum_{k=2}^{N,+\infty} A_1^C A_2^C \dots A_{k-1}^C A_k$ \quad ($AB = A \cap B$)
\item $ \left({\bigcup}_{n=1}^{N,+\infty} A_k\right)^C = \bigcap_{k=1}^{N,+\infty} A_k^C $, $
\left({\bigcap}_{n=1}^{N,+\infty} A_k\right)^C = \bigcup_{k=1}^{N,+\infty} A_k^C $ (de Morganovy zákony pro nejvýše spočetný systém jevů)
\end{enumerate}
\end{theorem}
\subsection{Algebraická struktura jevů}
Jevy a operace s nimi, tak jak byly definovány v předchozím oddíle, je možno uspořádat do tzv. \textit{Booleovy algebry},
definované dále.
\begin{definition}[Booleova algebra]
Booleovou algebrou nazýváme strukturu $ (\A,+,\cdot,\mathbb{C}) $, kde $ \A $ je množina jevů, $ + $ a $ \cdot $
jsou binární operace, $ \mathbb{C} $ je operace unární a ve které platí následující axiomy. Nechť $ A,B,C \in \A $ a nechť platí
\begin{enumerate}
\item $ A + A = A$
\item $ A + B = B + A $, $ A \cdot B = B \cdot A $
\item $ A + (B + C) = (A + B) + C $, $ A \cdot (B \cdot C) = (A \cdot B) \cdot C $
\item $ A \cdot (B + C) = (A \cdot B) + (A \cdot C) $, $ A + (B \cdot C) = (A + B) \cdot (A + C) $
\item $ A + \mathbb{C}A = 1 $, $ A \cdot \mathbb{C}A = 0 $
\item $ A + 0 = A $, $ A \cdot 0 = 0 $
\item $ A + 1 = 1 $, $ A \cdot 1 = A $
\end{enumerate}
\end{definition}
S Booleovými algebrami (a algebrami obecně) se blíže seznámíte v přednášce "Algebra", zatím nám bude stačit, že se jedná o množinu, ke které jsou přiřazeny algebraické operace a množina je vůči nim uzavřená. Pokud budeme uvažovat množinu všech elementárních jevů $ \Omega $, ke které přiřadíme operace $ \cup,\cap,\mathbb{C} $, tj. sjednocení, průnik a doplněk, potom jsou zřejmě všechny předpoklady definice splněny a $ (\Omega,\cup,\cap,\mathbb{C}) $ je booleovská algebra. V souladu s touto skutečností budeme někdy průnik značit $ \cdot $, případně ho budeme zapisovat $ A \cap B = AB $. Nahrazení znaku sjednocení součtem si však dovolit nemůžeme, protože operaci $ + $ jsme si již vyhradili pro sjednocení neslučitelných jevů.
Vyvstává však otázka, zda není možné zvolit nějaký systém podmnožin $ \Omega $ a úvahy provádět na něm. Odpověď zní ano, takový systém je možno volit a tento systém nazýváme $ \sigma $-algebrou.
\begin{definition}[množinová algebra]
Buď $ \Omega $ libovolná neprázdná množina a buď $\A \subset 2^\Omega$. Potom říkáme, že $ \A $ je množinová algebra, pokud
\begin{enumerate}
\item $\emptyset \in \A$
\item $A \in \A \Rightarrow A^C \in \A$
\item $A, B \in \A \Rightarrow A \cup B \in \A$
\end{enumerate}
\end{definition}
\begin{definition}[$\sigma$-algebra]
Buď $ \Omega $ libovolná neprázdná množina a buď $ \A \subset \Omega $ systém podmnožin ($\A \subset 2^\Omega$). Potom říkáme, že $ \A $ je $ \sigma $-algebra, pokud
\begin{enumerate}
\item $ \emptyset \in \A $
\item $ (A \in \A) \Rightarrow (A^{\mathbb{C}} \in \A)$
\item $ \left(\left( A_k \right)_{k=1}^{\infty} \in \A\right) \Rightarrow \left(\bigcup_{k=1}^{\infty} A_k \in
\A \right) $
\end{enumerate}
\end{definition}
Každá $ \sigma $-algebra je tedy uzavřená vůči doplňkům a spočetným sjednocením a obsahuje prázdnou množinu. Přímo z definice vyplývají
následující vlastnosti:
\begin{theorem}
Buď $ \A $ $ \sigma $-algebra jevů. Potom platí:
\begin{enumerate}
\item $ \Omega \in \A $
\item $ \left(A_1,\dots,A_n \in \A\right) \Rightarrow \left( \bigcup_{k=1}^{n} A_k \in \A\right) $
\item $ \left(\left( A_k \right)_{k=1}^{\infty} \in \A\right) \Rightarrow \left(\bigcap_{k=1}^{\infty} A_k \in
\A \right) $
\item $ \left(A_1,\dots,A_n \in \A\right) \Rightarrow \left( \bigcap_{k=1}^{n} A_k \in \A\right) $
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}
\
\begin{enumerate}
\item $ (\emptyset \in \A) \Rightarrow (\emptyset^{\mathbb{C}} = \Omega \in \A) $
\item { Buďte $ A_1,\dots,A_n \in \A $, dodefinujme $ A_{n+1},A_{n+2},\dots = \emptyset $. Potom ale platí $ \left( A_k
\right)_{k=1}^{\infty} \in \A$, a můžeme tedy použít uzavřenost $\sigma$-algebry $ \A $ vůči nekonečnému
sjednocení. Potom tedy $$\bigcup_{k=1}^{\infty} A_k = \bigcup_{k=1}^{n} A_k \in \A$$ }
\item { Buď $ \left( A_k \right)_{k=1}^{\infty} \in \A $. Podle de Morganových zákonů pro spočetný systém množin
platí $$ \bigcap_{k=1}^{\infty} A_k = \left(\bigcup_{k=1}^{\infty} A_k^{\mathbb{C}} \right)^{\mathbb{C}} $$ a potom
$$ \left(A_k \in \A\right) \Rightarrow \left(A_k^{\mathbb{C}} \in \A\right) \Rightarrow \left(
\bigcup_{k=1}^{\infty} A_k^{\mathbb{C}} \in \A \right) \Rightarrow \left( \left(
\bigcup_{k=1}^{\infty} A_k^{\mathbb{C}}\right)^{\mathbb{C}} \in \A \right) $$
a dle de Morganova zákona tedy
$$ \left( \bigcap_{k=1}^{\infty} A_k\right) = \left( \bigcup_{k=1}^{\infty}
A_k^{\mathbb{C}}\right)^{\mathbb{C}} \in \A $$ }
\item {Tento bod dokážeme stejně jako bod 2, stačí pouze místo prázdné množiny uvažovat $ \Omega $, o které víme, že je stejně
jako prázdná množina prvkem $ \A $. Postup je zcela totožný. }
\end{enumerate}
\end{proof}
\begin{definition}[Pravděpodobnost]
\label{kolmog_p}
Buď $ \Omega $ neprázdná množina a $ \A \subset \Omega $ nechť je $ \sigma $-algebra. Potom pravděpodobnost $ \P $ je libovolná funkce $ \P:\A \to \R $, která splňuje následující podmínky:
\begin{enumerate}
\item $ \left( \forall A \in \A\right) \left( \P(A) \geq 0 \right)$ \quad (nezápornost)
\item $ \P(\Omega) = 1 $ \quad (normovanost)
\item {Buď $ \left( A_k \right)_{k=1}^{\infty} \in \A $ systém navzájem neslučitelných jevů, potom nechť
$$ \P\left( \sum_{k=1}^{\infty} A_k \right) = \sum_{k=1}^{\infty} \P(A_k) \textrm{\ \ (tzv.\ } \sigma \textrm{-aditivita)} $$}
\end{enumerate}
($\Omega, \A, \P$) je pravděpodobnostní prostor.
\end{definition}
\begin{note}
Po definici $ \sigma $-algebry se mohlo zdát, že nejlepší bude prostě vzít $ \A = 2^{\Omega} $, tj. potenční množinu. To vskutku jde, pokud je $ \Omega $ spočetná. Pokud je však množina $ \Omega $ nespočetná, je sice $ 2^{\Omega} $ $ \sigma $-algebra, nicméně neumíme definovat funkci $ \P $ tak, aby vyhovovala axiomům. Jak je potom $ \A $ volena, je blíže rozebíráno v kapitole \ref{RandomValues}.
\end{note}
\begin{theorem}
Buď $ \A $ $ \sigma $-algebra, $A, B, C \in \A$, potom platí:
\begin{enumerate}
\item $ \P(\emptyset) = 0 $
\item $ \P\left( \sum_{k=1}^{n} A_k \right) = \sum_{k=1}^{n} \P(A_k) $ \quad ($A_1,\dots, A_n$ disjunktní jevy)
\item $ \P(A \cup B) = \P(A) + \P(B) - \P(A \cap B) $
\item $ \P(A \cup B \cup C) = \P(A) + \P(B) + \P(C) - \P(A \cap B) - \P(A \cap C)
- \P(B \cap C) + \P(A \cap B \cap C) $
\item $ \P\left( \bigcup_{k=1}^{N,\infty} A_k \right) \leq \sum_{k=1}^{N,\infty} \P(A_k) $ (Booleova nerovnost)
\item $ (A \subset B) \Rightarrow (\P(A) \leq \P(B))$ (monotonie pravděpodobnosti)
\item $ (\forall A \in \A)(\P(A) \leq 1) $
\item $ (\forall A \in \A)\left(\P(A) = 1 - \P(A^{\mathbb{C}})\right) $
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item {Buď $ (\forall k \in \mathbb{N})(A_k = \emptyset) $. Potom $$ \P\left(\sum_{k=1}^{\infty} A_k\right) =
\P\left(\emptyset\right) = \sum_{k=1}^{\infty} \P\left(\emptyset\right) \Rightarrow \P(\emptyset) = 0$$
}
\item { Nechť $ A_{n+1} = A_{n+2} = \dots = \emptyset $. Využijeme aditivity $ \P $:
$$ \sum_{k=1}^{\infty} A_k = \sum_{k=1}^{n} A_k + \sum_{n+1}^{\infty} A_k = \sum_{k=1}^{n} A_k $$
$$ \P\left(\sum_{k=1}^{\infty} A_k\right) = \P\left(\sum_{k=1}^{n} A_k\right) +
\P\left(\sum_{n+1}^{\infty} A_k\right) = \P\left(\sum_{k=1}^{n} A_k\right) $$
$$ \P\left(\sum_{k=1}^{\infty} A_k\right) = \sum_{k=1}^{\infty} \P(A_k) = \sum_{k=1}^{n} \P(A_k)
+ \underbrace{\sum_{n+1}^{\infty} \P(A_k)}_{0} = \sum_{k=1}^{n} \P(A_k)$$
čili
$$ \sum_{k=1}^{n} \P(A_k) = \P\left(\sum_{k=1}^{n} A_k\right) $$
}
\item { Využijeme vztahů $ A \cup B = A + B \cap A^{\mathbb{C}}$, $ B = (B \cap A) + (B \cap A^{\mathbb{C}}) $:
$$ \P(A \cup B) = \P(A) + \P(A^{\mathbb{C}} \cap B) $$
$$ \P(B) = \P(B \cap A) + \P(A^{\mathbb{C}} \cap B) \Rightarrow \P(B) - \P(B \cap A) =
\P(A^{\mathbb{C}} \cap B)$$
a tedy
$$ \P(A \cup B) = \P(A) + \P(B) - \P(A \cap B) $$
}
\item { Stačí dvakrát aplikovat předchozí postup. Detailní provedení necháváme na čtenáři... }
\item { Důkaz provedeme matematickou indukcí:
\begin{description}
\item [$ n=2 $] {
$$ \P(A \cup B) = \P(A) + \P(B) - \P(A \cap B) \leq \P(A) + \P(B) $$
}
\item[$ n \to n+1 $] {
$$ \P\left( \bigcup_{k=1}^{n+1} A_k \right) = \P\left( \bigcup_{k=1}^{n} A_k \cup A_{n+1} \right) =
\P\left( \bigcup_{k=1}^{n} A_k\right) + \P\left(A_{n+1} \right) - \P\left( \bigcup_{k=1}^{n} A_k \cap A_{n+1} \right) \leq $$
$$ \stackrel{ind}{\leq} \sum_{k=1}^{n} \P(A_k) + \P(A_{n+1}) = \sum_{k=1}^{n+1} \P(A_k) $$
}
\end{description}
}
\item { Nechť $ A \subset B $. Potom
$$ B = (A \cap B) + (A^{\mathbb{C}} \cap B) \hbox{ přechází v } B = A + (A^{\mathbb{C}} \cap B) $$
čili $$ \P(B) = \P(A) + \underbrace{\P(B \cap A^{\mathbb{C}})}_{\geq 0} $$
a tedy $ \P(A) \leq \P(B) $
}
\item { Vyplývá primitivně z monotonie pravděpodobnosti. Nechť existuje $ A \subset \Omega $ taková, že $ \P(A) > 1 $.
Potom ale dle předchozího tvrzení $ A \subset \Omega \Rightarrow \P(A) \leq \P(\Omega) = 1 $, což je spor. }
\item { Tvrzení vyplývá z rovnosti $ A + A^{\mathbb{C}} = \Omega $. Potom totiž $$ \P(\Omega) = 1 = \P(A) +
\P(A^{\mathbb{C}}) \Rightarrow 1 - \P(A^{\mathrm{C}}) = \P(A)$$
}
\end{enumerate}
\end{proof}
\begin{theorem}[Věta o spojitosti pravděpodobnosti]
Buď $ \left( A_k \right)_{k=1}^{\infty} \in \A$ systém podmnožin $ \sigma $-algebry $ \A $ a nechť platí
alespoň jedna z následujících podmínek:
\begin{enumerate}
\item { $ A_k \nearrow A $, tj. systém roste ve smyslu inkluze ($A_k \subset A_{k+1}$, $\cup_{k=1}^{\infty} A_k = A $).}
\item { $ A_k \searrow A $, tj. systém klesá ve smyslu inkluze ($ A_{k+1} \subset A_{k}$, $\cap_{k=1}^{\infty} A_k = A $). }
\end{enumerate}
Potom platí $$ \P(A_k) \to \P(A) $$
\end{theorem}
\begin{proof}
\
\begin{enumerate}
\item {
\begin{enumerate}
\item {Nechť nejdříve $ A_k \searrow A = \emptyset $. Definujme systém $ B_k $ takto:
$$ B_k = A_k - A_{k+1} $$
Potom $ B_k $ jsou disjunktní (neslučitelné jevy), a můžeme tedy psát
$$ A_n = \bigcup_{k \geq n} B_k = \sum_{k \geq n} B_k $$
$$ \sum_{k=1}^{\infty} \P(B_k) = \P\left( \sum_{k=1}^{\infty} B_k \right) = \P(A_1) \in [0,1] $$ (konverguje $\Rightarrow$ řada zbytků jde k 0)
$$ \P(A_n) = \sum_{k \geq n} \P(B_k) \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} 0 = \P(\emptyset) $$
}
\item { Nechť nyní $ A_k \searrow A \neq \emptyset $. Tento případ převedeme na předchozí, protože platí:
$$ A_n = (A_n - A) + A \Rightarrow \P(A_n) = \P(A_n - A) + \P(A) $$
Systém $ A_n - A $ klesá ve smyslu inkluze, a přitom $ A_n - A \to \emptyset $, čímž jsme převod na předchozí případ dokončili, a
platí tedy $$ \P(A_n - A) \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} 0 \Rightarrow \P(A_n) \stackrel{n\to \infty}{\longrightarrow} \P(A) $$ }
\end{enumerate}}
\item { Případy $ A_k \nearrow A $ lze převést na předchozí případy. Použijeme posloupnost $A_k^{\mathbb{C}}$. Pomocí de Morganových pravidel lze ukázat, že klesá k $A^{\mathbb{C}}$. Tím jsou splněny předpoklady předešlého případu a tedy $\P(A_k^{\mathbb{C}}) \stackrel{k \to \infty}{\longrightarrow} \P(A^{\mathbb{C}})$. Celkem $$\P(A_k) = 1 - \P(A_k^{\mathbb{C}}) \stackrel{k \to \infty}{\longrightarrow} 1 - \P(A^{\mathbb{C}}) = \P(A)$$}
\end{enumerate}
\end{proof}
\subsection{Podmíněná pravděpodobnost}
\begin{definition}[Podmíněná pravděpodobnost]
Buďte $ A,B $ jevy a nechť $ \P(B) > 0 $. Potom podmíněnou pravděpodobnost jevu $ A $ za předpokladu (jevu) $ B $ (tzv.
apriorní informace) definujeme jako
\begin{equation}
\P(A|B) = \frac{\P(A \cap B)}{\P(B)}
\end{equation}
\end{definition}
\begin{theorem}
$\P(\cdot|B)$ je pravděpodobnost ve smyslu definice \ref{kolmog_p}.
\end{theorem}
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item $$\P(A|B) = \frac{\P(A\cap B)}{\P(B)}\ge 0$$
\item $$\P(\Omega|B) = \frac{\P(\Omega\cap B)}{\P(B)} = \frac{\P(B)}{\P(B)} = 1$$
\item $$\P\left(\left.\sum_{j=1}^\infty A_j\right|B\right) = \frac{\P\left(\left(\sum_{j=1}^\infty A_j\right)\cap B\right)}{\P(B)} = \frac{\P\left(\sum_{j=1}^\infty(A_j\cap B)\right)}{\P(B)} =$$
$$= \frac{\sum_{j=1}^\infty \P(A_j\cap B)}{\P(B)} = \sum_{j=1}^\infty \frac{\P(A_j\cap B)}{\P(B)}$$
\end{enumerate}
\end{proof}
\begin{theorem}[Součinové pravidlo]
Buďte $ A_0,A_1,\dots,A_n \in \A $ jevy takové, že $ \P(A_0 \dots A_{n-1}) > 0 $. Potom
\begin{equation}
\P(A_0 A_1 A_2 \dots A_n) = \P(A_0) \cdot \P(A_1 | A_0) \cdot \P(A_2 | A_0 A_1) \cdots
\P(A_n | A_0 \cdots A_{n-1})
\end{equation}
\end{theorem}
\begin{proof}
\
Nejdříve musíme ověřit, zda jsou jednotlivé činitele v součinu vůbec definovány, tj. jestli náhodou někde nedělíme nulou. To ale díky předpokladu $ \P(A_0 A_1 \dots A_n) > 0 $ a díky monotonii pravděpodobnosti nastat nemůže. Nyní tedy stačí dokázat rovnost, což provedeme indukcí:
\begin{description}
\item [$ n = 1 $] {
$$ \P(A_0 A_1) = \P(A_0) \cdot \P(A_1 | A_0) $$
}
\item [$ n \to n+1 $] {
$$ \P(A_0 \cdots A_{n+1}) = \P(A_0 \cdots A_n) \cdot \P(A_{n+1}|A_0 \cdots A_n) $$
přičemž dle předpokladu
$$ \P(A_0 A_1 A_2 \dots A_n) = \P(A_0) \cdot \P(A_1 | A_0) \cdot \P(A_2 | A_0 A_1) \cdots
\P(A_n | A_0 \cdots A_{n-1}) $$
a celé tvrzení tedy platí.
}
\end{description}
\end{proof}
\begin{definition}[Úplný rozklad jevu]
Systém $ \left( H_n \right)_{n=1}^{N,\infty} $ nazýváme úplným rozkladem jistého jevu $ \Omega $, pokud
\begin{enumerate}
\item $ H_k $ jsou disjunktní (neslučitelné jevy)
\item $ \sum_{k=1}^{N,\infty} \P(H_k) = 1 $
\item $ (\forall k)(\P(H_k) > 0) $
\end{enumerate}
\end{definition}
\begin{note}
Nemusí nutně být $ \Omega = \sum_{k} H_k $. Můžeme vynechat množiny, jejichž pravděpodobnost je nulová.
\end{note}
\begin{theorem}[O úplnosti]
Buď $ \left( H_n \right)_{n=1}^{N, \infty} $ úplným rozkladem jevu $ \Omega, A \in \A $. Potom platí
\begin{equation}
\P(A) = \sum_{n} \P(A | H_n) \cdot \P(H_n)
\end{equation}
\end{theorem}
\begin{proof}
\
$$ \P(A) = \P\left(A \cap \sum_{k=1}^{N,\infty} H_k \right) + \P\left(A \cap \left( \sum_{k=1}^{N,\infty}
H_k\right)^{\mathbb{C}} \right) $$
Přitom ale platí
$$ \P\left(A \cap \left( \sum_{k=1}^{N,\infty} H_k\right)^{\mathbb{C}} \right) \leq \P\left( \left(
\sum_{k=1}^{N,\infty} H_k\right)^{\mathbb{C}} \right) = 0 $$
takže
$$ \P(A) = \P\left(A \cap \sum_{k=1}^{N,\infty} H_k \right) = \P\left(\sum_{k=1}^{N,\infty} (H_k \cap A)
\right) = \sum_{k=1}^{N,\infty} \P(H_k \cap A) = $$
$$ = \sum_{k=1}^{N,\infty} \frac{\P(H_k \cap A)}{\P(H_k)} \P(H_k) = \sum_{k=1}^{N,\infty} \P(A
| H_k) \cdot \P(H_k) $$
\end{proof}
\begin{theorem}[Věta Bayesova]
Buď $ \left( H_n \right)_{n=1}^{\infty} $ úplným rozkladem jevu $ \Omega, A \in \A $ tak, že $ \P(A) > 0 $. Potom platí:
\begin{equation}
\P(H_j | A) = \frac{\P(A| H_j) \cdot \P(H_j)}{\sum_{k=1}^{N,\infty}\P(A|H_k) \cdot
\P(H_k)}
\end{equation}
\end{theorem}
\begin{proof}
\
$$ \P(H_j | A) = \frac{\P(H_j \cap A)}{\P(A)} = \frac{\P(A | H_j) \cdot
\P(H_j)}{\sum_{k=1}^{N,\infty}\P(A|H_k) \cdot \P(H_k)}$$
\end{proof}
\begin{example}[Polyaův zásobníkový model]
Uvažujme zásobník, ve kterém máme $ r $ červených a $ s $ bílých kuliček. Provedeme náhodný tah, kuličku do zásobníku vrátíme a
přidáme $ c $ kuliček stejné barvy. Určete pravděpodobnost jevu $ A $, že v prvních třech tazích vytáhneme červené kuličky.
\end{example}
Definujme jevy $ A_1 $, $ A_2 $, $ A_3 $ tak, že jev $ A_i $ znamená tah červené kuličky v $ i $-tém tahu. Hledáme tedy
pravděpodobnost jevu $ A = A_1 \cdot A_2 \cdot A_3 $. Podle součinového pravidla tedy platí
$$ \P(A) = \P(A_1) \cdot \P(A_2 | A_1) \cdot \P(A_3 | A_1 \cdot A_2) $$
Přitom triviálně platí
$$ \P(A_1) = \frac{r}{r+s}$$
$$ \P(A_2 | A_1) = \frac{r+c}{r+s+c} $$
$$ \P(A_3 | A_1 \cdot A_2) = \frac{r+2c}{r+s+2c} $$
a celkem tedy
$$ \P(A_1 \cdot A_2 \cdot A_3) = \frac{r(r+c)(r+2c)}{(r+s)(r+s+c)(r+s+2c)} $$
\begin{example}
Nechť je vypsáno $ n $ zkouškových termínů, na které jsou dva zkoušející $ X $ a $ Y $. Je známo že $ n_1 $ termínů zkouší $ X $ a
$ n - n_1 = n_2 $ zkouší $ Y $. Je také známo, že $ X $ má $ r_1 $ dobrých a $ s_1 $ špatných otázek, zatímco $ Y $ má dobrých $
r_2 $ a $ s_2 $ špatných. Losujeme termíny (tj. zkoušející) a následně i otázky. Jaká je pravděpodobnost, že dostaneme dobrou
otázku?
\end{example}
Jako jev $ A $ označme vytažení dobré otázky. Využijeme větu o úplnosti, přičemž za úplný rozklad jevu $ A $ zvolíme systém $
\{H_1,H_2\} $, kde $ H_1 $ značí jev vytažení zkoušejícího $ X $ a $ H_2 $ značí vytažení zkoušejícího $ Y $. Potom ale triviálně
$$ \P(A|H_i) = \frac{r_i}{r_i + s_i} $$
$$ \P(H_i) = \frac{n_i}{n} $$
a dle věty o úplnosti tedy
$$ \P(A) = \sum_{i=1}^{2}\P(A | H_i) \cdot \P(H_i) = \frac{r_1 n_1}{(r_1 + s_1)n} + \frac{r_2
n_2}{(r_2 + s_2)n}$$
\begin{example}[Politická úloha]
Máme tři politické strany - ODS, ČSSD a JM (Jihočeské Matky), přičemž tyto tři strany si místa na úřadě rozdělily tak, že ODS má $
n_1$ zástupců, ČSSD má $ n_2 $ zástupců a JM mají $ n_3 $ zástupkyň. Přitom víme, že v ODS je $ r_1 $ dobrých a $ b_1 $ špatných
politiků, v ČSSD je dobrých politiků $ r_2 $ a špatných $ b_2 $ a v JM je dobrých političek $ r_3 $ a špatných $ b_3 $. Jaká je
pravděpodobnost, že pokud zvolíme dobrého politika/političku, bude z ČSSD/ODS/JM? (Odpověď "malá" není dostačující.)
\end{example}
Uvažujme úplný rozklad jistého jevu takto: $ H_1 $ byl zvolen z ODS, $ H_2 $ byl zvolen z ČSSD, $ H_3 $
byla zvolena z JM. Jev $A \in \A $ je volba dobrého politika. Hledáme tedy $ \P(H_2 | A) $, přičemž všechny podmíněné pravděpodobnosti $ \P(A|H_i) $ známe.
Využijeme tedy větu Bayesovu a vyjde nám
$$ \P(H_2,A) = \frac{\P(A | H_2) \cdot \P(H_2)}{\sum_{k=1}^{3}\P(A | H_k) \cdot \P(H_k)}
= \frac{ \frac{r_2}{r_2 + b_2} \cdot \frac{n_2}{n_1 + n_2 + n_3}}{\frac{r_1}{r_1 + b_1} \cdot \frac{n_1}{n} + \frac{r_2}{r_2 +
b_2} \cdot \frac{n_2}{n} + \frac{r_3}{r_3 + b_3} \cdot \frac{n_3}{n}} $$
\begin{definition}[Nezávislost jevů]
Buď $ \mathcal{C} $ libovolný systém jevů z $ \A $. Potom říkáme že systém jevů $ \mathcal{C} $ je stochasticky nezávislý (jevy v $
\mathcal{C} $ jsou nezávislé), pokud pro pro každé $ n \in \mathbb{N}$ a pro každou $ n $-tici jevů z $ \mathcal{C} $ platí
\begin{equation}
\P(A_1 \cdot A_2 \cdots A_n) = \prod_{k=1}^{n}\P(A_k)
\end{equation}
\end{definition}
\begin{theorem}
Buďte $ A,B \in \A $ jevy, potom platí:
\begin{enumerate}
\item Pokud jsou jevy $ A,B $ nezávislé, potom jsou nezávislé i jevy $ A, B^{\mathbb{C}} $.
\item Buďte $ A, B$ takové, že $ \P(B) = 0 $. Potom jsou jevy $ A, B $ nezávislé.
\item Buďte $ A, B$ takové, že $ \P(B) = 1 $. Potom jsou jevy $ A, B $ nezávislé.
\item Buďte $ A, B$ neslučitelné. Potom jsou nezávislé právě když $ \P(A) \cdot \P(B) = 0 $.
\item Buď $ \P(B) > 0 $. Potom jsou $ A, B $ nezávislé právě když $ \P(A|B) = \P(A) $.
\item Buďte $ A, B$ nezávislé, a nechť $ 1 > \P(B) > 0 $. Potom $ \P(A|B) = \P(A|B^{\mathbb{C}}) $.
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}
\
\begin{enumerate}
\item $ \P(A \cdot B^{\mathbb{C}}) = \P(A) - \P(A \cdot B) = \P(A) (1 - \P(B)) = \P(A)
\cdot \P(B^{\mathrm{C}})$
kde jsme využili vztahů
$$ A = AB + AB^{\mathbb{C}} \Rightarrow \P(A) - \P(AB) = \P(AB^{\mathbb{C}}) $$
$$ \P(A\cdot B) = \P(A) \cdot \P(B)$$
\item Zřejmé, protože
$$ \P(AB) \leq \P(B) = 0 \Rightarrow \P(AB) = 0 $$
\item Zřejmé, protože můžeme použít (1) a (2) na jevy $ A, B^{\mathbb{C}} $.
\item {
\begin{description}
\item[$ \Rightarrow $] Buďte $ A,B $ neslučitelné a nezávislé, tj. $ \P(AB) = \P(A) \cdot \P(B) $ a $
\P(A \cdot B) = 0.$ Potom ale zřejmě $ \P(A) \cdot \P(B) = 0 $.
\item[$ \Leftarrow $] Nechť jsou $ A,B $ neslučitelné a nechť $ \P(A) \cdot \P(B) = 0 $. Přitom ale $
\P(AB) = 0 $, takže rovnost platí.
\end{description}
}
\item {
\begin{description}
\item[$ \Rightarrow $] $$ \P(A|B) = \frac{\P(A \cdot B)}{\P(B)} = \frac{\P(A) \cdot
\P(B)}{\P(B)} = \P(A) $$
\item[$ \Leftarrow $] $$ \P(A \cdot B) = \P(A|B) \cdot \P(B) = \P(A) \cdot \P(B) $$
\end{description}
}
\item Stačí využít bodů (1) a (5) z této věty.
\end{enumerate}
\end{proof}
\begin{note}
\
\begin{enumerate}
\item Vlastnosti neslučitelnost a nezávislost nejsou totožné. Zároveň ani jedna vlastnost neimplikuje druhou.
\item Nezávislost nestačí definovat \uv{po dvou,} podmínka \uv{pro všechny $ n $-tice} v definici je velice důležitá. Tato vlastnost je demonstrována v následujícím příkladě.
\end{enumerate}
\end{note}
\begin{definition}[Po dvou nezávislé jevy]
Systém jevů $\mathcal{C}$ je po dvou nezávislý systém jevů, pokud $\forall A,B \in \mathcal{C}$ platí $\P(A \cap B) = \P(A)\P(B)$.
\end{definition}
\begin{note}
Předchozí definice není ekvivalentní s definicí stochastické nezávislosti.
\end{note}
\begin{example}
Mějme prostor elementárních jevů o čtyřech (stejně pravděpodobných) prvcích, tj. $ \Omega = \{\omega_1,\omega_2,\omega_3,\omega_4
\} $, a tři jevy $ A_1 = \{ \omega_1, \omega_2 \}, A_2 = \{ \omega_1, \omega_3\}, A_3 = \{\omega_1,\omega_4 \} $. Tyto jevy jsou
po dvou nezávislé, ale definici stochastické nezávislosti nevyhovují. Platí sice
$$ \P(A_1 A_2) = \P(A_1A_3) = \P(A_2A_3) = \frac{1}{4} $$
$$ \P(A_1) \P(A_2) = \P(A_1) \P(A_3) = \P(A_2) \P(A_3) = \frac{1}{4} $$
Ale
$$ \P(A_1 A_2 A_3) = \frac{1}{4} $$
$$ \P(A_1)\P(A_2)\P(A_3) = \frac{1}{8} $$
\end{example}
\begin{example}[Pro karbaníky]
Uvažujme balíček 52 karet (čtyři barvy po třinácti kartách). Označme jako jev $ A $ vytažení srdcové karty a jako jev $ B $
označme vytažení dámy. Potom
$$\P(A) = \frac{13}{52}, \P(B) = \frac{4}{52} \Rightarrow \P(A) \cdot \P(B) = \frac{13}{52} \cdot \frac{4}{52} = \frac{1}{52}$$
Pravděpodobnost tažení srdcové dámy je
$$ \P(A \cdot B) = \frac{1}{52}$$
To znamená, že jevy $A$ a $B$ jsou nezávislé. Přidejme do karet jednoho žolíka. Potom ale
$$ \P(A \cdot B) = \frac{1}{53} $$
$$ \P(A) \cdot \P(B) = \frac{13}{53} \cdot \frac{4}{53} \neq \frac{1}{53} $$
Poučení z tohoto příkladu tedy zní - nepůjčujte balíček blbečkovi, který vám tam nastrká další karty.
\end{example}
\subsection{Náhodné veličiny a úvod do teorie míry}
\label{RandomValues}
V následujícím textu nechť $ \Omega \neq \emptyset $ označuje libovolnou množinu. Následující úvahy nejsou čistě
\uv{pravděpodobnostní}, ale zasahují do mnoha oblastí matematiky.
\begin{definition}[Minimální $ \sigma $-algebra]
Buď $ \mathcal{Z} \subset 2^{\Omega}$ libovolný systém podmnožin množiny $ \Omega $. Buďte $ \mathcal{S}_{\alpha} $ libovolné $
\sigma $-algebry takové, že $ \mathcal{Z} \subset \mathcal{S}_{\alpha} $. Minimální $ \sigma $-algebru nad systémem $ \mathcal{Z}
$ definujeme takto
$$ \sigma(\mathcal{Z}) = \bigcap_{\alpha}\mathcal{S}_{\alpha} $$
\end{definition}
\begin{definition}[Borelovská $ \sigma $-algebra]
Buď $ \Omega = \R^n $ a systém $ \mathcal{Z}_n $ volme jako otevřené intervaly, tj. $ \mathcal{Z}_n = \left\{
\times_{k=1}^{n} (a_k,b_k)\ |\ a_k,b_k \in \R, a_k \leq b_k \right\} $. Potom minimální $ \sigma $-algebru $ \sigma(\mathcal{Z}_n) $
nazýváme Borelovskou $ \sigma $-algebrou a značíme $ \B_n $. Speciálně pro $ n=1 $ značíme $ \B_1 = \B $. Množinám z Borelovské $\sigma$-algebry říkáme borelovské množiny.
\end{definition}
Systém můžeme volit mnoha různými způsoby, pro nás však bude hlavní, zda generuje Borelovskou $ \sigma $-algebru. Z jistého pohledu pro nás budou všechny systémy generující Borelovskou $ \sigma $-algebru ekvivalentní.
\begin{definition}[Měřitelný prostor, měřitelná množina]
Buď $ \Omega $ libovolná neprázdná množina a $ \A $ nechť je libovolná $ \sigma $-algebra definovaná na $ \Omega $. Potom uspořádanou dvojici $ (\Omega, \A) $ nazýváme měřitelným prostorem. Množiny $ A \in \A $ nazýváme $ \A $-měřitelné. (Pokud je $ \A $ borelovská $ \sigma $-algebra, potom říkáme, že $ A $ je borelovsky měřitelná.)
\end{definition}
\begin{definition}[Prostor s mírou\footnote{Míra není Mirek!}]
Buď $ (\Omega,\A) $ měřitelný prostor a nechť $ \mu : \A \to \R^{+} $ je $ \sigma $-aditivní. Potom $ \mu $ nazýváme mírou na prostoru $ (\Omega,\A) $ a uspořádanou trojici $ (\Omega,\A,\mu) $ nazýváme s prostorem s mírou $ \mu $.
\end{definition}
\begin{note}
Pravděpodobnostní prostor $ (\Omega,\A,\P) $ je tedy měřitelný prostor s mírou $ \P $.
\end{note}
\begin{definition}[Měřitelná funkce]
Buď $ (\Omega,\A) $ měřitelný prostor a nechť $ f : (\Omega, \A) \to (\R^n, \B_n) $. Říkáme, že $ f $ je $ \A $-měřitelná právě tehdy, když
\begin{equation}
\left(\forall B \in \B_n \right)\left( f^{-1}(B) \in \A \right)
\end{equation}
tj. pokud vzory borelovských množin jsou měřitelné. Speciálně pokud je $ \A $ borelovská $ \sigma $-algebra, říkáme, že $ f $ je borelovsky měřitelná.
\end{definition}
\begin{definition}[Náhodná veličina]
\label{randval1}
Uvažujme měřitelný prostor s mírou $ (\Omega,\A,\P) $. Říkáme, že funkce $ X : \Omega \to \R $ je
náhodná veličina, pokud
\begin{equation}
(\forall x \in \R)\left( X^{-1}\left((-\infty,x]\right) = \left\{ \omega \in \Omega\ |\ X(\omega) \leq x \right\} \in \A \right) \end{equation}
\end{definition}
\begin{note}
Buď $ X : \Omega \to \mathcal{R} $.
\begin{enumerate}
\item { Je zřejmé, že pokud je funkce $ X $ (borelovsky) měřitelná, je náhodnou veličinou. V následujících úvahách se budeme zabývat i otázkou, zda je borelovská měřitelnost podmínkou nutnou, tj. zda je $ X $ náhodnou veličinou, právě když je borelovsky měřitelná. }
\item { Budeme značit
$$ \left\{ \omega \in \Omega\ |\ X(\omega) \leq x \right\} = \left\{X \leq x\right\} $$
$$ \P\left( \left\{ \omega \in \Omega\ |\ X\left(\omega\right) \leq x \right\} \right) = \P \left( X \leq x \right) $$
a obdobně pro další nerovnosti. }
\end{enumerate}
\end{note}
\begin{example}
Házejme dvěma kostkami současně. Prostorem elementárních jevů $ \Omega $ je tedy množina všech uspořádaných dvojic
$ \Omega = \left\{(1,1),(1,2),(2,1),\dots,(6,6) \right\} $. Jako $ \sigma $-algebru můžeme volit $ 2^{\Omega} = \A $. Tím
jsme sestrojili měřitelný prostor $ (\Omega,\A) $, na kterém můžeme definovat například funkci $ X(\omega) = X(i,j) = i +
j $. Je funkce $ X $ náhodnou veličinou?
\end{example}
Můžeme postupovat konstruktivně:
$$ \{ X \leq 1 \} = \emptyset \in \A $$
$$ \{ X \leq 2 \} = \{(1,1)\} \in \A $$
$$ \{ X \leq 3 \} = \{(1,1),(1,2),(2,1)\} \in \A $$
$$ \vdots $$
$$ \{ X \leq 12 \} = \Omega \in \A $$
V podstatě od začátku je však zřejmé, že z $ \A $ nemůžeme \uv{vypadnout}, protože jsme $ \A $ zvolili jako potenční množinu. $ X $ je tedy náhodná veličina.
\begin{example}[Indikátor jevu $ A $]
\label{indikator}
Indikátorem jevu $ A \in \Omega $ nazýváme funkci $ \mathbf{1}_A $ definovanou jako
$$ \mathbf{1}_A = \left\{ \matrix{1 &\ & \omega \in A \cr 0&\ & \omega \not \in A} \right. $$
Indikátor jevu $ A $ je náhodná veličina, protože
$$ \{ \mathbf{1}_A \leq b \} = \left\{ \matrix{\emptyset &\ & b < 0 \cr A^{\mathbb{C}}&\ & 0 \leq b < 1 \cr A&\ & b \geq 1} \right.$$
\end{example}
\begin{definition}[Náhodná veličina II]
\label{randval2}
Buď $ (\Omega,\A) $ měřitelný prostor a $ X: (\Omega, \A) \to (\R^n, \B_n)$. Potom říkáme, že $ X $ je náhodná veličina, právě tehdy když je měřitelná, tj.
$$ \left(\forall B \in \B\right)\left( X^{-1}(B) \in \A)\right) $$
(Pokud je $ \A $ borelovská $ \sigma $-algebra, potom je $ X $ náhodná veličina právě tehdy, když je borelovsky měřitelná.)
\end{definition}
Nyní vyvstává již zmíněná otázka: Jsou obě definice ekvivalentní? Není například jedna z definic restriktivnější? Je zcela zřejmé, že pokud je $ X $ (borelovsky) měřitelná, potom je to náhodná veličina, otázkou tedy zůstává opačná implikace, tj. implikace
\begin{equation}
\left(\forall x \in \R\right)\left( \left\{X \leq x \right\} \in \A\right) \Rightarrow \left( \forall B
\in \B \right)\left( X^{-1}\left(B\right) \in \A \right)
\end{equation}
Na tuto otázku nám odpoví následující lemma a věta, která na něj bezprostředně navazuje.
\begin{lemma}
\label{lemma-equality}
Buďte $ \left(\Omega,\A\right) $, $ \left( \R, \B \right) $ měřitelné prostory. Buď $ X :
\Omega \to \R $ a nechť $ \emptyset \neq \tau \subset 2^{\R} $ je takový systém podmnožin, že $ \sigma(\tau) = \B $. Potom $ X^{-1}\left(\tau\right) \in \A \Leftrightarrow X^{-1}\left(\B\right) \in \A$,
tj.
\begin{equation}
\left(X^{-1}\left(A\right) \in \A\right)\left( \forall A \in \tau \right) \Leftrightarrow
\left(X^{-1}\left(B\right) \in \A\right)\left( \forall B \in \B \right)
\end{equation}
\end{lemma}
\begin{proof}
\
\begin{description}
\item[$ \Leftarrow $] Množiny z $ \tau $ jsou (dle definice minimální $ \sigma $-algebry) i prvky $ \sigma(\tau) $, takže pokud tvrzení $$ \left(X^{-1}\left(A\right) \in \A\right)\left( \forall A \in \B \right) $$ platí pro množiny $ A \in \B = \sigma(\tau) $, nutně platí i pro množiny z $ \tau $.
\item[$ \Rightarrow $] Důkaz opačné implikace bude složitější. Definujme systém
$$ \tau' = \left\{ B \subset \R\ |\ X^{-1}\left( B\right) \in \A \right\} $$
Potom ale nutně $ \tau \subset \tau'$. Tvoří $ \tau' $ $ \sigma $-algebru?
\begin{enumerate}
\item Buď $ A \in \tau'$, potom tedy $ A^{\mathbb{C}} \in \tau' $, protože
$$ X^{-1}\left(A^{\mathbb{C}}\right) = {\underbrace{\left(X^{-1}\left(A\right)\right)}_{\in \A}}^{\mathbb{C}} \in
\A $$ \item Nechť $ \left\{ A_j \right\}_{j=1}^{\infty} \in \tau' $, potom $ \cup_{j=1}^{\infty} A_j \in \tau' $, protože
$$ X^{-1}\left( \cup_{j=1}^{\infty} A_j \right) = \cup_{j=1}^{\infty} \underbrace{X^{-1}\left( A_j \right)}_{\in \A} \in
\A$$
\item Vlastnost $ \emptyset \in \tau' $ vyplývá přímo z vlastností (1) a (2), protože $ \tau' \neq \emptyset $.
\end{enumerate}
Víme tedy, že $ \tau' $ je $ \sigma $-algebra, která má navíc tu vlastnost že $ \tau \subset \tau' $. To ale znamená, že
$$ \sigma(\tau) = \cap_{\alpha} \mathcal{S}_{\alpha} \subset \tau' $$
přičež ale $ \mathcal{S}_{\alpha} $ byly voleny právě tak, aby
$$ \tau \subset \mathcal{S}_{\alpha}$$
Podle předpokladů ale navíc platí $ \sigma(\tau) = \B $.
\end{description}
\end{proof}
\begin{note}
Co lemma vlastně říká - pokud vezmu systém množin $ \tau $, který generuje borelovskou $ \sigma $-algebru $ \B $, potom je tento systém s touto $ \sigma $-algebrou v jistém smyslu ekvivalentní. Ekvivalence spočívá právě v tom, že nemusím zkoumat měřitelnost všech $ B \in \B $, ale stačí mi vzít tento systém $ \tau $ a ověřit měřitelnost \uv{pouze} pro množiny z tohoto systému. To je mnohdy podstatně jednodušší. Následující věta uvádí několik příkladů, jak lze takový systém $ \tau $ volit.
\end{note}
\begin{theorem}
\label{systems}
Buď $ X : \Omega \to \mathcal{R} $. Potom následující výroky jsou ekvivalentní:
\begin{enumerate}
\item {$ X $ je náhodná veličina (dle druhé definice)}
\item {$ \left( \forall b \in \mathcal{R} \right) \left( \left\{X \leq b \right\} = X^{-1}\left(\left( - \infty, b\right]\right)
\in \A \right) $}
\item {$ \left( \forall b \in \mathcal{R} \right)\left( \left\{X < b \right\} = X^{-1}\left(\left( - \infty, b\right)\right) \in
\A \right) $}
\item {$ \left( \forall b \in \mathcal{R} \right)\left( \left\{X \geq b \right\} = X^{-1}\left(\left[b,+\infty\right)\right) \in
\A \right) $}
\item {$ \left( \forall b \in \mathcal{R} \right)\left( \left\{X > b \right\} = X^{-1}\left(\left(b,+\infty\right)\right) \in
\A \right) $}
\item {$ \left( \forall a,b \in \mathcal{R} \right)\left( \left\{a < X \leq b \right\} = X^{-1}\left(\left(a,b\right]\right)
\in \A \right) $}
\item {$ \left( \forall a,b \in \mathcal{R} \right)\left( \left\{a < X < b \right\} = X^{-1}\left(\left(a,b\right)\right)
\in \A \right) $}
\item {$ \left( \forall \mathcal{U} \subset \mathcal{R},\ \mathcal{U} \textrm{\ otevřená\ } \right)\left( \left\{X \in \mathcal{U}
\right\} = X^{-1}\left(\mathcal{U}\right) \in \A \right) $}
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}
\
Nejdříve si uvědomme, že v každém z bodů (2) až (8) tvrzení vystupuje jistý systém množin a o těchto systémech
vlastně tvrdíme, že generují borelovskou $ \sigma $-algebru, tj. že $ \sigma(\tau) = \B $. Systémy seřadíme a označíme podle toho, ve kterém tvrzení se vyskytují, takže
$$ \tau_{2} = \{(-\infty,b]\ |\ b \in \mathcal{R} \} $$
$$ \tau_{3} = \{(-\infty,b)\ |\ b \in \mathcal{R} \} $$
$$ \tau_{4} = \{[b,+\infty)\ |\ b \in \mathcal{R} \} $$
$$ \tau_{5} = \{(b,+\infty)\ |\ b \in \mathcal{R} \} $$
$$ \tau_{6} = \{(a,b]\ |\ a,b \in \mathcal{R} \} $$
$$ \tau_{7} = \{(a,b)\ |\ a,b \in \mathcal{R} \} $$
$$ \tau_{8} = \{\mathcal{U}\ |\ \mathcal{U} \subset \mathcal{R},\ \mathcal{U} \textrm{ otevřená} \} $$
Nyní si uvědomme, že přímo z definice \ref{randval2} plyne ekvivalence $ (1) \Leftrightarrow (7) $, protože právě
systém $ \tau_7 $ byl použit za základ definice Borelovské $ \sigma $-algebry $ \B $. Tohoto faktu budeme v důkazu často
využívat. Dokažme nejdříve implikaci $ (7) \Leftrightarrow (8) $, tj. s využitím faktu uvedeného výše chceme ukázat, že
$$ \sigma(\tau_{8}) = \B = \sigma(\tau_7) $$
\begin{description}
\item[$ \sigma(\tau_8) \subset \sigma(\tau_7) $] {
Buď $ \mathcal{U} \subset \mathcal{R}$ libovolná
otevřená. Potom ale nutně $ \mathcal{U} = \cup_{i=1}^{N,\infty}(a_i,b_i) $ (sjednocení nejvýše spočetného počtu intervalů), takže
nutně $ \mathcal{U} \in \sigma(\tau_7) $, a tedy také $ \sigma(\tau_8) \subset \sigma(\tau_7) $. }
\item[$ \sigma(\tau_7) \subset \sigma(\tau_8) $] {
Tato inkluze je ale primitivní, protože z toho že $ \mathcal{U} \in \sigma(\tau_7) $ primitivně vyplývá, že $ \mathcal{U} \in
\sigma(\tau_8) $ }
\end{description}
Tím jsme tedy dokázali, že systém $ \tau_7 $ má vlastnost $ \sigma(\tau_7) = \B = \sigma(\tau_8) $. Nyní dokažme
ekvivalenci $ (1) \Leftrightarrow (5) $. Stejně jako v předchozím případě chceme ukázat, že $ \sigma(\tau_5) = \B $.
Vezměme si intervaly typu $ (a,b + n) $ kde $ n \in \mathbb{N} $. Tyto intervaly jsou jistě z $ \B $, a tedy i jejich
spočetné sjednocení
$$ (a,+\infty) = \cup_{n=1}^{\infty} (a,b+n) $$
je také z $ \B $, a to díky vlastnostem $ \B $ jako $ \sigma $-algebry. Takže $ \sigma(\tau_5) \subset
\B $. Buď nyní $ (a,b) \in \B $, a vyjádřeme ho jako
$$ (a,b) = \cup_{n=1}^{\infty}(a,b_n],\textrm{ kde } b_n \nearrow b $$
Potom tedy
$$ (a,b) = \cup_{n=1}^{\infty} \big( \underbrace{(a,+\infty)}_{\in \tau_5} \cap
\underbrace{(b_n,+\infty)^{\mathbb{C}}}_{\in \tau_5}\big) \Rightarrow (a,b) \in \sigma(\tau_5) $$
Nutně tedy musí platit $ \B \subset \sigma(\tau_5) $.
Dokažme nyní ještě ekvivalenci $ (1) \Leftrightarrow (2) $. Půjdeme na to fintou - dokážeme to přes $ (5) $. Uvědomme si totiž, že
$$ \left( \forall b \in \B \right) \left( (-\infty,b] = (b,+\infty)^{\mathbb{C}} \right)$$ a tudíž primitivně platí $ \sigma(\tau_5) = \sigma(\tau_2) $.
Ostatní ekvivalence se dokazují až na drobné změny stejně, jako bylo právě naznačeno.
\end{proof}
\begin{theorem}
Mějme $(\Omega, \A)$ měřitelný prostor. Nechť $\mathbf{X}=(x_1, x_2, \dots, x_n):(\Omega, \A) \to (\R^n, \B_n)$ je náhodná veličina a $g:(\R^n, \B_n) \to (\R, \B)$ borelovsky měřitelná. Pak $g(\mathbf{X})$ je náhodná veličina.
\end{theorem}
\begin{proof}
Nechť $B \in \B$. Chceme ukázat, že $\left(g(\mathbf{X})\right)^{-1}(B) \in \A$.
$$(g \circ \mathbf{X})^{-1}(B) = \mathbf{X}^{-1}(g^{-1}(B)) \in \A$$
\end{proof}
\begin{theorem}
Nechť $g:(\R^n, \B_n) \to (\R^1, \B_1)$ spojitá, pak je $g$ borelovsky měřitelná.
\end{theorem}
\begin{proof}
Chceme ukázat, že $g^{-1}(B) \in \B_n, \forall B \in \B_1$. Stačí se omezit na $\tau = \{B| B\, \textrm{ je otevřená};$ $B \subset \R^1 \}, \sigma(\tau) = \B_1$. $g$ je spojitá, pak pro libovolnou $B$ otevřenou je $g^{-1}(B)$ otevřená a $g^{-1}(B) \in \B_n$. Tudíž je $g$ borelovsky měřitelná.
\end{proof}
\begin{theorem}
Buďte $ X,Y $ náhodné veličiny na měřitelném prostoru $ (\Omega,\A) $. Potom platí
\begin{enumerate}
\item $ K \cdot X $ je náhodná veličina ($ K $ je konstanta)
\item $ X + Y $ je náhodná veličina
\item $ X^2 $ je náhodná veličina
\item $ X \cdot Y $ je náhodná veličina
\item $ X / Y $ je náhodná veličina (pokud $ \{\omega\ |\ Y(\omega) = 0 \} = \emptyset $)
\item $ \max\{X,Y\} $ a $ \min\{X,Y\} $ jsou náhodné veličiny
\item $ \sup_{i \in \mathbb{N}}\{X_i\}$ a $ \inf_{i \in \mathbb{N}}\{X_i\}$ (kde $ X_i $ jsou náhodné veličiny) jsou náhodné
veličiny (ale pouze spočetný typ infima a suprema!)
\item $ X = \lim_{n \to \infty} X_n $ je náhodná veličina
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}
\
V souladu s větou \ref{systems} nám stačí dokázat, že jsou uvedené množiny borelovsky měřitelné.
\begin{enumerate}
\item { Buď $ X $ náhodná veličina, potom $ KX $ je náhodná veličina, právě když $ \{KX \leq b \} \in \A $, tj. pokud
$$ \matrix{K > 0 & \left\{ X \leq \frac{b}{K}\right\} \in \A \cr K < 0 & \left\{ X \geq \frac{b}{K}\right\} \in
\A \cr K = 0, b \geq 0 & \left\{ 0 \leq b\right\} = \Omega \cr K = 0,b<0 & \left\{ 0 \geq b \right\} = \emptyset } $$
Přitom ale první dvě tvrzení platí díky předchozí větě a druhá dvě tvrzení vyplývají přímo z vlastnosti $ \sigma $-algebry. Tím
je celé toto tvrzení dokázáno. }
\item { $ X + Y $ je náhodná veličina, pokud $ A = \{\omega\ |\ X(\omega) + Y(\omega) < b \} \in \A $ pro každé $ b \in
\mathcal{R} $. Tvrdíme, že
$$ A = \cup_{r \in \mathbb{Q}} \left( \{X \leq r\} \cap \{Y \leq b - r\} \right) $$
a celé tvrzení dokážeme pro takto definovanou množinu $ A $. Platí ale uvedená rovnost? Zcela jistě platí inkluze $ \cup_{r \in
\mathbb{Q}} \left(\dots\right) \subset A $, ale co opačná inkluze? Nechť tedy $ \omega \in A $, potom $ X + Y < b $, a
tedy $ X < b - Y $. Existuje tedy $ r \in \mathbb{Q} $ takové, že
$$ X \leq r \leq b - Y $$
a tedy $ X \leq r $ a $ Y \leq b - r $, takže $ \omega \in \cup_{r \in \mathbb{Q}} \left( \dots \right) $. Nyní se ještě podívejme
na to, zda $ A \in \A $ pro každé $ b $. To je však zřejmé z vlastnosti $ \sigma $-algebry (konkrétně uzavřenosti
vzhledem k nejvýše spočetným průnikům a sjednocením), protože
$$ A = \cup_{r \in \mathbb{Q}} \big( \underbrace{\{X \leq r\}}_{\in \A} \cap \underbrace{\{Y \leq b - r\}}_{\in
\A} \big) $$ takže tvrzení zřejmě platí. }
\item {Buď $ X $ náhodná veličina. Potom $ X^2 $ je náhodná veličina, právě když pro každé $ b \in \mathcal{R} $ platí
$$ \{X^2 \leq b \} \in \A $$
Přitom ale
$$ X^2 = \left\{\matrix{ \emptyset & c < 0 \cr \{- \sqrt{c} \leq X \leq \sqrt{c}\} & c \geq 0 }\right. $$
Zřejmě však $ \emptyset \in \A $ ($ \A $ je $ \sigma $-algebra) a také $ \{- \sqrt{c} \leq X \leq \sqrt{c}\} \in \A $, a to díky větě \ref{lemma-equality}.
($ X $ je náhodná veličina). }
\item { Triviálně platí, že
$$ XY = \frac{1}{4}\left[ (X + Y)^2 - (X - Y)^2 \right] $$
Díky předchozím třem tvrzením je tedy zřejmě $ XY $ náhodná veličina. }
\item { Buďte $ X,Y $ náhodné veličiny, $ \{Y = 0\} = \emptyset $. Potom
$$ \left\{ \frac{X}{Y} \leq b \right\} = \left\{ \frac{X}{Y} \leq b \right\} \cap \left\{ Y < 0\right\} + \left\{ \frac{X}{Y} \leq
b \right\} \cap \left\{ Y > 0\right\} = $$
$$ = \underbrace{\left\{ X - bY \leq 0 \right\}}_{\in \A} \cap \underbrace{\left\{ Y < 0\right\}}_{\in \A} +
\underbrace{\left\{ X - bY \geq 0 \right\}}_{\in \A} \cap \underbrace{\left\{ Y < 0\right\}}_{\in \A} $$ }
\item { Maximum je náhodná veličina, protože
$$ \left\{\max\{X,Y\} \leq b\right\} = \underbrace{\{X \leq b\}}_{\in \A} \cup \underbrace{\{Y \leq b\}}_{\in
\A} $$
Minimum je náhodná veličina, protože
$$ \left\{\min\{X,Y\} \leq b\right\} = \underbrace{\{X \leq b\}}_{\in \A} \cap \underbrace{\{Y \leq b\}}_{\in
\A} $$ }
\item { Důkaz pro infimum a supremum je pouze modifikací $ \inf $ a $ \sup $. Operace sjednocení a průnik totiž mohu provádět
spočetně. }
\end{enumerate}
\end{proof}
\begin{example}[Identifikátor jevu]
Buď $ A $ jev a $ \mathbf{1}_A $ jeho identifikátor. Potom $ \mathbf{1}_A $ má následující vlastnosti
\begin{enumerate}
\item $ \left( \mathbf{1}_A \right)^2 = \mathbf{1}_A $
\item $ \mathbf{1}_{A^{\mathbb{C}}} = 1 - \mathbf{1}_A $
\item $ \mathbf{1}_{A \cap B} = \mathbf{1}_A \cdot \mathbf{1}_B $
\item $ \mathbf{1}_{A \cup B} = \max\{\mathbf{1}_A,\mathbf{1}_B\} $
\item $ \mathbf{1}_{A + B} = \mathbf{1}_A + \mathbf{1}_B $
\end{enumerate}
\end{example}
\begin{definition}[Rozdělení náhodné veličiny]
Nechť $X:(\Omega, \A) \to (\R, \B)$ je náhodná veličina na prostoru $(\Omega, \A, \P)$. Pak pravděpodobnostní míru $\P^X:=\P \circ X^{-1}$ nazýváme \textbf{rozdělením náhodné veličiny $X$}, nebo taky míra indukovaná $X$.
\end{definition}
\begin{note}
Ukážeme korektnost předešlé definice:
\begin{description}
\item $\P^X:\B \to [0, 1]$
\item $\P^X(B) = (\P \circ X^{-1})(B) = \P(X^{-1}(B)) = \P(X \in B)$ tj. $P(\{\omega|X(\omega) \in B\})$
\item $\P^X$ je pravděpodobnost:
\begin{description}
\item $\P^X \geq O$
\item $\P^X(\R^1) = \P(X^{-1}(\R^1)) = \P(\Omega) = 1$
\item $B_j$ disjunktní: $P^X\left(\sum^{\infty}_{j=1}B_j \right) = \P\left( X^{-1} \left(\sum^{\infty}_1 B_j \right)\right) = \P\left(\sum^{\infty}_1 X^{-1}(B_j) \right) =\\ =\sum^{\infty}_1 \P(X^{-1}(B_j)) = \sum^{\infty}_1 \P^X(B_j)$
\end{description}
\end{description}
\end{note}
\begin{definition}[Distribuční funkce]
Buď $ X $ náhodná veličina. Potom funkci $ \mathrm{F}_X : \mathcal{R} \to [0,1] $, definovanou na $ \mathcal{R} $ předpisem
\begin{equation}
\mathrm{F}_X (x) = \P(X \leq x) = P^X|_{\tau=\{ (-\infty, x]|x \in \R \}}
\end{equation}
nazýváme \textbf{distribuční funkcí} náhodné veličiny X.
\end{definition}
\begin{example}
Házejme dvěma kostkami. Potom $ \Omega = \left\{ (i,j) : i,j \in \hat{6} \right\} $. Můžeme tedy zvolit $ \A = 2^{\Omega}
$. Uvažujme náhodnou veličinu $ X\left((i,j)\right) = i + j $. Potom tedy $ \P\left( (i,j) \right) = \frac{1}{36} $ pro
všechna $ i,j \in \hat{6} $, a tedy $ \P : \A \to \R $. Definujme tedy $ \P(A) = \sum_{(i,j)
\in A}\P(i,j) $. Dle předchozí definice tedy $ \mathrm{F}_X(x) = \P\left(\{X(i,j) \leq x \}\right) $, takže
$$ \matrix{x < 2 & \mathrm{F}_X (x) = \P(\emptyset) = 0 \cr x \in [2,3) & \mathrm{F}_X(x) = \P\left(\{(1,1)\}\right) =
\frac{1}{36} \cr x \in [3,4) & \mathrm{F}_X(x) = \P\left(\{(1,1),(1,2),(2,1)\}\right) = \frac{3}{36} \cr \vdots & \cr
x \in [11,12) & \mathrm{F}_X(x) = \P\left(\Omega \setminus \{(6,6)\}\right) = \frac{35}{36} \cr
x \geq 12 & \mathrm{F}_X(x) = \P\left(\Omega\right) = 1 } $$
\end{example}
\begin{theorem}
Buď $ X $ náhodná veličina a $ \mathrm{F}_X $ její distribuční funkce. Potom
\begin{enumerate}
\item $ \mathrm{F}_X $ je neklesající
\item $ \lim_{x \to +\infty}\mathrm{F}_X(x) = 1 $
\item $ \lim_{x \to -\infty}\mathrm{F}_X(x) = 0 $
\item $ \mathrm{F}_X $ je spojitá zprava
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}
\
\begin{enumerate}
\item {Buďte $ x_1 \leq x_2 $. Chceme dokázat, že potom $ \mathrm{F}_X(x_1) \leq \mathrm{F}_X(x_2)$. Platí
$$ x_1 \leq x_2 \Rightarrow \{ X \leq x_1 \} \subset \{ X \leq x_2 \} $$
a díky monotonii pravděpodobnosti platí $ P\left(\{X \leq x_1 \} \right) \leq P\left(\{X \leq x_2 \} \right) $, odkud již
tvrzení primitivně plyne. }
\item { Platí
$$ \lim_{x \to +\infty}\mathrm{F}_X(x) = \lim_{x \to +\infty} \P\left( X \leq x \right) $$
Nyní si musíme uvědomit, že tato limita existuje (ze spojitosti pravděpodobnosti), takže dle věty Heineovy můžeme vzít libovolnou posloupnost $ x_n $ takovou, že $ \lim_{n\to\infty}x_n = +\infty $, a dostaneme stejnou limitu. Vezměme například $ x_n = n $ (kvůli názornosti). Potom tedy platí
$$ \lim_{x \to +\infty} \P\left( X \leq x \right) = \lim_{n \to +\infty} \P\left( X \leq n \right) $$
Pokud si nyní označíme $ A_n = \{ X \leq n \} $, potom zřejmě platí $ A_n \nearrow A = \cup_{n=1}^{+\infty} A_n$, a dle věty o
spojistosti pravděpodobnosti tedy platí
$$ \lim_{n \to +\infty} \P\left( X \leq n \right) = \lim_{n \to +\infty} \P\left(\cup_{n=1}^{\infty}A_n\right) $$
Ale zřejmě $ A = \Omega $, takže $ \P(A) = 1 $ a tvrzení platí. }
\item { Princip důkazu je zcela stejný jako v předchozím případě. Stačí pouze zvolit jako vybranou posloupnost $ x_n = -n $, $
A_n = \{X \leq -n \} $ a $A = \cap_{i=1}^{n}A_i $ }
\item { Chceme vlastně dokázat, že $ \lim_{x \to a+} \mathrm{F}_X(x) = \mathrm{F}_X(a) $. Platí
$$ \lim_{x \to a+} \mathrm{F}_X(x) = \left| \textrm{Heine} \right| = \lim_{n \to \infty} \mathrm{F}_X\left(a + \frac{1}{2^n}\right) = \lim_{n \to \infty}\P\left(X \leq a + \frac{1}{2^n} \right) $$
Množiny $ A_n = \{ X \leq a + \frac{1}{2^n} \} $ zřejmě tvoří klesající systém, pro který $ A_n \searrow A = \cap_{n=1}^{\infty}
A_n = X^{-1}\left(-\infty,a\right] $, takže
$$ \lim_{n \to \infty}\P\left(X \leq a + \frac{1}{2^n} \right) = \P\left( X \leq a \right)$$
a to je dle definice $ \mathrm{F}_X(a) $. Tím je tvrzení dokázáno. }
\end{enumerate}
\end{proof}
\begin{note}
\begin{enumerate}
\item { Distribuční funkce není spojitá zleva, protože například pro systém
$$ B_n = \left\{ X \leq a - \frac{1}{2^n} \right\} $$
tj. $ B_n \nearrow B $, platí
$$ B = \cup_{n=1}^{\infty} B_n = (-\infty,a) \neq (-\infty,a] $$
}
\item { Pokud bychom distribuční funkci definovali jako $ \mathrm{F}_X(x) = \P(X < x) $, potom by byla spojitá zleva. Platilo by totiž
$$ \P(X < a) = \P\left(\cup_{n=1}^{\infty} \left\{X \leq a - \frac{1}{2^n} \right\}\right) = \lim_{n \to
\infty}\P\left(X \leq x - \frac{1}{2^n}\right) = $$
$$ = \lim_{n \to \infty} \mathrm{F}_X\left(a - \frac{1}{2^n}\right) = \mathrm{F}_X(a) $$
Tuto limitu budeme značit $ \mathrm{F}_X(a - 0) $.
}
\end{enumerate}
\end{note}
\begin{note}
Pro $ a < b $ platí
\begin{enumerate}
\item $ \P(a < X \leq b) = \P(X \leq b) - \P(X \leq a) = \mathrm{F}_X(b) - \mathrm{F}_X(a) $
\item $ \P(a < X < b) = \P(X < b) - \P(X \leq a) = \mathrm{F}_X(b-0) - \mathrm{F}_X(a) $
\item $ \P(a \leq X < b) = \P(X < b) - \P(X < a) = \mathrm{F}_X(b-0) - \mathrm{F}_X(a-0) $
\item $ \P(X = a) = \P(X \leq a) - \P(X < a) = \mathrm{F}_X(a) - \mathrm{F}_X(a-0) $
\end{enumerate}
\end{note}
\begin{definition}[Sdružená distribuční funkce]
Buď $ \mathbf{X} = (X_1,\dots,X_n)$ vektorová náhodná veličina na prostoru $ (\Omega,\A, \P) $, $\P^{\mathbf{X}} = \P \circ \mathbf{X}^{-1}$ rozdělení náhodné veličiny $\mathbf{X}$. Potom definujeme
\textbf{sdruženou} (vícerozměrnou) {distribuční funkci} veličiny $\mathbf{X}$ předpisem
\begin{equation}
\mathrm{F}_{\mathbf{X}}(\mathbf{x}) = \P^{\mathbf{X}}|_{\tau_n=\{ \times^n_{i=1}(-\infty,x_i],\, x_i \in \R \}} \textrm{ pro } \forall \mathbf{x} \in \R^n
\end{equation}
\end{definition}
%\P \left( \cap_{i=1}^{n} \left\{ X_i \leq x_i \right\} \right)
%\textrm{ pro } \forall x \in \R^n
\begin{note}
Někdy také píšeme
$$ \mathrm{F}_{\mathbf{X}}(\mathbf{x}) = \P\left(\mathbf{X} \subset \times^n_{i=1}(-\infty,x_i] \right)
= \P \left( \cap_{i=1}^{n} \left\{ X_i \in(-\infty, x_i]\right\} \right)=\P \left( \cap_{i=1}^{n} \left\{ X_i \leq x_i \right\} \right)$$
Což označíme $\P\left( X_1 \leq x_1, X_2 \leq x_2, \dots, X_n \leq x_n \right) $ a nazveme sdruženou pravděpodobností.
\end{note}
\begin{theorem}
Buďte $ \mathbf{X} = (X_1,\dots,X_n) $ náhodné veličiny a $ \mathrm{F}_{\mathbf{X}} $ nechť je jejich sdružená
distribuční funkce. Potom
\begin{enumerate}
\item { $ \mathrm{F}_{\mathbf{X}} $ je neklesající v každé proměnné, tj.
$$ \left( \forall i \in \widehat{n} \right)\left( x_i \leq \tilde{x}_i \right)\left(
\mathrm{F}_{\mathbf{X}}(x) \leq \mathrm{F}_{\mathbf{X}}(\tilde{x}) \right) $$ }
\item { Pro každé $ k \in \widehat{n} $ platí
$$ \lim_{x_k \to +\infty} \mathrm{F}_{\mathbf{X}}(x) =
\mathrm{F}_{X_1,\dots,X_{k-1},X_{k+1},\dots,X_n}(x_1,\dots,x_{k-1},x_{k+1},\dots,x_n) $$ }
\item { Pro každé $ k \in \widehat{n} $ platí
$$ \lim_{x_k \to -\infty} \mathrm{F}_{\mathbf{X}}(x) = 0 $$ }
\item { $ \mathrm{F}_{\mathbf{X}} $ je zprava spojitá v každé proměnné. }
\item { $$ \lim_{\matrix{x_1 \to +\infty \cr \vdots \cr x_n \to +\infty}} \mathrm{F}_{\mathbf{X}} (x) = 1 $$ }
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}
\
Důkaz stačí provést pouze pro $ n = 2 $ a stejný princip lze použít i pro $ m > 2 $. Označme tedy $ X_1 = X$
a $ X_2 = Y $, potom tedy
\begin{enumerate}
\item { Monotonie je zřejmá, protože nechť $ x \leq \tilde{x}, y \leq \tilde{y} $. Potom
$$ \mathrm{F}_{X,Y}(x,y) = \P(\{X \leq x\} \cap \{Y \leq y\}) $$
a protože platí $ \{X \leq x\} \subset \{X \leq \tilde{x}\} $ a $ \{Y \leq y\} \subset \{Y \leq \tilde{y}\} $,
potom
$$ \P(\{X \leq x\} \cap \{Y \leq y\}) \leq \P(\{X \leq \tilde{x}\} \cap \{Y \leq \tilde{y}\})
= \mathrm{F}_{X,Y} (\tilde{x},\tilde{y}) $$ }
\item { Z věty o spojitosti pravděpodobnosti víme, že limita existuje, a můžeme tedy pracovat s libovolnou
posloupností vybranou. Vyberme tedy $ x_n = n $, potom dle věty o spojitosti pravděpodobnosti
$$ \lim_{x \to +\infty}\mathrm{F}_{X,Y}(x,y) = \lim_{n \to +\infty} \mathrm{F}_{X,Y}(n,y) = \lim_{n \to
\infty} \P \left( \{ X \leq n \} \cap \{ Y \leq y\} \right) = $$
$$ = \P \left(\cup_{n=1}^{\infty} \left( \{X \leq n\} \cap \{Y \leq y \} \right) \right) = \P\left( \left(
\cup_{n=1}^{\infty} \{X \leq n \} \right) \cap \{Y \leq y\} \right) = $$
$$ = \P\left( Y \leq y \right) = \mathrm{F}_Y(y)$$ }
\item { Důkaz je prostou obměnou předchozího. Místo $ x_n = n $ stačí vzít $ x_n = -n $. }
\item { $$ \lim_{x \to a+} \mathrm{F}_{X,Y}(x,y) = \lim_{n \to \infty}\mathrm{F}_{X,Y}\left(a +
\frac{1}{2^n},y\right) = $$
$$= \left\{ \textrm{ věta o spojitosti pravděpodobnosti }\right\} =
\mathrm{F}_{X,Y}(a,y) $$ }
\item { Pokud bychom to chtěli dokazovat přes postupné limity, tj. například přes
$$ \lim_{{x \to \infty \atop y \to \infty}} \mathrm{F}_{X,Y}(x,y) = \lim_{x\to\infty}
\lim_{y\to\infty}\mathrm{F}_{X,Y}(x,y) $$ museli bychom dokázat že limita vůbec existuje, což není
nejjednodušší. Lepší bude jít na to přes vztah
$$ \left( \forall \varepsilon > 0 \right)\left( \exists K \right)\left( \forall x,y > K\right)\left(
|\mathrm{F}(x,y) - 1 | < \varepsilon \right) $$ }
\end{enumerate}
\end{proof}
\begin{note}
Zavádíme označení
\begin{enumerate}
\item {
$$ \lim_{x \to +\infty} \mathrm{F}_{X,Y}(x,y) = \mathrm{F}_{X,Y}(\infty,y) = \mathrm{F}_Y(y) $$ }
\item {
$$ \mathrm{F}_{\mathbf{X}} (\infty,\dots,\infty,x_j,\infty,\dots,\infty) = \mathrm{F}_{X_j} (x_j) $$ }
\end{enumerate}
\end{note}
\begin{note}
Nechť $ \mathrm{F} : \R \to \R $ splňuje vlastnosti (1) až (4), nebo (a) až (e). Potom
existuje taková náhodná veličina $ X $ pravděpodobnostního prostoru, že $ \mathrm{F}_X = \mathrm{F} $.
\end{note}
\begin{theorem}
Budte $ X, Y $ náhodné veličiny. Potom platí
\begin{eqnarray}
\P\left( a_1 < X \leq b_1, a_2 < Y \leq b_2 \right) = \mathrm{F}_{X,Y} (b_1,b_2) - \cr
- \mathrm{F}_{X,Y} (b_1,a_2) - \mathrm{F}_{X,Y} (a_1,b_2) + \mathrm{F}_{X,Y} (a_1,a_2)
\end{eqnarray}
\end{theorem}
\begin{proof}
\
Označme
$$ A = \{ a_1 < X \leq b_1, Y \leq b_2 \} $$
$$ B = \{ a_2 < Y \leq b_2, X \leq b_1 \} $$
Chceme zjistit $ \P(A \cap B) $, a to je
$$ \P(A) + \P(B) - \P(A \cup B) = \underbrace{\P(X \leq b_1, Y \leq b_2)
- \mathrm{F}_{X,Y}(a_1,b_2)}_{\P(A)} + $$
$$ + \underbrace{\mathrm{F}_{X,Y}(b_1,b_2) - \mathrm{F}_{X,Y}(b_1,a_2)}_{\P(B)} - \underbrace{\mathrm{F}_{X,Y}(b_1,b_2)
- \mathrm{F}_{X,Y}(a_1,a_2)}_{\P(A \cup B)} = $$
$$ = \mathrm{F}_{X,Y}(b_1,b_2) - \mathrm{F}_{X,Y}(a_1,b_2) - \mathrm{F}_{X,Y}(b_1,a_2) + \mathrm{F}_{X,Y}(a_1,a_2) $$
\end{proof}
\begin{example}[Měření rovinného obrazce]
Měřme rovinný obrazec a uvažujme dvě náhodné veličiny - $ X $ jako šířku a $ Y $ jako délku. Potom má smysl
ptát se na pravděpodobnost $ \P\left( 20 < X \leq 30, Y \leq 50 \right) $.
\end{example}
\begin{definition}[Stochastická nezávislost]
\label{stochdef}
Říkáme, že náhodné veličiny $ X_1, X_2, \dots, X_n, \dots $ jsou \textbf{stochasticky nezávislé}, právě když
\begin{equation}
\left( \forall {\left( B_j \right)}_{j=1}^{N,\infty} \in \B \right)\left( \textrm{ jsou jevy }
\left\{X_1 \in B_1\right\}, \dots, \left\{X_n \in B_n \right\},\dots \textrm{
nezávislé}\right)
\end{equation}
tj. pokud pro každou konečnou $ k $-tici jevů platí
$$ \P\left( \cap_{j=1}^{k} \{ X_{i_j} \in B_{i_j} \} \right) = \prod_{j=1}^{k} \P\left( \{
X_{i_j} \in B_{i_j} \} \right) $$
\end{definition}
V předchozí definici jsou využívány borelovské množiny, ale vyvstává otázka, zda není možné využít nějaký jiný systém množin? Jak uvidíme z následující věty (a jejích důsledků), možné to je. Podobně jako v případě
alternativní definice náhodné veličiny je možné Borelovskou $ \sigma $-algebru zaměnit za libovolný
systém generující Borelovskou $ \sigma $-algebru $ \B $.
\begin{theorem}[Monotone class theorem]
Buď $ \tau \subset 2^{\Omega} $ takový, že $ \Omega \in \tau $, uzavřený na konečné průniky. Buď $ \B
$ nejmenší systém množin obsahující $ \tau $, uzavřený na limitu zdola (tj. $ A_i \in \B $, $ A_1
\subset \dots \subset A_n \subset \dots \Rightarrow \cup_{j=1}^{\infty} A_j \in \B $) a na
rozdíly (tj. $ A \subset B \in \B \Rightarrow B \setminus A \in \B $). Potom $ \sigma(\tau)
= \B $
\end{theorem}
\begin{proof}[Náznak důkazu]
Buď $\tau \subset \B \land \B$ je uzavřená na rozdíly a limitu zdola. Volíme pevné $B$, pak definujeme $C_B = \{ A \in \B | A \cap B \in \B \}$
\begin{description}
\item $B \in \tau \Rightarrow$ ukážeme, že $C_B = \B$
\item $B \in \B \Rightarrow$ ukážeme, že $C_B = \B$
\end{description}
$\Rightarrow \B$ je $\sigma$-algebra $\Rightarrow \sigma(\tau) = \B$
\end{proof}
\begin{note}
$\B$ z MCT nemusí být nutně Borelovské množiny.
\end{note}
\begin{theorem}[Důsledek MCT]
Systém $ \B $ z definice stochastické nezávislosti lze ekvivalentně zaměnit za libovolný systém $
\tau \subset 2^{\R} $ takový, že $ \R \in \tau $ a $ \tau $ je uzavřený vzhledem ke konečným
průnikům a $ \sigma(\tau) = \B $. Za uvedených předpokladů tedy platí:
$$ \left( \forall B_j \in \B \textrm{ jsou } \left\{X_i \in B_i \right\} \textrm{ nezávislé}
\right) \Leftrightarrow \left( \forall A_j \in \tau \textrm{ jsou } \left\{ X_i \in A_i \right\} \textrm{
nezávislé} \right) $$ \end{theorem}
\begin{proof}
\
\begin{description}
\item[$ \Rightarrow $] { Nechť jsou pro všechny borelovské množiny $ B_i $ jevy $ \{X_i \in B_i \} $
nezávislé. Protože ale podle předpokladu platí $ \tau \subset \B $, potom tvrzení evidentně platí i
pro všechny $ A_i \in \tau $. }
\item[$ \Leftarrow $ ] { Nechť nyní pro všechny množiny $ A_i \in \tau $ jsou jevy $ \{X_i \in A_i \} $
nezávislé. Zvolme nyní $ B \in \B $ libovolně pevně a definujme
$$ C = \left\{ B_1 \in \B\ |\ \P\left( X_1 \in B_1, X_2 \in B \right) =
\P\left( X_1 \in B_1 \right)\P\left( X_2 \in B \right) \right\} $$
\begin{enumerate}
\item { $ \mathcal{R} \in C $, protože $ \mathcal{R} \in \tau $ a pro všechna $ A_j, A_k \in \tau $ platí $$
\P\left( (x_j \in A_j) \cap (x_k \in A_k) \right) = \P\left( x_j \in A_j \right) \P\left( x_k \in A_k \right) $$ }
\item { $ B_1 \subset B_2 \in C \Rightarrow B_2 \setminus B_1 \in C $, protože
$$ \P\left(X_1 \in B_2 \setminus B_1, X_2 \in B \right) = \P\left( X_1 \in B_2, X_2 \in B
\right) - $$
$$ - \P\left( X_1 \in B_1, X_2 \in B\right) = \P\left( X_2 \in B \right) \left(
\P\left( X_1 \in B_2 \right) - \P\left( X_1 \in B_1 \right)\right) $$ }
\item { $ B_j \in C, B_j \nearrow \tilde{B} \Rightarrow \tilde{B} \in C $, protože
$$ \P\left( X_1 \in \tilde{B}, X_2 \in B \right) = \P\left( X_1 \in \cup_{j=1}^{\infty}
B_j , X_2 \in B \right) = $$
$$= \P\left( X_1 \in \sum_{j=0}^{\infty}\left(B_{j+1} - B_{j}\right), X_2 \in
B \right) \footnote{ $ B_0 = \emptyset $ } = $$
$$ = \sum_{j=0}^{\infty} \P\left( X_1 \in \left( B_{j+1} - B_j \right),X_2 \in B \right) = $$
$$ = \P\left( X_2 \in B \right) \sum_{j=0}^{\infty} \P\left( X_1 \in \left( B_{j+1} - B_j
\right) \right) = $$
$$ = \P\left( X_1 \in \tilde{B} \right) \P\left( X_2 \in B \right) $$ }
\end{enumerate}
}
Z předpokladů víme tedy, že $ \tau \subset \B $, $ \mathcal{R} \in \tau $ a že $ \tau $ je uzavřený
na konečné průniky (z předpokladů). Systém $ C $ je uzavřený na rozdíly a limity zdola (a jedná se tedy o
systém $ \B $ z MCT, resp. $ \sigma(\tau) \subset C $, protože nemáme zaručeno že je to nejmenší
systém s danými vlastnosti. Ale protože my jsme tyto vlastnosti chtěli ověřit pro systém $ \B =
\sigma(\tau) $, je tato implikace (a tím i celý důkaz) ukončena.
\end{description}
\end{proof}
Nemusíme tedy složitě hledat $ \sigma(\tau) $, resp. $ \B $ a složitě ověřovat nezávislost v tak
obecném případě, ale stačí nám zvolit si vhodný systém uzavřený na konečné průniky, pro který $ \Omega \in
\tau $ a $ \sigma(\tau) = \B $ a ověřit celý problém nezávislosti na něm. Dle věty \ref{systems} můžeme volit různé systémy. Pokud zvolíme například $ \tau = \{ (a,b]\ |\ a,b \in \R \} $, můžeme definici stochastické nezávislosti \ref{stochdef} předefinovat následujícím způsobem:
\begin{definition}
Buďte $\mathbf{X} = (X_1,\dots,X_n) $ náhodné veličiny. Potom říkáme, že $ X_1,\dots,X_n $ jsou stochasticky nezávislé, právě když pro $ \forall \left( a_i, b_i \in \R \right)\left( \forall i \in \widehat{n} \right) $
platí, že $ \{a_i < X_i \leq b_i \} $ jsou nezávislé jevy.
\end{definition}
\begin{theorem}
Náhodné veličiny $\mathbf{X} = (X_1,\dots,X_n) $ jsou stochasticky nezávislé právě tehdy, když
\begin{equation}
\mathrm{F}_{\mathbf{X}}(x) = \prod_{j=1}^{n} \mathrm{F}_{X_j} (x_j) \quad \forall x_j \in \mathrm{R}
\end{equation}
\end{theorem}
\begin{proof}
\
\begin{description}
\item[$ \Rightarrow $] { Nechť jsou náhodné veličiny stochasticky nezávislé. Zvolme si vhodně systém $ \tau $.
Nejlepší bude $ \tau = \{(-\infty,a]\ |\ a \in \mathcal{R} \} $, protože přes množiny $ (-\infty,a] $ je
definována distribuční funkce, totiž
$$ \mathrm{F}_{X}(a) = \P\left( \{ X \leq a \} \right) = \P\left( \{\omega\ |\ X(\omega) \in (-\infty,a] \} \right) $$
Zároveň ale $ \sigma(\tau) = \B $, takže $ \left( \forall A_j \in \tau \right)\left(A_j = (-\infty,a_j]
\right) $ platí
$$ \prod_{j=1}^{n} \mathrm{F}_{X_j}(a_j) = \prod_{j=1}^{n} \P \left( \left\{ X_j \in
(-\infty,a_j] \right\} \right) = \P \left( \cap_{j=1}^{n} \left\{ X_j \in (-\infty,a_j]\right\}\right)
= \mathrm{F}_{\mathbf{X}}(\mathbf{a}) $$ a to pro libovolnou volbu $ a_j \in \R $, $ j \in \widehat{n} $. }
\item[$ \Leftarrow $] { Nechť
$$ \prod_{j=1}^{n} \mathrm{F}_{X_j}(x_j) = \prod_{j=1}^{n} \P\left( X_j \leq x_j \right) = \P \left( \cap_{j=1}^{n} \left\{ X_j \leq x_j \right\} \right) = \mathrm{F}_{\mathbb{X}}(x)\ \ \ \ \forall x_j \in \mathcal{R} $$
Platí to ale pro libovolnou $ k $-tici? Nechť to platí pro $ n $, ukážeme že to platí pro $ n-1 $.
$$ \mathrm{F}_{X_1,\dots,X_{n-1}} (x_1,\dots,x_{n-1}) = \lim_{x_n \to +\infty} \mathrm{F}_{X}(x) = \lim_{x_n
\to +\infty} \prod_{j=1}^{n} \mathrm{F}_{X_j}(x_j) = $$
$$ = \prod_{j=1}^{n-1} \mathrm{F}_{X_j}(x_j) \lim_{x_n \to \infty} \mathrm{F}_{X_n}(x_n) = \prod_{j=1}^{n-1}
\mathrm{F}_{X_j} (x_j) $$
Takže to platí i pro libovolnou $ k $-tici.
}
\end{description}
\end{proof}