Součásti dokumentu 02TFpriklady
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02TFpriklady}
\section{Kapitola 7: speciální teorie relativity}
\priklad{7.1}{
Transformační matice $A=\left(\alpha _{\nu }^{\mu } \right)$ má prvky $\alpha
_{0}^{0} =\gamma $, $\alpha _{k}^{0} =\alpha _{0}^{k} =-\beta \gamma n_{k} $, $\alpha
_{k}^{j} =\alpha _{j}^{k} =(\gamma -1)n_{j} n_{k} +\delta _{jk} $, kde $\beta ,{
\; }\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\beta ^{2} } } $, $n_{1} ,n_{2} ,n_{3} $ jsou parametry
a $\vec{n}^{2} =n_{1} ^{2} +n_{2} ^{2} +n_{3} ^{2} =1$.Ukažte, že1) matice A splňuje
podmínku $A^{T} GA=G$ Lorentzovy transformace2) systém S' se pohybuje vzhladem k
S konstantní rychlostí $\vec{V}=c\beta \vec{n}$3) pro pohyb ve směru $x^{1} $(tj. $\vec{n}^{T}
=(1,0,0)$) dostaneme matici (7.2.11 str. 244)
}{
zadanou matici $A$ přepíšeme do přehlednějšího tvaru
$$A=\left(\begin{array}{cc} {\gamma } & {-\beta \gamma \vec{n}^{T} } \\ {-\beta \gamma
\vec{n}} & {I+(\gamma -1)\vec{n}\vec{n}^{T} } \end{array}\right)$$
1) vyšetříme platnost vztahu $A^{T} GA=G$
poznamenejme, že matice $A$ je symetrická -proto $A=A^{T} $
$$A^{T} GA=\left(\begin{array}{cc} {\gamma } & {-\beta \gamma \vec{n}^{T} } \\ {-
\beta \gamma \vec{n}} & {I+(\gamma -1)\vec{n}\vec{n}^{T} } \end{array}\right)\left(
\begin{array}{cc} {1} & {0} \\ {0} & {-I} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
{\gamma } & {-\beta \gamma \vec{n}^{T} } \\ {-\beta \gamma \vec{n}} & {I+(\gamma
-1)\vec{n}\vec{n}^{T} } \end{array}\right)$$
$$A^{T} GA=\left(\begin{array}{cc} {\gamma } & {\beta \gamma \vec{n}^{T} } \\ {-
\beta \gamma \vec{n}} & {-I-(\gamma -1)\vec{n}\vec{n}^{T} } \end{array}\right)\left(
\begin{array}{cc} {\gamma } & {-\beta \gamma \vec{n}^{T} } \\ {-\beta \gamma \vec{n}}
& {I+(\gamma -1)\vec{n}\vec{n}^{T} } \end{array}\right)$$
$$A^{T} GA=\left(\begin{array}{cc} {\gamma ^{2} -\beta ^{2} \gamma ^{2} \vec{n}^{T}
\vec{n}} & {\left(-\beta \gamma ^{2} +\beta \gamma +\beta \gamma (\gamma -1)\vec{n}^{T}
\vec{n}\right)\vec{n}^{T} } \\ {\left(-\beta \gamma ^{2} +\beta \gamma +\beta \gamma
(\gamma -1)\vec{n}^{T} \vec{n}\right)\vec{n}^{T} } & {\beta ^{2} \gamma ^{2} \vec{n}
\vec{n}^{T} -\left(I+(\gamma -1)\vec{n}\vec{n}^{T} \right)^{2} } \end{array}\right)$$
v
dalším kroku použijeme $\vec{n}^{T} \vec{n}=\vec{n}^{2} =1$
$$A^{T} GA=\left(\begin{array}{cc} {\gamma ^{2} -\beta ^{2} \gamma ^{2} } & {\left(-
\beta \gamma ^{2} +\beta \gamma +\beta \gamma ^{2} -\beta \gamma \right)\vec{n}^{T}
} \\ {\left(-\beta \gamma ^{2} +\beta \gamma +\beta \gamma ^{2} -\beta \gamma \right)
\vec{n}^{T} } & {\beta ^{2} \gamma ^{2} \vec{n}\vec{n}^{T} -I-2(\gamma -1)\vec{n}
\vec{n}^{T} -(\gamma -1)^{2} \vec{n}\vec{n}^{T} \vec{n}\vec{n}^{T} } \end{array}
\right)$$
použijeme též $\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\beta ^{2} } } $a rovnou dostaneme
$$A^{T} GA=\left(\begin{array}{cc} {1} & {0} \\ {0} & {-I} \end{array}\right)=G$$
2)
vzájemný pohyb systémů
vezměme čtyřvektor počátku soustavy S` v soustavě S $\vec{x}=\left(\begin{array}{c}
{ct} \\ {\vec{r}} \end{array}\right)$ , který se má pohybovat rychlostí $\vec{V}$,
tj.
$$\vec{x}=\left(\begin{array}{c} {ct} \\ {\vec{V}t} \end{array}\right)$$
dále známe polohu tohoto počátku v soustavě S'
$$\vec{x}'=\left(\begin{array}{c} {ct'} \\ {\vec{0}} \end{array}\right)$$
pomocí transformačních vztahů
$$\vec{x}'=A\vec{x}$$
odkud
$$\vec{x}=A^{-1} \vec{x}'$$
snadno určíme hledanou rychlost a to použitím výše ověřené identity
$$A^{T} GA=G$$
totiž
$$A^{T} G=GA^{-1} $$
a tak nám stačí zleva vynásobit zkoumaný výraz maticí $G$
$$G\vec{x}=GA^{-1} \vec{x}'$$
neboli po dosazení
$$\left(\begin{array}{cc} {1} & {0} \\ {0} & {-I} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
{ct} \\ {\vec{V}t} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {\gamma } & {-\beta
\gamma \vec{n}^{T} } \\ {-\beta \gamma \vec{n}} & {I+(\gamma -1)\vec{n}\vec{n}^{T}
} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} {ct'} \\ {\vec{0}} \end{array}\right)$$
odkud
$$\left(
\begin{array}{c} {ct} \\ {-\vec{V}t} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {
\gamma ct'} \\ {-\beta \gamma \vec{n}ct'} \end{array}\right)$$
a konečně vyjádříme-li si $t'=\frac{1}{\gamma } t$, dostáváme po menších kráceních
hledaný výraz
$$\vec{V}=c\beta \vec{n}$$
3) poslední část příkladu
obyčejným dosazením do výše uvedené matice $A$vektoru $\vec{n}=\left(
\begin{array}{c} {1} \\ {0} \\ {0} \end{array}\right)$ získáme hledanou matici
}
\priklad{7.2}{
Přesvědčete se, že Lorentzovy transformace je možno zapsat v kompaktní vektorové
podobě $\vec{r}'=\vec{r}+\left(\frac{\gamma -1}{V^{2} } \vec{V}\cdot \vec{r}-\gamma
t\right)\vec{V}$, $t'=\gamma \left(t-\frac{\vec{V}\cdot \vec{r}}{c^{2} } \right)$.
}{
rozložíme
radius vektor na dvě složky -- $\vec{r}_{\parallel } $ rovnoběžnou s $\vec{V}$ a$\vec{r}_{
\bot } $ kolmou k $\vec{V}$
$$\vec{r}=\vec{r}_{\parallel } +\vec{r}_{\bot } $$
kde $\vec{r}_{\parallel } $ lze vyjádřit ve tvaru
$$\vec{r}_{\parallel } =\frac{\vec{V}\cdot \vec{r}}{V^{2} } \vec{V}$$
a proto též
$$\vec{r}_{\bot } =\vec{r}-\frac{\vec{V}\cdot \vec{r}}{V^{2} } \vec{V}$$
Lorentzovou transformací $\vec{r}_{\bot } $zůstává nezměněné a$\vec{r}_{\parallel
} $ se transformuje jako
$$\vec{r}_{\parallel } '=\frac{\vec{r}_{\parallel } -\vec{V}t}{\sqrt{1-{\textstyle
\frac{V^{2} }{c^{2} }} } } =\gamma \left(\vec{r}_{\parallel } -\vec{V}t\right)$$
dostaneme
tedy
$$\vec{r}'=\vec{r}_{\bot } +\gamma \vec{r}_{\parallel } -\gamma \vec{V}t$$
po dosazení výše vyjádřených složek obdržíme
$$\vec{r}'=\vec{r}-\frac{\vec{V}\cdot \vec{r}}{V^{2} } \vec{V}+\gamma \frac{\vec{V}
\cdot \vec{r}}{V^{2} } \vec{V}-\gamma \vec{V}t$$
a po úpravách
$$\vec{r}'=\vec{r}+\left((\gamma -1)\frac{\vec{V}\cdot \vec{r}}{V^{2} } -\gamma t
\right)\vec{V}$$
čas se transformuje jako
$$t'=\gamma \left(t-\frac{\vec{V}\vec{r}}{c^{2} } \right)$$
}
\priklad{7.4}{
Odvoďte zákon skládání rychlostí pro libovolnou vzájemnou orientaci obou rychlostí.
Jak se zjednoduší pro $V\ll c$? Jaká bude velikost výsledné rychlosti ?
}{
budeme zkoumat $\frac{d\vec{r}}{dt} $(viz 7.2) přičemž vezmeme v úvahu časovou konstantnost
rychlosti $\vec{V}$
inverzní transformace k výsledku z příkladu 7.2 jsou až na znaménko u $\vec{V}$identické
$$\vec{r}=
\vec{r}'-\left(-(\gamma -1)\frac{\vec{V}\cdot \vec{r}'}{V^{2} } -\gamma t'\right)
\vec{V}$$
$$t=\gamma \left(t'+\frac{\vec{V}\vec{r}'}{c^{2} } \right)$$
tedy
$$\frac{d\vec{r}}{dt} =\frac{d\vec{r}'-\left(-(\gamma -1)\frac{\vec{V}\cdot d\vec{r}'}{V^{2}
} -\gamma dt'\right)\vec{V}}{\gamma \left(dt'+\frac{\vec{V}d\vec{r}'}{c^{2} } \right)}
=\frac{\frac{d\vec{r}'}{dt'} -\left(-(\gamma -1)\frac{\vec{V}}{V^{2} } \frac{d\vec{r}'}{dt'}
-\gamma \right)\vec{V}}{\gamma \left(1+\frac{\vec{V}}{c^{2} } \frac{d\vec{r}'}{dt'}
\right)} $$
což lze také zapsat
$$\dot{\vec{r}}=\left[\frac{\dot{\vec{r}}'}{\gamma } +\frac{\gamma -1}{\gamma } \frac{
\vec{V}\dot{\vec{r}}'}{V^{2} } \vec{V}+\vec{V}\right]\left(1+\frac{\vec{V}\dot{\vec{r}}'}{c^{2}
} \right)^{-1} =\left[\dot{\vec{r}}'\sqrt{1-\beta ^{2} } +(1-\sqrt{1-\beta ^{2} }
)\frac{\vec{V}\dot{\vec{r}}'}{V^{2} } \vec{V}+\vec{V}\right]\left(1+\frac{\vec{V}
\dot{\vec{r}}'}{c^{2} } \right)^{-1} $$
při aproximaci $V\ll c$ se tento vztah zjednoduší na
$$\dot{\vec{r}}=\left(\dot{\vec{r}}'+\vec{V}\right)\left(1+\frac{\vec{V}\dot{\vec{r}}'}{c^{2}
} \right)^{-1} $$
pomocí binomické věty dostaneme při zanedbání vyšších řádů v $\frac{V}{c} $ vztah
$$\dot{
\vec{r}}=\dot{\vec{r}}'+\vec{V}-\frac{\vec{V}\dot{\vec{r}}'}{c^{2} } \dot{\vec{r}}'$$
velikost
výsledné rychlosti dostaneme přímým výpočtem normy
$$\dot{\vec{r}}^{2} =\left[\dot{\vec{r}}'\sqrt{1-\beta ^{2} } +(1-\sqrt{1-\beta ^{2}
} )\frac{\vec{V}\dot{\vec{r}}'}{V^{2} } \vec{V}+\vec{V}\right]^{2} \left(1+\frac{
\vec{V}\dot{\vec{r}}'}{c^{2} } \right)^{-2} $$
$$\dot{\vec{r}}^{2} =\left[\left(\dot{\vec{r}}'+\vec{V}\right)+(1-\sqrt{1-\beta ^{2}
} )\left(\frac{\vec{V}\dot{\vec{r}}'}{V^{2} } \vec{V}-\dot{\vec{r}}'\right)\right]^{2}
\left(1+\frac{\vec{V}\dot{\vec{r}}'}{c^{2} } \right)^{-2} $$
... po zdlouhavých úpravách ...
$$\dot{\vec{r}}^{2} =\left[\left(\dot{\vec{r}}'+\vec{V}\right)^{2} +\beta ^{2} \frac{
\vec{V}\dot{\vec{r}}'\vec{V}\dot{\vec{r}}'}{V^{2} } -\beta ^{2} \dot{\vec{r}}'^{2}
\right]\left(1+\frac{\vec{V}\dot{\vec{r}}'}{c^{2} } \right)^{-2} $$
$$\dot{\vec{r}}^{2} =\left[\left(\dot{\vec{r}}'+\vec{V}\right)^{2} +\frac{1}{c^{2}
} \left(\vec{V}\dot{\vec{r}}'\vec{V}\dot{\vec{r}}'-V^{2} \dot{\vec{r}}'^{2} \right)
\right]\left(1+\frac{\vec{V}\dot{\vec{r}}'}{c^{2} } \right)^{-2} $$
což lze též zapsat jako
$$\dot{\vec{r}}^{2} =\frac{\left(\dot{\vec{r}}'+\vec{V}\right)^{2} -\frac{1}{c^{2}
} \left(\dot{\vec{r}}'\times \vec{V}\right)^{2} }{\left(1+\frac{\vec{V}\dot{\vec{r}}'}{c^{2}
} \right)^{2} } $$
}
\priklad{7.5}{
Relativní rychlost dvou částic je definována jako rychlost jedné z nich v soustavě,
v níž je druhá v klidu. Určete kvadrát $v_{rel} ^{2} $, jestliže v některé inerciální
soustavě částice mají rychlost $\vec{v}_{1} ,{\; }\vec{v}_{2} $.
}{
do výsledku předchozího příkladu dosadíme za $\dot{\vec{r}}=\vec{v}_{rel}
,{\; }\dot{\vec{r}}'=\vec{v}_{1} ,{\; }\vec{V}=-\vec{v}_{2} $ a dostaneme
tak
$$\vec{v}_{rel} ^{2} =\frac{\left(\vec{v}_{1} -\vec{v}_{2} \right)^{2} -\frac{1}{c^{2}
} \left(\vec{v}_{1} \times \vec{v}_{2} \right)^{2} }{\left(1-\frac{\vec{v}_{1} \vec{v}_{2}
}{c^{2} } \right)^{2} } $$
}
\priklad{7.6}{
Rapidita $\mu $ je definována pomocí vztahu $tgh\mu ={\textstyle\frac{V}{c}} $.
Ukažte, že $\cosh \mu =\gamma ,{\; }\sinh \mu =\beta \gamma $. Ze vzorce př.
7.5 pro relativní rychlost odvoĎte "kosinovou větu" pro relativní rapiditu.
}{
vztah
$$tgh\mu =\frac{V}{c} =\beta =\frac{\sinh \mu }{\cosh \mu } $$
umocníme na druhou
$$\beta ^{2} =tgh^{2} \mu =\frac{\sinh ^{2} \mu }{\cosh ^{2} \mu } =1-\frac{1}{\cosh
^{2} \mu } $$
a tedy
$$\cosh \mu =\frac{1}{\sqrt{1-\beta ^{2} } } =\gamma $$
obdobně
$$\sinh \mu =\cosh \mu {\; }tgh\mu =\gamma \beta $$
vzorec z příkladu 7.5
$$\vec{v}_{rel} ^{2} =\left[\left(\vec{v}_{1} -\vec{v}_{2} \right)^{2} +\frac{1}{c^{2}
} \left(\vec{v}_{1} \vec{v}_{2} \vec{v}_{1} \vec{v}_{2} -\vec{v}_{1} ^{2} \vec{v}_{2}
^{2} \right)\right]\left(1-\frac{\vec{v}_{1} \vec{v}_{2} }{c^{2} } \right)^{-2} $$
nejprve
vhodně upravíme na tvar $\left(1-{\textstyle\frac{v^{2} _{rel} }{c^{2} }} \right)=
\left(1-{\textstyle\frac{v^{2} _{1} }{c^{2} }} \right)\left(1-{\textstyle\frac{v^{2}
_{2} }{c^{2} }} \right)\left(1-{\textstyle\frac{\vec{v}_{1} \vec{v}_{2} }{c^{2} }}
\right)^{-1} $
$$1-\frac{\vec{v}_{rel} ^{2} }{c^{2} } =\frac{1-2\frac{\vec{v}_{1} \vec{v}_{2} }{c^{2}
} +\frac{\vec{v}_{1} \vec{v}_{2} \vec{v}_{1} \vec{v}_{2} }{c^{4} } -\frac{\left(
\vec{v}_{1} -\vec{v}_{2} \right)^{2} }{c^{2} } -\frac{\vec{v}_{1} \vec{v}_{2} \vec{v}_{1}
\vec{v}_{2} -\vec{v}_{1} ^{2} \vec{v}_{2} ^{2} }{c^{4} } }{\left(1-\frac{\vec{v}_{1}
\vec{v}_{2} }{c^{2} } \right)^{2} } $$
$$1-\frac{\vec{v}_{rel} ^{2} }{c^{2} } =\frac{1-2\frac{\vec{v}_{1} \vec{v}_{2} }{c^{2}
} -\frac{\vec{v}_{1} ^{2} -2\vec{v}_{1} \vec{v}_{2} +\vec{v}_{2} ^{2} }{c^{2} } -
\frac{\vec{v}_{1} ^{2} \vec{v}_{2} ^{2} }{c^{4} } }{\left(1-\frac{\vec{v}_{1}
\vec{v}_{2} }{c^{2} } \right)^{2} } $$
$$1-\frac{\vec{v}_{rel} ^{2} }{c^{2} } =\frac{1-\frac{\vec{v}_{1} ^{2} +\vec{v}_{2}
^{2} }{c^{2} } -\frac{\vec{v}_{1} ^{2} \vec{v}_{2} ^{2} }{c^{4} } }{\left(1-
\frac{\vec{v}_{1} \vec{v}_{2} }{c^{2} } \right)^{2} } =\frac{\left(1-\frac{\vec{v}_{1}
^{2} }{c^{2} } \right)\left(1-\frac{\vec{v}_{2} ^{2} }{c^{2} } \right)}{\left(1-
\frac{\vec{v}_{1} \vec{v}_{2} }{c^{2} } \right)^{2} } $$
pužijeme zavedené substituce
$$1-\frac{\vec{v}^{2} }{c^{2} } =1-tgh^{2} \mu =\frac{\cosh ^{2} \mu -\sinh ^{2}
\mu }{\cosh ^{2} \mu } =\frac{1}{\cosh ^{2} \mu } $$
dostaneme
$$\frac{1}{\cosh ^{2} \mu _{rel} } =\frac{1}{\cosh ^{2} \mu _{1} \cosh ^{2} \mu _{2}
\left(1-\frac{\vec{v}_{1} \vec{v}_{2} }{c^{2} } \right)^{2} } $$
a jelikož výraz
$$
\left(1-\frac{\vec{v}_{1} \vec{v}_{2} }{c^{2} } \right)^{2} =\left(1-\frac{\vec{v}_{1}
\vec{v}_{2} }{c^{2} } \frac{v_{1} v_{2} }{v_{1} v_{2} } \right)^{2} =\left(1-tgh
\mu _{1} {\; }tgh\mu _{2} \cos \chi \right)^{2},
$$
kde $\chi$ značí úhel svírající vektory rychlostí $\vec{v}_{1} ,{\; }\vec{v}_{2} $ --
tj. $\cos \chi =\frac{\vec{v}_{1} \vec{v}_{2} }{v_{1} v_{2} }$ dostaneme po převrácení nakonec
$$
\cosh \mu _{rel} =\cosh \mu _{1} \cosh \mu _{2} -\sinh \mu _{1} \sinh \mu _{2}
\cos \chi.
$$
}
\priklad{7.10}{
Světelný rok je vzdálenost, kterou světlo urazí za jeden rok. Vyjádřete
zrychlení volného pádu g v jednotkách světelný $rok/rok^{2} $. Čemu se rovná
rychlost světla v těchto jednotkách? $(1{\; }rok{\; }={\; }3.15\cdot
10^{7} s)$
}{
převedeme si sekundy a metry do nových jednotek
$$1{\; s\; =\; }\frac{{1}}{{3,15}\cdot {10}^{{7}} } {\; }rok$$
$$1{
\; }m{\; }={\; }\frac{1}{c\cdot 3,15\cdot 10^{7} } {\; }sv.rok$$
potom
již snadně převedeme
$$g=9,81{\; }m/s^{2} =\frac{9.81\cdot 3,15\cdot 10^{7} }{3\cdot 10^{8} } {
\; sv.rok/rok}^{2} {=1,03\; sv.rok/rok}^{2} {\; }$$
$$c=3\cdot 10^{8} {\; }m/s=\frac{3\cdot 10^{8} \cdot 3,15\cdot 10^{7} }{3\cdot
10^{8} \cdot 3,15\cdot 10^{7} } {\; sv.rok/rok=1\; sv.rok/rok\; }$$
7.11 Kosmická loď se pohybuje s takovým zrachlením, že její posádka cítí konstantní
sílu rovnou zemské tíži. Z hlediska pozorovatele na Zemi, odkud loď odstartovala,
tento její pohyb trvá 5 let. Jak daleko loď za tuto dobu uletí a jaké rychlosti dosáhne
?
vyjdeme ze vztahu pro sílu
$$F=\frac{m_{0} c^{2} }{b} =m_{0} g$$
odkud
$$b=\frac{c^{2} }{g} =9,17\cdot 10^{15} m=0,97{\; }sv.rok$$
rychlost bude
$$v=\frac{c^{2} t}{\sqrt{b^{2} +c^{2} t^{2} } } =\left\{t=5{\; let}\right\}=0,98{
\; }sv.rok/rok=0,98{\; c}$$
uletěná vzdálenost
$$x=\left(\sqrt{b^{2} +c^{2} t^{2} } -b^{2} \right)=\left\{t=5{\; let}\right
\}=4,15{\; }sv.rok$$
}
\priklad{7.15}{Fizeauův pokus (\ref{GrindEQ__1859_}). Fizeau měřil pomocí interferometru rychlost
světla v v kapalinách tekoucích po i proti směru šíření světla (rychlostí $\pm V$)
a zjistil závislost $v={\textstyle\frac{c}{n}} \pm V\left(1-{\textstyle\frac{1}{n^{2}
}} \right)$, kde n je index lomu kapaliny. Odvoďte tento empirický vztah pomocí
zákona skládání rychlostí.
}{
do výsledku příkladu 7.4 dosadíme za $\dot{\vec{r}}'=\frac{c}{n} $a vzhledem
k tomu, že jsme v tomto příkladě v konečném výsledku zanedbali všechny členy
binomického rozvoje vyššího řádu než $\frac{{V}}{{c}} $, okamžitě dostáváme
výsledek
$$v=\frac{c}{n} \pm V\mp \frac{V}{c^{2} } \frac{c^{2} }{n^{2} } =\frac{c}{n} \pm
V\left(1-\frac{1}{n^{2} } \right)$$
}
\priklad{7.17}{
Rychlost $\vec{v}$(v soustavě S) leží v rovině xy a svírá s osou x úhel ${\mathbf
\theta }$${\mathbf ;}$ podobně je definován úhel ${\mathbf \theta }$' pro rychlost $\vec{v}'$v
soustavě S'. Odvoďte vztah mezi ${\mathbf \theta }$ a ${\mathbf \theta }$' při speciální
Lorentzově transformaci $S\to S'$ (viz skripta 7.1.3).
}{
opět použijeme výsledku příkladu 7.4 kde dosadíme za
$$\dot{\vec{r}}'^{T} =\left(v'\cos \theta ',v'\sin \theta ',0\right)$$
$$\vec{V}^{T} =\left(V,0,0\right)$$
a dostaneme tak
$$\begin{array}{l} {v_{x} =\frac{v'\cos \theta '\sqrt{1-\beta ^{2} } +(1-\sqrt{1-
\beta ^{2} } )\frac{Vv'}{V^{2} } \cos \theta 'V+V}{1+\frac{Vv'}{c^{2} } \cos \theta
'} =\frac{v'\cos \theta '+V}{1+\frac{Vv'}{c^{2} } \cos \theta '} } \\ {v_{{y}}
=\frac{v'\sin \theta '\sqrt{1-\beta ^{2} } }{1+\frac{Vv'}{c^{2} } \cos \theta '}
} \\ {v_{z} =0} \end{array}$$
zajímá nás ovšem velikost úhlu $\theta $
$$tg\theta =\frac{v_{y} }{v_{x} } =\frac{v'\sin \theta '\sqrt{1-\beta ^{2} } }{v'
\cos \theta '+V} $$
}
\priklad{7.18}{
Odvoďte transformační vztahy pro úhly ${\mathbf \theta }$ , ${\mathbf \theta
}$' za podmínek př. 7.17, jestliže $v=v'=c$. Vypočtěte $\Delta \theta =\theta '-
\theta $ při $V\ll c$.
}{
dosadíme tyto hodnoty do předchozího výrazu
$$tg\theta =\frac{c\sin \theta '\sqrt{1-\beta ^{2} } }{c\cos \theta '+V} =\frac{
\sin \theta '\sqrt{1-\beta ^{2} } }{\cos \theta '+\beta } $$
v dalším budeme potřebovat mit vyjádřeno
$$\begin{array}{l} {\cos \theta =\frac{\cos \theta '+\beta }{1+\beta \cos \theta
'} } \\ {\sin \theta =\frac{\sin \theta '\sqrt{1-\beta ^{2} } }{1+\beta \cos \theta
'} } \end{array}$$
abychom přibližně vyjádřili $\Delta \theta $, budeme za tímto účelem zkoumat
$$\sin \Delta \theta =\sin (\theta '-\theta )=\sin \theta '\cos \theta -\sin \theta
\cos \theta '$$
a dosadíme za sin$\theta $ a cos$\theta $ předešlých vzorců
$$\sin \Delta \theta =\sin \theta '\frac{\cos \theta '+\beta }{1+\beta \cos \theta
'} -\frac{\sin \theta '\sqrt{1-\beta ^{2} } }{1+\beta \cos \theta '} \cos \theta
'$$
$$\sin \Delta \theta =\frac{\beta \sin \theta '}{1+\beta \cos \theta '} +\frac{\sin
\theta '\cos \theta '\left(1-\sqrt{1-\beta ^{2} } \right)}{1+\beta \cos \theta '} $$
při
aproximaci $\beta \ll 1$ zanedbáme pravý člen a jmenovatel prvního zlomku
nahradíme jedničkou
$$\sin \Delta \theta \approx \beta \sin \theta '$$
pro malá $\Delta \theta $ proto můžeme aproximovat $\sin \Delta \theta \approx \Delta
\theta $ a psát, že
$$\Delta \theta \doteq \frac{V}{c} \sin \theta '$$
7.24 Vypočtěte rychlosti částic v těchto případech:a) elektrony ve výbojce $E=300{
\; }eV$b) elektrony v synchrotronu $E=300{\; M}eV$c) protony v synchrocyklotronu $E=680{
\; M}eV$d) protony v synchrofázotronu $E=10{\; G}eV$$(m_{e} c^{2} =0,511{
\; }MeV,{\; }m_{p} c^{2} =938,2{\; MeV)}$
ve všech případech platí vztah
$$E+m_{0} c^{2} =mc^{2} =\frac{m_{0} c^{2} }{\sqrt{1-{\textstyle\frac{v^{2} }{c^{2}
}} } } $$
vyjádříme si rychlost
$$v=\sqrt{1-\left(\frac{m_{0} c^{2} }{E+m_{0} c^{2} } \right)^{2} } c$$
budeme postupně dosazovat
a) E = 300 eV
$$v=\sqrt{1-\left(\frac{m_{e} c^{2} }{E+m_{e} c^{2} } \right)^{2} } c=0,0342511{
\; }c$$
b) E = 300 MeV
$$v=\sqrt{1-\left(\frac{m_{e} c^{2} }{E+m_{e} c^{2} } \right)^{2} } c=0,9999986{
\; }c$$
c) E = 680 MeV
$$v=\sqrt{1-\left(\frac{m_{p} c^{2} }{E+m_{p} c^{2} } \right)^{2} } c=0,8147731{
\; }c$$
d) E = 10 GeV
$$v=\sqrt{1-\left(\frac{m_{p} c^{2} }{E+m_{p} c^{2} } \right)^{2} } c=0,9963147{
\; }c$$
}
\priklad{7.26}{
V kosmickém záření se vyskytují protony s energií řádu $10^{10} {\; }GeV$.
Nechť dráha tohoto protonu protíná naši Galaxii podél průměru $10^{10} $světelných let. Srovnejte čas potřebný k průletu v systému spojeném se Zemí
a v klidové soustavě protonu.
}{
rychlost protonu o takovéto řádové energii je
$$v=\sqrt{1-\left(\frac{0,9382{\; }GeV}{10^{10} {\; }GeV} \right)^{2} } c
\doteq c$$
a tedy doba průletu pozorovaná v soustavě spjaté se Zemí bude
$$t=10^{5} {\; }let$$
a v klidové soustavě protonu bude tento čas přibližně ($m_{0} c^{2} \approx 1{
\; }GeV$)
$$\tau =\frac{m_{0} c^{2} }{E} t=\frac{1}{10^{10} } \cdot 10^{5} \cdot 365\cdot 24
\cdot 3600{\; }s\doteq 315{\; }s$$
}
\priklad{7.27}{Mezon $\pi ^{0} $s klidovou hmotností $m_{0} $ pohybující se rychlostí v se
rizpadá na dvě stejná kvanta záření gama (fotony). Určete úhel $\varphi $, který budou svírat směry pohybu fotonů.
}{
použijeme zákon zachování energie -- hybnosti
po rozpadu musí platit, že
$$
E=E_{1} +E_{2}
$$
a zároveň
$$
\vec{p}=\vec{p}_{1} +\vec{p}_{2},
$$
kde se budeme zřejmě zajímat pouze o složky $p_{1} \cos \frac{\varphi }{2} =p_{2}
\cos \frac{\varphi }{2} $ a pomocí těchto tří vztahů sestavíme rovnice
$$
E=mc^{2} =\frac{m_{0} c^{2} }{\sqrt{1-{\textstyle\frac{v^{2} }{c^{2} }} } } =2m_{1}
c^{2} =2E_{1} =2E_{2}
$$
$$p=mv=\frac{m_{0} v}{\sqrt{1-{\textstyle\frac{v^{2} }{c^{2} }} } } =p_{1} \cos \frac{
\varphi }{2} +p_{2} \cos \frac{\varphi }{2} =2m_{1} c\cos \frac{\varphi }{2} $$
odkud dosazením za $2m_{1} $ z rovnosti energií
$$\frac{m_{0} v}{\sqrt{1-{\textstyle\frac{v^{2} }{c^{2} }} } } =\frac{m_{0} }{\sqrt{1-{
\textstyle\frac{v^{2} }{c^{2} }} } } c\cos \frac{\varphi }{2} $$
dostáváme
$$
\varphi =2\arccos \frac{v}{c}.
$$
}
\priklad{7.28}{
Dokažte, že v nepřítomnosti vnějšího pole se foton nemůže změnit v pár elektron-pozitron.
}{
Uvažujme, co by se stalo, kdyby se foton o hybnosti $(p^{\mu } )$ změnil v pár elektron [o
hybnosti $(p_{-} ^{\mu } )$] pozitron [o hybnosti $(p_{+} ^{\mu } )$]
zákon zachování hybnosti-energie zní
$$p^{\mu } =p_{-} ^{\mu } +p_{+} ^{\mu } $$
protože má foton nulovou klidovou hmotnost, platí
$$p_{\mu } p^{\mu } =p_{-\mu } p_{-} ^{\mu } +2p_{-\mu } p_{+} ^{\mu } +p_{+\mu } p_{+} ^{\mu } =0$$
v těžišťové soustavě platí (hmotnost elektronu je táž jako pozitronu)
$$
\left(p_{-} ^{\mu } \right)=\left(\frac{E}{c} ,\vec{p}_{-} \right)
$$
$$
\left(p_{+} ^{\mu } \right)=\left(\frac{E}{c} ,\vec{p}_{+} \right)=\left(\frac{E}{c}
,-\vec{p}_{-} \right)
$$
proto zřejmě
$$
p_{-\mu } p_{+} ^{\mu } =g_{\mu \nu } p_{-} ^{\nu } p_{+} ^{\mu } =\underbrace{
\frac{E^{2} }{c^{2} } }_{>0}+\underbrace{\vec{p}_{1} ^{2} }_{>0}
$$
$$
p_{-,\mu } p_{-} ^{\mu } =p_{+,\mu } p_{+} ^{\mu } =\underbrace{m_{\pm }
^{2} c^{2} }_{>0},
$$
celkem tedy
$$
p_{\mu } p^{\mu } =p_{-\mu } p_{-} ^{\mu } +2p_{-\mu } p_{+} ^{\mu } +p_{+\mu } p_{+} ^{\mu } >0,
$$
což je spor s předpokladem nulové klidové hmotnosti fotonu.
}