02TFpriklady:Kapitola2

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 1. 8. 2010, 10:31, kterou vytvořil Admin (diskuse | příspěvky) (Založena nová stránka: %\wikiskriptum{02TFpriklady} \section{Kapitola 2: Lagrangeův formalismus} \priklad{2.1}{Napište Lagrangeovu funkci volného bezsilového hmotného bodu (a) v kartézsk...)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02TFpriklady

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02TFprikladyAdmin 4. 9. 201510:33
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:47
Header editovatHlavičkový souborAdmin 21. 6. 201106:34 header.tex
Kapitola1 editovatNewtonova mechanikaKrasejak 20. 6. 201422:59 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatLagrangeův formalismusNemecfil 29. 1. 201718:59 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatZákladní úlohy mechanikyAdmin 1. 8. 201010:32 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatZákladní principy mechanikyAdmin 1. 8. 201010:32 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatHamiltonův formalismusTichaond 12. 3. 201416:31 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatAdmin 1. 8. 201010:34 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatSpeciální teorie relativity Krasejak 21. 6. 201400:27 kapitola7.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02TFpriklady}
\section{Kapitola 2: Lagrangeův formalismus}
 
\priklad{2.1}{Napište Lagrangeovu funkci volného bezsilového hmotného bodu (a) v kartézských souřadnicích, (b) ve sférických souřadnicích, (c) v cylindrických souřadnicích.
}{
(a) 
$$L=\frac{1}{2} m(\dot{x}_{1} ^{2} +\dot{x}_{2} ^{2} +\dot{x}_{3} ^{2} )$$ 
 
(b) transformace (a) pomocí
$$\begin{array}{l} {x_{1} {\; }=r\cos \varphi \sin \theta } \\ {x_{2} =r\sin 
\varphi \sin \theta } \\ {x_{3} =r\cos \theta } \end{array}$$ 
 
$$L=\frac{1}{2} m(\dot{r}^{2} +r^{2} \dot{\varphi }^{2} \sin ^{2} \theta +r^{2} \dot{
\theta }^{2} )$$ 
 
(c) transformace (a) pomocí
 
$$\begin{array}{l} {x_{1} {\; }=r\cos \varphi } \\ {x_{2} =r\sin \varphi } \\ 
{x_{3} =x_{3} } \end{array}$$ 
 
$$L=\frac{1}{2} m(\dot{r}^{2} +r^{2} \dot{\theta }^{2} +\dot{x}_{3} ^{2} )$$ 
} % priklad 2.1
 
\priklad{2.2}{
Napište Lagrangeovu funkci volného hmotného bodu, na který působí homogenní 
gravitační pole a elastická centrální izotropní síla.
}{
$$L=\frac{1}{2} m(\dot{x}_{1} ^{2} +\dot{x}_{2} ^{2} +\dot{x}_{3} ^{2} )-mgx_{3} 
-\frac{1}{2} k(x_{1} ^{2} +x_{2} ^{2} +x_{3} ^{2} )$$ 
} % priklad 2.2
 
\priklad{2.3}{
Napište Lagrangeovu funkci volné nabité částice v elektrostatickém poli.
}{
$$L=T-U=\frac{1}{2} m(\dot{x}_{1} ^{2} +\dot{x}_{2} ^{2} +\dot{x}_{3} ^{2} )-q(\varphi 
-\sum _{i=1}^{3}A_{i} \dot{x}_{i}  )$$ 
} % priklad 2.3
 
\priklad{2.4}{
Najděte výraz pro obecnou hybnost a energii nabité částice v elektromagnetickém 
poli z Lagrangeovy funkce ${L=}\frac{{1}}{{2}} {mv}^{2} -q(\varphi -\vec{v}\cdot \vec{A})$.
}{
Obecná hybnost:
$$p_{j} =\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_{j} } =m\dot{x}_{j} ^{2} -qA_{j} $$ 
 
$$\vec{p}=m
\vec{v}+q\vec{A}$$ 
 
Obecná energie:
$$E=\sum _{j}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_{j} } \dot{x}_{j}  -L=\sum _{j}\frac{1}{2} 
m\dot{x}_{j} ^{2}  +q\varphi $$ 
}% priklad 2.4
 
\priklad{2.5}{
Přesvědčete se, že vazba určená Pfaffovou formou 
$$\left[x_{2} (x_{1} -x_{2} )^{2} -x_{1} x_{2} ^{3} \right]dx_{1} +\left[x_{1} ^{3} x_{2} -x_{1} (x_{1} -x_{2} )^{2} 
\right]dx_{2} -x_{1} x_{2} (x_{1} -x_{2} )^{2} dx_{3} =0$$ je ekvivalentní holonomní 
vazbě $x_{3} =\ln \left|\frac{x_{1} }{x_{2} } \right|+\frac{x_{1} x_{2} }{x_{1} -x_{2} 
} +C$.
}{
Označíme-li pro přehlednost funkce u diferenciálů Pfaffovy formy $a_{1} dx_{1} +a_{2} 
dx_{2} +a_{3} dx_{3} =0$, můžeme podmínku ekvivalence vazeb zachytit jako
 
$$\begin{array}{l} {0=\frac{\partial x_{3} }{\partial x_{1} } +\frac{a_{1} }{a_{3} 
} } \\ {0=\frac{\partial x_{3} }{\partial x_{2} } +\frac{a_{2} }{a_{3} } } \end{array}.$$ 
 
Upravíme výrazy a dostaneme
\begin{align}
	\nonumber 
	\frac{\partial }{\partial x_{1} } \left(\ln \left|\frac{x_{1} }{x_{2} } \right|+
	\frac{x_{1} x_{2} }{x_{1} -x_{2} } +C\right)-\frac{x_{2} (x_{1} -x_{2} )^{2} -x_{1} 
	x_{2} ^{3} }{x_{1} x_{2} (x_{1} -x_{2} )^{2} } &= \\
	\nonumber 
	= \frac{x_{2} }{x_{1} x_{2} } +\frac{x_{2} 
	(x_{1} -x_{2} )-x_{1} x_{2} }{(x_{1} -x_{2} )^{2} } -\frac{1}{x_{1} } +\frac{x_{2} 
	^{2} }{(x_{1} -x_{2} )^{2} } &= 0.
\end{align}
a
 
\begin{align}
	\nonumber
	\frac{\partial }{\partial x_{2} } \left(\ln \left|\frac{x_{1} }{x_{2} } \right|+
	\frac{x_{1} x_{2} }{x_{1} -x_{2} } +C\right)+\frac{x_{1} (x_{1} -x_{2} )^{2} -x_{1} 
	^{3} x_{2} }{x_{1} x_{2} (x_{1} -x_{2} )^{2} } &=,	
	\\
	\nonumber
	= -\frac{x_{2} x_{1} }{x_{1} x_{2} 
	^{2} } +\frac{x_{1} (x_{1} -x_{2} )+x_{1} x_{2} }{(x_{1} -x_{2} )^{2} } +\frac{1}{x_{2} 
	} -\frac{x_{1} ^{2} }{(x_{1} -x_{2} )^{2} } &= 0,
\end{align}
což bylo dokázati.
} % priklad 2.5
 
\priklad{2.6}{
Napište Lagrangeovu funkci matematického kyvadla.
}{
Použijeme polární souřadnice
 
$$L=T-U=\frac{1}{2} mr^{2} \dot{\varphi }^{2} +mgr\cos \varphi $$ 
} % priklad 2.6
 
\priklad{2.7}{
Odvoďte pohybové rovnice matematického kyvadla s pružným závěsem tuhosti 
k a s rovnovážnou délkou $r_{0} $ (bez zatížení). Zkoumejte limitu $k/m \to \infty $ 
jako přechod k ideální vazbě (pozn. osy volíme tak, že tíhové pole působí ve směru osy y).
}{
Pomocí
 
$$\begin{array}{l} {x{\; }=r(t)\cos \varphi (t)} \\ {y=r(t)\sin \varphi (t)} 
\\ {z=0} \end{array}$$ 
 
transformujeme Lagrangeovu funkci 
 
$$L=\frac{1}{2} m(\dot{x}^{2} +\dot{y}^{2} +\dot{z}^{2} )+mgy-\frac{1}{2} k\left(r-r_{0} 
\right)^{2} $$ 
 
na
 
$$L=\frac{1}{2} m(\dot{r}^{2} +r^{2} \dot{\varphi }^{2} )+mgr\cos \varphi -\frac{1}{2} 
k\left(r-r_{0} \right)^{2}. $$ 
 
Lagrangeovy pohybové rovnice
 
$$\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{r}} \right)-\frac{\partial L}{
\partial r} =\frac{d}{dt} \left(m\dot{r}\right)-mr\dot{\varphi }^{2} -mg\cos \varphi 
+k(r-r_{0} )=m\ddot{r}-mr\dot{\varphi }^{2} -mg\cos \varphi +k(r-r_{0} )=0$$ 
 
$$\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi }} \right)-\frac{\partial 
L}{\partial \varphi } =\frac{d}{dt} \left(mr^{2} \dot{\varphi }\right)-mgr\sin \varphi 
=2mr\dot{r}\dot{\varphi }+mr^{2} \ddot{\varphi }-mgr\sin \varphi =0$$ 
 
čímž jsme dostali soustavu diferenciálních rovnic
 
$$\frac{m}{k} (\ddot{r}-r\dot{\varphi }^{2} -g\cos \varphi )+r-r_{0} =0$$ 
 
$$\ddot{\varphi }+2\frac{\dot{r}}{r} \dot{\varphi }-\frac{g}{r} \sin \varphi =0$$ 
 
a 
při limitě $\frac{m}{k} \to \infty {\; }tj.\frac{m}{k} \to 0$dostaneme z první 
rovnice $r=r_{0} $ a druhá rovnice potom popisuje pohyb matematického kyvadla s pevným závěsem.
} % priklad 2.7
 
 
\priklad{2.8}{
Odvoďte pohybovou rovnici matematického kyvadla, jehož délka roste lineárně s 
časem $r=r_{0} (1+kt)$, kde $r_{0} {\; }a{\; }k$ jsou konstanty.
(pozn. osy volíme tak, že tíhové pole působí ve směru osy y)
}{
Pomocí
 
$$\begin{array}{l} {x{\; }=r_{0} (1+kt)\sin \varphi (t)} \\ {y=r_{0} (1+kt)\cos 
\varphi (t)} \\ {z=0} \end{array}$$ 
 
transformujeme Lagrangeovu funkci 
 
$$L=\frac{1}{2} m(\dot{x}^{2} +\dot{y}^{2} +\dot{z}^{2} )+mgy$$ 
 
na
 
$$L=\frac{1}{2} m(r_{0} ^{2} k^{2} +r_{0} ^{2} (1+kt)^{2} \dot{\varphi }^{2} )+mgr_{0} 
(1+kt)\cos \varphi $$ 
 
a zjednodušíme vypuštěním konstant
 
$$L=\frac{1}{2} mr_{0} ^{2} (1+kt)^{2} \dot{\varphi }^{2} +mgr_{0} (1+kt)\cos \varphi.$$ 
 
Lagrangeovy 
pohybové rovnice
 
$$\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi }} \right)-\frac{\partial 
L}{\partial \varphi } =0$$ 
 
$$\frac{d}{dt} \left(mr_{0} ^{2} (1+kt)^{2} \dot{\varphi }\right)+mgr_{0} (1+kt)
\sin \varphi =mr_{0} ^{2} 2k(1+kt)\dot{\varphi }+mr_{0} ^{2} (1+kt)^{2} \ddot{\varphi 
}+mgr_{0} (1+kt)\sin \varphi =0$$ 
 
čímž jsme dostali diferenciálních rovnici
 
$$(1+kt)\ddot{\varphi }+2k\dot{\varphi }+\frac{g}{r_{0} } \sin \varphi =0$$ 
} % priklady 2.8
 
\priklad{2.9}{
Napište Lgrangeovu funkci matematického kyvadla, jehož bod závěsu se pohybuje 
předepsaným způsobem v rovině kyvů (rheonomní vazba) 
(a) konstantní rychlostí po vodorovné přímce 
(b) s konstantním zrychlením po vodorovné přímce 
(c) kmitavým pohybem podle zákona $a\cos \omega t$ po vodorovné přímce 
(d) kmitavým pohybem $a \sin \omega t$ po svislé přímce 
(e) s konstantní úhlovou rychlostí $\omega $po svislé kružnici.
}{
V inerciální soustavě má Lagrangeova funkce tvar $L=\frac{1}{2} m\vec{v}^{2} -U(
\vec{r})$ 
 
po transformaci do obecně neinerciální soustavy vztahem $\vec{v}=\vec{v}'+\vec{V}(t)$, 
kde$\vec{V}(t)$je rychlost, kterou se soustava pohybuje,  a po vypuštění úplných 
časových derivací (viz teorie) dostaneme 
 
$$L'=\frac{1}{2} m\vec{v}'^{2} -m\vec{r}'\dot{\vec{V}}-U(\vec{r}')$$ 
 
poznamenejme ještě transformační vztahy do polárních souřadnic
 
$$\begin{array}{l} {x{\; }=r\sin \varphi (t)} \\ {y=r\cos \varphi (t)} \\ {\vec{v}=
\dot{\vec{r}}=(\dot{x},\dot{y},0)} \\ {\vec{v}^{2} =r^{2} \dot{\varphi }^{2} } \end{array}$$ 
 
(a) $\dot{
\vec{V}}(t)=\frac{d}{dt} (V,0,0)=\vec{0}$
 
$$L'=\frac{1}{2} m\vec{v}'^{2} -m\vec{r}'\dot{\vec{V}}-U(\vec{r}')=\frac{1}{2} m(
\dot{r}^{2} +r^{2} \dot{\varphi }^{2} )+mgr\cos \varphi $$ 
 
(b) $\dot{\vec{V}}(t)=\frac{d}{dt} (at,0,0)=(a,0,0)$
 
$$L'=\frac{1}{2} m\vec{v}'^{2} -m\vec{r}'\dot{\vec{V}}-U(\vec{r}')=\frac{1}{2} m(r^{2} 
\dot{\varphi }^{2} )-mar\sin \varphi +mgr\cos \varphi $$ 
 
(c) $\dot{\vec{V}}(t)=\frac{d}{dt} \left(\frac{d}{dt} (a\cos \omega t),0,0\right)=(-
\omega ^{2} a\cos \omega t,0,0)$
 
$$L'=\frac{1}{2} m\vec{v}'^{2} -m\vec{r}'\dot{\vec{V}}-U(\vec{r}')=\frac{1}{2} m(r^{2} 
\dot{\varphi }^{2} )+\omega ^{2} mr\cos \omega t\sin \varphi +mgr\cos \varphi $$ 
 
(d) $\dot{
\vec{V}}(t)=\frac{d}{dt} \left(0,\frac{d}{dt} (a\sin \omega t),0\right)=(0,-\omega 
^{2} a\sin \omega t,0)$
 
$$L'=\frac{1}{2} m\vec{v}'^{2} -m\vec{r}'\dot{\vec{V}}-U(\vec{r}')=\frac{1}{2} m(r^{2} 
\dot{\varphi }^{2} )+\omega ^{2} mr\sin \omega t\cos \varphi +mgr\cos \varphi $$ 
 
(e) $\dot{
\vec{V}}(t)=\frac{d}{dt} \left(\frac{d}{dt} (a\cos \omega t),\frac{d}{dt} (a\sin 
\omega t),0\right)=(-\omega ^{2} a\cos \omega t,-\omega ^{2} a\sin \omega t,0)$
 
$$L'=\frac{1}{2} m\vec{v}'^{2} -m\vec{r}'\dot{\vec{V}}-U(\vec{r}')=\frac{1}{2} m(r^{2} 
\dot{\varphi }^{2} )+\omega ^{2} mr\sin (\omega t+\varphi )+mgr\cos \varphi $$ 
} % priklad 2.9
 
\priklad{2.11}
{Hmotný bod se pohybuje působením tíže po svislé kružnici poloměru $a$. 
Byl vypuštěn s nulovou počáteční rychlostí z nejvyššího bodu kružnice. Určete polohu 
hmotného bodu v libovolném okamžiku, tj. určete $\varphi =\varphi (t)$.
}{
Počátek kartézského souřadného systému umístíme do středu kružnice, kladný 
směr osy y volíme proti směru tíhového pole a vzhledem k vazbě na kružnici volíme 
transformaci
 
$$\begin{array}{l} {x=a\sin \varphi } \\ {y=a\cos \varphi } \\ {z=0} \end{array}.$$ 
 
Sestavíme Lagrangeovu funkci
 
$$L=\frac{1}{2} m(\dot{x}^{2} +\dot{y}^{2} )-mgy=\frac{1}{2} ma^{2} \dot{\varphi 
}^{2} -mga\cos \varphi $$ 
 
z obecná energie
 
$$E=\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi }} \dot{\varphi }-L=\frac{1}{2} ma^{2} 
\dot{\varphi }^{2} +mga\cos \varphi $$ 
 
zjistíme $E$ neb víme, že v čase $t=0$, kterému odpovídá $\varphi =0$, bylo těleso 
vypuštěno s nulovou počáteční rychlostí, tedy
 
$$E=0+mga\cos 0=mga$$ 
 
pomocí zákona zachování energie odvodíme pohybové rovnice
 
$$mga=\frac{1}{2} ma^{2} \dot{\varphi }^{2} +mga\cos \varphi $$ 
 
$$2\frac{g}{a} (1-\cos \varphi )=\dot{\varphi }^{2} $$ 
 
$$2\frac{g}{a} (1-\cos ^{2} \frac{\varphi }{2} +\sin ^{2} \frac{\varphi }{2} )=\dot{
\varphi }^{2} $$ 
 
$$2\sqrt{\frac{g}{a} } \sin \frac{\varphi }{2} =\dot{\varphi }$$ 
 
a tuto rovnici budeme integrovat
 
\begin{align}
\nonumber 2\sqrt{\frac{g}{a} } t+2\delta &=\int \frac{d\varphi }{\sin {\raise0.5ex\hbox{$
\scriptstyle \varphi  $}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 2 
$}}}  = \int \frac{\sin {\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle \varphi  $}\kern-0.1em/\kern-0.15em
\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 2 $}}}{\sin ^{2} {\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle 
\varphi  $}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle 2 $}}} d\varphi  
=\left\{z=\cos \frac{\varphi }{2} \right\} =
\\ 
\nonumber  &=-2\int \frac{dz}{1-z^{2} }  =-2{\; 
}\argtgh(z)	
\end{align}
 
 
a tedy výsledek můžeme napsat jako
 
$$tgh\left(\sqrt{\frac{g}{a} } t+\delta \right)=-\cos \frac{\varphi }{2}.$$ 
 
Poznámka k výsledku ve skriptu: volbou úhlu $\frac{\theta }{2} =\frac{\pi 
}{2} -\frac{\varphi }{2} $ dostaneme 
 
\begin{align}
	\nonumber
	-\cos \frac{\varphi }{2} &=-\cos \left(-\frac{\pi }{2} -\frac{\theta }{2} \right)= 
	-\cos \left(\frac{\pi }{2} \right)\cos \left(\frac{\theta }{2} \right)+\sin \left(-
	\frac{\pi }{2} \right)\sin \left(-\frac{\theta }{2} \right)= \\ 
	\nonumber
	&=\sin \left(\frac{\theta }{2} \right)=tgh\left(\sqrt{\frac{g}{a} } t+\delta \right).
\end{align}
} % priklad 2.11
 
\priklad{2.12}{
Ve vodorovné rovině může klouzat bez tření těleso hmotnosti $m_{1} $. Je spojeno 
nehmotnou tyčí délky $r$ s tělesem hmotnosti $m_{2} $, které koná působením tíže kmitavý pohyb ve svislé rovině. 
Dokažte, že těleso $m_{2} $ se pohybuje po elipse 
a vypočítejte dobu kmitu T tohoto eliptického kyvadla pro malé amplitudy.
}{
Kartézský souřadný systém zvolíme tak, že kladný směr osy $y$ je ve směru tíhového polevazby:
 
 $$z_{1} =z_{2} =y_{1} =0$$ 
 
 $$(x_{2} -x_{1} )^{2} +y_{2} ^{2} =r^{2} $$ 
 
 Zvolíme nezávislé souřadnice podle vztahů
 
 $$\begin{array}{l} {y_{2} =r\cos \varphi } \\ {x_{2} =x_{1} +r\sin \varphi } \end{array}$$ 
 
 $$\begin{array}{l} 
 {\dot{y}_{2} =-r\sin \varphi \dot{\varphi }} \\ {\dot{x}_{2} =\dot{x}_{1} -r\cos 
 \varphi \dot{\varphi }} \end{array}.$$ 
 
 Potom Lagrangeova funkce 
 
 $$L=\frac{1}{2} m_{1} \dot{x}_{1} ^{2} +\frac{1}{2} m_{2} (\dot{x}_{2} ^{2} +\dot{y}_{2} 
 ^{2} )+m_{2} gy_{2} $$ 
 
 bude mít v těchto nových souřadnicích tvar
 
 $$L=\frac{1}{2} \dot{x}_{1} ^{2} (m_{1} +m_{2} )+m_{2} \dot{x}_{1} r\cos \varphi 
 \dot{\varphi }+\frac{1}{2} m_{2} r^{2} \dot{\varphi }^{2} +m_{2} gr\cos \varphi $$ 
 
 Abychom mohli při malých výchylkách určit periodu kmitů, aproximujeme Lagrangeovu 
 funkci 
 
 $$\cos \varphi \approx 1-\frac{\varphi ^{2} }{2} \approx 1$$ 
 
 $$\tilde{L}=\frac{1}{2} \dot{x}_{1} ^{2} (m_{1} +m_{2} )+m_{2} \dot{x}_{1} r\dot{
 \varphi }+\frac{1}{2} m_{2} r^{2} \dot{\varphi }^{2} -\frac{1}{2} m_{2} gr\varphi 
 ^{2}. $$ 
 
 Potom budou mít Lagrangeovy rovnice mít tvar
 
$$\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial \tilde{L}}{\partial \dot{\varphi }} \right)-
\frac{\partial \tilde{L}}{\partial \varphi } =\frac{d}{dt} \left(m_{2} r\dot{x}_{1} 
+m_{2} r^{2} \dot{\varphi }\right)+m_{2} gr\varphi =m_{2} r\ddot{x}_{1} +m_{2} r^{2} 
\ddot{\varphi }+m_{2} gr\varphi =0$$ 
 
$$\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial \tilde{L}}{\partial \dot{x}} \right)-\frac{\partial 
\tilde{L}}{\partial \varphi } =\frac{d}{dt} \left((m_{1} +m_{2} )\dot{x}_{1} +m_{2} 
r\dot{\varphi }\right)=(m_{1} +m_{2} )\ddot{x}_{1} +m_{2} r\ddot{\varphi }=0$$ 
 
a dostali jsme soustavu diferenciálních rovnic
 
$$\ddot{x}_{1} +r\ddot{\varphi }+g\varphi =0$$ 
 
$$\ddot{x}_{1} +\frac{m_{2} }{m_{1} +m_{2} } r\ddot{\varphi }=0$$ 
 
odkud po úpravě dostaneme rovnici
 
$$\ddot{\varphi }+\frac{g}{r} \frac{m_{1} +m_{2} }{m_{1} } \varphi =0$$ 
 
která představuje rovnici harmonického $\ddot{\varphi }+\omega ^{2} \varphi =0$oscilátoru 
s úhlovou frekvencí $\omega =\sqrt{\frac{g}{r} \frac{m_{1} +m_{2} }{m_{1} } } $ a 
protože $\omega =2\pi \nu =\frac{2\pi }{T} $ dostaneme 
 
 $$T=2\pi \sqrt{\frac{r}{g} \frac{m_{1} }{m_{1} +m_{2} } } $$ 
 
 nyní ještě stačí dokázat, že se $m_{2} $ pohybuje po elipse - zde je výhodné 
 se vrátit k neaproximované Lagrangeově funkci a využít, že
 
$$\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \right)-\frac{\partial L}{ \partial \varphi } =
\frac{d}{dt} \left((m_{1} +m_{2} )\dot{x}_{1} +m_{2} r\cos \varphi + \dot{\varphi }\right)=0$$ 
 
 je integrál pohybu a tedy 
 
 
  $$(m_{1} +m_{2} )\int dx_{1}  +m_{2} r\int \cos \varphi d\varphi  =C_{1} \int dt +C_{2} $$ 
 
  $$(m_{1} +m_{2} )x_{1} +m_{2} r\sin \varphi =C_{1} t+C_{2} $$ 
 
 a protože chceme trajektorii hmotného bodu $m_{2} $, dosadíme za $x_{1} =x_{2} -r
 \sin \varphi $ 
 
 $$(m_{1} +m_{2} )x_{2} -m_{1} r\sin \varphi =C_{1} t+C_{2} $$ 
 
 nyní eliminujeme $\varphi$ - za tím účelem si vhodně vyjádříme předchozí rovnice
 
 $$\frac{(m_{1} +m_{2} )x_{2} -C_{1} t-C_{2} }{m_{1} r} =\sin \varphi $$ 
 
 $$\frac{y_{2} }{r} =\cos \varphi $$ 
 
 které umocníme na druhou a sečteme, čímž dostaneme hledanou rovnici elipsy
 
 $$\frac{y_{2} ^{2} }{r^{2} } +\frac{\left((m_{1} +m_{2} )x_{2} -C_{1} t-C_{2} \right)^{2}}{m_{1} ^{2} r^{2} } =1$$ 
} % priklad 2.12
 
\priklad{2.17}{
Přesvědčete se, že funkce $F_{1} (x,\dot{x},t)=\dot{x}+gt$a $F_{2} (x,\dot{x},t)=
\dot{x}^{2} +2gx$ jsou první integrály rovnice $\ddot{x}+g=0$, kde g je konstanta. 
Vypočítejte pomocí nich $x=x(t)$.
}{
$F$ je integrál rovnice $\ddot{x}+g=0$ právě když platí $\frac{d}{dt} F=0$ a to použijeme:
 
$$\frac{d}{dt} 
F_{1} (x,\dot{x},t)=\ddot{x}+g=0$$ 
 
$$\frac{d}{dt} F_{2} (x,\dot{x},t)=2\dot{x}\ddot{x}+2g\dot{x}=2\dot{x}(\ddot{x}+g)=0,$$ 
 
což bylo dokázati.
 
$x=x(t)$ vypočítáme pomocí těchto integrálů tak, že z první funkce vyjádříme $\dot{x}=F_{1} 
-gt$ a dosadíme do druhé $F_{2} =(F_{1} -gt)^{2} +2gx$ a z této jednoduché rovnice 
nám vyjde, že
 
$$x(t)=\frac{F_{2} -(F_{1} -gt)^{2} }{2g} =-\frac{1}{2} gt^{2} +F_{1} t+\frac{F_{2} 
-F_{1} }{2g} $$ 
 } % priklad 2.17
 
\priklad{2.18}{
Přesvědčete se, že funkce $F_{1} (x,\dot{x},t)=-\omega t+arctg\left(\frac{\omega 
x}{\dot{x}} \right)$ a $F_{2} (x,\dot{x},t)=\frac{\dot{x}^{2} }{\omega ^{2} } +x^{2} $ jsou 
první integrály rovnice $\ddot{x}+\omega ^{2} x=0$, kde $\omega$ je kladná konstanta. 
}{
Vypočítejte pomocí nich $x=x(t)$
 
$$\frac{d}{dt} F_{1} =-\omega +\frac{\dot{x}^{2} }{\dot{x}^{2} +\omega ^{2} x^{2} 
} \frac{\dot{x}^{2} -x\ddot{x}}{\dot{x}^{2} } \omega =\omega \frac{-(\dot{x}^{2} 
+\omega ^{2} x^{2} )+\dot{x}^{2} -x\ddot{x}}{\dot{x}^{2} +\omega ^{2} x^{2} } =-
\omega x\frac{\ddot{x}+\omega ^{2} x}{\dot{x}^{2} +\omega ^{2} x^{2} } =0$$ 
 
$$\frac{d}{dt} F_{2} =\frac{2\dot{x}\ddot{x}}{\omega ^{2} } +2x\dot{x}=2\dot{x}\frac{
\ddot{x}+\omega ^{2} x}{\omega ^{2} } =0$$ 
 
což bylo dokázati
 
a nyní odvodíme $x=x(t)$  tak, že z první funkce vyjádříme 
 
$$\frac{\dot{x}}{\omega } =\frac{x}{tg(F_{1} +\omega t)} $$ 
 
a dosadíme do druhé
 
$$F_{2} =\frac{x^{2} }{tg^{2} (F_{1} +\omega t)} +x^{2} =x^{2} \frac{1+tg^{2} (F_{1} 
+\omega t)}{tg^{2} (F_{1} +\omega t)} =x^{2} \frac{1}{\sin ^{2} (F_{1} +\omega t)} $$ 
 
čímž 
po úpravě dostaneme 
 
$$x(t)=\sqrt{F_{2} } \sin (F_{1} +\omega t)$$ 
} % priklad 2.18
 
\priklad{2.22}{
Vypočtěte složky vektorů dostředivého, Eulerova a Coriolisova zrychlení v neinerciální 
soustavě S', která se otáčí kolem osy z' s předepsanou časovou závislostí úhlu otočení $\varphi 
=\varphi (t)$.
}{
Vektor otáčení okolo osy z : 
 
$$\vec{\Omega }=(0,0,\dot{\varphi }(t))$$ 
 
$$\dot{\vec{\Omega }}=(0,0,\ddot{\varphi }(t))$$ 
 
dostředivé zrychlení $\vec{a}_{d} =-\vec{\Omega }\times (\vec{r}'\times \vec{\Omega 
})=(-\dot{\varphi }^{2} x',{\; }-\dot{\varphi }^{2} y',0)$
 
Eulerovo zdrchlení $\vec{a}_{E} =-\vec{r}'\times \dot{\vec{\Omega }}=(-\ddot{\varphi 
}y',{\; }-\ddot{\varphi }x',0)$
 
Coriolisovo zrychlení $\vec{a}_{C} =-2\dot{\vec{r}}'\times \vec{\Omega }=(-2\dot{
\varphi }\dot{y}',{\; }-2\dot{\varphi }\dot{x}',0)$
} % priklad 2.22
 
\priklad{2.23}{
Hmotný bod je vázán na polopřímku vycházející z počátku O inerciálního 
systému S souřadnic $x_{1} ,x_{2} ,x_{3} $. Polopřímka leží v rovině$x_{1} ,x_{2} $a 
otáčí se vůči S s konstantní úhlovou rychlostí $\Omega$. Hmotný bod o hmotnosti 
m je po přímce volně pohyblivý a nepůsobí na něj žádná skutečná síla. Pomocí 
Lagrangeovy funkce odvoďte jeho pohybovou rovnici a integrujte ji.
}{
Vazby a následné transformace tedy jsou
 
$$\begin{array}{l} {\varphi =\Omega t+\varphi _{0} } \\ {x_{1} =r\cos \varphi } \\ 
{x_{2} =r\sin \varphi } \\ {x_{3} =0} \end{array}$$ 
 
sestavíme Lagrangeovu funkci
 
$$L=\frac{1}{2} m(\dot{x}_{1} ^{2} +\dot{x}_{2} ^{2} )=\frac{1}{2} m(\dot{r}^{2} 
+r^{2} \dot{\varphi })=\frac{1}{2} m(\dot{r}^{2} +r^{2} \Omega ^{2} )$$ 
 
a řešíme Lagrangeovu rovnici
 
$$\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{r}} \right)-\frac{\partial L}{
\partial r} =\frac{d}{dt} \left(m\dot{r}\right)-m\Omega ^{2} r=m\ddot{r}-m\Omega 
^{2} r=0$$ 
 
dostali jsme diferenciální rovnici
 
$$\ddot{r}-\Omega ^{2} r=0$$ 
 
jejímž řešení je
 
$$r(t)=A\cosh (\Omega t+\varphi _{0} )$$ 
}
 
\priklad{2.24}{
Odvoďte rovnici pohybu hmotného bodu po kružnici poloměru R, která se otáčí 
konstantní úhlovou rychlostí $\Omega$ kolem svislé osy, ležící v rovině kružnice. 
Vzdálenost středu kružnice od osy otáčení je a. Soustava je v homogenním tíhovém 
poli. Při a = 0 diskutujte rovnovážné polohy bodu v závislosti na $\Omega$.
}{
Počátek naší inerciální soustavy souřadné umístíme tak, že osa z je totožná s osou 
otáčení a kladný směr směřuje proti tíhovému poli, a zbylé dvě osy tvoří rovinu, 
ve které leží otáčející se střed kružnicenapišme Lagrangeovu funkci této soustavy
 
$$L=
\frac{1}{2} m(\dot{x}^{2} +\dot{y}^{2} +\dot{z}^{2} )-mgz$$ 
 
a vazby, kterým se soustava podřizuje
 
$$(x-a)^{2} +z^{2} =R^{2} $$ 
 
vzhledem k těmto vazbám i ke konstantní rychlosti otáčení kolem svislé osy zaveďme 
nové obecné souřadnice
 
$$\begin{array}{l} {x{\; }=(a+R\sin \varphi )\cos \Omega t} \\ {y=(a+R\sin \varphi 
)\sin \Omega t} \\ {z=R\cos \varphi } \end{array}$$ 
 
čímž Lagrangeova funkce dostane novou podobu
 
$$L=\frac{1}{2} m(R^{2} \dot{\varphi }^{2} +2\Omega ^{2} aR\sin \varphi +\Omega ^{2} 
R^{2} \sin ^{2} \varphi )-mgR\cos \varphi $$ 
 
a přistoupíme k napsání Lagrangeových rovnic II. druhu
 
$$\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi }} \right)-\frac{\partial 
L}{\partial \varphi } =mR^{2} \ddot{\varphi }-m\Omega ^{2} aR\cos \varphi -\Omega 
^{2} R^{2} \sin \varphi \cos \varphi -mgR\sin \varphi =0$$ 
 
$$\ddot{\varphi }-\Omega ^{2} \sin \varphi \cos \varphi -\frac{g}{R} \sin \varphi 
-\frac{\Omega ^{2} a}{R} \cos \varphi =0$$ 
 
 a nyní položme a = 0 a hledejme rovnovážné body z podmínky $\ddot{\varphi }=0$
 
$$-\Omega ^{2} \sin \varphi \cos \varphi -\frac{g}{R} \sin \varphi =0$$ 
 
$$\sin \varphi \left(\cos \varphi +\frac{g}{R\Omega ^{2} } \right)=0$$ 
 
odkud dostáváme rovnovážné body jako
 
$$\varphi \in \left\{\pi \cdot {Z},{\; }-\frac{g}{R\Omega ^{2} } \right\}$$ 
} % priklad 2.24