02TFpriklady:Kapitola1: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Založena nová stránka: %\wikiskriptum{02TFpriklady} \section{Kapitola 1 : Newtonova mechanika} \priklad{1.1}{Dokažte, že poloha hmotného středu, definovaného vztahem $$ \vec{{R}}{=}{\text...) |
m |
||
Řádka 1: | Řádka 1: | ||
%\wikiskriptum{02TFpriklady} | %\wikiskriptum{02TFpriklady} | ||
− | \section{Kapitola 1 : Newtonova mechanika} | + | \section{Kapitola 1: Newtonova mechanika} |
\priklad{1.1}{Dokažte, že poloha hmotného středu, definovaného vztahem | \priklad{1.1}{Dokažte, že poloha hmotného středu, definovaného vztahem |
Aktuální verze z 20. 6. 2014, 23:59
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02TFpriklady
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02TFpriklady | Admin | 4. 9. 2015 | 11:33 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:47 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Admin | 21. 6. 2011 | 07:34 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Newtonova mechanika | Krasejak | 20. 6. 2014 | 23:59 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Lagrangeův formalismus | Nemecfil | 29. 1. 2017 | 19:59 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Základní úlohy mechaniky | Admin | 1. 8. 2010 | 11:32 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Základní principy mechaniky | Admin | 1. 8. 2010 | 11:32 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Hamiltonův formalismus | Tichaond | 12. 3. 2014 | 17:31 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Admin | 1. 8. 2010 | 11:34 | kapitola6.tex | ||
Kapitola7 | editovat | Speciální teorie relativity | Krasejak | 21. 6. 2014 | 01:27 | kapitola7.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02TFpriklady} \section{Kapitola 1: Newtonova mechanika} \priklad{1.1}{Dokažte, že poloha hmotného středu, definovaného vztahem $$ \vec{{R}}{=}{\textstyle\frac{\sum _{\alpha }m_{\alpha } \vec{r}_{\alpha } }{\sum _{\alpha }m_{\alpha } }}, $$ nezávisí na volbě počátku. }{ Transformujme souřadnice vztahy $\vec{r}=\vec{r}'+\vec{a}$ a $\vec{R}=\vec{R}'+\vec{a}$ a po dosazení dostaneme $$ \vec{R}= \frac{\sum _{\alpha }m_{\alpha } \vec{r}_{\alpha } }{\sum _{\alpha }m_{\alpha } } = \frac{\sum _{\alpha }m_{\alpha } \vec{r}_{\alpha } ' +\vec{a}\sum _{\alpha }m_{\alpha } }{\sum _{\alpha }m_{\alpha } } = \frac{\sum _{\alpha }m_{\alpha } \vec{r}_{\alpha } ' }{\sum _{\alpha }m_{\alpha } } +\vec{a}. $$ Porovnáním s $\vec{R}=\vec{R}'+\vec{a}$ dostáváme $$ \vec{R}'+\vec{a}=\frac{\sum _{\alpha }m_{\alpha } \vec{r}_{\alpha } ' }{\sum _{\alpha }m_{\alpha } } +\vec{a} $$ a po odečtení $\vec{a}$ od obou stran dostaneme opět $$ \vec{R}'=\frac{\sum _{\alpha }m_{\alpha } \vec{r}_{\alpha } ' }{\sum _{\alpha }m_{\alpha } }. $$ } %priklad 1.1 \priklad{1.2}{Pohybové rovnice bezsilového hmotného bodu v kartézkském systému $S'$, který se libovolně pohybuje vůči inerciálnímu systému $S$, má tvar $$ m\ddot{\vec{r}}=m\ddot{\vec{r}}'{\; }+m\dot{\vec{\omega }}\times \vec{r}'+2m\vec{\omega }\times \dot{\vec{r}}'+m\vec{\omega }\times (\vec{\omega }\times\vec{r}')+m\ddot{\vec{r}}(0')=0, $$ kde $\vec{\omega}$ je vektor okamžité úhlové rychlosti otáčení S', který se vzhledem k S otáčí kolem osy z konstantní úhlovou rychlostí $\omega _{0} $ ($\vec{r}(0')=0$), se tato pohybová rovnice zjednoduší na $\ddot{x}'-2\omega _{0} \dot{y}'-\omega _{0}^{2} x'=0$, $\ddot{y}'+2\omega _{0} \dot{x}'-\omega _{0}^{2} y'=0,$ $\ddot{z}'=0$. }{ Vyjdeme z rovnosti $$ m\ddot{\vec{r}}=m\ddot{\vec{r}}'{\; }+m\dot{\vec{\omega }}\times \vec{r}'+2m\vec{\omega }\times \dot{\vec{r}}'+m\vec{\omega }\times (\vec{\omega }\times \vec{r}')+m \ddot{\vec{r}}(0')=0, $$ kde $\vec{\omega }=(0,0,\omega _{0})$ a $\dot{\vec{\omega }}=(0,0,0)$, takže rozepsáno po složkách dostaneme maticově $$ \ddot{\vec{r}}=\ddot{\vec{r}}'{\; }+\left(\begin{array}{ccc} {0} & {-2\omega_{0} } & {0} \\ {2\omega _{0} } & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} \end{array}\right) \dot{\vec{r}}'+\left(\begin{array}{ccc} {-\omega _{0}^{2} } & {0} & {0} \\ {0} & {-\omega _{0}^{2} } & {0} \\ {0} & {0} & {0} \end{array}\right)\vec{r}'=0, $$ což je hledaná soustava diferenciálních rovnic. } %priklad 1.2 \priklad{1.3}{Určtete: (a) Obecné řešení soustavy diferenciálních rovnic z příkladu 1.2; (b) Parametrické rovnice trajektorie bezsilového bodu vypuštěného v čase t = 0 s nulovou počáteční rychlostí z bodu $x'=a,{\; }y'=z'=0$. }{ (a) Řešení diferenciální rovnice z příkladu 1.2 zjednodušené vynecháním z-ové složky $$ \ddot{\vec{\eta }}{\; }+2\omega _{0} \left(\begin{array}{cc} {0} & {-1} \\ {1} & {0} \end{array}\right)\dot{\vec{\eta }}-\omega _{0}^{2} \vec{\eta }=0 $$ budeme hledat ve tvaru $$ \vec{\eta }=\left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {X} \\ {Y} \end{array}\right)e^{\lambda t}. $$ Dosaďme toto řešení do diferenciální rovnice $$ \left(\begin{array}{cc} {\lambda^{2} -\omega _{0}^{2} } & {-2\omega _{0} \lambda } \\ {2\omega _{0} \lambda } & {\lambda^{2} -\omega _{0} ^{2} } \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} {X} \\ {Y} \end{array}\right)e^{\lambda t} =0. $$ Dostáváme podmínku, že $$ \left|\begin{array}{cc} {\lambda ^{2} -\omega _{0} ^{2} } & {-2\omega _{0} \lambda } \\ {2\omega _{0} \lambda } & {\lambda ^{2} -\omega _{0} ^{2} } \end{array}\right|=0, $$ tj. $$ \left(\lambda ^{2} -\omega _{0} ^{2} \right)^{2} +4\omega _{0} ^{2} \lambda ^{2} =\left(\lambda ^{2} +\omega _{0} ^{2} \right)^{2} =0, $$ s řešením $\lambda =\pm i\omega _{0},$ které nám odhalí obecné řešení soustavy diferenciálních rovnic $$ \vec{\eta }=\left(\begin{array}{c} {X_{1} } \\ {Y_{1} } \end{array}\right)e^{i\omega _{0} t} +\left(\begin{array}{c} {X_{2} } \\ {Y_{2} } \end{array}\right)e^{-i\omega _{0} t} $$ nebo též $$ \vec{\eta }=\left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {(X_{1} +X_{2} )\cos \omega _{0} t+i(X_{2} -X_{1} )\sin \omega _{0} t} \\ {(Y_{1} +Y_{2} )\cos \omega _{0} t+i(Y_{2} -Y_{1} )\sin \omega _{0} t} \end{array}\right). $$ (b) Počáteční podmínky jsou $$ \vec{\eta }(0)=\left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {a} \\ {0} \end{array}\right), \quad \dot{\vec{\eta }}(0)=\left(\begin{array}{c} {0} \\ {0} \end{array}\right) $$ tj. $$ \vec{\eta }(0)=\left(\begin{array}{c} {X_{1} +X_{2} } \\ {Y_{1} +Y_{2} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {a} \\ {0} \end{array}\right), $$ $$ \dot{\vec{\eta }}(0)=\left(\begin{array}{c} {i\omega _{0} (X_{2} -X_{1} )} \\ {i\omega _{0} (Y_{2} -Y_{1} )} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {0} \\ {0} \end{array}\right), $$ které splňují $$ \begin{array}{l} {X_{1} =X_{2} =\frac{a}{2}, } \\ {Y_{1} =Y_{2} =0}. \end{array} $$ Řešení je tedy tvaru $$ \begin{array}{l} {x'(t)=a\cos \omega _{0} t} \\ {y'(t)=0} \\ {z'(t)=0} \end{array} $$ } % priklad 1.3 \priklad{1.4}{ Vypočtěte celkový moment hybnosti $\vec{{L}}^{{Q}} $ soustavy hmotných bodů v systému $S$, ale vzhledem k bodu $Q\not \equiv 0$, který má v S pevnou polohu (tj. $\dot{\vec{r}}(Q)=0$). Udejte, pro které body Q je $\vec{{L}}^{{Q}} =\vec{L}$. Ukažte, že $\vec{{L}}^{{Q}} =\vec{L}'$, kde $\vec{L}'$ je moment hybnosti v soustavě $S'$ vzhledem k počátku $O'\equiv Q$, jestliže se $S'$ neotáčí vůči $S$. }{ Použijme vztah $$ \vec{L}=\vec{L}^{Q} +\vec{r}(Q)\times \vec{P}+\vec{r}(Q)\times M\dot{\vec{r}}(Q)+t\dot{\vec{r}}(Q)\times \vec{P}-\dot{\vec{r}}(Q)\times M\vec{R}, $$ do kterého dosadíme předpoklady a vyjádříme z něj $$\vec{L}^{Q} =\vec{L}-\vec{r}(Q)\times \vec{P}.$$ Rovnost $\vec{L}=\vec{L}^{Q} $ nastává právě když jsou vektory $\vec{P}$ a $\vec{r}(Q)$ kolineární. } % priklad 1.4