Součásti dokumentu 01PRA1_2
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01PRA1_2}
\section{Charakteristiky náhodných veličin}
\begin{define}
Pro diskrétní náhodnou veličinu $X\sim (x_k,p_k)$ definujeme {\bf
střední hodnotu $X$} jako
\[EX=\sum_{k=1}^n x_kp_k\]
za předpokladu, že suma konverguje.
Střední hodnotu absolutně spojité náhodné veličiny definujeme jako
\[EX=\int_\R x f_X(x)\,\d x\]
opět za předpokladu, že integrál konverguje.
\end{define}
\begin{define}
Buď $\mathbf X=(X_1,\dots,X_n)$. Potom $E\mathbf X=(EX_1,\dots,EX_n)$.
\end{define}
\begin{theorem}
Buďte $\mathbf X$, $Y=g(\mathbf X)$, $g:\R^n\mapsto\R$ borelovsky
měřitelná a prostá. Pak
\[Eg(\mathbf X)=\int_{\R^n}g(\mathbf x)f_{\mathbf X}(\mathbf x)\,\d\mathbf x\]
za předpokladu, že
\[\int_{R^n}g f_{\mathbf X}\,\d\mathbf x\]
absolutně konverguje.
\begin{proof}
Funkci $Y=g(\mathbf X)$ doplníme na transformaci $\tilde
g:\R^n\mapsto\R^n$ tak, aby byla regulární, prostá a $\tilde
g_1(\mathbf X)=g(\mathbf X)$.
\[
\begin{split}
EY&=\int_\R y_1f_{Y_1}\,\d y_1=
\int_\R y_1\left(
\int_{\R^{n-1}}f_{\mathbf Y}(\mathbf y)\,\d y_2\cdots\d y_n
\right)\,\d y_1=
\int_{\R^n}y_1 f_{\mathbf Y}=\\
&=\int_{\tilde g^{-1}(\R^n)}g(\mathbf x)f_{\mathbf Y}(\tilde g(\mathbf x))
\abs{\J_{\tilde g}}\,\d\mathbf x=
\int_{\R^n}g(\mathbf x)f_{\mathbf X}(\mathbf x)\,\d\mathbf x
\end{split}
\]
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}
Buď $X$ diskrétní náhodná veličina $(x_k,p_k)$, $Y=g(X)$
borelovsky měřitelná, $g:\R\mapsto\R$. Pak
\[Eg(X)=\sum_{k=1}^n g(x_k)p_k\]
za předpokladu, že
\[\sum_{k=1}^n g(x_k)p_k\]
absolutně konverguje.
\begin{proof}
Nechť $y_k$ odpovídá pravděpodobnost $q_k$. Potom
\[
\begin{split}
EY&=\sum_{k=1}^n y_k q_k=\sum_{k=1}^n y_k P(Y=y_k)=
\sum_{k=1}^n y_k P(g(X)=y_k)=\\
&=\sum_{k=1}^n y_k \sum_{\substack{j\\g(x_j)=y_k}}p_j=
\sum_{k=1}^n\sum_{\substack{j\\g(x_j)=y_k}}y_kp_j=
\sum_{j=1}^n y_j p_j.
\end{split}
\]
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}
Střední hodnota n.v. má následující vlastnosti:
\begin{enumerate}
\item $E(c)=c$;
\item $E(\alpha X+\beta)=\alpha EX+\beta$;
\item
\[E\left(\sum_{j=1}^n X_j\right)=\sum_{j=1}^n EX_j;\]
\item
\[E\left(\prod_{j=1}^n X_j\right)=\prod_{j=1}^n E(X_j)\]
za předpokladu, že $\{X_j\}$ nezávislé.
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item
\[E(\alpha X+\beta)=\int_\R(\alpha x+\beta)f_X\,\d x=
\alpha\int_\R xf_X\d x+\int_\R\beta f_X\,\d x=
\alpha EX+\beta.\]
\item Viz výše.
\item
\[
\begin{split}
E\left(\sum_{j=1}^n X_j\right)&=
\int_{\R^n}\left(\sum_{j=1}^n x_j\right)f_{\mathbf X}
(\mathbf x)\,\d\mathbf x=\\
&=\sum_{j=1}^n\int_\R x_j\left(\int_{\R^{n-1}}
f_{\mathbf X}(\mathbf x)\,\d x_1\cdots
\d x_{j-1}\d x_{j+1}\d x_n\right)\d x_j=\\
&=\sum_{j=1}^n\int_\R x_jf_{X_j}(x_j)\,\d x_j=
\sum_{j=1}^n EX_j.
\end{split}
\]
\item
\[
\begin{split}
E\left(\prod_{j=1}^n X_j\right)&=
\int_{\R^n}\left(\prod_{j=1}^n x_j\right)f_{\mathbf X}\,\d\mathbf x=\\
&=\int_{\R^n}\left(\prod_{j=1}^n x_j\right)
\left(\prod_{j=1}^n f_{X_j}\right)\,\d\mathbf x=
\prod_{j=1}^n\int_\R x_jf_{X_j}\,\d x_j=\prod_{j=1}^n EX_j.
\end{split}
\]
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{define}
Buď $X$ náhodná veličina, $r\in\N$. Definujeme $r$-tý obecný moment
$X$ jako
\[\mu_r'(X)=E(X^r)\]
a $r$-tý centrální moment $X$ jako
\[\mu_r(X)=E[(X-EX)^r].\]
Speciálně pro $r=2$
\[DX=\mu_2(X)=E(X-EX)^2=\int_\R(x-EX)^2f_X\,\d x,\]
resp.
\[DX=\mu_2(X)=E(X-EX)^2=\sum_k(x_k-EX)^2p_k.\]
\end{define}
\begin{theorem}
Rozptyl náhodné veličiny má následující vlastnosti:
\begin{enumerate}
\item $Dc=0$;
\item $DX\ge 0$;
\item $DX=EX^2-(EX)^2$;
\item $EX^2\ge (EX)^2$;
\item $D(\alpha X)=\alpha^2 DX$;
\item Jsou-li $X_j$ nezávislé, pak
\[D\left(\sum_{j=1}^n X_j\right)=\sum_{j=1}^n DX_j.\]
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item Zřejmé.
\item Zřejmé.
\item $DX=E(X^2-2X(EX)+(EX)^2)=EX^2-2EX\,EX+(EX)^2=EX^2-(EX)^2$.
\item Vyplývá z~2 a 3.
\item \[D(\alpha X)=\int_R(\alpha X-\alpha EX)^2f_X=\alpha^2DX.\]
\item
\[
\begin{split}
D\left(\sum_{j=1}^n X_j\right)&=
E\left(\sum_{j=1}^n X_j-
E\left(\sum_{j=1}^n X_j\right)
\right)^2=
E\left(\sum_{j=1}^n (X_j-EX_j)\right)^2=\\
&=E\left(
\sum_{j=1}^n (X_j-EX_j)^2+
\sum_{\substack{i,j\\i\not=j}}^n (X_i-EX_i)(X_j-EX_j)
\right)=\\
&=\sum_{j=1}^n E(X_j-EX_j)^2+
\sum_{\substack{i,j\\i\not=j}}^n E(X_i-EX_i)E(X_j-EX_j)=\\
&=\sum_{j=1}^n DX_j.
\end{split}
\]
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{define}
Buď $X$ náhodná veličina, $EX^2<+\infty$. Potom definujeme {\bf
směrodatnou odchylku} veličiny $X$ jako $\sqrt{DX}$.
\end{define}
\begin{define}
Buď $X$ náhodná veličina, $EX^2<+\infty$. Definujeme {\bf
standardizovanou náhodnou veličinu} $U$ jako
\[U=\frac{X-EX}{\sqrt{DX}}.\]
\end{define}
\begin{remark}
Pro standardizovanou náhodnou veličinu platí $EU=0$, $DU=1$.
\end{remark}
\begin{define}
Šikmost (koeficient šikmosti) náhodné veličiny $X$ je
\[\mu_3(U)=\frac{\mu_3(X)}{[\sigma(X)]^3}.\]
\end{define}
\begin{define}
Špičatost náhodné veličiny $X$ je
\[\mu_4(U)=\frac{\mu_4(X)}{[\sigma(X)]^4}.\]
\end{define}
\begin{define}
Buď $X$ náhodná veličina. Definujeme {\bf momentovou vytvořující
funkci}
\[m_{\mathbf X}(\mathbf z)=E(\e^{\mathbf z\mathbf X})=
\int_{\R^n}\e^{\mathbf z\mathbf x} f_{\mathbf X}(\mathbf x)\,\d\mathbf x.\]
\end{define}
\begin{theorem}
Momentová vytvořující funkce má následující vlastnosti:
\begin{enumerate}
\item $m_X'(z)=E(X\e^{zX})$,
\[\lim_{z\to 0}m_X'=EX.\]
\item Buď $g:\R\mapsto\R$ borelovsky měřitelná funkce, $Y=g(X)$, potom
\[m_Y(z)=E\left[\e^{zg(X)}\right].\]
\item Momentová vytvořující funkce veličiny $X$ je jednoznačně určena
rozdělením $X$ a naopak.
\item Buďte $\posloupnost{1}{n}{X_j}$ nezávislé, potom
\[m_{\mathbf X}(\mathbf z)=\prod_{j=1}^n m_{X_j}(z_j).\]
\item Buďte $\posloupnost{1}{n}{X_j}$ nezávislé, $Y=X_1+\dots+X_n$,
potom
\[m_Y(z)=\prod_{j=1}^n m_{X_j}(z).\]
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item Triviální.
\item Triviální.
\item Netriviální.
\item
\[
\begin{split}
m_{\mathbf X}(\mathbf z)&=
E\left(\exp\left(\sum_{j=1}^n z_j X_j\right)\right)=
E\left(\prod_{j=1}^n \e^{z_j X_j}\right)=\\
&=\int_{\R^n}\left(\prod_1^n \e^{z_j x_j}\right)
\prod_{j=1}^n f_{X_j}(x_j)\,\d\mathbf x=
\prod_{j=1}^n E\left(\e^{z_j X_j}\right)=
\prod_{j=1}^n m_{X_j}(z_j)
\end{split}
\]
\item
\[
\begin{split}
m_Y(z)&=
E\left(\exp\left(\sum_{j=1}^n z~X_j\right)\right)=
E\left(\prod_{j=1}^n \e^{z X_j}\right)=\\
&=\int_{\R^n}\left(\prod_1^n \e^{z x_j}\right)
\prod_{j=1}^n f_{X_j}(x_j)\,\d\mathbf x=
\prod_{j=1}^n E\left(\e^{z X_j}\right)=
\prod_{j=1}^n m_{X_j}(z)
\end{split}
\]
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{example}
\begin{enumerate}
\item Pro binomické rozdělení $\Bi(n,p)$ platí:
\[
\begin{split}
EX&=\sum_{k=0}^n k\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}=
np\sum_{k=1}^n\binom{n-1}{k-1}p^{k-1}(1-p)^{n-k}=\\
&=np\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}p^k(1-p)^{n-1-k}=
np(p+1-p)=np.
\end{split}
\]
\[
\begin{split}
DX&=\sum_{k=0}^n k^2\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}-n^2p^2=\\
&=\sum_{k=0}^n k(k-1)\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}+np-n^2p^2=\\
&=n(n-1)p^2\sum_{k=2}^n\binom{n-2}{k-2}p^{k-2}(1-p)^{n-k}+np-n^2p^2=\\
&=(p+1-p)^{n-2}n(n-1)p^2+np-n^2p^2=-np^2+np=np(1-p).
\end{split}
\]
\[
\begin{split}
m_X(z)&=E\left(\e^{zX}\right)=\sum_{k=0}^n\e^{zk}\binom{n}{k}p^k(1-p)^k=\\
&=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\left(\e^z p\right)^k(1-p)^{n-k}=
\left(\e^z p+1-p\right)^n.
\end{split}
\]
\item Gaussovo rozdělení:
\[
\begin{split}
EX&=\int_\R x\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}
\exp\left(-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2\right)\,\d x=\\
&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}(\sigma y+\mu)
\exp\left(-\frac{y^2}{2}\right)\,\d y=
\frac{\mu}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}\exp\left(-\frac{y^2}{2}\right)\,\d
y=\mu.
\end{split}
\]
\[
\begin{split}
DX&=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_\R(x-\mu)^2
\exp\left(-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2\right)\,\d x=\\
&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sigma^2\int_\R y^2\exp\left(-\frac{y^2}2\right)
\,\d y=\sigma^2.
\end{split}
\]
\[
\begin{split}
m_X(z)&=E(\e^{zX})=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_\R
\e^{zx}\exp\left(-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2\right)\,\d x=\\
&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\R \e^{z(\sigma y+\mu)}
\exp\left(-\frac{y^2}{2}\right)\,\d y=\\
&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(z\mu+\frac{\sigma^2 z^2}{2}\right)
\int_\R\exp\left(-\frac12(y-\sigma z)^2\right)\,\d y=\\
&=\exp\left(z\mu+\frac{\sigma^2z^2}2\right).
\end{split}
\]
\item Rozdělení $\GammaR(\alpha,\beta)$:
\[
\begin{split}
m_X(z)&=\int_\R\e^{zx}\frac{1}{\gammaf(\alpha)}\frac{1}{\beta^\alpha}
\exp\left(-\frac{x}{\beta}\right)x^{\alpha-1}\,\d x=
\frac{1}{\gammaf(\alpha)}\frac{1}{\beta^\alpha}
\frac{1}{\left(\frac{1}{\beta}-z\right)^\alpha}
\int_\R t^{\alpha-1}\e^{-t}=\\
&=\frac{1}{\beta^\alpha}\frac{1}{\left(\frac{1}{\beta}-z\right)^\alpha}=
(1-\beta z)^{-\alpha}.
\end{split}
\]
$EX=\alpha\beta$, $DX=\alpha\beta^2$.
\item Buďte $X_j\sim N(\mu_j,\sigma_j^2)$ nezávislé,
\[y=\sum_{j=1}^n a_jX_j.\]
Potom
\[
\begin{split}
m_Y(z)&=\prod_{j=1}^nm_{a_jX_j}(z)=\prod_{j=1}^n
\exp\left(za_j\mu_j+\frac{z^2}2a_j^2\sigma_j^2\right)=\\
&=\exp\left(z\left(\sum_{j=1}^na_j\mu_j\right)+
\frac{z^2}2\left(\sum_{j=1}^na_j\sigma_j^2\right)\right)
\end{split}
\]
\item Buďte $X_j\sim N(0,1)$. Potom
\[f_{X_j^2}(y_j)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}y_j^{-\frac12}\e^{-\frac{y_j}2},\]
\[m_{X_j^2}(z_j)=E(\e^{z_jY_j})=(1-2z_j)^{-\frac12}.\]
Pro $Y=\sum X_j^2$ pak platí
\[m_{Y}(z)=\prod_{j=1}^n m_{X_j^2}(z)=(1-2z)^{-\frac n2}.\]
\end{enumerate}
\end{example}
\begin{define}
Veličina $x_p=\inf\{x|F_X(x)\ge p\}$, kde $p\in(0,1)$, se nazývá {\bf $p$-kvantil}.
Kvantil $x_{0.5}$ se nazývá {\bf medián}.
\end{define}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Je-li $F_X$ spojitá, pak je $F_X(x_p)=p$ pro každé $p\in(0,1)$.
\item
\[F_X(x_p)=\int_{-\infty}^{x_p}f_X=p.\]
\item Pro rozdělení symetrická podle nuly platí $x_p=x_{1-p}$.
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{define}
Bod $x_m$, kde rozdělení nabývá maxima, se nazývá {\bf mód}.
\end{define}
