Součásti dokumentu 01PRA1_2
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01PRA1_2}
\section{Absolutně spojitá rozdělení}
\begin{define}
Náhodná veličina $X$ má {\bf absolutně spojité rozdělení} (dále jen
{\bf ASR}), pokud existuje $f_X:\R\mapsto\R$ tak, že
\[F_X(x)=\int_{-\infty}^x f_X(t)\,\d t.\]
Funkci $f_X$ nazýváme {\bf hustota pravděpodobnosti}.
\end{define}
\begin{define}
Náhodné veličiny $(X_1,\dots,X_n)=\mathbf X$ mají {\bf sdružené
absolutně spojité rozdělení} ({\bf SASR}), pokud existuje
\[F_{\mathbf X}(\mathbf x)=
\int_{-\infty}^{x_1}\cdots\int_{-\infty}^{x_n}
f_{\mathbf X}(\mathbf t)\,\d t_1\d t_2\cdots\d t_1.
\]
Funkce $f_{\mathbf X}$ je {\bf sdružená hustota pro $\mathbf X$}.
\end{define}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Někde se místo pojmu \uv{absolutní spojitost} používá pouze
\uv{spojitost}.
\item Funkce $F$ je absolutně spojitá, právě když existuje funkce $f$
definovaná skoro všude tak, že
\[F=\int_{-\infty}^x f(t)\]
a $F_X'(x_0)=f_X(x_0)$
\begin{define}
Funkce $F$ je absolutně spojitá na $(a,b)$, právě když pro každé
$\epsilon$ existuje $\delta$ tak, že $\forall\{(a_i,b_i)\subset
(a,b)\}$
\[\sum_{i=1}^n\abs{b_i-a_i}<\delta\implies
\sum_{i=1}^\infty\abs{F(b_i)-F(a_i)}<\epsilon.\]
\end{define}
\item Je-li $F$ riemannovsky integrabilní a spojitá v~$x_0$, pak
$F'(x_0)=f(x_0)$.
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{theorem}
Je-li funkce $f_{\mathbf X}(\mathbf x)$ riemannovsky integrabilní a
spojitá v~$\mathbf x_0$, pak
\[f_{\mathbf X}(\mathbf x_0)=\frac{\pd F_{\mathbf X}(\mathbf x_0)}{\pd x_1\cdots\pd x_n}.\]
\end{theorem}
\begin{theorem}[Lebesgueova pro distribuční funkce]
Libovolnou distribuční funkci lze zapsat jako
\[F(x)=F_1(x)+K(x)+S(x),\]
kde $F_1$ je absolutně spojitá, $K$ je s~nejvýše spočetně skoky, $S$
je spojitá a rostoucí pouze na množině míry $0$.
\end{theorem}
\begin{remark}
Vlastnosti distribuční funkce:
\begin{enumerate}
\item $f_{\mathbf X}\ge 0$ skoro všude.
\item
\[\int_{\R}f_{\mathbf X}(x)\,\d x=1.\]
\item
\[P(a<\mathbf X\le b)=\int_a^b f_{\mathbf X}(\mathbf x)\,\d x.\]
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item Vyplývá z~monotonie $F_X$.
\item
\[\int_{-\infty}^{+\infty}f_X=\lim_{x\to\infty}\int_{-\infty}^x f_X=
\lim_{x\to\infty}F_X(x)=1\]
\item
\[P(a<X\le b)=F(b)-F(a)=\int_{-\infty}^b f-\int_{-\infty}^a f\]
\[
\begin{split}
&P(a_1<X\le b_1,a_2<Y\le b_2)=\\
&=F_{X,Y}(b_1,b_2)-F_{X,Y}(a_1,b_2)-F_{X,Y}(b_1,a_2)+F_{X,Y}(a_1,a_2)=\\
&=\int_{a_1}^{b_1}\int_{a_2}^{b_2} f_X(u,v)\,\d u\d v
\end{split}
\]
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{remark}
\begin{theorem}
Nechť $(X_1,X_2,X_3)$ mají SASR. Pak $(X_1,X_3)$ mají SASR a platí
\[f_{X_1,X_3}(x_1,x_3)=
\int_{-\infty}^{-\infty}f_{X_1,X_2,X_3}(x_1,x_2,x_3)\,\d x_2.\]
\begin{proof}
\[
\begin{split}
F_{X_1,X_3}(x_1,x_3)&=\lim_{x_2\to+\infty}F(x_1,x_2,x_3)=\\
&=\lim_{x_2\to+\infty}
\int_{-\infty}^{x_1}\int_{-\infty}^{x_2}\int_{-\infty}^{x_3}
f_{X_1,X_2,X_3}(t_1,t_2,t_3)\,\d t_1\d t_2\d t_3=\\
&=\int_{-\infty}^{x_1}\int_{-\infty}^{x_3}\left(
\lim_{x_2\to+\infty}\int_{-\infty}^{x_2}
f_{X_1,X_2,X_3}(t_1,t_2,t_3)\,\d t_2\right)\d t_1\d t_3,
\end{split}
\]
tedy
\[
f_{X_1,X_3}(x_1,x_3)=\int_{-\infty}^{-\infty}f_{X_1,X_2,X_3}(x_1,x_2,x_3).
\]
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}
Nechť náhodné veličiny $(X_1,\dots,X_n)$ mají SASR. Pak
$(X_1,\dots,X_n)$ jsou nezávislé, právě když
\[f_{\mathbf X}(\mathbf x)=\prod_{i=1}^n f_{X_i}(\alpha_i).\]
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item $(\Leftarrow)$
\[
\begin{split}
F_{\mathbf X}(\mathbf x)&=
\int_{-\infty}^{x_1}\cdots\int_{-\infty}^{x_n}f_{\mathbf X}=
\int_{-\infty}^{x_1}\cdots\int_{-\infty}^{x_n}\prod_{i=1}^n
f_{X_i}(t_i)\,\d t_i=\\
&=\prod_{i=1}^n\int_{-\infty}^{x_i}f_{X_i}(t_i)\,\d t_i=
\prod_{i=1}^n F_{X_i}(x_i).
\end{split}
\]
\item $(\Rightarrow)$
\[
F_{\mathbf X}(\mathbf x)=\prod_{i=1}^n F_{X_i}(x_i)=
\prod_{i=1}^n\int_{-\infty}^{x_i}f_{X_i}(t_i)\,\d t_i=
\int_{-\infty}^{x_1}\cdots\int_{-\infty}^{x_n}\prod_{i=1}^n
f_{X_i}(t_i)\,\d t_i.
\]
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{define}
Buďte $X,Y$ náhodné veličiny, $y_0\in\Ran Y$. Podmíněná distribuční
funkce náhodné veličiny $X$ za podmínky $Y=y_0$ je funkce
$F_{X|Y}:\R\mapsto[0,1]$ definovaná předpisem
\[F_{X|Y}(x|y_0)=\lim_{\epsilon\to 0+}
P(\{X\le x\}|\{y_0-\epsilon<Y\le y_0+\epsilon\}).\]
\end{define}
\begin{define}
Podmíněná hustota pravděpodobnosti za $Y=y_0$ je taková funkce
$f_{X|Y}$, že platí
\[F_{X|Y}(x|y_0)=\int_{-\infty}^x f_{X|Y}(t|y_0)\,\d t.\]
\end{define}
\begin{lemma}
Nechť $X$ má ASR a $f_X$ je spojitá v~$x_0\in\R$. Pak
\[\lim_{\epsilon\to 0+}\frac{1}{2\epsilon}
\int_{x_0-\epsilon}^{x_0+\epsilon}f_X(t)\,\d t=f_X(x_0).\]
\begin{proof}
\begin{multline*}
\lim_{\epsilon\to 0+}\frac{1}{2\epsilon}(F_X(x_0+\epsilon)-F_X(x_0-\epsilon)+F_X(x_0)-F_X(x_0))=\\
=\frac12({F_x}_+'(x_0)+{F_x}_-'(x_0))=f_X(x_0).
\end{multline*}
\end{proof}
\end{lemma}
\begin{theorem}
Nechť $X,Y$ jsou náhodné veličiny se SASR. Nechť $y_0\in\R$ takové, že
\begin{enumerate}
\item $f_{X,Y}$ je spojitá v~$y_0$ pro skoro všechna $x\in\R$,
\item $f_Y(y)$ je spojitá v~$y_0$ a $f_Y(y_0)>0$.
\end{enumerate}
Pak
\[f_{X|Y}(x|y_0)=\frac{f_{X,Y}(x,y_0)}{f_Y(y_0)}\]
pro skoro každé $x\in\R$.
\begin{proof}
\[
\begin{split}
F_{X|Y}(x|y_0)&=\lim_{\epsilon\to 0+}
\frac{P(\{X\le x\}\cap\{y_0-\epsilon<Y\le y_0+\epsilon\})}
{P(y_0-\epsilon<Y\le y_0+\epsilon)}=\\
&=\lim_{\epsilon\to 0+}
\frac{\int_{-\infty}^x\,\d t\int_{y_0-\epsilon}^{y_0+\epsilon}\,\d y
f_{X,Y}(t,y)}
{\int_{y_0-\epsilon}^{y_0+\epsilon}f_Y(y)\,\d y}=\\
&=\frac{\int_{-\infty}^x\lim_{\epsilon\to 0+}\frac1{2\epsilon}
\int_{-y_0-\epsilon}^{y_0+\epsilon} f_{X,Y}\,\d y\d t}
{\lim_{\epsilon\to 0+}
\frac1{2\epsilon}\int_{y_0-\epsilon}^{y_0+\epsilon}f_Y(y)\,\d y}=\\
&=\frac{\int_{-\infty}^xf_{X,Y}(t,y_0)\,\d t}
{f_Y(y_0)}=
\int_{-\infty}^x\frac{f_{X,Y}(t,y_0)}{f_Y(y_0)}\,\d t.
\end{split}
\]
\end{proof}
\end{theorem}
