Součásti dokumentu 01PRA1_2
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01PRA1_2}
\section{Úvod}
\subsection{Prostor elementárních jevů, algebra jevů}
\begin{define}
Označme $\Omega$ prostor elementárních jevů, $\omega\in\Omega$
elementární jev, $A\subset\Omega$ jev.
\end{define}
\begin{define}
Buďte $A,B$ jevy, potom
\begin{itemize}
\item $A=\Omega$ je {\bf jev jistý}.
\item $A\compl$ je {\bf jev opačný} k~jevu $A$. Platí
$\omega\in A\veebar\omega\in A\compl$.
\item $A\cup B$ je jev, kdy nastává $A$ nebo $B$.
\item Pokud $A$ a $B$ nenastávají současně, říkáme, že jde o~jevy {\bf
navzájem neslučitelné}.
\item Jsou-li $A,B$ neslučitelné, píšeme $+$ místo $\cup$: $A+B$.
\item $A\subset B$, právě když platí $\omega\in A\implies\omega\in B$.
\item $A\cap B$ ($A\cdot B$) je jev, kdy $A$ a $B$ nastávají současně.
\item $\emptyset$ je {\bf jev nemožný}.
\item $A=B$, právě když $A\subset B$ a $B\subset A$.
\item $A-B$ je jev, kdy $A$ nastane a $B$ nenastane.
\item Symetrická diference $A\sd B=(A-B)\cup(B-A)$.
\end{itemize}
\end{define}
\begin{poz}
Je-li $A\cup B=\emptyset$, pak $A$ a $B$ jsou neslučitelné.
\end{poz}
\begin{theorem}
Nechť $A,B,C\subset\Omega$ jsou jevy, $N\in\N$ nebo $+\infty$. Pak
\begin{enumerate}
\item $A\subset A$;
\item $A\subset B\wedge B\subset C\implies A\subset C$;
\item $A\cap A=A$, $A\cup A=A$;
\item $A\cup A=B\cup A$, $A\cap B=B\cap A$;
\item $A\cap(B\cap C)=(A\cap B)\cap C$,
$A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C$;
\item $\emptyset\subset A\subset\Omega$;
\item $A\cap B\subset A\subset A\cup B$;
\item $\emptyset\cap A=\emptyset$, $\emptyset\cup A\subset A$;
\item $\Omega\cap A=A$, $\Omega\cup A=\Omega$;
\item $(A\compl)\compl=A$;
\item $(A\cup B)\compl=A\compl\cap B\compl$,
$(A\cap B)\compl=A\compl\cup B\compl$;
\item $A\cup B=A+BA\compl$;
\item $B=AB+A\compl B$;
\item $A\cap(B\cup C)=AB\cup AC$,
$A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)$;
\item
\[\bigcup_{n=1}^N A_n=A_1+\sum_{n=2}^N A_1\compl\cdot A_{n-1}\compl
A_n;\]
\item
\[
\left(\bigcup_{n=1}^N A_n\right)\compl=\bigcap_{n=1}^N A_n\compl,\quad
\left(\bigcap_{n=1}^N A_n\right)\compl=\bigcup_{n=1}^N A_n\compl;
\]
\item $A\cap A\compl=\emptyset$;
\item $A\cup A\compl=\Omega$;
\item $A\cap(B+C)=AB+AC$.
\end{enumerate}
\end{theorem}
\subsection{Axiomy pravděpodobnostního prostoru}
\begin{define}
\label{kolmog_j}
Buď $\Omega$ prostor elementárních jevů, $\A\subset 2^\Omega$
množina jevů. Požadujeme, aby $\A$ tvořila $\sigma$-algebru jevů,
tj. aby
\begin{enumerate}
\item $\emptyset\in\A$;
\item $A\in\A\implies A\compl\in\A$;
\item $A_1,A_2,\dots,A_\infty\in\A\implies\bigcup_{j=1}^\infty A_j\in\A$.
\end{enumerate}
\end{define}
\begin{remark}
Ne všechny podmnožiny $\Omega$ jsou jevy. To platí pouze u~spočetných $\Omega$.
\end{remark}
\begin{poz}
$\Omega\in\A$, $\bigcup_{j=1}^n A_j\in\A$.
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item $\emptyset\in\A\implies\Omega=\emptyset\compl\in\A$;
\item Stačí položit $A_{n+1}=A_{n+2}=\dots=\emptyset$.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{poz}
\begin{theorem}
Buďte $A_1,A_2,\dots,A_n,\ldots\in\A$. Potom
\[\bigcap_{j=1}^\infty A_j\in\A.\]
\begin{proof}
Protože $A_j\in\A$, podle axiomu 2 je $A_j\compl\in\A$, podle axiomu 3
\[\bigcup_{j=1}^n A_j\compl\in\A\implies
\left(\bigcup_{j=1}^n A_j\compl\right)\compl\in\A\implies
\bigcap_{j=1}^n A_j\in\A.
\]
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{define}
\label{kolmog_p}
Pravděpodobnost $P$ je funkce $P:\A\mapsto\R$ taková, že
\begin{enumerate}
\item $P(A)\ge 0$ pro každé $A\mapsto\A$;
\item $P(\Omega)=1$;
\item Pro každé $A_1,A_2,\dots,A_n,\ldots\in\A$ disjunktní je
\[P\left(\sum_{j=1}^\infty A_j\right)=\sum_{j=1}^\infty P(A_j).\]
\end{enumerate}
\end{define}
\begin{theorem}
\begin{enumerate}
\item $P(\emptyset)=0$.
\item \[P\left(\sum_{j=1}^n A_j\right)=\sum_{j=1}^n P(A_j)\]
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item $\Omega\in\A$, $P(\Omega)=1$,
$\Omega\compl=\emptyset$. Protože
$\Omega+\emptyset+\emptyset+\dots=\Omega$, je
\[\sum_{1}^\infty P(\emptyset)=0\]
a $P(\emptyset)=0$.
\item Stačí zvolit $A_{n+1}=A_{n+2}=\dots=\emptyset$, potom
\[P\left(\sum_{j=1}^\infty A_j\right)=\sum_{j=1}^\infty P(A_j)=
\sum_{j=1}^n P(A_j)+0.\]
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}
Buďte $A,B\in\A$. Pak $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
\begin{proof}
$A\cup B=A+(B\cap A\compl)$, $P(A\cap B)=P(A)+P(B\cap A\compl)$; dále
platí $B=B\cap A\compl+A\cap B$ a $P(B)=P(B\cap A\compl)+P(A\cap
B)$. Z~toho okamžitě vyplývá tvrzení věty.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(B\cap C)-P(A\cap
C)+P(A\cap B\cap C)$.
\end{remark}
\begin{theorem}[Booleova nerovnost]
$P(A\cup B)\le P(A)+P(B)$.
\end{theorem}
\begin{dusl}
\[P\left(\bigcup_{j=1}^{N,\infty} A_j\right)\le\sum_{j=1}^{N,\infty}P(A_j)\]
\end{dusl}
\begin{theorem}
$A\subset B\implies P(A)\le P(B)$
\begin{proof}
$B=A+B\cap A\compl$, $P(B)=P(A)+P(B\cap A\compl)$, přičemž $P(B\cap
A\compl)\ge 0$.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{dusl}
$P(A)\le 1$, neboť $A\subset\Omega$.
\end{dusl}
\begin{lemma}[o spojitosti]
Pravděpodobnost je spojitá funkce shora i zdola:
\begin{enumerate}
\item Nechť $A_n\in\A$, $A_n\nearrow A$, ($A_n\subset A_{n+1}$),
$A=\bigcup_{j=1}^\infty A_n$. Pak $\lim_{n\to\infty}P(A_n)=P(A)$.
\item Nechť $A_n\in\A$, $A_n\searrow A$, ($A_n\supset A_{n+1}$),
$A=\bigcap_{j=1}^\infty A_n$. Pak $\lim_{n\to\infty}P(A_n)=P(A)$.
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item Nechť $A_n\searrow\emptyset$, dokážeme, že v~tom případě
$P(A_n)\to 0$
\begin{enumerate}
\item Existence limity plyne z~monotonie pravděpodobnosti $P(A_n)\ge
P(A_{n+1})$ a pozitivity $P\ge 0$.
\item Buď $B_n=A_n-A_{n+1}$, potom
\[A_n=\sum_{j=n}^\infty B_j.\]
Protože
\[A_1=\sum_{j=1}^\infty B_j,\]
a $B_j$ jsou disjunktní, je
\[P(A_1)=\sum_{j=1}^\infty P(B_j).\]
Řada na pravé straně konverguje, proto je
\[\lim_{n\to\infty}\sum_{j=n}^\infty P(B_j)=0.\]
\end{enumerate}
\item Buď $A\not=\emptyset$, $A_n\searrow A\not=\emptyset$. Platí
$A_n=(A_n-A)+A$, $P(A_n)=P(A_n-A)+P(A)$. Potom $P(A_n-A)\to 0$ a
$P(A_n)\to P(A)$.
\item Buď $A\not=\emptyset$, $A_n\nearrow A\not=\emptyset$. Platí
$A=(A-A_n)+A_n$, $P(A)=P(A-A_n)+P(A_n)$. Potom $P(A-A_n)\to 0$ a
$P(A_n)\to P(A)$.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{lemma}
\subsection{Podmíněná pravděpodobnost}
\begin{define}
Nechť $P(B)>0$. Pak podmíněná pravděpodobnost $A$ za předpokladu jevu
$B$ je definována jako
\[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.\]
\end{define}
\begin{theorem}
$P(\cdot|B)$ je pravděpodobnost ve smyslu definice \ref{kolmog_p}.
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item
\[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\ge 0;\]
\item
\[P(\Omega|B)=\frac{P(\Omega\cap B)}{P(B)}=\frac{P(B)}{P(B)}=1;\]
\item
\[
\begin{split}
P\left(\left.\sum_{j=1}^\infty A_j\right|B\right)&=
\frac{P\left(\left(\sum_{j=1}^\infty A_j\right)\cap B\right)}{P(B)}=
\frac{P\left(\sum_{j=1}^\infty(A_j\cap B)\right)}{P(B)}=\\
&=\frac{\sum_{j=1}^\infty P(A_j\cap B)}{P(B)}=
\sum_{j=1}^\infty \frac{P(A_j\cap B)}{P(B)}
\end{split}
\]
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}[o násobení pravděpodobnosti]
Buďte $A_0,A_1,\dots,A_n\in\A$ tak, že platí
$P(A_0\cap A_1\cap\dots\cap A_n)>0$. Pak
\[
P(A_0\cap A_1\cap\dots\cap A_n)=P(A_0)P(A_1|A_0)P(A_2|A_0\cap
A_1)\cdots
P(A_n|A_0\cap\dots\cap A_{n-1})
\]
\begin{proof}
Platí
\[
A_0\cap\dots\cap A_n\subset A_0\cap\dots\cap
A_{n-1}\subset\cdots\subset A_0
\]
a
\[
0< P(A_0\cap\dots\cap A_n)\le P(A_0\cap\dots\cap A_{n-1})\le
\cdots\le P(A_0)
\]
Pro $n=1$ je to definice podmíněné pravděpodobnosti. Přechod $n\to
n+1$:
\[P(\underbrace{A_0\cdots A_n}_B A_{n+1})=
P(A_0\cdots A_n)P(A_{n+1}|A_0\cdots A_n).\]
Pro $P(A_0\cdots A_n)$ využijeme indukčního předpokladu.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}[o úplnosti]
Nechť $\posloupnost{n=1}{N}{H_n}$ tvoří úplný rozklad jistého jevu,
tj. $P(H_n)>0$, $H_n$ jsou disjunktní a
\[P\left(\sum_{j=1}^N H_j\right)=1.\]
Pak
\[P(A)=\sum_{j=1}^N P(A|H_n)P(H_n).\]
\begin{proof}
\[
\begin{split}
P(A)&=P\left(A\cap\left(\sum_{j=1}^N H_j\right)\right)+
P\left(A\cap\left(\sum_{j=1}^N H_j\right)\compl\right)=\\
&=P\left(\sum_{j=1}^N (A\cap H_j)\right)+
P\left(\left(\sum_{j=1}^N H_j\right)\compl\right)=
\sum_{j=1}^N P(A\cap H_j)
\end{split}
\]
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}[Bayes]
Nechť $\posloupnost{j=1}N{H_n}$ tvoří úplný rozklad jistého jevu a
$P(A)>0$. Pak
\[P(H_j|A)=\frac{P(A|H_j)P(H_j)}{\sum_{i=1}^N P(A|H_i)P(H_i)}.\]
\begin{proof}
\[
P(H_j|A)=\frac{P(H_j\cap A)}{P(A)}=
\frac{P(A|H_j)P(H_j)}{\sum_{i=1}^N P(A|H_i)P(H_i)}
\]
\end{proof}
\end{theorem}
\subsection{Stochastická nezávislost jevů}
\begin{define}
Nechť $\mathcal C$ značí systém jevů. Jevy z~$\mathcal C$ nazýváme {\bf
nezávislé}, pokud pro každý konečný systém $A_1,\dots,A_n\in\mathcal
C$ platí $P(A_1\cap A_2\cap\dots\cap A_n)=P(A_1)P(A_2)\cdots P(A_n)$.
\end{define}
\begin{theorem}
Buďte $A,B$ nezávislé jevy. Potom $A$ a $B\compl$ jsou nezávislé.
\begin{proof}
Protože $P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap B\compl)$, je
$P(A\cap B\compl)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)(1-P(B))=P(A)P(B\compl)$
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{dusl}
$A\compl$ a $B\compl$ jsou nezávislé.
\end{dusl}
\begin{theorem}
Buď $P(B)>0$. Pak $A,B$ jsou nezávislé, právě když $P(A|B)=P(A)$.
\begin{proof}
Buďte $A,B$ nezávislé, pak
\[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=P(A).\]
Nechť $P(A|B)=P(A)$. Potom $P(A\cap B)=P(A|B)P(B)=P(A)P(B)$.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Buď $A$ jev, $B$ jev takový, že $P(B)=0$. Pak $A,B$ jsou
nezávislé: $0\le P(A\cap B)\le P(B)=0=P(A)P(B)$.
\item Buď $A\in\A$. Potom $A,\Omega$ jsou nezávislé.
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{define}
Soubor, jehož každé dva prvky jsou nezávislé, nazýváme {\bf párově
nezávislý}.
\end{define}
\subsection{Borelovská algebra, borelovsky měřitelné funkce}
\begin{define}
Neprázdný systém $\S$ podmnožin množiny $X$ se nazývá {\bf algebrou},
pokud platí:
\begin{enumerate}
\item $\emptyset\in\S$,
\item $(\forall E,F\in\S)(E\sm F\in\S)$,
\item $E\cup F\in\S$.
\end{enumerate}
\end{define}
\begin{define}[alternativní]
Neprázdný systém $\S$ podmnožin množiny $X$ se nazývá {\bf algebrou},
pokud platí:
\begin{enumerate}
\item $(\forall E\in\S)(X\sm E\in\S)$,
\item $(\forall E,F\in\S)(E\cup F\in\S)$.
\end{enumerate}
\end{define}
\begin{define}
Nechť $Z$ je libovolný systém z~$2^X$. Definujeme
\[\sigma(Z)=\bigcap_{\alpha\in\I}\S_\alpha,\]
kde $\S_\alpha$ jsou $\sigma$-algebry takové, že $Z\subset\S_\alpha$.
Množina $\sigma(Z)$ se nazývá {\bf mininální $\sigma$-algebrou} nad
systémem $Z$.
\end{define}
\begin{define}
Buď $X=\R$, $\tau=\{(a_i,b_i)|a_i<b_i\wedge a_i,b_i\in\R\}$, pak
$\sigma(\tau)=:\B_1$ se nazývá {\bf borelovská algebra} a $B\in\B_1$
se nazývá {\bf borelovsky měřitelná}.
\end{define}
\begin{define}
{\bf Náhodná veličina} je funkce $X:\Omega\mapsto\R$ taková, že pro
každé $x\in\R$ platí
$\{\omega|X(\omega)\le x\}\in\A$, $X^{-1}((-\infty,x])\in\A$.
\end{define}
\begin{define}
Buď $A\in\A$. Potom funkce
\[
\chf_A(\omega)=
\begin{cases}
0&\omega\not\in A\\
1&\omega\in A
\end{cases}
\]
je {\bf charakteristická funkce $A$}.
\end{define}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Funkce $\chf_A$ je náhodná veličina.
\item Značení: $\{\omega|X(\omega)\in S\}=:\{X\in S\}$.
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{theorem}
Funkce $X:\Omega\mapsto\R$ je náhodná veličina, právě když
$(\forall x\in\R)(\{X<x\}\in\A)$.
\begin{proof}
\end{proof}
\end{theorem}
\subsection{Operace s~náhodnými veličinami}
\begin{enumerate}
\item Sčítání: $(X+Y)(\omega)=X(\omega)+Y(\omega)$.
\begin{proof}[Důkaz, že $X+Y$ je n.v.]
Dokážeme, že
$A=\{\omega|X(\omega)+Y(\omega)<c\}\in\A$ a že
\[A=\bigcup_{r\in\Q}(\{X(\omega)\le r\}\cap\{Y(\omega)\le c-r\}).\]
\begin{enumerate}
\item $\supset$: triviální.
\item $\subset$: Nechť $\omega\in A$. Potom $X(\omega)+Y(\omega)<c\iff
X(\omega)<c-Y(\omega)$, takže existuje $r\in\Q$ tak, že platí
$X(\omega)\le r\le c-Y(\omega)$, tj. $\omega\in\bigcup$.
\end{enumerate}
\end{proof}
\item Násobení konstantou: $(KX)(\omega)=K\cdot X(\omega)$.
\begin{proof}[Důkaz, že $KX$ je n.v.]
\begin{enumerate}
\item Pro $K>0$ je $\{X\le c/K\}\in\A$.
\item Pro $K<0$ je $\{X\ge c/K\}\in\A$.
\item Pro $K=0$ je $\emptyset\in\A$ pro $x<0$ nebo $\Omega\in\A$ pro $c\ge 0$.
\end{enumerate}
\end{proof}
\item Násobení: $(XY)(\omega)=X(\omega)\cdot Y(\omega)$.
\begin{proof}[Důkaz, že $XY$ je n.v.]
Dokážeme, že $X^2$ je n.v.:
\[
\{X^2(\omega)\le c\}=
\begin{cases}
\emptyset & c<0\\
\{-\sqrt{c}\le X(\omega)\le\sqrt{c}\} & c\ge 0
\end{cases}
\]
\[
\{-\sqrt{c}\le X(\omega)\le\sqrt{c}\}=
\underbrace{\{X(\omega)\le\sqrt{c}\}}_{\in\A}\cap
\underbrace{\{\sqrt{c}\le X(\omega)\}}_{\in\A}\in\A.
\]
Dále platí, že $XY=\frac14((X+Y)^2-(X-Y)^2)$, což je podle předchozích
závěrů náhodná veličina.
\end{proof}
\item Dělení: $Y\not=0$, $(X/Y)(\omega)=X(\omega)/Y(\omega)$.
\begin{proof}[Důkaz, že $X/Y$ je n.v.]
Buďte $X,Y$ náhodné veličiny, $\{Y(\omega)=0\}=\emptyset$.
\[
\begin{split}
\left\{\frac{X(\omega)}{Y(\omega)}\le c\right\}&=
\left\{\frac{X(\omega)}{Y(\omega)}\le c\right\}\cap \{Y>0\}+
\left\{\frac{X(\omega)}{Y(\omega)}\le c\right\}\cap \{Y<0\}=\\
&=\underbrace{\{X(\omega)\le c Y(\omega)\}}_{\in\A}\cap\underbrace{\{Y(\omega)>0\}}_{\in\A}+
\underbrace{\{X(\omega)\ge c Y(\omega)\}}_{\in\A}\cap\underbrace{\{Y(\omega)>0\}}_{\in\A}
\end{split}
\]
\end{proof}
\item Maximum: $\max\{X,Y\}(\omega):=
\max\{X(\omega),Y(\omega)\}$
\begin{proof}[Důkaz, že $\max\{X,Y\}$ je n.v.]
\[\left\{\max\{X(\omega),Y(\omega)\}\le c\right\}=
\{X(\omega)\le c\}\cap\{Y(\omega)\le c\}.\]
\end{proof}
\item Minimum: $\min\{X,Y\}:=-\max\{-X,-Y\}$.
\end{enumerate}
\begin{lemma}
Každou množinu $B\in\B_1$ lze složit z~polouzavřených intervalů
$(a_i,b_i]$ pomocí operací $\cup$ a $-$.
\end{lemma}
\begin{theorem}
Buď $X$ náhodná veličina $\Omega\mapsto\R$, $g$ funkce $\R\mapsto\R$
borelovsky měřitelná. Pak $g(X)$ je náhodná veličina.
\begin{proof}
Z předpokladu vyplývá, že $g^{-1}((-\infty,c])=B$ je borelovsky
měřitelná. Dále platí, že libovolný interval $(a_i,b_i]$
lze zapsat jako $(-\infty,b_i]-(-\infty,a_i]$. Z~nich pak lze složit
libovolnou borelovskou množinu (bez důkazu):
\[X^{-1}(B)=X^{-1}\left(\bigcupm_i(a_i,b_i]\right)=
\bigcupm_i
X^{-1}(a_i,b_i]=\bigcupm_i(X^{-1}(-\infty,b_i]-X^{-1}(-\infty,b_i]),\]
kde $\bigcupm$ je licensia poetica a znamená to kombinaci $\cup$ a
$-$. Z toho plyne, že $X^{-1}(B)\in\A$.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}
Buďte $X_i$ náhodné veličiny (spočetný počet), potom
\[\inf\{X_i|i\in\N\},\quad\sup\{X_i|i\in\N\},\quad
X=\lim_{i\to\infty}X_i\]
jsou náhodné veličiny.
\end{theorem}
\begin{theorem}
Pro charakteristickou funkci množiny platí:
\begin{enumerate}
\item $\chf_A^2=\chf_A$;
\item $\chf_\Omega=1$;
\item $1-\chf_A=\chf_{A\compl}$;
\item $\chf_{A\cap B}=\chf_A\chf_B$;
\item $\chf_{A+B}=\chf_A+\chf_B$;
\item $\chf_{A\cup B}=\max(\chf_A,\chf_B)$.
\end{enumerate}
\end{theorem}
\subsection{Distribuční funkce náhodné veličiny}
\begin{define}
Buď $X$ náhodná veličina. Potom definujeme $F_X:\R\mapsto\R$,
$F_X(x)=P(X\le x)$ pro každé $x\in\R$.
\end{define}
\begin{theorem}
Buď $X$ náhodná veličina, $F_X$ distribuční funkce. Pak
\begin{enumerate}
\item $x_1\le x_2\implies F_X(x_1)\le F_X(x_2)$;
\item $\lim_{n\to\infty}F_X(x)=1$;
\item $\lim_{n\to-\infty}F_X(x)=0$;
\item $F_X(x)$ je zprava spojitá.
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item $x_1\le x_2\implies\{\omega|X\le x_1\}\subset\{X\le x_2\}$;
$P\{X\le x_1\}\le P\{X\le x_2\}$.
\item
\[
\lim_{n\to\infty}F_X(n)=
\lim_{n\to\infty}P(X\le n)=P\left(\bigcup_{n=1}^n\{X\le n\}\right)=
P(\Omega)=1\]
\item
\[
\lim_{x\to-\infty}F_X(x)=
\lim_{n\to\infty}P(X\le -n)=P\left(\bigcap_{n=1}^n\{X\le -n\}\right)=
P(\emptyset)=0
\]
\item
\[
\begin{split}
\lim_{x\to a+}F_X(x)&=\lim_{x\to\infty}F_X\left(a+\frac1{2^n}\right)=
\lim_{n\to\infty} P\left(X\le a+\frac1{2^n}\right)=\\
&=P\left(\bigcap_{n=1}^\infty\left\{X\le a+\frac1{2^n}\right\}\right)=
P(X\le a)=F_X(a)
\end{split}
\]
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
\[
\begin{split}
P(X<x)&=
P\left(\bigcup_{n=1}^\infty\left\{X\le x-\frac1{2^n}\right\}\right)=
\lim_{n\to\infty}P\left(X\le x-\frac1{2^n}\right)=\\
&=\lim_{n\to\infty} F_X\left(x-\frac1{2^n}\right)=F_X(x-0)
\end{split}
\]
\[
P(X=a)=P(\{X\le a\}-\{X<a\})=F_X(a)-F_X(a-0)=
\begin{cases}
0& F_X\text{ spoj.}\\
>0& F_X\text{ diskr.}\\
\end{cases}
\]
\[P(a<X\le b)=F_X(b)-F_X(a)\]
\[P(a\le X\le b)=F_X(b)-F_X(a-0)\]
\[P(X>a)=1-F_X(a)\]
\end{remark}
\begin{define}
Buďte $X,Y$ náhodné veličiny. Definujeme {\bf sdruženou} distribuční
funkci $F_{X,Y}(x,y)=P(X\le x,Y\le y)=P(\{X\le x\}\cap\{Y\le y\})$.
\end{define}
\begin{theorem}
\begin{enumerate}
\item Buďte $x_1\le x_2$, $y_1\le y_2$. Pak
$F_{X,Y}(x_1,y_1)\le F_{X,Y}(x_2,y_2)$.
\item $\lim_{x\to\infty} F_{X,Y}(x,y)=F_Y(y)$, $\lim_{y\to\infty} F_{X,Y}(x,y)=F_X(x)$;
\item $\lim_{x\to-\infty} F_{X,Y}(x,y)=0$, $\lim_{y\to-\infty} F_{X,Y}(x,y)=0$
\item $F_{X,Y}$ je spojitá zprava v~každé proměnné.
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item $\{X\le x_1\}\cap\{Y\le y_1\}\subset\{X\le x_2\}\cap\{Y\le
y_2\}$.
\item
\[
\begin{split}
\lim_{x\to\infty}F_{X,Y}(x,y)&=
\lim_{n\to\infty}P(\{X\le n\}\cap\{Y\le y\})=\\
&=P\left(\bigcup_{n=1}^\infty (\{X\le n\}\cap\{Y\le y\})\right)=\\
&=P\left(\left(\bigcup_{n=1}^\infty\{X\le n\}\right)
\cap\{Y\le y\}\right)=P(Y\le y)=F_Y(y)
\end{split}
\]
\item
\[
\lim_{n\to\infty} P(X<-n,Y\le y)=
P\left(\bigcap_{n=1}^\infty\{X\le -n\}\cap\{Y\le y\}\right)=P(\emptyset)=0
\]
\item Vyplývá z~monotonie a věty o~spojitosti pravděpodobnosti.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{define}
Sdruženou distribuční funkci lze definovat i pro $n$ náhodných
veličin:
\[
F_{X_1,\dots,X_n}(x_1,\dots,x_n)=
P(X_1\le x_1,\dots,X_n\le x_n).
\]
\end{define}
\begin{theorem}
\begin{enumerate}
\item Sdružená distribuční funkce je monotonní;
\item
\[F_{X_1,\dots,X_n}(x_1,\dots,x_{n-1},+\infty)=
F_{X_1,\dots,X_{n-1}}(x_1,\dots,x_{n-1}),\]
\[F_{X_1,\dots,X_n}(+\infty,\dots,+\infty,x_j,+\infty,\dots,+\infty)=
F_{X_j}(x_j);\]
\item $F_{X_1,\dots,X_n}(-\infty,x_2,\dots,x_n)=0$;
\item $F_{X_1,\dots,X_n}(+\infty,\dots,+\infty)=1$;
\item $\Delta^n F_{X_1,\dots,X_n}\ge 0$.
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{define}
Buďte $X_1,\dots,X_n$ náhodné veličiny. Řekneme, že jsou stochasticky
nezávislé, pokud pro každé $a_i,b_i\in\R$, $a_i<b_i$ je systém jevů
$\{a_i<X_i\le b_i\}$ nezávislý
\end{define}
\begin{theorem}
Buďte $X_1,\dots,X_m$ náhodné veličiny. Pak $X_1,\dots,X_m$ jsou
nezávislé, právě když
\[F_{X_1,\dots,X_m}(x_1,\dots,x_m)=\prod_{j=1}^mF_{X_j}(x_j).\]
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item ($\Rightarrow$) zvolíme $a_i=-\infty$, $b_i=x_i$:
\[P\left(\bigcap_{i=1}^m\{-\infty<X_i\le x_i\}\right)=
\prod_{i=1}^m P(-\infty<X_i\le x_i)\]
\item ($\Leftarrow$) Buď $a_1<b_1$, $a_2<b_2$. Potom
\[
\begin{split}
&P(a<X_1<b_1\cap a_2<X_2\le b_2)=\\
&=F_{X_1,X_2}(b_1,b_2)-F_{X_1,X_2}(a_1,b_2)-F_{X_1,X_2}(b_1,a_2)+F_{X_1,X_2}(a_1,a_2)=\\
&=[F_{X_1}(b_1)-F_{X_1}(a_1)][F_{X_2}(b_2)-F_{X_2}(a_2)]=
P(a_1<X_1\le b_1)P(a_2<X_2\le b_2).
\end{split}
\]
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
