01MAA3:Kapitola13: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
m (Doplnění drobností.)
(Podle skript i poznámek je v Taylorovi třeba na (x,x_0) m–tá derivace)
 
(Není zobrazeno 15 mezilehlých verzí od 4 dalších uživatelů.)
Řádka 1: Řádka 1:
 
%\wikiskriptum{01MAA3}
 
%\wikiskriptum{01MAA3}
 
\section{Derivace vyšších řádů}
 
\section{Derivace vyšších řádů}
+
 
 
\index{dvakrát diferencovatelné zobrazení}
 
\index{dvakrát diferencovatelné zobrazení}
 
\begin{define}
 
\begin{define}
Buď $f:X\mapsto Y$ diferencovatelné v~každém bodě definičního
+
Buď $f: X \to Y$ diferencovatelné v~každém bodě svého definičního
oboru. Nechť $f'$ je diferencovatelné v~$x_0$. Potom řekneme, že
+
oboru. Nechť zobrazení $f': x \mapsto f'(x)$ je diferencovatelné v~$x_0 \in \df f$. Potom řekneme, že
zobrazení $f$ je v~$x_0$ dvakrát diferencovatelné (má v~$x_0$ derivaci
+
zobrazení $f$ je v~$x_0$ dvakrát diferencovatelné (má v~$x_0$ derivaci 2. řádu).
2. řádu).
+
 
\end{define}
 
\end{define}
+
 
 +
\begin{remark}
 +
\begin{enumerate}
 +
\setlength{\itemsep}{4pt}
 +
\item Pro definici vyšší diferencovatelnosti je zapotřebí derivovat zobrazení z prostoru $X$ do prostoru $\L(\VEC X,\VEC Y)$. Odtud vyplývá nutnost definovat derivaci zobrazení v obecnějších prostorech --- při studiu pouze zobrazení z $\R^n$ do $\R^m$ by bylo obtížné definovat vyšší derivace.
 +
\item Dle definice je $(f')'(x_0)\in\L(\VEC X,\L(\VEC X,\VEC Y))$. Tento prostor je lineárně izometrický s prostorem všech bilineárních zobrazení $\VEC X \times \VEC X \to \VEC Y$. Značíme $\L(\VEC X,\L(\VEC X,\VEC Y)) \cong \L_2(\VEC X,\VEC X;\VEC Y)$ (izometrie odpovídá homeomorfismu metrických prostorů, tj. dané prostory jsou z hlediska metrických vlastností nerozlišitelné).
 +
\end{enumerate}
 +
\end{remark}
 +
 
 
\index{druhá derivace}
 
\index{druhá derivace}
 
\begin{define}
 
\begin{define}
Existuje-li $(f')'(x_0)$, potom 2. derivací $f''(x_0)$ rozumíme prvek
+
Existuje-li $(f')'(x_0)$, potom 2. derivací zobrazení $f$ v bodě $x_0$ rozumíme zobrazení $f''(x_0) \in \L_2(\VEC X,\VEC X;\VEC Y)$, tedy
$\L_2(\vec X,\vec X;\vec Y)$, tedy $f''(x_0)(\vec h,\vec
+
\[
k)=\left((f')(x_0)\vec h\right)'\vec k=\left((f')'(x_0)\vec k\right)\vec h$.
+
f''(x_0)(\vec h,\vec k)=\left((f')'(x_0)\vec h\right)\vec k=\left((f')(x_0)\vec k\right)'(x_0)\vec h.
 +
\]
 
\end{define}
 
\end{define}
+
 
 
\begin{theorem}
 
\begin{theorem}
 
Nechť existuje $f''(x_0)$. Pak v~$x_0$ existuje derivace 2. řádu
 
Nechť existuje $f''(x_0)$. Pak v~$x_0$ existuje derivace 2. řádu
Řádka 24: Řádka 32:
 
\left(f'(x_0)\vec v\right)'(x_0)\vec w\]
 
\left(f'(x_0)\vec v\right)'(x_0)\vec w\]
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
+
 
 
\begin{theorem}
 
\begin{theorem}
Druhá derivace je symetrické bilineární zobrazení (kvadratická forma).
+
Druhá derivace je symetrické bilineární zobrazení.
 
\[f''(x_0)(\vec h,\vec k)=f''(x_0)(\vec k,\vec h)\]
 
\[f''(x_0)(\vec h,\vec k)=f''(x_0)(\vec k,\vec h)\]
\begin{proof}[Důkaz provedeme pro $f:X \mapsto \R$] Zvolíme libovolně nenulové volné vektory $\vec h, \vec k$. Uvažujme kouli $B(x_0,r)$, kde je derivace $f'$ omezená (z definice druhé derivace musí ta první v té kouli existovat). Vezmeme-li $\delta(\|\vec h\|+ \|\vec k\|)<r$, pak pro $|t|<\delta$ platí, že body $x_0, (x_0+t\vec h),  (x_0+t\vec k),(x_0+t(\vec h+\vec k))$  leží v kouli $B$. Pro $\vec \xi$, který leží na úsečce $ \vec \xi\in<\theta,\vec h>$ lze definovat
+
\begin{proof}[Důkaz provedeme pro $f: X \to \R$]
 +
Zvolíme libovolně nenulové volné vektory $\vec h, \vec k$. Uvažujme kouli $B(x_0,r)$, kde je derivace $f'$ omezená (z definice druhé derivace musí ta první v té kouli existovat). Vezmeme-li $\delta(\|\vec h\|+ \|\vec k\|)<r$, pak pro $|t|<\delta$ platí, že body $x_0, (x_0+t\vec h),  (x_0+t\vec k),(x_0+t(\vec h+\vec k))$  leží v kouli $B$. Pro $\vec \xi$, který leží na úsečce $ \vec \xi\in\left[ \vec 0,\vec h\right] $ lze definovat
 
\[
 
\[
 
g(\vec \xi)=f(x_0+t(\vec\xi+\vec k))-f(x_0+t\vec\xi)
 
g(\vec \xi)=f(x_0+t(\vec\xi+\vec k))-f(x_0+t\vec\xi)
Řádka 35: Řádka 44:
 
\begin{split}
 
\begin{split}
 
F(t)&=f(x_0+t(\vec h+\vec k))-f(x_0+t\vec h)-f(x_0+t\vec k)+f(x_0)=
 
F(t)&=f(x_0+t(\vec h+\vec k))-f(x_0+t\vec h)-f(x_0+t\vec k)+f(x_0)=
g(\vec h)-g(\theta)=g'(\vec \xi)\vec h=\\
+
g(\vec h)-g(\vec 0)=g'(\vec \xi)\vec h=\\
 
&=t(f'(x_0+t(\vec\xi+\vec k))-f'(x_0+t\vec\xi))\vec h.
 
&=t(f'(x_0+t(\vec\xi+\vec k))-f'(x_0+t\vec\xi))\vec h.
 
\end{split}
 
\end{split}
Řádka 64: Řádka 73:
 
\end{proof}
 
\end{proof}
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
+
 
\begin{theorem}
+
Jestliže v~bodě $x_0$ má zobrazení $f$ spojitou derivaci $f_{\vec
+
v\vec w}(x_0)$ a existuje $f_{\vec w\vec v}(x_0)$, pak jsou záměnné.
+
\end{theorem}
+
+
 
\begin{remark}
 
\begin{remark}
Derivace m-tého řádu je kovariantní tenzor m-tého řádu, tj.:
+
\begin{enumerate}
 +
\item Buď $f: X \to \R$, $\dim X < \infty$. Potom druhá derivace $f''(x_0)$ je kvadratická forma a její matici nazýváme {\bf Hessovou maticí} a její determinant {\bf Hesiánem}. Pro $f''(x_0)$ platí polarizační identity a další vlastnosti kvadratických forem. Navíc $f''(x_0)\sim\JJ(\grad f(x_0))$ ($\sim$ značí ekvivalenci matic).
 +
\item Derivace $m$-tého řádu je symetrický tenzor $m$-tého řádu, tj.
 
\[
 
\[
 
f^{(m)}(x_0)\left(\vec{h_1},\dots,\vec{h_m}\right)=
 
f^{(m)}(x_0)\left(\vec{h_1},\dots,\vec{h_m}\right)=
\sum_{i_1,\dots,i_m=1}^n f_{i_1\dots i_m}(x_0)\,h_1^{i_1}\dots h_m^{i_m}
+
\sum_{i_1,\dots,i_m=1}^n f_{i_1\dots i_m}(x_0)\,h_1^{i_1}\dots h_m^{i_m}.
 
\]
 
\]
 +
Pokud je tedy zobrazení v daném bodě $m$-krát diferencovatelné, pak směrové derivace $m$-tého řádu nezávisí na pořadí derivování. Dle následující věty však diferencovatelnost v bodě není nutnou podmínkou pro záměnu směrových derivací.
 +
\end{enumerate}
 
\end{remark}
 
\end{remark}
% skripta str. 75. opravit
+
 
 +
\begin{theorem}[H. A. Schwarz]
 +
Jestliže má zobrazení $f$ v~bodě $x_0$ spojitou derivaci $f_{\vec v\vec w}(x_0)$ a existuje $f_{\vec w\vec v}(x_0)$, pak jsou záměnné.
 +
\end{theorem}
 +
 
 
\begin{theorem}
 
\begin{theorem}
Buď $f:X\mapsto Y$ zobrazení, nechť existuje $f^{(m)}(x_0)$. Potom
+
Buď $f: X \to Y$ zobrazení a nechť existuje $f^{(m)}(x_0)$. Potom existuje okolí $\H_{x_0}$ a zobrazení $\omega: \H_{x_0} \to \VEC Y$ takové, že pro každé $x \in \H_{x_0}$ platí
existuje okolí $\H_{x_0}$ a zobrazení $\omega:\H_{x_0}\mapsto Y$
+
takové, že pro každé $x\in\H_{x_0}$ platí
+
 
\[
 
\[
f(x)=\sum_{i=0}^m\frac{1}{i!}f^{(i)}(x_0)\vec h^i+
+
f(x)=\sum_{i=0}^m\frac{1}{i!}f^{(i)}(x_0)\vec h^i+\omega(x)\norm{\vec h}^m,
\omega(x)\norm{\vec h}^m,
+
 
\]
 
\]
 
kde $\vec h=x-x_0$ a $\lim_{x\to x_0}\omega(x)=0$ a
 
kde $\vec h=x-x_0$ a $\lim_{x\to x_0}\omega(x)=0$ a
\[L(\underbrace{\vec h,\dots,\vec h}_{r\text{-krát}})=L\vec h^r.\]
 
\begin{proof} Větu dokážeme pro $Y \subset \R$. Důkaz lze provést indukcí. Řekněme, že $m=1$ a to věta  platí neboť platí klasická věta o "přírůstku". Předpokládejme tedy platnost pro $m$ a nyní je naše zobrazení $m+1$-krát diferencovatelné v bodě $x_0$.
 
Zavedeme pomocnou funkci
 
 
\[
 
\[
g(\vec h)=f(x_0+\vec h)-\sum_{i=0}^{m+1}\frac{1}{i!}f^{(i)}(x_0)\vec h^i
+
L(\underbrace{\vec h,\dots,\vec h}_{r\text{-krát}})=L\vec h^r.
 
\]
 
\]
a budeme chtít ukázat, že platí existuje zbytek $\mu$ tak že platí $\lim_{x\to x_0}\mu(x)=0$ a
+
\begin{proof}
 +
Větu dokážeme pro $Y \subset \R$. Důkaz lze provést indukcí. Pro $m=1$ věta zřejmě platí díky poznámce \ref{diferencovatelnost}.\ref{poznamka_dif_v_bode}. Předpokládejme tedy platnost věty pro $m \in \N$. Buď $f$ zobrazení $(m+1)$-krát diferencovatelné v bodě $x_0$ a zaveďme pomocné zobrazení $g: \VEC X \to \VEC Y$ definované předpisem
 
\[
 
\[
g(\vec h)=\mu(x)\norm{\vec h}^{m+1}
+
g(\vec h)=f(x_0+\vec h)-\sum_{i=0}^{m+1}\frac{1}{i!}f^{(i)}(x_0)\vec h^i.
 
\]
 
\]
neboť potom bude platné tvrzení věty.
+
Uvědomme si, že $g$ je diferencovatelné na jistém okolí bodu $\vec 0$ a že platí
Uvědomíme-li si, že $g$ má derivaci rovnou
+
 
\[
 
\[
g'(\vec\xi)=f'(x_0+\vec\xi)-\sum_{i=1}^{m+1}\frac{1}{(i-1)!}f^{(i)}(x_0)\vec\xi^{i-1}=f'(x_0+\vec\xi)-\sum_{i=0}^m\frac{1}{i!}(f')^{(i)}(x_0)\vec\xi^{i}
+
g'(\vec h) = f'(x_0+\vec h)-\sum_{i=1}^{m+1}\frac{1}{(i-1)!}(f')^{(i-1)}(x_0)\vec h^{i-1} = f'(x_0+\vec h)-\sum_{i=0}^m\frac{1}{i!}(f')^{(i)}(x_0)\vec h^i.
 
\]
 
\]
na nějakém okolí. Podle indukčního předpokladu nyní existuje zbytek $\omega(x)$
+
Podle indukčního předpokladu nyní existuje okolí $\H_{x_0}$ a zobrazení $\mu: X \to \VEC Y$ takové, že pro všechna $\vec h$, pro která je $x_0 + \vec h \in \H_{x_0}$, platí
 
\[
 
\[
f'(x_0+\vec\xi)=\sum_{i=0}^m\frac{1}{i!}(f')^{(i)}(x_0)\vec\xi^{i}+\omega(x_0+\vec\xi)\norm{\vec\xi}^m
+
g'(\vec h) = \mu(x_0+\vec h)\norm{\vec h}^m,
 
\]
 
\]
Tedy že platí
 
 
\[
 
\[
g'(\vec\xi)=\omega(x_0+\vec\xi)\norm{\vec\xi}^m
+
\lim_{x \to x_0} \mu(x) = 0.
 
\]
 
\]
Pak tedy platí (druhé rovnítko umíme zatím ukázat jen v případě, že~$Y \subset \R$)
+
Pro $Y \subset \R$ podle věty \ref{oprirustkufunkce} dostáváme
 
\[
 
\[
g(\vec h)=g(\vec h)-g(\theta)=g'(\vec\xi)\vec h=\omega(x_0+\vec\xi)\norm{\vec\xi}^m\vec h \leq \mu(x)\norm{\vec h}^{m+1},
+
g(\vec h) = g(\vec h)-g(\vec 0) = g'(\vec \xi)\vec h = \mu(x_0+\vec \xi)\norm{\vec \xi}^m\vec h,
 
\]
 
\]
kde
+
\[
\[\lim_{x\to x_0}\mu(x)=0\]
+
\norm{g(\vec h)} \leq \norm{\mu(x_0+\vec \xi)} \norm{\vec \xi}^m \norm{\vec h} \leq \norm{\mu(x_0+\vec \xi)} \norm{\vec h}^{m+1},
což nám dostačuje.
+
\]
 +
neboť $\norm{\vec \xi} \leq \norm{\vec h}$. Pro všechna $x \in \H_{x_0}$ tedy platí
 +
\[
 +
f(x) = \sum_{i=0}^{m+1}\frac{1}{i!}f^{(i)}(x_0)(x-x_0)^i-\omega(x)\norm{x-x_0}^{m+1},
 +
\]
 +
kde $\norm{\omega(x)} \leq \norm{\mu(x_0+\vec \xi)}$ a tudíž $\lim_{x \to x_0} \omega(x) = \vec 0$.
 
\end{proof}
 
\end{proof}
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
+
 
 
\begin{theorem}[Taylor]
 
\begin{theorem}[Taylor]
Buď $f:X\mapsto\R$ spojitá na úsečce $\left[ x_0,x\right] $ a diferencovatelná do řádu m+1
+
Buď $f: X \to \R$ taková, že $f\in\c{m}\left[ x_0,x\right]$ (na úsečce!) a $f\in\c{m+1}(x_0,x)$. Pak existuje $\xi\in(x_0,x)$ takové, že platí:
na $(x_0,x)$. Pak existuje $\xi\in(x_0,x)$ takové, že platí:
+
 
\[
 
\[
 
f(x)=\sum_{i=0}^m\frac{1}{i!}f^{(i)}(x_0)(x-x_0)^i+
 
f(x)=\sum_{i=0}^m\frac{1}{i!}f^{(i)}(x_0)(x-x_0)^i+
Řádka 141: Řádka 150:
 
\phi^{(i)}(0)=f^{(i)}(x_0)(x-x_0)^i.
 
\phi^{(i)}(0)=f^{(i)}(x_0)(x-x_0)^i.
 
\]
 
\]
$\phi(t)$ je zobrazení $\R\mapsto\R$, lze tedy uplatnit klasickou
+
$\phi(t)$ je zobrazení $\R \to \R$, lze tedy uplatnit klasickou
 
verzi Taylorovy věty:
 
verzi Taylorovy věty:
 
\[
 
\[
Řádka 148: Řádka 157:
 
\end{proof}
 
\end{proof}
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
 +
 +
\index{hladká funkce}
 +
\index{analytická funkce}
 +
\begin{define}[třídy hladkosti]
 +
Buď $A = \vn{A}$, $A \subset \df f$. Řekneme, že $f$ je {\bf třídy}:
 +
\begin{enumerate}[(I)]
 +
\item $\c{k}$ na $A$ (značíme $f \in \c{k}(A)$), pokud v každém bodě $x_0 \in A$ existují $f'(x_0),f''(x_0),\dots,f^{(k)}(x_0)$ a pokud $f',f'',\dots,f^{(k)}\in\c{0}(A)$, tj. $f$ je na $A$ {\bf spojitě diferencovatelná do řádu $k$};
 +
\item $\c{\infty}$, pokud $f$ má na $A$ spojité derivace všech řádů, tj. $f$ je na $A$ {\bf hladká};
 +
\item $\c{\omega}$, pokud $f \in \c{\infty}$ a její Taylorův rozvoj v libovolném bodě $x_0 \in A$ konverguje k $f$, tj. $f$ je na $A$ {\bf analytická}.
 +
\end{enumerate}
 +
Pokud se explicitně neuvede množina $A$, na které daný výrok platí, míní se obvykle maximální možná, tj. $\df f$. V tomto případě klasifikace zahrnuje předpoklad $\df f = \vn{(\df f)}$!
 +
\end{define}
 +
 +
\begin{remark}
 +
Obecně platí
 +
\[
 +
\c{0}\supset\c{1}\supset\c{2}\supset\dots\supset\c{\infty}\supset\c{\omega}.
 +
\]
 +
Méně zřejmé je, že ani jedna inkluze není rovností.
 +
\end{remark}
 +
 +
\begin{example}
 +
Funkce $f: \R^n \to \R$ zadaná
 +
\[
 +
f(x) = \begin{cases}
 +
e^{1/(\norm{x}^2-1)} & \norm x < 1    \\
 +
0                    & \norm x \ge 1.
 +
\end{cases}
 +
\]
 +
je hladká na celém $\df f$, tj. $f\in\c{\infty}(\R^n)$. Platí však $f^{(n)}(x)=0$ --- její Taylorův rozvoj v okolí nuly tedy odpovídá všude nulové funkci, tj.  $f\not\in\c{\omega}(\R^n)$. Tuto funkci doc. Krbálek nazývá {\bf Cimrmanovou buřinkou}.
 +
\end{example}

Aktuální verze z 20. 1. 2017, 09:50

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01MAA3

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01MAA3Nguyebin 24. 1. 201413:09
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:46
Header editovatHlavičkový souborNguyebin 24. 1. 201412:36 header.tex
Kapitola0 editovatZnačeníKlinkjak 9. 9. 201508:50 preamble.tex
Kapitola1 editovatFunkční posloupnostiKubuondr 21. 1. 201716:45 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatFunkční řadyDedicma2 21. 2. 201623:42 kapitola2.tex
Kapitola4 editovatTrigonometrické řadyPeckaja1 11. 2. 201613:14 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatMetrikaKubuondr 22. 1. 201717:32 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatTopologieKubuondr 3. 2. 201721:08 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatSpojitostKubuondr 22. 1. 201718:14 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatKompaktní prostoryKubuondr 8. 2. 201721:51 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatSouvislé prostoryKubuondr 23. 1. 201710:28 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatÚplné prostoryKubuondr 23. 1. 201711:08 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatAfinní prostoryKubuondr 23. 1. 201712:43 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatTotální derivaceKubuondr 7. 10. 201717:50 kapitola12.tex
Kapitola13 editovatDerivace vyšších řádůKubuondr 20. 1. 201709:50 kapitola13.tex
Kapitola14 editovatLokální extrémyKlinkjak 9. 9. 201513:31 kapitola14.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01MAA3}
\section{Derivace vyšších řádů}
 
\index{dvakrát diferencovatelné zobrazení}
\begin{define}
Buď $f: X \to Y$ diferencovatelné v~každém bodě svého definičního
oboru. Nechť zobrazení $f': x \mapsto f'(x)$ je diferencovatelné v~$x_0 \in \df f$. Potom řekneme, že
zobrazení $f$ je v~$x_0$ dvakrát diferencovatelné (má v~$x_0$ derivaci 2. řádu).
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\setlength{\itemsep}{4pt}
\item Pro definici vyšší diferencovatelnosti je zapotřebí derivovat zobrazení z prostoru $X$ do prostoru $\L(\VEC X,\VEC Y)$. Odtud vyplývá nutnost definovat derivaci zobrazení v obecnějších prostorech --- při studiu pouze zobrazení z $\R^n$ do $\R^m$ by bylo obtížné definovat vyšší derivace.
\item Dle definice je $(f')'(x_0)\in\L(\VEC X,\L(\VEC X,\VEC Y))$. Tento prostor je lineárně izometrický s prostorem všech bilineárních zobrazení $\VEC X \times \VEC X \to \VEC Y$. Značíme $\L(\VEC X,\L(\VEC X,\VEC Y)) \cong \L_2(\VEC X,\VEC X;\VEC Y)$ (izometrie odpovídá homeomorfismu metrických prostorů, tj. dané prostory jsou z hlediska metrických vlastností nerozlišitelné).
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\index{druhá derivace}
\begin{define}
Existuje-li $(f')'(x_0)$, potom 2. derivací zobrazení $f$ v bodě $x_0$ rozumíme zobrazení $f''(x_0) \in \L_2(\VEC X,\VEC X;\VEC Y)$, tedy
\[
f''(x_0)(\vec h,\vec k)=\left((f')'(x_0)\vec h\right)\vec k=\left((f')(x_0)\vec k\right)'(x_0)\vec h.
\]
\end{define}
 
\begin{theorem}
Nechť existuje $f''(x_0)$. Pak v~$x_0$ existuje derivace 2. řádu
v~libovolných dvou směrech a platí
\[f_{\vec v\vec w}(x_0)=\frac{\pd^2}{\pd w\pd v}f(x_0)=
f''(x_0)(\vec w,\vec v)=
\left(f'(x_0)\vec v\right)'(x_0)\vec w\]
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
Druhá derivace je symetrické bilineární zobrazení.
\[f''(x_0)(\vec h,\vec k)=f''(x_0)(\vec k,\vec h)\]
\begin{proof}[Důkaz provedeme pro $f: X \to \R$]
Zvolíme libovolně nenulové volné vektory $\vec h, \vec k$. Uvažujme kouli $B(x_0,r)$, kde je derivace $f'$ omezená (z definice druhé derivace musí ta první v té kouli existovat). Vezmeme-li $\delta(\|\vec h\|+ \|\vec k\|)<r$, pak pro $|t|<\delta$ platí, že body $x_0, (x_0+t\vec h),  (x_0+t\vec k),(x_0+t(\vec h+\vec k))$  leží v kouli $B$. Pro $\vec \xi$, který leží na úsečce $ \vec \xi\in\left[ \vec 0,\vec h\right] $ lze definovat
\[
g(\vec \xi)=f(x_0+t(\vec\xi+\vec k))-f(x_0+t\vec\xi)
\]
\[
\begin{split}
F(t)&=f(x_0+t(\vec h+\vec k))-f(x_0+t\vec h)-f(x_0+t\vec k)+f(x_0)=
g(\vec h)-g(\vec 0)=g'(\vec \xi)\vec h=\\
&=t(f'(x_0+t(\vec\xi+\vec k))-f'(x_0+t\vec\xi))\vec h.
\end{split}
\]
Protože
\[
f'(x)=f'(x_0)+(f')'(x_0)(x-x_0)+\omega(x)\norm{x-x_0},
\]
platí
\[
F(t)=t\left((f')'(x_0)t\vec k+\omega(x_0+t(\vec\xi+\vec k))
\norm{t(\vec\xi+\vec k)}-\omega(x_0+t\vec\xi)\norm{t\vec\xi}\right)\vec h.
\]
(členy $f'(x_0)$ a $f'(t\vec\xi)$ se odečtou)
\[
\frac{F(t)}{t^2}=\left((f')'(x_0)\vec k\right)\vec h+\nu(t),
\]
kde
\[
\lim_{t\to 0}\nu(t)=0.
\]
Protože $F(t)$ je symetrické v~$\vec k$ a $\vec h$, analogickými
úpravami lze dospět ke vztahu
\[
\frac{F(t)}{t^2}=\left((f')'(x_0)\vec h\right)\vec k+\eta(t),
\]
takže 2. derivace je symetrická.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Buď $f: X \to \R$, $\dim X < \infty$. Potom druhá derivace $f''(x_0)$ je kvadratická forma a její matici nazýváme {\bf Hessovou maticí} a její determinant {\bf Hesiánem}. Pro $f''(x_0)$ platí polarizační identity a další vlastnosti kvadratických forem. Navíc $f''(x_0)\sim\JJ(\grad f(x_0))$ ($\sim$ značí ekvivalenci matic).
\item Derivace $m$-tého řádu je symetrický tenzor $m$-tého řádu, tj.
\[
f^{(m)}(x_0)\left(\vec{h_1},\dots,\vec{h_m}\right)=
\sum_{i_1,\dots,i_m=1}^n f_{i_1\dots i_m}(x_0)\,h_1^{i_1}\dots h_m^{i_m}.
\]
Pokud je tedy zobrazení v daném bodě $m$-krát diferencovatelné, pak směrové derivace $m$-tého řádu nezávisí na pořadí derivování. Dle následující věty však diferencovatelnost v bodě není nutnou podmínkou pro záměnu směrových derivací.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{theorem}[H. A. Schwarz]
Jestliže má zobrazení $f$ v~bodě $x_0$ spojitou derivaci $f_{\vec v\vec w}(x_0)$ a existuje $f_{\vec w\vec v}(x_0)$, pak jsou záměnné.
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
Buď $f: X \to Y$ zobrazení a nechť existuje $f^{(m)}(x_0)$. Potom existuje okolí $\H_{x_0}$ a zobrazení $\omega: \H_{x_0} \to \VEC Y$ takové, že pro každé $x \in \H_{x_0}$ platí
\[
f(x)=\sum_{i=0}^m\frac{1}{i!}f^{(i)}(x_0)\vec h^i+\omega(x)\norm{\vec h}^m,
\]
kde $\vec h=x-x_0$ a $\lim_{x\to x_0}\omega(x)=0$ a
\[
L(\underbrace{\vec h,\dots,\vec h}_{r\text{-krát}})=L\vec h^r.
\]
\begin{proof}
Větu dokážeme pro $Y \subset \R$. Důkaz lze provést indukcí. Pro $m=1$ věta zřejmě platí díky poznámce \ref{diferencovatelnost}.\ref{poznamka_dif_v_bode}. Předpokládejme tedy platnost věty pro $m \in \N$. Buď $f$ zobrazení $(m+1)$-krát diferencovatelné v bodě $x_0$ a zaveďme pomocné zobrazení $g: \VEC X \to \VEC Y$ definované předpisem
\[
g(\vec h)=f(x_0+\vec h)-\sum_{i=0}^{m+1}\frac{1}{i!}f^{(i)}(x_0)\vec h^i.
\]
Uvědomme si, že $g$ je diferencovatelné na jistém okolí bodu $\vec 0$ a že platí
\[
g'(\vec h) = f'(x_0+\vec h)-\sum_{i=1}^{m+1}\frac{1}{(i-1)!}(f')^{(i-1)}(x_0)\vec h^{i-1} = f'(x_0+\vec h)-\sum_{i=0}^m\frac{1}{i!}(f')^{(i)}(x_0)\vec h^i.
\]
Podle indukčního předpokladu nyní existuje okolí $\H_{x_0}$ a zobrazení $\mu: X \to \VEC Y$ takové, že pro všechna $\vec h$, pro která je $x_0 + \vec h \in \H_{x_0}$, platí
\[
g'(\vec h) = \mu(x_0+\vec h)\norm{\vec h}^m,
\]
\[
\lim_{x \to x_0} \mu(x) = 0.
\]
Pro $Y \subset \R$ podle věty \ref{oprirustkufunkce} dostáváme
\[
g(\vec h) = g(\vec h)-g(\vec 0) = g'(\vec \xi)\vec h = \mu(x_0+\vec \xi)\norm{\vec \xi}^m\vec h,
\]
\[
\norm{g(\vec h)} \leq \norm{\mu(x_0+\vec \xi)} \norm{\vec \xi}^m \norm{\vec h} \leq \norm{\mu(x_0+\vec \xi)} \norm{\vec h}^{m+1},
\]
neboť $\norm{\vec \xi} \leq \norm{\vec h}$. Pro všechna $x \in \H_{x_0}$ tedy platí
\[
f(x) = \sum_{i=0}^{m+1}\frac{1}{i!}f^{(i)}(x_0)(x-x_0)^i-\omega(x)\norm{x-x_0}^{m+1},
\]
kde $\norm{\omega(x)} \leq \norm{\mu(x_0+\vec \xi)}$ a tudíž $\lim_{x \to x_0} \omega(x) = \vec 0$.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}[Taylor]
Buď $f: X \to \R$ taková, že $f\in\c{m}\left[ x_0,x\right]$ (na úsečce!) a $f\in\c{m+1}(x_0,x)$. Pak existuje $\xi\in(x_0,x)$ takové, že platí:
\[
f(x)=\sum_{i=0}^m\frac{1}{i!}f^{(i)}(x_0)(x-x_0)^i+
\frac{f^{(m+1)}(\xi)}{(m+1)!}(x-x_0)^{m+1}.
\]
\begin{proof}
Definujme funkci
\[
\phi(t)=f(x_0+t(x-x_0)).
\]
Pak
\[
\phi'(t)=f'(x_0+t(x-x_0))(x-x_0),\quad
\phi'(0)=f'(x_0)(x-x_0),
\]
\[
\phi''(0)=f''(x_0)(x-x_0)^2,\quad
\phi^{(i)}(0)=f^{(i)}(x_0)(x-x_0)^i.
\]
$\phi(t)$ je zobrazení $\R \to \R$, lze tedy uplatnit klasickou
verzi Taylorovy věty:
\[
\phi(1)=\sum_{i=0}^m\frac{1}{i!}\phi^{(i)}(0)+\frac{\phi^{(m+1)}(\vartheta)}{(m+1)!}.
\]
\end{proof}
\end{theorem}
 
\index{hladká funkce}
\index{analytická funkce}
\begin{define}[třídy hladkosti]
Buď $A = \vn{A}$, $A \subset \df f$. Řekneme, že $f$ je {\bf třídy}:
\begin{enumerate}[(I)]
\item $\c{k}$ na $A$ (značíme $f \in \c{k}(A)$), pokud v každém bodě $x_0 \in A$ existují $f'(x_0),f''(x_0),\dots,f^{(k)}(x_0)$ a pokud $f',f'',\dots,f^{(k)}\in\c{0}(A)$, tj. $f$ je na $A$ {\bf spojitě diferencovatelná do řádu $k$};
\item $\c{\infty}$, pokud $f$ má na $A$ spojité derivace všech řádů, tj. $f$ je na $A$ {\bf hladká};
\item $\c{\omega}$, pokud $f \in \c{\infty}$ a její Taylorův rozvoj v libovolném bodě $x_0 \in A$ konverguje k $f$, tj. $f$ je na $A$ {\bf analytická}.
\end{enumerate}
Pokud se explicitně neuvede množina $A$, na které daný výrok platí, míní se obvykle maximální možná, tj. $\df f$. V tomto případě klasifikace zahrnuje předpoklad $\df f = \vn{(\df f)}$!
\end{define}
 
\begin{remark}
Obecně platí
\[
\c{0}\supset\c{1}\supset\c{2}\supset\dots\supset\c{\infty}\supset\c{\omega}.
\]
Méně zřejmé je, že ani jedna inkluze není rovností.
\end{remark}
 
\begin{example}
Funkce $f: \R^n \to \R$ zadaná
\[
f(x) = \begin{cases}
	e^{1/(\norm{x}^2-1)} & \norm x < 1    \\
	0                    & \norm x \ge 1.
\end{cases}
\]
je hladká na celém $\df f$, tj. $f\in\c{\infty}(\R^n)$. Platí však $f^{(n)}(x)=0$ --- její Taylorův rozvoj v okolí nuly tedy odpovídá všude nulové funkci, tj.  $f\not\in\c{\omega}(\R^n)$. Tuto funkci doc. Krbálek nazývá {\bf Cimrmanovou buřinkou}.
\end{example}