01MAA3:Kapitola10: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
m (Drobné úpravy.)
Řádka 12: Řádka 12:
 
\begin{remark}
 
\begin{remark}
 
Každá cauchyovská posloupnost má nejvýše jednu hromadnou hodnotu a je
 
Každá cauchyovská posloupnost má nejvýše jednu hromadnou hodnotu a je
omezená. Nemusí mít limitu ani hromadnou hodnotu --- např. existuje racionální posloupnost $\posl{r_n}\in\Q$ a iracionální číslo $i\in\R\sm\Q$ takové, že $r_n\to i$.
+
omezená. Nemusí mít limitu ani hromadnou hodnotu --- např. snadno nalezneme racionální posloupnost $\posl{r_n}\in\Q$ a iracionální číslo $s\in\R\sm\Q$ takové, že $r_n\to s$.
 
\end{remark}
 
\end{remark}
 
   
 
   
 
\index{úplný prostor}
 
\index{úplný prostor}
 
\begin{define}
 
\begin{define}
 +
\label{uplnost}
 
{\bf Metrický} prostor se nazývá {\bf úplný}, právě když každá
 
{\bf Metrický} prostor se nazývá {\bf úplný}, právě když každá
 
cauchyovská posloupnost konverguje.
 
cauchyovská posloupnost konverguje.
Řádka 23: Řádka 24:
 
\begin{remark}
 
\begin{remark}
 
\begin{enumerate}
 
\begin{enumerate}
 +
\setlength{\itemsep}{4pt}
 +
\item Úplnost je metrický pojem.
 +
\item Úplnost si můžeme představit například tak, že při pohybu po lomené čáře, jejíž úseky se neustále zkracují, dojdeme do takového místa, jehož vzdálenost od počátečního bodu je dobře definovaná. Jinými slovy, prováděním limity nevypadneme z prostoru.
 
\item $\Q$ není úplný, $\R$ je úplný. Tato poznámka nicméně platí pouze pro prostory s~euklidovskou či jakoukoliv ekvivalentní metrikou. $\Q$ s diskrétní metrikou již úplným prostorem je, neboť v diskrétní metrice je posloupnost cauchyovská právě tehdy, je-li konstantní. Taková posloupnost pak bude mít jistě všechny prvky z prostoru a její limita v něm bude ležet také. Úplnost je tedy výhradně metrický pojem.
 
\item $\Q$ není úplný, $\R$ je úplný. Tato poznámka nicméně platí pouze pro prostory s~euklidovskou či jakoukoliv ekvivalentní metrikou. $\Q$ s diskrétní metrikou již úplným prostorem je, neboť v diskrétní metrice je posloupnost cauchyovská právě tehdy, je-li konstantní. Taková posloupnost pak bude mít jistě všechny prvky z prostoru a její limita v něm bude ležet také. Úplnost je tedy výhradně metrický pojem.
 
\item Z~Weierstrassovy věty bezprostředně vyplývá, že {\bf každý
 
\item Z~Weierstrassovy věty bezprostředně vyplývá, že {\bf každý
Řádka 31: Řádka 35:
 
\bigskip
 
\bigskip
 
\begin{theorem}
 
\begin{theorem}
\begin{enumerate}
+
Je-li $A$ uzavřená podmnožina úplného prostoru $X$, pak $A$ je
\item Je-li $A$ uzavřená podmnožina úplného prostoru $X$, pak $A$ je
+
 
úplná.
 
úplná.
\item Je-li $A$ úplná podmnožina $X$, pak $A$ je uzavřená.
 
\end{enumerate}
 
 
\begin{proof}
 
\begin{proof}
\begin{enumerate}
+
A je uzavřená podmnožina úplného prostoru. Vezměme si cauchyovskou posloupnost bodů z A, protože X je úplný má v něm limitu. Body $x_n$ jsou ale všechny v A, a tedy limita leží v uzávěru A. A je však uzavřená, a proto v ní každá cauchyovská posloupnost konverguje.
\item A je uzavřená podmnožina úplného prostoru. Vezměme si cauchyovskou posloupnost bodů z A, protože X je úplný má v něm limitu. Body $x_n$ jsou ale všechny v A, a tedy limita leží v uzávěru A. A je však uzavřená, a proto v ní každá cauchyovská posloupnost konverguje.
+
\item \emph{(sporem) }Chceme dokázat, že $X \sm A$ je otevřená. Vezměme bod $x$ z doplňku a předpokládejme, že neexistuje jeho okolí, které v něm leží, tj. průnik okolí s A je pro každé okolí neprázdný. Vytvoříme tedy posloupnost neprázdných koulí se středem $x$ a poloměrem $1/n$. V každém je bod z A, máme tedy posloupnost bodů $\posl{x_n} \subset A$, která má limitu $x$ mimo A. To je spor s tím, že A je úplná.
+
\end{enumerate}
+
 
\end{proof}
 
\end{proof}
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
 
   
 
   
+
\begin{theorem}
 +
 
 +
Je-li $A$ úplná podmnožina $X$, pak $A$ je uzavřená.
 +
\begin{proof}
 +
\emph{(sporem)} Chceme dokázat, že $X \sm A$ je otevřená. Vezměme bod $x\in X \sm A$ a předpokládejme, že neexistuje jeho okolí, které v něm leží, tj. průnik okolí s A je pro každé okolí neprázdný. Vytvoříme tedy posloupnost neprázdných koulí se středem $x$ a poloměrem $1/n$. V každém je bod z A, máme tedy posloupnost bodů $\posl{x_n} \subset A$, která má limitu $x$ mimo A. To je spor s tím, že A je úplná.
 +
 
 +
\end{proof}
 +
\end{theorem}
 
   
 
   
 
\index{kontrahující zobrazení}
 
\index{kontrahující zobrazení}
Řádka 74: Řádka 79:
 
   
 
   
 
\bigskip
 
\bigskip
\begin{theorem}[Banachova o pevném bodě]
+
\begin{theorem}[Banachova, o pevném bodě]
 
\index{Banachova věta o pevném bodě}
 
\index{Banachova věta o pevném bodě}
 
Každé kontrahující zobrazení $f$ na úplném prostoru má právě jeden pevný
 
Každé kontrahující zobrazení $f$ na úplném prostoru má právě jeden pevný
Řádka 132: Řádka 137:
 
   
 
   
 
\begin{remark}
 
\begin{remark}
Důkaz předchozí věty je na zkoušce {\bf bezvýhradně} vyžadován (i na E). Věta má význam především v numerické matematice.
+
Důkaz předchozí věty je na zkoušce {\it bezvýhradně} vyžadován (i na E).
 
\end{remark}
 
\end{remark}
 +
 +
\begin{define}Lineární prostory klasifikujeme následovně:
 +
 +
Normovaný lineární prostor, který je úplný v metrice indukované normou, se nazývá {\bf Banachův}.
 +
 +
Banachův prostor se skalárním součinem, který indukuje příslušnou normu, se nazývá {\bf Hilbertův}.
 +
\end{define}

Verze z 24. 1. 2014, 12:55

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01MAA3

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01MAA3Nguyebin 24. 1. 201413:09
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:46
Header editovatHlavičkový souborNguyebin 24. 1. 201412:36 header.tex
Kapitola0 editovatZnačeníKlinkjak 9. 9. 201508:50 preamble.tex
Kapitola1 editovatFunkční posloupnostiKubuondr 21. 1. 201716:45 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatFunkční řadyDedicma2 21. 2. 201623:42 kapitola2.tex
Kapitola4 editovatTrigonometrické řadyPeckaja1 11. 2. 201613:14 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatMetrikaKubuondr 22. 1. 201717:32 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatTopologieKubuondr 3. 2. 201721:08 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatSpojitostKubuondr 22. 1. 201718:14 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatKompaktní prostoryKubuondr 8. 2. 201721:51 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatSouvislé prostoryKubuondr 23. 1. 201710:28 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatÚplné prostoryKubuondr 23. 1. 201711:08 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatAfinní prostoryKubuondr 23. 1. 201712:43 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatTotální derivaceKubuondr 7. 10. 201717:50 kapitola12.tex
Kapitola13 editovatDerivace vyšších řádůKubuondr 20. 1. 201709:50 kapitola13.tex
Kapitola14 editovatLokální extrémyKlinkjak 9. 9. 201513:31 kapitola14.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01MAA3}
\section{Úplné prostory}
 
\index{Cauchyovská posloupnost}
\begin{define}
Buď $(X,\rho)$ metrický prostor. Posloupnost $\posl{x_n}\subset X$ se nazývá {\bf
cauchyovská}, právě když splňuje Bolzanovo-Cauchyovo kritérium konvergence, tj.
\[(\forall\epsilon>0)(\exists n_0\in\N)(\forall n>n_0)(\forall p\in\N)
(\rho(x_{n+p},x_n)<\epsilon)\]
\end{define}
 
\begin{remark}
Každá cauchyovská posloupnost má nejvýše jednu hromadnou hodnotu a je
omezená. Nemusí mít limitu ani hromadnou hodnotu --- např. snadno nalezneme racionální posloupnost $\posl{r_n}\in\Q$ a iracionální číslo $s\in\R\sm\Q$ takové, že $r_n\to s$.
\end{remark}
 
\index{úplný prostor}
\begin{define}
\label{uplnost}
{\bf Metrický} prostor se nazývá {\bf úplný}, právě když každá
cauchyovská posloupnost konverguje.
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\setlength{\itemsep}{4pt}
\item Úplnost je metrický pojem. 
\item Úplnost si můžeme představit například tak, že při pohybu po lomené čáře, jejíž úseky se neustále zkracují, dojdeme do takového místa, jehož vzdálenost od počátečního bodu je dobře definovaná. Jinými slovy, prováděním limity nevypadneme z prostoru.
\item $\Q$ není úplný, $\R$ je úplný. Tato poznámka nicméně platí pouze pro prostory s~euklidovskou či jakoukoliv ekvivalentní metrikou. $\Q$ s diskrétní metrikou již úplným prostorem je, neboť v diskrétní metrice je posloupnost cauchyovská právě tehdy, je-li konstantní. Taková posloupnost pak bude mít jistě všechny prvky z prostoru a její limita v něm bude ležet také. Úplnost je tedy výhradně metrický pojem.
\item Z~Weierstrassovy věty bezprostředně vyplývá, že {\bf každý
kompaktní metrický prostor je úplný}.
\item Prostor, jehož uzavřené koule jsou kompaktní, je úplný.
\end{enumerate}
\end{remark}
\bigskip
\begin{theorem}
Je-li $A$ uzavřená podmnožina úplného prostoru $X$, pak $A$ je
úplná.
\begin{proof}
A je uzavřená podmnožina úplného prostoru. Vezměme si cauchyovskou posloupnost bodů z A, protože X je úplný má v něm limitu. Body $x_n$ jsou ale všechny v A, a tedy limita leží v uzávěru A. A je však uzavřená, a proto v ní každá cauchyovská posloupnost konverguje.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
 
Je-li $A$ úplná podmnožina $X$, pak $A$ je uzavřená.
\begin{proof}
\emph{(sporem)} Chceme dokázat, že $X \sm A$ je otevřená. Vezměme bod $x\in X \sm A$ a předpokládejme, že neexistuje jeho okolí, které v něm leží, tj. průnik okolí s A je pro každé okolí neprázdný. Vytvoříme tedy posloupnost neprázdných koulí se středem $x$ a poloměrem $1/n$. V každém je bod z A, máme tedy posloupnost bodů $\posl{x_n} \subset A$, která má limitu $x$ mimo A. To je spor s tím, že A je úplná.
 
\end{proof}
\end{theorem}
 
\index{kontrahující zobrazení}
\begin{define}
Zobrazení $f:(X,\rho)\mapsto(X,\rho)$ se nazývá {\bf kontrahující},
právě když
\[(\exists k\in(0,1))(\forall x,y\in X)(\rho(f(x),f(y))\le k\rho(x,y)).\]
\end{define}
\begin{remark}
 Kontrahující zobrazení je stejnoměrně spojité.
\end{remark}
 
\begin{define}
\index{hustá množina}
 
 Množinu $M\subset X$ nazýváme {\bf hustou v~$N\subset X$}, právě když $N \subset \uz{M}$. Dále množina $M$ se nazývá  
{\bf všude hustou} pokud $\uz{M} = X$.
\index{separabilní prostor}
 Prostor, který má hustou spočetnou podmnožinu nazýváme {\bf separabilní}.
\index{řídká množina}
 Množinu $B$ nazýváme {\bf všude řídkou v~$X$}, právě když $X\sm\uz{B}$
je hustá v~$X$.
 
\end{define}
 
\begin{example}
Například, je-li $X = \R$, $M = \Q$ a $N = (0,1)$ potom $M$ je hustá v $N$, ale také $M$ je všude hustá a spočetná a $\R$ je tedy separabilní. 
\end{example}
 
\bigskip
\begin{theorem}[Banachova, o pevném bodě]
\index{Banachova věta o pevném bodě}
Každé kontrahující zobrazení $f$ na úplném prostoru má právě jeden pevný
bod, tj. existuje takové $x$, že platí $f(x)=x$. Navíc každá posloupnost $\posl{x_n}\subset X$ iterací zobrazení $f$ konverguje k tomuto pevnému bodu.
\begin{proof}
Nechť $x_0\in X$, $x_1=f(x_0),\dots,x_{n+1}=f(x_n)$. Pak z předpokladu kontrahujícího zobrazení dostáváme, že 
\[
\rho(x_{m+1},x_m)=\rho(f(x_m),f(x_{m-1}))\le
k\rho(x_m,x_{m-1})\le k^m\rho(x_1,x_0)=k^m\rho(f(x_0),x_0)
\]
což můžeme použít v cauchyovské podmínce
\[
\rho(x_{n+p},x_n)\le\sum_{i=1}^p\rho(x_{n+i-1},x_{n+i})\le
\sum_{i=1}^p k^{n+i-1}\rho(x_1,x_0)\le
\frac{k^n}{1-k}\rho(x_1,x_0)<\epsilon
\]
Tedy posloupnost postupných aproximací je cauchyovská. Díky úplnému prostoru proto platí, že existuje
$x\in X$ takové, že $x_n\to x$.
 
\emph{Důkaz existence pevného bodu}: Platí, že $x_{n+1}=f(x_n)$. Přechodem
k~$n\to\infty$ a s~využitím spojitosti $f$ dostáváme $x=f(x)$.
 
\emph{Důkaz jednoznačnosti}:
$\rho(f(x),f(x'))\le k\rho(x,x')$, tedy
$\rho(x,x')\le k\rho(x,x')<\rho(x,x')$, což je spor.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
Uvedená metoda se používá při řešení úloh v~numerické
matematice. V~praxi často nelze zajistit, aby zobrazení $f$ bylo
kontrahující, přesto ale posloupnost postupných aproximací
konverguje. Může totiž platit, že až teprve zobrazení
$f_i=\underbrace{f\circ\dots\circ f}_{i\text{-krát}}$ kontrahuje.
 
Nechť dále $x$ je pevný bod $f_i(x)$:
\[
f_i(f(x))=f_{i+1}(x)=f(f_i(x))=f(x),
\]
tedy $f(x)$ je pevným bodem $f_i$, z~jednoznačnosti pevného bodu pak
vyplývá, že $f(x)=x$, tedy $x$ je pevným bodem $f$.
 
Sestrojme pak $i$ posloupností:
\[
\begin{array}{ccccc}
	     1       &          2           &          3           &        &           i            \\ \hline
	    x_0      &      x_1=f(x_0)      &     x_2=f_2(x_0)     & \cdots &  x_{i-1}=f_{i-1}(x_0)  \\
	x_i=f_i(x_0) & x_{i+1}=f_{i+1}(x_0) & x_{i+2}=f_{i+2}(x_0) & \cdots & x_{2i-1}=f_{2i-1}(x_0) \\
	   \vdots    &        \vdots        &        \vdots        &        &         \vdots
\end{array}
\]
Všechny posloupnosti jsou posloupnostmi aproximací $i$-té iterace pro
různé počáteční body. Všechny konvergují k~$x$ a podle věty o~pokrytí
celá posloupnost postupných aproximací pro zobrazení $f$ konverguje
k~$x$.
\end{remark}
 
\begin{remark}
Důkaz předchozí věty je na zkoušce {\it bezvýhradně} vyžadován (i na E).
\end{remark}
 
\begin{define}Lineární prostory klasifikujeme následovně:
 
Normovaný lineární prostor, který je úplný v metrice indukované normou, se nazývá {\bf Banachův}.
 
Banachův prostor se skalárním součinem, který indukuje příslušnou normu, se nazývá {\bf Hilbertův}.
\end{define}