01DIFR:Kapitola1: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Založena nová stránka: %\wikiskriptum{01DIFR} \section{Úvod} Obyčejná diferenciální rovnice $n$-tého řádu je každá rovnice tvaru \begin{equation} \label{ode} F(x,y,y',y'',\dots,y^{(n)...) |
(Žádný rozdíl)
|
Aktuální verze z 1. 8. 2010, 02:21
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01DIFR
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01DIFR | Admin | 1. 8. 2010 | 02:21 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 1. 8. 2010 | 02:28 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Admin | 1. 8. 2010 | 13:51 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Úvod | Admin | 1. 8. 2010 | 02:21 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Řešení některých speciálních rovnic 1. řádu | Admin | 1. 8. 2010 | 02:22 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Věty o existenci, jednoznačnosti a vlastnostech řešení rovnice tvaru y'=f(x,y) | Admin | 1. 8. 2010 | 02:22 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Systémy diferenciálních rovnic | Admin | 1. 8. 2010 | 02:22 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Systémy lineárních diferenciálních rovnic. Lineární rovnice n-tého řádu | Admin | 1. 8. 2010 | 02:23 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Numerické řešení počátečních úloh pro obyčejné diferenciální rovnice | Admin | 1. 8. 2010 | 02:23 | kapitola6.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
01DIFR:fig_arzela | arzela |
01DIFR:fig_euler | euler |
01DIFR:fig_peano1 | peano1 |
01DIFR:fig_peano2 | peano2 |
01DIFR:fig_peano3 | peano3 |
01DIFR:fig_osgood | osgood |
01DIFR:fig_spoj1 | spoj1 |
Image:Arzela.pdf | arzela.pdf |
Image:Euler.pdf | euler.pdf |
Image:Peano1.pdf | peano1.pdf |
Image:Peano2.pdf | peano2.pdf |
Image:Peano3.pdf | peano3.pdf |
Image:Osgood.pdf | osgood.pdf |
Image:Spoj1.pdf | spoj1.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01DIFR} \section{Úvod} Obyčejná diferenciální rovnice $n$-tého řádu je každá rovnice tvaru \begin{equation} \label{ode} F(x,y,y',y'',\dots,y^{(n)})=0, \end{equation} \index{rovnice, diferenciální} kde $F$ je funkce $n+2$ proměnných taková, že $y^{(n)}$ ve funkčním předpisu skutečně vystupuje. \begin{define} {\bf Řešením (integrálem)} \index{řešení diferenciální rovnice} diferenciální rovnice na neprázdné množině $M\subset\R$ se nazývá každá funkce $f(x)$, která má na $M$ $n$ derivací a platí: $F(x,f(x),f'(x),\dots,f^{(n)}(x))=0$ pro každé $x\in M$. \end{define} \begin{define} {\bf Integrální křivkou} \index{křivka, integrální} se nazývá graf řešení. \end{define} \begin{uloha} Hledejte řešení rovnice \eqref{ode}, které v~bodě $x_0$ splňuje zadané podmínky: \begin{enumerate} \item $y(x_0)=y_0$, $y'(x_0)=y_0',\dots,y^{(n-1)}(x_0)=y_0^{(n-1)}$ --- tzv. Cauchyova (počáteční) úloha.\index{počáteční úloha, Cauchyova} \item Okrajová úloha: Řešení se hledá na intervalu $\la a,b\ra$;\index{počáteční úloha, okrajová} hodnoty řešení a derivací splňují v~okrajových bodech zadané podmínky. \end{enumerate} \end{uloha} \begin{define} Říkáme, že bodem $[x_0,y_0]$ prochází právě jedna integrální křivka dané rovnice 1. řádu, právě když existuje interval $\I$, obsahující $x_0$ uvnitř tak, že všechna řešení rovnice na množinách $M$ obsahujících interval $\I$ a procházejících bodem $[x_0,y_0]$ na intervalu $\I$ splývají. \end{define} \begin{define} Řekneme, že daným bodem $[x_0,y_0]$ prochází právě jedna integrální křivka rovnice \eqref{ode} $n$-tého řádu, splňující podmínky $y'(x_0)=y_0'$, $y''(x_0)=y_0''$,\dots,$y^{(n-1)}(x_0)=y_0^{(n-1)}$, existuje-li interval $\I$ obsahující $x_0$ uvnitř tak, že všechna řešení rovnice na množině $M$ obsahující $\I$ a procházející bodem $[x_0,y_0]$ na intervalu $\I$ splývají. \end{define}