Součásti dokumentu 01PRA1_2
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01PRA1_2}
\section{Příklady absolutně spojitých rozdělení}
\subsection{Gama rozdělení}
Značíme $G(\alpha,\beta)$.
\[
f_X(x)=\frac{1}{\gammaf(\alpha)\beta^\alpha}x^{\alpha-1}\e^{-x/\beta},
\quad x>0,\alpha>0,\beta>0.
\]
\[
\int_\R f_X(x)\,\d x=
\frac{1}{\gammaf(\alpha)}\int_\R t^{\alpha-1}\e^{-t}\,\d t=1.
\]
\begin{figure}
\includegraphics{Gamma}
\caption{Hustota pravděpodobnosti při gama-rozdělení}
\end{figure}
\subsection{Beta rozdělení}
Značíme $B(p,q)$,
\[f_X(x)=\frac{x^{p-1}(1-x)^{q-1}}{\betaf(p,q)},\quad
0<x<1,p>0,q>0.\]
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=\linewidth]{Beta}
\caption{Hustota pravděpodobnosti při beta-rozdělení}
\end{figure}
\subsection{Rovnoměrné rozdělení}
Značíme $U_G$, $G\subset\R^n$,
\[f_{\mathbf X}(\mathbf x)=
\begin{cases}
\frac{1}{\mu G}&x\in G\\
0&\text{jinde.}
\end{cases}
\]
\subsection{Exponenciální rozdělení}
Značíme $\Exp(\alpha,\mu)$, $\mu\in\R$, $\alpha>0$,
\[
f_X(x)=
\begin{cases}
\alpha \e^{-\alpha(x-\mu)}&x>\mu\\
0&\text{jinak.}
\end{cases}
\]
Pro distribuční funkci platí
\[
F_X(x)=1-\e^{-\alpha(x-\mu)}.
\]
Alternativní definice: $\alpha=1/\theta$, $\mu=0$,
\[\Exp(\theta)=\frac1{\theta}\e^{-\frac{x}{\theta}}.\]
\begin{theorem}
Buďte $X_1,\dots,X_n$ nezávislé a identicky distribuované podle
$\Exp(\alpha,0)$. Pak $X_1+\dots+X_n\sim G(n,\frac1\alpha)$.
\begin{proof}
\[f_{\mathbf X}(\mathbf x)=\prod_{j=1}^n f_{X_j}(x_j)=
\begin{cases}
\alpha^n \e^{-\alpha\sum_{j=1}^n x_j}&\min_{j\in\hat n}(x_j)>0\\
0&\text{jinak.}
\end{cases}
\]
\[Y=\sum_{j=1}^n X_j,\]
definujeme zobrazení
\begin{align*}
\phi\equiv u_1&=x_1+\dots+x_n\\
u_2&=x_2\\
&\xvdots\\
u_n&=x_n
\end{align*}
\[
\abs{\J_{\phi^{-1}}}=
\begin{vmatrix}
1 & -1 & \hdots & -1 & -1\\
0 & 1 & \hdots & 0 & 0\\
& & \ddots & & \vdots\\
& & & 1 & 0\\
& & & & 1
\end{vmatrix}
=1.
\]
\[
f_{\mathbf U}(\mathbf u)=
\begin{cases}
1\cdot\alpha^n \e^{-\alpha u_1}& u_j>0,\ u_1-\dots-u_n>0\\
0 &\text{jinak}.
\end{cases}
\]
\[
\begin{split}
f_{U_1}(u_1)&=\idotsint_{\substack{u_j>0\\u_1-\dots-u_n>0}}
\alpha^n \e^{-\alpha u_1}\,\d u_2\d u_3\cdots\d u_n=\\
&=\alpha^n \e^{-\alpha u_1}\idotsint_{\substack{u_j>0\\u_1-\dots-u_n>0}}
1\,\d u_2\d u_3\cdots\d u_n=
\frac{\alpha^n}{(n-1)!}u_1^{n-1}\e^{-\alpha u_1}
\end{split}
\]
\end{proof}
\end{theorem}
\subsection{Normální (Gaussovo) rozdělení}
Značíme $N(\mu,\sigma^2)$,
\[f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2\right),
\quad x\in\R,\mu\in\R,\sigma>0
\]
Dále zavádíme
\[
N(0,1)\equiv\phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{x^2}{2}\right),\quad
\Phi(x)=\int_{-\infty}^x\phi(t)\,\d t.
\]
\begin{figure}
%%%%
%%%% TODO!!!!!!
%%%%
%%%%\epsfbox{gauss.eps}
\includegraphics{Gauss}
\caption{Hustota pravděpodobnosti při normálním rozdělení}
\end{figure}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item
Je-li $X\sim N(\mu,\sigma^2)$, potom
\[F_X(x)=\Phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right),\quad
f_X(x)=\frac1\sigma\phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)\]
\[
\begin{split}
P(x_1\le X\le x_2)&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}
\int_{x_1}^{x_2}\exp\left(-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2\right)=
F_X(x_2)-F_X(x_1)=\\
&=\Phi\left(\frac{x_2-\mu}{\sigma}\right)-
\Phi\left(\frac{x_1-\mu}{\sigma}\right)
\end{split}
\]
\item Pravidla $1\sigma$, $2\sigma$, $3\sigma$:
\[P(\mu-\sigma<X\le\mu+\sigma)=P\left(
-1<\frac{x-\mu}{\sigma}\le 1
\right)=\Phi(1)-\Phi(-1)\]
\item Buď $X\sim N(\mu,\sigma^2)$, $Y=aX+b$. Potom
\[\abs{\J}=\frac1{\abs{a}},\]
\[
\begin{split}
f_Y(y)&=\frac1{\abs{a}}f_X\left(\frac{y-b}{a}\right)=
\frac1{\abs{a}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}
\exp\left(\frac{-\left(\frac{y-b}{a}-\mu\right)^2}{2\sigma^2}\right)=\\
&=\frac1{\abs{a}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}
\exp\left(-\frac{(y-(b+\mu a))^2}{2a^2\sigma^2}\right)
\sim N(a\mu+b,a^2\sigma^2)
\end{split}
\]
\item
Pokud položíme $a=1/\sigma$, $b=-\mu/\sigma$, dostáváme
\[Y=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1).\]
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{theorem}
Buďte $X_1\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)$, $X_2\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$
nezávislé. Potom $X_1+X_2\sim N(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)$.
\begin{proof}
\[
\begin{split}
f_Y(y)&=\int_{-\infty}^\infty
f_{X_1}(y-x)f_{X_2}(x)\,\d x=\\
&=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2}
\int_{-\infty}^\infty
\exp\left(
-\frac1{2\sigma_1^2}(y-x-\mu_1)^2
-\frac1{2\sigma_2^2}(x-\mu_2)^2
\right)\,\d x=\\
&=\frac{1}{\sqrt{2\pi(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}}
\exp\left(-\frac{1}{2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}(y-\mu_1-\mu_2)^2\right).
\end{split}
\]
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Indukcí to lze rozšířit na libovolný konečný počet náhodných veličin:
\[Y=\sum_{k=1}^n a_kX_k\sim N\left(\sum_{k=1}^n a_k\mu_k,
\sum_{k=1}^n a_k^2\sigma_k^2\right).\]
\end{remark}
\begin{dusl}
Buďte $X_k$ iid podle $N(\mu,\sigma^2)$. Potom
\[Y=\frac1n\sum_{k=1}^n X_k\sim N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right),\]
tj. s~rostoucím počtem veličin klesá rozptyl průměru.
\end{dusl}
\subsection{Rozdělení $\chi^2$ (Pearsonovo)}
Buďte $X_1,\dots,X_n$ iid $N(0,1)$. Potom definujeme rozdělení
$\chi^2$ jako
\[\sum_{i=1}^n X_i^2\sim\chi^2(n).\]
Odvození: Protože $X_j$ jsou nezávislé, je
\[f_{\mathbf X}(\mathbf x)=\prod_{j=1}^n N(0,1)=
(2\pi)^{-n/2}\exp\left(-\frac12\sum_{j=1}^n X_j^2\right).\]
Použijeme transformaci
\begin{align*}
x_1&=\rho\cos\phi_1\cos\phi_2\cdots\cos\phi_{n-1}\\
x_2&=\rho\cos\phi_1\cos\phi_2\cdots\sin\phi_{n-1}\\
&\xvdots\\
x_n&=\rho\sin\phi_1
\end{align*}
Jakobián transformace má tvar
$\abs{\J}=\rho^{n-1}D(\phi_1,\dots,\phi_n)$, definiční obor je
$\phi_{n-1}\in(0,2\pi)$, $\phi_j\in(0,\pi)$ pro $j\in\widehat{n-2}$,
$\rho>0$. Potom platí
\[
f_{\rho,\phi_1,\dots,\phi_{n-1}}(\cdots)=
(2\pi)^{-n/2}\e^{-\rho^2/2}\rho^{n-1}D(\phi_1,\dots,\phi_n).
\]
\[
\begin{split}
f_\rho(\rho)&=
(2\pi)^{-n/2}\rho^{n-1}\e^{-\rho^2/2}
\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\cdots\int_0^\pi D(\phi_1,\dots,\phi_n)
\,\d\phi_1,\cdots\d\phi_{n-1}=\\
&=(2\pi)^{-n/2}\rho^{n-1}\e^{-\rho^2/2}\int_{B(0,1)}1
\,\d x_1\cdots \d x_n.
\end{split}
\]
Po normování dostaneme
\[
f_\rho(\rho)=
\frac{1}{\gammaf\left(\frac n2\right)2^{\frac n2-1}}
\rho^{n-1}\e^{-\rho^2/2}.
\]
Protože $X=\rho^2$, je
\[f_X(x)=\frac{1}{2\Gamma\left(\frac n2\right)}
\left(\frac x2\right)^{\frac n2-1}\e^{-\frac x2}.\]
Také platí, že $\chi^2(n)=G(n/2,2)$.
\begin{figure}
%%%%
%%%% TODO!!!!!!
%%%%
%%%%\epsfbox{chi2.eps}
\includegraphics{Chi2}
\caption{Hustota pravděpodobnosti při rozdělení $\chi^2$}
\end{figure}
\begin{theorem}
Buďte $Y_1,\dots,Y_m\sim \chi^2(n_i)$, nezávislé. Potom
\[\sum_{i=1}^m Y_i\sim \chi^2\left(\sum_{i=1}^m n_i\right).\]
\begin{proof}
Platí, že
\[
\begin{split}
f_{Y_1+Y_2}&=\int_0^u f_{Y_1}(u-v)f_{Y_2}(v)\,\d v=\\
&=\frac{1}{4\gammaf\left(\frac{n_1}2\right)\gammaf\left(\frac{n_2}2\right)}
\exp\left(-\frac u2\right)
\int_0^u\left(\frac{u-v}2\right)^{\frac{n_1}2-1}
\left(\frac{v}2\right)^{\frac{n_2}2-1}\,\d v=\\
&=\frac{1}{4\gammaf\left(\frac{n_1}2\right)\gammaf\left(\frac{n_2}2\right)}
2\left(\frac u2\right)^{\frac{n_1+n_2}{2}-1}
\betaf\left(\frac{n_1}2,\frac{n_2}2\right)=\\
&=\frac{1}{2\gammaf\left(\frac{n_1+n_2}2\right)}
\left(\frac u2\right)^{\frac{n_1+n_2}{2}-1}
\exp\left(-\frac u2\right).
\end{split}
\]
\end{proof}
\end{theorem}
\subsection{Studentovo rozdělení}
Značíme $t(n)$. $X$, $Y$ jsou nezávislé, $X\sim N(0,1)$,
$Y\sim\chi^2(n)$,
\[T=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}\sim t(n).\]
\[f_T(t)=\frac{1}{\betaf\left(\frac12,\frac n2\right)}
n^{n/2}(n+t^2)^{-\frac{n+1}2}.\]
\subsection{Fisherovo rozdělení}
Značíme $F_{n,m}$. Buďte $X,Y$ nezávislé, $X\sim\chi^2(n)$,
$Y\sim\chi^2(m)$,
\[U\sim\frac{\frac{X}{n}}{\frac{Y}{m}}\sim F_{n,m}.\]
\[f_U(u)=\frac{1}{\betaf\left(\frac m2,\frac n2\right)}
\left(\frac mn\right)^{\frac m2}u^{\frac m2 -1}
\left(1+\frac mn u\right)^{-\frac{m+n}2}\]
\subsection{Exponenciální třída hustot}
$h:\R^n\mapsto\R^s$, $g:\R^s\mapsto\R^s$, $T:\R^n\mapsto\R^s$.
\[f_{\mathbf X}=h(\mathbf x)c(\Theta)\Exp(g(\Theta)T(\mathbf x))\]
\[\Exp(\theta)=\frac1\theta\exp\left(\frac{-x}{\theta}\right)\]
\subsection{Weibullovo rozdělení}
\[F_X(x)=1-\exp\left(-\frac{(x-\mu)^\beta}c\right)\]
