01PRA1:Kapitola2: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Dalsi sexdecillion pravopisnych chyb) |
m |
||
Řádka 650: | Řádka 650: | ||
\item $ X^2 $ je náhodná veličina | \item $ X^2 $ je náhodná veličina | ||
\item $ X \cdot Y $ je náhodná veličina | \item $ X \cdot Y $ je náhodná veličina | ||
− | \item $ X / Y $ je náhodná veličina (pokud $ \{\omega\ |\ | + | \item $ X / Y $ je náhodná veličina (pokud $ \{\omega\ |\ Y(\omega) = 0 \} = \emptyset $) |
\item $ \max\{X,Y\} $ a $ \min\{X,Y\} $ jsou náhodné veličiny | \item $ \max\{X,Y\} $ a $ \min\{X,Y\} $ jsou náhodné veličiny | ||
\item $ g(X) $ je náhodná veličina na $ (\Omega,\mathcal{A}) $, pokud $ g : \mathcal{R} \to \mathcal{R} $ je borelovsky měřitelná | \item $ g(X) $ je náhodná veličina na $ (\Omega,\mathcal{A}) $, pokud $ g : \mathcal{R} \to \mathcal{R} $ je borelovsky měřitelná |
Verze z 6. 10. 2010, 13:54
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01PRA1
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01PRA1 | Karel.brinda | 4. 10. 2010 | 23:39 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:49 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Karel.brinda | 8. 3. 2011 | 19:28 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Předmluva | Admin | 4. 8. 2010 | 10:45 | predmluva.tex | |
Kapitola1 | editovat | Motivace | Valapet2 | 5. 3. 2016 | 20:43 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Axiomatická definice pravděpodobnosti | Pitrazby | 18. 2. 2012 | 01:46 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Diskrétní náhodné veličiny | Snilard | 8. 3. 2011 | 01:55 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Absolutně spojitá rozdělení | Pitrazby | 18. 2. 2012 | 02:06 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Charakteristiky náhodných veličin | Jakub.flaska | 1. 8. 2010 | 17:49 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Limitní věty teorie pravděpodobnosti | Pitrazby | 18. 2. 2012 | 02:30 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Statistika | Jakub.flaska | 1. 8. 2010 | 18:22 | kapitola7.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Soubor:01PRA1_kap1_Uloha_na_nedeli.pdf | 01PRA1_kap1_Uloha_na_nedeli.pdf |
Soubor:01PRA1_kap1_Buffonuv_problem.pdf | 01PRA1_kap1_Buffonuv_problem.pdf |
Soubor:01_PRA1_kap1_Bertranduv_paradox.pdf | 01PRA1_kap1_Bertranduv_paradox.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01PRA1} \section{Axiomatická definice pravděpodobnosti} \subsection{Jevy a operace s nimi} Jedním ze základních pojmů teorie pravděpodobnosti jsou jevy a operace s nimi pojaté jako operace s množinami. Uvažujme pokus, a označme \begin{description} \item [$ \Omega $] {Množinu všech možných výsledků pokusu, tzv. elementárních jevů. Tuto množinu nazýváme \textit{prostor elementárních jevů}, \textit{základní pravděpodobnostní prostor}, \textit{výběrový prostor}, apod.} \item [$ \omega \in \Omega $] {Prvky prostoru elementárních jevů nazýváme \textit{elementárními jevy}.} \item [$ A \subset \Omega $] {Libovolnou podmnožinu nazýváme \textit{jev}.} \end{description} Říkáme že jev $ A \subset \Omega $ nastal, pokud nastal elementární jev $ \omega \in A $. Jev $ \Omega $ nazýváme \textit{jevem jistým} a $ \emptyset $ nazýváme \textit{jevem nemožným}. \begin{definition} Buď $ \Omega $ prostor elementárních jevů a $ A,B \subset \Omega $ jevy. Potom definujeme: \begin{enumerate} \item $ A^\mathbb{C}$ - \textbf{jev opačný}, který nastává právě tehdy když nenastává $ A $, tj. $$ \omega \in A^C \Leftrightarrow \omega \not \in A$$ \item $ A \cup B $ - \textbf{sjednocení jevů}, nastává právě když nastává alespoň jeden z jevů $ A,B $. \item $ A \cap B $ - \textbf{průnik jevů}, nastává právě když nastávají oba jevy $ A,B $ současně. \item Říkáme že jevy $ A,B $ jsou \textbf{neslučitelné}, pokud $ A \cap B = \emptyset $. Potom také píšeme $ A \cup B = A + B $. \item $ A \subset B $ - jev $ A $ je \textbf{podjevem} jevu $ B $, právě když $$ \omega \in A \Rightarrow \omega \in B $$ \item $ A = B $ - jevy jsou \textbf{ekvivalentní}, pokud $ A \subset B \land B \subset A$ \item $ A - B $ - nastává jev $ A $, ale nenastává jev $ B $. Platí $ A - B = A \cap B^C $. \item $ A \Delta B = (A - B) \cup (B - A)$ - \textbf{symetrická diference} \end{enumerate} \end{definition} \begin{theorem} Nechť $ A,B,C \subset \Omega $ jsou jevy. Potom platí: \begin{enumerate} \item $ A \subset A $ \item $ (A \subset B) \land (B \subset C) \Rightarrow (A \subset C)$ \item $ A \cup A = A $, $ A \cap A = A $ \item $ A \cup B = B \cup A $, $ A \cap B = B \cap A $ (komutativnost) \item $ A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C $, $ A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C $ (asociativnost) \item $ \emptyset \subset A \subset \Omega $ \item $ (A \cap B) \subset A \subset (A \cup B) $ \item $ \emptyset \cup A = A $, $ \emptyset \cap A = \emptyset $ \item $ A \cup \Omega = \Omega $, $ A \cap \Omega = A $ \item $ \left(A^C\right)^C = A $ \item $ (A \cup B)^C = A^C \cap B^C $, $ (A \cap B)^C = A^C \cup B^C $ (de Morganovy zákony) \item $ B = (A \cap B) + (A \cap B^C)$ \item $ A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$, $ A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$ \item $ A \cup A^C = \Omega $ (zákon "nevím čeho") \item $ A \cap A^C = \emptyset $ (zákon vyloučeného středu) \item $ A \cap (B + C) = (A \cap B) + (A \cap C) $ \end{enumerate} \end{theorem} \begin{theorem} Buďte $ \left\{A_k\right\}_{k=1}^{N,+\infty} $ jevy. Potom platí: \begin{enumerate} \item $ {\bigcup}_{n=1}^{N,+\infty} A_k = A_1 + \sum_{k=2}^{N,+\infty} A_1^C A_2^C \dots A_{k-1}^C A_k$ \item $ \left({\bigcup}_{n=1}^{N,+\infty} A_k\right)^C = \bigcap_{k=1}^{N,+\infty} A_k^C $, $ \left({\bigcap}_{n=1}^{N,+\infty} A_k\right)^C = \bigcup_{k=1}^{N,+\infty} A_k^C $ (de Morganovy zákony pro nejvýše spočetný systém jevů) \end{enumerate} \end{theorem} \subsection{Algebraická struktura jevů} Jevy a operace s nimi, tak jak byly definovány v předchozím oddíle, je možno uspořádat do tzv. \textit{Booleovy algebry}, definované dále. \begin{definition}[Booleova algebra] Booleovou algebrou nazýváme strukturu $ (\mathcal{A},+,\cdot,\mathbb{C}) $, kde $ \mathcal{A} $ je množina jevů, $ + $ a $ \cdot $ jsou binární operace, $ \mathbb{C} $ je operace unární a ve které platí následující axiomy. Nechť $ A,B,C \in \mathcal{A} $ a nechť platí \begin{enumerate} \item $ A + A = A$ \item $ A + B = B + A $, $ A \cdot B = B \cdot A $ \item $ A + (B + C) = (A + B) + C $, $ A \cdot (B \cdot C) = (A \cdot B) \cdot C $ \item $ A \cdot (B + C) = (A \cdot B) + (A \cdot C) $, $ A + (B \cdot C) = (A + B) \cdot (A + C) $ \item $ A + \mathbb{C}A = 1 $, $ A \cdot \mathbb{C}A = 0 $ \item $ A + 0 = A $, $ A \cdot 0 = 0 $ \item $ A + 1 = 1 $, $ A \cdot 1 = A $ \end{enumerate} \end{definition} S Booleovými algebrami (a algebrami obecně) se blíže seznámíte v přednášce "Algebra", zatím nám bude stačit, že se jedná o množinu, ke které jsou přiřazeny algebraické operace a množina je vůči nim uzavřená. Pokud budeme uvažovat množinu všech elementárních jevů $ \Omega $, ke které přiřadíme operace $ \cup,\cap,\mathbb{C} $, tj. sjednocení, průnik a doplněk, potom jsou zřejmě všechny předpoklady definice splněny a $ (\Omega,\cup,\cap,\mathbb{C}) $ je booleovská algebra. V souladu s touto skutečností budeme někdy průnik značit $ \cdot $, případně ho budeme zapisovat $ A \cap B = AB $. Nahrazení znaku sjednocení součtem si však dovolit nemůžeme, protože operaci $ + $ jsme si již vyhradili pro sjednocení neslučitelných jevů. Vyvstává však otázka, zda není možné zvolit nějaký systém podmnožin $ \Omega $ a úvahy provádět na něm. Odpověď zní ano, takový systém je možno volit a tento systém nazýváme $ \sigma $-algebrou. \begin{definition}[$\sigma$-algebra] Buď $ \Omega $ libovolná neprázdná množina a buď $ \mathcal{A} \subset \Omega $ systém podmnožin. Potom říkáme, že $ \mathcal{A} $ je $ \sigma $-algebra, pokud \begin{enumerate} \item $ \emptyset \in \mathcal{A} $ \item $ (A \in \mathcal{A}) \Rightarrow (A^{\mathbb{C}} \in \mathcal{A})$ \item $ \left(\left( A_k \right)_{k=1}^{\infty} \in \mathcal{A}\right) \Rightarrow \left(\bigcup_{k=1}^{\infty} A_k \in \mathcal{A} \right) $ \end{enumerate} \end{definition} Každá $ \sigma $-algebra je tedy uzavřená vůči doplňkům a spočetným sjednocením a obsahuje prázdnou množinu. Přímo z definice vyplývají následující vlastnosti: \begin{theorem} Buď $ \mathcal{A} $ $ \sigma $-algebra jevů. Potom platí: \begin{enumerate} \item $ \Omega \in \mathcal{A} $ \item $ \left(A_1,\dots,A_n \in \mathcal{A}\right) \Rightarrow \left( \bigcup_{k=1}^{n} A_k \in \mathcal{A}\right) $ \item $ \left(\left( A_k \right)_{k=1}^{\infty} \in \mathcal{A}\right) \Rightarrow \left(\bigcap_{k=1}^{\infty} A_k \in \mathcal{A} \right) $ \item $ \left(A_1,\dots,A_n \in \mathcal{A}\right) \Rightarrow \left( \bigcap_{k=1}^{n} A_k \in \mathcal{A}\right) $ \end{enumerate} \end{theorem} \begin{proof} \ \begin{enumerate} \item $ (\emptyset \in \mathcal{A}) \Rightarrow (\emptyset^{\mathbb{C}} = \Omega \in \mathcal{A}) $ \item { Buďte $ A_1,\dots,A_n \in \mathcal{A} $, dodefinujme $ A_{n+1},A_{n+2},\dots = \emptyset $. Potom ale platí $ \left( A_k \right)_{k=1}^{\infty} \in \mathcal{A}$, a můžeme tedy použít uzavřenost Booleovy algebry $ \mathcal{A} $ vůči nekonečnému sjednocení. Potom tedy $$\bigcup_{k=1}^{\infty} A_k = \bigcup_{k=1}^{n} A_k \in \mathcal{A}$$ } \item { Buď $ \left( A_k \right)_{k=1}^{\infty} \in \mathcal{A} $. Podle de Morganových zákonů pro spočetný systém nmožin platí $$ \bigcap_{k=1}^{\infty} A_k = \left(\bigcup_{k=1}^{\infty} A_k^{\mathbb{C}} \right)^{\mathbb{C}} $$ a potom $$ \left(A_k \in \mathcal{A}\right) \Rightarrow \left(A_k^{\mathbb{C}} \in \mathcal{A}\right) \Rightarrow \left( \bigcup_{k=1}^{\infty} A_k^{\mathbb{C}} \in \mathcal{A} \right) \Rightarrow \left( \left( \bigcup_{k=1}^{\infty} A_k^{\mathbb{C}}\right)^{\mathbb{C}} \in \mathcal{A} \right) $$ a dle de Morganova zákona tedy $$ \left( \bigcap_{k=1}^{\infty} A_k\right) = \left( \bigcup_{k=1}^{\infty} A_k^{\mathbb{C}}\right)^{\mathbb{C}} \in \mathcal{A} $$ } \item {Tento bod dokážeme stejně jako bod 2, stačí pouze místo prázdné množiny uvažovat $ \Omega $, o které víme, že je stejně jako prázdná množina prvkem $ \mathcal{A} $. Postup je zcela totožný. } \end{enumerate} \end{proof} \begin{definition}[Pravděpodobnost] Buď $ \Omega $ neprázdná množina a $ \mathcal{A} \subset \Omega $ nechť je $ \sigma $-algebra. Potom pravděpodobnost $ \mathrm{P} $ je libovolná funkce $ \mathrm{P}:\mathcal{A} \to \mathbb{R} $, která splňuje následující podmínky: \begin{enumerate} \item $ \left( \forall A \in \mathcal{A}\right) \left( \mathrm{P}(A) \geq 0 \right) $ \item $ \mathrm{P}(\Omega) = 1 $ \item {Buď $ \left( A_k \right)_{k=1}^{\infty} \in \mathcal{A} $ systém navzájem neslučitelných jevů, potom nechť $$ \mathrm{P}\left( \sum_{k=1}^{\infty} A_k \right) = \sum_{k=1}^{\infty} \mathrm{P}(A_k) \textrm{\ \ (tzv.\ } \sigma \textrm{-aditivita)} $$} \end{enumerate} \end{definition} \begin{note} Po definici $ \sigma $-algebry se mohlo zdát, že nejlepší bude prostě vzít $ \mathcal{A} = 2^{\Omega} $, tj. potenční množinu. To vskutku jde, pokud je $ \Omega $ spočetná. Pokud je však množina $ \Omega $ nespočetná, je sice $ 2^{\Omega} $ $ \sigma $-algebra, nicméně neumíme definovat funkci $ \mathrm{P} $ tak, aby vyhovovala axiomům. Jak je potom $ \mathcal{A} $ volena, je blíže rozebíráno v kapitole \ref{RandomValues}. \end{note} \begin{theorem} Buď $ \mathcal{A} $ $ \sigma $-algebra, potom platí: \begin{enumerate} \item $ \mathrm{P}(\emptyset) = 0 $ \item $ \mathrm{P}\left( \sum_{k=1}^{n} A_k \right) = \sum_{k=1}^{n} \mathrm{P}(A_k) $ \item $ \mathrm{P}(A \cup B) = \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B) - \mathrm{P}(A \cap B) $ \item $ \mathrm{P}(A \cup B \cup C) = \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B) + \mathrm{P}(C) - \mathrm{P}(A \cap B) - \mathrm{P}(A \cap C) - \mathrm{P}(B \cap C) + \mathrm{P}(A \cap B \cap C) $ \item $ \mathrm{P}\left( \bigcup_{k=1}^{N,\infty} A_k \right) \leq \sum_{k=1}^{N,\infty} \mathrm{P}(A_k) $ (Booleova nerovnost) \item $ (A \subset B) \Rightarrow (\mathrm{P}(A) \leq \mathrm{P}(B))$ (monotonie pravděpodobnosti) \item $ (\forall A \in \mathcal{A})(\mathrm{P}(A) \leq 1) $ \item $ (\forall A \in \mathcal{A})\left(\mathrm{P}(A) = 1 - \mathrm{P}(A^{\mathbb{C}})\right) $ \end{enumerate} \end{theorem} \begin{proof} \ \begin{enumerate} \item {Buď $ (\forall k \in \mathbb{N})(A_k = \emptyset) $. Potom $$ \mathrm{P}\left(\sum_{k=1}^{\infty} A_k\right) = \mathrm{P}\left(\emptyset\right) = \sum_{k=1}^{\infty} \mathrm{P}\left(\emptyset\right) \Rightarrow \mathrm{P}(\emptyset) = 0$$ } \item { Nechť $ A_{n+1} = A_{n+2} = \dots = \emptyset $. Využijeme aditivity $ \mathrm{P} $: $$ \sum_{k=1}^{\infty} A_k = \sum_{k=1}^{n} A_k + \sum_{n+1}^{\infty} A_k = \sum_{k=1}^{n} A_k $$ $$ \mathrm{P}\left(\sum_{k=1}^{\infty} A_k\right) = \mathrm{P}\left(\sum_{k=1}^{n} A_k\right) + \mathrm{P}\left(\sum_{n+1}^{\infty} A_k\right) = \mathrm{P}\left(\sum_{k=1}^{n} A_k\right) $$ $$ \mathrm{P}\left(\sum_{k=1}^{\infty} A_k\right) = \sum_{k=1}^{\infty} \mathrm{P}(A_k) = \sum_{k=1}^{n} \mathrm{P}(A_k) + \underbrace{\sum_{n+1}^{\infty} \mathrm{P}(A_k)}_{0} = \sum_{k=1}^{n} \mathrm{P}(A_k)$$ čili $$ \sum_{k=1}^{n} \mathrm{P}(A_k) = \mathrm{P}\left(\sum_{k=1}^{n} A_k\right) $$ } \item { Využijeme vztahů $ A \cup B = A + B \cap A^{\mathbb{C}}$, $ B = (B \cap A) + (B \cap A^{\mathbb{C}}) $: $$ \mathrm{P}(A \cup B) = \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(A \cap B^{\mathbb{C}}) $$ $$ \mathrm{P}(B) = \mathrm{P}(B \cap A) + \mathrm{P}(A \cap B^{\mathbb{C}}) \Rightarrow \mathrm{P}(B) - \mathrm{P}(B \cap A) = \mathrm{P}(A \cap B^{\mathbb{C}})$$ a tedy $$ \mathrm{P}(A \cup B) = \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B) - \mathrm{P}(A \cap B) $$ } \item { Stačí dvakrát aplikovat předchozí postup. Detailní provedení necháváme na čtenáři... } \item { Důkaz provedeme matematickou indukcí: \begin{enumerate} \item { \begin{description} \item [$ n=2 $] { $$ \mathrm{P}(A \cup B) = \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B) - \mathrm{P}(A \cap B) \leq \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B) $$ } \item[$ n \to n+1 $] { $$ \mathrm{P}\left( \bigcup_{k=1}^{n+1} A_k \right) = \mathrm{P}\left( \bigcup_{k=1}^{n} A_k \cup A_{n+1} \right) \leq \mathrm{P}\left( \bigcup_{k=1}^{n} A_k\right) + \mathrm{P}\left(A_{n+1} \right) \leq $$ $$ \stackrel{ind}{\leq} \sum_{k=1}^{n+1} \mathrm{P}(A_k) $$ } \end{description} } \end{enumerate} } \item { Nechť $ A \subset B $. Potom $$ B = (A \cap B) + (A^{\mathbb{C}} \cap B) \hbox{ přechází v } B = A + (A^{\mathbb{C}} \cap B) $$ čili $$ \mathrm{P}(B) = \mathrm{P}(A) + \underbrace{\mathrm{P}(B \cap A^{\mathbb{C}})}_{\geq 0} $$ a tedy $ \mathrm{P}(A) \leq \mathrm{P}(B) $ } \item { Vyplývá primitivně z monotonie pravděpodobnosti. Nechť existuje $ A \subset \Omega $ taková, že $ \mathrm{P}(A) > 1 $. Potom ale dle předchozího tvrzení $ A \subset \Omega \Rightarrow \mathrm{A} \leq \mathrm{\Omega} = 1 $, což je spor. } \item { Tvrzení vyplývá z rovnosti $ A + A^{\mathbb{C}} = \Omega $. Potom totiž $$ \mathrm{P}(\Omega) = 1 = \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(A^{\mathbb{C}}) \Rightarrow 1 - \mathrm{P}(A^{\mathrm{C}}) = \mathrm{P}(A)$$ } \end{enumerate} \end{proof} \begin{theorem}[Věta o spojitosti pravděpodobnosti] Buď $ \left( A_k \right)_{k=1}^{\infty} \in \mathcal{A}$ systém podmnožin $ \sigma $-algebry $ \mathcal{A} $ a nechť platí alespoň jedna z následujících podmínek: \begin{enumerate} \item { $ A_k \nearrow A $, tj. systém roste ve smyslu inkluze ($A_k \subset A_{k+1}$, $\cup_{k=1}^{\infty} A_k = A $).} \item { $ A_k \searrow A $, tj. systém klesá ve smyslu inkluze ($ A_{k+1} \subset A_{k}$, $\cap_{k=1}^{\infty} A_k = A $). } \end{enumerate} Potom platí $$ \mathrm{P}(A_k) \to \mathrm{P}(A) $$ \end{theorem} \begin{proof} \ \begin{enumerate} \item { \begin{enumerate} \item {Nechť nejdříve $ A_k \searrow A = \emptyset $. Definujme systém $ B_k $ takto: $$ B_k = A_k - A_{k+1} $$ Potom $ B_k $ jsou disjunktní (neslučitelné jevy), a můžeme tedy psát $$ A_n = \bigcup_{k \geq n} B_k = \sum_{k \geq n} B_k $$ $$ \sum_{k=1}^{\infty} \mathrm{P}(B_k) = \mathrm{P}\left( \sum_{k=1}^{\infty} B_k \right) = \mathrm{P}(A_1) \in [0,1] $$ $$ \mathrm{P}(A_n) = \sum_{k \geq n} \mathrm{P}(B_k) \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} 0 = \mathrm{P}(\emptyset) $$ } \item { Nechť nyní $ A_k \searrow A \neq \emptyset $. Tento případ převedeme na předchozí, protože platí: $$ A_n = (A_n - A) + A \Rightarrow \mathrm{P}(A_n) = \mathrm{P}(A_n - A) + \mathrm{P}(A) $$ Systém $ A_n - A $ klesá ve smyslu inkluze, a přitom $ A_n - A \to \emptyset $, čímž jsme převod na předchozí případ dokončili, a platí tedy $$ \mathrm{P}(A_n - A) \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} 0 \Rightarrow \mathrm{P}(A_n) \stackrel{n\to \infty}{\longrightarrow} \mathrm{P}(A) $$ } \end{enumerate}} \item { Případy $ A_k \nearrow A $ lze převést na předchozí případy pomocí $ A = (A - A_k) + A_k $. } \end{enumerate} \end{proof} \subsection{Podmíněná pravděpodobnost} \begin{definition}[Podmíněná pravděpodobnost] Buďte $ A,B $ jevy a nechť $ \mathrm{P}(B) > 0 $. Potom podmíněnou pravděpodobnost jevu $ A $ za předpokladu (jevu) $ B $ (tzv. apriorní informace) definujeme jako \begin{equation} \mathrm{P}(A|B) = \frac{\mathrm{P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(B)} \end{equation} \end{definition} \begin{theorem}[Součinové pravidlo] Buďte $ A_0,A_1,\dots,A_n \in \mathcal{A} $ jevy takové, že $ \mathrm{P}(A_0 \dots A_{n-1}) > 0 $. Potom \begin{equation} \mathrm{P}(A_0 A_1 A_2 \dots A_n) = \mathrm{P}(A_0) \cdot \mathrm{P}(A_1 | A_0) \cdot \mathrm{P}(A_2 | A_0 A_1) \cdots \mathrm{P}(A_n | A_0 \cdots A_{n-1}) \end{equation} \end{theorem} \begin{proof} \ Nejdříve musíme ověřit, zda jsou jednotlivé činitele v součinu vůbec definovány, tj. jestli náhodou někde nedělíme nulou. To ale díky předpokladu $ \mathrm{P}(A_0 A_1 \dots A_n) > 0 $ a díky monotonii pravděpodobnosti nastat nemůže. Nyní tedy stačí dokázat rovnost, což provedeme indukcí: \begin{description} \item [$ n = 1 $] { $$ \mathrm{P}(A_0 A_1) = \mathrm{P}(A_0) \cdot \mathrm{P}(A_1 | A_0) $$ } \item [$ n \to n+1 $] { $$ \mathrm{P}(A_0 \cdots A_{n+1}) = \mathrm{P}(A_0 \cdots A_n) \cdot \mathrm{P}(A_{n+1}|A_0 \cdots A_n) $$ přičemž dle předpokladu $$ \mathrm{P}(A_0 A_1 A_2 \dots A_n) = \mathrm{P}(A_0) \cdot \mathrm{P}(A_1 | A_0) \cdot \mathrm{P}(A_2 | A_0 A_1) \cdots \mathrm{P}(A_n | A_0 \cdots A_{n-1}) $$ a celé tvrzení tedy platí. } \end{description} \end{proof} \begin{definition}[Úplný rozklad jevu] Buď $ A \subset \Omega $ jev. Systém $ \left( H_n \right)_{n=1}^{N,\infty} $ nazýváme úplným rozkladem jevu $ A $, pokud \begin{enumerate} \item $ H_k $ jsou disjunktní (neslučitelné jevy) \item $ \sum_{k=1}^{N,\infty} \mathrm{P}(H_k) = 1 $ \item $ (\forall k)(\mathrm{P}(H_k) > 0) $ \end{enumerate} \end{definition} \begin{note} Nemusí nutně být $ \Omega = \sum_{k} H_k $. Můžeme vynechat množiny, jejichž pravděpodobnost je nulová. \end{note} \begin{theorem}[O úplnosti] Buď $ \left( H_n \right)_{n=1}^{\infty} $ úplným rozkladem jevu $ A $. Potom platí \begin{equation} \mathrm{P}(A) = \sum_{n} \mathrm{P}(A | H_n) \cdot \mathrm{P}(H_n) \end{equation} \end{theorem} \begin{proof} \ $$ \mathrm{P}(A) = \mathrm{P}\left(A \cap \sum_{k=1}^{N,\infty} H_k \right) + \mathrm{P}\left(A \cap \left( \sum_{k=1}^{N,\infty} H_k\right)^{\mathbb{C}} \right) $$ Přitom ale platí $$ \mathrm{P}\left(A \cap \left( \sum_{k=1}^{N,\infty} H_k\right)^{\mathbb{C}} \right) \leq \mathrm{P}\left( \left( \sum_{k=1}^{N,\infty} H_k\right)^{\mathbb{C}} \right) = 0 $$ takže $$ \mathrm{P}(A) = \mathrm{P}\left(A \cap \sum_{k=1}^{N,\infty} H_k \right) = \mathrm{P}\left(\sum_{k=1}^{N,\infty} (H_k \cap A) \right) = \sum_{k=1}^{N,\infty} \mathrm{P}(H_k \cap A) = $$ $$ = \sum_{k=1}^{N,\infty} \frac{\mathrm{P}(H_k \cap A)}{\mathrm{P}(H_k)} \mathrm{P}(H_k) = \sum_{k=1}^{N,\infty} \mathrm{P}(A | H_k) \cdot \mathrm{P}(H_k) $$ \end{proof} \begin{theorem}[Věta Bayesova] Buď $ \left( H_n \right)_{n=1}^{\infty} $ úplným rozkladem jevu $ A $, takového, že $ \mathrm{P}(A) > 0 $. Potom platí: \begin{equation} \mathrm{P}(H_j | A) = \frac{\mathrm{P}(A| H_j) \cdot \mathrm{P}(H_j)}{\sum_{k=1}^{N,\infty}\mathrm{P}(A|H_k) \cdot \mathrm{P}(H_k)} \end{equation} \end{theorem} \begin{proof} \ $$ \mathrm{P}(H_j | A) = \frac{\mathrm{P}(H_j \cap A)}{\mathrm{P}(A)} = \frac{\mathrm{P}(A | H_j) \cdot \mathrm{P}(H_j)}{\sum_{k=1}^{N,\infty}\mathrm{P}(A|H_k) \cdot \mathrm{P}(H_k)}$$ \end{proof} \begin{example}[Polyaův zásobníkový model] Uvažujme zásobník, ve kterém máme $ r $ červených a $ s $ bílých kuliček. Provedeme náhodný tah, kuličku do zásobníku vrátíme a přidáme $ c $ kuliček stejné barvy. Určete pravděpodobnost jevu $ A $, že v prvních třech tazích vytáhneme červené kuličky. \end{example} Definujme jevy $ A_1 $, $ A_2 $, $ A_3 $ tak, že jev $ A_i $ znamená tah červené kuličky v $ i $-tém tahu. Hledáme tedy pravděpodobnost jevu $ A = A_1 \cdot A_2 \cdot A_3 $. Podle součinového pravidla tedy platí $$ \mathrm{P}(A) = \mathrm{P}(A_1) \cdot \mathrm{P}(A_2 | A_1) \cdot \mathrm{P}(A_3 | A_1 \cdot A_2) $$ Přitom triviálně platí $$ \mathrm{P}(A_1) = \frac{r}{r+s}$$ $$ \mathrm{P}(A_2 | A_1) = \frac{r+c}{r+s+c} $$ $$ \mathrm{P}(A_3 | A_1 \cdot A_2) = \frac{r+2c}{r+s+2c} $$ a celkem tedy $$ \mathrm{P}(A_1 \cdot A_2 \cdot A_3) = \frac{r(r+c)(r+2c)}{(r+s)(r+s+c)(r+s+2c)} $$ \begin{example} Nechť je vypsáno $ n $ zkouškových termínů, na které jsou dva zkoušející $ X $ a $ Y $. Je známo že $ n_1 $ termínů zkouší $ X $ a $ n - n_1 = n_2 $ zkouší $ Y $. Je také známo, že $ X $ má $ r_1 $ dobrých a $ s_1 $ špatných otázek, zatímco $ Y $ má dobrých $ r_2 $ a $ s_2 $ špatných. Losujeme termíny (tj. zkoušející) a následně i otázky. Jaká je pravděpodobnost, že dostaneme dobrou otázku? \end{example} Jako jev $ A $ označme vytažení dobré otázky. Využijeme větu o úplnosti, přičemž za úplný rozklad jevu $ A $ zvolíme systém $ \{H_1,H_2\} $, kde $ H_1 $ značí jev vytažení zkoušejícího $ X $ a $ H_2 $ značí vytažení zkoušejícího $ Y $. Potom ale triviálně $$ \mathrm{P}(A|H_i) = \frac{r_i}{r_i + s_i} $$ $$ \mathrm{P}(H_i) = \frac{n_i}{n} $$ a dle věty o úplnosti tedy $$ \mathrm{P}(A) = \sum_{k=1}^{2}\mathrm{P}(A | H_i) \cdot \mathrm{P}(H_i) = \frac{r_1 n_1}{(r_1 + s_1)n} \cdot \frac{r_2 n_2}{(r_2 + s_2)n}$$ \begin{example}[Politická úloha] Máme tři politické strany - ODS, ČSSD a JM (Jihočeské Matky), přičemž tyto tři strany si místa na úřadě rozdělily tak, že ODS má $ n_1$ zástupců, ČSSD má $ n_2 $ zástupců a JM mají $ n_3 $ zástupkyň. Přitom víme, že v ODS je $ r_1 $ dobrých a $ b_1 $ špatných politiků, v ČSSD je dobrých politiků $ r_2 $ a špatných $ b_2 $ a v JM je dobrých političek $ r_3 $ a špatných $ b_3 $. Jaká je pravděpodobnost, že pokud zvolíme dobrého politika/političku, bude z ČSSD/ODS/JM? (Odpověď "malá" není dostačující.) \end{example} Uvažujme úplný rozklad jevu $ A $ - volba dobrého politika - takto: $ H_1 $ byl zvolen z ODS, $ H_2 $ byl zvolen z ČSSD, $ H_3 $ byla zvolena z JM. Hledáme tedy $ \mathrm{P}(H_2 | A) $, přičemž všechny podmíněné pravděpodobnosti $ \mathrm{P}(A|H_i) $ známe. Využijeme tedy větu Bayesovu a vyjde nám $$ \mathrm{P}(H_2,A) = \frac{\mathrm{P}(A | H_2) \cdot \mathrm{P}(H_2)}{\sum_{k=1}^{3}\mathrm{P}(A | H_k) \cdot \mathrm{P}(H_k)} = \frac{ \frac{r_1}{r_1 + b_1} \cdot \frac{n_1}{n_1 + n_2 + n_3}}{\frac{r_1}{r_1 + b_1} \cdot \frac{n_1}{n} + \frac{r_2}{r_2 + b_2} \cdot \frac{n_2}{n} \frac{r_3}{r_3 + b_3} \cdot \frac{n_3}{n}} $$ \begin{definition}[Nezávislost jevů] Buď $ \mathcal{C} $ libovolný systém jevů z $ \mathcal{A} $. Potom říkáme že systém jevů $ \mathcal{C} $ je nezávislý (jevy v $ \mathcal{C} $ jsou nezávislé), pokud pro pro každé $ n \in \mathbb{N}$ a pro každou $ n $-tici jevů z $ \mathcal{C} $ platí \begin{equation} \mathrm{P}(A_1 \cdot A_2 \cdots A_n) = \prod_{k=1}^{n}\mathrm{P}(A_k) \end{equation} \end{definition} \begin{theorem} Buďte $ A,B \in \mathcal{A} $ jevy, potom platí: \begin{enumerate} \item Pokud jsou jevy $ A,B $ nezávislé, potom jsou nezávislé i jevy $ A, B^{\mathbb{C}} $. \item Buďte $ A, B$ takové, že $ \mathrm{P}(B) = 0 $. Potom jsou jevy $ A, B $ nezávislé. \item Buďte $ A, B$ takové, že $ \mathrm{P}(B) = 1 $. Potom jsou jevy $ A, B $ nezávislé. \item Buďte $ A, B$ neslučitelné. Potom jsou nezávislé právě když $ \mathrm{P}(A) \cdot \mathrm{P}(B) = 0 $. \item Buď $ \mathrm{P}(B) > 0 $. Potom jsou $ A, B $ nezávislé právě když $ \mathrm{P}(A|B) = \mathrm{P}(A) $. \item Buďte $ A, B$ nezávislé, a nechť $ 1 > \mathrm{P}(B) > 0 $. Potom $ \mathrm{P}(A|B) = \mathrm{P}(A|B^{\mathbb{C}}) $. \end{enumerate} \end{theorem} \begin{proof} \ \begin{enumerate} \item $ \mathrm{P}(A \cdot B^{\mathbb{C}}) = \mathrm{P}(A) - \mathrm{P}(A \cdot B) = \mathrm{P}(A) (1 - \mathrm{P}(B)) = \mathrm{P}(A) \cdot \mathrm{P}(B^{\mathrm{C}})$ kde jsme využili vztahů $$ A = AB + AB^{\mathbb{C}} \Rightarrow \mathrm{P}(A) - \mathrm{P}(AB) = \mathrm{P}(AB^{\mathbb{C}}) $$ $$ \mathrm{P}(A\cdot B) = \mathrm{P}(A) \cdot \mathrm{P}(B) $$ \item Zřejmé, protože $$ \mathrm{P}(AB) \leq \mathrm{P}(B) = 0 \Rightarrow \mathrm{P}(AB) = 0 $$ \item Zřejmé, protože můžeme použít (1) a (2) na jevy $ A, B^{\mathbb{C}} $. \item { \begin{description} \item[$ \Rightarrow $] Buďte $ A,B $ neslučitelné a nezávislé, tj. $ \mathrm{P}(AB) = \mathrm{P}(A) \cdot \mathrm{P}(B) $ a $ \mathrm{P}(A \cdot B) = 0.$ Potom ale zřejmě $ \mathrm{P}(A) \cdot \mathrm{P}(B) = 0 $. \item[$ \Leftarrow $] Nechť jsou $ A,B $ neslučitelné a nechť $ \mathrm{P}(A) \cdot \mathrm{P}(B) = 0 $. Přitom ale $ \mathrm{P}(AB) = 0 $, takže rovnost platí. \end{description} } \item { \begin{description} \item[$ \Rightarrow $] $$ \mathrm{P}(A|B) = \frac{\mathrm{P}(A \cdot B)}{\mathrm{P}(B)} = \frac{\mathrm{P}(A) \cdot \mathrm{P}(B)}{\mathrm{P}(B)} = \mathrm{P}(A) $$ \item[$ \Leftarrow $] $$ \mathrm{P}(A \cdot B) = \mathrm{P}(A|B) \cdot \mathrm{P}(B) = \mathrm{P}(A) \cdot \mathrm{P}(B) $$ \end{description} } \item Stačí využít bodů (1) a (5) z této věty. \end{enumerate} \end{proof} \begin{note} \ \begin{enumerate} \item Vlastnosti neslučitelnost a nezávislost nejsou totožné. Zároveň ani jedna vlastnost neimplikuje druhou. \item Nezávislost nestačí definovat \uv{po dvou,} podmínka \uv{pro všechny $ n $-tice} v definici je velice důležitá. Tato vlastnost je demonstrována v následujícím příkladě. \end{enumerate} \end{note} \begin{example} Mějme prostor elementárních jevů o čtyřech (stejně pravděpodobných) prvcích, tj. $ \Omega = \{\omega_1,\omega_2,\omega_3,\omega_4 \} $, a tři jevy $ A_1 = \{ \omega_1, \omega_2 \}, A_2 = \{ \omega_1, \omega_3\}, A_3 = \{\omega_1,\omega_4 \} $. Tyto jevy jsou "po dvou nezávislé", ale naší definici nezávislosti nevyhovují. Platí sice $$ \mathrm{P}(A_1 A_2) = \mathrm{P}(A_1A_3) = \mathrm{P}(A_2A_3) = \frac{1}{4} $$ $$ \mathrm{P}(A_1) \mathrm{P}(A_2) = \mathrm{P}(A_1) \mathrm{P}(A_3) = \mathrm{P}(A_2) \mathrm{P}(A_3) = \frac{1}{4} $$ Ale $$ \mathrm{P}(A_1 A_2 A_3) = \frac{1}{4} $$ $$ \mathrm{P}(A_1)\mathrm{P}(A_2)\mathrm{P}(A_3) = \frac{1}{8} $$ \end{example} \begin{example}[Pro karbaníky] Uvažujme balíček 52 karet (čtyři barvy po třinácti kartách). Označme jako jev $ A $ vytažení srdcové karty a jako jev $ B $ označme vytažení dámy. Potom $$ \mathrm{P}(A \cdot B) = \mathrm{P}(A) \cdot \mathrm{P}(B) = \frac{13}{52} \cdot \frac{4}{52} = \frac{1}{52} $$ Přidejme do karet jednoho žolíka. Potom ale $$ \mathrm{P}(A \cdot B) = \frac{1}{53} $$ $$ \mathrm{P}(A) \cdot \mathrm{P}(B) = \frac{13}{53} \cdot \frac{4}{53} \neq \frac{1}{53} $$ Poučení z tohoto příkladu tedy zní - nepůjčujte balíček blbečkovi, který vám tam nastrká další karty. \end{example} \subsection{Náhodné veličiny a úvod do teorie míry} \label{RandomValues} V následujícím textu nechť $ \Omega \neq \emptyset $ označuje libovolnou množinu. Následující úvahy nejsou čistě \uv{pravděpodobnostní}, ale zasahují do mnoha oblastí matematiky. \begin{definition}[Minimální $ \sigma $-algebra] Buď $ \mathcal{Z} \subset 2^{\Omega}$ libovolný systém podmnožin možiny $ \Omega $. Buďte $ \mathcal{S}_{\alpha} $ libovolné $ \sigma $-algebry takové, že $ \mathcal{Z} \subset \mathcal{S}_{\alpha} $. Minimální $ \sigma $-algebru nad systémem $ \mathcal{Z} $ definujeme takto $$ \sigma(\mathcal{Z}) = \bigcap_{\alpha}\mathcal{S}_{\alpha} $$ \end{definition} \begin{definition}[Borelovská $ \sigma $-algebra] Buď $ \Omega = \mathbb{R}^n $ a systém $ \mathcal{Z}_n $ volme jako otevřené intervaly, tj. $ \mathcal{Z}_n = \left\{ \times_{k=1}^{n} (a_k,b_k)\ |\ a_k,b_k \in \mathbb{R} \right\} $. Potom minimální $ \sigma $-algebru $ \sigma(\mathcal{Z}_n) $ nazýváme Borelovskou $ \sigma $-algebrou a značíme $ \mathcal{B}_n $. Speciálně pro $ n=1 $ značíme $ \mathcal{B}_1 = \mathcal{B} $. \end{definition} Systém můžeme volit mnoha různými způsoby, pro nás však bude hlavní, zda generuje Borelovskou $ \sigma $-algebru. Z jistého pohledu pro nás budou všechny systémy generující Borelovskou $ \sigma $-algebru ekvivalentní. \begin{definition}[Měřitelný prostor, měřitelná množina] Buď $ \Omega $ libovolná neprázdná množina a $ \mathcal{A} $ nechť je libovolná $ \sigma $-algebra definovaná na $ \Omega $. Potom uspořádanou dvojici $ (\Omega, \mathcal{A}) $ nazýváme měřitelným prostorem. Množiny $ A \in \mathcal{A} $ nazýváme $ \mathcal{A} $-měřitelné. (Pokud je $ \mathcal{A} $ borelovská $ \sigma $-algebra, potom říkáme, že $ A $ je borelovsky měřitelná.) \end{definition} \begin{definition}[Prostor s mírou\footnote{Míra není Mirek!}] Buď $ (\Omega,\mathcal{A}) $ měřitelný prostor a nechť $ \mu : \mathcal{A} \to \mathbb{R}^{+} $ je $ \sigma $-aditivní. Potom $ \mu $ nazýváme mírou na prostoru $ (\Omega,\mathcal{A}) $ a uspořádanou trojici $ (\Omega,\mathcal{A},\mu) $ nazýváme s prostorem s mírou $ \mu $. \end{definition} \begin{note} Pravděpodobnostní prostor $ (\Omega,\mathcal{A},\mathrm{P}) $ je tedy měřitelný prostor s mírou $ \mathrm{P} $. \end{note} \begin{definition}[Měřitelná funkce] Buď $ (\Omega,\mathcal{A}) $ měřitelný prostor a nechť $ f : X \to \mathbb{R} $. Říkáme, že $ f $ je $ \mathcal{A} $-měřitelná právě tehdy, když \begin{equation} \left(\forall B \in \mathcal{B}\right)\left( f^{-1}(B) \in \mathcal{A} \right) \end{equation} tj. pokud vzory borelovských množin jsou měřitelné. Speciálně pokud je $ \mathcal{A} $ borelovská $ \sigma $-algebra, říkáme, že $ f $ je borelovsky měřitelná. \end{definition} \begin{definition}[Náhodná veličina] \label{randval1} Uvažujme měřitelný prostor s mírou $ (\Omega,\mathcal{A},\mathrm{P}) $. Říkáme, že funkce $ X : \Omega \to \mathbb{R} $ je náhodná veličina, pokud \begin{equation} (\forall x \in \mathbb{R})\left( X^{-1}\left((-\infty,x]\right) = \left\{ \omega \in \Omega\ |\ X(\omega) \leq x \right\} \in \mathcal{A} \right) \end{equation} \end{definition} \begin{note} Buď $ X : \Omega \to \mathcal{R} $. \begin{enumerate} \item { Je zřejmé, že pokud je funkce $ X $ (borelovsky) měřitelná, je náhodnou veličinou. V následujících úvahách se budeme zabývat i otázkou, zda je borelovská měřitelnost podmínkou nutnou, tj. zda je $ X $ náhodnou veličinou, právě když je borelovsky měřitelná. } \item { Budeme značit $$ \left\{ \omega \in \Omega\ |\ X(\omega) \leq x \right\} = \left\{X \leq x\right\} $$ $$ \mathrm{P}\left( \left\{ \omega \in \Omega\ |\ X\left(\omega\right) \leq x \right\} \right) = \mathrm{P} \left( X \leq x \right) $$ a obdobně pro další nerovnosti. } \end{enumerate} \end{note} \begin{example} Házejme dvěma kostkami současně. Prostorem elementárních jevů $ \Omega $ je tedy množina všech uspořádaných dvojic $ \Omega = \left\{(1,1),(1,2),(2,1),\dots,(6,6) \right\} $. Jako $ \sigma $-algebru můžeme volit $ 2^{\Omega} = \mathcal{A} $. Tím jsme sestrojili měřitelný prostor $ (\Omega,\mathcal{A}) $, na kterém můžeme definovat například funkci $ X(\omega) = X(i,j) = i + j $. Je funkce $ X $ náhodnou veličinou? \end{example} Můžeme postupovat konstruktivně: $$ \{ X \leq a \} = \emptyset \in \mathcal{A} $$ $$ \{ X \leq 2 \} = \{(1,1)\} \in \mathcal{A} $$ $$ \{ X \leq 3 \} = \{(1,1),(1,2),(2,1)\} \in \mathcal{A} $$ $$ \vdots $$ $$ \{ X \leq 12 \} = \Omega \in \mathcal{A} $$ V podstatě od začátku je však zřejmé, že z $ \mathcal{A} $ nemůžeme \uv{vypadnout}, protože jsme $ \mathcal{A} $ zvolili jako potenční množinu. $ X $ je tedy náhodná veličina. \begin{example}[Indikátor jevu $ A $] \label{indikator} Indikátorem jevu $ A \in \Omega $ nazýváme funkci $ \mathbf{1}_A $ definovanou jako $$ \mathbf{1}_A = \left\{ \matrix{1 &\ & \omega \in A \cr 0&\ & \omega \not \in A} \right. $$ Indikátor jevu $ A $ je náhodná veličina, protože $$ \{ \mathbf{1}_A \leq b \} = \left\{ \matrix{\emptyset &\ & b < 0 \cr A^{\mathbb{C}}&\ & 0 \leq b < 1 \cr A&\ & b \geq 1} \right.$$ \end{example} \begin{definition}[Náhodná veličina II] \label{randval2} Buď $ (\Omega,\mathcal{A}) $ měřitelný prostor a $ X: \Omega \to \mathbb{R}$. Potom říkáme, že $ X $ je náhodná veličina, právě tehdy když je měřitelná, tj. $$ \left(\forall B \in \mathcal{B}\right)\left( X^{-1}(B) \in A)\right) $$ (Pokud je $ \mathcal{A} $ borelovská $ \sigma $-algebra, potom je $ X $ náhodná veličina právě tehdy, když je borelovsky měřitelná.) \end{definition} Nyní vyvstává již zmíněná otázka: Jsou obě definice ekvivalentní? Není například jedna z definic restriktivnější? Je zcela zřejmé, že pokud je $ X $ (borelovsky) měřitelná, potom je to náhodná veličina, otázkou tedy zůstává opačná implikace, tj. implikace \begin{equation} \left(\forall x \in \mathbb{R}\right)\left( \left\{X \leq x \right\} \in \mathcal{A}\right) \Rightarrow \left( \forall B \in \mathcal{B} \right)\left( X^{-1}\left(B\right) \in \mathcal{A} \right) \end{equation} Na tuto otázku nám odpoví následující lemma a věta, která na něj bezprostředně navazuje. \begin{lemma} \label{lemma-equality} Buďte $ \left(\Omega,\mathcal{A}\right) $, $ \left( \mathbb{R}, \mathcal{B} \right) $ měřitelné prostory. Buď $ X : \Omega \to \mathbb{R} $ a nechť $ \emptyset \neq \tau \subset 2^{\mathbb{R}} $ je takový systém podmnožin, že $ \sigma(\tau) = \mathcal{B} $. Potom $ X^{-1}\left(\tau\right) \in \mathcal{A} \Leftrightarrow X^{-1}\left(\mathcal{B}\right) \in \mathcal{A}$, tj. \begin{equation} \left(X^{-1}\left(A\right) \in \mathcal{A}\right)\left( \forall A \in \tau \right) \Leftrightarrow \left(X^{-1}\left(B\right) \in \mathcal{A}\right)\left( \forall B \in \mathcal{B} \right) \end{equation} \end{lemma} \begin{proof} \ \begin{description} \item[$ \Leftarrow $] Množiny z $ \tau $ jsou (dle definice minimální $ \sigma $-algebry) i prvky $ \sigma(\tau) $, takže pokud tvrzení $$ \left(X^{-1}\left(A\right) \in \mathcal{A}\right)\left( \forall A \in \mathcal{B} \right) $$ platí pro množiny $ A \in \mathcal{B} = \sigma(\tau) $, nutně platí i pro množiny z $ \tau $. \item[$ \Rightarrow $] Důkaz opačné implikace bude složitější. Definujme systém $$ \tau' = \left\{ B \subset \mathbb{R}\ |\ X^{-1}\left( B\right) \in \mathcal{A} \right\} $$ Potom ale nutně $ \tau \subset \tau'$. Tvoří $ \tau $ $ \sigma $-algebru? \begin{enumerate} \item Buď $ A \in \tau'$, potom tedy $ A^{\mathbb{C}} \in \tau' $, protože $$ X^{-1}\left(A^{\mathbb{C}}\right) = {\underbrace{\left(X^{-1}\left(A\right)\right)}_{\in \mathcal{A}}}^{\mathbb{C}} \in \mathcal{A} $$ \item Nechť $ \left\{ A_j \right\}_{j=1}^{\infty} \in \tau' $, potom $ \cup_{j=1}^{\infty} A_j \in \tau' $, protože $$ X^{-1}\left( \cup_{j=1}^{\infty} A_j \right) = \cup_{j=1}^{\infty} \underbrace{X^{-1}\left( A_j \right)}_{\in \mathcal{A}} \in \mathcal{A}$$ \item Vlastnost $ \emptyset \in \tau' $ vyplývá přímo z vlastností (1) a (2), protože $ \tau' \neq \emptyset $. \end{enumerate} Víme tedy, že $ \tau' $ je $ \sigma $-algebra, která má navíc tu vlastnost že $ \tau \subset \tau' $. To ale znamená, že $$ \sigma(\tau) = \cap_{\alpha} \mathcal{S}_{\alpha} \subset \tau' $$ přičež ale $ \mathcal{S}_{\alpha} $ byly voleny právě tak, aby $$ \tau \subset \mathcal{S}_{\alpha}$$ Podle předpokladů ale navíc platí $ \sigma(\tau) = \mathcal{B} $. \end{description} \end{proof} \begin{note} Co lemma vlastně říká - pokud vezmu systém množin $ \tau $, který generuje borelovskou $ \sigma $-algebru $ \mathcal{B} $, potom je tento systém s touto $ \sigma $-algebrou v jistém smyslu ekvivalentní. Ekvivalence spočívá právě v tom, že nemusím zkoumat měřitelnost všech $ B \in \mathcal{B} $, ale stačí mi vzít tento systém $ \tau $ a ověřit měřitelnost \uv{pouze} pro množiny z tohoto systému. To je mnohdy podstatně jednodušší. Následující věta uvádí několik příkladů, jak lze takový systém $ \tau $ volit. \end{note} \begin{theorem} \label{systems} Buď $ X : \Omega \to \mathcal{R} $. Potom následující výroky jsou ekvivalentní: \begin{enumerate} \item {$ X $ je náhodná veličina (dle druhé definice)} \item {$ \left( \forall b \in \mathcal{R} \right) \left( \left\{X \leq b \right\} = X^{-1}\left(\left( - \infty, b\right]\right) \in \mathcal{A} \right) $} \item {$ \left( \forall b \in \mathcal{R} \right)\left( \left\{X < b \right\} = X^{-1}\left(\left( - \infty, b\right)\right) \in \mathcal{A} \right) $} \item {$ \left( \forall b \in \mathcal{R} \right)\left( \left\{X \geq b \right\} = X^{-1}\left(\left[b,+\infty\right)\right) \in \mathcal{A} \right) $} \item {$ \left( \forall b \in \mathcal{R} \right)\left( \left\{X > b \right\} = X^{-1}\left(\left(b,+\infty\right)\right) \in \mathcal{A} \right) $} \item {$ \left( \forall a,b \in \mathcal{R} \right)\left( \left\{a < X \leq b \right\} = X^{-1}\left(\left(a,b\right]\right) \in \mathcal{A} \right) $} \item {$ \left( \forall a,b \in \mathcal{R} \right)\left( \left\{a < X < b \right\} = X^{-1}\left(\left(a,b\right)\right) \in \mathcal{A} \right) $} \item {$ \left( \forall \mathcal{U} \subset \mathcal{R},\ \mathcal{U} \textrm{\ otevřená\ } \right)\left( \left\{x \in \mathcal{U} \right\} = X^{-1}\left(\mathcal{U}\right) \in \mathcal{A} \right) $} \end{enumerate} \end{theorem} \begin{proof} \ Nejdříve si uvědomme, že v každém z bodů (2) až (8) tvrzení vystupuje jistý systém množin a o těchto systémech vlastně tvrdíme, že generují borelovskou $ \sigma $-algebru, tj. že $ \sigma(\tau) = \mathcal{B} $. Systémy seřadíme a označíme podle toho, ve kterém tvrzení se vyskytují, takže $$ \tau_{2} = \{(-\infty,b]\ |\ b \in \mathcal{R} \} $$ $$ \tau_{3} = \{(-\infty,b)\ |\ b \in \mathcal{R} \} $$ $$ \tau_{4} = \{[b,+\infty)\ |\ b \in \mathcal{R} \} $$ $$ \tau_{5} = \{(b,+\infty)\ |\ b \in \mathcal{R} \} $$ $$ \tau_{6} = \{(a,b]\ |\ a,b \in \mathcal{R} \} $$ $$ \tau_{7} = \{(a,b)\ |\ a,b \in \mathcal{R} \} $$ $$ \tau_{8} = \{\mathcal{U}\ |\ \mathcal{U} \subset \mathcal{R},\ \mathcal{U} \textrm{ otevřená} \} $$ Nyní si uvědomme, že přímo z definice \ref{randval2} plyne ekvivalence $ (1) \Leftrightarrow (7) $, protože právě systém $ \tau_7 $ byl použit za základ definice Borelovské $ \sigma $-algebry $ \mathcal{B} $. Tohoto faktu budeme v důkazu často využívat. Dokažme nejdříve implikaci $ (7) \Leftrightarrow (8) $, tj. s využitím faktu uvedeného výše chceme ukázat, že $$ \sigma(\tau_{8}) = \mathcal{B} = \sigma(\tau_7) $$ \begin{description} \item[$ \sigma(\tau_8) \subset \sigma(\tau_7) $] { Nejdříve se podívejme na inkluzi $ \sigma(\tau_8) \subset \sigma(\tau_7) $. Buď $ \mathcal{U} \subset \mathcal{R}$ libovolná otevřená. Potom ale nutně $ \mathcal{U} = \cup_{i=1}^{N,\infty}(a_i,b_i) $ (sjednocení nejvýše spočetného počtu intervalů), takže nutně $ \mathcal{U} \in \sigma(\tau_7) $, a tedy také $ \sigma(\tau_8) \subset \sigma(\tau_7) $. } \item[$ \sigma(\tau_7) \subset \sigma(\tau_8) $] { Tato inkluze je ale primitivní, protože z toho že $ \mathcal{U} \in \sigma{\tau_7} $ primitivně vyplývá, že $ \mathcal{U} \in \sigma{\tau_8} $ } \end{description} Tím jsme tedy dokázali, že systém $ \tau_7 $ má vlastnost $ \sigma(\tau_7) = \mathcal{B} = \sigma(\tau_8) $. Nyní dokažme ekvivalenci $ (1) \Leftrightarrow (5) $. Stejně jako v předchozím případě chceme ukázat, že $ \sigma(\tau_5) = \mathcal{B} $. Vezměme si intervaly typu $ (a,b + n) $ kde $ n \in \mathbb{N} $. Tyto intervaly jsou jistě z $ \mathcal{B} $, a tedy i jejich spočetné sjednocení $$ (a,+\infty) = \cup_{n=1}^{\infty} (a,b+n) $$ je také z $ \mathcal{B} $, a to díky vlastnostem $ \mathcal{B} $ jako $ \sigma $-algebry. Takže $ \sigma(\tau_5) \subset \mathcal{B} $. Buď nyní $ (a,b) \in \mathcal{B} $, a vyjádřeme ho jako $$ (a,b) = \cup_{n=1}^{\infty}(a,b_n],\textrm{ kde } b_n \nearrow b $$ Potom tedy $$ (a,b) = \cup_{n=1}^{\infty} \big( \underbrace{(a,+\infty)}_{\in \tau_5} \cap \underbrace{(b_n,+\infty)^{\mathbb{C}}}_{\in tau_5}\big) \Rightarrow (a,b) \in \sigma(\tau_5) $$ Nutně tedy musí platit $ \mathcal{B} \subset \sigma(\tau_5) $. Dokažme nyní ještě ekvivavelci $ (1) \Leftrightarrow (2) $. Půjdeme na to fintou - dokážeme to přes $ (5) $. Uvědomme si totiž, že $$ \left( \forall b \in \mathcal{B} \right) \left( (-\infty,b) = (b,+\infty)^{\mathbb{C}} \right)$$ a tudíž primitivně platí $ \sigma(\tau_5) = \sigma(\tau_2) $. Ostatní ekvivalence se dokazují až na drobné změny stejně, jako bylo právě naznačeno. \end{proof} \begin{theorem} Buďte $ X,Y $ náhodné veličiny na měřitelném prostoru $ (\Omega,\mathcal{A}) $. Potom platí \begin{enumerate} \item $ K \cdot X $ je náhodná veličina ($ K $ je konstanta) \item $ X + Y $ je náhodná veličina \item $ X^2 $ je náhodná veličina \item $ X \cdot Y $ je náhodná veličina \item $ X / Y $ je náhodná veličina (pokud $ \{\omega\ |\ Y(\omega) = 0 \} = \emptyset $) \item $ \max\{X,Y\} $ a $ \min\{X,Y\} $ jsou náhodné veličiny \item $ g(X) $ je náhodná veličina na $ (\Omega,\mathcal{A}) $, pokud $ g : \mathcal{R} \to \mathcal{R} $ je borelovsky měřitelná \item $ \sup_{i \in \mathbb{N}}\{X_i\}$ a $ \inf_{i \in \mathbb{N}}\{X_i\}$ (kde $ X_i $ jsou náhodné veličiny) jsou náhodné veličiny (ale pouze spočetný typ infima a suprema!) \item $ X = \lim_{n \to \infty} X_n $ je náhodná veličina \end{enumerate} \end{theorem} \begin{proof} \ V souladu s předchozí větou nám stačí dokázat, že jsou borelovsky uvedené veličiny měřitelné. \begin{enumerate} \item { Buď $ X $ náhodná veličina, potom $ KX $ je náhodná veličina, právě když $ \{KX \leq b \} \in \mathcal{A} $, tj. pokud $$ \matrix{K > 0 & \left\{ X \leq \frac{b}{K}\right\} \in \mathcal{A} \cr K < 0 & \left\{ X \geq \frac{b}{K}\right\} \in \mathcal{A} \cr K = 0, b \geq 0 & \left\{ 0 \geq b\right\} = \Omega \cr K = 0,b<0 & \left\{ 0 \geq b \right\} = \emptyset } $$ Přitom ale první dvě tvrzení platí díky předchozí větě a druhá dvě tvrzení vyplývají přímo z vlastnosti $ \sigma $-algebry. Tím je celé toto tvrzení dokázáno. } \item { $ X + Y $ je náhodná veličina, pokud $ A = \{\omega\ |\ X(\omega) + Y(\omega) < b \} \in \mathcal{A} $ pro každé $ b \in \mathcal{R} $. Tvrdíme, že $$ A = \cup_{r \in \mathbb{Q}} \left( \{X \leq r\} \cap \{Y \leq b - r\} \right) $$ a celé tvrzení dokážeme pro takto definovanou množinu $ A $. Platí ale uvedená rovnost? Zcela jistě platí inkluze $ \cup_{r \in \mathbb{Q}} \left(\dots\right) \subset A $, ale co opačná inkluze? Nechť tedy $ \omega \in A $, potom $ X + Y < b $, a tedy $ X < b - Y $. Existuje tedy $ r \in \mathbb{Q} $ takové, že $$ X \leq r \leq b - Y $$ a tedy $ X \leq r $ a $ Y \leq b - r $, takže $ \omega \in \cup_{r \in \mathbb{Q}} \left( \dots \right) $. Nyní se ještě podívejme na to, zda $ A \in \mathcal{A} $ pro každé $ b $. To je však zřejmé z vlastnosti $ \sigma $-algebry (konkrétně uzavřenosti vzhledem k nejvýše spočetným průnikům a sjednocením), protože $$ A = \cup_{r \in \mathbb{Q}} \big( \underbrace{\{X \leq r\}}_{\in \mathcal{A}} \cap \underbrace{\{Y \leq b - r\}}_{\in \mathcal{A}} \big) $$ takže tvrzení zřejmě platí. } \item {Buď $ X $ náhodná veličina. Potom $ X^2 $ je náhodná veličina, právě když pro každé $ b \in \mathcal{R} $ platí $$ \{X^2 \leq b \} \in \mathcal{A} $$ Přitom ale $$ X^2 = \left\{\matrix{ \emptyset & c < 0 \cr \{- \sqrt{c} \leq X \leq \sqrt{c}\} & c \geq 0 }\right. $$ Zřejmě však $ \emptyset \in \mathcal{A} $ ($ \mathcal{A} $ je $ \sigma $-algebra) a také $ \{- \sqrt{c} \leq X \leq \sqrt{c}\} \in \mathcal{A} $, a to díky větě \ref{lemma-equality}. ($ X $ je náhodná veličina). } \item { Triviálně platí, že $$ XY = \frac{1}{4}\left[ (X + Y)^2 - (X - Y)^2 \right] $$ Díky předchozím třem tvrzením je tedy zřejmě $ XY $ náhodná veličina. } \item { Maximum je náhodná veličina, protože $$ \left\{\max\{X,Y\} \leq b\right\} = \underbrace{\{X \leq b\}}_{\in \mathcal{A}} \cup \underbrace{\{Y \leq b\}}_{\in \mathcal{A}} $$ Minimum je náhodná veličina, protože $$ \left\{\min\{X,Y\} \leq b\right\} = \underbrace{\{X \leq b\}}_{\in \mathcal{A}} \cap \underbrace{\{Y \leq b\}}_{\in \mathcal{A}} $$ } \item { Buďte $ X,Y $ náhodné veličiny, $ \{X = 0\} = \emptyset $. Potom $$ \left\{ \frac{X}{Y} \leq b \right\} = \left\{ \frac{X}{Y} \leq b \right\} \cap \left\{ Y < 0\right\} + \left\{ \frac{X}{Y} \leq b \right\} \cap \left\{ Y > 0\right\} = $$ $$ = \underbrace{\left\{ X - bY \leq 0 \right\}}_{\in \mathcal{A}} \cap \underbrace{\left\{ Y < 0\right\}}_{\in \mathcal{A}} + \underbrace{\left\{ X - bY \geq 0 \right\}}_{\in \mathcal{A}} \cap \underbrace{\left\{ Y < 0\right\}}_{\in \mathcal{A}} $$ } \item { Zřejmé. } \item { Důkaz pro infimum a supremum je pouze modifikací $ \inf $ a $ \sup $. Operace sjednocení a průnik totiž mohu provádět spočetně. } \end{enumerate} \end{proof} \begin{example}[Identifikátor jevu] Buď $ A $ jev a $ \mathbf{1}_A $ jeho identifikátor. Potom $ \mathbf{1}_A $ má následující vlastnosti \begin{enumerate} \item $ \left( \mathbf{1}_A \right)^2 = \mathbf{1}_A $ \item $ \mathbf{1}_{A^{\mathbb{C}}} = 1 - \mathbf{1}_A $ \item $ \mathbf{1}_{A \cap B} = \mathbf{1}_A \cdot \mathbf{1}_B $ \item $ \mathbf{1}_{A \cup B} = \max\{\mathbf{1}_A,\mathbf{1}_B\} $ \item $ \mathbf{1}_{A + B} = \mathbf{1}_A + \mathbf{1}_B $ \end{enumerate} \end{example} \begin{definition}[Distribuční funkce] Buď $ X $ náhodná veličina. Potom funkci $ \mathrm{F}_X : \mathcal{R} \to [0,1] $, definovanou na $ \mathcal{R} $ předpisem \begin{equation} \mathrm{F}_X (x) = \mathrm{P}(X \leq x) \end{equation} nazýváme \textbf{distribuční funkcí.} \end{definition} \begin{example} Házejme dvěma kostkami. Potom $ \Omega = \left\{ (i,j) : i,j \in \hat{6} \right\} $. Můžeme tedy zvolit $ \mathcal{A} = 2^{\Omega} $. Uvažujme náhodnou veličinu $ X\left((i,j)\right) = i + j $. Potom tedy $ \mathrm{P}\left( (i,j) \right) = \frac{1}{36} $ pro všechna $ i,j \in \hat{6} $, a tedy $ \mathrm{P} : \mathcal{A} \to \mathbb{R} $. Definujme tedy $ \mathrm{P}(A) = \sum_{(i,j) \in A}\mathrm{P}(i,j) $. Dle předchozí definice tedy $ \mathrm{F}_X(x) = \mathrm{P}\left(\{X(i,j) \leq x \}\right) $, takže $$ \matrix{x < 2 & \mathrm{F}_X (x) = \mathrm{P}(\emptyset) = 0 \cr x \in [2,3) & \mathrm{F}_X(x) = \mathrm{P}\left(\{(1,1)\}\right) = \frac{1}{36} \cr x \in [3,4) & \mathrm{F}_X(x) = \mathrm{P}\left(\{(1,1),(1,2),(2,1)\}\right) = \frac{3}{36} \cr \vdots & \cr x \in [11,12) & \mathrm{F}_X(x) = \mathrm{P}\left(\Omega \setminus \{(6,6)\}\right) = \frac{35}{36} \cr x \geq 12 & \mathrm{F}_X(x) = \mathrm{P}\left(\Omega\right) = 1 } $$ \end{example} \begin{theorem} Buď $ X $ náhodná veličina a $ \mathrm{F}_X $ její distribuční funkce. Potom \begin{enumerate} \item $ \mathrm{F}_X $ je neklesající \item $ \lim_{x \to +\infty}\mathrm{F}_X(x) = 1 $ \item $ \lim_{x \to -\infty}\mathrm{F}_X(x) = 0 $ \item $ \mathrm{F}_X $ je spojitá zprava \end{enumerate} \end{theorem} \begin{proof} \ \begin{enumerate} \item {Buďte $ x_1 \leq x_2 $. Chceme dokázat, že potom $ \mathrm{F}_X(x_1) \leq \mathrm{F}_X(x_2)$. Platí $$ x_1 \leq x_2 \Rightarrow \{ X \leq x_1 \} \subset \{ X \leq x_2 \} $$ a díky monotonii pravděpodobnosti platí $ P\left(\{X \leq x_1 \} \right) \leq P\left(\{X \leq x_2 \} \right) $, odkud již tvrzení primitivně plyne. } \item { Platí $$ \lim_{x \to +\infty}\mathrm{F}_X(x) = \lim_{x \to +\infty} \mathrm{P}\left( X \leq x \right) $$ Nyní si musíme uvědomit, že tato limita existuje (ze spojitosti pravděpodobnosti), takže dle věty Heineovy můžeme vzít libovolnou podposloupnost $ x_n $ takovou, že $ \lim_{n\to\infty}x_n = +\infty $, a dostaneme stejnou limitu. Vezměme například $ x_n = n $ (kvůli názornosti). Potom tedy platí $$ \lim_{x \to +\infty} \mathrm{P}\left( X \leq x \right) = \lim_{n \to +\infty} \mathrm{P}\left( X \leq n \right) $$ Pokud si nyní označíme $ A_n = \{ X \leq n \} $, potom zřejmě platí $ A_n \nearrow A = \cup_{n=1}^{+\infty} A_n$, a dle věty o spojistosti pravděpodobnosti tedy platí $$ \lim_{n \to +\infty} \mathrm{P}\left( X \leq n \right) = \lim_{n \to +\infty} \mathrm{P}\left(\cup_{n=1}^{\infty}A_n\right) $$ Ale zřejmě $ A = \Omega $, takže $ \mathrm{P}(A) = 1 $ a tvrzení platí. } \item { Princip důkazu je zcela stejný jako v předchozím případě. Stačí pouze zvolit jako vybranou posloupnost $ x_n = -n $, $ A_n = \{X \leq -n \} $ a $A = \cap_{n=1}^{\infty}A_n $ } \item { Chceme vlastně dokázat, že $ \lim_{x \to a+} \mathrm{F}_X(x) = \mathrm{F}_X(a) $. Platí $$ \lim_{x \to a+} \mathrm{F}_X(x) = \left| \textrm{Heine} \right| = \lim_{n \to \infty} \mathrm{F}_X\left(a + \frac{1}{2^n}\right) = \lim_{n \to \infty}\mathrm{P}\left(X \leq a + \frac{1}{2^n} \right) $$ Množiny $ A_n = \{ X \leq a + \frac{1}{2^n} \} $ zřejmě tvoří klesající systém, pro který $ A_n \searrow A = \cap_{n=1}^{\infty} A_n = X^{-1}\left(-\infty,a\right] $, takže $$ \lim_{n \to \infty}\mathrm{P}\left(X \leq a + \frac{1}{2^n} \right) = \mathrm{P}\left( X \leq a \right)$$ a to je dle definice $ \mathrm{F}_X(a) $. Tím je tvrzení dokázáno. } \end{enumerate} \end{proof} \begin{note} \begin{enumerate} \item { Distribuční funkce není spojitá zleva, protože například pro systém $$ B_n = \left\{ X \leq a - \frac{1}{2^n} \right\} $$ tj. $ B_n \nearrow B $, platí $$ B = \cup_{n=1}^{\infty} B_n = (-\infty,a) \neq (-\infty,a] $$ } \item { Pokud bychom distribuční funkci definovali jako $ \mathrm{F}_X(x) = \mathrm{P}(X < x) $, potom by byla spojitá zleva. Platilo by totiž $$ \mathrm{P}(X < a) = \mathrm{P}\left(\cup_{n=1}^{\infty} \left\{X \leq a - \frac{1}{2^n} \right\}\right) = \lim_{n \to \infty}\mathrm{P}\left(X \leq x - \frac{1}{2^n}\right) = $$ $$ = \lim_{n \to \infty} \mathrm{F}_X\left(a - \frac{1}{2^n}\right) = \mathrm{F}_X(a) $$ Tuto limitu budeme značit $ \mathrm{F}_X(a - 0) $. } \end{enumerate} \end{note} \begin{note} Pro $ a < b $ platí \begin{enumerate} \item $ \mathrm{P}(a < X \leq b) = \mathrm{P}(X \leq b) - \mathrm{P}(X \leq a) = \mathrm{F}_X(b) - \mathrm{F}_X(a) $ \item $ \mathrm{P}(a < X < b) = \mathrm{P}(X < b) - \mathrm{P}(X \leq a) = \mathrm{F}_X(b-0) - \mathrm{F}_X(a) $ \item $ \mathrm{P}(a \leq X < b) = \mathrm{P}(X < b) - \mathrm{P}(X < a) = \mathrm{F}_X(b-0) - \mathrm{F}_X(a-0) $ \item $ \mathrm{P}(X = a) = \mathrm{P}(X \leq a) - \mathrm{P}(X < a) = \mathrm{F}_X(a) - \mathrm{F}_X(a-) $ \end{enumerate} \end{note} \begin{definition}[Sdružená distribuční funkce] Buďte $ \mathbf{X} = X_1,\dots,X_n $ náhodné veličiny na prostoru $ (\Omega,\mathcal{A}) $. Potom definujeme \textbf{sdruženou} (vícerozměrnou) {distribuční funkci} předpisem \begin{equation} \mathrm{F}_{\mathbf{X}}(x) = \mathrm{P} \left( \cap_{i=1}^{n} \left\{ X_i \leq x_i \right\} \right) \textrm{ pro } \forall x \in \mathbb{R}^n \end{equation} \end{definition} \begin{note} Někdy také píšeme $$ \mathrm{F}_{\mathbf{X}}(x) = \cap_{i=1}^{n} \mathrm{P}\left(X^{-1} (-\infty,x_i]\right) = \mathrm{P}\left( X_1 \leq x_1, X_2 \leq x_2, \dots, X_n \leq x_n \right) $$ \end{note} \begin{theorem} Buďte $ \mathbf{X} = X_1,\dots,X_n $ náhodné veličiny a $ \mathrm{F}_{\mathbb{X}} $ nechť je jejich sdružená distribuční funkce. Potom \begin{enumerate} \item { $ \mathrm{F}_{\mathbf{X}} $ je neklesající v každé proměnné, tj. $$ \left( \forall i \in \widehat{m} \right)\left( x_i \leq \tilde{x}_i \right)\left( \mathrm{F}_{\mathbf{X}}(x) \leq \mathrm{F}_{\mathbf{X}}(\tilde{x}) \right) $$ } \item { Pro každé $ k \in \widehat{m} $ platí $$ \lim_{x_k \to +\infty} \mathrm{F}_{\mathbf{X}}(x) = \mathrm{F}_{X_1,\dots,X_{i-1},X_{i+1},\dots,X_n}(x_1,\dots,x_{k-1},x_{k+1},\dots,x_n) $$ } \item { Pro každé $ k \in \widehat{m} $ platí $$ \lim_{x_k \to -\infty} \mathrm{F}_{\mathbf{X}}(x) = 0 $$ } \item { $ \mathrm{F}_{\mathbf{X}} $ je zprava spojitá v každé proměnné. } \item { $$ \lim_{\matrix{x_1 \to +\infty \cr \vdots \cr x_n \to +\infty}} \mathrm{F}_{\mathbf{X}} (x) = 1 $$ } \end{enumerate} \end{theorem} \begin{proof} \ Důkaz stačí provést pouze pro $ m = 2 $ a stejný princip lze použít i pro $ m > 2 $. Označme tedy $ X_1 = X$ a $ X_2 = Y $, potom tedy \begin{enumerate} \item { Monotonie je zřejmá, protože necht $ x \leq \tilde{x}, y \leq \tilde{y} $. Potom $$ \mathrm{F}_{X,Y}(x,y) = \mathrm{P}(\{X \leq x\} \cap \{Y \leq y\}) $$ a protože platí $ \{X \leq x\} \subset \{X \leq \tilde{x}\} $ a $ \{Y \leq y\} \subset \{Y \leq \tilde{y}\} $, potom $$ \mathrm{P}(\{X \leq x\} \cap \{Y \leq y\}) \leq \mathrm{P}(\{X \leq \tilde{x}\} \cap \{Y \leq \tilde{y}\}) = \mathrm{F}_{X,Y} (\tilde{x},\tilde{y}) $$ } \item { Z věty o spojitosti pravděpodobnosti víme, že limita existuje, a můžeme tedy pracovat s libovolnou posloupností vybranou. Vyberme tedy $ x_n = n $, potom dle věty o spojitosti pravděpodobnosti $$ \lim_{x \to +\infty}\mathrm{F}_{X,Y}(x,y) = \lim_{n \to +\infty} \mathrm{F}_{X,Y}(n,y) = \lim_{n \to \infty} \mathrm{P} \left( \{ X \leq n \} \cap \{ Y \leq y\} \right) = $$ $$ = \mathrm{P} \left(\cup_{n=1}^{\infty} \left( \{X \leq n\} \cap \{Y \leq y \} \right) \right) = \mathrm{P}\left( \left( \cup_{n=1}^{\infty} \{X \leq n \} \right) \cap \{Y \leq y\} \right) = $$ $$ = \mathrm{P}\left( Y \leq y \right) = \mathrm{F}_Y(y)$$ } \item { Důkaz je prostou obměnou předchozího. Místo $ x_n = n $ stačí vzít $ x_n = -n $. } \item { $$ \lim_{x \to a+} \mathrm{F}_{X,Y}(x,y) = \lim_{n \to \infty}\mathrm{F}_{X,Y}\left(a + \frac{1}{2^n},y\right) = $$ $$= \left\{ \textrm{ věta o spojitosti pravděpodobnosti }\right\} = \mathrm{F}_{X,Y}(a,y) $$ } \item { Pokud bychom to chtěli dokazovat přes postupné limity, tj. například přes $$ \lim_{{x \to \infty \atop y \to \infty}} \mathrm{F}_{X,Y}(x,y) = \lim_{x\to\infty} \lim_{y\to\infty}\mathrm{F}_{X,Y}(x,y) $$ museli bychom dokázat že limita vůbec existuje, což není nejjednodušší. Lepší bude jít na to přes vztah $$ \left( \forall \varepsilon > 0 \right)\left( \exists K \right)\left( \forall x,y > K\right)\left( |\mathrm{F}(x,y) - 1 | < \varepsilon \right) $$ } \end{enumerate} \end{proof} \begin{note} Zavádíme označení \begin{enumerate} \item { $$ \lim_{x \to +\infty} \mathrm{F}_{X,Y}(x,y) = \mathrm{F}_{X,Y}(\infty,y) = \mathrm{F}_Y(y) $$ } \item { $$ \mathrm{F}_{\mathbf{X}} (\infty,\dots,\infty,x_j,\infty,\dots,\infty) = \mathrm{F}_{X_j} (x_j) $$ } \end{enumerate} \end{note} \begin{note} Necht $ \mathrm{F} : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ splňuje vlastnosti (1) až (4), nebo (a) až (e). Potom existuje taková náhodná veličina $ X $ pravděpodobnostního prostoru, že $ \mathrm{F}_X = \mathrm{F} $. \end{note} \begin{theorem} Budte $ X_1, X_2 $ náhodné veličiny. Potom platí \begin{eqnarray} \mathrm{P}\left( a_1 < X_1 \leq b_1, a_2 < X_2 \leq b_2 \right) = \mathrm{F}_{X_1,X_2} (b_1,b_2) - \cr - \mathrm{F}_{X_1,X_2} (b_1,a_2) - \mathrm{F}_{X_1,X_2} (a_1,b_2) + \mathrm{F}_{X_1,X_2} (a_1,a_2) \end{eqnarray} \end{theorem} \begin{proof} \ Označme $$ A = \{ a_1 < X_1 \leq b_1, X_2 \leq b_2 \} $$ $$ B = \{ a_2 < X_2 \leq b_2, X_1 \leq b_1 \} $$ Chceme zjistit $ \mathrm{P}(A \cap B) $, a to je $$ \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B) - \mathrm{P}(A \cup B) = \underbrace{\mathrm{P}(X_1 \leq b_1, X_2 \leq b_2) - \mathrm{P}(a_1,b_2)}_{\mathrm{P}(A)} + $$ $$ + \underbrace{\mathrm{P}(b_1,b_2) - \mathrm{P}(b_1,a_2)}_{\mathrm{P}(B)} - \underbrace{\mathrm{P}(b_1,b_2) - \mathrm{P}(a_1,a_2)}_{\mathrm{P}(A \cup B)} = $$ $$ = \mathrm{P}(b_1,b_2) - \mathrm{P}(a_1,b_2) - \mathrm{P}(b_1,a_2) + \mathrm{P}(a_1,a_2) $$ \end{proof} \begin{example}[Měřenní rovinného obrazce] Měřme rovinný obrazec a uvažujme dvě náhodné veličiny - $ X $ jako šířku a $ Y $ jako délku. Potom má smysl ptát se na pravděpodobnost $ \mathrm{P}\left( 20 < X \leq 30, Y \leq 50 \right) $. \end{example} \begin{definition}[Stochastická nezávislost] \label{stochdef} Říkáme, že náhodné veličiny $ X_1, X_2, \dots, X_n, \dots $ jsou \textbf{stochasticky nezávislé}, právě když \begin{equation} \left( \forall {\left( B_j \right)}_{j=1}^{N,\infty} \in \mathcal{B} \right)\left( \textrm{ jsou jevy } \left\{X_1 \in B_1\right\}, \dots, \left\{X_n \in B_n \right\},\dots \textrm{ nezávislé}\right) \end{equation} tj. pokud pro každou konečnou $ k $-tici jevů platí $$ \mathrm{P}\left( \cap_{j=1}^{k} \{ X_{i_j} \in B_{i_j} \} \right) = \prod_{j=1}^{k} \mathrm{P}\left( \{ X_{i_j} \in B_{i_j} \} \right) $$ \end{definition} V předchozí definici jsou využívány borelovské množiny, ale vyvstává otázka, zda není možné využít nějaký jiný systém množin? Jak uvidíme z následující věty (a jejích důsledků), možné to je. Podobně jako v případě alternativní definice náhodné veličiny je možné Borelovskou $ \sigma $-algebru zaměnit za libovolný systém generující Borelovskou $ \sigma $-algebru $ \mathcal{B} $. \begin{theorem}[Monotonne class theorem] Buď $ \tau \subset 2^{\Omega} $ takový, že $ \Omega \in \tau $, uzavřený na konečné průniky. Buď $ \mathcal{B} $ je nejmenší systém množin obsahující $ \tau $, uzavřený na limitu zdola (tj. $ A_i \in \mathcal{B} $, $ A_1 \subset \dots \subset A_n \subset \dots \Rightarrow \cup_{j=1}^{\infty} A_j \in \mathcal{B} $) a na rozdíly (tj. $ A \subset B \in \mathcal{B} \Rightarrow B \setminus A \in \mathcal{A} $). Potom $ \sigma(\tau) = \mathcal{B} $ \end{theorem} \begin{theorem}[Důsledek MCT] Systém $ \mathcal{B} $ z definice stochastické nezávislosti lze ekvivalentně zaměnit za libovolný systém $ \tau \subset 2^{\mathbb{R}} $ takový, že $ \mathbb{R} \in \tau $ a $ \tau $ je uzavřený vzhledem ke konečným průnikům a $ \sigma(\tau) = \mathcal{B} $. Za uvedených předpokladů tedy platí: $$ \left( \forall B_j \in \mathcal{B} \textrm{ jsou } \left\{X_i \in B_i \right\} \textrm{ nezávislé} \right) \Leftrightarrow \left( \forall A_j \in \tau \textrm{ jsou } \left\{ X_i \in A_i \right\} \textrm{ nezávislé} \right) $$ \end{theorem} \begin{proof} \ \begin{description} \item[$ \Rightarrow $] { Nechť jsou pro všechny borelovské množiny $ B_i $ jevy $ \{X_i \in B_i \} $ nezávislé. Protože ale podle předpokladu platí $ \tau \subset \mathcal{B} $, potom tvrzení evidentně platí i pro všechny $ A_i \in \tau $. } \item[$ \Leftarrow $ ] { Nechť nyní pro všechny množiny $ A_i \in \tau $ jsou jevy $ \{X_i \in A_i \} $ nezávislé. Zvolme nyní $ B \in \mathcal{B} $ libovolně pevně a definujme $$ C = \left\{ B_1 \in \mathcal{B}\ |\ \mathrm{P}\left( X_1 \in B_1, X_2 \in B \right) = \mathrm{P}\left( X_1 \in B_1 \right)\mathrm{P}\left( X_2 \in B \right) \right\} $$ \begin{enumerate} \item { $ \mathcal{R} \in C $, protože $ \mathcal{R} \in \tau $ a pro všechna $ A_j \tau $ platí $$ \mathrm{P}\left( A_j \cap A_k\right) = \mathrm{P}\left( A_j \right) \mathrm{P}\left( A_k \right) $$ } \item { $ B_1 \subset B_2 \in C \Rightarrow B_2 \setminus B_1 \in C $, protože $$ \mathrm{P}\left(X_1 \in B_2 \setminus B_1, X_2 \in B \right) = \mathrm{P}\left( X_1 \in B_2, X_2 \in B \right) - $$ $$ - \mathrm{P}\left( X_1 \in B_1, X_2 \in B\right) = \mathrm{P}\left( X_2 \in B \right) \left( \mathrm{P}\left( X_1 \in B_2 \right) - \mathrm{P}\left( X_1 \in B_1 \right)\right) $$ } \item { $ B_j \in C, B_j \nearrow \tilde{B} \Rightarrow \tilde{B} \in C $, protože $$ \mathrm{P}\left( X_1 \in \tilde{B}, X_2 \in B \right) = \mathrm{P}\left( X_1 \in \cup_{j=1}^{\infty} B_j , X_2 \in B \right) = $$ $$= \mathrm{P}\left( X_1 \in \sum_{j=0}^{\infty}\left(B_{j+1} - B_{j}\right), X_2 \in B \right) \footnote{ $ B_0 = \emptyset $ } = $$ $$ = \sum_{j=0}^{\infty} \mathrm{P}\left( X_1 \in \left( B_{j+1} - B_j \right),X_2 \in B \right) = $$ $$ = \mathrm{P}\left( X_2 \in B \right) \sum_{j=0}^{\infty} \mathrm{P}\left( X_1 \in \left( B_{j+1} - B_j \right) \right) = $$ $$ = \mathrm{P}\left( X_1 \in \tilde{B} \right) \mathrm{P}\left( X_2 \in B \right) $$ } \end{enumerate} } Z předpokladů víme tedy, že $ \tau \subset \mathcal{B} $, $ \mathcal{R} \in \tau $ a že $ \tau $ je uzavřený na konečné průniky (z předpokladů). Systém $ C $ je uzavřený na rozdíly a limity zdola (a jedná se tedy o systém $ \mathcal{B} $ z MCT, resp. $ \sigma(\tau) \subset C $, protože nemáme zaručeno že je to nejmenší systém s danými vlastnosti. Ale protože my jsme tyto vlastnosti chtěli ověřit pro systém $ \mathcal{B} = \sigma(\tau) $, je tato implikace (a tím i celý důkaz) ukončena. \end{description} \end{proof} Nemusíme tedy složitě hledat $ \sigma(\tau) $, resp. $ \mathcal{B} $ a složitě ověřovat nezávislost v tak obecném případě, ale stačí nám zvolit si vhodný systém uzavřený na konečné průniky, pro který $ \Omega \in \tau $ a $ \sigma(\tau) = \mathcal{B} $ a ověřit celý problém nezávislosti na něm. Dle věty \ref{systems} můžeme volit různé systémy. Pokud zvolíme například $ \tau = \{ (a,b]\ |\ a,b \in \mathbb{R} \} $, můžeme definici stochastické nezávislosti \ref{stochdef} předefinovat následujícím způsobem: \begin{definition} Buďte $\mathbf{X} = X_1,\dots,X_n $ náhodné veličiny. Potom říkáme, že $ X_1,\dots,X_n $ jsou stochasticky nezávislé, právě když pro $ \forall \left( a_i, b_i \in \mathbb{R} \right)\left( \forall i \in \widehat{m} \right) $ platí, že $ \{a_i < X_i \leq b_i \} $ jsou nezávislé jevy. \end{definition} \begin{theorem} Náhodné veličiny $ X_1,\dots,X_n $ jsou stochasticky nezávislé právě tehdy, když \begin{equation} \mathrm{F}_{\mathbf{X}}(x) = \prod_{j=1}^{n} \mathrm{F}_{\mathbf{X}} (x_j)\ \ \ \ \forall x_j \in \mathrm{R} \end{equation} \end{theorem} \begin{proof} \ \begin{description} \item[$ \Leftarrow $] { Nechť jsou náhodné veličiny stochasticky nezávislé. Zvolme si vhodně systém $ \tau $. Nejlepší bude $ \tau = \{(-\infty,a]\ |\ a \in \mathcal{R} \} $, protože přes množiny $ (-\infty,a] $ je definována distribuční funkce, totiž $$ \mathrm{F}_{X}(a) = \mathrm{P}\left( \{ X \leq a \} \right) = \mathrm{P}\left( \{\omega\ |\ X(\omega) \in (-\infty,a] \} \right) $$ Zároveň ale $ \sigma(\tau) = \mathcal{B} $, takže $ \left( \forall A_j \in \tau \right)\left(A_j = (-\infty,a_j] \right) $ platí $$ \prod_{j=1}^{\infty} \mathrm{F}_{X_j}(a_j) = \prod_{j=1}^{n} \mathrm{P} \left( \left\{ X_j \in (-\infty,a_j] \right\} \right) = \mathrm{P} \left( \cap_{j=1}^{n} \left\{ X_j \in (-\infty,a_j]\right\}\right) = \mathrm{F}_{\mathbf{X}}(\mathbf{a}) $$ a to pro libovolnou volbu $ a_j \in \mathbb{R} $, $ j \in \widehat{n} $. } \item[$ \Rightarrow $] { Nechť $$ \prod_{j=1}^{n} \mathrm{F}_{X_j}(x_j) = \prod_{j=1}^{n} \mathrm{P}\left( X_j \leq x_j \right) \mathrm{P} \left( \cap_{j=1}^{n} \left\{ X_j \leq x_j \right\} \right) = \mathrm{F}_{\mathbb{X}}(x)\ \ \ \ \forall x_j \in \mathcal{R} $$ Platí to ale pro libovolnou $ k $-tici? Nechť to platí pro $ n $, ukážeme že to platí pro $ n-1 $. $$ \mathrm{F}_{X_1,\dots,X_{n-1}} (x_1,\dots,x_{n-1}) = \lim_{x_n \to +\infty} \mathrm{F}_{X}(x) = \lim_{x_n \to +\infty} \prod_{j=1}^{n} \mathrm{F}_{X_j}(x_j) = $$ $$ = \prod_{j=1}^{n-1} \mathrm{F}_{X_j}(x_j) \lim_{x_n \to \infty} \mathrm{F}_{X_n}(x_n) = \prod_{j=1}^{n} \mathrm{F}_{X_j} (x_j) $$ Takže to platí i pro libovolnou $ k $-tici. } \end{description} \end{proof}