02TFpriklady:Kapitola7: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Založena nová stránka: %\wikiskriptum{02TFpriklady} \section{Kapitola 7: speciální teorie relativity} \priklad{7.1}{ Transformační matice $A=\left(\alpha _{\nu }^{\mu } \right)$ má prvky $...) |
(Žádný rozdíl)
|
Verze z 1. 8. 2010, 11:33
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02TFpriklady
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02TFpriklady | Admin | 4. 9. 2015 | 11:33 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:47 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Admin | 21. 6. 2011 | 07:34 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Newtonova mechanika | Krasejak | 20. 6. 2014 | 23:59 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Lagrangeův formalismus | Nemecfil | 29. 1. 2017 | 19:59 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Základní úlohy mechaniky | Admin | 1. 8. 2010 | 11:32 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Základní principy mechaniky | Admin | 1. 8. 2010 | 11:32 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Hamiltonův formalismus | Tichaond | 12. 3. 2014 | 17:31 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Admin | 1. 8. 2010 | 11:34 | kapitola6.tex | ||
Kapitola7 | editovat | Speciální teorie relativity | Krasejak | 21. 6. 2014 | 01:27 | kapitola7.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02TFpriklady} \section{Kapitola 7: speciální teorie relativity} \priklad{7.1}{ Transformační matice $A=\left(\alpha _{\nu }^{\mu } \right)$ má prvky $\alpha _{0}^{0} =\gamma $, $\alpha _{k}^{0} =\alpha _{0}^{k} =-\beta \gamma n_{k} $, $\alpha _{k}^{j} =\alpha _{j}^{k} =(\gamma -1)n_{j} n_{k} +\delta _{jk} $, kde $\beta ,{ \; }\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\beta ^{2} } } $, $n_{1} ,n_{2} ,n_{3} $ jsou parametry a $\vec{n}^{2} =n_{1} ^{2} +n_{2} ^{2} +n_{3} ^{2} =1$.Ukažte, že1) matice A splňuje podmínku $A^{T} GA=G$ Lorentzovy transformace2) systém S' se pohybuje vzhladem k S konstantní rychlostí $\vec{V}=c\beta \vec{n}$3) pro pohyb ve směru $x^{1} $(tj. $\vec{n}^{T} =(1,0,0)$) dostaneme matici (7.2.11 str. 244) }{ zadanou matici $A$ přepíšeme do přehlednějšího tvaru $$A=\left(\begin{array}{cc} {\gamma } & {-\beta \gamma \vec{n}^{T} } \\ {-\beta \gamma \vec{n}} & {I+(\gamma -1)\vec{n}\vec{n}^{T} } \end{array}\right)$$ 1) vyšetříme platnost vztahu $A^{T} GA=G$ poznamenejme, že matice $A$ je symetrická -proto $A=A^{T} $ $$A^{T} GA=\left(\begin{array}{cc} {\gamma } & {-\beta \gamma \vec{n}^{T} } \\ {- \beta \gamma \vec{n}} & {I+(\gamma -1)\vec{n}\vec{n}^{T} } \end{array}\right)\left( \begin{array}{cc} {1} & {0} \\ {0} & {-I} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} {\gamma } & {-\beta \gamma \vec{n}^{T} } \\ {-\beta \gamma \vec{n}} & {I+(\gamma -1)\vec{n}\vec{n}^{T} } \end{array}\right)$$ $$A^{T} GA=\left(\begin{array}{cc} {\gamma } & {\beta \gamma \vec{n}^{T} } \\ {- \beta \gamma \vec{n}} & {-I-(\gamma -1)\vec{n}\vec{n}^{T} } \end{array}\right)\left( \begin{array}{cc} {\gamma } & {-\beta \gamma \vec{n}^{T} } \\ {-\beta \gamma \vec{n}} & {I+(\gamma -1)\vec{n}\vec{n}^{T} } \end{array}\right)$$ $$A^{T} GA=\left(\begin{array}{cc} {\gamma ^{2} -\beta ^{2} \gamma ^{2} \vec{n}^{T} \vec{n}} & {\left(-\beta \gamma ^{2} +\beta \gamma +\beta \gamma (\gamma -1)\vec{n}^{T} \vec{n}\right)\vec{n}^{T} } \\ {\left(-\beta \gamma ^{2} +\beta \gamma +\beta \gamma (\gamma -1)\vec{n}^{T} \vec{n}\right)\vec{n}^{T} } & {\beta ^{2} \gamma ^{2} \vec{n} \vec{n}^{T} -\left(I+(\gamma -1)\vec{n}\vec{n}^{T} \right)^{2} } \end{array}\right)$$ v dalším kroku použijeme $\vec{n}^{T} \vec{n}=\vec{n}^{2} =1$ $$A^{T} GA=\left(\begin{array}{cc} {\gamma ^{2} -\beta ^{2} \gamma ^{2} } & {\left(- \beta \gamma ^{2} +\beta \gamma +\beta \gamma ^{2} -\beta \gamma \right)\vec{n}^{T} } \\ {\left(-\beta \gamma ^{2} +\beta \gamma +\beta \gamma ^{2} -\beta \gamma \right) \vec{n}^{T} } & {\beta ^{2} \gamma ^{2} \vec{n}\vec{n}^{T} -I-2(\gamma -1)\vec{n} \vec{n}^{T} -(\gamma -1)^{2} \vec{n}\vec{n}^{T} \vec{n}\vec{n}^{T} } \end{array} \right)$$ použijeme též $\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\beta ^{2} } } $a rovnou dostaneme $$A^{T} GA=\left(\begin{array}{cc} {1} & {0} \\ {0} & {-I} \end{array}\right)=G$$ 2) vzájemný pohyb systémů vezměme čtyřvektor počátku soustavy S` v soustavě S $\vec{x}=\left(\begin{array}{c} {ct} \\ {\vec{r}} \end{array}\right)$ , který se má pohybovat rychlostí $\vec{V}$, tj. $$\vec{x}=\left(\begin{array}{c} {ct} \\ {\vec{V}t} \end{array}\right)$$ dále známe polohu tohoto počátku v soustavě S' $$\vec{x}'=\left(\begin{array}{c} {ct'} \\ {\vec{0}} \end{array}\right)$$ pomocí transformačních vztahů $$\vec{x}'=A\vec{x}$$ odkud $$\vec{x}=A^{-1} \vec{x}'$$ snadno určíme hledanou rychlost a to použitím výše ověřené identity $$A^{T} GA=G$$ totiž $$A^{T} G=GA^{-1} $$ a tak nám stačí zleva vynásobit zkoumaný výraz maticí $G$ $$G\vec{x}=GA^{-1} \vec{x}'$$ neboli po dosazení $$\left(\begin{array}{cc} {1} & {0} \\ {0} & {-I} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} {ct} \\ {\vec{V}t} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {\gamma } & {-\beta \gamma \vec{n}^{T} } \\ {-\beta \gamma \vec{n}} & {I+(\gamma -1)\vec{n}\vec{n}^{T} } \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} {ct'} \\ {\vec{0}} \end{array}\right)$$ odkud $$\left( \begin{array}{c} {ct} \\ {-\vec{V}t} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} { \gamma ct'} \\ {-\beta \gamma \vec{n}ct'} \end{array}\right)$$ a konečně vyjádříme-li si $t'=\frac{1}{\gamma } t$, dostáváme po menších kráceních hledaný výraz $$\vec{V}=c\beta \vec{n}$$ 3) poslední část příkladu obyčejným dosazením do výše uvedené matice $A$vektoru $\vec{n}=\left( \begin{array}{c} {1} \\ {0} \\ {0} \end{array}\right)$ získáme hledanou matici } \priklad{7.2}{ Přesvědčete se, že Lorentzovy transformace je možno zapsat v kompaktní vektorové podobě $\vec{r}'=\vec{r}+\left(\frac{\gamma -1}{V^{2} } \vec{V}\cdot \vec{r}-\gamma t\right)\vec{V}$, $t'=\gamma \left(t-\frac{\vec{V}\cdot \vec{r}}{c^{2} } \right)$. }{ rozložíme radius vektor na dvě složky - $\vec{r}_{\parallel } $ rovnoběžnou s $\vec{V}$ a$\vec{r}_{ \bot } $ kolmou k $\vec{V}$ $$\vec{r}=\vec{r}_{\parallel } +\vec{r}_{\bot } $$ kde $\vec{r}_{\parallel } $ lze vyjádřit ve tvaru $$\vec{r}_{\parallel } =\frac{\vec{V}\cdot \vec{r}}{V^{2} } \vec{V}$$ a proto též $$\vec{r}_{\bot } =\vec{r}-\frac{\vec{V}\cdot \vec{r}}{V^{2} } \vec{V}$$ Lorentzovou transformací $\vec{r}_{\bot } $zůstává nezměněné a$\vec{r}_{\parallel } $ se transformuje jako $$\vec{r}_{\parallel } '=\frac{\vec{r}_{\parallel } -\vec{V}t}{\sqrt{1-{\textstyle \frac{V^{2} }{c^{2} }} } } =\gamma \left(\vec{r}_{\parallel } -\vec{V}t\right)$$ dostaneme tedy $$\vec{r}'=\vec{r}_{\bot } +\gamma \vec{r}_{\parallel } -\gamma \vec{V}t$$ po dosazení výše vyjádřených složek obdržíme $$\vec{r}'=\vec{r}-\frac{\vec{V}\cdot \vec{r}}{V^{2} } \vec{V}+\gamma \frac{\vec{V} \cdot \vec{r}}{V^{2} } \vec{V}-\gamma \vec{V}t$$ a po úpravách $$\vec{r}'=\vec{r}+\left((\gamma -1)\frac{\vec{V}\cdot \vec{r}}{V^{2} } -\gamma t \right)\vec{V}$$ čas se transformuje jako $$t'=\gamma \left(t-\frac{\vec{V}\vec{r}}{c^{2} } \right)$$ } \priklad{7.4}{ Odvoďte zákon skládání rychlostí pro libovolnou vzájemnou orientaci obou rychlostí. Jak se zjednoduší pro $V\ll c$? Jaká bude velikost výsledné rychlosti ? }{ budeme zkoumat $\frac{d\vec{r}}{dt} $(viz 7.2) přičemž vezmeme v úvahu časovou konstantnost rychlosti $\vec{V}$ inverzní transformace k výsledku z příkladu 7.2 jsou až na znaménko u $\vec{V}$identické $$\vec{r}= \vec{r}'-\left(-(\gamma -1)\frac{\vec{V}\cdot \vec{r}'}{V^{2} } -\gamma t'\right) \vec{V}$$ $$t=\gamma \left(t'+\frac{\vec{V}\vec{r}'}{c^{2} } \right)$$ tedy $$\frac{d\vec{r}}{dt} =\frac{d\vec{r}'-\left(-(\gamma -1)\frac{\vec{V}\cdot d\vec{r}'}{V^{2} } -\gamma dt'\right)\vec{V}}{\gamma \left(dt'+\frac{\vec{V}d\vec{r}'}{c^{2} } \right)} =\frac{\frac{d\vec{r}'}{dt'} -\left(-(\gamma -1)\frac{\vec{V}}{V^{2} } \frac{d\vec{r}'}{dt'} -\gamma \right)\vec{V}}{\gamma \left(1+\frac{\vec{V}}{c^{2} } \frac{d\vec{r}'}{dt'} \right)} $$ což lze také zapsat $$\dot{\vec{r}}=\left[\frac{\dot{\vec{r}}'}{\gamma } +\frac{\gamma -1}{\gamma } \frac{ \vec{V}\dot{\vec{r}}'}{V^{2} } \vec{V}+\vec{V}\right]\left(1+\frac{\vec{V}\dot{\vec{r}}'}{c^{2} } \right)^{-1} =\left[\dot{\vec{r}}'\sqrt{1-\beta ^{2} } +(1-\sqrt{1-\beta ^{2} } )\frac{\vec{V}\dot{\vec{r}}'}{V^{2} } \vec{V}+\vec{V}\right]\left(1+\frac{\vec{V} \dot{\vec{r}}'}{c^{2} } \right)^{-1} $$ při aproximaci $V\ll c$ se tento vztah zjednoduší na $$\dot{\vec{r}}=\left(\dot{\vec{r}}'+\vec{V}\right)\left(1+\frac{\vec{V}\dot{\vec{r}}'}{c^{2} } \right)^{-1} $$ pomocí binomické věty dostaneme při zanedbání vyšších řádů v $\frac{V}{c} $ vztah $$\dot{ \vec{r}}=\dot{\vec{r}}'+\vec{V}-\frac{\vec{V}\dot{\vec{r}}'}{c^{2} } \dot{\vec{r}}'$$ velikost výsledné rychlosti dostaneme přímým výpočtem normy $$\dot{\vec{r}}^{2} =\left[\dot{\vec{r}}'\sqrt{1-\beta ^{2} } +(1-\sqrt{1-\beta ^{2} } )\frac{\vec{V}\dot{\vec{r}}'}{V^{2} } \vec{V}+\vec{V}\right]^{2} \left(1+\frac{ \vec{V}\dot{\vec{r}}'}{c^{2} } \right)^{-2} $$ $$\dot{\vec{r}}^{2} =\left[\left(\dot{\vec{r}}'+\vec{V}\right)+(1-\sqrt{1-\beta ^{2} } )\left(\frac{\vec{V}\dot{\vec{r}}'}{V^{2} } \vec{V}-\dot{\vec{r}}'\right)\right]^{2} \left(1+\frac{\vec{V}\dot{\vec{r}}'}{c^{2} } \right)^{-2} $$ ... po zdlouhavých úpravách ... $$\dot{\vec{r}}^{2} =\left[\left(\dot{\vec{r}}'+\vec{V}\right)^{2} +\beta ^{2} \frac{ \vec{V}\dot{\vec{r}}'\vec{V}\dot{\vec{r}}'}{V^{2} } -\beta ^{2} \dot{\vec{r}}'^{2} \right]\left(1+\frac{\vec{V}\dot{\vec{r}}'}{c^{2} } \right)^{-2} $$ $$\dot{\vec{r}}^{2} =\left[\left(\dot{\vec{r}}'+\vec{V}\right)^{2} +\frac{1}{c^{2} } \left(\vec{V}\dot{\vec{r}}'\vec{V}\dot{\vec{r}}'-V^{2} \dot{\vec{r}}'^{2} \right) \right]\left(1+\frac{\vec{V}\dot{\vec{r}}'}{c^{2} } \right)^{-2} $$ což lze též zapsat jako $$\dot{\vec{r}}^{2} =\frac{\left(\dot{\vec{r}}'+\vec{V}\right)^{2} -\frac{1}{c^{2} } \left(\dot{\vec{r}}'\times \vec{V}\right)^{2} }{\left(1+\frac{\vec{V}\dot{\vec{r}}'}{c^{2} } \right)^{2} } $$ } \priklad{7.5}{ Relativní rychlost dvou částic je definována jako rychlost jedné z nich v soustavě, v níž je druhá v klidu. Určete kvadrát $v_{rel} ^{2} $, jestliže v některé inerciální soustavě částice mají rychlost $\vec{v}_{1} ,{\; }\vec{v}_{2} $. }{ do výsledku předchozího příkladu dosadíme za $\dot{\vec{r}}=\vec{v}_{rel} ,{\; }\dot{\vec{r}}'=\vec{v}_{1} ,{\; }\vec{V}=-\vec{v}_{2} $ a dostaneme tak $$\vec{v}_{rel} ^{2} =\frac{\left(\vec{v}_{1} -\vec{v}_{2} \right)^{2} -\frac{1}{c^{2} } \left(\vec{v}_{1} \times \vec{v}_{2} \right)^{2} }{\left(1-\frac{\vec{v}_{1} \vec{v}_{2} }{c^{2} } \right)^{2} } $$ } \priklad{7.6}{ Rapidita $\mu $ je definována pomocí vztahu $tgh\mu ={\textstyle\frac{V}{c}} $. Ukažte, že $\cosh \mu =\gamma ,{\; }\sinh \mu =\beta \gamma $. Ze vzorce př. 7.5 pro relativní rychlost odvoĎte "kosinovou větu" pro relativní rapiditu. }{ vztah $$tgh\mu =\frac{V}{c} =\beta =\frac{\sinh \mu }{\cosh \mu } $$ umocníme na druhou $$\beta ^{2} =tgh^{2} \mu =\frac{\sinh ^{2} \mu }{\cosh ^{2} \mu } =1-\frac{1}{\cosh ^{2} \mu } $$ a tedy $$\cosh \mu =\frac{1}{\sqrt{1-\beta ^{2} } } =\gamma $$ obdobně $$\sinh \mu =\cosh \mu {\; }tgh\mu =\gamma \beta $$ vzorec z příkladu 7.5 $$\vec{v}_{rel} ^{2} =\left[\left(\vec{v}_{1} -\vec{v}_{2} \right)^{2} +\frac{1}{c^{2} } \left(\vec{v}_{1} \vec{v}_{2} \vec{v}_{1} \vec{v}_{2} -\vec{v}_{1} ^{2} \vec{v}_{2} ^{2} \right)\right]\left(1-\frac{\vec{v}_{1} \vec{v}_{2} }{c^{2} } \right)^{-2} $$ nejprve vhodně upravíme na tvar $\left(1-{\textstyle\frac{v^{2} _{rel} }{c^{2} }} \right)= \left(1-{\textstyle\frac{v^{2} _{1} }{c^{2} }} \right)\left(1-{\textstyle\frac{v^{2} _{2} }{c^{2} }} \right)\left(1-{\textstyle\frac{\vec{v}_{1} \vec{v}_{2} }{c^{2} }} \right)^{-1} $ $$1-\frac{\vec{v}_{rel} ^{2} }{c^{2} } =\frac{1-2\frac{\vec{v}_{1} \vec{v}_{2} }{c^{2} } +\frac{\vec{v}_{1} \vec{v}_{2} \vec{v}_{1} \vec{v}_{2} }{c^{4} } -\frac{\left( \vec{v}_{1} -\vec{v}_{2} \right)^{2} }{c^{2} } -\frac{\vec{v}_{1} \vec{v}_{2} \vec{v}_{1} \vec{v}_{2} -\vec{v}_{1} ^{2} \vec{v}_{2} ^{2} }{c^{4} } }{\left(1-\frac{\vec{v}_{1} \vec{v}_{2} }{c^{2} } \right)^{2} } $$ $$1-\frac{\vec{v}_{rel} ^{2} }{c^{2} } =\frac{1-2\frac{\vec{v}_{1} \vec{v}_{2} }{c^{2} } -\frac{\vec{v}_{1} ^{2} -2\vec{v}_{1} \vec{v}_{2} +\vec{v}_{2} ^{2} }{c^{2} } - \frac{\vec{v}_{1} ^{2} \vec{v}_{2} ^{2} }{c^{4} } }{\left(1-\frac{\vec{v}_{1} \vec{v}_{2} }{c^{2} } \right)^{2} } $$ $$1-\frac{\vec{v}_{rel} ^{2} }{c^{2} } =\frac{1-\frac{\vec{v}_{1} ^{2} +\vec{v}_{2} ^{2} }{c^{2} } -\frac{\vec{v}_{1} ^{2} \vec{v}_{2} ^{2} }{c^{4} } }{\left(1- \frac{\vec{v}_{1} \vec{v}_{2} }{c^{2} } \right)^{2} } =\frac{\left(1-\frac{\vec{v}_{1} ^{2} }{c^{2} } \right)\left(1-\frac{\vec{v}_{2} ^{2} }{c^{2} } \right)}{\left(1- \frac{\vec{v}_{1} \vec{v}_{2} }{c^{2} } \right)^{2} } $$ pužijeme zavedené substituce $$1-\frac{\vec{v}^{2} }{c^{2} } =1-tgh^{2} \mu =\frac{\cosh ^{2} \mu -\sinh ^{2} \mu }{\cosh ^{2} \mu } =\frac{1}{\cosh ^{2} \mu } $$ dostaneme $$\frac{1}{\cosh ^{2} \mu _{rel} } =\frac{1}{\cosh ^{2} \mu _{1} \cosh ^{2} \mu _{2} \left(1-\frac{\vec{v}_{1} \vec{v}_{2} }{c^{2} } \right)^{2} } $$ a jelikož výraz $$\left(1-\frac{\vec{v}_{1} \vec{v}_{2} }{c^{2} } \right)^{2} =\left(1-\frac{\vec{v}_{1} \vec{v}_{2} }{c^{2} } \frac{v_{1} v_{2} }{v_{1} v_{2} } \right)^{2} =\left(1-tgh \mu _{1} {\; }tgh\mu _{2} \cos \chi \right)^{2} $$ kde $\chi $ značí úhel svírající vektory rychlostí $\vec{v}_{1} ,{\; }\vec{v}_{2} $ - tj. $\cos \chi =\frac{\vec{v}_{1} \vec{v}_{2} }{v_{1} v_{2} } $dostaneme po převrácení nakonec $$\cosh \mu _{rel} =\cosh \mu _{1} \cosh \mu _{2} -\sinh \mu _{1} \sinh \mu _{2} \cos \chi $$ } \priklad{7.10}{ Světelný rok je vzdálenost, kterou světlo urazí za jeden rok. Vyjádřete zrychlení volného pádu g v jednotkách světelný $rok/rok^{2} $. Čemu se rovná rychlost světla v těchto jednotkách ? $(1{\; }rok{\; }={\; }3.15\cdot 10^{7} s)$ }{ převedeme si sekundy a metry do nových jednotek $$1{\; s\; =\; }\frac{{1}}{{3,15}\cdot {10}^{{7}} } {\; }rok$$ $$1{ \; }m{\; }={\; }\frac{1}{c\cdot 3,15\cdot 10^{7} } {\; }sv.rok$$ potom již snadně převedeme $$g=9,81{\; }m/s^{2} =\frac{9.81\cdot 3,15\cdot 10^{7} }{3\cdot 10^{8} } { \; sv.rok/rok}^{2} {=1,03\; sv.rok/rok}^{2} {\; }$$ $$c=3\cdot 10^{8} {\; }m/s=\frac{3\cdot 10^{8} \cdot 3,15\cdot 10^{7} }{3\cdot 10^{8} \cdot 3,15\cdot 10^{7} } {\; sv.rok/rok=1\; sv.rok/rok\; }$$ 7.11 Kosmická loď se pohybuje s takovým zrachlením, že její posádka cítí konstantní sílu rovnou zemské tíži. Z hlediska pozorovatele na Zemi, odkud loď odstartovala, tento její pohyb trvá 5 let. Jak daleko loď za tuto dobu uletí a jaké rychlosti dosáhne ? vyjdeme ze vztahu pro sílu $$F=\frac{m_{0} c^{2} }{b} =m_{0} g$$ odkud $$b=\frac{c^{2} }{g} =9,17\cdot 10^{15} m=0,97{\; }sv.rok$$ rychlost bude $$v=\frac{c^{2} t}{\sqrt{b^{2} +c^{2} t^{2} } } =\left\{t=5{\; let}\right\}=0,98{ \; }sv.rok/rok=0,98{\; c}$$ uletěná vzdálenost $$x=\left(\sqrt{b^{2} +c^{2} t^{2} } -b^{2} \right)=\left\{t=5{\; let}\right \}=4,15{\; }sv.rok$$ } \priklad{7.15}{Fizeauův pokus (\ref{GrindEQ__1859_}). Fizeau měřil pomocí interferometru rychlost světla v v kapalinách tekoucích po i proti směru šíření světla (rychlostí $\pm V$) a zjistil závislost $v={\textstyle\frac{c}{n}} \pm V\left(1-{\textstyle\frac{1}{n^{2} }} \right)$, kde n je index lomu kapaliny. Odvoďte tento empirický vztah pomocí zákona skládání rychlostí. }{ do výsledku příkladu 7.4 dosadíme za $\dot{\vec{r}}'=\frac{c}{n} $a vzhledem k tomu, že jsme v tomto příkladě v konečném výsledku zanedbali všechny členy binomického rozvoje vyššího řádu než $\frac{{V}}{{c}} $, okamžitě dostáváme výsledek $$v=\frac{c}{n} \pm V\mp \frac{V}{c^{2} } \frac{c^{2} }{n^{2} } =\frac{c}{n} \pm V\left(1-\frac{1}{n^{2} } \right)$$ } \priklad{7.17}{ Rychlost $\vec{v}$(v soustavě S) leží v rovině xy a svírá s osou x úhel ${\mathbf \theta }$${\mathbf ;}$ podobně je definován úhel ${\mathbf \theta }$' pro rychlost $\vec{v}'$v soustavě S'. Odvoďte vztah mezi ${\mathbf \theta }$ a ${\mathbf \theta }$' při speciální Lorentzově transformaci $S\to S'$ (viz skripta 7.1.3). }{ opět použijeme výsledku příkladu 7.4 kde dosadíme za $$\dot{\vec{r}}'^{T} =\left(v'\cos \theta ',v'\sin \theta ',0\right)$$ $$\vec{V}^{T} =\left(V,0,0\right)$$ a dostaneme tak $$\begin{array}{l} {v_{x} =\frac{v'\cos \theta '\sqrt{1-\beta ^{2} } +(1-\sqrt{1- \beta ^{2} } )\frac{Vv'}{V^{2} } \cos \theta 'V+V}{1+\frac{Vv'}{c^{2} } \cos \theta '} =\frac{v'\cos \theta '+V}{1+\frac{Vv'}{c^{2} } \cos \theta '} } \\ {v_{{y}} =\frac{v'\sin \theta '\sqrt{1-\beta ^{2} } }{1+\frac{Vv'}{c^{2} } \cos \theta '} } \\ {v_{z} =0} \end{array}$$ zajímá nás ovšem velikost úhlu $\theta $ $$tg\theta =\frac{v_{y} }{v_{x} } =\frac{v'\sin \theta '\sqrt{1-\beta ^{2} } }{v' \cos \theta '+V} $$ } \priklad{7.18}{ Odvoďte transformační vztahy pro úhly ${\mathbf \theta }$ , ${\mathbf \theta }$' za podmínek př. 7.17, jestliže $v=v'=c$. Vypočtěte $\Delta \theta =\theta '- \theta $ při $V\ll c$. }{ dosadíme tyto hodnoty do předchozího výrazu $$tg\theta =\frac{c\sin \theta '\sqrt{1-\beta ^{2} } }{c\cos \theta '+V} =\frac{ \sin \theta '\sqrt{1-\beta ^{2} } }{\cos \theta '+\beta } $$ v dalším budeme potřebovat mit vyjádřeno $$\begin{array}{l} {\cos \theta =\frac{\cos \theta '+\beta }{1+\beta \cos \theta '} } \\ {\sin \theta =\frac{\sin \theta '\sqrt{1-\beta ^{2} } }{1+\beta \cos \theta '} } \end{array}$$ abychom přibližně vyjádřili $\Delta \theta $, budeme za tímto účelem zkoumat $$\sin \Delta \theta =\sin (\theta '-\theta )=\sin \theta '\cos \theta -\sin \theta \cos \theta '$$ a dosadíme za sin$\theta $ a cos$\theta $ předešlých vzorců $$\sin \Delta \theta =\sin \theta '\frac{\cos \theta '+\beta }{1+\beta \cos \theta '} -\frac{\sin \theta '\sqrt{1-\beta ^{2} } }{1+\beta \cos \theta '} \cos \theta '$$ $$\sin \Delta \theta =\frac{\beta \sin \theta '}{1+\beta \cos \theta '} +\frac{\sin \theta '\cos \theta '\left(1-\sqrt{1-\beta ^{2} } \right)}{1+\beta \cos \theta '} $$ při aproximaci $\beta \ll 1$ zanedbáme pravý člen a jmenovatel prvního zlomku nahradíme jedničkou $$\sin \Delta \theta \approx \beta \sin \theta '$$ pro malá $\Delta \theta $ proto můžeme aproximovat $\sin \Delta \theta \approx \Delta \theta $ a psát, že $$\Delta \theta \doteq \frac{V}{c} \sin \theta '$$ 7.24 Vypočtěte rychlosti částic v těchto případech:a) elektrony ve výbojce $E=300{ \; }eV$b) elektrony v synchrotronu $E=300{\; M}eV$c) protony v synchrocyklotronu $E=680{ \; M}eV$d) protony v synchrofázotronu $E=10{\; G}eV$$(m_{e} c^{2} =0,511{ \; }MeV,{\; }m_{p} c^{2} =938,2{\; MeV)}$ ve všech případech platí vztah $$E+m_{0} c^{2} =mc^{2} =\frac{m_{0} c^{2} }{\sqrt{1-{\textstyle\frac{v^{2} }{c^{2} }} } } $$ vyjádříme si rychlost $$v=\sqrt{1-\left(\frac{m_{0} c^{2} }{E+m_{0} c^{2} } \right)^{2} } c$$ budeme postupně dosazovat a) E = 300 eV $$v=\sqrt{1-\left(\frac{m_{e} c^{2} }{E+m_{e} c^{2} } \right)^{2} } c=0,0342511{ \; }c$$ b) E = 300 MeV $$v=\sqrt{1-\left(\frac{m_{e} c^{2} }{E+m_{e} c^{2} } \right)^{2} } c=0,9999986{ \; }c$$ c) E = 680 MeV $$v=\sqrt{1-\left(\frac{m_{p} c^{2} }{E+m_{p} c^{2} } \right)^{2} } c=0,8147731{ \; }c$$ d) E = 10 GeV $$v=\sqrt{1-\left(\frac{m_{p} c^{2} }{E+m_{p} c^{2} } \right)^{2} } c=0,9963147{ \; }c$$ } \priklad{7.26}{ V kosmickém záření se vyskytují protony s energií řádu $10^{10} {\; }GeV$. Nechť dráha tohoto protonu protíná naši Galaxii podél průměru $10^{10} $světelných let. Srovnejte čas potřebný k průletu v systému spojeném se Zemí a v klidové soustavě protonu. }{ rychlost protonu o takovéto řádové energii je $$v=\sqrt{1-\left(\frac{0,9382{\; }GeV}{10^{10} {\; }GeV} \right)^{2} } c \doteq c$$ a tedy doba průletu pozorovaná v soustavě spjaté se Zemí bude $$t=10^{5} {\; }let$$ a v klidové soustavě protonu bude tento čas přibližně ($m_{0} c^{2} \approx 1{ \; }GeV$) $$\tau =\frac{m_{0} c^{2} }{E} t=\frac{1}{10^{10} } \cdot 10^{5} \cdot 365\cdot 24 \cdot 3600{\; }s\doteq 315{\; }s$$ } \priklad{7.27}{Mezon $\pi ^{0} $s klidovou hmotností $m_{0} $ pohybující se rychlostí v se rizpadá na dvě stejná kvanta záření gama (fotony). Určete úhel $\varphi $, který budou svírat směry pohybu fotonů. }{ použijeme zákon zachování energie - hybnosti po rozpadu musí platit, že $$E=E_{1} +E_{2} $$ a zároveň $$\vec{p}=\vec{p}_{1} +\vec{p}_{2} $$ kde se budeme zřejmě zajímat pouze o složky $p_{1} \cos \frac{\varphi }{2} =p_{2} \cos \frac{\varphi }{2} $ a pomocí těchto tří vztahů sestavíme rovnice $$E=mc^{2} =\frac{m_{0} c^{2} }{\sqrt{1-{\textstyle\frac{v^{2} }{c^{2} }} } } =2m_{1} c^{2} =2E_{1} =2E_{2} $$ $$p=mv=\frac{m_{0} v}{\sqrt{1-{\textstyle\frac{v^{2} }{c^{2} }} } } =p_{1} \cos \frac{ \varphi }{2} +p_{2} \cos \frac{\varphi }{2} =2m_{1} c\cos \frac{\varphi }{2} $$ odkud dosazením za $2m_{1} $ z rovnosti energií $$\frac{m_{0} v}{\sqrt{1-{\textstyle\frac{v^{2} }{c^{2} }} } } =\frac{m_{0} }{\sqrt{1-{ \textstyle\frac{v^{2} }{c^{2} }} } } c\cos \frac{\varphi }{2} $$ dostáváme $$\varphi =2\arccos \frac{v}{c} $$ } \priklad{7.28}{ Dokažte, že v nepřítomnosti vnějšího pole se foton nemůže změnit v pár elektron-pozitron. }{ uvažujme, co by se stalo, kdyby se foton o hybnosti $(p^{\mu } )$ změnil v pár elektron [o hybnosti $(p_{-} ^{\mu } )$] pozitron [o hybnosti $(p_{+} ^{\mu } )$] zákon zachování hybnosti-energie zní $$p^{\mu } =p_{-} ^{\mu } +p_{+} ^{\mu } $$ protože má foton nulovou klidovou hmotnost, platí $$p_{\mu } p^{\mu } =p_{-\mu } p_{-} ^{\mu } +2p_{-\mu } p_{+} ^{\mu } +p_{+\mu } p_{+} ^{\mu } =0$$ v těžišťové soustavě platí (hmotnost elektronu je táž jako pozitronu) $$\left(p_{-} ^{\mu } \right)=\left(\frac{E}{c} ,\vec{p}_{-} \right)$$ $$\left(p_{+} ^{\mu } \right)=\left(\frac{E}{c} ,\vec{p}_{+} \right)=\left(\frac{E}{c} ,-\vec{p}_{-} \right)$$ proto zřejmě $$p_{-\mu } p_{+} ^{\mu } =g_{\mu \nu } p_{-} ^{\nu } p_{+} ^{\mu } =\underbrace{ \frac{E^{2} }{c^{2} } }_{>0}+\underbrace{\vec{p}_{1} ^{2} }_{>0}$$ $$p_{-,\mu } p_{-} ^{\mu } =p_{+,\mu } p_{+} ^{\mu } =\underbrace{m_{\pm } ^{2} c^{2} }_{>0}$$ celkem tedy $$p_{\mu } p^{\mu } =p_{-\mu } p_{-} ^{\mu } +2p_{-\mu } p_{+} ^{\mu } +p_{+\mu } p_{+} ^{\mu } >0$$ což je spor s předpokladem nulové klidové hmotnosti fotonu }