01PRA1 2:Kapitola5: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Založena nová stránka: %\wikiskriptum{01PRA1_2}) |
|||
Řádka 1: | Řádka 1: | ||
%\wikiskriptum{01PRA1_2} | %\wikiskriptum{01PRA1_2} | ||
+ | |||
+ | \section{Funkce náhodných veličin} | ||
+ | |||
+ | \begin{lemma} | ||
+ | Nechť $S\subset\R^n$ tak, že | ||
+ | $\{\omega|(X_1(\omega),\dots,X_n(\omega))\in S\}\in\A$. Pak | ||
+ | \[P((x_1,\dots,x_n)\in S)=\idotsint_S f_{X_1,\dots,X_n}(\mathbf t) | ||
+ | \,\d t_1\cdots\d t_n.\] | ||
+ | \end{lemma} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | Nechť $\mathbf X$ má SASR, $g:\R^n\mapsto\R^n$ je regulární a prosté | ||
+ | zobrazení na otevřené množině $G$ takové, že $\int_G f_{\mathbf | ||
+ | X}=1$. Označme $\mathbf Y=g(\mathbf X)$. Pak $\mathbf Y$ má SASR, | ||
+ | $P(\mathbf X\in G)=1$ a platí | ||
+ | \[f_{\mathbf Y}(\mathbf y)=f_{\mathbf X}(g^{-1}(\mathbf y)) | ||
+ | \abs{\J_{g^{-1}}(\mathbf y)}.\] | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | \[ | ||
+ | \begin{split} | ||
+ | F_{\mathbf Y}(v_1,v_2,\dots,v_n)&=P(Y_1\le v_1,\dots,Y_n\le v_n)=\\ | ||
+ | &=P(g_1(\mathbf X)\le v_1,\dots,g_n(\mathbf X)\le v_n)=\\ | ||
+ | &=P(\mathbf X\in S)=\idotsint_S f_{X_1,\dots,X_n}(\mathbf x) | ||
+ | \,\d\mathbf x=\\ | ||
+ | &=\int_{-\infty}^{v_1}\cdots\int_{-\infty}^{v_n}f_{\mathbf X}(g^{-1}(\mathbf y)) | ||
+ | \abs{\J_{g^{-1}}(\mathbf y)}\,\d\mathbf y, | ||
+ | \end{split} | ||
+ | \] | ||
+ | kde $S=\{\mathbf x|(\forall j)(g_j(\mathbf x)\le v_j)\}$. | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | Buďte $(X,Y)$ nezávislé n. v. se SASR $f_{X,Y}$, $Z=(X+Y)$. Pak | ||
+ | \[f_{Z}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)\,\d x.\] | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | Definujeme transformaci $x=v$, $y=z-v$. Potom $\abs{\J}=1$, | ||
+ | $f_{V,Z}(v,z)=f_{X,Y}(z,z-v)$, | ||
+ | \[ | ||
+ | f_Z(z)=\int_\R f_{X,Y}(v,z-v)\,\d v=\int_\R f_X(v)f_Y(z-v)\,\d v. | ||
+ | \] | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | Nechť $X_1,\dots,X_n$ jsou nezávislé se SASR. Pak $X_1+\dots+X_{r_1}$, | ||
+ | $X_{r_1+1}+\dots+X_{r_2}$,\dots,$X_{r_k+1}+\dots+X_n$ jsou nezávislé | ||
+ | náhodné veličiny. | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \phi\equiv u_1&=x_1+\dots+x_{r_1}\\ | ||
+ | u_2&=x_2\\ | ||
+ | &\xvdots\\ | ||
+ | u_{r_1}&=x_{r_1} | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | $\phi:\R^{r_1}\mapsto\R^{r_1}$, $\abs{\J_{\phi^{-1}}}=1$, | ||
+ | \[ | ||
+ | f_{U_1,\dots,U_{r_1}}=1\cdot f_{X_1,\dots,X_{r_1}} | ||
+ | (u_1-u_2-\dots-u_{r_1},u_2,\dots,u_{r_1})\] | ||
+ | \[ | ||
+ | \begin{split} | ||
+ | f_{U_1}(u_1)&=\int_{-\infty}^{+\infty}\cdots\int_{-\infty}^{+\infty} | ||
+ | f_{X_1,\dots,X_{r_1}} | ||
+ | (u_1-u_2-\dots-u_{r_1},u_2,\dots,u_{r_1}) | ||
+ | \,\d u_2\cdots\d u_{r_1} | ||
+ | =\\ | ||
+ | &=\int_{-\infty}^{+\infty}\cdots\int_{-\infty}^{+\infty} | ||
+ | f_{X_1}(u_1-u_2-\dots-u_{r_1}) | ||
+ | \prod_{j=2}^{r_1}f_{X_j}(u_j) | ||
+ | \,\d u_2\cdots\d u_{r_1} | ||
+ | \end{split} | ||
+ | \] | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \psi\equiv u_{r_1+1}&=x_{r_1+1}+\dots+x_n\\ | ||
+ | u_{r_1+2}&=x_{r_1+2}\\ | ||
+ | &\xvdots\\ | ||
+ | u_{r_n}&=x_{r_n} | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | Analogicky dokážeme, že | ||
+ | \begin{multline*} | ||
+ | f_{U_{r_1+1}}(u_{r_1+1})=\\ | ||
+ | =\idotsint f_{X_{r_1+1},\dots,X_{r_n}} | ||
+ | (u_{r_1+1}-u_{r_1+2}-\dots-u_n,u_{r_1+2},\dots,u_n) | ||
+ | \,\d u_{r_1+2}\cdots\d u_n | ||
+ | \end{multline*} | ||
+ | Ze zobrazení $\phi$ a $\psi$ vytvoříme zobrazení $\R^n\mapsto\R^n$, to | ||
+ | má rovněž $\abs{\J}=1$, takže | ||
+ | \[ | ||
+ | \begin{split} | ||
+ | f_{U_1,\dots,U_n}=1\cdot f_{X_1,\dots,X_n} | ||
+ | (&u_1-u_2-\dots-u_{r_1},u_2,\dots,u_{r_1},\\ | ||
+ | &u_{r_1+1}-u_{r_1+2}-\dots-u_n,u_{r_1+2},\dots,u_n). | ||
+ | \end{split} | ||
+ | \] | ||
+ | \[ | ||
+ | \begin{split} | ||
+ | f_{U_1,U_{r_1+1}}&=\iint f_{\mathbf X}(\cdots) | ||
+ | \,\d u_2\cdots\d u_{r_1} | ||
+ | \d u_{r_1+2}\cdots\d u_n=\\ | ||
+ | &=\int f_{X_1,\dots,X_{r_1}}(\cdots) | ||
+ | \,\d u_2\cdots\d u_{r_1} | ||
+ | \int f_{X_{r_1+1},\dots,X_n}(\cdots) | ||
+ | \,\d u_{r_1+2}\cdots\d u_n=\\ | ||
+ | &=f_{U_1}(u_1)f_{U_{r_1+1}}(u_{r_1+1}). | ||
+ | \end{split} | ||
+ | \] | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} |
Aktuální verze z 1. 11. 2010, 19:31
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01PRA1_2
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01PRA1_2 | Karel.brinda | 2. 11. 2010 | 13:27 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Valapet2 | 5. 3. 2016 | 19:31 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Fucikrad | 9. 1. 2012 | 14:04 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Úvod | Karel.brinda | 1. 11. 2010 | 19:29 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Diskrétní náhodné veličiny | Karel.brinda | 1. 11. 2010 | 19:30 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Vícerozměrná diskrétní rozdělení | Karel.brinda | 1. 11. 2010 | 19:30 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Absolutně spojitá rozdělení | Valapet2 | 3. 3. 2016 | 11:51 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Funkce náhodných veličin | Karel.brinda | 1. 11. 2010 | 19:31 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Příklady absolutně spojitých rozdělení | Valapet2 | 5. 3. 2016 | 19:35 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Charakteristiky náhodných veličin | Karel.brinda | 1. 11. 2010 | 19:32 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Charakteristiky vícerozměrných náhodných veličin | Karel.brinda | 1. 11. 2010 | 19:32 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Konvergence na prostoru náhodných veličin | Karel.brinda | 1. 11. 2010 | 19:32 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Limitní věty teorie pravděpodobnosti | Karel.brinda | 1. 11. 2010 | 19:33 | kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Základní pojmy ze statistiky | Karel.brinda | 1. 11. 2010 | 19:33 | kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Odhad parametrů rozdělení | Karel.brinda | 1. 11. 2010 | 19:33 | kapitola12.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:Gauss.eps | Gauss.eps |
Image:Fisher.eps | Fisher.eps |
Image:Gamma.eps | Gamma.eps |
Image:Chi2.eps | Chi2.eps |
Image:Pravd.eps | Pravd.eps |
Image:Gauss1.pdf | Gauss.pdf |
Image:Fisher.eps | Fisher.pdf |
Image:Gamma.pdf | Gamma.pdf |
Image:Chi2.pdf | Chi2.pdf |
Image:Beta.pdf | Beta.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01PRA1_2} \section{Funkce náhodných veličin} \begin{lemma} Nechť $S\subset\R^n$ tak, že $\{\omega|(X_1(\omega),\dots,X_n(\omega))\in S\}\in\A$. Pak \[P((x_1,\dots,x_n)\in S)=\idotsint_S f_{X_1,\dots,X_n}(\mathbf t) \,\d t_1\cdots\d t_n.\] \end{lemma} \begin{theorem} Nechť $\mathbf X$ má SASR, $g:\R^n\mapsto\R^n$ je regulární a prosté zobrazení na otevřené množině $G$ takové, že $\int_G f_{\mathbf X}=1$. Označme $\mathbf Y=g(\mathbf X)$. Pak $\mathbf Y$ má SASR, $P(\mathbf X\in G)=1$ a platí \[f_{\mathbf Y}(\mathbf y)=f_{\mathbf X}(g^{-1}(\mathbf y)) \abs{\J_{g^{-1}}(\mathbf y)}.\] \begin{proof} \[ \begin{split} F_{\mathbf Y}(v_1,v_2,\dots,v_n)&=P(Y_1\le v_1,\dots,Y_n\le v_n)=\\ &=P(g_1(\mathbf X)\le v_1,\dots,g_n(\mathbf X)\le v_n)=\\ &=P(\mathbf X\in S)=\idotsint_S f_{X_1,\dots,X_n}(\mathbf x) \,\d\mathbf x=\\ &=\int_{-\infty}^{v_1}\cdots\int_{-\infty}^{v_n}f_{\mathbf X}(g^{-1}(\mathbf y)) \abs{\J_{g^{-1}}(\mathbf y)}\,\d\mathbf y, \end{split} \] kde $S=\{\mathbf x|(\forall j)(g_j(\mathbf x)\le v_j)\}$. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} Buďte $(X,Y)$ nezávislé n. v. se SASR $f_{X,Y}$, $Z=(X+Y)$. Pak \[f_{Z}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)\,\d x.\] \begin{proof} Definujeme transformaci $x=v$, $y=z-v$. Potom $\abs{\J}=1$, $f_{V,Z}(v,z)=f_{X,Y}(z,z-v)$, \[ f_Z(z)=\int_\R f_{X,Y}(v,z-v)\,\d v=\int_\R f_X(v)f_Y(z-v)\,\d v. \] \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} Nechť $X_1,\dots,X_n$ jsou nezávislé se SASR. Pak $X_1+\dots+X_{r_1}$, $X_{r_1+1}+\dots+X_{r_2}$,\dots,$X_{r_k+1}+\dots+X_n$ jsou nezávislé náhodné veličiny. \begin{proof} \begin{align*} \phi\equiv u_1&=x_1+\dots+x_{r_1}\\ u_2&=x_2\\ &\xvdots\\ u_{r_1}&=x_{r_1} \end{align*} $\phi:\R^{r_1}\mapsto\R^{r_1}$, $\abs{\J_{\phi^{-1}}}=1$, \[ f_{U_1,\dots,U_{r_1}}=1\cdot f_{X_1,\dots,X_{r_1}} (u_1-u_2-\dots-u_{r_1},u_2,\dots,u_{r_1})\] \[ \begin{split} f_{U_1}(u_1)&=\int_{-\infty}^{+\infty}\cdots\int_{-\infty}^{+\infty} f_{X_1,\dots,X_{r_1}} (u_1-u_2-\dots-u_{r_1},u_2,\dots,u_{r_1}) \,\d u_2\cdots\d u_{r_1} =\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\cdots\int_{-\infty}^{+\infty} f_{X_1}(u_1-u_2-\dots-u_{r_1}) \prod_{j=2}^{r_1}f_{X_j}(u_j) \,\d u_2\cdots\d u_{r_1} \end{split} \] \begin{align*} \psi\equiv u_{r_1+1}&=x_{r_1+1}+\dots+x_n\\ u_{r_1+2}&=x_{r_1+2}\\ &\xvdots\\ u_{r_n}&=x_{r_n} \end{align*} Analogicky dokážeme, že \begin{multline*} f_{U_{r_1+1}}(u_{r_1+1})=\\ =\idotsint f_{X_{r_1+1},\dots,X_{r_n}} (u_{r_1+1}-u_{r_1+2}-\dots-u_n,u_{r_1+2},\dots,u_n) \,\d u_{r_1+2}\cdots\d u_n \end{multline*} Ze zobrazení $\phi$ a $\psi$ vytvoříme zobrazení $\R^n\mapsto\R^n$, to má rovněž $\abs{\J}=1$, takže \[ \begin{split} f_{U_1,\dots,U_n}=1\cdot f_{X_1,\dots,X_n} (&u_1-u_2-\dots-u_{r_1},u_2,\dots,u_{r_1},\\ &u_{r_1+1}-u_{r_1+2}-\dots-u_n,u_{r_1+2},\dots,u_n). \end{split} \] \[ \begin{split} f_{U_1,U_{r_1+1}}&=\iint f_{\mathbf X}(\cdots) \,\d u_2\cdots\d u_{r_1} \d u_{r_1+2}\cdots\d u_n=\\ &=\int f_{X_1,\dots,X_{r_1}}(\cdots) \,\d u_2\cdots\d u_{r_1} \int f_{X_{r_1+1},\dots,X_n}(\cdots) \,\d u_{r_1+2}\cdots\d u_n=\\ &=f_{U_1}(u_1)f_{U_{r_1+1}}(u_{r_1+1}). \end{split} \] \end{proof} \end{theorem}