01PRA1 2:Kapitola2: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Založena nová stránka: %\wikiskriptum{01PRA1_2}) |
|||
Řádka 1: | Řádka 1: | ||
%\wikiskriptum{01PRA1_2} | %\wikiskriptum{01PRA1_2} | ||
+ | |||
+ | \section{Diskrétní náhodné veličiny} | ||
+ | |||
+ | \begin{define} | ||
+ | Náhodná veličina $X$ je diskrétní, právě když $\Ran X$ je nejvýše | ||
+ | spočetná množina. | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | \begin{define} | ||
+ | Pro diskrétní náhodnou veličinu definujeme | ||
+ | \[F_X(x)=P(X\le x)=\sum_{m:x_m\le x}P(X=x_m)= | ||
+ | \sum_{m=1}^{N,\infty}p_m\chf_{[x_m,+\infty)}(x)\] | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | \begin{define} | ||
+ | Frekvenční funkce (hustota pravděpodobnosti) je | ||
+ | \[ | ||
+ | f(x)=\begin{cases} | ||
+ | p_m&x=x_m\\ | ||
+ | 0&\text{jinde} | ||
+ | \end{cases}. | ||
+ | \] | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | \begin{remark} | ||
+ | Platí | ||
+ | \[\sum_{m=1}^{N,\infty}p_m=1.\] | ||
+ | \end{remark} | ||
+ | |||
+ | \subsection{Alternativní (Bernoulliho) rozdělení} | ||
+ | Případ, kdy je | ||
+ | \[ | ||
+ | X(\omega)= | ||
+ | \begin{cases} | ||
+ | 1\\ | ||
+ | 0 | ||
+ | \end{cases} | ||
+ | \] | ||
+ | a $P(X=0)=1-p$, $P(X=1)=p$. | ||
+ | |||
+ | \subsection{Diracovo rozdělení} | ||
+ | $P(X=c)=1$, $P(X\not=c)=0$. | ||
+ | |||
+ | \subsection{Binomické rozdělení} | ||
+ | Experiment se $n$-krát opakuje, přičemž pravděpodobnost úspěchu je | ||
+ | $P(A)=p$, neúspěchu $P(A\compl)=1-p$. Počet příznivých jevů při | ||
+ | $n$ opakováních je | ||
+ | \[X=\sum_{j=1}^n X_j.\] | ||
+ | Pro pravděpodobnost platí | ||
+ | \[ | ||
+ | \begin{split} | ||
+ | P(X=k)&=P\left( | ||
+ | \sum_{\#(i_1,\dots,i_k)} | ||
+ | \{X_{i_1}=1,\dots,X_{i_k}=1,X_{i_{k+1}}=0,\dots,X_{i_n}=0\} | ||
+ | \right)=\\ | ||
+ | &=\sum_{\#(i_1,\dots,i_k)} | ||
+ | P(X_{i_1}=1,\dots,X_{i_k}=1,X_{i_{k+1}}=0,\dots,X_{i_n}=0)=\\ | ||
+ | &=\binom{n}{k}\prod_{i=1}^kP(x_i=1)\prod_{k=1}^n P(x_i=0)= | ||
+ | \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}. | ||
+ | \end{split} | ||
+ | \] | ||
+ | Z~binomické věty také plyne, že | ||
+ | \[ | ||
+ | \sum_{k=0}^n | ||
+ | \binom{n}{k}p^k(1-k)^{n-k}=(p+1-p)^n=1. | ||
+ | \] | ||
+ | \subsection{Geometrické (Pascalovo) rozdělení} | ||
+ | Nekonečná posloupnost alternativních pokusů, $P(A)=p$, | ||
+ | $P(A\compl)=1-p$, $X$ je počet pokusů před prvním výskytem jevu | ||
+ | $A$. Platí, že | ||
+ | \[P(X=k)=p(1-p)^k.\] | ||
+ | Také platí, že | ||
+ | \[\sum_{k=0}^\infty p(1-p)^k=p\sum_{k=0}^\infty(1-p)^k | ||
+ | =p\frac{1}{1-(1-p)}=1.\] | ||
+ | |||
+ | \subsection{Negativně binomické rozdělení} | ||
+ | Nekonečné opakování, $Y$ je počet neúspěchů před $m$-tým úspěchem, | ||
+ | $P(A)=p$. Potom | ||
+ | \[P(Y=k)=\binom{k+m-1}{k}p^m(1-p)^k.\] | ||
+ | |||
+ | \subsection{Hypergeometrické rozdělení} | ||
+ | Model: zásobník :-), $r$ červených kuliček, $N-r$ bílých, $n$-krát | ||
+ | opakuji (bez vracení). $X$ je počet červených kuliček v~$n$-tici. | ||
+ | \[P(X=x)=\frac{\binom{r}{x}\binom{N-r}{n-x}}{\binom{N}{n}}.\] | ||
+ | |||
+ | \subsection{Poissonovo rozdělení} | ||
+ | \begin{define} | ||
+ | Náhodná veličina $X$ má Poissonovo rozdělení s~parametrem $\lambda$, | ||
+ | pokud | ||
+ | \[P(X=x)=\frac{\lambda^x}{x!}\e^{-\lambda}.\] | ||
+ | \end{define} | ||
+ | \begin{theorem}[Poisson] | ||
+ | Nechť $np_n\to\lambda$ (nebo $np_n=\lambda$), $\lambda>0$. Potom | ||
+ | \[ | ||
+ | \lim_{n\to\infty}P_n(x)=\frac{\lambda^x}{x!}\e^{-\lambda}. | ||
+ | \] | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | \[ | ||
+ | \begin{split} | ||
+ | \lim_{n\to+\infty}P_n(x)&=\lim_{n\to+\infty}\binom{n}{x}p_n^x(1-p_n)^{n-x}=\\ | ||
+ | &=\lim_{n\to+\infty}\binom{n}{x} | ||
+ | \left(\frac\lambda n + o\left(\frac1n\right)\right)^x | ||
+ | \left(1-\frac\lambda n-o\left(\frac1n\right)\right)^{n-x}=\\ | ||
+ | &=\lim_{n\to+\infty}\frac{\lambda^x}{x!} | ||
+ | \frac{n(n-1)\cdots(n-x+1)}{n^x} | ||
+ | \left( | ||
+ | 1+\frac{n}\lambda o\left(\frac1n\right) | ||
+ | \right)^x\\ | ||
+ | &\quad\left( | ||
+ | 1-\frac\lambda n-o\left(\frac1n\right) | ||
+ | \right)^n | ||
+ | \left( | ||
+ | 1-\frac\lambda n-o\left(\frac1n\right) | ||
+ | \right)^{-x}= | ||
+ | \frac{\lambda^x}{x!}\e^{-\lambda}, | ||
+ | \end{split} | ||
+ | \] | ||
+ | neboť | ||
+ | \[ | ||
+ | \lim_{n\to+\infty}\left( | ||
+ | 1-\frac\lambda n-o\left( | ||
+ | \frac1n | ||
+ | \right) | ||
+ | \right)^n=\e^{-\lambda}. | ||
+ | \] | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | \begin{remark} | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item | ||
+ | \[\sum_{x=0}^\infty P(X=x)=\sum_{x=0}^\infty | ||
+ | \frac{\lambda^x}{x!}\e^{-\lambda}=\e^{-\lambda}\e^\lambda=1 | ||
+ | \] | ||
+ | \item | ||
+ | Poissonovo rozdělení pro velká $n$ a malá $p$ aproximuje | ||
+ | $\mathrm{Bi}(n,p)$. | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | \end{remark} | ||
+ | |||
+ | \subsubsection{Zákon řídkých jevů} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | Nechť $0<t_1<t_2$ a nechť dále platí: | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item Počet výskytů jevu $A$ v~$[t_1,t_2)$ nezávisí na počtu výskytů v | ||
+ | $[0,t_1)$. | ||
+ | \item Pravděpodobnost výskytu jevu $A$ právě jednou v~$[t,t+h)$ je | ||
+ | $\lambda h+o(h)$ při $h\to 0+$. | ||
+ | \item Pravděpodobnost výskytu jevu $A$ více než jednou v~$[t,t+h)$ je | ||
+ | $o(h)$. | ||
+ | \item Pravděpodobnost $P_n(t)$ výskytu $n$ jevů do času $t$ je | ||
+ | diferencovatelná funkce $t$ pro každé $n$. | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | Pak | ||
+ | \[P_n(t)=\frac{\e^{-\lambda t}(\lambda t)^n}{n!}.\] | ||
+ | Číslo $\lambda$ se nazývá {\bf intenzita Poissonovského procesu}. | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | Buď $X_t$ počet událostí v~časovém intervalu $[0,t)$, | ||
+ | $P(X_t=k)=p_k(t)$. | ||
+ | \[p_0(t+h)=P(X_t=0)P(X_{t+h}-X_t=0)= | ||
+ | p_0(t)(1-\lambda h+o(h))\] | ||
+ | \[\frac{\d p_0}{\d t}(t)= | ||
+ | \lim_{h\to 0+}\frac{p_0(t+h)-p_0(t)}{h}=\lim_{h\to 0+} | ||
+ | \left(-\lambda p_0(t)+p_0(t)\frac{o(h)}{h}\right)= | ||
+ | -\lambda p_0(t)\] | ||
+ | \[ | ||
+ | \begin{split} | ||
+ | p_k(t+h)&=\sum_{j=0}^k P(X_t=j)P(X_{t+h}-X_t=k-j)=\\ | ||
+ | &=\sum_{j=0}^{k-2} P(X_t=j)o(h)+P(X_t=k-1) | ||
+ | (\lambda h+o(h))+\\ | ||
+ | &\quad+P(X_t=k)(1-\lambda h+o(h)) | ||
+ | \end{split} | ||
+ | \] | ||
+ | \[ | ||
+ | \frac{\d p_k}{\d t}(t)= | ||
+ | \lim_{h\to 0+}\frac{p_k(t+h)-p_k(t)}{h}=\lambda p_{k-1}(t)-\lambda p_k(t) | ||
+ | \] | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | p_0'(t)&=-\lambda p_0(t)\\ | ||
+ | p_k'(t)&=\lambda(p_{k-1}(t)-p_k(t))\\ | ||
+ | p_0(0)&=1\\ | ||
+ | p_k(0)&=0 | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} |
Aktuální verze z 1. 11. 2010, 19:30
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01PRA1_2
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01PRA1_2 | Karel.brinda | 2. 11. 2010 | 13:27 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Valapet2 | 5. 3. 2016 | 19:31 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Fucikrad | 9. 1. 2012 | 14:04 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Úvod | Karel.brinda | 1. 11. 2010 | 19:29 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Diskrétní náhodné veličiny | Karel.brinda | 1. 11. 2010 | 19:30 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Vícerozměrná diskrétní rozdělení | Karel.brinda | 1. 11. 2010 | 19:30 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Absolutně spojitá rozdělení | Valapet2 | 3. 3. 2016 | 11:51 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Funkce náhodných veličin | Karel.brinda | 1. 11. 2010 | 19:31 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Příklady absolutně spojitých rozdělení | Valapet2 | 5. 3. 2016 | 19:35 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Charakteristiky náhodných veličin | Karel.brinda | 1. 11. 2010 | 19:32 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Charakteristiky vícerozměrných náhodných veličin | Karel.brinda | 1. 11. 2010 | 19:32 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Konvergence na prostoru náhodných veličin | Karel.brinda | 1. 11. 2010 | 19:32 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Limitní věty teorie pravděpodobnosti | Karel.brinda | 1. 11. 2010 | 19:33 | kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Základní pojmy ze statistiky | Karel.brinda | 1. 11. 2010 | 19:33 | kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Odhad parametrů rozdělení | Karel.brinda | 1. 11. 2010 | 19:33 | kapitola12.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:Gauss.eps | Gauss.eps |
Image:Fisher.eps | Fisher.eps |
Image:Gamma.eps | Gamma.eps |
Image:Chi2.eps | Chi2.eps |
Image:Pravd.eps | Pravd.eps |
Image:Gauss1.pdf | Gauss.pdf |
Image:Fisher.eps | Fisher.pdf |
Image:Gamma.pdf | Gamma.pdf |
Image:Chi2.pdf | Chi2.pdf |
Image:Beta.pdf | Beta.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01PRA1_2} \section{Diskrétní náhodné veličiny} \begin{define} Náhodná veličina $X$ je diskrétní, právě když $\Ran X$ je nejvýše spočetná množina. \end{define} \begin{define} Pro diskrétní náhodnou veličinu definujeme \[F_X(x)=P(X\le x)=\sum_{m:x_m\le x}P(X=x_m)= \sum_{m=1}^{N,\infty}p_m\chf_{[x_m,+\infty)}(x)\] \end{define} \begin{define} Frekvenční funkce (hustota pravděpodobnosti) je \[ f(x)=\begin{cases} p_m&x=x_m\\ 0&\text{jinde} \end{cases}. \] \end{define} \begin{remark} Platí \[\sum_{m=1}^{N,\infty}p_m=1.\] \end{remark} \subsection{Alternativní (Bernoulliho) rozdělení} Případ, kdy je \[ X(\omega)= \begin{cases} 1\\ 0 \end{cases} \] a $P(X=0)=1-p$, $P(X=1)=p$. \subsection{Diracovo rozdělení} $P(X=c)=1$, $P(X\not=c)=0$. \subsection{Binomické rozdělení} Experiment se $n$-krát opakuje, přičemž pravděpodobnost úspěchu je $P(A)=p$, neúspěchu $P(A\compl)=1-p$. Počet příznivých jevů při $n$ opakováních je \[X=\sum_{j=1}^n X_j.\] Pro pravděpodobnost platí \[ \begin{split} P(X=k)&=P\left( \sum_{\#(i_1,\dots,i_k)} \{X_{i_1}=1,\dots,X_{i_k}=1,X_{i_{k+1}}=0,\dots,X_{i_n}=0\} \right)=\\ &=\sum_{\#(i_1,\dots,i_k)} P(X_{i_1}=1,\dots,X_{i_k}=1,X_{i_{k+1}}=0,\dots,X_{i_n}=0)=\\ &=\binom{n}{k}\prod_{i=1}^kP(x_i=1)\prod_{k=1}^n P(x_i=0)= \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}. \end{split} \] Z~binomické věty také plyne, že \[ \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}p^k(1-k)^{n-k}=(p+1-p)^n=1. \] \subsection{Geometrické (Pascalovo) rozdělení} Nekonečná posloupnost alternativních pokusů, $P(A)=p$, $P(A\compl)=1-p$, $X$ je počet pokusů před prvním výskytem jevu $A$. Platí, že \[P(X=k)=p(1-p)^k.\] Také platí, že \[\sum_{k=0}^\infty p(1-p)^k=p\sum_{k=0}^\infty(1-p)^k =p\frac{1}{1-(1-p)}=1.\] \subsection{Negativně binomické rozdělení} Nekonečné opakování, $Y$ je počet neúspěchů před $m$-tým úspěchem, $P(A)=p$. Potom \[P(Y=k)=\binom{k+m-1}{k}p^m(1-p)^k.\] \subsection{Hypergeometrické rozdělení} Model: zásobník :-), $r$ červených kuliček, $N-r$ bílých, $n$-krát opakuji (bez vracení). $X$ je počet červených kuliček v~$n$-tici. \[P(X=x)=\frac{\binom{r}{x}\binom{N-r}{n-x}}{\binom{N}{n}}.\] \subsection{Poissonovo rozdělení} \begin{define} Náhodná veličina $X$ má Poissonovo rozdělení s~parametrem $\lambda$, pokud \[P(X=x)=\frac{\lambda^x}{x!}\e^{-\lambda}.\] \end{define} \begin{theorem}[Poisson] Nechť $np_n\to\lambda$ (nebo $np_n=\lambda$), $\lambda>0$. Potom \[ \lim_{n\to\infty}P_n(x)=\frac{\lambda^x}{x!}\e^{-\lambda}. \] \begin{proof} \[ \begin{split} \lim_{n\to+\infty}P_n(x)&=\lim_{n\to+\infty}\binom{n}{x}p_n^x(1-p_n)^{n-x}=\\ &=\lim_{n\to+\infty}\binom{n}{x} \left(\frac\lambda n + o\left(\frac1n\right)\right)^x \left(1-\frac\lambda n-o\left(\frac1n\right)\right)^{n-x}=\\ &=\lim_{n\to+\infty}\frac{\lambda^x}{x!} \frac{n(n-1)\cdots(n-x+1)}{n^x} \left( 1+\frac{n}\lambda o\left(\frac1n\right) \right)^x\\ &\quad\left( 1-\frac\lambda n-o\left(\frac1n\right) \right)^n \left( 1-\frac\lambda n-o\left(\frac1n\right) \right)^{-x}= \frac{\lambda^x}{x!}\e^{-\lambda}, \end{split} \] neboť \[ \lim_{n\to+\infty}\left( 1-\frac\lambda n-o\left( \frac1n \right) \right)^n=\e^{-\lambda}. \] \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} \begin{enumerate} \item \[\sum_{x=0}^\infty P(X=x)=\sum_{x=0}^\infty \frac{\lambda^x}{x!}\e^{-\lambda}=\e^{-\lambda}\e^\lambda=1 \] \item Poissonovo rozdělení pro velká $n$ a malá $p$ aproximuje $\mathrm{Bi}(n,p)$. \end{enumerate} \end{remark} \subsubsection{Zákon řídkých jevů} \begin{theorem} Nechť $0<t_1<t_2$ a nechť dále platí: \begin{enumerate} \item Počet výskytů jevu $A$ v~$[t_1,t_2)$ nezávisí na počtu výskytů v $[0,t_1)$. \item Pravděpodobnost výskytu jevu $A$ právě jednou v~$[t,t+h)$ je $\lambda h+o(h)$ při $h\to 0+$. \item Pravděpodobnost výskytu jevu $A$ více než jednou v~$[t,t+h)$ je $o(h)$. \item Pravděpodobnost $P_n(t)$ výskytu $n$ jevů do času $t$ je diferencovatelná funkce $t$ pro každé $n$. \end{enumerate} Pak \[P_n(t)=\frac{\e^{-\lambda t}(\lambda t)^n}{n!}.\] Číslo $\lambda$ se nazývá {\bf intenzita Poissonovského procesu}. \begin{proof} Buď $X_t$ počet událostí v~časovém intervalu $[0,t)$, $P(X_t=k)=p_k(t)$. \[p_0(t+h)=P(X_t=0)P(X_{t+h}-X_t=0)= p_0(t)(1-\lambda h+o(h))\] \[\frac{\d p_0}{\d t}(t)= \lim_{h\to 0+}\frac{p_0(t+h)-p_0(t)}{h}=\lim_{h\to 0+} \left(-\lambda p_0(t)+p_0(t)\frac{o(h)}{h}\right)= -\lambda p_0(t)\] \[ \begin{split} p_k(t+h)&=\sum_{j=0}^k P(X_t=j)P(X_{t+h}-X_t=k-j)=\\ &=\sum_{j=0}^{k-2} P(X_t=j)o(h)+P(X_t=k-1) (\lambda h+o(h))+\\ &\quad+P(X_t=k)(1-\lambda h+o(h)) \end{split} \] \[ \frac{\d p_k}{\d t}(t)= \lim_{h\to 0+}\frac{p_k(t+h)-p_k(t)}{h}=\lambda p_{k-1}(t)-\lambda p_k(t) \] \begin{align*} p_0'(t)&=-\lambda p_0(t)\\ p_k'(t)&=\lambda(p_{k-1}(t)-p_k(t))\\ p_0(0)&=1\\ p_k(0)&=0 \end{align*} \end{proof} \end{theorem}