Matematika2Priklady:Kapitola7: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Založena nová stránka: %\wikiskriptum{Matematika2Priklady} \section{Posloupnosti} \subsection{Omezenost a monotonost} \begin{enumerate} \begin{priklad} a_n = \frac{n+(-1)^n}{n} \end{pri...) |
(Žádný rozdíl)
|
Aktuální verze z 1. 8. 2010, 01:20
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu Matematika2Priklady
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu Matematika2Priklady | Admin | 17. 10. 2011 | 14:52 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Fucikrad | 18. 2. 2021 | 23:55 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Fucikrad | 22. 9. 2011 | 12:06 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Pokročilé techniky integrace a zobecněný Riemannův integrál | Fucikrad | 19. 5. 2021 | 17:50 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Kuželosečky, polární souřadnice a parametrické křivky | Fucikrad | 16. 3. 2023 | 20:25 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Vlastnosti množin, Posloupnosti | Pitrazby | 22. 5. 2016 | 17:54 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Konvergence číselných řad | Fucikrad | 12. 4. 2023 | 12:49 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Obor konvergence mocninných řad a sčítání pomocí mocninných řad | Fucikrad | 27. 4. 2023 | 11:30 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Rozvoj funkce do mocninné řady | Fucikrad | 7. 6. 2018 | 11:02 | kapitola6.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika2Priklady} \section{Posloupnosti} \subsection{Omezenost a monotonost} \begin{enumerate} \begin{priklad} a_n = \frac{n+(-1)^n}{n} \end{priklad} ;~[omezená zdola 0, shora 3/2, není monotonní] \begin{priklad} a_n = \frac{n^2}{n+1} \end{priklad} ;~[omezená zdola 1/2, neomezená shora, rostoucí] \begin{priklad} a_n = \frac{4n}{\sqrt{4n^2 + 1}} \end{priklad} ;~[shora 2, zdola 4/5$\sqrt5$, rostoucí] \begin{priklad} a_n = \frac{4^n}{2^n + 100} \end{priklad} ;~[zdola 2/51, shora neomezená, rostoucí] \begin{priklad} a_n = \frac{10^{10} \sqrt{n}}{n+1} \end{priklad} ;~[zdola 0, shora 1/2 $10^{10}$, klesající] \begin{priklad} a_n = \ln \frac{2n}{n+1} \end{priklad} ;~[zdola 0, shora $\ln 2$, rostoucí] \begin{priklad} a_n = \frac{(n+1)^2}{n^2} \end{priklad} ;~[shora 4, zdola 1, klesající] \begin{priklad} a_n = \sqrt{4 - \frac{1}{n}} \end{priklad} ;~[zdola $\sqrt 3$, shora 2, rostoucí] \begin{priklad} a_n = (-1)^{2n+1}\sqrt n \end{priklad} ;~[shora -1, není zdola, klesající] \begin{priklad} a_n = \frac{2^n - 1}{2^n} \end{priklad} ;~[zdola 1/2, shora 1, rostoucí] \begin{priklad} a_n = \sin \left ( \frac{\pi}{n+1} \right ) \end{priklad} ;~[zdola 0, shora 1, klesající] \begin{priklad} a_n = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \end{priklad} ;~[zdola 0, shora 1/2, klesající] \begin{priklad} a_n = \frac{\ln (n+2)}{n+2} \end{priklad} ;~[ zdola 0, shora $1/3 \ln 3$, klesající] \begin{priklad} a_n = \frac{3^n}{(n+1)^2} \end{priklad} ;~[zdola 3/4, shora není, rostoucí] \end{enumerate} %\newpage %\twocolumn \subsection{Limity posloupností} \begin{multicols}{2} \begin{enumerate} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} \frac{2^n}{4^n + 1} = 0 \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} (-1)^n \sqrt{n} ~ neex. \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} \left ( -\frac{1}{2}\right )^n = 0 \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} \tg \frac{n\pi}{4n+1} = 1 \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} \frac{(2n+1)^2}{(3n-1)^2} = \frac{4}{9} \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} \frac{n^2}{\sqrt{2n^4+1}} = \frac{1}{2}\sqrt2 \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} \cos \pi n ~ neex. \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} e ^ {1/\sqrt n} = 1 \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} \ln(n) - \ln(n+1) = 0 \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt{n+1}}{2 \sqrt{n}} = \frac{1}{2} \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} \left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^{2n} = e^2 \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} \frac{2^n}{n^2} = + \infty \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} \frac{(n+1) \cos \sqrt n}{n(1+\sqrt n)} = 0 \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt n \sin e^n \pi}{n+1} = 0 \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} 2 \ln 3n - \ln (n^2+1) = \ln 9 \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} \left ( \frac{2}{n} \right )^n = 0 \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} \frac{\ln (n+1)}{n+1} = 0 \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} \frac{x^{100n}}{n!} = 0 \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} n ^ {\alpha / n} = 1, \alpha > 0 \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} \frac{3^{n+1}}{4^{n-1}} = 0 \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} (n+2)^{1/(n+2)} = 1 \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} (n+2) ^ {1/n} = 1 \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} \int_0 ^ n e^{-x} \udx = 1 \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} \int_{-n}^{n} \frac{\udx}{1+x^2} = \pi \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} \frac{\ln n^2}{n} = 0 \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} \int_{-1 + 1/n}^{1-1/n} \frac{\udx}{\sqrt{1-x^2}} \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} \frac{5^{n+1}}{4^{2n} - 1} = 0 \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} \left ( \frac{n+1}{n+2} \right ) ^n = \frac{1}{e} \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} \int_n^{n+1} e ^ {-x^2} \udx = 0 \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} \frac{n^n}{2^{n^2}} = 0 \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} \left ( 1 + \frac{x}{2n}\right) ^ {2n} = e^x \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} \int_{-1/n}^{1/n} \sin x^2 \udx = 0 \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} \left ( t + \frac{x}{n} \right ) ^ n, x > 0, t > 0 \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n+1} - \sqrt{n} = 0 \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n^2+n} - n = \frac{1}{2} \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} \sqrt[3]{n^3+n} - n \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} \frac{1 + 2 + \cdots + n}{n^2} = \frac{1}{2} \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} \frac{1^3 + 2^3 + \cdots + n^3}{2n^4 + n -1}= \frac{1}{8} \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} \frac{1^2 + 2 ^2 + \cdots + n^2}{(1+n)(2+n)} \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} \cos (n\pi) \sin (n\pi) = 0 \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} \left ( \frac{n}{1+n} \right ) ^ {1/n} = 1 \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} \cos \frac{\pi}{n} \sin \frac{\pi}{n} = 0 \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} \left ( 2 + \frac{1}{n} \right ) ^ n = + \infty \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} \frac{\ln (n(n+1))}{n} = 0 \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} \left ( \ln \left ( 1 + \frac{1}{n}\right )\right )^n \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} \frac{\pi}{n} \ln \frac{n}{\pi} = 0 \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} \int_1^n \frac{\udx}{\sqrt x} \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \cdots + \frac{n-1}{n^2} = \frac{1}{2} \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} \sqrt{2n+1} - \sqrt{n} = + \infty \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n+1} - \sqrt{n} = 0 \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} 3 \sqrt{n^2+1} - 2n = +\infty \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} n(\sqrt{n^2+1} - n) = \frac{1}{2} \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n^2+1} - \sqrt{n^2-1}=0 \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} \sqrt{3n^2+n+1} - \sqrt{n^2-n+1} = +\infty \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} \sqrt{3n^2+n+1} - \sqrt{3n^2-n+1} = \frac{1}{\sqrt 3} \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt 1 + \sqrt 2 + \cdots + \sqrt n}{(\sqrt n)^3}= \frac{2}{3} \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} + \frac{1}{2n} + \cdots + \frac{1}{n^2} = 0 \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} \frac{1^2+ 2^2 + \cdots + n^2}{n^3} = \frac{1}{3} \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} \frac{1^2+2^2 + \cdots + n^2}{n^2} - \frac{n}{3} = \frac{1}{2} \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} \left ( 1 + \frac{1}{n+1}\right ) ^ n = e \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} \left ( \frac{3n+4}{3n+5}\right ) ^n = \frac{1}{\sqrt[3] e } \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} \left ( \frac{2n+5}{2n+3}\right )^{n+1} = e \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} (1+\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) ^ {\sqrt{n}} = \sqrt{e} \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} \frac{\ln(n^2 + 3n -2)}{\ln(n^5+n+1)}= \frac{2}{5} \end{priklad} \begin{priklad} \lim_{n \to +\infty} \frac{\ln(2+e^{3n})}{\ln(3+e^{2n})} = \frac{3}{2} \end{priklad} \end{enumerate} \end{multicols} \separator