Matematika1:Kapitola2

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 1. 8. 2010, 00:51, kterou vytvořil Admin (diskuse | příspěvky) (Založena nová stránka: %\wikiskriptum{Matematika1} \section{Funkce} \subsection{Definice} \begin{define}[Funkce, definiční obor, obor hodnot]\label{def:funkce} \textbf{Funkce} $f$ s \...)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu Matematika1

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu Matematika1Fucikrad 4. 9. 201511:23
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201514:43
Header editovatHlavičkový souborFucikrad 27. 8. 201108:16 header.tex
Kapitola1 editovatÚvod, jazyk, značeníAdmin 6. 8. 201410:43 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatFunkceAdmin 6. 8. 201410:45 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatLimita funkceFucikrad 28. 9. 202010:57 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatSpojitost funkcePitrazby 5. 11. 201619:18 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatDerivace funkceFucikrad 13. 10. 202011:54 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatAplikace derivaceFucikrad 24. 10. 202013:32 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatIntegrální početFucikrad 21. 2. 201715:57 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatTranscendentní funkceFucikrad 20. 2. 202112:29 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatAplikace integráluFucikrad 11. 1. 202110:39 kapitola9.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:matematika1_cosh.pdf cosh.pdf
Image:matematika1_sinh.pdf sinh.pdf
Image:matematika1_sinxx.pdf sinxx.pdf
Image:matematika1_tgh.pdf tgh.pdf
Image:matematika1_cotgh.pdf cotgh.pdf
Image:matematika1_riemann.pdf riemann.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{Matematika1}
\section{Funkce}
  \subsection{Definice}
   \begin{define}[Funkce, definiční obor, obor hodnot]\label{def:funkce} 
    \textbf{Funkce} $f$ s \textbf{definičním oborem} $D_f$ je předpis,
    který každému číslu $x \in D_f$ přiřadí {právě jedno} reálné číslo, které značíme $f(x)$. 
    Množinu všech takto přiřazených čísel nazýváme \textbf{obor hodnot} a značíme $H_f$.
   \end{define}
 
 
 
\begin{define}[Graf funkce] 
  \textbf{Grafem funkce} f je množina bodů v rovině (x,y) takových, že $x\in D_{f}$ a $ y=f(x)$.
\end{define}
 
\begin{remark} 
  Kartézský součin A x B je předpis funkce $\Leftrightarrow$ $ (\forall a\in A)(\exists_{1} b\in B)$.
\end{remark}
 
\begin{theorem}
  Množina $F$ je funkcí ve smyslu definice  \ref{def:funkce}, právě tehdy, když pro všechny uspořádané dvojice čísel $(x,y)$ platí:
$$ \big( (x,y) \in F \wedge (x,z) \in F \big) \Rightarrow y=z. $$
\end{theorem}
 
 
  \subsection{Základní funkce}
 
\begin{define}[Polynom] \textbf{Polynom} $p$  je funkce definovaná jako 
$$p(x)=a_{n}x^n + a_{n-1}x^{n-1} +  a_{n-2}x^{n-2} + \ldots + a_{2}x^2 + a_{1}x^1 + a_{0}x^0 = \sum_{k=0}^{n}(a_{k}x^k).$$
Pokud $a_n$ je nejvyšší nenulový koeficient polynomu (tj. $a_k = 0$ pro všechna $k>n$), říkáme, že takový polynom má stupeň $n$. Definiční obor každého polynomu je $D_{p} =\R$, obor hodnot závisí na každé konkrétní volbě koeficientů $a_k$.
\end{define}
 
\begin{remark} Dalšími základními funkcemi jsou:
\begin{itemize}
  \item Odmocnina $\sqrt{x} $, $D_{\sqrt{~}}= \R^{+}_{0} $,  $ H_{\sqrt{~}}= \R^{+}_{0} $ 
  \item Racionální funkce  $ \frac{1}{x}$,  $ D_{\frac1x}= \R \smallsetminus \{ 0 \} $,  $H_{\frac1x}= \R \smallsetminus \{ 0 \} $ 
\end{itemize}
\end{remark}
 
\subsection{Algebraické kombinace funkcí}
\pzp Součet, rozdíl, součin, podíl dvou funkcí, násobení funkce číslem. Skládání funkcí $f \circ g$, $f \circ g \circ h$
  apod. Skládání funkcí není komutativní $f \circ g \neq g \circ f$ !!! 
 
\begin{define}[Algebraické kombinace funkcí]~
Nechť $f$ je funkce s definičním oborem $D_{f}$ a $g$ je funkce s definičním oborem $D_{g}$, nechť 
\textbf{ $D_{f}= D_{g} $}. Pak: \\
\begin{itemize}
\item $ (f+g)(x) = f(x) + g(x)$ 
\item $ (f-g)(x) = f(x) - g(x)$ 
\item $ (f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)$ 
\item $ g(x) \neq 0 ~ \forall x \in D_{g} $ : $ ( \frac{f}{g})(x) = \frac{f(x)}{g(x)} $ 
 
\end{itemize}
\end{define}
 
 
\subsection{Prostá a inverzní funkce}
  \begin{define}[Prostá funkce]
   Funkce $f$ je \textbf{prostá}, právě když neexistují dva různé body z $D_f$ na kterých
   by $f$ nabývala stejné hodnoty. Tj. $(\forall x_1, x_2 \in D_f)(f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2)$.
  \end{define}
 
  \begin{theorem}[O inverzní funkci]
    Je-li funkce $f$ prostá, pak \textbf{existuje právě jedna} funkce $g$ s definičním oborem 
    $D_g = H_f$ taková, že $f\big(g(x)\big) = x$ pro $\forall x \in D_g$. 
  \end{theorem}    
  \begin{proof}
  %% dodelat
  \end{proof}
 
  \begin{define}[Inverzní funkce]~~\\
   Funkci $g$ z předchozí věty značíme $g=f^{-1}$ a nazýváme funkcí \textbf{inverzní} k funkci $f$.
  \end{define}
 
\pzp Čemu a na jakém definičním oboru je rovno složení $f \circ f^{-1}$, resp. $f^{-1} \circ f$ ?
 
\subsection{Parita, obraz, vzor}
\pzp Sudá a lichá funkce. Pojem obrazu a vzoru množiny při zobrazení $f$.