Matematika1:Kapitola1: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Řádka 66: | Řádka 66: | ||
$V_{1} \Leftrightarrow V_{2}$ & ekvivalence - $V_{1}$ platí právě tehdy, když platí $V_{2}$. \\ | $V_{1} \Leftrightarrow V_{2}$ & ekvivalence - $V_{1}$ platí právě tehdy, když platí $V_{2}$. \\ | ||
$\exists$ & existenční kvantifikátor - existuje \textbf{aspoň} jeden prvek \dots \\ | $\exists$ & existenční kvantifikátor - existuje \textbf{aspoň} jeden prvek \dots \\ | ||
− | $\exists_1$ nebo $\exists!$ & existenční | + | $\exists_1$ nebo $\exists!$ & existenční kvantifikátor - existuje \textbf{právě} jeden prvek \dots \\ |
$\exists_{\infty}$ & existenční kvantifikátor - existuje \textbf{nekonečně} prvků \dots \\ | $\exists_{\infty}$ & existenční kvantifikátor - existuje \textbf{nekonečně} prvků \dots \\ | ||
$\forall$ & kvantifikátor: \textbf{pro všechny} prvky \dots | $\forall$ & kvantifikátor: \textbf{pro všechny} prvky \dots |
Aktuální verze z 25. 9. 2023, 11:48
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu Matematika1
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu Matematika1 | Fucikrad | 4. 9. 2015 | 11:23 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:43 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Fucikrad | 27. 8. 2011 | 08:16 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Úvod, jazyk, značení | Fucikrad | 25. 9. 2023 | 11:48 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Funkce | Admin | 6. 8. 2014 | 10:45 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Limita funkce | Fucikrad | 7. 10. 2021 | 16:41 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Spojitost funkce | Pitrazby | 5. 11. 2016 | 19:18 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Derivace funkce | Dvoraro3 | 6. 1. 2023 | 23:50 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Aplikace derivace | Fucikrad | 24. 10. 2020 | 13:32 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Integrální počet | Fucikrad | 21. 4. 2022 | 06:45 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Transcendentní funkce | Fucikrad | 20. 2. 2021 | 12:29 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Aplikace integrálu | Fucikrad | 11. 1. 2021 | 10:39 | kapitola9.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:matematika1_cosh.pdf | cosh.pdf |
Image:matematika1_sinh.pdf | sinh.pdf |
Image:matematika1_sinxx.pdf | sinxx.pdf |
Image:matematika1_tgh.pdf | tgh.pdf |
Image:matematika1_cotgh.pdf | cotgh.pdf |
Image:matematika1_riemann.pdf | riemann.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika1} \section[Úvod]{\fbox{Úvod}} V této úvodní kapitole se seznámíme se základními matematickými pojmy, značením, operacemi s množinami a základy matematické logiky. Dále jsou zde stručně probrány číselné množiny, intervaly, pojem omezenosti množiny, horní hranice (závora) množiny a konečně význam absolutní hodnoty čísla. \subsection{Množiny} \begin{define}[Naivní definice množiny --- Cantor 1873] Soubor dobře definovaných a dobře rozlišitelných objektů se nazývá \textbf{množina}. Množiny zapisujeme ve tvaru $$ M = \{ \hbox{prvek~} x~:\hbox{~vlastnosti prvku~} x \}. $$ \end{define} \begin{define}[Operace s množinami] Nechť $A$ a $B$ jsou nějaké množiny a $x$ je prvek. Potom definujeme následující symboly: \begin{tabular}{lp{10cm}} $x \in A$ & prvek $x$ náleží množině $A$.\\ $x \notin A$ & prvek $x$ nenáleží množině $A$.\\ $A \subset B$ & množina $A$ je částí množiny $B$. \\ $A \cup B$ & sjednocení množin $A$ a $B$. \\ $A \cap B$ & průnik množin $A$ a $B$. \\ $\emptyset$ & prázdná množina. \\ $A = \{ x : V \}$ & zápis množiny, která má prvky $x$, o kterých platí vlastnost $V$, např. $V:x>0$. \end{tabular} \end{define} \begin{remark} Vlastnosti prázdné množiny $\emptyset$: \begin{itemize} \item $A \cup \emptyset = A$ \item $A \cap \emptyset = \emptyset$ \end{itemize} \end{remark} \begin{example} Nechť $A = \{ \female \}$, $B = \{ \male, \female \}$, pak platí: \begin{itemize} \item $A \subset B$ \item $A \cap B = \{ \female \} = A$ \item $A \cup B = \{ \male,\female \} = B$ \end{itemize} \end{example} \begin{define}[Kartézský součin množin $A$ a $B$]\oprava $$A \times B = \{ (x,y) : x \in A \hbox{~a~} y \in B \}$$ \end{define} \subsection{Výroky} \begin{define}[Výrok] \textbf{Výrok} je tvrzení, o kterém můžeme rozhodnout zda platí nebo neplatí. \end{define} \begin{define}[Přehled operací s výroky] Nechť $V_{1}$ a $V_{2}$ jsou výroky. Potom definujeme následující značení: \begin{tabular}{lp{12cm}} $V_{1}$ & výrok $V_{1}$ (platí).\\ $\neg V_{1}$ & negace výroku $V_{1}$ (výrok $V_{1}$ neplatí).\\ $V_{1} \wedge V_{2}$ & konjunkce - platí $V_{1}$ a zároveň $V_{2}$. \\ $V_{1} \vee V_{2}$ & disjunkce - platí $V_{1}$ nebo $V_{2}$. \\ $V_{1} \Rightarrow V_{2}$ & implikace - když platí $V_{1}$ , pak platí $V_{2}$. \\ $V_{1} \Leftrightarrow V_{2}$ & ekvivalence - $V_{1}$ platí právě tehdy, když platí $V_{2}$. \\ $\exists$ & existenční kvantifikátor - existuje \textbf{aspoň} jeden prvek \dots \\ $\exists_1$ nebo $\exists!$ & existenční kvantifikátor - existuje \textbf{právě} jeden prvek \dots \\ $\exists_{\infty}$ & existenční kvantifikátor - existuje \textbf{nekonečně} prvků \dots \\ $\forall$ & kvantifikátor: \textbf{pro všechny} prvky \dots \end{tabular} \end{define} \begin{remark} Výlučná disjunkce (exkluzivní disjunkce, non-ekvivalence): $(V_1 \vee V_2) \wedge \neg(V_1 \wedge V_2)$. \end{remark} \begin{define}[Tabulka pravdivostních hodnot pro operace s výroky]\label{def:vyroky} V následující tabulce \textbf{P} znamená platí a \textbf{N} neplatí: \\ \begin{tabular}{|c||c||c|c|c|c|} \hline $V_{1}$ & $V_{2}$ & $V_{1}\wedge V_{2}$ & $V_{1}\vee V_{2}$ & $V_{1}\Rightarrow V_{2}$ & $V_{1}\Leftrightarrow V_{2}$ \\ \hline \hline P & P & P & P & P & P \\ \hline P & N & N & P & N & N \\ \hline N & P & N & P & P & N \\ \hline N & N & N & N & P & P \\ \hline \end{tabular} \end{define} \begin{lemma}\label{lemma1_7} Pravidla při negování výroků (z definice~\ref{def:vyroky}): \begin{enumerate} \item $\neg(V_1\vee V_2) = \neg V_1 \wedge \neg V_2$ \item $\neg(V_1\wedge V_2) = \neg V_1 \vee \neg V_2$ \item $\neg(V_1\Rightarrow V_2) = V_1 \wedge \neg V_2$ \item $\neg(\exists x\in M) = \forall x \in M$ \item $\neg(\forall x\in M) = \exists x \in M$ \end{enumerate} \end{lemma} \subsection{Číselné množiny}\label{sekce:ciselne_mnoziny} \begin{define}[Značení číselných množin] \begin{tabular}{lp{10cm}} Přirozená čísla $\N$, & $\N= \{ 1,2,3,4 \ldots \} $. \\ Celá čísla $\Z$, & $\Z= \{ \ldots -3 ,-2, -1,0, 1,2,3 \ldots \} $. \\ Racionální čísla $\Q$, & $\Q= \{ \frac{p}{q}~:~ p \in \Z ~ ; ~ q \in\N \} $. \\ Reálná čísla $\R$. \\ Iracionální čísla $\R\setminus\Q$. \\ Komplexní čísla $\C$, & $\C = \{ a+ib : a,b\in \R, i^2=-1 \}$. \end{tabular} \end{define} \begin{lemma}[Vlastnosti reálných čísel] Nechť $a$, $b$, $c$ jsou reálná čísla. Potom platí: \begin{enumerate} \item $(a<b)\vee(a>b)\vee(a=b)$ \item $(a<b)\wedge(b<c) \Rightarrow (a<c)$ transitivita \item $(a+b<a+c) \Rightarrow (b<c)$ \item $(a<b) \wedge (c>0) \Rightarrow ac<cb$ \\ $(a<b) \wedge (c<0) \Rightarrow ac>cb$ \end{enumerate} \end{lemma} \begin{theorem}[O hustotě $\R$]\label{veta:ohmrc} Mezi libovolnými různými reálnými čísly je nekonečně mnoho racionálních a nekonečně mnoho iracionálních čísel. \end{theorem} \begin{corollary} Neexistuje nejmenší kladné reálné číslo. \begin{proof} \textbf{Sporem}. Principem důkazu sporem je ukázat, že negace tvrzení vede ke sporu. Matematická věta je obvykle zapsána pomocí implikace výroků \begin{equation} \hbox{Předpoklad~}\Rightarrow \hbox{~Tvrzení}, \end{equation} přičemž podle pravidel negování výroku (Lemma \ref{lemma1_7}) je její negace \begin{equation} \neg(\hbox{Předpoklad~}\Rightarrow \hbox{~Tvrzení}) = \hbox{Předpoklad~} \wedge \neg \hbox{Tvrzení}, \end{equation} % tj. předpokládáme platnost Předpokladu a zároveň neplatnost Tvrzení. Uvažujme následující slovní vyjádření výroku (ozn. $V$): \textit{Není pravda, že by existovalo kladné reálné číslo, které by bylo menší než všechna ostatní reálná čísla (různá od tohoto čísla)}. Kvantifikovaně lze výrok $V$ vyjádřit takto: $$ V = \neg (\exists c\in\R, c > 0)(\forall r \in\R, r>0, r \neq c)(c < r) $$ Tento výrok lze převést pomocí pravidel pro negování výrazů s $\exists$ a $\forall$ na výrok $$ V = (\forall c \in\R, c > 0)(\exists r\in\R, r>0, r \neq c)(c\geq r), $$ které vyjadřuje ekvivalentní tvrzení \textit{Pro všechna kladná reálná čísla $c$ existuje aspoň jedno reálné číslo $r$ takové, že je ostře menší než $c$.} Pro důkaz sporem tedy předpokládejme, že platí negace výroku $V$, to jest $$ \neg V = (\exists c \in\R, c> 0)(\forall r \in\R, r>0, r\neq c)(c < r) $$ Označme si toto nejmenší číslo, které nyní předpokládáme, že existuje, symbolem $c_{min}$. Potom ale podle věty~\ref{veta:ohmrc} mezi čísly $0$ a $c_{min}$ existuje alespoň jedno číslo $x$ tak, že $0 < x < c_{min}$. Tedy díky větě~\ref{veta:ohmrc} snadno nalezneme kladné reálné číslo, které je menší než údajně nejmenší číslo $c_{min}$, což je \textbf{spor}. \end{proof} \end{corollary} \subsection{Důkaz matematickou indukcí} \begin{remark} Princip důkazu tvrzení $V[n]$ matematickou indukcí. Tvrzení $V[n]$ nazýváme \textbf{indukční předpoklad}. \begin{enumerate} \item \textbf{První krok.} Ověříme, že tvrzení platí pro nejnižší index, např. že $V[1]$ platí. \item \textbf{Indukční krok $n\to n+1$.} Za předpkladu, že platí $V[n]$, dokážeme platnost $V[n+1]$. \end{enumerate} \end{remark} \subsection{Intervaly} \begin{define}[Interval] \begin{tabular}{l} Otevřený interval $ (a,b) = \{ ~ x \in \R ~ : ~ a < x < b ~ \} $ \\ Uzavřený interval $ [a,b] = \{ ~ x \in \R ~ : ~ a \leq x \leq b ~ \} $ \\ Polootevřený (polouzavřený) interval $ [a,b) = \{ ~ x \in \R ~ : ~ a \leq x < b ~ \} $ \end{tabular} \end{define} \begin{define}[Nekonečno] Pro symbol $+\infty$ platí, že $(\forall x\in\R)(x<+\infty)$.\\ Pro symbol $-\infty$ platí, že $(\forall x\in\R)(x>-\infty)$. \end{define} \subsection{Omezenost množin} \begin{define}[Omezenost množiny]\label{def:omezenost} \begin{tabular}{lp{10cm}} Říkáme, že množina $M$ je omezená shora & $ \EkvDef (\exists h\in\R) (\forall x \in M) (x \leq h ) $. \\ Říkáme, že množina $M$ je omezená zdola & $ \EkvDef (\exists d\in\R) (\forall x \in M) (x \geq d ) $. \\ Říkáme, že množina $M$ je omezená & $ \EkvDef $ je omezená shora i zdola. \\ Říkáme, že množina $M$ je neomezená & $ \EkvDef $ není omezená shora ani zdola. \\ \end{tabular} \end{define} \begin{define}[Závora množiny] Číslo $h$, resp. $d$ z definice~\ref{def:omezenost} nazvýváme horní, resp. dolní závora (hranice) množiny $M$. \end{define} \subsection{Absolutní hodnota} \begin{define}[Absolutní hodnota] \textbf{Absolutní hodnota} čísla $x\in\R$ je $$ |x| = \left\{ \begin{array}{lcl} x & \hbox{pro} & x \geq 0 \\ \\ -x & \hbox{pro} & x < 0 \end{array}\right.. $$ \end{define} \begin{remark} Platí $|x| = \max\{x, -x\}$ a hlavně $\sqrt{x^2} = |x|$. \end{remark} \begin{theorem}[Trojúhelníková nerovnost $\triangle\neq$] $$ |a+b| \leq |a| + |b|. $$ \begin{proof} Platí: $$ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \leq |a|^2 + 2|a||b| + |b|^2 = (|a| + |b|)^2, $$ kde po odmocnění levé a pravé strany nerovnosti dostáváme $$ |a+b| \leq \big| |a| + |b| \big| = |a| + |b|. $$ \end{proof} \end{theorem} \begin{corollary} $$\big| |a|-|b| \big| \leq |a-b|.$$ \begin{proof} $$ (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 \geq |a|^2-2|a||b|+|b|^2 = (|a|-|b|)^2, $$ kde po odmocnění levé a pravé strany nerovnosti dostaneme tvrzení věty. \end{proof} \end{corollary}