Součásti dokumentu Matematika1
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika1}
\section[Transcendentní funkce]{\fbox{Transcendentní funkce}}
\subsection{Algebraické a transcendentní funkce}
\begin{define}[Algebraické číslo]
Algebraické číslo je číslo, které je kořenem polynomu s racionálními koeficienty.
\end{define}
\begin{define}[Transcendentní číslo]
Transcendentní číslo je číslo, které není algebraické.
\end{define}
\begin{define}[Algebraická funkce]
Algebraická funkce splňuje polynomiální rovnici s polynomiálními koeficienty.
\end{define}
\begin{define}[Transcendentní funkce]
Transcendentní funkce je funkce, která není algebraická.
\end{define}
\subsection{Logaritmická funkce}
\begin{define}[Logaritmická funkce]\label{def:logf}
Logaritmická funkce je nekonstantní diferencovatelná funkce $f$ definovaná na $\R^+$, která pro všechny $x>0$ a $y>0$ splňuje
$$
f(xy) = f(x)+f(y).
$$
\end{define}
\begin{theorem}[Vlastnosti logaritmické funkce]\label{thm:logf}
Buď $f$ logaritmická funkce. Potom
\begin{enumerate}
\item $f(1)=0$
\item $f\left(\frac1x\right)=-f(x)$
\item $f\left(\frac{x}{y}\right)=f(x)-f(y)$
\item $f^\prime(x)=\frac{1}{x}f^\prime(1)$, kde $f^\prime(1)$ odpovídá bázi logaritmu.
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}~
\begin{enumerate}
\item $f(1) = f(1\cdot1) = f(1) + f(1) = 2f(1)$ odkud $f(1)=0$.
\item $0 = f(1) = f(x\cdot\frac1x) = f(x) + f(\frac1x)$ odkud $f(x) = -f(\frac1x)$.
\item viz 2.
\item $f^\prime(x) = \lim\limits_{h\to0}\frac1h\left(f(x+h)-f(x)\right)
=\lim\limits_{h\to0}\frac{x}{x}\frac1hf\left(\frac{x+h}{x}\right)
\overset{u=\frac{h}{x}}{=}
\frac1x\lim\limits_{u\to0}\frac1u(f(1+u)-\underbrace{f(1)}_0) = \frac{1}{x}f^\prime(1)
$
\end{enumerate}
\end{proof}
\subsection{Přirozený logaritmus}
\begin{define}[Přirozený logaritmus]\label{def:ln}
Funkce
\be\label{dln}
\ln x = \int\limits_1^x \frac{\ud t}{t},
\ee
pro $x>0$ se nazývá \textbf{přirozený logaritmus}.
\end{define}
\begin{theorem}
Funkce $\ln$ je logaritmická funkce.
\begin{proof}
Předpokládejme bez újmy na obecnosti, že $0<x<y$. \\
Podle definice~\ref{def:logf} musíme ukázat, že $\ln(x\cdot y) = \ln{x}+\ln{y}$:
$$
\ln(xy) = \int\limits_1^{xy} \frac{\ud t}{t} =
\int\limits_1^x \frac{\ud t}{t} + \int\limits_x^{xy} \frac{\ud t}{t}
\overset{u=\frac{t}{x}}{=}
\int\limits_1^x \frac{\ud t}{t} + \int\limits_1^{y} \frac{\ud u}{u} =
\ln{x}+\ln{y}.
$$
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}[Vlastnosti $\ln x$]
Funkce $\ln x$ definovaná vztahem (\ref{dln}) má následující vlastnosti:
\begin{enumerate}
\item $(\ln x)^\prime = \frac{1}{x}$
\item $\ln$ je ostře rostoucí na $D_{\ln}$.
\item $\ln{x^\alpha} = \alpha \ln{x}$ pro $\alpha\in\R$.
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}~
\begin{enumerate}
\item Derivací integrálu jakožto funkce horní meze v definici \ref{def:ln} dostáváme tvrzení věty, což zároveň odpovídá \uv{přirozené} volbě $f^\prime(1)=1$ ve větě~\ref{thm:logf}(4.).
\item Pro všechna $x\in D_{\ln}=\R^+$ je $\frac1x>0$ a tudíž podle věty~\ref{thm:monotonie} ostře roste.
\item Pro $\alpha=0$ tvrzení zjevně platí. Pro $\alpha\neq0$ máme
$$
\ln x^\alpha = \int\limits_1^{x^\alpha}\frac{\ud t}{t}
\overset{t=u^\alpha}{=}
\alpha \int\limits_1^x \frac{u^{\alpha-1}}{u^\alpha}\ud u = \alpha\ln{x}.
$$
\end{enumerate}
\end{proof}
\begin{define}[Eulerovo číslo]
Eulerovo číslo $\e$ je jediné číslo, které splňuje $\ln{\e}=1$.
\end{define}
\subsection{Exponenciální funkce}
\begin{define}[Exponenciální funkce]
Inverzní funkci k funkci $\ln$ nazýváme exponenciální funkcí při základu $\e$ a značíme $\e^x$ nebo $\exp(x)$.
\end{define}
\begin{theorem}[Vlastnosti exponenciální funkce]\oprava
\begin{enumerate}
\item $(\e^x)^\prime = \e^x$ pro $x\in\R$.
\item $\e^{x+y} = \e^x\e^y$ pro $x,y\in\R$.
\item $\e^{-x} = \frac{1}{\e^x}$ pro $x\in\R$.
\end{enumerate}
\begin{proof}~
\begin{enumerate}
\item Podle věty~\ref{thm:dinverze} o derivaci inverzní funkce platí
$$
(\e^x)^\prime = \frac{1}{\left(\frac{1}{\e^x}\right)} = \e^x.
$$
\item $\ln\e^{x+y} = (x+y)\ln\e = x+y = x\ln\e + y\ln\e = \ln\e^{x}\e^{y}$.
\item viz 2.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
\subsection{Obecná mocnina}
\begin{define}[Obecná mocnina]\label{def:obecna_mocnina}
Pro $\beta>0$ a $\alpha\in\R$ definujeme \textbf{obecnou mocninu} jako
$$
\beta^\alpha = e^{\alpha \ln \beta},
$$
kde $\beta$ je báze (základ) a $\alpha$ exponent (mocnina).
\end{define}
\begin{theorem}[Vlastnosti obecné mocniny]
Nechť $x>0$ a $a,b\in\R$. Pak
\begin{enumerate}
\item $x^{a+b} = x^ax^b$.
\item $x^{-a} = \frac{1}{x^a}$.
\item $(x^{a})^\prime = ax^{a-1}$.
\item $(a^x)^\prime = (\ln{a})\cdot a^x$.
\end{enumerate}
\begin{proof}
Všechny body věty plynou z definice~\ref{def:obecna_mocnina} a vlastností logaritmu.
\end{proof}
\end{theorem}
\subsection{Obecná báze logaritmu}
\begin{define}[Obecná báze logaritmu]\label{def:obecny_logaritmus}
Pro $p>0$, $p\neq 1$ definujeme \textbf{logaritmus při základu p} jako
$$
\log_p x = \frac{\ln x}{\ln p},
$$
kde $p$ je báze (základ). Pro $p=10$ definujeme dekadický logaritmus a značíme zkráceně symbolem $\log$.
\end{define}
\begin{theorem}[Vlastnosti logaritmu]\oprava
\begin{enumerate}
\item $\log_p{x}$ je inverzní funkce k $p^x$.
\item $(\log_p{x})^\prime = \frac{1}{\ln{p}}\frac{1}{x}$.
\item $\log_p{x}$ je logaritmická funkce.
\end{enumerate}
\begin{proof}~
\begin{enumerate}
\item Podle definice~\ref{def:obecny_logaritmus} je funkce $\log_p$ stejně jako $\ln$ prostá na $\R^+$. Stačí ověřit obě vlastnosti inverzní funkce $f\circ f^{-1} = \id$ a $f^{-1}\circ f = \id$ (viz věta~\ref{thm:inverze_id}):
$$ \log_p{p^x} = \frac{\ln{p^x}}{\ln{p}} = \frac{x\ln{p}}{\ln{p}} = x,$$
$$ p^{\log_p{x}} = \e^{\log_p(x)\cdot\ln{p}} = \e^{\frac{\ln{x}}{\ln{p}}\ln{p}} = \e^{\ln{x}}=x$$
\item Tvrzení plyne přímou derivací definice~\ref{def:obecny_logaritmus} podle $x$.
\item Ověření vlastnosti logaritmické funkce (viz definice~\ref{def:logf}):
$$
\log_p(x\cdot y) = \frac{\ln(x\cdot y)}{\ln{p}} = \frac{\ln{x}+\ln{y}}{\ln{p}} = \frac{\ln{x}}{\ln{p}} + \frac{\ln{y}}{\ln{p}} = \log_p{x} + \log_p{y}
$$
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
\subsection{Hyperbolické funkce}
\begin{define}[Hyperbolické funkce]\label{def:hyperbolicke}\oprava
\begin{align*}
\sinh x &= \frac{e^x-e^{-x}}{2}, \\
\cosh x &= \frac{e^x+e^{-x}}{2}, \\
\tgh x &= \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}, \\
\ctgh x &= \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}
\end{align*}
\end{define}
\begin{figure}[ht]
\centering
\subfigure{\includegraphics[width=0.4\textwidth]{sinh}}
\subfigure{\includegraphics[width=0.4\textwidth]{cosh}}
\\
\subfigure{\includegraphics[width=0.4\textwidth]{tgh}}
\subfigure{\includegraphics[width=0.4\textwidth]{cotgh}}
\label{fig:hyperbolicke}
\caption{Grafy hyperbolických funkcí.}
\end{figure}
\begin{theorem}[Vlastnosti hyperbolických funkcí $\sinh$ a $\cosh$]\oprava
\begin{enumerate}
\item $\cosh{x} > \frac12\e^x > \sinh{x}$
\item $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$.
\item $\sinh(x+y) = \sinh{x}\cosh{y} + \sinh{y}\cosh{x}$
\item $\cosh(x+y) = \cosh{x}\cosh{y} + \sinh{x}\sinh{y}$
\end{enumerate}
\begin{proof}
Tvrzení se dokáží dosazením vzorců z definice~\ref{def:hyperbolicke}.
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}[Derivace hyperbolických funkcí]\oprava
\begin{align}
(\sinh x)^\prime &= \cosh x, \\
(\cosh x)^\prime &= \sinh x, \\
(\tgh x)^\prime &= \frac{1}{\cosh^2 x}, \\
(\ctgh x)^\prime &= -\frac{1}{\sinh^2 x}
\end{align}
\end{theorem}
\subsection{Inverzní hyperbolické funkce}
\begin{define}[Inverzní hyperbolické funkce]\oprava
\begin{align*}
&\argsinh x = \sinh^{-1} x \quad &&\hbox{argument hyperbolického sinu}, \\
&\argcosh x = \cosh^{-1} x \quad &&\hbox{argument hyperbolického cosinu}, \\
&\argtgh x = \tgh^{-1} x, \quad &&\hbox{argument hyperbolické tangenty}, \\
&\argctgh x = \ctgh^{-1} x, \quad &&\hbox{argument hyperbolické kotangenty}.
\end{align*}
\end{define}
\begin{theorem}[Explicitní vyjádření inverzních hyperbolických funkcí]\label{thm:invhyperb}\oprava
\begin{align}
&\argsinh x = \ln (x+\sqrt{x^2+1}), &&\hbox{pro~~} x \in\R \\
&\argcosh x = \ln (x+\sqrt{x^2-1}), &&\hbox{pro~~} x \geq 1 \\
&\argtgh x = \frac12 \ln\frac{1+x}{1-x}, &&\hbox{pro~~} x \in (-1, 1) \\
&\argctgh x = \frac12 \ln\frac{x+1}{x-1} &&\hbox{pro~~} x \in (-\infty, -1)\cup(1, +\infty).
\end{align}
\begin{proof}
Pro jednotlivé funkce je potřeba odvodit inverzní funkci pomocí techniky explicitního vyjádření $x=f^{-1}(y)$ ze vztahu $y = f(x)$.
\begin{enumerate}
\item $y = \sinh{x} = \frac12(\e^x - \e^{-x})$, kde vynásobením rovnice $\e^x$ dostáváme kvadratickou rovnici pro neznámou \uv{$\e^x$}:
$$
(\e^{x})^2-2y\e^x -1=0,
$$
kterou řeší
$$
\e^x = y\pm\sqrt{y^2+1}.
$$
Z těchto řešení vyhovuje pouze $\e^x = y+\sqrt{y^2+1}$, protože $H_{\e^x}=\R^+$. Odtud již plyne tvrzení věty.
\item Funkce $\cosh$ není na $\R$ prostá a proto nejprve zúžíme definiční obor např. na $\R_0^+$ tak, abychom dostali prostou funkci.
$y=\cosh{x}=\frac12(\e^x + \e^{-x}$, kde vynásobením rovnice $\e^x$ dostáváme kvadratickou rovnici pro neznámou \uv{$\e^x$}:
$$
(\e^{x})^2+2y\e^x -1=0,
$$
kterou řeší
$$
\e^x = y\pm\sqrt{y^2-1}.
$$
Z těchto řešení vyhovuje pouze $\e^x = y+\sqrt{y^2-1}$, protože pro daný definiční obor funkce $\cosh$ ($x\geq0$) je funkce $\e^x\geq1$. Odtud již plyne tvrzení věty.
\item $y=\tgh{x}=\frac{\e^x-\e^{-x}}{\e^x+\e^{-x}}$, kde vynásobením rovnice $\e^x(\e^x+\e^{-x})$ dostáváme kvadratickou rovnici pro neznámou \uv{$\e^x$}:
$$
(y-1)(\e^{x})^2 + y + 1=0,
$$
kterou řeší
$$
\e^x = \pm\sqrt{\frac{1+y}{1-y}}.
$$
Z těchto řešení vyhovuje pouze to kladné, neb $H_{\e^x}=\R^+$. Odtud již plyne tvrzení věty.
\item Inverzní funkce k $\ctgh$ -- viz 3.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{theorem}[Derivace inverzních hyperbolických funkcí]\oprava
\begin{align}
(\argsinh x)^\prime &= \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}, \\
(\argcosh x)^\prime &= \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}, \\
(\argtgh x)^\prime &= (\argctgh x)^\prime = \frac{1}{1-x^2} \quad \hbox{\textit{(pozor na různé definiční obory!)}}.
\end{align}
\end{theorem}
\begin{proof}
Větu snadno dokážeme derivací explicitního vyjádření inverzních funkcí ve větě~\ref{thm:invhyperb}.
\end{proof}
\subsection{Pokročilé techniky integrace goniometrických funkcí}
\begin{remark}
Dle lemma~\ref{lemma:sincos} lze snížit druhou mocninu funkcí $\sin$ a $\cos$:
\begin{align*}
\cos^2(x) &= \frac{1+cos(2x)}{2}, \\
\sin^2(x) &= \frac{1-cos(2x)}{2},
\end{align*}
čehož je možné využít při integraci výrazů tvaru $\int\sin^m{x}\cos^n{x}\ud x$, kde $m,n\in\N_0$:
\begin{enumerate}
\item Jsou-li $m$ i $n$ sudé: \\
Použijeme lemma~\ref{lemma:sincos} na $\int(\sin^2{x})^{\frac{m}2}(\cos^2{x})^{\frac{n}2}\ud x$
\item Jsou-li ($m$ sudé a $n$ liché) nebo ($m$ liché a $n$ sudé):\\
Substituujeme funkci se sudou mocninou (z funkce s lichou mocninou dostaneme diferenciál), např. pro $m$-sudé, $n$-liché:
$$
\int\sin^m{x}(\cos^2{x})^{\frac{n-1}2}\cos{x}\ud x = \Big|u=\sin{x} \Big| = \int u^m (1-u^2)^{\frac{n-1}{2}}\ud u
$$
\item Jsou-li $m$ i $n$ liché:\\
Převedeme integrand pomocí součtových vzorců $2\sin{x}\cos{x}=\sin(2x)$ a lemma~\ref{lemma:sincos} na výraz předchozích typů, např. pro $m<n$:
$$
\int\sin^m{x}\cos^n{x}\ud x = \int(\sin{x}\cos{x})^m(\cos^2{x})^{\frac{n-m}{2}}\ud x = \int\left(\frac{\sin(2x)}{2}\right)^m\left(\frac{1+\cos(2x)}{2}\right)^{\frac{n-m}{2}}\ud x,
$$
kde poznamenejme, že $m-n$ je sudé číslo.
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{lemma}[Vzorce pro součin goniometrických funkcí]\label{lemma:soucinsincos}\oprava
\begin{align*}
&\cos(mx)\cos(nx) = \frac12\Big( \cos[(n+m)x] + \cos[(n-m)x] \Big) \\
&\sin(mx)\sin(nx) = \frac12\Big( \cos[(n-m)x] - \cos[(n+m)x] \Big) \\
&\sin(mx)\cos(nx) = \frac12\Big( \sin[(m-n)x] + \sin[(n+m)x] \Big)
\end{align*}
\begin{proof}
Větu dokážeme pomocí součtových vzorců pro funkce $\cos$ a $\sin$.
\end{proof}
\end{lemma}
\begin{remark}
Pomocí lemma~\ref{lemma:soucinsincos} se integrály typu
$\int\cos(\alpha x)\sin(\beta x)~\ud x$, $\int\cos(\alpha x)\cos(\beta x)~\ud x$ a $\int\sin(\alpha x)\sin(\beta x)~\ud x$,
pro $\alpha, \beta \in \R$ převedou na známé integrály.
\end{remark}
\subsection{Shrnutí integračních vzorců}
\begin{remark}~\vskip 1em
\begin{tabular}{|l|l|l|}
\hline
Typ integrálu & Výsledný typ funkce & Substituce \\
\hline
$\displaystyle\int\frac{\ud x}{\sqrt{a^2-(x+b)^2}}$ & $\arcsin$ nebo $-\arccos$ & $x+b = a\sin{u}$ nebo $x+b=a\cos{u}$ \\
$\displaystyle\int\frac{\ud x}{a^2+(x+b)^2}$ & $\arctg$ nebo $-\arcctg$ & $x+b = a\tg{u}$ nebo $x+b= a\cotg{u}$ \\
$\displaystyle\int\frac{\ud x}{\sqrt{(x+b)^2+a^2}}$ & $\argsinh$ & $x+b = a\sinh{u}$ \\
$\displaystyle\int\frac{\ud x}{\sqrt{(x+b)^2-a^2}}$ & $\argcosh$ & $x+b = a\cosh{u}$ \\
$\displaystyle\int\frac{\ud x}{(x+b)^2-a^2}$ & $\argtgh$ nebo $\argctgh$ & $x+b = a\tgh{u}$ nebo $x+b = a\ctgh{u}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{remark}
