02VOAFskriptum:Kapitola8: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
Řádka 665: Řádka 665:
 
  \begin{figure}
 
  \begin{figure}
 
\begin{center}
 
\begin{center}
\includegraphics[height=0.4\textheight]{ob8d14a}\\
+
%%TODO%% \includegraphics[height=0.4\textheight]{ob8d14a}\\
\includegraphics[height=0.4\textheight]{ob8d14b}\\
+
%%TODO%% \includegraphics[height=0.4\textheight]{ob8d14b}\\
 
  \caption{Fraunhoferova difrakce na štěrbině šířky
 
  \caption{Fraunhoferova difrakce na štěrbině šířky
 
\(D\). Převážná část intenzity je vyzařována do oblasti o úhlové
 
\(D\). Převážná část intenzity je vyzařována do oblasti o úhlové

Verze z 17. 11. 2010, 15:57

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02VOAFskriptum

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02VOAFskriptumKarel.brinda 18. 11. 201002:51
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201514:48
Header editovatHlavičkový souborKarel.brinda 18. 11. 201002:46 header.tex
Kapitola1 editovatKmity soustav hmotných bodůKarel.brinda 17. 11. 201002:25 kapitola01.tex
Kapitola2 editovatPostupné vlnyJohndavi 25. 5. 201710:36 kapitola02.tex
Kapitola3 editovatVlny v disperzním prostředníKarel.brinda 17. 11. 201002:43 kapitola03.tex
Kapitola4 editovatEnergie vlněníKarel.brinda 16. 11. 201017:14 kapitola04.tex
Kapitola5 editovatOdraz vlnKarel.brinda 18. 11. 201002:44 kapitola05.tex
Kapitola6 editovatElektromagnetické vlnyKarel.brinda 16. 11. 201017:16 kapitola06.tex
Kapitola7 editovatPolarizaceKarel.brinda 16. 11. 201017:19 kapitola07.tex
Kapitola8 editovatInterference a ohybKarel.brinda 17. 11. 201015:58 kapitola08.tex
Kapitola9 editovatGeometrická optikaKarel.brinda 17. 11. 201015:49 kapitola09.tex

Zdrojový kód

% \wikiskriptum{02VOAFskriptum}
 
\chapter{Interference a ohyb}
\section{Michelsonův interferometr}
\begin{quote}
{\it Pojem interference,interference a ohyb, podmínka pro interferenci.
Michelsonův interferometr, případy dokonalé koherence a nekoherence,
viditelnost interferenčního jevu, určení koherenční doby.}
\end{quote}
 
Samozřejmým důsledkem linearity Maxwellových rovnic ve vakuu nebo
lineárním prostředí a z nich plynoucích vlnových rovnic je princip
superpozice: s danými dvěma řešeními je řešením i každá jejich
lineární kombinace, speciálně jejich součet nebo rozdíl. U
harmonických postupných vln stejné frekvence tak dochází v různých
místech prostoru ke konstruktivní respektive destruktivní
superpozici. Výsledné vlnění v prostoru má formu stojatého vlnění, v
němž je energie přerozdělena s maximy a minimy intenzity. Tato
{\itshape {\bf interferenční struktura}\/}\index{interferenční
struktura} ve stacionárním světelném poli se na stínítku projeví
určitým vzorem světlých a tmavých interferenčních proužků ---
{\itshape {\bf interferenčním jevem}\/}\index{interferenční jev}.
Objev interference světla Thomasem Youngem (1807) v uspořádání se
dvěma štěrbinami (oddíl 8.3) byl považován za potvrzení vlnové
podstaty světla.
 
Při detekci interferenčních jevů buď lidským okem nebo jinými detektory
záření se registruje nikoliv okamžitá hodnota amplitudy, nýbrž
intenzita, tj. časová střední hodnota kvadratické energetické veličiny s
charakteristickou prostorovou modulací.
 
Uvedený obecný pojem interference vlnění je v optice obvyklé dělit
na případy skládání vlnění z diskrétních bodových zdrojů ({\it
interference v užším smyslu}) a skládání vlnění ze spojitě
rozložených zdrojů ({\itshape {\bf ohyb}\/}\index{ohyb} neboli
{\itshape {\bf difrakce}\/}\index{difrakce}).
 
Ve skutečných světelných polích, která nejsou monochromatická, ale v
nejlepším případě kvazimonochromatická, je třeba zkoumat podmínky pro
vznik interferenčních jevů. Hlavním činitelem, který ve stacionárním
náhodném světelném poli může narušit realizaci interferenčního jevu,
jsou nepředvídatelné náhodné změny fáze v čase a v prostoru. K popisu
náhodných změn fáze v čase jsme v oddíle 7.4 zavedli pojem {\itshape
{\bf časové koherence}\/}\index{časová koherence}.
 
Dobrým příkladem, na kterém lze ilustrovat roli časové koherence a
vliv koherenční doby na realizaci interferenčního jevu, je
Michelsonův interferometr (obr. \ref{ob8c1}).
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%% \includegraphics[height=0.4\textheight]{ob8c1}\\
 \caption{Michelsonův interferometr.}
 \label{ob8c1}
\end{center}
\end{figure}
% {\it Obr. 8.1 Michelsonův interferometr}
Svazek kvazimonochromatického světla z bodového zdroje \(Z\) dojde na
dělič svazku (polopropustné zrcadlo) \(D\). Dva vzniklé svazky se odrážejí
od zrcadel \(Z_1,Z_2\) a po opětném dopadu na dělič \(D\) se registruje
světlo přicházející k pozorovateli (okuláru) \(P\). Světlo ze zdroje
\(Z\) se tedy k pozorovateli \(P\) šíří po dvou cestách, jejichž celkové
délky označme \(l_1,l_2\). Tyto délky lze měnit posuvem zrcadel.
 
Zapíšeme-li složku kvazimonochromatického elektrického pole v místě
zdroje
\[E(Z,t)=E_0\cos{(\omega_0 t+\varphi(t))},\]
můžeme elektrické pole svazků \(i=1,2\) v bodě \(P\) vyjádřit pomocí
příslušných retardovaných časů \(t_i'=t-(l_i/c)\) a koeficientů zeslabení
amplitud \(a_i\):
\[E_i(P,t)=a_iE(Z,t_i')=a_iE_0\cos{(\omega_0 t-k_0l_i+\varphi_i(t_i'))}.\]
K interferenčnímu jevu vede interferenční člen v kvadratickém výrazu pro
intenzitu superpozice obou svazků
\[I=<[E_1(P,t)+E_2(P,t)]^2>_r.\]
Pro objasnění vlivu časové koherence provedeme nejprve středování přes
periodu \(T_0\ll\tau_{koh}:\)
\[<[E_1(P,t)+E_2(P,t)]^2>_{T_0}=I_1+I_2+I_{int}(t).\]
Interferenční člen
\begin{eqnarray*}
I_{int}(t) & = & a_1a_2<2E(Z,t'_1)E(Z,t'_2)>_{T_0} \\
& = & a_1a_2E_0^2<2\cos{(\omega_0t'_1+\varphi(t'_1))}\cos{(\omega_0t'_2+\varphi(t'_2))}>_{T_0}
\end{eqnarray*}
se upraví pomocí vzorce \(2\cos{a}\cos{b}=\cos{(a+b)}+\cos{(a-b)}\). Při
středování přes \(T_0\) dá člen \(\cos{(a+b)}\) nulu a v členu
\(\cos{(a-b)}\) uvážíme, že \(\varphi(t)\) se během jedné periody
nemění, takže
\[I_{int}(t)=a_1a_2E_0^2\cos{(k_0(l_2-l_1)+\varphi(t'_1)-\varphi(t'_2))}.\]
Za předpokladu pozorování velmi pomalým přístrojem s reakční dobou
\(t_r\gg\tau_{koh}\) bude výsledný interferenční jev záviset na délce
časového intervalu
\[\Delta t=\left|t'_1-t'_2\right|=\frac{\left|l_2-l_1\right|}{c}\]
mezi vysláním signálů ze zdroje \(Z\) tak, aby oba dospěly k
pozorovateli ve stejném okamžiku \(t\).
\begin{enumerate}
\item {\it Případ dokonalé koherence}. Je-li \(\Delta
t\ll\tau_{koh}\), pak \(\varphi(t'_1)\doteq\varphi(t'_2)\) a
interferenční člen
\[I_{int}(t)=a_1a_2E_0^2\cos{(k_0(l_2-l_1))}\]
se nemění s časem, je tedy roven intenzitě změřené velmi pomalým
přístrojem. Jeho velikost závisí jen na dráhovém rozdílu
\(\left|l_2-l_1\right|=c\Delta t\) a leží v intervalu
\[-a_1a_2E_0^2\leq I_{int}\leq a_1a_2E_0^2.\]
Celková intezita v místě \(P\) je rovněž konstantní
\begin{eqnarray*}
I & = & \frac{1}{2}E_0^2(a_1^2+a_2^2+2a_1a_2\cos{k_0(l_2-l_1)}) \\
& = & I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\cos{k_0(l_2-l_1)}
\end{eqnarray*}
a leží v intervalu
 \be \left(\sqrt{I_1}-\sqrt{I_2}\right)^2\leq
I\leq\left(\sqrt{I_1}+\sqrt{I_2}\right)^2. \label{081I} \ee
 Podmínka
\(\Delta t\ll 10^{-9}s\) se pomocí dráhového rozdílu vyjádří jako
\(\left|l_2-l_1\right|\ll 0,3 \, m.\)
 
{\bf Cvičení 1}. Interferenční proužky pozorované v Michelsonově
pokusu jsou způsobeny interferencí ne zcela rovnoběžných svazků
přicházejících do místa pozorování. K tomu si spočtěte příklad 7.16
ze skript \cite{TK}.
\item {\it Případ nekoherence}. Je-li \(\Delta
t\geq\tau_{koh}\), pak \(\varphi(t'_1)-\varphi(t'_2)\) se zcela náhodně
mění s časem. Vzhledem k tomu, že během velmi dlouhé doby \(t_r\) rozdíl
fází nabývá se stejnou pravděpodobností všech hodnot v intervalu
\(<0,2\pi>\), bude přístroj registrovat
\[<I_{int}(t)>_r=\frac{1}{t_r}\int\limits_0^{t_r}I_{int}(t)dt=0,\]
tj. \(I=I_1+I_2\) a interferenční jev nevzniká.\footnote{Tento
výsledek se někdy vyjadřuje slovy, že "nekoherentní vlny spolu
neinterferují". K tomu je třeba si připomenout zásadní roli
předpokladu \(t_r\gg\tau_{koh}\). Pro dostatečně rychlý přístroj
\(t_r\leq\tau_{koh}\leq\Delta t\) by se totiž fáze změnila během
měření jen nepatrně, \(\varphi(t'_1)\approx\varphi(t'_2)\), takže
přístroj by stačil sledovat náhodné změny interferenčního jevu v
čase.}
\end{enumerate}
 
Popsané případy dokonalé časové koherence a nekoherence představují
mezní situace, mezi nimiž se spojitě vyskytují připady {\it částečné
koherence}. Přechod mezi nimi charakterizuje veličina
\[V=\frac{I_{max}-I_{min}}{I_{max}+I_{min}}\]
zvaná {\itshape {\bf viditelnost (kontrast)}\/}\index{viditelnost
(kontrast)} interferenčního jevu. Při dokonalé koherenci nabývá
viditelnost své maximální hodnoty
\[V_{max}=\frac{2\sqrt{I_1I_2}}{I_1+I_2}\]
(při \(I_1=I_2\) je \(V_{max}=1\)), zatímco u nekoherentních signálů
je \(V=0\). Koherenční čas \(\tau_{koh}\) je pak z experimentální
praxe konvečně definován hodnotou \(\Delta t\), pro kterou \(V\)
poklesne např. na \(V_{max}/\sqrt{2}\) nebo na \(0,1\, V_{max}\)
apod.
 
 
\section{Babinetův princip}
\begin{quote}
{\it Doplňková stínítka; Babinetův doplňkový princip; Huygensova
konstrukce; Fraunhoferova a Fresnelova difrakce.}
\end{quote}
 
Další obvyklé uspořádání pro pozorování interferenčních jevů je
vyobrazeno na obr. 8.2:
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%% \includegraphics[height=1.0\textheight]{ob8c2}\\
 \caption{Stinítko s otvorem. Doplňková stinítka A, B.}
 \label{ob8c2}
\end{center}
\end{figure}
%  {\it Obr. 8.2 Stínítko s otvorem.}
kvazimonochromatické světlo se střední vlnovou délkou $\lambda$ se
šíří prostorem od zdroje \(Z\) k pozorovateli \(P\), přičemž mezi
\(Z\) a \(P\) je umístěno stínítko s otvorem nebo jiné překážky,
jejichž rozměry jsou poměrně velké vzhledem k vlnové délce
\(\lambda\). Nejjednodušší úlohy tohoto typu budou popsány v
následujících oddílech této kapitoly. Pro jejich přeformulování do
snadno řešitelné formy zásadní roli hraje {\itshape {\bf Babinetův
doplňkový princip}\/}\index{Babinetův doplňkový princip}.
 
Babinetův princip se vztahuje na případy doplňkových stínítek podle
obr. \ref{ob8c2}. Říká téměr evidentní fakt, že součet elektrických
polí \(E_A(P)\) resp. \(E_B(P)\) která vzniknou v bodě \(P\) v
přítomnosti pouze stínítka \(A\) resp. pouze stínítka \(B\), je
roven elektrickému poli \(E_{\emptyset}(P)\) v nepřítomnosti
stínítek:
\begin{equation}
\label{082III} \fbox{$\displaystyle
E_A(P)+E_B(P)=E_{\emptyset}(P).$}
\end{equation}
Rovnici (\ref{082III}) lze porozumět z hlediska představy o funkci
{\bf neprůhledného stínítka} \(A\cup B\). Pole \(E_{\emptyset}\) ze
zdroje \(Z\) totiž budí ve stínítku \(A\cup B\) další indukované
pole \(E_A^{ind}+E_B^{ind}\), jež se za stínítkem přesně ruší s
dopadajícím. Tuto situaci podle obr. 8.2a můžeme v místě \(P\)
vyjádřit rovnicí
\begin{equation}
\label{082IV} E_{\emptyset}(P)+E_A^{ind}(P)+E_B^{ind}(P)=0.
\end{equation}
Stejná úvaha použitá na situaci podle obr. 8.2b dává pro výsledné
pole v místě \(P\)
\begin{equation}
\label{082V} E_{\emptyset}(P)+E_B^{ind}(P)=E_B(P).
\end{equation}
Je-li překážkou pouze stínítko \(A\), platí
\[E_{\emptyset}(P)+E_A^{ind}(P)=E_A(P).\]
Sečtením posledních dvou rovnic se přesvědčíme, že Babinetův
doplňkový princip (\ref{082III}) je ekvivalentní rovnici
(\ref{082IV}) definující funkci neprůhledného stínítka.
 
Z rovnic (\ref{082IV}) a (\ref{082V}) nyní vyplývá udivující výsledek
\begin{equation}
\label{082VI}
E_B(P)=-E_A^{ind}(P).
\end{equation}
Z pohledu pozorovaných intenzit to znamená, že {\bf intenzita
\(I_B(P)\) v situaci podle obr. 8.2b je stejná jako intenzita
\(I_A^{ind}(P)\) za stínítkem \(A\), obr. 8.2c, pokud uvažujeme
pouze indukované pole !} Babinetův princip tedy (až na znaménko)
úzce souvisí s {\bf Huygensovou konstrukcí} světelného pole. Stačí
si představit otvor ve stínítku \(B\) zaplněný bodovými Huygensovými
zdroji, jež pohlcují dopadající světlo a vyzařují právě jen
elementární indukovaná pole, jež v součtu vytvářejí pole
\(E_A^{ind}(P)\).
 
{\bf Cvičení 2}. Pomocí Huygensovy konstrukce vlnoploch odvoďte zákony
odrazu a lomu světla na rovinném rozhraní dvou prostředí s indexy lomu
\(n_1\), \(n_2\).
 
V dalších oddílech budeme aplikovat důležitý výsledek (\ref{082VI}) na
speciální případy rovinného stínítka \(B\) s jednou nebo více
štěrbinami. Praktickou realizací může být např. plátek staniolu nalepený
na skle, z něhož vyřízneme úzké proužky.
 
Experimentální uspořádání pro studium ohybových jevů typu obr. 8.2 se v
optice dělí do dvou kategorií:
\begin{enumerate}
\item {\bf Fraunhoferova difrakce}, kde vzdálenosti zdroje i
pozorovatele od stínítka jsou asymptotické,
\(L_Z\longrightarrow\infty\), \(L_P\longrightarrow\infty\). Mluví se zde
o vzdálené zoně světelného pole určené nerovností \(L\lambda\gg D^2\), kde
\(D\) je rozměr otvoru.
\item {\bf Fresnelova difrakce}, kde alespoň jedna ze vzdáleností
\(L_Z\), \(L_P\) není asymptotická.
\end{enumerate}
 
Fraunhoferův ohyb se vyznačuje snažší experimentální realizací i
jednodušším teoretickým popisem. Všechny případy difrakce uvedené v
těchto skriptech patří do této kategorie. Velké vzdálenosti \(L_Z\),
\(L_P\) znamenají, že paprsky od zdroje do všech bodů otvoru (a od
všech bodů otvoru k pozorovateli) jsou prakticky rovnoběžné, takže
je lze charakterizovat úhly. Abychom se při praktické realizaci
vyhnuli poklesu intenzity na velké vzdálenosti, můžeme rovnoběžné
paprsky soustředit tenkou čočkou do ohniskové roviny ve vzdálenosti
\(f\).
 
 
 
\section{Youngův pokus a prostorová koherence}
\begin{quote}
{\it Uspořádání Youngova dvouštěrbinového pokusu. Fraunhoferův ohyb
na dvojici rovnoběžných štěrbin --- aplikace Babinetova principu.
Interference vln v rovině ze dvou monochromatických bodových zdrojů.
Vliv časové a pro\-sto\-rové koherence světla na viditelnost
interferenčního jevu; kritérium pro boční koherenci.}
\end{quote}
 
Youngův interferenční pokus, který měl základní význam pro důkaz
vlnové podstaty světla (Thomas Young 1807), používá dvě rovnoběžné
štěrbiny \(P_1\), \(P_2\), na něž dopadá světlo z velmi úzké
štěrbiny \(Z\) intenzivně osvětlené kvazimonochromatickým světlem
(obr. \ref{ob8c4}).
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%% \includegraphics[height=0.4\textheight]{ob8c4}\\
 \caption{Schema Youngova pokusu.}
 \label{ob8c4}
\end{center}
\end{figure}
% {\it Obr. 8.3 Schema Youngova pokusu.}
Štěrbiny jsou velmi tenké (\(\sim 10^{-2} \, mm\)) a jejich
vzdálenost \(d\sim 0,5 \, mm\). Místo štěrbiny \(Z\) lze použit
osvětlení laserem. Uspořádání pokusu má odpovídat Fraunhoferově
difrakci, tj. vzdálenosti \(L_Z\), \(L_Q\) vyhovují \(L\lambda\gg
d^2\). Poloha pozorovaného bodu \(Q\) je určena úhlem \(\vartheta\),
\[y_Q=L_Q \mbox{tg}\vartheta.\]
 
{\bf Cvičení 3}. Vzdálená zona světelného pole je v blízkosti osy \(z\)
určena podmínkou \(|r_2-r_1|\ll\lambda/2\). Při \(y_Q=d/2\) platí
\(r_2^2=r_1^2+d^2\) a tedy
\[d^2=(r_2-r_1)(r_2+r_1)\ll\frac{\lambda}{2}2L_Q.\]
Zjistěte, zda je tato podmínka splněna při \(L_Q\sim 5 \, m,\)
jestliže $d = 0,5 \, mm$, $\lambda = 500 \, nm$.
 
Teoretická analýza pokusu se významně zjednoduší pomocí Babinetova
principu: místo uspořádání podle obr. 8.4 stačí zkoumat pouze
indukovaná pole vysílaná ze štěrbin \(P_1\), \(P_2\)\,! V prvním
přiblížení uvažujeme velmi tenké štěrbiny. Vliv jejich konečné šířky
bude ukázán v oddíle 8.5. Jako zjednodušený model tedy
předpokládejme rovinnou situaci podle obr. \ref{ob8c5} se dvěma
kvazimonochromatickými bodovými zdroji \(P_1\), \(P_2\) s dominantní
úhlovou frekvencí $\omega$. Z bodových zdrojů se šíří kruhové
monochromatické vlny, jež obecně zapíšeme s různými amplitudami a
fázovými konstantami:
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%% \includegraphics[height=0.4\textheight]{ob8c5}\\
 \caption{Interference kruhových vln ze dvou bodových zdrojů.}
 \label{ob8c5}
\end{center}
\end{figure}
% {\it Obr. 8.4 Interference kruhových vln ze dvou bodových zdrojů.}
\begin{eqnarray*}
E_1(Q,t) & = & a_1E_0\cos(\omega t-kr_1+\varphi_1),\\
E_2(Q,t) & = & a_2E_0\cos(\omega t-kr_2+\varphi_2).
\end{eqnarray*}
Intenzita každé vlny zvlášť je
%%TODO%% \[I_i=<E_i(Q,t)^2>_T=\frac{1}{2}a_1^2E_0^2, \q i=1,2.\]
Interferenční jev je dán intenzitou superpozice vln v místě pozorování
\(Q\),
\[I(Q)=<[E_2(Q,t)+E_2(Q,t)]^2>_T.\]
(Středujeme přes periodu \(T\), protože se jedná o monochromatické
 vlny.) Stejným postupem jako v oddíle 8.1 pak dostaneme
\begin{equation}
\label{081VII}
I(Q)=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\cos[k(r_2-r_1)+\varphi_1-\varphi_2].
\end{equation}
Opět tedy platí nerovnost (\ref{081I}). Při stejném osvětlení štěrbin
máme \(a_1=a_2,\varphi_1=\varphi_2,I_1=I_2\), takže
\[I(Q)=2I_1(1+\cos[k(r_2-r_1)]).\]
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%% \includegraphics[height=0.4\textheight]{ob8c6}\\
 \caption{Graf intenzity \(I(Q)\) jako funkce fázového rozdílu
 \(kd\sin\vartheta\), dráhového rozdílu \(d\sin\vartheta\) a
 \(\sin\vartheta)\).}
 \label{ob8c6}
\end{center}
\end{figure}
% {\it Obr. 8.5 Graf intenzity \(I(Q)\) jako funkce fázového rozdílu
% \(kd\sin\vartheta\), dráhového rozdílu \(d\sin\vartheta\) a
% \(\sin\vartheta)\).}
 
Poloha interferenčních maxim a minim záleží na rozdílu
 vzdáleností \(r_2-r_1\). Při pozorování ve vzdálené zoně
můžeme spojnice \(P_1Q\) a \(P_2Q\) považovat za prakticky
rovnoběžné a rozdíl \(r_2-r_1\) vyjádřit pomocí úhlu \(\vartheta\),
\[r_2-r_1\doteq d\sin\vartheta.\]
Prostorové rozdělení intenzity \(I(Q)\) je pak dáno vztahem
\begin{equation}
\label{081VIII}
\fbox{$\displaystyle I(Q)=2I_1(1+\cos(kd\sin\vartheta)).$}
\end{equation}
Na obr. \ref{ob8c6} vidíme, ve kterých směrech dochází podle rovnice
(\ref{081VIII}) ke konstruktivní resp. destruktivní superpozici
\begin{eqnarray*} \label{081IX}
(\sin\vartheta)_{max} & = & 2m\frac{\lambda}{2d}, \\
(\sin\vartheta)_{min} & = & (2m+1)\frac{\lambda}{2d},
\end{eqnarray*}
kde \(m=0,\pm 1,\pm 2, \dots \); mluvíme o maximu centrálním
(nultého řádu) a dále prvního, druhého, atd. řádu.
 
Youngův pokus dovolil určit vlnovou délku \(\lambda\) světla
změřením polohy \(y_Q\) světlých proužků na pozorovacím stínítku,
\[(y_Q)_{max}=L_Q(\mbox{tg}\vartheta)_{max}\doteq
L_Q(\sin\vartheta)_{max}=mL_Q\frac{\lambda}{d},\]
kde \(m=0,\pm 1,\pm 2,\ldots\) a předpokládáme \(\vartheta\ll 1\). Vzdálenost
sousedních proužků je
\[\Delta y\doteq L_Q\frac{\lambda}{d},\]
odkud lze určit vlnovou délku
\[\lambda\doteq\frac{d\Delta y}{L_Q}.\]
 
{\bf Cvičení 4}. Odvoďte vztah (\ref{081VII}). Jak se změní graf
průběhu (\ref{081VIII}) na obr. \ref{ob8c6}, když
\(\varphi_1\neq\varphi_2,I_1\neq I_2\)?
 
Interferenční jev na obr. \ref{ob8c6} byl odvozen za tří hlavních
zjednodušujících předpokladů:
\begin{enumerate}
\item aproximace velmi tenkých štěrbin,
\item monochromatické světlo,
\item dokonalá koherence světla ve štěrbinách \(P_1\), \(P_2\).
\end{enumerate}
V prvním případě je třeba vzít v úvahu vliv Fraunhoferova ohybu na
štěrbinách konečné šířky, který bude studován v oddíle 8.5. Další
dva předpoklady souvisí s koherencí světla. Při použití tepelného
zdroje je světlo kvazimonochromatické s koherenční dobou
\(\tau_{koh}\approx 10^{-9} \, s\). Geometrie pokusu je ovšem
taková, že je splněna nerovnost
\[|r_2-r_1|=d \, |\sin\vartheta|\approx 0,5 \, mm\ll c\tau_{koh}\approx 30 \, cm,\]
takže časová koherence nemá vliv na výsledný interferenční jev.
 
Koherence světla ve štěrbinách \(P_1\), \(P_2\) má však jiný charakter.
Pro viditelnost interferenčního jevu na pozorovacím stínítku je třeba,
aby pole \(E_1(P_1,t)\), \(E_2(P_2,t)\) byla dokonale koherentní {\it ve
stejném časovém okamžiku}. To odpovídá definici prostorové koherence:
 
Pole \(E_1(P_1,t)\), \(E_2(P_2,t)\) v různých bodech \(P_1\),
\(P_2\) jsou {\itshape {\bf dokonale prostorově
koherentní}\/}\index{dokonalá prostorová koherence}, jestliže
znalost pole \(E_1\) v místě \(P_1\) v čase \(t\) dovoluje přesně
předpovědět pole \(E_2\) v místě \(P_2\) ve stejném čase. Nazveme je
{\itshape {\bf prostorově nekoherentní}\/}\index{prostorová
nekoherence}, jestliže znalost jednoho z polí nedává žádnou
informaci o druhém.
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%% \includegraphics[height=0.26\textheight]{ob8c7}\\
 \caption{K pojmům podélné a boční prostorové koherence.}
 \label{ob8c7}
\end{center}
\end{figure}
% {\it Obr. 8.6 K pojmům podélné a boční prostorové koherence.}
 
V případě kvazimonochromatického bodového zdroje \(Z\) se prostorová
koherence mezi body \(P_2\), \(P_3\) na obr. \ref{ob8c7} nazývá
{\itshape {\bf podélnou}\/}\index{podélná prostorová koherence}.
Nebudeme ji uvažovat, protože ji lze jednoznačně převést na časovou:
pole v bodě \(P_3\) v čase \(t\) je totiž jednoznačně určeno polem v
\(P_2\) v retardovaném čase \(t-(l/c)\). Stačí tedy porovnávat pole
v bodě \(P_2\) v různých časech \(t\), \(t-(l/c)\).
 
Prostorovou koherenci světla mezi body \(P_1\), \(P_2\), do nichž
sférická vlnoplocha dorazí ve stejném časovém okamžiku \(t\),
nazýváme {\itshape {\bf boční}\/}\index{boční prostorová koherence}.
K boční nekoherenci v bodech \(P_1\), \(P_2\) a tím ke snížení
viditelnosti interferenčních proužků v Youngově pokusu může dojít,
když tepelný zdroj není bodový. Uvažujme proto Youngovo
experimentální uspořádání s tepelným zdrojem konečné šířky \(d_Z\)
(obr. \ref{ob8c8})
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%% \includegraphics[height=0.4\textheight]{ob8c8}\\
 \caption{Vliv konečné šířky tepelného zdroje na boční koherenci ve
 štěrbinách \(P_1\), \(P_2\).}
 \label{ob8c8}
\end{center}
\end{figure}
% {\it Obr. 8.7 Vliv konečné šířky tepelného zdroje na boční
%koherenci ve štěrbinách \(P_1\), \(P_2\).}
 Takový zdroj je soustavou nezávislých
zářičů, u nichž fáze záření v daném čase se náhodně mění s polohou
ve zdroji a v daném místě zdroje se náhodně mění s časem. Na obr.
\ref{ob8c8} každý z elementárních zářičů mezi body \(Z_1\), \(Z_2\)
by na pozorovacím stínítku způsobil jasné interferenční proužky.
Centrální maxima zdrojů \(Z_1\), \(Z_2\) budou v bodech \(Q_1\),
\(Q_2\). \footnote{Ukažte, že nulté maximum od zdroje \(Z_1\) bude
určeno podmínkou \(r_1+s_1-r_2-s_2=0\), tj.
\(r_1-r_2=s_2-s_1=d\sin\vartheta_1\).} Při pozorování okem
 nebo jiným pomalým detektorem s rozlišovací dobou
 \(t_r\gg\tau_{koh}\) nekoherentní vlny pocházející
z různých míst zdroje spolu neinterferují a
{\it výsledná intenzita bude součtem intenzit jednotlivých
 zářičů}. Výsledný
interferenční obrazec bude velmi málo porušen pouze tehdy, když
 vzdálenost \(d_Q\) bude velmi malá vzhledem ke vzdálenosti
 \(\Delta y \doteq L_Q\lambda/d_P\) sousedních
 interferenčních maxim, \(d_Q\ll\bigtriangleup y\).
V případě \(d_Q \geq \Delta y\) se viditelnost interference blíží
nule.
 
{\itshape {\bf Podmínku dokonalé prostorové
koherence}\/}\index{podmínka dokonalé prostorové koherence} ve
štěrbinách \(P_1\), \(P_2\) lze podle předchozí úvahy a obr.
\ref{ob8c8} vyjádřit následujícími ekvivalentními způsoby:
\begin{equation}
\label{081X} d_Q\ll\Delta y \quad \Leftrightarrow  \quad
\delta\vartheta\ll\frac{\lambda}{d_P} \quad  \Leftrightarrow  \quad
d_Zd_P\ll\lambda L_Z.
\end{equation}
 
{\bf Cvičení 5}. Jaká by musela být vzdálenost štěrbin \(d\), aby
při jejich osvětlení přímým slunečním světlem byla splněna podmínka
dokonalé koherence? \footnote{Viz \cite{TK}, př. 7.2: průměr Slunce
$700$ tisíc $km$, vzdálenost Slunce $150$ milionů $km$.}
 
 
\section{Difrakční mřížka}
\begin{quote}
{\it Optická mřížka. Interference vln z \(N\) zdrojů. Průběh
interferenční intenzity. Spektrální rozklad světla. Rayleighovo
kritérium rozlišení spektrálních čar.}
\end{quote}
 
{\itshape {\bf Optická mřížka}\/}\index{optická mřížka} je obvykle
skleněná destička s nanesenou měkkou vrstvou např. hliníku, do níž jsou
pomocí diamantového nástroje vyryty rovnoběžné vrypy. Musí být přesně
stejně široké a přesně stejně navzájem vzdálené, většinou \(0,25\) až
\(6000\) vrypů na \(1\) mm. Vzdálenost středů sousedních vrypů \(d\) se
nazývá {\itshape {\bf mřížková konstanta}\/}\index{mřížková konstanta}.
 
Dopadá-li na mřížku rovnoběžný svazek kvazimonochromatického světla
(obr. \ref{ob8c9}), vrypy vyzařují cylindrické vlny a na stínítku
pozorujeme interferenční proužky.
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%% \includegraphics[height=0.4\textheight]{ob8c9}\\
 \caption{Uspořádání pro pozorování difrakce světla na optické mřížce.}
 \label{ob8c9}
\end{center}
\end{figure}
% {\it Obr. 8.8. Uspořádání pro pozorování difrakce světla na optické mřížce.}
Na rozdíl od Youngova pokusu se dvěma štěrbinami se na pozorovacím
stínítku vytvoří velmi ostré tenké světlé čáry na tmavém pozadí.
 
Abychom pochopili funkci mřížky, nahradíme uspořádání na obr.
\ref{ob8c9} pomocí Babinetova principu soustavou zdrojů v místech
vrypů. Na obr. \ref{ob8d10} je zjednodušená soustava \(N\) bodových
zdrojů \(P_1,P_2,\dots,P_N\), jejichž vzdálenosti jsou \(d\) a
všechny vyzařují v rovině kvazimonochromatické světlo se stejnou
amplitudou \(E_0\), stejnou střední úhlovou frekvencí \(\omega\) a
stejnou fázovou konstantou \(\varphi_0\). \footnote{Předpokládáme,
že na celé šířce mřížky je splněno kritérium boční koherence.}
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%% \includegraphics[height=0.4\textheight]{ob8d10}\\
 \caption{Interference vln z \(N\) zdrojů.}
 \label{ob8d10}
\end{center}
\end{figure}
% {\it Obr. 8.9 Interference vln z \(N\) zdrojů.}
Pozorovací bod \(Q\) je tak daleko, že úhel \(\vartheta\) je
přibližně stejný pro všech \(N\) zdrojů. Pak ve vzdáleném bodě \(Q\)
v blízkosti osy \(z\) je superpozice polí z \(N\) zdrojů
\[E(Q,t)=aE_0\cos(\omega t_1'+\varphi_0)+\dots +aE_0\cos(\omega
t_N'+\varphi_0)\] určena koeficientem zeslabení \(a<1\) a
retardovanými časy $t_i'=t-(r_i/c)$,  $i=1,\dots,N$, jež odpovídají
vzdálenostem \(r_1,\dots,r_N\) od bodů \(P_1,\dots,P_N\) k bodu
\(Q\),
 
Pro další výpočet vyjádříme pole \(E(Q,t)\) jako reálnou část sumy
komplexních členů
\[E(Q,t)=\sum_{i=1}^NaE_0\cos(\omega(t-\frac{r_i}{c})+\varphi_0)
=\mbox{Re}\sum_{i=1}^NaE_0e^{i(\omega t-kr_i+\varphi_0)}.\] Protože
sousední vzdálenosti $r_i$, $r_{i+1}$ splňují s dobrou přesností
vztahy
\[r_2-r_1=d\sin\vartheta,\;
r_3-r_2=d\sin\vartheta, \; \dots, \; r_N-r_{N+1}=d\sin\vartheta,\]
můžeme pole \(E(Q,t)\) upravit na reálnou část konečné komplexní
geometrické řady s kvocientem \(q=\exp(-ikd\sin\vartheta)\):
\begin{eqnarray*}
E(Q,t) & = & \mbox{Re}\left\{aE_0e^{i(\omega
t-kr_1+\varphi_0)}\left(1+q+q^2+...+q^{N-1}\right)\right\} \\
 & = & \mbox{Re}\left\{aE_0e^{i(\omega
t-kr_1+\varphi_0)}\frac{e^{-iNkd\sin\vartheta}-1}{e^{-ikd\sin\vartheta}-1}\right\}.
\end{eqnarray*}
Zlomek dále upravíme vytknutím faktorů
\(\exp\left(-\frac{1}{2}iNkd\sin\vartheta\right)\) z čitatele a
\(\exp\left(-\frac{1}{2}ikd\sin\vartheta\right)\) z jmenovatele na podíl
sinů, takže výsledný vztah můžeme napsat ve tvaru součinu modulované
amplitudy a nosné vlny:
\[E(Q,t)=aE_0\frac{\sin\left(\frac{1}{2}Nkd\sin\vartheta\right)}{\sin\left(\frac{1}{2}kd\sin\vartheta\right)}\cos\left(\omega
t-kr_1-\frac{1}{2}(N-1)kd\sin\vartheta+\varphi_0\right).\] Hledaný
interferenční jev má následující průběh intenzity na stínítku (stačí
středovat přes jednu periodu):
\begin{equation}
\label{081XI}
I(Q)=<E(Q,t)^2>_T
=\frac{a^2E_0^2}{2}\left(\frac{\sin\left(\frac{1}{2}Nkd\sin\vartheta\right)}
{\sin\left(\frac{1}{2}kd\sin\vartheta\right)}\right)^2.
\end{equation}
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%% \includegraphics[height=0.4\textheight]{ob8d11}\\
 \caption{Graf intenzity \(I(Q)\) jako funkce fázového rozdílu
 \(kd\sin\vartheta\), dráhového rozdílu \(d\sin\vartheta\) a
 \(\sin\vartheta\).}
 \label{ob8d11}
\end{center}
\end{figure}
% {\it Obr. 8.11 Graf intenzity \(I(Q)\) jako funkce fázového rozdílu
% \(kd\sin\vartheta\), dráhového rozdílu \(d\sin\vartheta\) a
% \(\sin\vartheta\).}
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%% \includegraphics[height=1.0\textheight]{ob8d12}\\
 \caption{Graf intenzity \(I(Q)\) jako funkce
 \(\sin\vartheta\) pro $N=2,3,4$ a velké $N$.}
 \label{ob8d12}
\end{center}
\end{figure}
 
Graf funkce (\ref{081XI}) na obrázcích \ref{ob8d11} a \ref{ob8d12}
se v jednom ohledu podobá grafu intenzity pro Youngův pokus
(\(N=2\)) na obr. \ref{ob8c6}: funkce \(I(Q)\) jsou v obou případech
{\it periodické} s periodou \(2\pi\) v proměnné \(kd\sin\vartheta\).
Polohy interferenčních maxim jsou proto určeny stejným vztahem jako
u Youngova pokusu,
\begin{equation}
\label{081XII}
(\sin\vartheta)_{max}=m\frac{\lambda}{d}, \qquad
m=0,\pm 1,...,\pm
\left[\frac{d}{\lambda}\right].
\end{equation}
Maxima jsou však daleko užší, neboť např. centrální maximum prochází
první nulou v bodech \(\frac{1}{2}Nkd\sin\vartheta=\pm\pi\), tj.
\[\sin\vartheta=\pm\frac{\lambda}{Nd}.\]
Tato veličina se bere jako míra úhlové šířky maxima: maximum má
úhlovou šířku \(\lambda/Nd\) ve výšce \(4I_0/\pi^2\doteq0,41 \,
I_0\), kde \(I_0=N^{2} a^{2} E_{0}^{2}/2\). Čím je počet vrypů \(N\)
větší, tím jsou maxima ostřejší. To je důležité při spektrálním
rozkladu světla mřížkou.
 
Dopadá-li na mřížku světlo složené, např. bílé světlo žárovky, bude
centrální ma\-xi\-mum bílé, avšak již v 1. řádu budeme pozorovat
příspěvky různých barev spektra pod různými úhly \(\vartheta\).
Základní vlastností difrakční mřížky je tedy schopnost rozložit
dopadající světlo do různých směrů podle vlnových délek, tj. provést
jeho {\itshape {\bf spektrální rozklad}\/}\index{spektrální
rozklad}. Praktický význam optické spektroskopie je v tom, že každá
látka vyzařuje jistý, pro ni charakteristický soubor {\itshape {\bf
spektrálních čar}\/}\index{spektrální čáry} (viz kap. 12). Lze tak
získat informace o složení látek a např. v astronomii i o složení
vzdálených objektů (planet, komet, hvězd, galaxií apod.).
 
Protože spektrální čáry mohou mít velmi blízké vlnové délky, vzniká
otázka, jaké vlastnosti musí mřížka mít, abychom takové čáry ve
spektru zřetelně rozlišili. Podle {\itshape {\bf Rayleighova
kritéria}\/}\index{Rayleighovo kritérium} (obr. \ref{ob8d13}) jsou
dvě blízké kvazimonochromatické spektrální čáry \(\lambda_1\),
\(\lambda_2\) rozlišeny v mřížkovém spektru 1. řádu, když úhlová
vzdálenost středů maxim je větší nebo rovna úhlové šířce maxim:
$$\left|\frac{\lambda_1}{d}-\frac{\lambda_2}{d}\right|\geq
\frac{\lambda_{str}}{Nd},$$ kde
$\lambda_{str}=(\lambda_{1}+\lambda_{2})/2 \doteq\lambda_{1,2}.$ Po
vykrácení \(d\) dostaneme podmínku
 $$
\frac{\left|\lambda_1-\lambda_2\right|}{\lambda_{str}}\geq\frac{1}{N},
 $$
která říká, že spektrální rozlišení mřížky je tím lepší, čím je
počet vrypů \(N\) větší ! U maxim vyššího řádu \(|m|\) je vzdálenost
maxim \(|m|\)--krát větší, získá se tedy \(|m|\)--krát lepší
rozlišení\footnote{{\itshape {\bf Rozlišovací schopnost
mřížky}\/}\index{rozlišovací schopnost mřížky} se definuje podílem
$R=\lambda_{str}/\left| \lambda_{1} - \lambda_{2} \right|=|m|N.$}.
Situaci však zhoršuje ohybový jev způsobený konečnou šířkou vrypů,
který vede k zeslabení intenzity ve vyšších řádech (viz oddíl 8.5).
 
{\bf Cvičení 6}. Známé žluté světlo plamene znečištěného kuchyňskou
solí obsahuje spektrální čáry $\lambda_1=589,6 \, nm$ a
$\lambda_2=589,0 \, nm$. Kolik vrypů musí mít mřížka, aby v 1. řádu
právě rozlišila tento sodíkový dublet?
\begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%% \includegraphics[height=0.3\textheight]{ob8d13}\\
 \caption{Spektrální čáry \(\lambda_1\), \(\lambda_2\) jsou podle
 Rayleigha právě rozlišeny, když maximum intezity jedné čáry leží právě
 v prvním minimu intenzity druhé čáry.}
 \label{ob8d13}
\end{center}
\end{figure}
% {\it Obr. 8.13 Spektrální čáry \(\lambda_1\), \(\lambda_2\) jsou podle
% Rayleigha právě rozlišeny, když maximum intezity jedné čáry leží právě
% v prvním minimu intenzity druhé čáry.}
 
 
 
\section{Ohyb na štěrbině}
\begin{quote}
{\it Fraunhoferova difrakce na štěrbině a na kruhovém otvoru. Vliv
omezení svazku světla na difrakční rozbíhavost; rozlišovací schopnost
optických přístrojů; ostrost zraku.}
\end{quote}
 
Vlnová povaha světla má závažné důsledky při Fraunhoferově difrakci
na štěrbině konečné šířky. Předpokládejme, že na štěrbinu šířky
\(D\) dopadá rovnoběžný svazek kva\-zi\-monochromatického světla o
vlnové délce \(\lambda<D\). Uspořádání dle obr.  \ref{ob8d14} lze
pomocí Babinetova principu nahradit ekvivalentní soustavou zdrojů
{\it spojitě rozložených} v ploše štěrbiny a vyzařujících se stejnou
fází.
 \begin{figure}
\begin{center}
%%TODO%% \includegraphics[height=0.4\textheight]{ob8d14a}\\
%%TODO%% \includegraphics[height=0.4\textheight]{ob8d14b}\\
 \caption{Fraunhoferova difrakce na štěrbině šířky
\(D\). Převážná část intenzity je vyzařována do oblasti o úhlové
šířce \(\delta\approx\lambda/D\).}
 \label{ob8d14}
\end{center}
\end{figure}
% {\it Obr. 8.14 Fraunhoferova difrakce na štěrbině šířky
%\(D\). Převážná část intenzity je vyzařována do oblasti o úhlové šířce
% \(\delta\approx\lambda/D\).}
 
Se soustavou ekvidistantních {\it diskrétních zdrojů} jsme se
setkali v oddíle 8.4 u difrakční mřížky. Intenzitu světla na
pozorovacím stínítku lze u štěrbiny šířky \(D\) snadno odvodit ze
vzorce (\ref{081XI}) pro mřížku pomocí limity
\(N\rightarrow\infty\). V limitním přechodu ke spojitě rozloženým
zdrojům musíme současně předpokládat zmenšování mřížkové konstanty
\(d\rightarrow 0\), aby celková šířka \(D=(N-1)d\doteq Nd\)
zůstávala konstantní. Pro provedení limity vztah (\ref{081XI})
rozšíříme
\[I(Q)=
\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{a^2E_0^2}{2}
\left(\frac{\sin{(\frac{1}{2}kD\sin{\vartheta})}\frac{1}{2}k\frac{D}{N}\sin{\vartheta}}{\sin{(\frac{1}{2}k\frac{D}{N}\sin{\vartheta})}\frac{1}{2}k\frac{D}{N}\sin{\vartheta}}\right)^2\]
a využijeme toho, že
\[\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{\sin{(\frac{1}{2}k\frac{D}{N}\sin{\vartheta})}}{\frac{1}{2}k\frac{D}{N}\sin{\vartheta}}=1.\]
Aby při \(N\gg 1\) vyšla konečná výsledná intenzita, musí ještě
\(E_0\rightarrow 0\), aby veličina
\[I_0=\frac{1}{2}a^2E_0^2N^2\]
zůstala konstantní. Výsledek limity je pak
\begin{equation}
\label{081XIII}
\fbox{$\displaystyle
I(Q)=I_0\left(\frac{\sin{(\frac{1}{2}kD\sin{\vartheta})}}{\frac{1}{2}kD\sin{\vartheta}}\right)^2.$}
\end{equation}
Je zřejmé, že intenzita \(I(Q)\) již není periodickou funkcí
\(\sin{\vartheta}\), jako byla u mřížky (vztah (\ref{081XI})). Na
rozdíl od obr. \ref{ob8d11} na pozorovacím stínítku zůstane pouze
centrální maximum se středem \(\vartheta=0\) a s prakticky stejným
průběhem jako u mřížky s velkým počtem vrypů. Za míru \(\delta\)
úhlové šířky interferenčního maxima bereme úhel od středu maxima po
první nulovou hodnotu intenzity při
\(\frac{1}{2}kD\sin{\delta}=\pi\), tj. \(\sin{\delta}=\lambda/D\).
Pří \(\lambda\ll D\) píšeme
\begin{equation}
\label{081XIV}
\fbox{$\displaystyle \delta\approx\frac{\lambda}{D}.$}
\end{equation}
Na obr. \ref{ob8d14} je vyšrafována oblast této úhlové šířky, kam
dopadá převážná část intenzity.
 
Získané výsledky, které jsou přímým důsledkem vlnové povahy světla,
mají zásadní význam pro konstrukci optických přístrojů a posouzení
oblasti jejich použitelnosti. Zjistili jsme, že prostorové omezení
svazku světla má za následek jeho {\itshape {\bf difrakční
rozbíhavost}\/}\index{difrakční rozbíhavost}: vlnový vektor
\(\vc{k}\) již nemá stálý směr jako před štěrbinou --- světlo za
štěrbinou obsahuje směry \(\vc{k}\) převážně v oblasti o úhlové
šířce \(\delta \approx \lambda / D \) (velikost
\(|\vc{k}|=2\pi/\lambda\) je dána vlnovou délkou). Pro {\it difrakci
světla na kruhovém otvoru}\footnote{Při cylindrické symetrii je
funkce \(\sin{(\frac{1}{2}kD\sin{\vartheta})}\) nahrazena
cylindrickou (Besselovou) funkcí
\(J_1(\frac{1}{2}kD\sin{\vartheta})\), která prochází nulou při
\(J_1(1,22\pi)=0\).} se uvádí difrakční rozbíhavost
\begin{equation}
\label{081XV}
\fbox{$\displaystyle \delta\approx 1,22\frac{\lambda}{D}.$}
\end{equation}
 
V optických přístrojích je šíření světla omezeno do tubusů, jejichž
rozměry jsou dány velikostí optických elementů --- čoček, zrcadel,
kolimátorů. Světlo se proto uvnitř nešíří přesně ve směrech paprsků
určených pravidly geometrické optiky (viz kap. 9). Vykazuje vždy
jistou {\itshape {\bf úhlovou rozbíhavost}\/}\index{úhlová
rozbíhavost}, která posléze způsobuje nepřesnost ideálního
geometrického zobrazení. Každý optický přístroj lze pak
charakterizovat jeho {\itshape {\bf rozlišovací
schopností}\/}\index{rozlišovací schopnost}, tj. schopností rozlišit
jemné dataily struktury pozorovaného předmětu.
 
Důležitým příkladem optického přístroje je {\itshape {\bf lidské
oko}\/}\index{lidské oko}. Každý, kdo navštvil očního lékaře, zažil
určení úhlové rozlišovací schopnosti svých očí. Pozorujeme--li
milimetrové měřítko na vzdálenost $2 \, m$, zjistíme, že již sotva
rozlišíme sousední čárky. Ve větší vzdálenosti vám tyto čárky úplně
splynou. Jako maximální ostrost zraku normálního lidského oka při
vidění uprostřed zorného pole se uvádí schopnost rozlišit dvě značky
$3 \, mm$ od sebe na vzdálenost $10 \, m$. To odpovídá úhlovému
rozlišení jedné obloukové minuty
\[\delta\approx\frac{3.10^{-3}}{10}\approx 3.10^{-4}\, rad\approx 1'\]
(encyklopedie \cite{V} uvádí 1'---3'). Porovnejme tuto skutečnost s
teoretickým výpočtem podle vztahu (\ref{081XV}). Je-li
\(\lambda\approx 6.10^{-7} \, m\) (světlo žluté barvy) a průměr
panenky \(D\approx 2 \, mm\), vychází
\[\delta\approx\frac{5.10^{-7}}{2.10^{-3}}\approx 3.10^{-4}\, rad,\]
což je na dolní mezi udaných experimentálních hodnot.
 
{\bf Cvičení 7}. Pro Youngův pokus se dvěma štěrbinami konečné šířky
\(D<d\) odvoďte interferenční obrazec modulovaný ohybem, obr.
\ref{ob8d15}. Uvažte, že každá ze štěrbin osvětluje stínítko podle
obr. \ref{ob8d14} (viz \cite{TK}, př. 7.7).
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[height=0.4\textheight]{ob8d15}\\
 \caption{Průběh intenzity pro Youngův pokus se štěrbinami
 konečné šířky \(D<d\).}
 \label{ob8d15}
\end{center}
\end{figure}
% {\it Obr. 8.15 Průběh intenzity pro Youngův pokus se štěrbinami
% konečné šířky \(D<d\).}
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[height=1.0\textheight]{ob8d16}\\
 \caption{Grafy intenzity \(I(Q)\) jako funkce
 \(\sin\vartheta\) pro $N=1,2,3,4$ štěrbin konečné šířky \(D<d\).}
\label{ob8d16}
\end{center}
\end{figure}