02VOAFskriptum:Kapitola3: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
(Založena nová stránka: % \wikiskriptum{02VOAFskriptum})
 
Řádka 1: Řádka 1:
 
% \wikiskriptum{02VOAFskriptum}
 
% \wikiskriptum{02VOAFskriptum}
 +
 +
%\setcounter{chapter}{2}
 +
\chapter{Vlny v~disperzním prostředí}
 +
\section{Disperze světla v~látkách}
 +
\begin{quote}
 +
{\it Jev disperze světla. Klasický model disperzního
 +
prostředí. Disperze elektromagnetických vln v~plazmatu, aplikace
 +
na ionosféru. Rozlišení prostředí: disperzní --- nedisperzní,
 +
transparentní --- reaktivní. Plazma a řetízek atomů jako příklady
 +
reaktivních prostředí. Kvazimonochromatické vlnové balíky: vztah
 +
mezi šířkou vlnového balíku a šířkou jeho spektra, šíření
 +
vlnového balíku v~disperzním prostředí, grupová rychlost.
 +
Fourierova transformace.}
 +
\end{quote}
 +
 +
Důsledky disperze neboli rozkladu světla dobře znáte: např. duhu
 +
nebo rozklad světla skleněným hranolem. V~druhém efektu (obr.
 +
\ref{obr:3.1}) je bílé světlo lomem na dvou rozhraních rozloženo na
 +
viditelné spektrum sahající od červené až po fialovou barvu.
 +
O~mechanismu vzniku duhy si přečtěte v~\cite{sof}.
 +
 +
%\begin{figure}[hb]
 +
%\vspace{3cm}
 +
%\caption{Rozklad světla hranolem}
 +
%\label{obr:3.1}
 +
%\end{figure}
 +
 +
\begin{figure}
 +
\begin{center}
 +
\includegraphics[height=0.16\textheight]{ob3c1}\\
 +
\caption{Rozklad světla hranolem}
 +
\label{obr:3.1}
 +
\end{center}
 +
\end{figure}
 +
 +
V~kap. 6 si podrobněji ukážeme, že světlo je elektromagnetické
 +
vlnění, které se šíří ve vakuu s~fázovou rychlostí $c=3.10^8 \,
 +
m/s$. V~dielektrickém prostředí o~permitivitě $\varepsilon$ a
 +
permeabilitě $\mu$ je jeho {\it fázová rychlost}
 +
\begin{equation} \label{3.0}
 +
v=\f{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}\,.
 +
\end{equation} Pro vakuum platí vztah
 +
$c=1/\sqrt{\eps_0\mu_0}\,.$ {\it Index lomu prostředí} $n$ je pak
 +
definován vztahem
 +
\be
 +
n=\f{c}{v}=\sqrt{\f{\eps\mu}{\eps_0\mu_0}}=\sqrt{\eps_r\mu_r}
 +
\doteq\sqrt{\eps_r}\,,
 +
\ee kde $\eps=\eps_0\eps_r,\,\mu=\mu_0\mu_r$.
 +
Pro obvyklá průhledná prostředí jsme položili $\mu_r\doteq 1$,
 +
protože $\mu_r$ se od jedničky liší až na třetím resp. šestém
 +
desetinném místě (pro paramagnetické, resp. diamagnetické látky).
 +
 +
 +
%\begin{figure}[hb]
 +
%\vspace{2.5cm}
 +
%\caption{Snellův zákon lomu}
 +
%\label{obr:3.2}
 +
%\end{figure}
 +
 +
\begin{figure}
 +
\begin{center}
 +
\includegraphics[height=0.2\textheight]{ob3c2}\\
 +
\caption{Snellův zákon lomu}
 +
\label{obr:3.2}
 +
\end{center}
 +
\end{figure}
 +
 +
Průchod světla hranolem se řídí Snellovým zákonem lomu (obr.
 +
\ref{obr:3.2})
 +
$$ n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2\ ,$$
 +
kde $n_1,\,n_2$ jsou indexy lomu po obou stranách rozhraní. Vlnové
 +
délky viditelného světla sahají od 400 do 800 nm a odpovídají barvám
 +
od fialové po červenou. Při rozkladu světla hranolem je tedy světlo
 +
rozloženo na {\it monochromatické (harmonické) vlny.} Protože
 +
$n_{vzduch}=1$, znamená to, že index lomu skla a tudíž i fázová
 +
rychlost světla ve skle jsou závislé na (vakuové) vlnové délce
 +
neboli ekvivalentně na úhlové frekvenci $\om$, $v(\om)=c/n(\om)$.
 +
Vzhledem k~tomu, že $v=\om/k$, dá se tato vlastnost skla vyjádřit
 +
{\it nelineárním disperzním vztahem}
 +
\be
 +
v(\om)=\f{\om}{k} \q \Ra \q \om=\f{c}{n(\om)}k.
 +
\ee
 +
Z~tohoto hlediska model struny
 +
z~kapitol 1 a 2 představuje {\it nedisperzní prostředí}, v~němž
 +
\be
 +
\f{\om}{k}=v=\sqrt{\f{T}{\varrho}}=konst.
 +
  \ee
 +
a harmonické vlny s~libovolnými frekvencemi se šíří touž fázovou
 +
rychlostí! Důsledkem pak je i šíření vlny libovolné formy beze změny
 +
tvaru fázovou rychlostí $v=\sqrt{T/\varrho}$. Disperzní křivka pro
 +
sklo je nelineární, pro ilustraci je na obr. \ref{obr:3.3} vynesena
 +
závislost indexu lomu na úhlové frekvenci v~oboru viditelného světla
 +
(tzv. normální disperze).
 +
 +
%\begin{figure}[hb]
 +
%\vspace{3cm}
 +
%\caption{Sklo jako disperzní prosředí}
 +
%\label{obr:3.3}
 +
%\end{figure}
 +
 +
\begin{figure}
 +
\begin{center}
 +
\includegraphics[height=0.3\textheight]{ob3c3}\\
 +
\caption{Sklo jako disperzní prostředí}
 +
\label{obr:3.3}
 +
\end{center}
 +
\end{figure}
 +
 +
Nejjednodušší {\it model disperzního prostředí}, který popisuje
 +
základní rysy disperze, vychází z~elektronové teorie látek. Stačí
 +
k~tomu sto let stará představa {\it J.J.Thomsona}, že elektrony
 +
v~atomech se v~klidu nacházejí v~rovnovážných polohách a po
 +
vychýlení (vlivem srážek) vykonávají malé kmity a vyzařují se speciálními
 +
vlastními frekvencemi charakteristickými pro daný atom. Disperze
 +
světla, které dopadá na látku, pak vzniká jako odezva látky na
 +
dopadající elektromagnetickou vlnu.
 +
 +
Reakce látky je součtem (lineárních) reakcí jednotlivých elektronů.
 +
Elektron s~vlastní frekvencí $\om_0$ pod vlivem elektromagnetického
 +
pole dopadající vlny o~úhlové frekvenci $\om<\om_0$ má pohybovou
 +
rovnici
 +
\be    \label{3.1}
 +
\mbox{$m\ddot{\vc{r}}+m\om^2\mbf{r}=e\mbf{E}(t)=
 +
e\mbf{E}$}_0\cos\om t
 +
\ee
 +
{\it vynucených kmitů} ($m\doteq 9,1.10^{-31}\,kg$,
 +
$e=-1,6.10^{-19}\,C$, magnetickou část Lorentzovy síly lze zanedbat
 +
--- proč?). {\it Ustálené kmity}\/ elektronu jsou dány partikulárním
 +
řešením
 +
$$
 +
\mbox{$\mbf{r}(t)=\disp \f{e}{m(\om_0^2-\om^2)}\mbf{E}_0\cos\om t
 +
\,.$}
 +
$$
 +
Lineární odezva látky vzniká součtem indukovaných elektrických
 +
dipólových momentů jednotlivých elektronů \be \label{3.2}
 +
\mbox{$\mbf p$}(t)=e\mbox{$\mbf r$}(t)=\f{e^2}{m(\om_0^2-\om^2)}
 +
\mbox{$\mbf{E}$}(t)\,. \ee Výsledný vektor polarizace $ \mbf{P}(t)$
 +
je dipólovým momentem objemové jednotky látky \be  \label{3.3}
 +
\mbox{$\disp\mbf{P}=N\mbf{p}\,,$} \ee kde $N$ je počet elektronů
 +
(typu $\om_0$) v~$1\,m^3$. Index lomu lze nyní vypočítat ze vztahu
 +
$$\mbox{$\mbf{D}(t)=\eps_0\mbf{E}(t)+\mbf{P}(t)=\eps\mbf{E}(t)$}$$
 +
dosazením (\ref{3.2}), (\ref{3.3}):
 +
$$\eps_0\left(1+\f{Ne^2}{\eps_0m(\om_0^2-\om^2)}\right)
 +
\mbox{$\mbf{E}(t)=\eps\mbf{E}(t)$}\,, $$
 +
tedy
 +
\be    \label{3.4}
 +
n(\om)=\sqrt{\eps_r}=\sqrt{1+\f{Ne^2}{\eps_0 m(\om_0^2-\om^2)}}\
 +
.
 +
\ee
 +
Graf této závislosti (obr.\ref{obr:3.3}) ukazuje, že frekvence
 +
$\om_0$ leží v~ultrafialové oblasti. Vzorec (\ref{3.4}) se dá
 +
zapsat pro elektrony více typů $\om_k$ s~hustotami $N_k$ ve formě
 +
$$ n(\om)=\sqrt{1+\sum_k\f{N_k e^2}{\eps_0 m (\om_k^2-\om^2)}}\
 +
.$$ Pro látky s~malou hustotou elektronů se vzorec (\ref{3.4})
 +
aproximuje podle $(1+x)^{1/2}\approx 1+\f{1}{2}x,\ x\ll 1,$ \be
 +
n(\om)\approx 1+\f{1}{2}\f{Ne^2}{\eps_0m(\om_0^2-\om^2)}\ . \ee
 +
V~této formě jej naleznete v~příkladech \cite{TK}, kap. 4.
 +
Singularity vzorců při rezonančních frekvencích se dají odstranit
 +
v~přesnějším popisu elektronu vyzařujícího s~{\it radiačním útlumem}
 +
\cite{ST}, kap. 9.
 +
 +
Šíření elektromagnetické vlny v~disperzním prostředí se tedy řídí
 +
příslušným disperzním vztahem
 +
$$\om=\om(k)\,.$$
 +
Prostředí je pro tyto vlny {\it transparentní.} Podle disperzního
 +
vztahu však dobře definovanou fázovou rychlost $v=\om(k)/k$ mají
 +
pouze monochromatické (harmonické) postupné vlny
 +
$$\psi(z,\,t)=A\cos(\om t-kz+\fii)\,.$$
 +
Všimněte si, že dosazení tohoto $\psi$ do vlnové rovnice
 +
(\ref{eq:2.1}) vede díky rovnostem
 +
\be  \label{3.5}
 +
\f{\pad^2\psi}{\pad t^2}=  -\om^2\psi, \qq
 +
\f{\pad^2\psi}{\pad z^2}=-k^2\psi
 +
\ee
 +
právě  k~disperznímu vztahu $\om^2=v^2 k^2$.
 +
 +
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 +
\section{Elektromagnetické vlny v plazmatu}
 +
 +
Plazma, zvané též čtvrté skupenství hmoty, je ionizovaný plyn,
 +
tedy soustava volně se pohybujících elektronů a kladně nabitých
 +
iontů. Vzhledem k~velkým hmotnostem iontů lze zkoumat pohyb
 +
elektronového podsystému. Abychom zjistili odezvu plazmatu
 +
na dopadající elektromagnetickou vlnu, vyjdeme (jako v~odstavci
 +
3.1) z~pohybové rovnice jednoho elektronu
 +
$$\mbox{$m\ddot{\vc{r}}=e\mbf{E}(t)=e\mbf{E}_0\cos \om
 +
t\,.$}$$ Vidíme, že je to rovnice (\ref{3.1}) pro $\om_0=0$, takže
 +
můžeme převzít výsledek (\ref{3.4}) \be    \label{3.6}
 +
n(\om)=\sqrt{\eps_r}=\sqrt{1-\f{Ne^2}{\eps_0 m\om^2}}\ , \ee kde $N$
 +
je počet elektronů v~objemové jednotce plazmatu.
 +
 +
Pro šíření elekromagnetických vln v~plazmatu je důležitá veličina
 +
$$ \om_p=\sqrt{\f{Ne^2}{m\eps_0}}$$
 +
zvaná {\em plazmová frekvence.} Vztah  (\ref{3.6}) pak lze psát
 +
$$\om^2n^2=\om^2-\om_p^2\,.$$
 +
S~využitím $n=c/v$ a $\om/v=k$ dospějeme k~{\em disperznímu
 +
vztahu pro plazma}
 +
\be  \label{3.7}
 +
\fbox{$\om^2=\om_p^2+c^2k^2$}
 +
\ee
 +
 +
Při $\om>\om_p$ je plazma {\it transparentním disperzním
 +
prostředím.} Jak se plazma chová k~elektromagnetickým vlnám
 +
s~úhlovými frekvencemi $\om<\om_p$ ? K~tomu nejprve pomocí
 +
(\ref{3.5}) zapíšeme vlnovou rovnici pro plazma, která pro
 +
harmonické vlny vede právě na disperzní vztah (\ref{3.7}):
 +
\be \label{3.8}
 +
-\om^2\psi=-\om_p^2\psi-c^2k^2\psi\,
 +
\stackrel{(\ref{3.5})}{=\!\Longrightarrow}\, \fbox{$\disp\f{\pad^2
 +
\psi}{\pad t^2}=-\om_p^2\psi+c^2\f{\pad^2\psi}{\pad z^2}$}.
 +
\ee
 +
Zkoumejme řešení (\ref{3.8}) jako ustálené vynucené kmity, tj.
 +
položme
 +
\be \label{3.9} \psi(z,\,t)=X(z)\cos(\om t+\fii)\,.
 +
  \ee
 +
Po dosazení (\ref{3.9}) do (\ref{3.8}) dostaneme obyčejnou
 +
diferenciální rovnici pro $X(z)$, \be      \label{3.10}
 +
X''+\f{\om^2-\om_p^2}{c^2}X=0\,.
 +
\ee
 +
Při jejím řešení musíme rozlišovat dva případy, které se od sebe
 +
kvalitativně liší:\\
 +
%\mbox\q 1.\hfill$\om>\om_p$\hfill$X''+k^2X^2=0$\hfill$\om^2=\om_p^2+c^2k^2
 +
%$\hspace{11ex}\mbox{}\\
 +
%\mbox\q 2.\hfill$\om<\om_p$ \hfill $X''-\kappa^2X=0$ \hfill $\om^2=\om_p^2
 +
%-c^2\kappa^2\qq$\addtocounter{equation}{1}(3.\arabic{equation})\\
 +
\begin{enumerate}
 +
\item $\om>\om_p,\qquad X''+k^{2} X=0,\qquad \om^2=\om_p^2+c^2k^2$,
 +
\item $\om<\om_p, \qquad X''-\kappa^{2}X=0, \qquad \om^2=\om_p^2
 +
-c^2\kappa^2$.
 +
\end{enumerate}
 +
Rozbor druhého případu dává odpověď na chování prostředí při
 +
$\om<\om_p$. Na rozdíl od fundamentálního systému $\{
 +
\e{ikz},\,\e{-ikz}\}$\,, který vede na netlumené kmity v
 +
transpa\-rent\-ním případě, máme ve druhém případě fundamentální
 +
systém $\{\e{\kappa z},\,\e{-\kappa z}\}$ vyjadřující útlum vln s
 +
frekvencemi $\om<\om_p$. Prostředí pak nazýváme {\it reaktivní.}
 +
 +
Zaujímá-li prostředí např. poloprostor $z\geq 0$, bude mít řešení
 +
při $\om<\om_p$ formu ustálených vynucených kmitů \be \label{3.11}
 +
\psi(z,\,t)=A\e{-\kappa z}\cos(\om t+\fii)\,,\qq z
 +
\raisebox{1pt}{$\script\in$}\langle 0,\,+\infty)\,, \ee jejichž
 +
amplituda $A\e{-\kappa z}$ s rostoucím $z$ exponenciálně klesá.
 +
Rychlost zeslabení charakterizujeme {\it hloubkou pronikání}
 +
$\delta=1/\kappa$\,. Pro každou frekvenci $\om<\om_p$ se konstanta
 +
útlumu určí z disperzního vztahu (\ref{3.7}). Zde je na místě
 +
zdůraznit, že útlum kmitů v prostředí není způsoben disipací
 +
energie, ale neschopností prostředí přenášet vlny s frekvencemi
 +
$\om<\om_p$\,.
 +
 +
Případy 1. a 2. tedy odpovídají transparentní a reaktivní oblasti.
 +
Velice důležitou praktickou aplikací těchto poznatků je {\it šíření
 +
elektromagnetických vln v ionosféře}. Plazmová frekvence není
 +
konstantní, ale je různá podle denních a ročních období, kdy se
 +
vlivem slunečního záření mění počet elektronů $N$ v objemové
 +
jednotce. Udávají se hodnoty $\nu_p=\om_p/2\pi$ v rozmezí od 10 do
 +
$30\,MHz$. Televizní stanice a radiové stanice v oblasti frekvenčně
 +
modulovaných (tj. velmi krátkých) vln pracují na frekvencích řádu
 +
$100\,MHz$ a vyšších, ionosféra je pro ně tedy transparentní. Pro
 +
nízké frekvence řádu $1\,MHz$, na kterých pracují rozhlasové stanice
 +
s amplitudovou modulací (pásma dlouhých, středních a krátkých vln),
 +
je ionosféra reaktivním prostředím a odráží tyto vlny zpět k Zemi.
 +
 +
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 +
\section{Řetízek atomů jako reaktivní prostředí}
 +
 +
Pro řetízek atomů jsme si odvodili disperzní vztah
 +
(\ref{rdispvztah})
 +
$$\om=\om_{max}\sin\f{ka}{2}\,,\qq \om_{max}=2\,\sqrt{\f{K}{M}}\,.$$
 +
Z průběhu této závislosti v intervalu
 +
$0\leq\f{ka}{2}\leq\f{\pi}{2}$ je patrné, že řetízek je
 +
transparentní jen pro úhlové frekvence od 0 do $\om_{max}$. Jak
 +
se řetízek chová při $\om>\om_{max}$\,?
 +
 +
Vodítkem nám bude řešení (\ref{3.11}) v odstavci 3.2, které ve
 +
spojitém případě exponenciálně klesá směrem do prostředí. Odpovídá
 +
tomu fyzikální představa, že následující atomy při kmitech o
 +
vysokých frekvencích již nestačí sledovat pohyb předcházejících
 +
atomů a amplitudy výchylek klesají s rostoucím $n$. Exponenciální
 +
pokles dává v diskret\-ním případě předpokládaný tvar ustálených
 +
vynucených kmitů\footnote{Faktor $(-1)^n$ zaručuje stejná limitní
 +
řešení při $\om\to\om_{max}+$ a $\om\to\om_{max}-$.}
 +
\be  \label{3.12} \psi_n(t)=A(-1)^n\e{-\kappa
 +
na}\cos(\om t+\fii)\,. \ee
 +
Dosazením (\ref{3.12}) do pohybových
 +
rovnic řetízku
 +
$$ M\ddot{\psi}_{n}=K(\psi_{n+1}-2\psi_{n}+\psi_{n-1})$$
 +
dostaneme
 +
$$ -M\om^2\psi_n=K(-\e{-\kappa a}-2-\e{\kappa a})\,\psi_n\,,$$
 +
odkud plyne {\it disperzní vztah v reaktivní oblasti}\ \
 +
$\om>\om_{max}\,$, \be \om=\sqrt{\f{K}{M}}\,\left(\eee{\f{\kappa
 +
a}{2}}+\eee{-\f{\kappa a}{2}}\right)=\om_{max}\cosh\f{\kappa
 +
a}{2}\,. \ee
 +
 +
Kdykoliv v prostředí nastává exponenciální útlum a přitom nikoli
 +
v důsledku tření a přeměny energie v teplo, nazýváme prostředí
 +
{\it reaktivní}. Do reaktivního prostředí $0\leq z<+\infty$
 +
energie neproudí, vlna dopadající z oblasti $-\infty<z\leq 0$ se
 +
odráží. V optice analogická situace nastává při {\it totálním
 +
odrazu}. Má-li však reaktivní prostředí konečnou tloušťku $L$,
 +
odraz není totální, nýbrž částečný: vlna projde se zeslabenou
 +
amplitudou $A\e{-\kappa L}$. V kvantové fyzice se tento vlnový
 +
jev nazývá průnik potenciálovou bariérou (tunelový jev) a
 +
vysvětluje se jím například radioaktivita $\alpha$.
 +
 +
 +
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 +
\section{Vlnové balíky}
 +
 +
%\hyphenation{kvazi-mono-chro-mati-cký kvazi-mono-chro-mati-cká
 +
% kvazi-mono-chro-matických kvazi-mono-chro-ma-ti-cké-ho
 +
% kvazi-mono-chro-matič-nost mono-chro-mat-ický
 +
% mono-chro-mati-cká  mono-chro-mati-ckých}
 +
\begin{quote}
 +
{\it Kvaziharmonické kmity, kvazimonochromatické vlny a vlnové
 +
balíky. Vztah mezi šířkou vlnového balíku a šířkou jeho spektra.}
 +
\end{quote}
 +
Skutečné kmity oscilujících soustav se málokdy blíží ideálnímu čistě
 +
harmonickému průběhu \be  \label{3*.1} x(t)=A\cos(\om_0
 +
t+\delta)\,,\qq -\infty <t<+\infty\,. \ee V~některých případech a
 +
zvláště v~optice je užitečný pojem {\em kvaziharmonických kmitů,}
 +
které se v~dostatečně dlouhých časových úsecích $\tau\gg T_0$ velmi
 +
málo odlišují od harmo\-ni\-ckého průběhu (\ref{3*.1}) Znamená to,
 +
že v~časovém intervalu délky $\tau$ zůstávají parametry
 +
$A,\,\om_0,\,\delta$ prakticky konstantní.
 +
 +
Důležitým příkladem jsou kmity elektronu v Thomsonově modelu atomu.
 +
Elektron s vlastní frekvencí $\om_0$, rozkmitaný v~čase $t=0$
 +
srážkou atomů, vykonává velmi slabě tlumené kmity, neboť ztrácí
 +
energii vyzařováním elektromagnetických vln (viz odd. 6.5 a
 +
\cite{ST}, kap. 9). Jako jednorozměrný model nám poslouží struna
 +
natažená od $z=0$ do $+\infty$, která má na počátku $z=0$ připojený
 +
harmonický oscilátor. Je-li v~čase $t=0$ oscilátor vychýlen,
 +
$x(0)=A,\,\dot{x}(0)=0$, začne kmitat. Protože však ztrácí energii
 +
tím, jak koná na struně práci, budou jeho kmity tlumené. (Zkuste
 +
odvodit průměrné tlumení metodou \cite{ST}, úloha 9.10\,!)
 +
 +
Za předpokladu velmi slabého útlumu bude oscilátor vykonávat
 +
kvaziharmonické kmity
 +
\be  \label{3*.2}
 +
x(t)=\biggl\{\begin{array}{ll}
 +
0&\mbox{pro $t<0$}\\
 +
A\eee{-\f{t}{2\tau}}\cos\om_0t&\mbox{pro $t\geq 0$}
 +
\end{array},
 +
\ee
 +
neboť $\tau\gg T_0=2\pi/\om_0\,$ (obr. \ref{obr:3*.1})\,. Energie
 +
oscilátoru klesá též exponenciálně s~časovou konstantou
 +
$\tau$:
 +
\be  \label{3*.3}
 +
E(t)=\biggl\{\begin{array}{ll}
 +
0&\mbox{pro $t<0$}\\
 +
E(0)\eee{-\f{t}{\tau}}&\mbox{pro $t\geq 0$}
 +
\end{array}.
 +
\ee
 +
 +
%\begin{figure}[hb]
 +
%\s{30}
 +
%\caption{Časový průběh velmi slabě tlumených
 +
%kmitů,\,$T_0\ll\tau$}
 +
%\label{obr:3*.1}
 +
%\end{figure}
 +
 +
 +
\begin{figure}
 +
\begin{center}
 +
\includegraphics[height=0.2\textheight]{ob3c5}\\
 +
\caption{Časový průběh velmi slabě tlumených kmitů,\,$T_0\ll\tau$ }
 +
\label{obr:3*.1}
 +
\end{center}
 +
\end{figure}
 +
 +
V~důsledku rozkmitání počátku struny $\psi(0,\,t)=x(t)$ podle
 +
(\ref{3*.2}) vzniká na struně, jak víme z~kapitoly 2, postupná vlna
 +
\be  \label{3*.4}
 +
\psi(z,\,t)= \biggl\{
 +
\begin{array}{ll}
 +
0&\mbox{pro $z>vt$}\\
 +
A\e{-\f{1}{2\tau}(t-\f{z}{v})}\cos(\om_0 t-k_0z)& \mbox{pro $z\leq
 +
vt$}
 +
\end{array}
 +
\ee
 +
postupující ve kladném směru $+z$ s~fázovou rychlostí
 +
$v=\om_0/k_0=\sqrt{T/\varrho}$\,. Při\, $\tau\to +\infty$ by
 +
(\ref{3*.4}) byla harmonická postupná vlna. Pro $\tau\gg T_0$ se
 +
přidržíme názvosloví z optiky a budeme mluvit o {\em
 +
kvazimonochromatické postupné vlně.}  Tato vlna má v některém
 +
časovém okamžiku $t_1>0$ {\it čelo} v místě $z=vt_1$\,.
 +
 +
%\begin{figure}[ht]
 +
%\s{30}
 +
%\caption{Prostorový průběh kvazimonochromatické vlny
 +
% $v\tau\ll\la $.}
 +
%\label{obr:3*.2}
 +
%\end{figure}
 +
 +
\begin{figure}
 +
\begin{center}
 +
\includegraphics[height=0.2\textheight]{ob3c6}\\
 +
\caption{Prostorový průběh kvazimonochromatické vlny}
 +
\label{obr:3*.2}
 +
\end{center}
 +
\end{figure}
 +
 +
Na prostorovém grafu vlny (obr. \ref{obr:3*.2}) je
 +
kvazimonochromatičnost vyjádřena podmín\-kou $v\tau\gg v t_0=\la_0$.
 +
Pro kmitající elektron byla z Maxwellových rovnic odvozena časová
 +
konstanta radiačního útlumu energie $\tau\approx 10^{-8}\,s$. Během
 +
tohoto, z našeho hlediska velmi krátkého časového intervalu, optické
 +
záření vykoná řádově $10^7$ kmitů s periodou $T_0\approx
 +
10^{-15}\,s$. V prostorovém průběhu se na vzdálenosti $c\tau\approx
 +
3\, m$ vejde řádově $10^7$ vlnových délek viditelného světla $(400\,
 +
-- \,800\, nm)$.
 +
 +
Vlna vyzářená elektronem má další důležitou vlastnost: za krátký
 +
časový interval, řekněme $10\tau\approx10^{-7}$s se rychle
 +
utlumí na zanedbatelný zlomek $\e{-5}\doteq1/150$ počáteční
 +
amplitudy. V prostoru je odpovídající vzdálenost
 +
$10c\tau\doteq30\,m$. Vlna je tedy v prostorovém i časovém
 +
průběhu ohraničená. Taková vlna se nazývá {\em vlnový balík.}
 +
Vlnový balík vyzářený elektronem je kvazimonochromatický.
 +
 +
Kvazimonochromatický vlnový balík lze získat jako {\it spojitou
 +
superpozici}\/ monochromatických vln ($\om=vk$)
 +
\be  \label{3*.5}
 +
\psi(z,\,t)=\int_0^{+\infty}B(\om)\cos(\om t-kz+\delta(\om))\d \om\
 +
. \ee
 +
Ukážeme si to na velmi jednoduchém příkladě (viz obr.
 +
\ref{obr:3*.3}, \ref{obr:3*.4} a \cite{TK}, př. 4.11), v němž volíme
 +
\be \label{3*.6}
 +
\delta(\om)=0,  \qquad B(\om)=\Bigl\{
 +
\begin{array}{ll}
 +
1&{\rm pro}\ \om_0-\f{\Delta \om}{2}\leq
 +
\om\leq\om_0+\f{\Delta\om}{2}\\[1mm]
 +
0&\mbox{pro ostatní $\omega$}
 +
\end{array}.
 +
\ee
 +
Uvidíme, že za předpokladu, že {\em šířka spektra} $\Delta\om$
 +
je malá vůči {\it dominantní frekvenci} $\om_0$, $\Delta\om\ll\om_0$
 +
bude $\psi(z,\,t)$ opět kvazimonochromatický vlnový balík!
 +
 +
%\begin{figure}[ht]
 +
%\vspace{10cm}
 +
%\caption{Fourierova analýza neperiodické funkce}
 +
%\label{obr:3*.3}
 +
%\end{figure}
 +
 +
\begin{figure}
 +
\begin{center}
 +
\includegraphics[height=0.3\textheight]{ob3c41}\\
 +
\caption{Spektrum signálu}
 +
\label{obr:3*.3}
 +
\end{center}
 +
\end{figure}
 +
 +
\begin{figure}
 +
\begin{center}
 +
\includegraphics[height=0.4\textheight]{ob3c4}\\
 +
\caption{Časový průběh signálu se spektrem z obr.
 +
            \ref{obr:3*.3}}
 +
\label{obr:3*.4}
 +
\end{center}
 +
\end{figure}
 +
 +
Integrál (\ref{3*.5}) s použitím (\ref{3*.6}) a označením
 +
$t'=t-(z/v)$ se snadno postupně upraví
 +
$\m
 +
\psi(z,\,t)=\int_{\text\om_0-\f{\Delta\om}{2}}^{\text\om_0+\f{\Delta\om}{2}}
 +
\cos(\om t')\,\d\om=\
 +
\m\h=\f{1}{t'}\biggl[\sin\biggl(\om_0+\f{\Delta\om}{2}\biggr)t'-
 +
\sin\biggl(\om_0-\f{\Delta\om}{2}\biggr)t'\biggr]\h
 +
\m$ na výsledný tvar
 +
\be \label{3*.7}
 +
\psi(z,\,t)=\f{1}{t'}2\sin\biggl(\f{\Delta\om}{2}t'\biggr)\cos(\om_0t-kz)\,.
 +
\ee
 +
Výsledkem je {\it amplitudově modulovaná vlna} s {\it nosnou
 +
vlnou} o vlnové délce $\la_0$\,. Časový průběh signálu v místě $z=0$
 +
(obr. \ref{obr:3*.4})
 +
\be\label{3*.8}
 +
\psi(0,\,t)=\Delta\om\f{\sin\f{\Delta\om}{2}t}{\f{\Delta\om}{2}t}\cos\om_{0}t
 +
\ee
 +
má amplitudovou modulaci typu $\sin x/x$. Pro určení {\it šířky
 +
signálu} jsou směrodatné body
 +
$x_{1,2}=\f{\Delta\om}{2}t_{1,\,2}=\pm\pi$, kde modulační funkce
 +
poprvé prochází nulou. Zvolíme-li za míru šířky signálu $\Delta
 +
t=t_1$, platí
 +
\be\label{3*.9}
 +
\fbox{$\Delta\om \Delta t \approx
 +
2\pi.$}
 +
\ee
 +
Podobný vztah mezi šířkou signálu a šířkou jeho spektra
 +
lze odvodit i pro prostorový průběh signálu (v čase $t=0$)
 +
\be\label{3*.10} \psi(z,\,0)=v\Delta k\f{\sin\f{\Delta k}{2}z}
 +
        {\f{\Delta k}{2}z}\cos k_0z\,,
 +
\ee
 +
kde jsme označili $\Delta k=\Delta \om/v.$
 +
Stejná definice šířky signálu $\Delta z=z_1$,
 +
kde $\f{\Delta k}{2}z_1=\pi,$ dává
 +
\be\label{3*.11}
 +
\fbox{$\Delta k \Delta z\approx 2\pi.$}
 +
\ee
 +
 +
Vztahy (\ref{3*.9}) a (\ref{3*.11}) vyjadřují {\it univerzální
 +
vlastnost} kvazimonochromatických vlnových balíků: čím jsou rozměry
 +
balíků menší, tím je jeho spektrum frekvencí širší a naopak. Tuto
 +
důležitou vlastnost musíme bezpodmínečně brát v úvahu při návrzích
 +
soustav, které přenášejí signál nesoucí informace. Aby nedošlo k
 +
neopravitelnému zkre\-sle\-ní, musí přenosová soustava být schopna
 +
přenést celé spektrum o šířce $\Delta \om$.
 +
 +
Vraťme se ještě k příkladu na začátku tohoto oddílu, kde je časová
 +
šířka vlnového balíku $\Delta t\approx\tau$. Ze vztahu (\ref{3*.9})
 +
zde vyplývá, že hlavní spektrální příspěvky ke kvaziharmonickému
 +
signálu $x(t)$ pocházejí ze spojitého pásma frekvencí o šířce
 +
$\Delta \om\approx 2\pi/\tau$ kolem dominantní frekvence $\om_0$.
 +
(Porovnejte s výsledky příkladů 4.9 --- 4.13 v \cite{TK}, kap.4).
 +
 +
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 +
 +
\section{Fourierova transformace}
 +
 +
\begin{quote}
 +
{\it Fourierova transformace přímá a inverzní. Parsevalova
 +
rovnost a její fyzikální obsah.}
 +
\end{quote}
 +
 +
V oddílu 3.4 jsme vlnový balík vyjádřili ve formě 'spojité
 +
superpozice' (\ref{3*.5}) monochromatických vln. V místě $z=0$ je
 +
příspěvek od intervalu frekvencí $(\om,\,\om+\d \om)$ dán výrazem
 +
$A(\om)\cos(\om t+\delta(\om))\d \om,$ který představuje {\it
 +
spektrální složku} balíku. Vidíme, že $A(\om)$ je amplituda vztažená
 +
na jednotkový interval frekvencí.
 +
 +
Matematickým vyjádřením přechodu od signálu $x(t)$ k jeho
 +
spektrálním složkám a naopak jsou vzorce {\it Fourierovy
 +
transformace} \bea  \label{3*.12}
 +
x(t)&=&\int_0^{\infty} A(\om)\cos(\om t+\delta(\om))\,\d\om=\non\\
 +
&=&\int_0^{\infty}\Bigl[a(\om)\cos(\om t)+b(\om)\sin(\om t)
 +
\Bigr]\,\d \om \eea a $\m \h
 +
a(\om)=A(\om)\cos\delta(\om)=\f{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\cos(\om
 +
t)\,\d t\,,\h\m\s{-4} \eqnu\m\s{-4} \h
 +
b(\om)=-A(\om)\sin\delta(\om)=\f{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\sin(\om
 +
t)\,\d t  \,.\h \m \label{3*.13}$
 +
\smallskip
 +
 +
Formule (\ref{3*.12}) a (\ref{3*.13}) udávají inverzní a přímou
 +
Fourierovu transformaci. Všimněte si podobnosti se vzorci oddílu
 +
1.2.3 pro Fourierovy řady. Rozdíl je v tom, že Fourierovy řady jsou
 +
definovány pouze pro {\it periodické} funkce, zatímco Fourierovu
 +
transformaci lze použít pro obecné {\it neperiodické} signály
 +
$x(t)$, $-\infty<t<+\infty$.
 +
 +
Vzorce Fourierovy transformace mají elegantní jednoduchou formu,
 +
vyjádříme-li kosinus a sinus pomocí Eulerových vztahů. Nejprve
 +
upravíme \be\label{3*.14} a(\om)\cos(\om t)+b(\om)\sin(\om
 +
t)=c(\om)\e{i\om t}+ \overline{c(\om)}\e{-i\om t}\,, \ee kde
 +
\be\label{3*.15} c(\om)=\f{1}{2}\Bigl[a(\om)-ib(\om)\Bigr]. \ee Ze
 +
vzorců (\ref{3*.13}) plyne, že $a(\om)$ je sudou funkcí $\om$,
 +
$b(\om)$ lichou funkcí $\om$. To nám dovolí formálně rozšířit
 +
definiční obor funkce $c(\om)$ do záporných hodnot $\om$ vztahem
 +
\be\label{3*.16} c(-\om)=\overline{c(\om)} \ee
 +
Inverzní Fourierova
 +
transformace (\ref{3*.12}) se upraví pomocí (\ref{3*.14}) a
 +
(\ref{3*.16}) $\m \qq x(t)=\int_0^{\infty}\biggl[c(\om)\e{i\om t
 +
}+\overline{c(\om)}\e{-i\om t}\biggr]\d \om=\m \qq\q\
 +
=\int_0^{\infty}c(\om)\e{i\om t}\d\om
 +
+\int_0^{\infty}c(-\om)\e{-i\om t }\d\om\h\m $ a po substituci
 +
$\om'=-\om$ ve  druhém integrálu $\m \qq x(t)=
 +
\int_0^{\infty}c(\om)\e{i\om t}\d\om
 +
+\int_0^{-\infty}c(\om')\e{-i\om' t }(-\d\om')=\m \qq\q\
 +
=\left(\int_0^{\infty}+\int_{-\infty}^{0}\right) c(\om)\e{i\om
 +
t}\d\om\m $ dostaneme výsledný vzorec pro {\it inverzní Fourierovu
 +
transformaci} $c(\om)\mapsto x(t)$ \be \label{3*.17} \fbox{$\disp
 +
x(t)=\int_{-\infty}^{\infty}c(\om)\e{i\om t}\d\om.$} \ee
 +
Vzorce
 +
(ref{3*.13}) {\it  přímé Fourierovy transformace} $x(t)\mapsto
 +
c(\om)$ se spojí pomocí (\ref{3*.15})
 +
$$ c(\om)=\f{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}x(t)(\cos\om
 +
t-i\sin\om t)\d t $$
 +
na výsledný vzorec
 +
\footnote{Vzorce (\ref{3*.17}), (\ref{3*.18}) Fourierovy
 +
transformace se obvykle zapisují v symetrickém tvaru
 +
\bea
 +
\non x(t)&=&\f{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}X(\om)\e{i\om t}
 +
\d\om \,,\\
 +
\non X(\om)&=&\f{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\e{-i\om t}\d
 +
t  \,,
 +
\eea
 +
který dostaneme, položíme-li $X(\om)=\sqrt{2\pi}c(\om)$.
 +
}
 +
\be              \label{3*.18}
 +
\fbox{$\disp c(\om)=\f{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\e{-i\om
 +
t}\d t$}
 +
\ee
 +
Pro spektrální rozklad energetických veličin (intenzit) má velký
 +
význam {\em Parsevalova rovnost}
 +
%\footnote{Parsevalova rovnost má v prostoru funkcí
 +
%%integrovatelných s kvadrátem na (a,\,b) (s normou
 +
%$\|f\|=\sqrt{\int_a^b f^2(x)\d x}$) tvar
 +
%$$ \sum_{n=1}^{\infty}|c_n|^2=\|f\|^2$$
 +
%kde $c_n$ jsou Fourierovy koeficienty funkce $f$ vzhledem k tomu systému
 +
%funkcí. Následující tvar  Parsevalovy rovnosti je zobecněním na
 +
%prostor funkcí o nespočetné dimenzi.}
 +
$\m
 +
\qq\int _{-\infty}^{\infty}\Bigl[x(t)\Bigr]^2\d
 +
t=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\left(\int_{-\infty}^{\infty}
 +
c(\om)\e{i\om t}\d\om\right)\d t=\m
 +
\qq\qq =\int_{-\infty}^{\infty}c(\om)\left(\int_{-\infty}^{\infty}
 +
x(t)\e{i\om t}\d t\right)\d\om=\m
 +
\qq\qq=2\pi\int_{-\infty}^{\infty}c(\om)c(-\om)\d\om=\m
 +
\qq\qq=2\pi\int_{-\infty}^{\infty}|c(\om)|^2\d\om.\eqnu
 +
                                          \label{3*.19} \m    $
 +
Vyjadřuje celkovou energii signálu jako superpozici příspěvků k
 +
intenzitě od jednotlivých spektrálních složek. (Z matematického
 +
hlediska vztah  (\ref{3*.19})  říká, že kvadraticky integrabilní
 +
signál $x(t)$ má kvadraticky integrabilní spektrum $c(\om)$.)
 +
 +
 +
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 +
\section{Šíření vlnového balíku v disperzním prostředí}
 +
 +
\begin{quote}
 +
{\it Dva hlavní efekty: grupová rychlost a rozplývání grupového
 +
balíku. \\ Přenos informace modulovanou vlnou.}
 +
\end{quote}
 +
Zkoumejme řešení kvazimonochromatického vlnového balíku
 +
(\ref{3*.5}) ( bez újmy na obecnosti s $\delta(\om)=0$)  v disperzním prostředí
 +
$\om=\om(k)$.
 +
 +
%\begin{figure}[bt]
 +
%\vspace{6cm}
 +
%\caption{Disperzní vztah prostředí a spektrum
 +
%kvazimonochromatického vlnového balíku}
 +
%\label{obr:3*.4}
 +
%\end{figure}
 +
 +
\begin{figure}
 +
\begin{center}
 +
\includegraphics[height=0.3\textheight]{ob3c7}\\
 +
\caption{Disperzní vztah prostředí a spektrum
 +
kvazimonochromatického vlnového balíku}
 +
\label{obr:3.8}
 +
\end{center}
 +
\end{figure}
 +
 +
Vlnový balík (\ref{3*.5}) můžeme (po substituci $\om=\om(k)$)
 +
vyjádřit jako integrál přes $k$,
 +
$$ \psi(z,\,t)=\int_0^{\infty}B(k)\cos(\om(k)t-kz)\,\d k\,.$$
 +
Pro další úpravy je užitečný komplexní zápis ($\psi={\rm
 +
Re}\;\hat{\psi}$) \be\label{3*.20}
 +
\hat{\psi}(z,\,t)=\int_0^{\infty}B(k)\e{i(\om(k)t-kz)}\d k. \ee
 +
Vzhledem k tomu, že spektrum signálu je podle obr.\ref{obr:3.8}
 +
soustředěno v úzké oblasti šířky $\Delta k\ll k_0$ kolem
 +
dominantního vlnového čísla $k_0$, můžeme disperzní vztah s dobrou
 +
přesností vyjádřit Taylorovým rozvojem v bodě $k_0$ do 2. řádu
 +
\be
 +
\label{3*.21} \om(k)\doteq
 +
\om(k_0)+\om'(k_0)(k-k_0)+\f{1}{2}\om''(k_0)(k-k_0)^2. \ee Signál
 +
(\ref{3*.20}) snadno upravíme dosazením (\ref{3*.21}) na tvar
 +
\be  \label{3*.22}
 +
\hat{\psi}(z,\,t)\doteq \e{i(\om(k_0)t-k_0z)}
 +
\int\limits_0^{\infty}\!\!B(k)
 +
\e{-i(k-k_0)[z-\om'(k_0)t]}\e{\f{i}{2}\om''(k_0)(k-k_0)^2t}\d k\,.
 +
\ee
 +
% $\m\disp\hat{\psi}(z,\,t)\approx \h \m
 +
%\!\!\!\approx\e{i(\om(k_0)t-k_0z)}\!\!\int\limits_0^{\infty}\!\!B(k)
 +
%\e{-i(k-k_0)[z-\om'(k_0)t]}\e{\f{i}{2}\om''(k_0)(k-k_0)^2t}\d
 +
% k\,.\s{-5}\m \eqnu \m        \label{3*.22}$
 +
Exponenciální faktor
 +
před integrálem představuje {\it nosnou vlnu}\/ s dominantní
 +
frekvencí $\om(k_0)$. Samotný signál představuje {\it modulaci
 +
amplitudy a fáze nosné vlny}\/ a závisí na proměnných $z,\,t$ v
 +
kombinaci $F(z-\om'(k_0)t,\,t)$. Vlnový balík se tedy pohybuje jako
 +
celek $F(z-\om'(k_0)t,\,.\,)$ {\it grupovou rychlostí}
 +
\be\label{3*.23} \fbox{$\disp v_g=\f{\d\om}{\d k}(k_0)$} \ee
 +
a mění přitom s časem svůj tvar $F(\,.\,,\,t)$. Nosná vlna má fázovou
 +
rychlost $v_0=\om(k_0)/k_0$, která obecně není rovna grupové
 +
rychlosti $v_g$.
 +
 +
Změna tvaru signálu s časem v praxi znamená jeho {\it zkreslení,
 +
deformaci} během přenosu disperzním prostředím. Následující
 +
velice hrubá úvaha ukazuje, že toto zkreslení má charakter
 +
{\it rozplývání vlnového balíku s časem.}
 +
 +
Je-li $(\Delta t)_0$ doba potřebná k vyslání balíku, pak jeho
 +
šířka právě po vyslání bude zřejmě $(\Delta z)_0\approx
 +
v_g(\Delta t)_0$\,. Na počátku platí též vztah $(\Delta
 +
z)_0\Delta k\approx 2\pi$. Abychom viděli, jak rychle se balík
 +
$\psi$ bude v disperzním prostředí rozplývat, rozpůlíme jeho
 +
pásmo vlnových čísel $(k_0-\f{\Delta k}{2},\,k_0+\f{\Delta
 +
k}{2})$ na dva
 +
půlintervaly $(k_0-\f{\Delta k}{2},\,k_0)$ a $(k_0,\,k_0+ \f{\Delta
 +
k}{2})$.
 +
Spektra v půlintervalech dávají dva signály $\psi_-,\,\psi_+$,
 +
jejichž součet je roven našemu $\psi$, $\psi_-+\psi_+=\psi$.
 +
Signály $\psi_{\pm}$ mají rozdílná dominantní vlnová čísla
 +
$k_0\pm \f{\Delta k}{4}$ a tedy i různé grupové rychlosti
 +
$$v_{g\pm}=\om'(k_0\pm\f{\Delta k}{4}).$$
 +
Na počátku se sice překrývaly, ale s časem se jejich středy budou
 +
vzdalovat úměrně rozdílu grupových rychlostí
 +
$$\Delta v_g=|v_{g+}-v_{g-}|\doteq\f{\d v_g}{\d
 +
k}(k_0)\f{\Delta k}{2}=\om''(k_0)\f{\Delta k}{2}\,.$$
 +
Proto i šířka balíku $\psi$ poroste s časem přibližně podle
 +
vztahu
 +
$$(\Delta z)_t\doteq (\Delta z)_0+\Delta v_g t\doteq (\Delta
 +
z)_0+\f{1}{2}\om''(k_0)\Delta k t>(\Delta z)_0\,.$$
 +
Pro rozplývání balíku je v této aproximaci rozhodující nenulovost
 +
druhé derivace $\om''(k_0)$, stejně jako v integrálu
 +
(\ref{3*.22}).
 +
 +
Důležitým důsledkem efektu rozplývaní je korekce vztahů
 +
(\ref{3*.9}),\,(\ref{3*.11}) mezi šířkou signálu a šířkou jeho
 +
spektra na {\it nerovnosti}
 +
$$ (\Delta z)_t\Delta k\raisebox{0.55ex}{$\script
 +
>$}\!\!\!\raisebox{-0.95ex}{$\script\widetilde{\ }$}2\pi\,,\qq
 +
(\Delta t)_t\Delta \om\raisebox{0.5ex}{$\script
 +
>$}\!\!\!\raisebox{-0.2ex}{$\script\sim$}
 +
2\pi\,.$$
 +
Druhá nerovnost vyplývá z první, neboť
 +
$\Delta\om\approx\om'(k_0)\Delta k=v_g\Delta k$ a dále
 +
$(\Delta z)_t\approx v_g(\Delta t)_t$, protože celý balík projde
 +
daným bodem rychlostí $v_g$ za čas $(\Delta t)_t$\,.
 +
 +
Na závěr je nutná poznámka k některým případům tzv. anomální
 +
disperze ($n<1$), jako např. v případě plazmatu s disperzním vztahem
 +
$\om^2=\om_p^2+c^2k^2$. Snadná úvaha zde dává (\cite{TK},\,př. 4.4)
 +
nerovnosti $v>c,\,v_g<c$. Tato skutečnost, že fázová rychlost $v$
 +
může převýšit $c$, vyvolala obavy o příčinnost již brzy po vytvoření
 +
speciální teorie relativity. Problém byl značně diskutován kolem r.
 +
1910 a posléze v r. 1914 vyřešen A. Sommerfeldem a L. Brillouinem
 +
(viz \cite{Sopt}, str. 101) v tom smyslu, že ne každé řešení
 +
Maxwellových rovnic představuje signál schopný přenášet informace.
 +
Tak např. rovinná monochromatická vlna (s fázovou rychlostí $v>c$)
 +
homogenně vyplňující celý prostor není signálem přenášejícím
 +
informace. Naopak vlnový balík s prostorovou nehomogenitou je
 +
signálem, který přenáší informace grupovou rychlostí $v_g<c$.

Verze z 16. 11. 2010, 17:08

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02VOAFskriptum

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02VOAFskriptumKarel.brinda 18. 11. 201002:51
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201514:48
Header editovatHlavičkový souborKarel.brinda 18. 11. 201002:46 header.tex
Kapitola1 editovatKmity soustav hmotných bodůKarel.brinda 17. 11. 201002:25 kapitola01.tex
Kapitola2 editovatPostupné vlnyJohndavi 25. 5. 201710:36 kapitola02.tex
Kapitola3 editovatVlny v disperzním prostředníKarel.brinda 17. 11. 201002:43 kapitola03.tex
Kapitola4 editovatEnergie vlněníKarel.brinda 16. 11. 201017:14 kapitola04.tex
Kapitola5 editovatOdraz vlnKarel.brinda 18. 11. 201002:44 kapitola05.tex
Kapitola6 editovatElektromagnetické vlnyKarel.brinda 16. 11. 201017:16 kapitola06.tex
Kapitola7 editovatPolarizaceKarel.brinda 16. 11. 201017:19 kapitola07.tex
Kapitola8 editovatInterference a ohybKarel.brinda 17. 11. 201015:58 kapitola08.tex
Kapitola9 editovatGeometrická optikaKarel.brinda 17. 11. 201015:49 kapitola09.tex

Zdrojový kód

% \wikiskriptum{02VOAFskriptum}
 
%\setcounter{chapter}{2}
\chapter{Vlny v~disperzním prostředí}
\section{Disperze světla v~látkách}
\begin{quote}
{\it Jev disperze světla. Klasický model disperzního
prostředí. Disperze elektromagnetických vln v~plazmatu, aplikace
na ionosféru. Rozlišení prostředí: disperzní --- nedisperzní,
transparentní --- reaktivní. Plazma a řetízek atomů jako příklady
reaktivních prostředí. Kvazimonochromatické vlnové balíky: vztah
mezi šířkou vlnového balíku a šířkou jeho spektra, šíření
vlnového balíku v~disperzním prostředí, grupová rychlost.
Fourierova transformace.}
\end{quote}
 
Důsledky disperze neboli rozkladu světla dobře znáte: např. duhu
nebo rozklad světla skleněným hranolem. V~druhém efektu (obr.
\ref{obr:3.1}) je bílé světlo lomem na dvou rozhraních rozloženo na
viditelné spektrum sahající od červené až po fialovou barvu.
O~mechanismu vzniku duhy si přečtěte v~\cite{sof}.
 
%\begin{figure}[hb]
%\vspace{3cm}
%\caption{Rozklad světla hranolem}
%\label{obr:3.1}
%\end{figure}
 
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[height=0.16\textheight]{ob3c1}\\
 \caption{Rozklad světla hranolem}
 \label{obr:3.1}
\end{center}
\end{figure}
 
V~kap. 6 si podrobněji ukážeme, že světlo je elektromagnetické
vlnění, které se šíří ve vakuu s~fázovou rychlostí $c=3.10^8 \,
m/s$. V~dielektrickém prostředí o~permitivitě $\varepsilon$ a
permeabilitě $\mu$ je jeho {\it fázová rychlost}
 \begin{equation} \label{3.0}
v=\f{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}\,.
 \end{equation} Pro vakuum platí vztah
$c=1/\sqrt{\eps_0\mu_0}\,.$ {\it Index lomu prostředí} $n$ je pak
definován vztahem
 \be
n=\f{c}{v}=\sqrt{\f{\eps\mu}{\eps_0\mu_0}}=\sqrt{\eps_r\mu_r}
\doteq\sqrt{\eps_r}\,,
 \ee kde $\eps=\eps_0\eps_r,\,\mu=\mu_0\mu_r$.
Pro obvyklá průhledná prostředí jsme položili $\mu_r\doteq 1$,
protože $\mu_r$ se od jedničky liší až na třetím resp. šestém
desetinném místě (pro paramagnetické, resp. diamagnetické látky).
 
 
%\begin{figure}[hb]
%\vspace{2.5cm}
%\caption{Snellův zákon lomu}
%\label{obr:3.2}
%\end{figure}
 
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[height=0.2\textheight]{ob3c2}\\
 \caption{Snellův zákon lomu}
 \label{obr:3.2}
\end{center}
\end{figure}
 
Průchod světla hranolem se řídí Snellovým zákonem lomu (obr.
\ref{obr:3.2})
$$ n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2\ ,$$
kde $n_1,\,n_2$ jsou indexy lomu po obou stranách rozhraní. Vlnové
délky viditelného světla sahají od 400 do 800 nm a odpovídají barvám
od fialové po červenou. Při rozkladu světla hranolem je tedy světlo
rozloženo na {\it monochromatické (harmonické) vlny.} Protože
$n_{vzduch}=1$, znamená to, že index lomu skla a tudíž i fázová
rychlost světla ve skle jsou závislé na (vakuové) vlnové délce
neboli ekvivalentně na úhlové frekvenci $\om$, $v(\om)=c/n(\om)$.
Vzhledem k~tomu, že $v=\om/k$, dá se tato vlastnost skla vyjádřit
{\it nelineárním disperzním vztahem}
 \be
 v(\om)=\f{\om}{k} \q \Ra \q \om=\f{c}{n(\om)}k.
 \ee
 Z~tohoto hlediska model struny
z~kapitol 1 a 2 představuje {\it nedisperzní prostředí}, v~němž
 \be
\f{\om}{k}=v=\sqrt{\f{T}{\varrho}}=konst.
  \ee
a harmonické vlny s~libovolnými frekvencemi se šíří touž fázovou
rychlostí! Důsledkem pak je i šíření vlny libovolné formy beze změny
tvaru fázovou rychlostí $v=\sqrt{T/\varrho}$. Disperzní křivka pro
sklo je nelineární, pro ilustraci je na obr. \ref{obr:3.3} vynesena
závislost indexu lomu na úhlové frekvenci v~oboru viditelného světla
(tzv. normální disperze).
 
%\begin{figure}[hb]
%\vspace{3cm}
%\caption{Sklo jako disperzní prosředí}
%\label{obr:3.3}
%\end{figure}
 
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[height=0.3\textheight]{ob3c3}\\
 \caption{Sklo jako disperzní prostředí}
 \label{obr:3.3}
\end{center}
\end{figure}
 
Nejjednodušší {\it model disperzního prostředí}, který popisuje
základní rysy disperze, vychází z~elektronové teorie látek. Stačí
k~tomu sto let stará představa {\it J.J.Thomsona}, že elektrony
v~atomech se v~klidu nacházejí v~rovnovážných polohách a po
vychýlení (vlivem srážek) vykonávají malé kmity a vyzařují se speciálními
vlastními frekvencemi charakteristickými pro daný atom. Disperze
světla, které dopadá na látku, pak vzniká jako odezva látky na
dopadající elektromagnetickou vlnu.
 
Reakce látky je součtem (lineárních) reakcí jednotlivých elektronů.
Elektron s~vlastní frekvencí $\om_0$ pod vlivem elektromagnetického
pole dopadající vlny o~úhlové frekvenci $\om<\om_0$ má pohybovou
rovnici
 \be     \label{3.1}
 \mbox{$m\ddot{\vc{r}}+m\om^2\mbf{r}=e\mbf{E}(t)=
 e\mbf{E}$}_0\cos\om t
\ee
 {\it vynucených kmitů} ($m\doteq 9,1.10^{-31}\,kg$,
$e=-1,6.10^{-19}\,C$, magnetickou část Lorentzovy síly lze zanedbat
--- proč?). {\it Ustálené kmity}\/ elektronu jsou dány partikulárním
řešením
$$
\mbox{$\mbf{r}(t)=\disp \f{e}{m(\om_0^2-\om^2)}\mbf{E}_0\cos\om t
\,.$}
$$
Lineární odezva látky vzniká součtem indukovaných elektrických
dipólových momentů jednotlivých elektronů \be \label{3.2}
\mbox{$\mbf p$}(t)=e\mbox{$\mbf r$}(t)=\f{e^2}{m(\om_0^2-\om^2)}
\mbox{$\mbf{E}$}(t)\,. \ee Výsledný vektor polarizace $ \mbf{P}(t)$
je dipólovým momentem objemové jednotky látky \be   \label{3.3}
\mbox{$\disp\mbf{P}=N\mbf{p}\,,$} \ee kde $N$ je počet elektronů
(typu $\om_0$) v~$1\,m^3$. Index lomu lze nyní vypočítat ze vztahu
$$\mbox{$\mbf{D}(t)=\eps_0\mbf{E}(t)+\mbf{P}(t)=\eps\mbf{E}(t)$}$$
dosazením (\ref{3.2}), (\ref{3.3}):
$$\eps_0\left(1+\f{Ne^2}{\eps_0m(\om_0^2-\om^2)}\right)
\mbox{$\mbf{E}(t)=\eps\mbf{E}(t)$}\,, $$
tedy
\be     \label{3.4}
n(\om)=\sqrt{\eps_r}=\sqrt{1+\f{Ne^2}{\eps_0 m(\om_0^2-\om^2)}}\
.
\ee
Graf této závislosti (obr.\ref{obr:3.3}) ukazuje, že frekvence
$\om_0$ leží v~ultrafialové oblasti. Vzorec (\ref{3.4}) se dá
zapsat pro elektrony více typů $\om_k$ s~hustotami $N_k$ ve formě
$$ n(\om)=\sqrt{1+\sum_k\f{N_k e^2}{\eps_0 m (\om_k^2-\om^2)}}\
.$$ Pro látky s~malou hustotou elektronů se vzorec (\ref{3.4})
aproximuje podle $(1+x)^{1/2}\approx 1+\f{1}{2}x,\ x\ll 1,$ \be
n(\om)\approx 1+\f{1}{2}\f{Ne^2}{\eps_0m(\om_0^2-\om^2)}\ . \ee
V~této formě jej naleznete v~příkladech \cite{TK}, kap. 4.
Singularity vzorců při rezonančních frekvencích se dají odstranit
v~přesnějším popisu elektronu vyzařujícího s~{\it radiačním útlumem}
\cite{ST}, kap. 9.
 
Šíření elektromagnetické vlny v~disperzním prostředí se tedy řídí
příslušným disperzním vztahem
$$\om=\om(k)\,.$$
Prostředí je pro tyto vlny {\it transparentní.} Podle disperzního
vztahu však dobře definovanou fázovou rychlost $v=\om(k)/k$ mají
pouze monochromatické (harmonické) postupné vlny
$$\psi(z,\,t)=A\cos(\om t-kz+\fii)\,.$$
Všimněte si, že dosazení tohoto $\psi$ do vlnové rovnice
(\ref{eq:2.1}) vede díky rovnostem
 \be   \label{3.5}
 \f{\pad^2\psi}{\pad t^2}=  -\om^2\psi, \qq
 \f{\pad^2\psi}{\pad z^2}=-k^2\psi
 \ee
právě  k~disperznímu vztahu $\om^2=v^2 k^2$.
 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Elektromagnetické vlny v plazmatu}
 
Plazma, zvané též čtvrté skupenství hmoty, je ionizovaný plyn,
tedy soustava volně se pohybujících elektronů a kladně nabitých
iontů. Vzhledem k~velkým hmotnostem iontů lze zkoumat pohyb
elektronového podsystému. Abychom zjistili odezvu plazmatu
na dopadající elektromagnetickou vlnu, vyjdeme (jako v~odstavci
3.1) z~pohybové rovnice jednoho elektronu
$$\mbox{$m\ddot{\vc{r}}=e\mbf{E}(t)=e\mbf{E}_0\cos \om
t\,.$}$$ Vidíme, že je to rovnice (\ref{3.1}) pro $\om_0=0$, takže
můžeme převzít výsledek (\ref{3.4}) \be     \label{3.6}
n(\om)=\sqrt{\eps_r}=\sqrt{1-\f{Ne^2}{\eps_0 m\om^2}}\ , \ee kde $N$
je počet elektronů v~objemové jednotce plazmatu.
 
Pro šíření elekromagnetických vln v~plazmatu je důležitá veličina
$$ \om_p=\sqrt{\f{Ne^2}{m\eps_0}}$$
zvaná {\em plazmová frekvence.} Vztah  (\ref{3.6}) pak lze psát
$$\om^2n^2=\om^2-\om_p^2\,.$$
S~využitím $n=c/v$ a $\om/v=k$ dospějeme k~{\em disperznímu
vztahu pro plazma}
\be   \label{3.7}
\fbox{$\om^2=\om_p^2+c^2k^2$}
\ee
 
Při $\om>\om_p$ je plazma {\it transparentním disperzním
prostředím.} Jak se plazma chová k~elektromagnetickým vlnám
s~úhlovými frekvencemi $\om<\om_p$ ? K~tomu nejprve pomocí
(\ref{3.5}) zapíšeme vlnovou rovnici pro plazma, která pro
harmonické vlny vede právě na disperzní vztah (\ref{3.7}):
 \be \label{3.8}
 -\om^2\psi=-\om_p^2\psi-c^2k^2\psi\,
\stackrel{(\ref{3.5})}{=\!\Longrightarrow}\, \fbox{$\disp\f{\pad^2
\psi}{\pad t^2}=-\om_p^2\psi+c^2\f{\pad^2\psi}{\pad z^2}$}.
 \ee
Zkoumejme řešení (\ref{3.8}) jako ustálené vynucené kmity, tj.
položme
 \be \label{3.9} \psi(z,\,t)=X(z)\cos(\om t+\fii)\,.
  \ee
Po dosazení (\ref{3.9}) do (\ref{3.8}) dostaneme obyčejnou
diferenciální rovnici pro $X(z)$, \be       \label{3.10}
X''+\f{\om^2-\om_p^2}{c^2}X=0\,.
 \ee
Při jejím řešení musíme rozlišovat dva případy, které se od sebe
kvalitativně liší:\\
%\mbox\q 1.\hfill$\om>\om_p$\hfill$X''+k^2X^2=0$\hfill$\om^2=\om_p^2+c^2k^2
%$\hspace{11ex}\mbox{}\\
%\mbox\q 2.\hfill$\om<\om_p$ \hfill $X''-\kappa^2X=0$ \hfill $\om^2=\om_p^2
%-c^2\kappa^2\qq$\addtocounter{equation}{1}(3.\arabic{equation})\\
\begin{enumerate}
\item $\om>\om_p,\qquad X''+k^{2} X=0,\qquad \om^2=\om_p^2+c^2k^2$,
\item $\om<\om_p, \qquad X''-\kappa^{2}X=0, \qquad \om^2=\om_p^2
-c^2\kappa^2$.
\end{enumerate}
Rozbor druhého případu dává odpověď na chování prostředí při
$\om<\om_p$. Na rozdíl od fundamentálního systému $\{
\e{ikz},\,\e{-ikz}\}$\,, který vede na netlumené kmity v
transpa\-rent\-ním případě, máme ve druhém případě fundamentální
systém $\{\e{\kappa z},\,\e{-\kappa z}\}$ vyjadřující útlum vln s
frekvencemi $\om<\om_p$. Prostředí pak nazýváme {\it reaktivní.}
 
Zaujímá-li prostředí např. poloprostor $z\geq 0$, bude mít řešení
při $\om<\om_p$ formu ustálených vynucených kmitů \be \label{3.11}
\psi(z,\,t)=A\e{-\kappa z}\cos(\om t+\fii)\,,\qq z
\raisebox{1pt}{$\script\in$}\langle 0,\,+\infty)\,, \ee jejichž
amplituda $A\e{-\kappa z}$ s rostoucím $z$ exponenciálně klesá.
Rychlost zeslabení charakterizujeme {\it hloubkou pronikání}
$\delta=1/\kappa$\,. Pro každou frekvenci $\om<\om_p$ se konstanta
útlumu určí z disperzního vztahu (\ref{3.7}). Zde je na místě
zdůraznit, že útlum kmitů v prostředí není způsoben disipací
energie, ale neschopností prostředí přenášet vlny s frekvencemi
$\om<\om_p$\,.
 
Případy 1. a 2. tedy odpovídají transparentní a reaktivní oblasti.
Velice důležitou praktickou aplikací těchto poznatků je {\it šíření
elektromagnetických vln v ionosféře}. Plazmová frekvence není
konstantní, ale je různá podle denních a ročních období, kdy se
vlivem slunečního záření mění počet elektronů $N$ v objemové
jednotce. Udávají se hodnoty $\nu_p=\om_p/2\pi$ v rozmezí od 10 do
$30\,MHz$. Televizní stanice a radiové stanice v oblasti frekvenčně
modulovaných (tj. velmi krátkých) vln pracují na frekvencích řádu
$100\,MHz$ a vyšších, ionosféra je pro ně tedy transparentní. Pro
nízké frekvence řádu $1\,MHz$, na kterých pracují rozhlasové stanice
s amplitudovou modulací (pásma dlouhých, středních a krátkých vln),
je ionosféra reaktivním prostředím a odráží tyto vlny zpět k Zemi.
 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Řetízek atomů jako reaktivní prostředí}
 
Pro řetízek atomů jsme si odvodili disperzní vztah
(\ref{rdispvztah})
$$\om=\om_{max}\sin\f{ka}{2}\,,\qq \om_{max}=2\,\sqrt{\f{K}{M}}\,.$$
Z průběhu této závislosti v intervalu
$0\leq\f{ka}{2}\leq\f{\pi}{2}$ je patrné, že řetízek je
transparentní jen pro úhlové frekvence od 0 do $\om_{max}$. Jak
se řetízek chová při $\om>\om_{max}$\,?
 
Vodítkem nám bude řešení (\ref{3.11}) v odstavci 3.2, které ve
spojitém případě exponenciálně klesá směrem do prostředí. Odpovídá
tomu fyzikální představa, že následující atomy při kmitech o
vysokých frekvencích již nestačí sledovat pohyb předcházejících
atomů a amplitudy výchylek klesají s rostoucím $n$. Exponenciální
pokles dává v diskret\-ním případě předpokládaný tvar ustálených
vynucených kmitů\footnote{Faktor $(-1)^n$ zaručuje stejná limitní
řešení při $\om\to\om_{max}+$ a $\om\to\om_{max}-$.}
 \be  \label{3.12} \psi_n(t)=A(-1)^n\e{-\kappa
na}\cos(\om t+\fii)\,. \ee
 Dosazením (\ref{3.12}) do pohybových
rovnic řetízku
$$ M\ddot{\psi}_{n}=K(\psi_{n+1}-2\psi_{n}+\psi_{n-1})$$
dostaneme
$$ -M\om^2\psi_n=K(-\e{-\kappa a}-2-\e{\kappa a})\,\psi_n\,,$$
odkud plyne {\it disperzní vztah v reaktivní oblasti}\ \
$\om>\om_{max}\,$, \be \om=\sqrt{\f{K}{M}}\,\left(\eee{\f{\kappa
a}{2}}+\eee{-\f{\kappa a}{2}}\right)=\om_{max}\cosh\f{\kappa
a}{2}\,. \ee
 
Kdykoliv v prostředí nastává exponenciální útlum a přitom nikoli
v důsledku tření a přeměny energie v teplo, nazýváme prostředí
{\it reaktivní}. Do reaktivního prostředí $0\leq z<+\infty$
energie neproudí, vlna dopadající z oblasti $-\infty<z\leq 0$ se
odráží. V optice analogická situace nastává při {\it totálním
odrazu}. Má-li však reaktivní prostředí konečnou tloušťku $L$,
odraz není totální, nýbrž částečný: vlna projde se zeslabenou
amplitudou $A\e{-\kappa L}$. V kvantové fyzice se tento vlnový
jev nazývá průnik potenciálovou bariérou (tunelový jev) a
vysvětluje se jím například radioaktivita $\alpha$.
 
 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Vlnové balíky}
 
%\hyphenation{kvazi-mono-chro-mati-cký kvazi-mono-chro-mati-cká
 % kvazi-mono-chro-matických kvazi-mono-chro-ma-ti-cké-ho
 % kvazi-mono-chro-matič-nost mono-chro-mat-ický
 % mono-chro-mati-cká  mono-chro-mati-ckých}
\begin{quote}
{\it Kvaziharmonické kmity, kvazimonochromatické vlny a vlnové
balíky. Vztah mezi šířkou vlnového balíku a šířkou jeho spektra.}
\end{quote}
Skutečné kmity oscilujících soustav se málokdy blíží ideálnímu čistě
harmonickému průběhu \be  \label{3*.1} x(t)=A\cos(\om_0
t+\delta)\,,\qq -\infty <t<+\infty\,. \ee V~některých případech a
zvláště v~optice je užitečný pojem {\em kvaziharmonických kmitů,}
které se v~dostatečně dlouhých časových úsecích $\tau\gg T_0$ velmi
málo odlišují od harmo\-ni\-ckého průběhu (\ref{3*.1}) Znamená to,
že v~časovém intervalu délky $\tau$ zůstávají parametry
$A,\,\om_0,\,\delta$ prakticky konstantní.
 
Důležitým příkladem jsou kmity elektronu v Thomsonově modelu atomu.
Elektron s vlastní frekvencí $\om_0$, rozkmitaný v~čase $t=0$
srážkou atomů, vykonává velmi slabě tlumené kmity, neboť ztrácí
energii vyzařováním elektromagnetických vln (viz odd. 6.5 a
\cite{ST}, kap. 9). Jako jednorozměrný model nám poslouží struna
natažená od $z=0$ do $+\infty$, která má na počátku $z=0$ připojený
harmonický oscilátor. Je-li v~čase $t=0$ oscilátor vychýlen,
$x(0)=A,\,\dot{x}(0)=0$, začne kmitat. Protože však ztrácí energii
tím, jak koná na struně práci, budou jeho kmity tlumené. (Zkuste
odvodit průměrné tlumení metodou \cite{ST}, úloha 9.10\,!)
 
Za předpokladu velmi slabého útlumu bude oscilátor vykonávat
kvaziharmonické kmity
\be  \label{3*.2}
x(t)=\biggl\{\begin{array}{ll}
0&\mbox{pro $t<0$}\\
A\eee{-\f{t}{2\tau}}\cos\om_0t&\mbox{pro $t\geq 0$}
\end{array},
\ee
neboť $\tau\gg T_0=2\pi/\om_0\,$ (obr. \ref{obr:3*.1})\,. Energie
oscilátoru klesá též exponenciálně s~časovou konstantou
$\tau$:
\be  \label{3*.3}
E(t)=\biggl\{\begin{array}{ll}
0&\mbox{pro $t<0$}\\
E(0)\eee{-\f{t}{\tau}}&\mbox{pro $t\geq 0$}
\end{array}.
\ee
 
%\begin{figure}[hb]
%\s{30}
%\caption{Časový průběh velmi slabě tlumených
%kmitů,\,$T_0\ll\tau$}
%\label{obr:3*.1}
%\end{figure}
 
 
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[height=0.2\textheight]{ob3c5}\\
 \caption{Časový průběh velmi slabě tlumených kmitů,\,$T_0\ll\tau$ }
 \label{obr:3*.1}
\end{center}
\end{figure}
 
V~důsledku rozkmitání počátku struny $\psi(0,\,t)=x(t)$ podle
(\ref{3*.2}) vzniká na struně, jak víme z~kapitoly 2, postupná vlna
\be  \label{3*.4}
 \psi(z,\,t)= \biggl\{
\begin{array}{ll}
0&\mbox{pro $z>vt$}\\
A\e{-\f{1}{2\tau}(t-\f{z}{v})}\cos(\om_0 t-k_0z)& \mbox{pro $z\leq
vt$}
\end{array}
\ee
postupující ve kladném směru $+z$ s~fázovou rychlostí
$v=\om_0/k_0=\sqrt{T/\varrho}$\,. Při\, $\tau\to +\infty$ by
(\ref{3*.4}) byla harmonická postupná vlna. Pro $\tau\gg T_0$ se
přidržíme názvosloví z optiky a budeme mluvit o {\em
kvazimonochromatické postupné vlně.}  Tato vlna má v některém
časovém okamžiku $t_1>0$ {\it čelo} v místě $z=vt_1$\,.
 
%\begin{figure}[ht]
%\s{30}
%\caption{Prostorový průběh kvazimonochromatické vlny
% $v\tau\ll\la $.}
%\label{obr:3*.2}
%\end{figure}
 
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[height=0.2\textheight]{ob3c6}\\
 \caption{Prostorový průběh kvazimonochromatické vlny}
 \label{obr:3*.2}
\end{center}
\end{figure}
 
Na prostorovém grafu vlny (obr. \ref{obr:3*.2}) je
kvazimonochromatičnost vyjádřena podmín\-kou $v\tau\gg v t_0=\la_0$.
Pro kmitající elektron byla z Maxwellových rovnic odvozena časová
konstanta radiačního útlumu energie $\tau\approx 10^{-8}\,s$. Během
tohoto, z našeho hlediska velmi krátkého časového intervalu, optické
záření vykoná řádově $10^7$ kmitů s periodou $T_0\approx
10^{-15}\,s$. V prostorovém průběhu se na vzdálenosti $c\tau\approx
3\, m$ vejde řádově $10^7$ vlnových délek viditelného světla $(400\,
-- \,800\, nm)$.
 
Vlna vyzářená elektronem má další důležitou vlastnost: za krátký
časový interval, řekněme $10\tau\approx10^{-7}$s se rychle
utlumí na zanedbatelný zlomek $\e{-5}\doteq1/150$ počáteční
amplitudy. V prostoru je odpovídající vzdálenost
$10c\tau\doteq30\,m$. Vlna je tedy v prostorovém i časovém
průběhu ohraničená. Taková vlna se nazývá {\em vlnový balík.}
Vlnový balík vyzářený elektronem je kvazimonochromatický.
 
Kvazimonochromatický vlnový balík lze získat jako {\it spojitou
superpozici}\/ monochromatických vln ($\om=vk$)
 \be  \label{3*.5}
\psi(z,\,t)=\int_0^{+\infty}B(\om)\cos(\om t-kz+\delta(\om))\d \om\
. \ee
 Ukážeme si to na velmi jednoduchém příkladě (viz obr.
\ref{obr:3*.3}, \ref{obr:3*.4} a \cite{TK}, př. 4.11), v němž volíme
 \be \label{3*.6}
\delta(\om)=0,  \qquad B(\om)=\Bigl\{
\begin{array}{ll}
1&{\rm pro}\ \om_0-\f{\Delta \om}{2}\leq
\om\leq\om_0+\f{\Delta\om}{2}\\[1mm]
0&\mbox{pro ostatní $\omega$}
\end{array}.
 \ee
 Uvidíme, že za předpokladu, že {\em šířka spektra} $\Delta\om$
je malá vůči {\it dominantní frekvenci} $\om_0$, $\Delta\om\ll\om_0$
bude $\psi(z,\,t)$ opět kvazimonochromatický vlnový balík!
 
%\begin{figure}[ht]
%\vspace{10cm}
%\caption{Fourierova analýza neperiodické funkce}
%\label{obr:3*.3}
%\end{figure}
 
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[height=0.3\textheight]{ob3c41}\\
 \caption{Spektrum signálu}
 \label{obr:3*.3}
\end{center}
\end{figure}
 
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[height=0.4\textheight]{ob3c4}\\
 \caption{Časový průběh signálu se spektrem z obr.
            \ref{obr:3*.3}}
 \label{obr:3*.4}
\end{center}
\end{figure}
 
Integrál (\ref{3*.5}) s použitím (\ref{3*.6}) a označením
$t'=t-(z/v)$ se snadno postupně upraví
$\m
\psi(z,\,t)=\int_{\text\om_0-\f{\Delta\om}{2}}^{\text\om_0+\f{\Delta\om}{2}}
\cos(\om t')\,\d\om=\
\m\h=\f{1}{t'}\biggl[\sin\biggl(\om_0+\f{\Delta\om}{2}\biggr)t'-
 \sin\biggl(\om_0-\f{\Delta\om}{2}\biggr)t'\biggr]\h
\m$ na výsledný tvar
 \be \label{3*.7}
\psi(z,\,t)=\f{1}{t'}2\sin\biggl(\f{\Delta\om}{2}t'\biggr)\cos(\om_0t-kz)\,.
 \ee
 Výsledkem je {\it amplitudově modulovaná vlna} s {\it nosnou
vlnou} o vlnové délce $\la_0$\,. Časový průběh signálu v místě $z=0$
(obr. \ref{obr:3*.4})
 \be\label{3*.8}
\psi(0,\,t)=\Delta\om\f{\sin\f{\Delta\om}{2}t}{\f{\Delta\om}{2}t}\cos\om_{0}t
 \ee
 má amplitudovou modulaci typu $\sin x/x$. Pro určení {\it šířky
signálu} jsou směrodatné body
$x_{1,2}=\f{\Delta\om}{2}t_{1,\,2}=\pm\pi$, kde modulační funkce
poprvé prochází nulou. Zvolíme-li za míru šířky signálu $\Delta
t=t_1$, platí
 \be\label{3*.9}
\fbox{$\Delta\om \Delta t \approx
2\pi.$}
 \ee
 Podobný vztah mezi šířkou signálu a šířkou jeho spektra
lze odvodit i pro prostorový průběh signálu (v čase $t=0$)
\be\label{3*.10} \psi(z,\,0)=v\Delta k\f{\sin\f{\Delta k}{2}z}
        {\f{\Delta k}{2}z}\cos k_0z\,,
\ee
kde jsme označili $\Delta k=\Delta \om/v.$
Stejná definice šířky signálu $\Delta z=z_1$,
kde $\f{\Delta k}{2}z_1=\pi,$ dává
\be\label{3*.11}
\fbox{$\Delta k \Delta z\approx 2\pi.$}
\ee
 
Vztahy (\ref{3*.9}) a (\ref{3*.11}) vyjadřují {\it univerzální
vlastnost} kvazimonochromatických vlnových balíků: čím jsou rozměry
balíků menší, tím je jeho spektrum frekvencí širší a naopak. Tuto
důležitou vlastnost musíme bezpodmínečně brát v úvahu při návrzích
soustav, které přenášejí signál nesoucí informace. Aby nedošlo k
neopravitelnému zkre\-sle\-ní, musí přenosová soustava být schopna
přenést celé spektrum o šířce $\Delta \om$.
 
Vraťme se ještě k příkladu na začátku tohoto oddílu, kde je časová
šířka vlnového balíku $\Delta t\approx\tau$. Ze vztahu (\ref{3*.9})
zde vyplývá, že hlavní spektrální příspěvky ke kvaziharmonickému
signálu $x(t)$ pocházejí ze spojitého pásma frekvencí o šířce
$\Delta \om\approx 2\pi/\tau$ kolem dominantní frekvence $\om_0$.
(Porovnejte s výsledky příkladů 4.9 --- 4.13 v \cite{TK}, kap.4).
 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\section{Fourierova transformace}
 
\begin{quote}
{\it Fourierova transformace přímá a inverzní. Parsevalova
rovnost a její fyzikální obsah.}
\end{quote}
 
V oddílu 3.4 jsme vlnový balík vyjádřili ve formě 'spojité
superpozice' (\ref{3*.5}) monochromatických vln. V místě $z=0$ je
příspěvek od intervalu frekvencí $(\om,\,\om+\d \om)$ dán výrazem
$A(\om)\cos(\om t+\delta(\om))\d \om,$ který představuje {\it
spektrální složku} balíku. Vidíme, že $A(\om)$ je amplituda vztažená
na jednotkový interval frekvencí.
 
Matematickým vyjádřením přechodu od signálu $x(t)$ k jeho
spektrálním složkám a naopak jsou vzorce {\it Fourierovy
transformace} \bea   \label{3*.12}
x(t)&=&\int_0^{\infty} A(\om)\cos(\om t+\delta(\om))\,\d\om=\non\\
&=&\int_0^{\infty}\Bigl[a(\om)\cos(\om t)+b(\om)\sin(\om t)
\Bigr]\,\d \om \eea a $\m \h
a(\om)=A(\om)\cos\delta(\om)=\f{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\cos(\om
t)\,\d t\,,\h\m\s{-4} \eqnu\m\s{-4} \h
b(\om)=-A(\om)\sin\delta(\om)=\f{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\sin(\om
t)\,\d t  \,.\h \m \label{3*.13}$
\smallskip
 
Formule (\ref{3*.12}) a (\ref{3*.13}) udávají inverzní a přímou
Fourierovu transformaci. Všimněte si podobnosti se vzorci oddílu
1.2.3 pro Fourierovy řady. Rozdíl je v tom, že Fourierovy řady jsou
definovány pouze pro {\it periodické} funkce, zatímco Fourierovu
transformaci lze použít pro obecné {\it neperiodické} signály
$x(t)$, $-\infty<t<+\infty$.
 
Vzorce Fourierovy transformace mají elegantní jednoduchou formu,
vyjádříme-li kosinus a sinus pomocí Eulerových vztahů. Nejprve
upravíme \be\label{3*.14} a(\om)\cos(\om t)+b(\om)\sin(\om
t)=c(\om)\e{i\om t}+ \overline{c(\om)}\e{-i\om t}\,, \ee kde
\be\label{3*.15} c(\om)=\f{1}{2}\Bigl[a(\om)-ib(\om)\Bigr]. \ee Ze
vzorců (\ref{3*.13}) plyne, že $a(\om)$ je sudou funkcí $\om$,
$b(\om)$ lichou funkcí $\om$. To nám dovolí formálně rozšířit
definiční obor funkce $c(\om)$ do záporných hodnot $\om$ vztahem
\be\label{3*.16} c(-\om)=\overline{c(\om)} \ee
 Inverzní Fourierova
transformace (\ref{3*.12}) se upraví pomocí (\ref{3*.14}) a
(\ref{3*.16}) $\m \qq x(t)=\int_0^{\infty}\biggl[c(\om)\e{i\om t
}+\overline{c(\om)}\e{-i\om t}\biggr]\d \om=\m \qq\q\
=\int_0^{\infty}c(\om)\e{i\om t}\d\om
+\int_0^{\infty}c(-\om)\e{-i\om t }\d\om\h\m $ a po substituci
$\om'=-\om$ ve  druhém integrálu $\m \qq x(t)=
\int_0^{\infty}c(\om)\e{i\om t}\d\om
+\int_0^{-\infty}c(\om')\e{-i\om' t }(-\d\om')=\m \qq\q\
=\left(\int_0^{\infty}+\int_{-\infty}^{0}\right) c(\om)\e{i\om
t}\d\om\m $ dostaneme výsledný vzorec pro {\it inverzní Fourierovu
transformaci} $c(\om)\mapsto x(t)$ \be \label{3*.17} \fbox{$\disp
x(t)=\int_{-\infty}^{\infty}c(\om)\e{i\om t}\d\om.$} \ee
 Vzorce
(ref{3*.13}) {\it  přímé Fourierovy transformace} $x(t)\mapsto
c(\om)$ se spojí pomocí (\ref{3*.15})
$$ c(\om)=\f{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}x(t)(\cos\om
t-i\sin\om t)\d t $$
na výsledný vzorec
\footnote{Vzorce (\ref{3*.17}), (\ref{3*.18}) Fourierovy
transformace se obvykle zapisují v symetrickém tvaru
\bea
\non x(t)&=&\f{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}X(\om)\e{i\om t}
\d\om \,,\\
\non X(\om)&=&\f{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\e{-i\om t}\d
t  \,,
\eea
který dostaneme, položíme-li $X(\om)=\sqrt{2\pi}c(\om)$.
}
\be               \label{3*.18}
\fbox{$\disp c(\om)=\f{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\e{-i\om
t}\d t$}
\ee
Pro spektrální rozklad energetických veličin (intenzit) má velký
význam {\em Parsevalova rovnost}
%\footnote{Parsevalova rovnost má v prostoru funkcí
%%integrovatelných s kvadrátem na (a,\,b) (s normou
%$\|f\|=\sqrt{\int_a^b f^2(x)\d x}$) tvar
%$$ \sum_{n=1}^{\infty}|c_n|^2=\|f\|^2$$
%kde $c_n$ jsou Fourierovy koeficienty funkce $f$ vzhledem k tomu systému
%funkcí. Následující tvar  Parsevalovy rovnosti je zobecněním na
%prostor funkcí o nespočetné dimenzi.}
$\m
\qq\int _{-\infty}^{\infty}\Bigl[x(t)\Bigr]^2\d
t=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\left(\int_{-\infty}^{\infty}
c(\om)\e{i\om t}\d\om\right)\d t=\m
\qq\qq =\int_{-\infty}^{\infty}c(\om)\left(\int_{-\infty}^{\infty}
x(t)\e{i\om t}\d t\right)\d\om=\m
\qq\qq=2\pi\int_{-\infty}^{\infty}c(\om)c(-\om)\d\om=\m
\qq\qq=2\pi\int_{-\infty}^{\infty}|c(\om)|^2\d\om.\eqnu
                                           \label{3*.19} \m    $
Vyjadřuje celkovou energii signálu jako superpozici příspěvků k
intenzitě od jednotlivých spektrálních složek. (Z matematického
hlediska vztah  (\ref{3*.19})  říká, že kvadraticky integrabilní
signál $x(t)$ má kvadraticky integrabilní spektrum $c(\om)$.)
 
 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Šíření vlnového balíku v disperzním prostředí}
 
\begin{quote}
{\it Dva hlavní efekty: grupová rychlost a rozplývání grupového
balíku. \\ Přenos informace modulovanou vlnou.}
\end{quote}
Zkoumejme řešení kvazimonochromatického vlnového balíku
(\ref{3*.5}) ( bez újmy na obecnosti s $\delta(\om)=0$)  v disperzním prostředí
$\om=\om(k)$.
 
%\begin{figure}[bt]
%\vspace{6cm}
%\caption{Disperzní vztah prostředí a spektrum
%kvazimonochromatického vlnového balíku}
%\label{obr:3*.4}
%\end{figure}
 
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[height=0.3\textheight]{ob3c7}\\
 \caption{Disperzní vztah prostředí a spektrum
kvazimonochromatického vlnového balíku}
 \label{obr:3.8}
\end{center}
\end{figure}
 
Vlnový balík (\ref{3*.5}) můžeme (po substituci $\om=\om(k)$)
vyjádřit jako integrál přes $k$,
$$ \psi(z,\,t)=\int_0^{\infty}B(k)\cos(\om(k)t-kz)\,\d k\,.$$
Pro další úpravy je užitečný komplexní zápis ($\psi={\rm
Re}\;\hat{\psi}$) \be\label{3*.20}
\hat{\psi}(z,\,t)=\int_0^{\infty}B(k)\e{i(\om(k)t-kz)}\d k. \ee
Vzhledem k tomu, že spektrum signálu je podle obr.\ref{obr:3.8}
soustředěno v úzké oblasti šířky $\Delta k\ll k_0$ kolem
dominantního vlnového čísla $k_0$, můžeme disperzní vztah s dobrou
přesností vyjádřit Taylorovým rozvojem v bodě $k_0$ do 2. řádu
 \be
\label{3*.21} \om(k)\doteq
\om(k_0)+\om'(k_0)(k-k_0)+\f{1}{2}\om''(k_0)(k-k_0)^2. \ee Signál
(\ref{3*.20}) snadno upravíme dosazením (\ref{3*.21}) na tvar
 \be  \label{3*.22}
\hat{\psi}(z,\,t)\doteq \e{i(\om(k_0)t-k_0z)}
\int\limits_0^{\infty}\!\!B(k)
\e{-i(k-k_0)[z-\om'(k_0)t]}\e{\f{i}{2}\om''(k_0)(k-k_0)^2t}\d k\,.
 \ee
% $\m\disp\hat{\psi}(z,\,t)\approx \h \m
%\!\!\!\approx\e{i(\om(k_0)t-k_0z)}\!\!\int\limits_0^{\infty}\!\!B(k)
%\e{-i(k-k_0)[z-\om'(k_0)t]}\e{\f{i}{2}\om''(k_0)(k-k_0)^2t}\d
% k\,.\s{-5}\m \eqnu \m         \label{3*.22}$
 Exponenciální faktor
před integrálem představuje {\it nosnou vlnu}\/ s dominantní
frekvencí $\om(k_0)$. Samotný signál představuje {\it modulaci
amplitudy a fáze nosné vlny}\/ a závisí na proměnných $z,\,t$ v
kombinaci $F(z-\om'(k_0)t,\,t)$. Vlnový balík se tedy pohybuje jako
celek $F(z-\om'(k_0)t,\,.\,)$ {\it grupovou rychlostí}
 \be\label{3*.23} \fbox{$\disp v_g=\f{\d\om}{\d k}(k_0)$} \ee
 a mění přitom s časem svůj tvar $F(\,.\,,\,t)$. Nosná vlna má fázovou
rychlost $v_0=\om(k_0)/k_0$, která obecně není rovna grupové
rychlosti $v_g$.
 
Změna tvaru signálu s časem v praxi znamená jeho {\it zkreslení,
deformaci} během přenosu disperzním prostředím. Následující
velice hrubá úvaha ukazuje, že toto zkreslení má charakter
{\it rozplývání vlnového balíku s časem.}
 
Je-li $(\Delta t)_0$ doba potřebná k vyslání balíku, pak jeho
šířka právě po vyslání bude zřejmě $(\Delta z)_0\approx
v_g(\Delta t)_0$\,. Na počátku platí též vztah $(\Delta
z)_0\Delta k\approx 2\pi$. Abychom viděli, jak rychle se balík
$\psi$ bude v disperzním prostředí rozplývat, rozpůlíme jeho
pásmo vlnových čísel $(k_0-\f{\Delta k}{2},\,k_0+\f{\Delta
k}{2})$ na dva
půlintervaly $(k_0-\f{\Delta k}{2},\,k_0)$ a $(k_0,\,k_0+ \f{\Delta
k}{2})$.
Spektra v půlintervalech dávají dva signály $\psi_-,\,\psi_+$,
jejichž součet je roven našemu $\psi$, $\psi_-+\psi_+=\psi$.
Signály $\psi_{\pm}$ mají rozdílná dominantní vlnová čísla
$k_0\pm \f{\Delta k}{4}$ a tedy i různé grupové rychlosti
$$v_{g\pm}=\om'(k_0\pm\f{\Delta k}{4}).$$
Na počátku se sice překrývaly, ale s časem se jejich středy budou
vzdalovat úměrně rozdílu grupových rychlostí
$$\Delta v_g=|v_{g+}-v_{g-}|\doteq\f{\d v_g}{\d
k}(k_0)\f{\Delta k}{2}=\om''(k_0)\f{\Delta k}{2}\,.$$
Proto i šířka balíku $\psi$ poroste s časem přibližně podle
vztahu
$$(\Delta z)_t\doteq (\Delta z)_0+\Delta v_g t\doteq (\Delta
z)_0+\f{1}{2}\om''(k_0)\Delta k t>(\Delta z)_0\,.$$
Pro rozplývání balíku je v této aproximaci rozhodující nenulovost
druhé derivace $\om''(k_0)$, stejně jako v integrálu
(\ref{3*.22}).
 
Důležitým důsledkem efektu rozplývaní je korekce vztahů
(\ref{3*.9}),\,(\ref{3*.11}) mezi šířkou signálu a šířkou jeho
spektra na {\it nerovnosti}
$$ (\Delta z)_t\Delta k\raisebox{0.55ex}{$\script
>$}\!\!\!\raisebox{-0.95ex}{$\script\widetilde{\ }$}2\pi\,,\qq
(\Delta t)_t\Delta \om\raisebox{0.5ex}{$\script
>$}\!\!\!\raisebox{-0.2ex}{$\script\sim$}
2\pi\,.$$
Druhá nerovnost vyplývá z první, neboť
$\Delta\om\approx\om'(k_0)\Delta k=v_g\Delta k$ a dále
$(\Delta z)_t\approx v_g(\Delta t)_t$, protože celý balík projde
daným bodem rychlostí $v_g$ za čas $(\Delta t)_t$\,.
 
Na závěr je nutná poznámka k některým případům tzv. anomální
disperze ($n<1$), jako např. v případě plazmatu s disperzním vztahem
$\om^2=\om_p^2+c^2k^2$. Snadná úvaha zde dává (\cite{TK},\,př. 4.4)
nerovnosti $v>c,\,v_g<c$. Tato skutečnost, že fázová rychlost $v$
může převýšit $c$, vyvolala obavy o příčinnost již brzy po vytvoření
speciální teorie relativity. Problém byl značně diskutován kolem r.
1910 a posléze v r. 1914 vyřešen A. Sommerfeldem a L. Brillouinem
(viz \cite{Sopt}, str. 101) v tom smyslu, že ne každé řešení
Maxwellových rovnic představuje signál schopný přenášet informace.
Tak např. rovinná monochromatická vlna (s fázovou rychlostí $v>c$)
homogenně vyplňující celý prostor není signálem přenášejícím
informace. Naopak vlnový balík s prostorovou nehomogenitou je
signálem, který přenáší informace grupovou rychlostí $v_g<c$.