02TSFsbirka:Kapitola5

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 1. 8. 2010, 10:59, kterou vytvořil Admin (diskuse | příspěvky) (Založena nová stránka: %\wikiskriptum{02TSFsbirka} \chapter{Statistické soubory -- Hamiltonovské systémy} \section{Partiční suma} Uvažujme systém s mikrostavy $x\in\Omega$. Systém má...)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02TSFsbirka

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02TSFsbirkaSteffy 9. 2. 201115:06
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:48
Header editovatHlavičkový souborSteffy 12. 2. 201212:21 header.tex
Kapitola1 editovatZáklady teorie pravděpodobnosti a matematické statistikyHoskoant 22. 2. 201716:57 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatNejpravděpodobnější rozděleníSteffy 12. 2. 201211:58 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatTermodynamické potenciály a identitySteffy 12. 2. 201211:59 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatIdeální a neideální plynyKubuondr 10. 4. 201721:25 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatStatistické soubory - Hamiltonovské systémyHoskoant 4. 6. 201310:07 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatFluktuaceSteffy 12. 2. 201212:01 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatStatistické soubory - diskrétní hladinySteffy 11. 2. 201315:05 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatPřesné statistikyKubuondr 28. 4. 201708:40 kapitola8.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:2part_U.pdf 2part_U.pdf
Image:binomial.pdf binomial.pdf
Image:blackbody2.pdf blackbody2.pdf
Image:gauss2.pdf gauss2.pdf
Image:maxwell.pdf maxwell.pdf
Image:poisson.pdf poisson.pdf
Image:spin_C.pdf spin_C.pdf
Image:spin_M.pdf spin_M.pdf
Image:spin_S.pdf spin_S.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02TSFsbirka}
\chapter{Statistické soubory -- Hamiltonovské systémy}
 
\section{Partiční suma}
 
Uvažujme systém s mikrostavy $x\in\Omega$. Systém má pevné střední hodnoty funkcí $A_j$ definovaných na mikrostavech. Víme tedy, že nejpravděpodobnější (rovnovážné) rozdělení systému má tvar
$$
w(x) = \frac{1}{Z} \exp\left(-\sum_{j} \lambda_j A_j(x)\right),
$$
kde $Z$ je partiční suma
$$
Z(\lambda_j) = \int\limits_\Omega\exp\left(-\sum_{j} \lambda_j A_j(x)\right)dx.
$$
Ukážeme si, že většinu informací o systému můžeme získat i bez znalosti nejpravděpodobněj\-ší\-ho rozdělení, a sice přímo z partiční sumy. Partiční sumu nyní budeme chápat jako funkci Lagrangeových multiplikátorů $\lambda_j$.
 
\begin{enumerate}
\item Entropie rovnovážného rozdělení je dána součtem $\ln Z$ a středních hodnot pozorovatelných vynásobených přislušnými Lagrangeovými multiplikátory:
\begin{eqnarray}
\nonumber S & = & - k \int\limits_\Omega w(x) \ln w(x) dx = -k \int\limits_\Omega w(x) \ln\left(\frac{1}{Z} \exp\left(-\sum_{j} \lambda_j A_j(x)\right)\right) dx\\
\nonumber & = & k \ln Z\int\limits_\Omega w(x) dx + k \sum_j \lambda_j \int\limits_\Omega w(x) A_j(x) dx \\
& = & k\ln Z + k \sum_j\lambda_j\langle A_j\rangle.
\label{chap5:S}
\end{eqnarray}
\item Střední hodnoty se vyjádří derivací logaritmu $Z$ podle příslušného Lagrangeova multiplikátoru
\begin{eqnarray}
\nonumber \frac{\partial\ln Z}{\partial\lambda_i} & = & \frac{1}{Z}\frac{\partial Z}{\partial\lambda_i} = - \int\limits_\Omega A_i(x) \frac{1}{Z} \exp\left(-\sum_{j} \lambda_j A_j(x)\right) dx = - \int\limits_\Omega A_i(x) w(x) dx\\
& = & -\langle A_i\rangle.
\label{chap5:mean}
\end{eqnarray}
\item Diferenciál entropie se vyjádří pomocí diferenciálů $d\langle A_j\rangle$
\begin{eqnarray}
\nonumber dS & = & k d(\ln{Z}) + kd\left(\sum_{j} \lambda_j\langle A_j\rangle \right) = k \sum_{j} \frac{\partial\ln{Z}}{\partial\lambda_j}d\lambda_j + k\sum_{j}\left(\lambda_j d\langle A_j\rangle + \langle A_j\rangle d\lambda_j\right)\\
& = & k\sum_{j} \lambda_j d\langle A_j\rangle.
\label{chap5:dS}
\end{eqnarray}
\item Kovariance (míra závislosti dvou pozorovatelných veličin) je dána druhou derivací $\ln Z$ podle příslušných Lagrangeových multiplikátorů
\begin{eqnarray}
\nonumber \frac{\partial^2\ln Z}{\partial\lambda_i\partial\lambda_j} & = & \frac{\partial}{\partial\lambda_i}\left(\frac{1}{Z}\frac{\partial Z}{\partial\lambda_j}\right) = \frac{1}{Z}\frac{\partial^2 Z}{\partial\lambda_i\partial\lambda_j} - \frac{1}{Z^2}\frac{\partial Z}{\partial\lambda_i}\frac{\partial Z}{\partial\lambda_j} \\
\nonumber & = & \int\limits_\Omega A_i(x)A_j(x)\frac{1}{Z}\exp\left(-\sum_{k} \lambda_k A_k(x)\right) dx - \left(\frac{1}{Z}\frac{\partial Z}{\partial\lambda_i}\right)\left(\frac{1}{Z}\frac{\partial Z}{\partial\lambda_i}\right)\\
& = & \langle A_i A_j\rangle - \langle A_i\rangle\langle A_j\rangle = \left(\Delta A_i\Delta A_j\right).
\label{chap5:kov}
\end{eqnarray}
\item Variance je speciální případ předchozího vztahu pro $i=j$,
\begin{equation}
\frac{\partial^2\ln Z}{\partial\lambda_i^2} = \langle A_i^2\rangle - \langle A_i\rangle^2 = \left(\Delta A_i\right)^2.
\label{chap5:flukt}
\end{equation}
\end{enumerate}
 
V následujícím budeme uvažovat systém (plyn), který je tvořen identickými neinteragujícími částicemi. Prostor mikrostavů jedné částice je její fázový prostor $\Omega_j = \Gamma$, pro soubor $N$ částic pak platí
$$
\Omega = \underbrace{\Gamma \times \Gamma \times \ldots \times \Gamma}_{N\times} = \Gamma_N.
$$
Roli funkcí $A_j$ budou hrát pozorovatelné veličiny (např. energie, počet částic, objem,...). Jejich střední hodnoty ale neznáme, naopak, chtěli bychom je určit. Využijeme toho, že odpovídající Lagrangeovy multiplikátory jsou přímo spojené s nějakou intenzivní veličinou (teplota, chemický potenciál, tlak,...), která vlastně definuje podmínku na střední hodnotu dané pozorovatelné veličiny. Přesný fyzikální význam Lagrangeových multiplikátorů určíme porovnáním diferenciálu statistické entropie pro odpovídající rovnovážné rozdělení (\ref{chap5:dS}) s diferenciálem termodynamické entropie. Úlohu tedy můžeme otočit. Nejprve určíme partiční sumu jako funkci Lagrangeových multiplikátorů, tj. jako funkci fyzikálních parametrů soustavy. Střední hodnoty pozorovatelných veličin (vnitřní energie, střední počet částic, střední objem,...), jejich fluktuace atd. pak určíme pomocí vztahů (\ref{chap5:mean}), (\ref{chap5:kov}) a (\ref{chap5:flukt}).
 
 
\section{Kanonický soubor}
\label{chap5:K}
 
Mějme plyn v objemu $V$, který je v tepelné rovnováze s okolím o teplotě $T$. Počet částic plynu $N$ zůstává konstantní. Parametry kanonického souboru jsou $T,V,N$, což jsou přirozené proměnné volné energie (viz. kapitola \ref{chap3:F}). Celková energie plynu je dána součtem hamiltoniánů jednotlivých částic
$$
H_N = \sum_{j=1}^N H(q_j,p_j),
$$
kde $q_j$ jsou souřadnice a $p_j$ hybnosti $j$-té částice. Celková energie plynu ale není přesně určená. Protože plyn má teplotu $T$, jeho energie fluktuuje kolem jisté střední hodnoty, kterou je vnitřní energie
\begin{equation}
\label{chap5:U}
\langle H_N\rangle = \int\limits_{\Gamma_N} H_N(\mathbf{q},\mathbf{p}) w_N(\mathbf{q},\mathbf{p}) d\mathbf{q}d\mathbf{p} = U.
\end{equation}
Lagrangeův multiplikátor odpovídající této vazbě označíme $\beta$. Hustota pravděpodobnosti $w_N(\mathbf{q},\mathbf{p})$ je nejpravděpodobnější (rovnovážné) rozdělení $N$ částic plynu na jejich fázovém prostoru $\Gamma_N$,
$$
w_N(\mathbf{q},\mathbf{p}) = \frac{1}{Z_K} \exp\left(-\beta H_N(\mathbf{q},\mathbf{p})\right),
$$
kde $Z_K$ je {\bf kanonická partiční suma} (Maxwell-Boltzmannnova statistika)
$$
Z_K = \frac{1}{h^{3N}}\int\limits_{\Gamma_N}\exp\left(-\beta H_N(\mathbf{q},\mathbf{p})\right)d\mathbf{q}d\mathbf{p}.
$$
Faktor $h^{-3N}$ jsme přidali kvůli tomu, aby partiční suma byla bezrozměrná. Protože částice plynu mezi sebou neinteragují, můžeme integrál přes $\Gamma_N$ zjednodušit
$$
Z_K = \left(\frac{1}{h^3}\int\limits_{\Gamma}\exp\left(-\beta H(q,p)\right)dqdp\right)^N  = z^N,
$$
kde $z$ označuje {\bf jednočásticovou partiční sumu}. Takto zavedená kanonická partiční suma ale vede na entropii, která není aditivní. Proto budeme uvažovat korigovanou Maxwell-Boltzmannnovu statistiku, kde
\begin{equation}
\label{chap5:Zk}
Z_K = \frac{1}{N!} z^N,\quad z = \frac{1}{h^3}\int\limits_{\Gamma}\exp\left(-\beta H(q,p)\right)dqdp.
\end{equation}
Vnitřní energie se určí derivací $\ln{Z_K}$ podle $\beta$
$$
U = -\frac{\partial\ln Z_K}{\partial\beta}.
$$
 
Určeme fyzikální význam Lagrangeova multiplikátoru $\beta$. Vyjdeme z diferenciálu entropie 
$$
dS  = k\beta dU
$$
Protože objem $V$ a počet částic $N$ je konstatní, pro diferenciál vnitřní energie platí
$$
dU = \frac{1}{k\beta} dS = TdS.
$$
Dostáváme tedy vztah $\beta = \frac{1}{kT}$. Lagrangeův multiplikátor $\beta$ má tedy význam inverzní teploty, jeho rozměr je $\left[\beta\right] = J^{-1}$. To souvisí s tím, že $\beta$ je multiplikátor odpovídající vazbě na střední hodnotu energie. Součin $\beta H(q,p)$ je tedy bezrozměrný, a díky faktoru $h^{-3}$ jsou bezrozměrné jednočásticová i kanonická partiční suma. 
 
Pro entropii rovnovážného rozdělení platí
$$
S = k\ln{Z_K} + \frac{1}{T} U.
$$
Odtud snadno vyjádříme volnou energii
$$
-kT\ln{Z_K} = U - TS = F.
$$
Stavovou rovnici plynu určíme z Maxwellova vztahu
$$
P = -\left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_{T,N}
$$
 
 
\section{Grandkanonický soubor}
\label{chap5:GK}
 
Uvažujme opět plyn v konečném objemu $V$, který je tepelné rovnováze s okolím o teplotě $T$. Této podmínce odpovídá vazba na střední hodnotu energie plynu (\ref{chap5:U}). Plyn má chemický potenciál $\mu$. Parametry grandkanonického souboru jsou $T,V,\mu$, což jsou přirozené proměnné grandkanonického potenciálu (viz. kapitola \ref{chap3:GK}). V grandkanonickém souboru počet částic plynu $N$ není konstantní, ale může se měnit (v principu od nuly do nekonečna). Máme tedy další vazbu, konkrétně na střední hodnotu počtu částic $\langle N\rangle$. Lagrangeův multiplikátor odpovídající této vazbě označíme $-\alpha$. {\bf Grandkanonická partiční suma} je pak definovaná vztahem
$$
Z_G = \sum_{N=0}^{+\infty} e^{\alpha N} Z_K(N),
$$
kde $Z_K(N)$ je kanonická partiční suma souboru $N$ částic (\ref{chap5:Zk}). Suma se dá snadno sečíst (je to Taylorův rozvoj exponenciely), takže platí
\begin{equation}
\label{chap5:Zg}
Z_G = \exp\left(z e^\alpha\right),
\end{equation}
kde $z$ je jednočásticová partiční suma.
Vnitřní energie plynu a střední počet částic se určí pomocí vztahů (pro zjednodušení zápisu budeme psát místo $\langle N\rangle$ pouze $N$)
$$
U = -\left(\frac{\partial\ln{Z_G}}{\partial\beta}\right)_\alpha,\quad N = +\left(\frac{\partial\ln{Z_G}}{\partial\alpha}\right)_\beta.
$$
 
Fyzikální význam Lagrangeových multiplikátorů $\alpha,\beta$ opět určíme ze vztahu pro diferenciál entropie rovnovážného rozdělení
$$
dS = k\beta dU - k\alpha dN.
$$
Protože objem plynu $V$ je konstantní, pro diferenciál vnitřní energie platí
$$
dU = \frac{1}{k\beta}dS + \frac{\alpha}{\beta} dN = TdS + \mu dN.
$$
Musí tedy platit
$$
\beta = \frac{1}{kT},\quad \alpha = \frac{\mu}{kT}.
$$
Lagrangeův multiplikátor $\alpha$ je bezrozměrný, v souladu s tím, že $\alpha$ odpovídá vazbě na střední počet částic, což je bezrozměrná veličina. Ze vztahu (\ref{chap5:Zg}) je vidět, že i grandkanonická partiční suma je bezrozměrná. 
Pro entropii rovnovážného rozdělení platí
$$
S = k\ln{Z_G} + \frac{1}{T} U - \frac{\mu}{T} N,
$$
z čehož snadno vyjádříme grandkanonický potenciál
$$
-kT\ln{Z_G} = U - TS - \mu N = \Omega.
$$
Odtud určíme stavovou rovnici plynu, protože platí vztah
$$
\Omega = -PV = -kT\ln{Z_G}.
$$
 
 
\section{Izotermicko-izobarický soubor}
\label{chap5:TP}
 
Uvažujme nyní plyn, který má teplotu $T$. Počet částic se nemění a je roven $N$. Místo objemu je ale nyní zafixován tlak plynu $P$. Parametry izotermicko-izobarického souboru jsou tedy $T,P,N$, což jsou přirozené proměnné Gibbsova potenciálu (viz. kapitola \ref{chap3:G}). Objem plynu $V$ může fluktuovat kolem své střední hodnoty $\langle V\rangle$. Lagrangeův multiplikátor odpovídající této vazbě označíme $\gamma$. Partiční suma izotermicko-izobarického souboru je potom rovna
$$
\widetilde{Z} = \gamma\int\limits_0^{+\infty} e^{-\gamma V} Z_K dV,
$$
kde $Z_K$ je kanonická partiční suma pro $N$ částic plynu v objemu $V$ (\ref{chap5:Zk}). Faktor $\gamma$ jsme přidali kvůli tomu, aby výsledná partiční suma byla bezrozměrná. Vnitřní energie plynu a střední objem se určí pomocí vztahů
$$
U = -\left(\frac{\partial\ln{\widetilde{Z}}}{\partial\beta}\right)_\gamma,\quad V = -\left(\frac{\partial\ln{\widetilde{Z}}}{\partial\gamma}\right)_\beta.
$$
Pro jednoduchost zápisu jsme opět píšeme $V$ místo $\langle V\rangle$.
 
Určíme fyzikální význam Lagrangeových multiplikátorů $\beta$ a $\gamma$. Vyjdeme z diferenciálu entropie rovnovážného rozdělení
$$
dS = k\beta dU + k\gamma dV.
$$
Protože je počet částic plynu konstaní, pro diferenciál vnitřní energie platí
$$
dU = \frac{1}{k\beta} dS - \frac{\gamma}{\beta}dV = TdS - PdV.
$$
Musí tedy platit
$$
\beta = \frac{1}{kT},\quad \gamma = \frac{P}{kT}.
$$
Rozměr Lagrangeova multiplikátoru $\gamma$ je tedy $\left[\gamma\right] = m^{-3}$. To koresponduje s tím, že $\gamma$ je Lagrangeův multiplikátor vazby na střední hodnotu objemu. Entropie rovnovážného rozdělení je rovna
$$
S = k\ln{\widetilde{Z}} + \frac{1}{T} U + \frac{P}{T} V. 
$$
Odtud snadno vyjádříme Gibbsův potenciál
$$
-kT\ln{\widetilde{Z}} = U - TS + PV = G.
$$
Stavovou rovnici plynu určíme ze vztahu pro střední hodnotu objemu.
 
\section{Příklady}
 
\bc
$N$ molekul klasického ideálního plynu je v objemu $V$ při teplotě $T$. Najděte kanonickou partiční sumu $Z_K$, stavovou rovnici, vnitřní energii a tepelnou kapacitu plynu.
\ec
\vysl
\begin{eqnarray}
\nonumber z & = & \frac{V}{h^3}\left(\frac{2\pi m}{\beta}\right)^\frac{3}{2},\qquad Z_K = \frac{V^N}{N! h^{3N}} \left(\frac{2\pi m}{\beta}\right)^{\frac{3}{2}N},\qquad \beta = \frac{1}{kT}\\
\nonumber F & = & -\frac{3}{2}NkT\ln\left(2\pi m kT\right) - NkT\ln{V} + kT\ln\left(N! h^{3N}\right),\quad P = -\left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_{T,N} = \frac{NkT}{V}\\
\nonumber U & = & -\frac{\partial\ln Z_K}{\partial\beta} = \frac{3}{2}N kT,\quad C_V = \frac{\partial U}{\partial T}_{V,N} = \frac{3}{2}Nk.
\end{eqnarray}
 
\bc
Ideální ultrarelativistický plyn je v objemu $V$ při teplotě $T$ a má chemický potenciál $\mu$. Najděte grandkanonickou partiční sumu $Z_G$, stavovou rovnici, střední počet částic a  vnitřní energii.
\ec
\vysl
\begin{eqnarray}
\nonumber z & = & \frac{8\pi V}{\beta^3c^3h^3},\quad Z_G = \exp\left(\frac{8\pi V}{\beta^3c^3h^3}e^\alpha\right),\quad \beta = \frac{1}{kT},\quad \alpha = \frac{\mu}{kT}, \\
\nonumber N & = & \frac{8\pi V k^3T^3}{c^3h^3}e^\frac{\mu}{kT},\quad \Omega = -kT\ln{Z_G} = -NkT = -PV,\quad U = 3NkT.
\end{eqnarray}
 
\bc
$N$ molekul klasického ideálního plynu má teplotu $T$ a tlak $P$. Najděte partiční sumu $\widetilde{Z}$ izotermicko-izobarického souboru, stavovou rovnici a vnitřní energii.
\ec
\vysl
\begin{eqnarray}
\nonumber z & = & \frac{V}{h^3}\left(\frac{2\pi m}{\beta}\right)^\frac{3}{2},\quad Z_K = \frac{V^N}{N!h^{3N}} \left(\frac{2\pi m}{\beta}\right)^{\frac{3}{2}N},\quad \widetilde{Z} = \left(\frac{2\pi m}{\beta}\right)^{\frac{3}{2}N} \frac{1}{\gamma^{N}h^{3N}},\quad \beta = \frac{1}{kT}\\
\nonumber \gamma & = & \frac{P}{kT},\quad V = -\left(\frac{\partial\ln\widetilde{Z}}{\partial\gamma}\right)_{\beta} = \frac{NkT}{P},\quad U = -\left(\frac{\partial\ln\widetilde{Z}}{\partial\beta}\right)_{\gamma} = \frac{3}{2}NkT.
\end{eqnarray}
 
\bc
Soubor $N$ klasických jednorozměrných harmonických oscilátorů je v tepelné rovnováze s rezervoárem o teplotě $T$. Určete kanonickou partiční sumu souboru a vnitřní energii.
\ec
\vysl
$$
z = \frac{2\pi}{\beta h\omega},\quad Z_K = \frac{1}{N!}\left(\frac{2\pi}{\beta h\omega}\right)^N,\quad U = -\left(\frac{\partial\ln{Z_K}}{\partial\beta}\right) = \frac{N}{\beta} = NkT.
$$
 
\bc
$N$ částic klasického ideálního plynu o teplotě $T$ je ve válci, který rotuje kolem své osy konstantní úhlovou rychlostí $\omega$. Výška válce je $h$ a poloměr $R$. Díky kontaktu plynu se stěnou rotujícího válce mají částice plynu nenulovou střední hodnotu $z$-ové složky momentu hybnosti $\langle L_z\rangle$. Fyzikální význam Lagrangeova multiplikátoru příslušného této vazbě je dán tím, že plyn korotuje s válcem a jeho částice mají stejnou střední úhlovou rychlost $\omega$.  Určete rovnovážné pravděpodobnostní rozdělení $w(\vec{r},\vec{p})$, závislost hustoty počtu částic v nádobě na vzdálenosti od osy rotace $n(r_\bot)$ a kanonickou partiční sumu $Z_K$ .
\ec
\navod
Uvažujme nejprve obecnou rotaci s konstantní úhlovou rychlostí $\vec{\omega}$. Lagrangeův multiplikátor odpovídající vazbě $\langle \vec{L}\rangle$ označíme $\vec{\lambda}$ (je to trojice multiplikátorů). Rovnovážné rozdělení je dáno vztahem
$$
w(\vec{r},\vec{p}) = \frac{1}{z}\exp\left[-\beta H(p)\right] \exp\left[-\vec{\lambda}\cdot\vec{L}\right] = \frac{1}{z} \exp\left[-\frac{\beta}{2m}\left(\vec{p}+\frac{m}{\beta}\left(\vec{\lambda}\times\vec{r}\right)\right)^2\right] \exp\left[\frac{m}{2\beta}\left(\vec{\lambda}\times\vec{r}\right)^2\right].
$$
Určíme fyzikální význam Lagrangeova multiplikátoru $\vec{\lambda}$. Víme, že musí platit
$$
\langle\vec{v}(\vec{r}_0)\rangle = \vec{\omega}\times\vec{r}_0 \Longleftrightarrow \langle\vec{p}(\vec{r}_0)\rangle = m\vec{\omega}\times\vec{r}_0.
$$
Podmíněné rozdělení hybností v bodě $\vec{r}_0$ je dáno vztahem
$$
w(\vec{p}|\vec{r}_0) = \frac{w(\vec{r}_0,\vec{p})}{\int\limits_{\mathds{R}^3} w(\vec{r}_0,\vec{p}) d^3p} = \left(\frac{\beta}{2\pi m }\right)^\frac{3}{2}\exp\left(-\frac{\beta}{2m}\left(\vec{p}+\frac{m}{\beta}\left(\vec{\lambda}\times\vec{r}_0\right)\right)^2\right).
$$
Střední hodnota hybnosti částice plynu v bodě $\vec{r}_0$ je tedy
$$
\langle\vec{p}(\vec{r}_0)\rangle = -\frac{m}{\beta}\left(\vec{\lambda}\times\vec{r}_0\right)
$$
a pro Lagrangeův multiplikátor dostaneme
$$
\vec{\lambda} = -\beta\vec{\omega}.
$$
Rovnovážné rozdělení pro rotaci válce kolem $z$-ové osy, kdy $\vec{\omega} = (0,0,\omega)$, je v cylindrických souřadnicích rovno
$$
w(r_\bot,\varphi,h,\vec{p}) = \frac{1}{z} \exp\left(-\frac{\beta p^2}{2m}\right) r_\bot \exp\left(\frac{\beta m\omega^2r_\bot^2}{2}\right).
$$
Marginální rozdělení pravděpodobnosti nalezení částice ve vzdálenosti $r_\bot$ od osy rotace dostaneme integrací $w(\vec{r},\vec{p})$ přes hybnost, polární úhel a výšku válce,
$$
w(r_\bot) = \int\limits_{\mathds{R}^3} d^3p\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^h dh' w(\vec{r},\vec{p}) \sim r_\bot \exp\left(\frac{\beta m\omega^2r_\bot^2}{2}\right).
$$
Hustota počtu částic $n(r_\bot) = N w(r_\bot)$ je včetně normalizace rovna
$$
n(r_\bot) = \frac{N\beta}{2V} \frac{m\omega^2 R^2}{\exp\left(\frac{\beta m\omega^2 R^2}{2} - 1\right)} r_\bot \exp\left(\frac{\beta m\omega^2r_\bot^2}{2}\right),
$$
kde $V = \pi R^2 h$ je objem válce. Jednočásticová partiční suma se dá zapsat ve tvaru
$$
z = \frac{2 V}{h^3} \left(\frac{2\pi m}{\beta}\right)^\frac{3}{2}\frac{1}{\beta m\omega^2 R^2}\left(\exp\left(\frac{\beta m\omega^2R^2}{2}\right)-1\right).
$$
Kanonickou partiční sumu získáme standardním způsobem, je vhodné ji vyjádřit jako funkci původních Lagrangeových multiplikátorů $\beta$ a $\lambda$. Výsledek je
$$
Z_K(\beta,\lambda) = \frac{V^N}{h^{3N} N!} \left(\frac{2\pi m}{\beta}\right)^{\frac{3}{2}N} \left(\frac{2\beta}{m\lambda^2 R^2}\right)^N \left(\exp\left(\frac{m\lambda^2 R^2}{2\beta}\right)-1\right)^N.
$$