02TSFsbirka:Kapitola4

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 1. 8. 2010, 10:59, kterou vytvořil Admin (diskuse | příspěvky) (Založena nová stránka: %\wikiskriptum{02TSFsbirka} \chapter{Ideální a neidální plyny} \bc Určete entropii $n$ molů ideálního plynu s teplotou $T$ v objemu $V$. \ec \vysl $S(T,V,n) = nC_...)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02TSFsbirka

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02TSFsbirkaSteffy 9. 2. 201115:06
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:48
Header editovatHlavičkový souborSteffy 12. 2. 201212:21 header.tex
Kapitola1 editovatZáklady teorie pravděpodobnosti a matematické statistikyHoskoant 22. 2. 201716:57 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatNejpravděpodobnější rozděleníSteffy 12. 2. 201211:58 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatTermodynamické potenciály a identitySteffy 12. 2. 201211:59 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatIdeální a neideální plynyKubuondr 10. 4. 201721:25 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatStatistické soubory - Hamiltonovské systémyHoskoant 4. 6. 201310:07 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatFluktuaceSteffy 12. 2. 201212:01 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatStatistické soubory - diskrétní hladinySteffy 11. 2. 201315:05 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatPřesné statistikyKubuondr 28. 4. 201708:40 kapitola8.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:2part_U.pdf 2part_U.pdf
Image:binomial.pdf binomial.pdf
Image:blackbody2.pdf blackbody2.pdf
Image:gauss2.pdf gauss2.pdf
Image:maxwell.pdf maxwell.pdf
Image:poisson.pdf poisson.pdf
Image:spin_C.pdf spin_C.pdf
Image:spin_M.pdf spin_M.pdf
Image:spin_S.pdf spin_S.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02TSFsbirka}
\chapter{Ideální a neidální plyny}
 
\bc
Určete entropii $n$ molů ideálního plynu s teplotou $T$ v objemu $V$.
\ec
\vysl $S(T,V,n) = nC_V \ln{T} + nR\ln{V} - nR\ln{n} + K n$.
 
\bc
Uvažujte jeden mol ideálního plynu, který koná polytropický děj. Při něm si vyměňuje teplo s okolím podle vztahu $dQ = CdT$, kde $C$ je konstanta. Určete rovnici polytropy v proměnných $T,V$, $P,V$, a $T,P$. Diskutujte speciální případy adiabaty, izobary, izochory a izotermy.
\ec
\navod Zavedeme stupeň polytropy $\alpha = \frac{C_P-C}{C_V-C}$, rovnice polytropy se pak dá zapsat ve tvaru
$$
TV^{\alpha-1} = \mathrm{konst}., \quad PV^\alpha = \mathrm{konst}., \quad TP^{-\frac{\alpha-1}{\alpha}} = \mathrm{konst}.
$$
 
\bc
Nechť vnitřní energie plynu je pouze funkcí teploty $U(T)$. Ukažte, že potom platí: a) $C_V = C_V(T)$, b) $V = f\left(\frac{P}{T}\right)$, c) $C_P-C_V = g\left(\frac{P}{T}\right)$.
\ec
\navod a) z definice, b) ****-vztah, c) Mayerův vztah
 
\bc
Nechť pro vnitřní energii plynu platí
$$
U = a \frac{S^3}{NV},\quad a>0.
$$
Určete: a) $S = S(T,V,N)$ b) $P = P(T,V,N)$, c) $C_P-C_V$ v proměnných $T,V,N$, d) $\mu = \mu(T,P,N)$.
\ec
\vysl a) $ S = \sqrt{\frac{TVN}{3a}}$, b) $P = \sqrt{\frac{NT^3}{27 aV}}$, c) $C_P - C_V = \frac{3}{2} S =\frac{3}{2}\sqrt{\frac{TVN}{3a}}$, d) $\mu = -\frac{T^3}{27aP}$.
 
\bc
Stavová rovnice plynu a jeho tepelná kapacita mají tvar
\begin{eqnarray}
\nonumber P & = & \frac{RT}{V}\left[1 + \frac{1}{V} B(T)\right]\\
\nonumber C_V & = & \frac{3}{2} R - \frac{R}{V} \frac{d}{dT}\left(T^\alpha \frac{d}{dT}B(T)\right).
\end{eqnarray}
Určete koeficient $\alpha$ tak, aby stavová rovnice a výraz pro tepelnou kapacitu byly kompatibilní. Pro tuto hodnotu $\alpha$ spočítejte entropii plynu $S(T,V)$.
\ec
\navod Pro určení hodnoty $\alpha$ použijte vztah
$$
\left(\frac{\partial C_V}{\partial V}\right)_T = T \left(\frac{\partial^2 P}{\partial T^2}\right)_V.
$$
Entropie se určí integrací jejích parciálních derivací
$$
\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_V = \frac{C_V}{T},\quad \left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T = \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V.
$$
 
\bc
Stavová rovnice plynu má tvar
$$
PV = A(T) + B(T) P + C(T) P^2 + \ldots .
$$
Určete tvar závislosti $C_P$ na teplotě a tlaku. Jaký je tvar této závislosti pro ideální plyn?
\ec
\navod $C_P$ až na funkci teploty dostaneme integrací vztahu
$$
\left(\frac{\partial C_P}{\partial P}\right)_T = -T \left(\frac{\partial^2 V}{\partial T^2}\right)_P.
$$
Pro ideální plyn je $A(T) = RT$, $B = C = \ldots = 0$ a tepelná kapacita při konstantním tlaku může být maximálně funkcí teploty.
 
\bc
Pro entropii plynu platí
$$
S(T,V) = R\frac{V}{V_0} \left(\frac{T}{T_0}\right)^\alpha.
$$
Navíc víme, že plyn při izotermické expanzi při teplotě $T_0$ z objemu $V_0$ na $V$ vykoná práci
$$
W_T = RT_0\ln{\frac{V}{V_0}}.
$$
Určete volnou energii $F = F(T,V)$ a stavovou rovnici $P = P(T,V)$ plynu.
\ec
\navod Volnou energii až na neurčenou funkci objemu získáme integrací entropie přes teplotu, protože platí
$$
\left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)_V = -S.
$$
Dodatečnou funkci objemu určíme z toho, že při izotermickém ději plyn koná práci na úkor svojí volné energie, a tedy
$$
dW_T = -dF\quad \Longrightarrow\quad W_T = F(T_0,V_0) - F(T_0,V).
$$
Výsledek je
$$
F(T,V) = -R\frac{V}{V_0}\left(\frac{T}{T_0}\right)^\alpha \frac{T}{\alpha+1} + RT_0\left(\frac{V}{V_0(\alpha+1)} - \ln {V}\right).
$$
Stavovou rovnici určíme ze vztahu
$$
P = -\left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_T = \frac{RT_0}{V_0}\left(\frac{V_0}{V} - \frac{1}{\alpha+1} + \frac{1}{\alpha+1}\left(\frac{T}{T_0}\right)^{\alpha+1}\right).
$$
 
\bc
Mějme dvě stejná množství plynu, jedno s teplotou $T_1$, druhé s teplotou $T_2<T_1$. Plyny smícháme. Jaká je maximální a minimální možná výsledná teplota plynu? Určete maximální práci, kterou můžeme smícháním plynů získat. Předpokládejte, že tepelná kapacita plynu je konstantní.
\ec
\navod Maximální výslednou teplotu získáme, pokud neodebereme žádné teplo ke konání práce, tedy
$$
Q_1 = C(T_1-T_{\rm max}) = Q_2 = C(T_{\rm max}-T_2).
$$
Pokud nějaké teplo odebereme ke konání práce, bude výsledná teplota nižší. Je-li teplota po smíchání $T_0$, pak můžeme získat práci
$$
W(T_0) = C(T_1 + T_2 - 2T_0).
$$
Maximální práce tak odpovídá minimální výsledné teplotě. Ta je omezena tím, že entropie soustavy se nemůže zmenšit,
$$
\Delta S = \Delta S_1 + \Delta S_2 = \int\limits_{T_1}^{T_0} dS + \int\limits_{T_2}^{T_0} dS \geq 0.
$$
V našem případě je minimální teplota dána vztahem
$$
T_{\rm min} = \sqrt{T_1 T_2},
$$
maximální získaná práce je potom
$$
W_{\rm max} = C(T_1 + T_2 - 2\sqrt{T_1T_2}).
$$