02TSFA:Kapitola30

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Verze z 1. 8. 2010, 11:51, kterou vytvořil Admin (diskuse | příspěvky) (Založena nová stránka: %\wikiskriptum{02TSFA} \section{Jiný statistický přístup --- kinetická teorie} \index{teorie, kinetická} Nalezněme rozdělení molekul ve fázovém prostoru (tj. p...)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02TSFA

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02TSFAAdmin 1. 8. 201011:52
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201514:48
Header editovatHlavičkový souborKarel.brinda 27. 1. 201121:47 header.tex
Kapitola1 editovatMatematický aparátTomas 7. 9. 201013:10 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatStatistický popis složitých soustavKrasejak 27. 6. 201413:56 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatStatistický soubor a rozdělovací funkceKrasejak 27. 6. 201414:15 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatNejpravděpodobnější rozděleníKrasejak 29. 3. 201403:23 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatPartiční funkce systému a jeho podsystémůKrasejak 29. 3. 201404:02 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatMikrokanonický souborKubuondr 18. 3. 201710:50 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatKanonický souborMaresj23 5. 1. 201412:23 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatGrandkanonický souborKubuondr 11. 3. 201710:04 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatEkvivalence statistických souborůKunzmart 12. 7. 202101:40 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatPrincipy termodynamikyKrasejak 29. 3. 201403:29 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatTermodynamické potenciályKunzmart 12. 7. 202104:41 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatZávislost termodynamických potenciálů na látkovém množstvíKrasejak 29. 3. 201403:33 kapitola12.tex
Kapitola13 editovatVztahy mezi derivacemi termodynamických veličinBatysfra 30. 8. 201115:22 kapitola13.tex
Kapitola14 editovatDalší termodynamické veličinyTomas 7. 9. 201015:53 kapitola14.tex
Kapitola15 editovatKvantověmechanický harmonický oscilátorKubuondr 29. 5. 201714:21 kapitola15.tex
Kapitola16 editovatMěření Poissonovy konstantyAdmin 1. 8. 201011:47 kapitola16.tex
Kapitola17 editovatTermodynamika směsí různých látekTomas 7. 9. 201013:38 kapitola17.tex
Kapitola18 editovatVratné a nevratné procesyKubuondr 26. 5. 201713:32 kapitola18.tex
Kapitola19 editovatUstálení dynamické rovnováhyTomas 7. 9. 201013:40 kapitola19.tex
Kapitola20 editovatDůsledky podmínek rovnováhyKubuondr 15. 4. 201709:26 kapitola20.tex
Kapitola21 editovatRovnováha systému o více fázíchTomas 7. 9. 201015:23 kapitola21.tex
Kapitola22 editovatKlasifikace fázových přechodůChladjar 14. 9. 202015:32 kapitola22.tex
Kapitola23 editovatJoule-Thompsonův pokusTomas 7. 9. 201019:43 kapitola23.tex
Kapitola24 editovatTermodynamické nerovnostiKarel.brinda 6. 2. 201121:44 kapitola24.tex
Kapitola25 editovatNarušení rovnováhy (Braun-Le Chatelierův princip)Tomas 7. 9. 201013:46 kapitola25.tex
Kapitola26 editovatStatistická rozdělení soustavy volných částicChladjar 15. 9. 202011:40 kapitola26.tex
Kapitola27 editovatOdvození termodynamiky IP statistickými metodamiKubuondr 27. 5. 201716:58 kapitola27.tex
Kapitola28 editovatFotonový plyn a záření absolutně černého tělesaGroveond 1. 7. 201421:35 kapitola28.tex
Kapitola29 editovatModely krystalůChladjar 17. 9. 202018:19 kapitola29.tex
Kapitola30 editovatJiný statistický přístup — kinetická teorieTomas 15. 2. 201100:22 kapitola30.tex
Kapitola31 editovatOtázky ke zkoušce z TSFAdmin 1. 8. 201011:51 kapitola31.tex
Kapitola32 editovatReferenceTomas 7. 9. 201013:54 reference.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:Gauss.pdf Gauss.pdf
Image:Fcel1.pdf fcel1.pdf
Image:2krabab.pdf 2krabab.pdf
Image:Transw.pdf transw.pdf
Image:Syst.pdf syst.pdf
Image:3pt.pdf 3pt.pdf
Image:Cholesctv.pdf Cholesctv.pdf
Image:Oscpot.pdf Oscpot.pdf
Image:Spins.pdf spins.pdf
Image:Spins2.pdf spins2.pdf
Image:Spins3.pdf spins3.pdf
Image:Spins4.pdf spins4.pdf
Image:Ptdiag.pdf ptdiag.pdf
Image:Joulthom.pdf joulthom.pdf
Image:Trirozd.pdf trirozd.pdf
Image:FD_e_mu.jpg FD_e_mu.jpg
Image:Krystal.pdf krystal.pdf
Image:Krystal2.pdf krystal2.pdf
Image:Procesyr.pdf procesyr.pdf
Image:Hgraf.pdf hgraf.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02TSFA}
\section{Jiný statistický přístup --- kinetická teorie}
\index{teorie, kinetická}
 
Nalezněme rozdělení molekul ve fázovém prostoru (tj. podle poloh a hybností) ve tvaru
 
$$dN = \f d\Gamma = \f d\vec{r} d\vec{v}$$
\bigskip
 
kde $\f$ je \index{funkce, rozdělovací}\index{funkce, distribuční}\emph{distribuční (rozdělovací) funkce}. 
Tj. chceme vědět, kolik částic se
právě nachází v objemovém elementu $d^3 r$ o souřadnici $\vec{r}$ s rychlostí
v $d^3 v$ o souřadnici $\vec{v}$. Podotkněme, že $\dr$, $\dv$ zde nejsou diferenciály 
v matematickém slova smyslu, dokonce ani nemají infinitezimální velikost. Musí 
obsahovat dostatečný počet částic, aby bylo možné aplikovat statistické zákonitosti
(řádově $10^8$). Jsou ale dostatečně malé vůči celému fázovému prostoru. Podotkněme,
že nyní má fázový prostor pouze šest rozměrů ($x,y,z, v_x, v_y, v_z$).
 
Rozdělovací funkce musí mít několik základních vlastností. Předně je normovaná a tedy
 
$$N = \integral{\Gamma}{} \f \dr \dv$$
\bigskip
 
Jestliže se molekuly nenacházejí ve vnějším poli, pak také rozdělovací funkce nebude závislá na
poloze a potom
 
$$\frac{N}{V} = n = \integral{\Gamma _{\vec{v}}}{} f( \vec{v}, t) \dv$$
\bigskip
 
Střední prostorové hodnoty veličin vyjádříme jako
 
$$\left<A( \vec{r}, t)\right>  = \frac{\integral{}{} A( \vec{r}, \vec{v} ) \f \dv}
   {\integral{}{} \f \dv}  $$
\bigskip
 
Takto se počítají veličiny jako difuze, vedení tepla, elektrický proud a podobně.
Chceme-li úplné střední hodnoty, musíme prointegrovat přes celý fázový prostor.
 
 
\subsection{Analytický tvar rozdělovací funkce}
 
Naším cílem nyní bude najít analytický tvar $\f$.
\bigskip
 
Zkoumejme, co se stane, posuneme-li se v čase o $\Delta t$. Souřadnice se změní následovně:
 
$$\vec{r}' = \vec{r} + \vec{v}\Delta t$$
$$\vec{v}' = \vec{v} + \frac{F}{m}\Delta t$$
$$t' = t + \Delta t$$
\bigskip
 
kde $F$ představuje nějakou vnější sílu (pole). Potom platí
 
$$\f \dr \dv = 
f( \vec{r} + \vec{v}\Delta t, \vec{v} + \frac{F}{m}\Delta t, t + \Delta t) \dr ' \dv '$$
 
V případě rovnosti fázových objemů $\dr \dv$ a $\dr ' \dv '$ platí i rovnost funkcí.
Pokud pomineme to, že se molekuly mohou srážet a předávat si tak energie a hybnosti,
tvrdí Liouvillova věta, že fázový objem se nemění. Tedy
 
$$\f = f( \vec{r} + \vec{v}\Delta t, \vec{v} + \frac{\vec{F}}{m}\Delta t, t + \Delta t)$$   
 
Srážky ovšem úplně zanedbat nemůžeme, bez nějaké vnitřní interakce by systém nikdy 
nemohl dojít do rovnovážného stavu. My však pozorujeme, že systém dojde z jakéhokoliv
počátečního stavu do rovnovážného, a za daných podmínek dokonce vždy do toho samého.
 
Existenci srážek zohledníme tak, že přidáme \uv{úplnou časovou změnu funkce $f$ kvůli
srážkám}, tzv. \index{člen, srážkový}\emph{srážkový člen}:
 
$$\f + \termderiv{f}{t}{Srazky} = \quad
f( \vec{r} + \vec{v}\Delta t, \vec{v} + \frac{\vec{F}}{m}\Delta t, t + \Delta t)$$
\bigskip
 
Rozvineme-li pravou stranu do Taylora, získáme
 
$$\termderiv{f}{t}{Srazky} = \quad \pderivx{}{t}f + \vec{v}\bigtriangledown _{\vec{r}}f
+ \frac{\vec{F}}{m}\bigtriangledown _{\vec{v}}f $$
\bigskip
 
kde $\bigtriangledown _{\vec{r}}$ a $\bigtriangledown _{\vec{v}}$ jsou gradienty
vůči poloze a rychlosti. Tento vztah vyjadřuje
změny počtu částic v okolí $\vec{r}$ s rychlostí $\vec{v}$.
\bigskip
 
\subsection{Boltzmannova transportní rovnice}
\index{rovnice, Boltzmannova transportní}
 
Uvažujme nyní binární srážky (pouze binární srážky). U zředěného plynu jsou srážky
tří a více částic jen málo pravděpodobné. Stejně tak neuvažujme, že se jedna a tatáž 
molekula za čas $\Delta t$ stačí srazit vícekrát. Potom zbývají jen dva různé případy:
 
\begin{center}
\includegraphics{procesyr.pdf}
\end{center}
 
\begin{itemize}
\item Proces $R$ --- vnitřní částice opouští fázový objem
\item Proces $\bar{R}$ --- vnější částice po srážce zůstává ve fázovém objemu
 
\end{itemize}
\bigskip
 
Vyjádříme-li počet srážek $\Delta S$ za dobu $\Delta t$ takových, že
jedna molekula opustila prostor a současně takových, kdy molekula zvenčí
v prostoru zůstala, bude
 
$$\Delta S = R \dr \dv dt \qquad \qquad \Delta \bar{S} = \bar{R} \dr \dv dt$$
\bigskip
 
odkud plyne (neboť $f$ vyjadřuje počet částic v jistém objemu)
 
$$\termderiv{f}{t}{Srazky} = \quad \left( \frac{\Delta \bar{S}}{\dr \dv dt}  - 
     \frac{\Delta S}{\dr \dv dt}\right) = \bar{R} - R$$
\bigskip
 
Vyjádřeme nyní $\bar{R}$ a $R$ pomocí zákonů srážek. Je nutné učinit následující předpoklady:
 
 
\begin{enumerate}
 
\item Bereme pouze binární srážky (což už bylo řečeno).
\item Zanedbáme účinek stěn nádob.
\item Zanedbáme účinek vnějších sil na diferenciální účinný průřez.
\item Předpokládejme, že rychlost molekuly nijak nesouvisí s její polohou.
Tento předpoklad se nazývá \emph{předpoklad molekulárního chaosu}.
\end{enumerate}
\bigskip
 
Nejprve soustřeďme pozornost na jednu molekulu, která má před srážkou rychlost $v_1$
z intervalu $d \vec{v_1}  = dv_{x1} dv_{y1}dv_{z1}$ a nachází se v místě $\vec{r}$,
to znamená, že je ve fázovém objemu $\dr \dv$. V tomtéž bodě soustavy se nacházejí
i částice s různými libovolnými rychlostmi $\vec{v_2}$. Na ty se můžeme dívat jako 
na svazek částic dopadající na sledovanou molekulu. Počet srážek za jednotku času
je pak dán ( typ srážky $\vec{v_1},\vec{v_2} \quad \rightarrow \quad \vec{v_1}',\vec{v_2}'$)
vzorcem
 
$$\integral{\vec{v_2}}{}\integral{\Omega}{} \fb |\Delta\vec{v}| \sigma (\Omega)
d \vec{v_1} d\Omega$$
\bigskip
 
kde $\sigma$ je diferenciální účinný průřez, který je obecně závislý na prostorovém úhlu
$\Omega = \Omega( \theta, \phi)$ a $\Delta\vec{v}=  \vec{v_1} -  \vec{v_2}$. V uvažovaném objemu ovšem není jen jedna molekula o rychlosti $\vec{v_1}$, je jich tam $dN_1 = \fa \dr \dv$ a tedy
 
$$R = \frac{\Delta S}{\dr d\vec{v_1} dt} = 
\fa\integral{\vec{v_2}}{}\integral{\Omega}{} \fb |\Delta\vec{v}| \sigma (\Omega)d 
\vec{v_1}d\Omega$$
\bigskip
 
a označíme-li si $f_i = f( \vec{r}, \vec{v_i}, t)$, pak máme
 
$$R = \integral{\vec{v_2}}{}\integral{\Omega}{}f_1 f_2 |\Delta \vec{v}| \sigma( \Omega ) 
  d \Omega d \vec{v_1}$$
\bigskip
 
Analogickým způsobem vypočítáme $\bar{R}$ s tím, že srážka probíhá obráceně, ovšem její účinný diferenciální 
průřez je stejný a $|\Delta \vec{v}| = |\Delta \vec{v}'|$. Získáme tak
 
$$\bar{R} = \integral{\vec{v_2}}{}\integral{\Omega}{}f_1' f_2' |\Delta \vec{v}'| \sigma( \Omega ) 
  d \Omega d \vec{v_2}$$
\bigskip
 
kde $f_i' = f( \vec{r}, \vec{v_i}', t)$. Dostáváme tak srážkový člen pro pevné $\vec{v_1}$:
 
$$\termderiv{\fa}{t}{Srazky} = \quad \bar{R} - R \quad =
 \integral{\vec{v_2}}{}\integral{\Omega}{}\left( f_1' f_2' - f_1 f_2 \right)|\Delta \vec{v}|
 \sigma(\Omega)d\Omega d\vec{v_2}$$
\bigskip
 
Použijeme-li již dříve zjištěného vztahu pro srážkový člen, dostáváme
 
$$\integral{\vec{v_2}}{}\integral{\Omega}{}\left( f_1' f_2' - f_1 f_2 \right)|\Delta \vec{v}|
 \sigma(\Omega)d\Omega d\vec{v_2} = 
\left( \pderivx{}{t} + \vec{v_1}\bigtriangledown _{\vec{r}}
+ \frac{\vec{F}}{m}\bigtriangledown _{\vec{v_1}} \right) \fa$$
\bigskip
 
což je nelineární parciální integrodiferenciální rovnice pro výpočet $\fa$, zvaná
\index{rovnice, Boltzmannova transportní}\emph{Boltzmannova transportní rovnice} (BTR).
 
\subsection{Stacionární BTR a Boltzmanův H-teorém}
\index{rovnice, Boltzmannova transportní, stacionární}
 
Protože předchozí rovnice je našimi silami v podstatě neřešitelná, zjednodušme si, co můžeme.
 
\begin{enumerate}
\item Nemáme vnější pole a $\vec{F} = 0$
 
\item $\Rightarrow \quad$ systém lokálně nezávisí na prostorových souřadnicích. 
 
\item Zajímá nás jen stacionární řešení $\pderivx{f}{y}=0 \:$.
 
\end{enumerate}
\bigskip
 
 
Z těchto předpokladů plyne, že
 
$$\left( \pderivx{}{t} + \vec{v_1}\bigtriangledown _{\vec{r}}
+ \frac{\vec{F}}{m}\bigtriangledown _{\vec{v_1}} \right) f = \pderivx{f}{t} = 
\integral{\vec{v_2}}{}\integral{\Omega}{}\left( f_1' f_2' - f_1 f_2 \right)|\Delta \vec{v}|
 \sigma(\Omega)d\Omega d\vec{v_2} = 0$$
 \bigskip
 
 To je funkcionální závislost a musí platit pro každou funkci $f$ vyhovující
 předpokladům (označme ji $f_0$). Postačující podmínka pro platnost této rovnosti je
 nulovost integrandu. Protože zároveň $f_0$ nezávisí na prostorových
 souřadnicích a čase, dostáváme rovnost
 
 $$f_0(\vec{v_1}')f_0
 (\vec{v_1}') - f_0(\vec{v_1})f_0(\vec{v_1}) = 0$$
 \bigskip
 
 Je ale zároveň nutná? Podívejme se na následující výraz:
 
 $$H(t) = \integral{}{} f(\vec{v},t) \ln f(\vec{v},t) d \vec{v}$$
 \bigskip
 
 který nezávisí na poloze, pouze na čase. Povšimněme si jeho podoby a vyjádřením pro
 statistickou entropii ($S_{stat} = - \suma{\gamma}{} w_\gamma \ln w_\gamma$) a zjistěme, 
 jak se v čase chová:
 
 $$\derivx{H(t)}{t} = \integral{}{} \pderivx{}{t}f(\vec{v},t) \ln f(\vec{v},t) d \vec{v} =
 \integral{}{} \pderivx{f}{t}  ( 1 + \ln f ) \quad d\vec{v}$$
\bigskip
 
Sem postupně dosaďme $f_1$ a $f_2$, přičemž za derivaci $f$ podle času dosaďme z první 
velké rovnosti v této kapitolce:
 
$$\derivx{H(t)}{t} 
= \integral{}{} ( 1 + \ln f_1)( f_1' f_2' - f_1 f_2) d\vec{v_1} d\vec{v_2} |\Delta \vec{v}| d\Omega = 
\integral{}{} ( 1 + \ln f_2)( f_1' f_2' - f_1 f_2) d\vec{v_1} d\vec{v_2} |\Delta \vec{v}| d\Omega $$
\bigskip
 
a z toho plyne, že
 
$$\derivx{H(t)}{t}  = \pul \integral{}{}( f_1' f_2' - f_1 f_2)( 2 + \ln f_1 f_2 )$$
\bigskip
 
Diferenciály jsme pro přehlednost už vynechali. Jelikož zcela analogicky lze sestavit
 
$$\derivx{H(t)}{t} = \pul \integral{}{}( f_1 f_2 - f_1' f_2')( 2 + \ln f_1' f_2' )$$
\bigskip
 
a diferenciály se díky našim zjednodušením, předpokladům a výpočtům rovnají, je
 
$$\derivx{H(t)}{t}  = \ctvrt \integral{}{}( f_1' f_2' - f_1 f_2)( \ln f_1 f _2 - \ln f_1' f_2' )$$
\bigskip
 
Znaménko výrazu
 
$$( f_1' f_2' - f_1 f_2) \ln \frac{f_1 f _2}{f_1' f_2'}$$
\bigskip
 
je ale vždy záporné, jak je snadné se přesvědčit. Z toho plyne, že veličina $H$ s časem
vždy klesá, a to k nějakému reálnému číslu, neboť integrál je omezený. To ale znamená,
že v čase $t \rightarrow \infty$ nabývá $H$ stacionární hodnoty a odsud plyne
nutnost podmínky
 
$$f_1' f_2' = f_1 f_2$$
\bigskip
 
Nutnost i postačujícnost této podmínky je obsahem \index{teorém,
  Boltzmannův H-teorém}\emph{Boltzmanova H-teorému}. 
Chování veličiny H je znázorněno na grafu:
 
\begin{center}
\includegraphics{hgraf.pdf}
\end{center}
 
V mnohém připomíná entropii --- jednak vyjádřením, jednak chováním. Entropie s časem
samovolně roste (s nějakými fluktuacemi), $H$ s časem klesá (také s fluktuacemi).
 
\subsection{Analytické vyjádření $f_0$}
 
Máme tedy rovnici
 
$$f_0( \vec{v_1} )f_0( \vec{v_2} ) = f_0( \vec{v_1}' )f_0( \vec{v_2}' )$$
\bigskip
 
Zlogaritmujme ji:
 
$$\ln f_0( \vec{v_1} ) + \ln f_0( \vec{v_2} ) = \ln f_0( \vec{v_1}' ) + \ln f_0( \vec{v_2}' )$$
\bigskip
 
Na levé straně jsou logaritmy funkce $f_0$ před srážkou, na pravé po srážce. Rovnice má tedy
podobu zákona zachování jisté veličiny, označme ji $\Psi$, závislé na rychlosti. Tato funkce 
se ovšem může skládat z více částí. Obecně 
 
$$\ln f_0( \vec{v} ) = \suma{i}{}\Psi _i  (\vec{v})$$
\bigskip
 
Víme, že pro molekulu plynu jsou takové fce tři:
\bigskip
 
\begin{center} 
\begin{tabular}[p]{rcl}
 $\Psi_1(\vec{v}) = m \vec{v}$  & ..... & Hybnost \tabularnewline[12pt]
 $\Psi_2(\vec{v}) = \pul m \vec{v}^2$  &  .....  & Energie  \tabularnewline[12pt]
 $\Psi_3(\vec{v}) = C$  &  .....  & Libovolná konstanta  \tabularnewline[12pt]
\tabularnewline[12pt]
\end{tabular}
\end{center}
\bigskip
 
To znamená, že $\ln f$ bude lineární kombinací tří složek rychlosti $\vec{v}$, kvadrátu
rychlosti $\vec{v}^2$ a konstanty $C$:
 
$$\ln f( \vec{v} ) = -a( \vec{v} - \vec{v_0} )^2 + \ln C$$
\medskip
 
$$f_0(\vec{v}) = C e^{-a(\vec{v}-\vec{v_0})^2}$$
\bigskip
 
Protože $\vec{v_0}$ má význam unášivé rychlosti celého systému, můžeme přejít k takové
vztažné soustavě, kde je nulová. Konstanty $C$ a $a$ získáme z normalizace a máme
 
$$f_0(\vec{v}) = n\left( \frac{m}{2 \pi k T} \right)^{\tripul} \exp\left(-\frac{mv^2}{2kT}\right)$$
\bigskip
 
již známé Maxwell-Boltzmannovo rozdělení rychlostí. Celé toto odvozování jsme provedli
bez přítomnosti vnějšího pole. Bude-li se ale soustava v nějakém nacházet, dostaneme
 
$$f^*( \vec{r}, \vec{v}) = f_0( \vec{v} )  . e^{ -\frac{\phi(\vec{r})}{kT}}$$
 
\subsection{Transportní jevy}
 
Uděláme-li rozdělovací funkci časově závislou, lze počítat hustoty toků veličin 
v prostoru a čase:
 
$$g( \vec{r}, t) = \integral{}{}A(\vec{r},\vec{v}) . \vec{v} .  \f \dv$$
\bigskip
 
Veličina může být buď identicky rovna jedné(pak počítáme transport částic), může to být
hybnost (transport tlaku), energie (transport tepla), náboj (el. proud) a další.