02TSFA:Kapitola21: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(doplnění výpočtu) |
m |
||
Řádka 134: | Řádka 134: | ||
\begin{center} | \begin{center} | ||
− | \includegraphics{ | + | \includegraphics{ptdiag.pdf} |
\end{center} | \end{center} |
Aktuální verze z 7. 9. 2010, 15:23
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02TSFA
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02TSFA | Admin | 1. 8. 2010 | 11:52 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:48 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Karel.brinda | 27. 1. 2011 | 21:47 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Matematický aparát | Kunzmart | 25. 8. 2021 | 12:16 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Statistický popis složitých soustav | Krasejak | 27. 6. 2014 | 13:56 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Statistický soubor a rozdělovací funkce | Krasejak | 27. 6. 2014 | 14:15 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Nejpravděpodobnější rozdělení | Krasejak | 29. 3. 2014 | 03:23 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Partiční funkce systému a jeho podsystémů | Krasejak | 29. 3. 2014 | 04:02 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Mikrokanonický soubor | Kunzmart | 26. 8. 2021 | 10:10 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Kanonický soubor | Maresj23 | 5. 1. 2014 | 12:23 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Grandkanonický soubor | Godalale | 7. 6. 2023 | 22:04 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Ekvivalence statistických souborů | Kunzmart | 12. 7. 2021 | 01:40 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Principy termodynamiky | Krasejak | 29. 3. 2014 | 03:29 | kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Termodynamické potenciály | Kunzmart | 12. 7. 2021 | 04:41 | kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Závislost termodynamických potenciálů na látkovém množství | Krasejak | 29. 3. 2014 | 03:33 | kapitola12.tex | |
Kapitola13 | editovat | Vztahy mezi derivacemi termodynamických veličin | Batysfra | 30. 8. 2011 | 15:22 | kapitola13.tex | |
Kapitola14 | editovat | Další termodynamické veličiny | Tomas | 7. 9. 2010 | 15:53 | kapitola14.tex | |
Kapitola15 | editovat | Kvantověmechanický harmonický oscilátor | Kubuondr | 29. 5. 2017 | 14:21 | kapitola15.tex | |
Kapitola16 | editovat | Měření Poissonovy konstanty | Admin | 1. 8. 2010 | 11:47 | kapitola16.tex | |
Kapitola17 | editovat | Termodynamika směsí různých látek | Tomas | 7. 9. 2010 | 13:38 | kapitola17.tex | |
Kapitola18 | editovat | Vratné a nevratné procesy | Kubuondr | 26. 5. 2017 | 13:32 | kapitola18.tex | |
Kapitola19 | editovat | Ustálení dynamické rovnováhy | Tomas | 7. 9. 2010 | 13:40 | kapitola19.tex | |
Kapitola20 | editovat | Důsledky podmínek rovnováhy | Kubuondr | 15. 4. 2017 | 09:26 | kapitola20.tex | |
Kapitola21 | editovat | Rovnováha systému o více fázích | Tomas | 7. 9. 2010 | 15:23 | kapitola21.tex | |
Kapitola22 | editovat | Klasifikace fázových přechodů | Chladjar | 14. 9. 2020 | 15:32 | kapitola22.tex | |
Kapitola23 | editovat | Joule-Thompsonův pokus | Tomas | 7. 9. 2010 | 19:43 | kapitola23.tex | |
Kapitola24 | editovat | Termodynamické nerovnosti | Karel.brinda | 6. 2. 2011 | 21:44 | kapitola24.tex | |
Kapitola25 | editovat | Narušení rovnováhy (Braun-Le Chatelierův princip) | Tomas | 7. 9. 2010 | 13:46 | kapitola25.tex | |
Kapitola26 | editovat | Statistická rozdělení soustavy volných částic | Chladjar | 15. 9. 2020 | 11:40 | kapitola26.tex | |
Kapitola27 | editovat | Odvození termodynamiky IP statistickými metodami | Admin | 25. 4. 2024 | 12:36 | kapitola27.tex | |
Kapitola28 | editovat | Fotonový plyn a záření absolutně černého tělesa | Groveond | 1. 7. 2014 | 21:35 | kapitola28.tex | |
Kapitola29 | editovat | Modely krystalů | Chladjar | 17. 9. 2020 | 18:19 | kapitola29.tex | |
Kapitola30 | editovat | Jiný statistický přístup — kinetická teorie | Tomas | 15. 2. 2011 | 00:22 | kapitola30.tex | |
Kapitola31 | editovat | Otázky ke zkoušce z TSF | Admin | 1. 8. 2010 | 11:51 | kapitola31.tex | |
Kapitola32 | editovat | Reference | Tomas | 7. 9. 2010 | 13:54 | reference.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:Gauss.pdf | Gauss.pdf |
Image:Fcel1.pdf | fcel1.pdf |
Image:2krabab.pdf | 2krabab.pdf |
Image:Transw.pdf | transw.pdf |
Image:Syst.pdf | syst.pdf |
Image:3pt.pdf | 3pt.pdf |
Image:Cholesctv.pdf | Cholesctv.pdf |
Image:Oscpot.pdf | Oscpot.pdf |
Image:Spins.pdf | spins.pdf |
Image:Spins2.pdf | spins2.pdf |
Image:Spins3.pdf | spins3.pdf |
Image:Spins4.pdf | spins4.pdf |
Image:Ptdiag.pdf | ptdiag.pdf |
Image:Joulthom.pdf | joulthom.pdf |
Image:Trirozd.pdf | trirozd.pdf |
Image:FD_e_mu.jpg | FD_e_mu.jpg |
Image:Krystal.pdf | krystal.pdf |
Image:Krystal2.pdf | krystal2.pdf |
Image:Procesyr.pdf | procesyr.pdf |
Image:Hgraf.pdf | hgraf.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02TSFA} \index{rovnováha, systému o více fázích}\section{Rovnováha systému o více fázích} Mějme systém o $f$ fázích (fáze nejsou jen skupenství) a $k$ komponentách. $k$ je rovno počtu látek mínus počtu reakcí mezi nimi. Zaveďme si následující označení: \bigskip \begin{center} \begin{tabular}[t]{rcl} horní index $\faze{r}$ & $\dots$ & fáze \ \ $(r = 1,...,f)$\\ dolní index $\kompo{j}$ & $\dots$ & komponenta (látka) systému \ \ $(j = 1,...,k)$\\ \end{tabular} \end{center} \bigskip Potom: $$U(S\faze{k},V\faze{l},n\kompo{1}\faze{m},\ldots, n\kompo{k}\faze{n}) = \suma{r = 1}{f} U\faze{r}(S\faze{r},V\faze{r},n\kompo{1}\faze{r},\ldots, n\kompo{k}\faze{r})$$ $$dU \faze{r} = T \faze{r} dS \faze{r} - p \faze{r} dV \faze{r} + \suma{j=1}{k} \mu \kompo{j} \faze{r} dn \kompo{j}\faze{r}$$ podmínky rovnováhy - celkový objem, entropie a množství jednotlivých komponent je konstantní: $$dV = \suma{r=1}{f} dV \faze{r} = 0 $$ $$dS=\suma{r=1}{f} dS \faze{r} = 0 $$ $$\suma{r=1}{f} dn \faze{r} \kompo{j} = 0 \qquad \qquad \forall j \in \hat{k}$$ \bigskip Tedy hledáme minimum $U$ vázané na uvedené podmínky. To vede na vázané extrémy. Označme Lagrangeovy multiplikátory k předchozím $k+2$ podmínkám: $-\lambda_S,+\lambda_V,-\lambda_1,\ldots,-\lambda_k$. Pro minimum tak získáváme vztah \bigskip \begin{center} \begin{tabular}{l@{[}r@{$\,$}c@{$\,$}l@{] $d$}l@{$+\ldots+ [$}r@{$\,$}c@{$\,$}l@{] $d$}l@{$\,$}lll} &$T\faze{1}$ &$-$& $\lambda_S$&$S\faze{1}$ &$T\faze{f}$ &$-$& $\lambda_S$&$S\faze{f}$ &$+$& \\ $+$&$-p\faze{1}$ &$+$& $\lambda_V$&$V\faze{1}$ &$-p\faze{f}$ &$+$& $\lambda_V$&$V\faze{f}$ &$+$& \\ $+$&$\mu\kompo{1}\faze{1}$ &$-$& $\lambda_1$&$n\kompo{1}\faze{1}$ &$\mu\kompo{1}\faze{f}$ &$-$& $\lambda_1$&$n\kompo{1}\faze{f}$&$+$& \\ $+$&$\mu\kompo{k}\faze{1}$ &$-$& $\lambda_k$&$n\kompo{k}\faze{1}$ &$\mu\kompo{k}\faze{f}$ &$-$& $\lambda_k$&$n\kompo{k}\faze{f}$&$=$& 0 \end{tabular} \end{center} \bigskip Protože jsou již všechny vedlejší podmínky započtené, musíme považovat všechny diferenciály za nezávislé. $$T \faze{1} = T \faze{2} = \dots = T \faze{f} = \lambda _S$$ $$p \faze{1} = p \faze{2} = \dots = p \faze{f} = \lambda _V$$ $$\mu \faze{1}\kompo{1} = \mu \faze{2}\kompo{1} = \dots = \mu \faze{f} \kompo{1} = \lambda _1$$ $$\vdots$$ $$\mu \faze{1}\kompo{k} = \mu \faze{2}\kompo{k} = \dots = \mu \faze{f} \kompo{k} = \lambda _k$$ Tj. fáze jsou v rovnováze při stejné teplotě a tlaku a stejných chemických potenciálech jednotlivých složek. Každý chemický potenciál $\mu \kompo{j}$ je funkcí teploty a tlaku (jež jsou společné pro všechny komponenty a fáze) a $k - 1$ nezávislých koncentrací v každé fázi. Koncentrace jednotlivých fází totiž splňují normovací podmínku $$\suma{j=1}{k}c \kompo{j} \faze{r} = 1$$ pro $\forall r \in \hat{f}$. Celkový počet nezávislých proměnných je tedy roven $2 + (k - 1)f$. Soustava výše uvedených podmínek představuje při daných $p$ a $T$ celkem $(f - 1)k$ nezávislých rovnic. Ze staré dobré algebry ovšem víme, jaká je podmínka řešitelnosti takové soustavy: $$(f - 1)k \leq 2 + (k - 1)f$$ neboli $$f \leq k + 2$$ Tato nerovnost praví, že v heterogenním systému obsahujícím $k$ nezávislých komponent může být v rovnováze nejvýše $k + 2$ fází. Tento výsledek je znám pod názvem \index{pravidlo, Gibbsovo fázové}\emph{Gibbsovo fázové pravidlo}. Působí-li v systému více zobecněných sil, mění se tento vztah na $$f \leq k + 1 + q$$ kde $q$ je počet těchto sil. \bigskip Je-li počet fází menší než $k + 2$, pak může být $n = k + 2 - f$ proměnných ve stavu rovnováhy libovolné hodnoty. Těchto $n$ proměnných může mít libovolné hodnoty aniž se naruší termodynamická rovnováha. Proto se číslo $n$ nazývá \emph{počtem termodynamických stupňů volnosti}. \bigskip Vezměme nyní jednokomponentový systém $(k = 1)$. Potom platí, že $f \leq 3$, tj takový systém může mít v rovnováze najednou nejvýše tři fáze, přičemž má-li fázi jednu, jsou dva stupně volnosti, má-li fáze dvě, pak je jeden stupeň volnosti a má-li všechny tři fáze, nemá stupeň volnosti žádný. Dejme tomu, že $f = 2$ a systém má jeden stupeň volnosti. Poněvadž jde o jednokomponentový systém, nezávisí chemické potenciály na koncentracích a soustava rovnovážných rovnic pro $\mu$ se redukuje na jedinou: $$\mu \faze{1} (p, T) = \mu \faze{2} (p, T)$$ Index označující komponentu zde nepíšeme --- stejně je jenom jedna. Tato rovnice ovšem spojuje tlak a teplotu, tj. jde o implicitně zadanou funkci $$p = p( T )$$ Rovnováhu dvou fází pak lze vyjádřit v $p - T$ diagramu jako křivku, jež se nazývá \index{křivka, fázové rovnováhy}\emph{křivka fázové rovnováhy} (viz obrázek). Body ležící po obou stranách křivky představují různé fáze (kapalina, plyn). \bigskip V jednokomponentovém systému mohou být současně pouze tři fáze. Soustava rovnic pak vypadá takto: $$\mu \faze{1} (p, T) = \mu \faze{2} (p, T) = \mu \faze{3} (p, T)$$ Což popisuje dvě fázové křivky: $$p_1 = p_1( T )$$ $$p_2 = p_2( T )$$ Průsečík křivek se nazývá \index{bod, trojný}\emph{trojný bod} a pouze v tomto bodě mohou existovat všechny tři fáze současně. Pro názornost: trojný bod chemicky čisté vody je charakterizován souřadnicemi $$p = 0,006\,\text{atm}$$ $$T = 0,0078\,^\circ\text{C}$$ \begin{center} \includegraphics{ptdiag.pdf} \end{center}