02TSFA:Kapitola14: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
(Založena nová stránka: %\wikiskriptum{02TSFA} \section {Další termodynamické veličiny} \subsection{Tepelná kapacita} Dodáváme-li během nějakého procesu $(L)$ do systému teplo, měn...)
 
(zjednodušení, přidané poznámky)
Řádka 3: Řádka 3:
 
   
 
   
 
\subsection{Tepelná kapacita}
 
\subsection{Tepelná kapacita}
   
+
  \label{chap:TepKap}
 
Dodáváme-li během nějakého procesu $(L)$ do systému teplo, mění se obecně  
 
Dodáváme-li během nějakého procesu $(L)$ do systému teplo, mění se obecně  
 
jeho teplota. Množství tepla, které je třeba při daném procesu dodat, aby
 
jeho teplota. Množství tepla, které je třeba při daném procesu dodat, aby
Řádka 10: Řádka 10:
 
$$C_{(L)} = \termderiv{Q}{T}{(L)}$$
 
$$C_{(L)} = \termderiv{Q}{T}{(L)}$$
 
   
 
   
Podotkněme, že se zabýváme pouze kvazistatickými procesy. Jelikož teplo není
+
Připomeňme, že se zabýváme pouze kvazistatickými procesy. Jelikož teplo není
 
úplným diferenciálem, záleží na tom, o jaký proces se jedná. Bez určení
 
úplným diferenciálem, záleží na tom, o jaký proces se jedná. Bez určení
 
procesu $(L)$ nemá pojem tepelné kapacity vůbec smysl.  
 
procesu $(L)$ nemá pojem tepelné kapacity vůbec smysl.  
Řádka 69: Řádka 69:
 
Pro derivace tepelných kapacit platí následující vztahy:
 
Pro derivace tepelných kapacit platí následující vztahy:
 
   
 
   
$$\termderiv{C_V}{V}{T} = \pderivx{}{V}\left( T\termderiv{S}{T}{V} \right)_T = T \pderivxy{S}{V}{T} = $$
+
 
$$ = T\pderivxy{S}{T}{V} = T\left(\pderivx{}{T}\termderiv{S}{V}{T}\right)_V$$
+
$$\termderiv{C_V}{V}{T} = -\pderivx{}{V}\left[T\left(\pderivxx{F}{T}\right)_{V}\right]_T = -T\left[\pderivxx{}{T}\termderiv{F}{V}{T}\right]_V = T\left(\pderivxx{p}{T}\right)_V$$
\bigskip
+
\bigskip
 +
Při odvození jsme použili  Maxwellových vztahů a za $C_V$ jsem dosadili
 +
 
 +
$$C_V = T\termderiv{S}{T}{V}$$
 +
 
 +
 
 +
Zcela analogickým postupem dostaneme
 
   
 
   
Zde použijeme Maxwellových vztahů. Podle výše uvedené mnemotechnické pomůcky platí
+
$$\termderiv{C_p}{p}{T} =  -\pderivx{}{p}\left[T\left(\pderivxx{G}{T}\right)_{p}\right]_T = -T\left(\pderivxx{V}{T}\right)_p$$
+
$$\termderiv{S}{V}{T} = \djac{S}{T}{V}{T}  \underbrace{=}_\text{Vzhůru nohama!}
+
  \djac{V}{p}{V}{T} = \djac{p}{V}{T}{V} = \termderiv{p}{T}{V}$$
+
\bigskip
+
   
+
a pak
+
+
$$\termderiv{C_V}{V}{T} = \dots = T\pderivx{}{T}\termderiv{S}{V}{T} =
+
  T\pderivx{}{T}\termderiv{p}{T}{V} = T\left(\pderivxx{p}{T}\right)_V$$
+
\bigskip
+
+
Zcela analogickým postupem dostaneme
+
+
$$\termderiv{C_p}{p}{T} = -T\left(\pderivxx{V}{T}\right)_p$$
+
 
\bigskip   
 
\bigskip   
 
   
 
   
 +
Tyto dva vztahy nám říkají že závislost $C_V, C_p$ na vnějších parametrech se dá určit ze stavové rovnice. Závislost na $T$ se ze stavové rovnice určit nedá. 
 +
 +
 
Definujme ještě další termodynamické veličiny:
 
Definujme ještě další termodynamické veličiny:
 
   
 
   
 
\index{roztažnost, izobarická}\subsection {Izobarická roztažnost}
 
\index{roztažnost, izobarická}\subsection {Izobarická roztažnost}
 
$$\beta _p=\frac{1}{V}\termderiv{V}{T}{p}$$
 
$$\beta _p=\frac{1}{V}\termderiv{V}{T}{p}$$
   
+
  Takže při konstantním tlaku přibližně platí
   
+
 
 +
$$V \approx V_0(1+\beta_p \Delta T)$$
 +
Podobně i pro další veličiny.
 +
 
 
\index{roztažnost, izoentropická}\subsection{Izoentropická (adiabatická) roztažnost}
 
\index{roztažnost, izoentropická}\subsection{Izoentropická (adiabatická) roztažnost}
 
$$\beta _S=\frac{1}{V}\termderiv{V}{T}{S}$$
 
$$\beta _S=\frac{1}{V}\termderiv{V}{T}{S}$$

Verze z 7. 9. 2010, 13:36

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02TSFA

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02TSFAAdmin 1. 8. 201011:52
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201514:48
Header editovatHlavičkový souborKarel.brinda 27. 1. 201121:47 header.tex
Kapitola1 editovatMatematický aparátTomas 7. 9. 201013:10 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatStatistický popis složitých soustavKrasejak 27. 6. 201413:56 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatStatistický soubor a rozdělovací funkceKrasejak 27. 6. 201414:15 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatNejpravděpodobnější rozděleníKrasejak 29. 3. 201403:23 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatPartiční funkce systému a jeho podsystémůKrasejak 29. 3. 201404:02 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatMikrokanonický souborKubuondr 18. 3. 201710:50 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatKanonický souborMaresj23 5. 1. 201412:23 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatGrandkanonický souborKubuondr 11. 3. 201710:04 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatEkvivalence statistických souborůKunzmart 12. 7. 202101:40 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatPrincipy termodynamikyKrasejak 29. 3. 201403:29 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatTermodynamické potenciályKunzmart 12. 7. 202104:41 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatZávislost termodynamických potenciálů na látkovém množstvíKrasejak 29. 3. 201403:33 kapitola12.tex
Kapitola13 editovatVztahy mezi derivacemi termodynamických veličinBatysfra 30. 8. 201115:22 kapitola13.tex
Kapitola14 editovatDalší termodynamické veličinyTomas 7. 9. 201015:53 kapitola14.tex
Kapitola15 editovatKvantověmechanický harmonický oscilátorKubuondr 29. 5. 201714:21 kapitola15.tex
Kapitola16 editovatMěření Poissonovy konstantyAdmin 1. 8. 201011:47 kapitola16.tex
Kapitola17 editovatTermodynamika směsí různých látekTomas 7. 9. 201013:38 kapitola17.tex
Kapitola18 editovatVratné a nevratné procesyKubuondr 26. 5. 201713:32 kapitola18.tex
Kapitola19 editovatUstálení dynamické rovnováhyTomas 7. 9. 201013:40 kapitola19.tex
Kapitola20 editovatDůsledky podmínek rovnováhyKubuondr 15. 4. 201709:26 kapitola20.tex
Kapitola21 editovatRovnováha systému o více fázíchTomas 7. 9. 201015:23 kapitola21.tex
Kapitola22 editovatKlasifikace fázových přechodůChladjar 14. 9. 202015:32 kapitola22.tex
Kapitola23 editovatJoule-Thompsonův pokusTomas 7. 9. 201019:43 kapitola23.tex
Kapitola24 editovatTermodynamické nerovnostiKarel.brinda 6. 2. 201121:44 kapitola24.tex
Kapitola25 editovatNarušení rovnováhy (Braun-Le Chatelierův princip)Tomas 7. 9. 201013:46 kapitola25.tex
Kapitola26 editovatStatistická rozdělení soustavy volných částicChladjar 15. 9. 202011:40 kapitola26.tex
Kapitola27 editovatOdvození termodynamiky IP statistickými metodamiKubuondr 27. 5. 201716:58 kapitola27.tex
Kapitola28 editovatFotonový plyn a záření absolutně černého tělesaGroveond 1. 7. 201421:35 kapitola28.tex
Kapitola29 editovatModely krystalůChladjar 17. 9. 202018:19 kapitola29.tex
Kapitola30 editovatJiný statistický přístup — kinetická teorieTomas 15. 2. 201100:22 kapitola30.tex
Kapitola31 editovatOtázky ke zkoušce z TSFAdmin 1. 8. 201011:51 kapitola31.tex
Kapitola32 editovatReferenceTomas 7. 9. 201013:54 reference.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:Gauss.pdf Gauss.pdf
Image:Fcel1.pdf fcel1.pdf
Image:2krabab.pdf 2krabab.pdf
Image:Transw.pdf transw.pdf
Image:Syst.pdf syst.pdf
Image:3pt.pdf 3pt.pdf
Image:Cholesctv.pdf Cholesctv.pdf
Image:Oscpot.pdf Oscpot.pdf
Image:Spins.pdf spins.pdf
Image:Spins2.pdf spins2.pdf
Image:Spins3.pdf spins3.pdf
Image:Spins4.pdf spins4.pdf
Image:Ptdiag.pdf ptdiag.pdf
Image:Joulthom.pdf joulthom.pdf
Image:Trirozd.pdf trirozd.pdf
Image:FD_e_mu.jpg FD_e_mu.jpg
Image:Krystal.pdf krystal.pdf
Image:Krystal2.pdf krystal2.pdf
Image:Procesyr.pdf procesyr.pdf
Image:Hgraf.pdf hgraf.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02TSFA}
\section {Další termodynamické veličiny}
 
\subsection{Tepelná kapacita}
 \label{chap:TepKap}
Dodáváme-li během nějakého procesu $(L)$ do systému teplo, mění se obecně 
jeho teplota. Množství tepla, které je třeba při daném procesu dodat, aby
se teplota změnila o jeden stupeň, nazýváme \index{kapacita, tepelná}\emph{tepelná kapacita} a značíme
 
$$C_{(L)} = \termderiv{Q}{T}{(L)}$$
 
Připomeňme, že se zabýváme pouze kvazistatickými procesy. Jelikož teplo není
úplným diferenciálem, záleží na tom, o jaký proces se jedná. Bez určení
procesu $(L)$ nemá pojem tepelné kapacity vůbec smysl. 
 
Libovolnou tepelnou kapacitu můžeme snadno vypočítat, známe-li entropii. \\
Vezmeme-li totiž nějakou zatím blíže neurčenou proměnnou $L$, pak platí, že
 
$$dS = \frac{\eth Q}{T} \qquad \Rightarrow \qquad \eth Q = T \termderiv{S}{T}{L}dT + 
T\termderiv{S}{L}{T}dL$$
\bigskip
 
a zároveň
 
$$\eth Q = \termderiv{Q}{T}{L}dT + \termderiv{Q}{L}{T}dL$$
\bigskip
 
Jelikož ale $L$ je konstantní a tudíž $dL = 0$, platí, že
 
$$C_{(L)} = \termderiv{Q}{T}{L} = T\termderiv{S}{T}{L}$$
\bigskip
 
Vezměme nejprve izochorickou tepelnou kapacitu ($dV = 0$). Protože
 
$$\eth Q = dU + \eth W = \termderiv{U}{T}{V}dT \+ 
   \left[ p \+ \termderiv{U}{V}{T} \right] \overbrace{dV}^0$$
 
platí, že
 
$$C_V = \termderiv{Q}{T}{V} = \termderiv{U}{T}{V}$$
 
\bigskip
 
Nyní zapišme izobarickou tepelnou kapacitu ($dp = 0$). Využijme faktu, že 
ze stavové rovnice je možné napsat objem jako funkce tlaku a teploty
a aplikujme pravidlo řetězení. Potom máme:
 
$$dV = \termderiv{V}{T}{p}dT \+ \termderiv{V}{p}{T} \overbrace{dp}^0 =
     \termderiv{V}{T}{p}dT$$
 
 
$$\eth Q = dU + \eth W = \termderiv{U}{T}{V}dT \+ 
   \left[ p + \termderiv{U}{V}{T} \right]dV = $$
$$ = \left( \termderiv{U}{T}{V} \+ \left[ p \+ \termderiv{U}{V}{T} \right].
\termderiv{V}{T}{p}\right) dT$$
 
Z čehož plyne, že
 
$$C_p = \termderiv{U}{T}{V} \+ \left[ p \+ \termderiv{U}{V}{T} \right] .
  \termderiv{V}{T}{p}$$
\bigskip
 
Potom dostáváme \index{vztah, Mayerův, zobecněný}\emph{zobecněný Mayerův vztah}
 
$$C_p - C_V = \left[ p + \termderiv{U}{V}{T} \right].\termderiv{V}{T}{p} 
\overbrace{=}^{\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\text{ vztah}} T\termderiv{p}{T}{V}\termderiv{V}{T}{p}$$
\bigskip
 
Pro derivace tepelných kapacit platí následující vztahy:
 
 
$$\termderiv{C_V}{V}{T} = -\pderivx{}{V}\left[T\left(\pderivxx{F}{T}\right)_{V}\right]_T = -T\left[\pderivxx{}{T}\termderiv{F}{V}{T}\right]_V = T\left(\pderivxx{p}{T}\right)_V$$
 \bigskip
Při odvození jsme použili  Maxwellových vztahů a za $C_V$ jsem dosadili
 
$$C_V = T\termderiv{S}{T}{V}$$
 
 
 Zcela analogickým postupem dostaneme
 
$$\termderiv{C_p}{p}{T} =  -\pderivx{}{p}\left[T\left(\pderivxx{G}{T}\right)_{p}\right]_T = -T\left(\pderivxx{V}{T}\right)_p$$
\bigskip  
 
Tyto dva vztahy nám říkají že závislost $C_V, C_p$ na vnějších parametrech se dá určit ze stavové rovnice. Závislost na $T$ se ze stavové rovnice určit nedá.  
 
 
Definujme ještě další termodynamické veličiny:
 
\index{roztažnost, izobarická}\subsection {Izobarická roztažnost}
$$\beta _p=\frac{1}{V}\termderiv{V}{T}{p}$$
 Takže při konstantním tlaku přibližně platí
 
$$V \approx  V_0(1+\beta_p \Delta T)$$
 Podobně i pro další veličiny. 
 
\index{roztažnost, izoentropická}\subsection{Izoentropická (adiabatická) roztažnost}
$$\beta _S=\frac{1}{V}\termderiv{V}{T}{S}$$
 
 
\index{stlačitelnost, izotermická}\subsection{Izotermická stlačitelnost}
$$\varepsilon _T=-\frac{1}{V}\termderiv{V}{p}{T}$$
 
\index{stlačitelnost, izoentropická}\subsection{Izoentropická (adiabatická) stlačitelnost}
$$\varepsilon _S=-\frac{1}{V}\termderiv{V}{p}{S}$$
 
\index{rozpínavost, izochorická}\subsection{Izochorická rozpínavost}
$$\gamma _V= \frac{1}{p}\termderiv{p}{T}{V}$$