02TFpriklady:Kapitola5: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Řádka 710: | Řádka 710: | ||
} | } | ||
− | + | %% | |
− | \priklad{5. | + | %% Autor postupu: Vašek Potoček |
+ | %% | ||
+ | \priklad{5.55}{ | ||
Najděte proměnné akce -- úhel v případě harmonického oscilátoru, | Najděte proměnné akce -- úhel v případě harmonického oscilátoru, | ||
$$H = \frac12(p^2 + \omega^2q^2).$$ | $$H = \frac12(p^2 + \omega^2q^2).$$ |
Verze z 26. 1. 2011, 01:24
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02TFpriklady
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02TFpriklady | Admin | 4. 9. 2015 | 11:33 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:47 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Admin | 21. 6. 2011 | 07:34 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Newtonova mechanika | Krasejak | 20. 6. 2014 | 23:59 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Lagrangeův formalismus | Nemecfil | 29. 1. 2017 | 19:59 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Základní úlohy mechaniky | Admin | 1. 8. 2010 | 11:32 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Základní principy mechaniky | Admin | 1. 8. 2010 | 11:32 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Hamiltonův formalismus | Tichaond | 12. 3. 2014 | 17:31 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Admin | 1. 8. 2010 | 11:34 | kapitola6.tex | ||
Kapitola7 | editovat | Speciální teorie relativity | Krasejak | 21. 6. 2014 | 01:27 | kapitola7.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02TFpriklady} \section{Kapitola 5: Hamiltonův formalismus} \priklad{5.2}{ Napište Hamiltonovu funkci volného hmotného bodu v~kartézských, sférických a cylindrických souřadnicích. }{ Hamiltonova funkce v~obecných souřadnicích je definovaná takto $$H(p_{j} ,q_{j} ,t)=\sum _{j}p_{j} {\; }\dot{q}_{j} {-}L(q_{j} {,} \dot{q}_{j} ,t)$$ kde v~našem případě platí $$p_{j} {=}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j} } $$ (a) kartézské souřadnice $$L=\frac{1}{2} m(\dot{x}^{2} +\dot{y}^{2} +\dot{z}^{2} )-U(x,y,z)$$ odkud $$\begin{array}{l} {p_{x} {=}m\dot{x}} \\ {p_{y} {=}m\dot{y}} \\ {p_{z} { =}m\dot{z}} \end{array}$$ a zpětně si vyjádříme časové derivace souřadnice $$\begin{array}{l} {\dot{x}=\frac{1}{m} p_{x} } \\ {\dot{y}=\frac{1}{m} p_{y} } \\ {\dot{z}=\frac{1}{m} p_{z} } \end{array}$$ takže Hamiltonova funkce dostane tvar $$H=\frac{1}{m} \sum _{j{\; }\in {\; }\{ x,y,z\} }p_{j} ^{2} {-}\frac{1}{2} m({\textstyle\frac{1}{m}} p_{j} )^{2} +U(x,y,z)=\frac{1}{2m} \sum _{j{\; }\in {\; }\{ x,y,z\} }p_{j} ^{2} +U(x,y,z)$$ (b) polární souřadnice $$L=\frac{1}{2} m(\dot{r}^{2} +r^{2} \dot{\varphi }^{2} \sin ^{2} \theta +r^{2} \dot{ \theta }^{2} )-U(r,\varphi ,\theta )$$ odkud $$p_{r} {=}\frac{\partial L}{\partial \dot{r}} =m\dot{r}$$ $$p_{\varphi } {=}\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi }} =mr^{2} \dot{\varphi }\sin ^{2} \theta $$ $$p_{\theta } {=}\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta }} =mr^{2} \dot{\theta }$$ a zpětně $$\dot{r}={\textstyle\frac{1}{m}} p_{r} $$ $$\dot{\varphi }{=}\frac{1}{mr^{2} \sin ^{2} \theta } p_{\varphi } $$ $$\dot{\theta }=\frac{1}{mr^{2} } p_{\theta } $$ Hamiltonova funkce poté dostane tvar $$H=\frac{1}{2m} \left(p_{r} ^{2} +\frac{p_{\varphi } ^{2} }{r^{2} } +\frac{p_{\theta } ^{2} }{r^{2} \sin ^{2} \theta } \right)+U(r,\varphi ,\theta )$$ (c) cylindrické souřadnice $$L=\frac{1}{2} m(\dot{r}^{2} +r^{2} \dot{\varphi }^{2} +\dot{z}^{2} )-U(r,\varphi ,z)$$ odkud dostaneme $$p_{r} {=}\frac{\partial L}{\partial \dot{r}} =m\dot{r}$$ $$p_{\varphi } {=}\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi }} =mr^{2} \dot{\varphi }$$ $$p_{z} {=}\frac{\partial L}{\partial \dot{z}} =m\dot{z}$$ zpětně si vyjádříme $$\dot{r}=\frac{1}{m} p_{r} $$ $$\dot{\varphi }=\frac{1}{mr^{2} } p_{\varphi } $$ $$\dot{z}=\frac{1}{m} p_{z} $$ a Hamiltonova funkce dostává tvar $$H=\frac{1}{2m} \left(p_{r} ^{2} +\frac{p_{\varphi } ^{2} }{r^{2} } +p_{z} ^{2} \right)+U(r,\varphi ,z)$$ } \priklad{5.3}{ Sestavte Hamiltonovy rovnice pro pohyb volného hmotného bodu v poli konzervativních sil (v kartézských souřadnicích) a ukažte, že získané rovnice jsou ekvivalentní s rovnicemi Newtonovými. }{ Hamiltonovy rovnice jsou dány vztahy $$\dot{q}_{j} =\frac{\partial H}{\partial p_{j} } $$ $$\dot{p}_{j} =-\frac{\partial H}{\partial q_{j} } $$ uplatníme tedy znalost Hamiltonovy funkce v kartézských souřadnicích (viz předchozí příklad) $$H=\frac{1}{2m} (p_{1} ^{2} +p_{2} ^{2} +p_{3} ^{2} )+U(x_{1} ,x_{2} ,x_{3} )$$ a po dosazení do výše zmíněných rovnic dostaneme, že pro $j{\; } \in {\; }\hat{3}$ platí $$\dot{x}_{j} =\frac{\partial H}{\partial p_{j} } =\frac{1}{m} p_{j} $$ což se dalo očekávat neb se jedná o hybnost a z druhé rovnosti dostaneme při použití prvního výsledku $$\dot{p}_{j} =m\ddot{x}_{j} =-\frac{\partial H}{\partial x_{j} } =-\frac{\partial U}{\partial x_{j} } $$ a zapíšeme-li tuto rovnici vektorově, dostáváme výsledek $$\dot{\vec{p}}=-\nabla U$$ } \priklad{5.4}{ Napište Hamiltonovu funkci harmonického oscilátoru. }{ Lagrangeova funkce harmonického oscilátoru má tvar $$L=\frac{1}{2} m\dot{x}^{2} -\frac{1}{2} kx^{2} $$ Hamiltonovu funkci dostaneme použitím $$H=\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \dot{x}-L=\frac{1}{2} m\dot{x}^{2} +\frac{1}{2} kx^{2} $$ a po dosazení výrazu $$\dot{x}=\frac{1}{m} p$$ obdržíme Hamiltonovu funkci $$H(x,p)=\frac{1}{2m} p^{2} +\frac{1}{2} kx^{2} $$ } \priklad{5.5}{ Sestavte Hamiltonovy rovnice pro pohyb volného hmotného bodu pod vlivem centrální síly s potenciálem U(r) ve sférických souřadnicích. Určete integrály pohybu. }{ Hamiltonova funkce v sférických souřadnicích má tvar $$H=\frac{1}{2m} \left(p_{r} ^{2} +\frac{p_{\varphi } ^{2} }{r^{2} } +\frac{p_{\theta } ^{2} }{r^{2} \sin ^{2} \theta } \right)+U(r)$$ Hamiltonovy rovnice $$\dot{r}=\frac{\partial H}{\partial p_{r} } =\frac{p_{r} }{m} $$ $$\dot{\varphi }=\frac{\partial H}{\partial p_{\varphi } } =\frac{p_{\varphi } }{mr^{2} } $$ $$\dot{\theta }=\frac{\partial H}{\partial p_{\theta } } =\frac{p_{\theta } }{mr^{2} \sin ^{2} \theta } $$ $$\dot{p}_{r} =-\frac{\partial H}{\partial r} =\frac{p_{\varphi } ^{2} }{mr^{3} } +\frac{p_{\theta } ^{2} }{mr^{3} \sin ^{2} \theta } -\frac{\partial U}{\partial r} $$ $\dot{p}_{ \varphi } =-\frac{\partial H}{\partial \varphi } =0$ integrál pohybu $$\dot{p}_{\theta } =-\frac{\partial H}{\partial \theta } =\frac{p_{\theta } ^{2} }{mr^{2} } \frac{\cos \theta }{\sin ^{3} \theta } $$ 5.6 Hmotný bod m je vázán na válcovou plochu $x^{2} +y^{2} =R^{2} $ a pohybuje se pod vlivem centrální elastické síly $\vec{F}=-k\dot{\vec{r}}$ . Určete Hamiltonovu funkci, sestavte Hamiltonovy rovnice a řešte je (v cylindrických souřadnicích). Hamiltonova funkce volného hmotného bodu v cylindrických souřadnicích (viz příklad 5.2) je dána vztahem $$H=\frac{1}{2m} \left(p_{r} ^{2} +\frac{p_{\varphi } ^{2} }{r^{2} } +p_{z} ^{2} \right)+U(r,\varphi ,z)$$ kde ovšem r = R = konst a $U(r,\varphi ,z)=U(z)=\frac{1}{2} k(\underbrace{x^{2} +y^{2} }_{R^{2} }+z^{2} )=\frac{1}{2} k(R^{2} +z^{2} )$ mějme tedy tuto Hamiltonovu funkci s přesností na konstantu $$H=\frac{1}{2m} \left(\frac{p_{\varphi } ^{2} }{R^{2} } +p_{z} ^{2} \right)+\frac{1}{2} kz^{2} $$ Hamiltonovy pohybové rovnice mají tvar $\dot{p}_{\varphi } =-\frac{\partial H}{\partial \varphi } =0$ integrál pohybu $$\dot{p}_{z} =-\frac{\partial H}{\partial z} =-kz$$ $$\dot{z}=\frac{\partial H}{\partial p_{z} } =\frac{1}{m} p_{z} {\; }odkud{ \; }p_{z} =m\dot{z}\_ $$ $$\dot{\varphi }=\frac{\partial H}{\partial p_{\varphi } } =\frac{1}{mR^{2} } p_{ \varphi } {\; }odkud{\; }p_{\varphi } =mR^{2} \dot{\varphi }\_ $$ takže máme tuto soustavu diferenciálních rovnic a po dosazení dostaneme rovnice $$\dot{p}_{z} =m\ddot{z}=-kz$$ $$\dot{p}_{\varphi } =mR^{2} \ddot{\varphi }=0$$ kterou řeší $$z(t)=A\cos (\sqrt{{\textstyle\frac{k}{m}} } t+\delta )$$ $$\varphi (t)=v_{\varphi 0} t+\varphi _{0} $$ } \priklad{5.7}{ Napište Hamiltonovu funkci částice s nábojem e a hmotností m v daném vnějším elektromagnetickém poli s potenciály $\varphi (\vec{r},t),{\; }\vec{A}(\vec{r},t)$. }{ napišme nejprve Lagrangeovu funkci a drobě si ji upravme $$L=\frac{1}{2} m\dot{\vec{r}}^{2} -e(\varphi -\dot{\vec{r}}\vec{A})=\frac{1}{2} m\dot{\vec{r}}^{2} +e\dot{\vec{r}}\vec{A}-e\varphi $$ pomocí obecné hybnosti $$\vec{p}=\frac{\partial L}{\partial \dot{\vec{r}}} =m\dot{\vec{r}}+e\vec{A}$$ odvodíme, že $$\dot{\vec{r}}=\frac{1}{m} (\vec{p}-e\vec{A})$$ nyní na základě Lagrangeovy funkce sestavíme Hamiltonovu funkci tak, že za $\dot{ \vec{r}}$ dosadíme z předešlého vztahu $$H=\vec{p}\dot{\vec{r}}-L=\frac{1}{m} \vec{p}(\vec{p}-e\vec{A})-\frac{1}{2} m\frac{1}{m^{2} } (\vec{p}-e\vec{A})^{2} -\frac{1}{m} (\vec{p}-e\vec{A})e\vec{A}+e\varphi $$ $$H=\frac{1}{2m} \vec{p}^{2} -\frac{e}{m} \vec{p}\vec{A}+\frac{1}{2m} e^{2} \vec{A}^{2} +e\varphi $$ $$H=\frac{1}{2m} (\vec{p}-e\vec{A})^{2} +e\varphi $$ } \priklad{5.8}{ Napište Hamiltonovu funkci částice v neinerciální soustavě souřadné rotující s konstantní úhlovou rychlostí $\vec{\Omega }$. }{ vyjdeme ze vztahu pro energii v neinerciální soustavě $$H=E=\frac{1}{2} m\vec{v}^{2} +U-\vec{p}\times \vec{r}\cdot \vec{\Omega }$$ a dosadíme do něj z výrazu pro hybnost $$\vec{v}=\frac{1}{m} \vec{p}$$ čímž obdržíme $$H=\frac{1}{2m} \vec{p}^{2} +U-\vec{p}\times \vec{r}\cdot \vec{\Omega }$$ } \priklad{5.9}{ Najděte Routhovu funkci symetrického setrvačníku ve vnějším poli $U(\varphi , \theta )$, vyloučí-li se cyklická souřadnice $\psi $. }{ vyjdeme z Lagrangeovy funkce $$L=\frac{I_{1} }{2} (\dot{\theta }^{2} +\dot{\varphi }^{2} \sin ^{2} \theta )+\frac{I_{3} }{2} (\dot{\psi }+\dot{\varphi }\cos \theta )^{2} -U(\varphi ,\theta )$$ obecnou hybnost ve směru $\psi $spočítáme z $$p\_ _{\psi } =\frac{\partial L}{\partial \dot{\psi }} =I_{3} (\dot{\psi }+\dot{ \varphi }\cos \theta )$$ a zpětně dostaneme, že $$\dot{\psi }=\frac{1}{I_{3} } p\_ _{\psi } -\dot{\varphi }\cos \theta $$ vyloučíme $\psi $ , tj. Routhovu funkci budeme počítat jako $$R=p_{\psi } \dot{\psi }-L=\frac{1}{I_{3} } p\_ _{\psi } ^{2} -p_{\psi } \dot{\varphi }\cos \theta -\frac{I_{1} }{2} (\dot{\theta }^{2} +\dot{\varphi }^{2} \sin ^{2} \theta )-\frac{I_{3} }{2} (\frac{1}{I_{3} } p\_ _{\psi } -\dot{\varphi }\cos \theta +\dot{ \varphi }\cos \theta )^{2} +U(\varphi ,\theta )$$ $$R=\frac{1}{2I_{3} } p\_ _{\psi } ^{2} -p_{\psi } \dot{\varphi }\cos \theta -\frac{I_{1} }{2} (\dot{\theta }^{2} +\dot{\varphi }^{2} \sin ^{2} \theta )+U(\varphi ,\theta )$$ } \priklad{5.10}{ Odvoďte Hamiltonovu funkci, zvolíte-li za Lagrangeovu funkci výraz }{ $$L=\left[\frac{1}{2} m(\dot{x}+ax)^{2} -\frac{1}{2} m(b^{2} -a^{2} )x^{2} \right]e^{2at} $$ Ukažte, že Hamiltonovy rovnice jsou ekvivalentní rovnici $\ddot{x}+2a\dot{x}+b^{2} x=0$ pro tlumený harmonický oscilátor. vyjádřeme nejprve obecnou hybnost $$p=\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} =m(\dot{x}+ax)e^{2at} $$ odkud zřejmě $$\dot{x}=\frac{e^{-2at} }{m} p-ax$$ sestavme Hamiltonovu funkci $$H=\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \dot{x}-L=\left[m(\dot{x}+ax)\dot{x}-\frac{1}{2} m(\dot{x}+ax)^{2} +\frac{1}{2} m(b^{2} -a^{2} )x^{2} \right]e^{2at} $$ $$H=\frac{1}{2} m\left[\dot{x}^{2} -2a^{2} x^{2} +b^{2} x^{2} \right]e^{2at} $$ a dosaďme sem za $\dot{x}$ $$H=\frac{1}{2} m\left[(\frac{e^{-2at} }{m} p-ax)^{2} -2a^{2} x^{2} +b^{2} x^{2} \right]e^{2at} $$ $$H=\frac{1}{2} m\left[\frac{e^{-4at} }{m^{2} } p^{2} -2\frac{e^{-2at} }{m} pax+a^{2} x^{2} -2a^{2} x^{2} +b^{2} x^{2} \right]e^{2at} $$ $$H=\frac{e^{-2at} }{2m} p^{2} -pax+\frac{1}{2} m(b^{2} -a^{2} )x^{2} e^{2at} $$ Hamiltonovy rovnice $$\dot{x}=\frac{\partial H}{\partial p} =\frac{e^{-2at} }{m} p-ax$$ $$\dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial x} =pa-m(b^{2} -a^{2} )xe^{2at} $$ a když za p dosadíme z první rovnice do druhé dostáváme po provedení operace derivace $$m( \ddot{x}+a\dot{x})e^{2at} +2am(\dot{x}+ax)e^{2at} =am(\dot{x}+ax)e^{2at} -m(b^{2} -a^{2} )xe^{2at} $$ tuto rovnici vydělíme $me^{2at} $ a dostaneme tak $$\ddot{x}+2a\dot{x}+b^{2} x=0$$ } \priklad{5.11}{ Napište pohybové rovnice částice, jejíž Hamiltonova funkce je $H(\vec{r},\vec{k})=c{ \textstyle\frac{\left|\vec{k}\right|}{n(\vec{r},\vec{k})}} $(světelný paprsek s vlnovým vektorem $\vec{k}$). }{ nejprve si uvědomíme, že $$\left|\vec{k}\right|=\sqrt{\vec{k}\vec{k}} =k$$ a tedy Hamiltonovy rovnice budou $$\dot{\vec{r}}=\frac{\partial H}{\partial \vec{k}} =\frac{c\vec{k}}{nk} -\frac{c \vec{k}}{n^{2} } \frac{\partial n}{\partial \vec{k}} $$ $$\dot{\vec{k}}=-\frac{\partial H}{\partial \vec{r}} =\frac{ck}{n^{2} } \frac{\partial n}{\partial \vec{r}} $$ } \priklad{5.12}{ Vypočtěte $\left\{e^{\alpha q} ,e^{\beta p} \right\}$. }{ $$\left\{e^{\alpha q} ,e^{\beta p} \right\}=\frac{\partial e^{\alpha q} }{\partial q} \frac{\partial e^{\beta p} }{\partial p} -\frac{\partial e^{\alpha q} }{\partial p} \frac{\partial e^{\beta p} }{\partial q} =\alpha \beta e^{\alpha q+\beta p} $$ } \priklad{5.15}{ Dokažte, že platí: jsou-li $L_{1} ,{\; }L_{2} $ integrály pohybu, je i $L_{3} $integrálem pohybu. }{ vzhledem k výsledku příkladu 5.13 snadno určíme, že $$\left\{L_{1} ,L_{2} \right\}=\sum _{k}\varepsilon _{12k} L_{k} =L_{3} $$ a tedy zkoumání, je-li $L_{3} $ integrálem pohybu, tj. zda $$\left\{L_{3} ,H\right\}\mathop{=}\limits^{?} 0$$ převedeme na problém $$\left\{\left\{L_{1} ,L_{2} \right\},H\right\}\mathop{=}\limits^{?} 0$$ zde ovšem aplikací Poissonovy věty : "Poissonova závorka dvou integrálů pohybu je opět integrálem pohybu." dostáváme, že předchozí rovnost skutečně platí a otazníček můžeme smazat. což bylo dokázati. } \priklad{5.17}{ Pomocí Poissonovy věty odvoďte další integrál Hamiltonových rovnic v případě hmotného bodu pod vlivem centrální síly v otáčející se soustavě, znáte-li první integrály $v=\sum _{i{\; }\in {\; }\hat{3}}{\textstyle\frac{p_{i} ^{2} }{2m}} +U(r)$a $u=\sum _{i{\; }\in {\; }\hat{3}}{\textstyle\frac{p_{i} ^{2} }{2m}} -\Omega (x_{1} p_{2} -x_{2} p_{1} )+U(r)$. }{ spočítáme tedy nějakou novou funkci (označíme ji w) jako Poissonovu závorku z již známých prvních integrálů pohybu (Poissonova věta) $$w=\left\{u,v\right\}=0{\; }=\sum _{i{\; }\in {\; }\hat{3}}\frac{\partial u}{\partial x_{i} } \frac{\partial v}{\partial p_{i} } -\frac{\partial u}{\partial p_{i} } \frac{\partial v}{\partial x_{i} } =$$ $${\; \; \; }=\left(-\Omega p_{2} +\frac{\partial U}{\partial x_{1} } \right) \frac{p_{1} }{m} -\left(\frac{p_{1} }{m} +\Omega x_{2} \right)\frac{\partial U}{ \partial x_{1} } +\left(\Omega p_{1} +\frac{\partial U}{\partial x_{2} } \right) \frac{p_{2} }{m} -\left(\frac{p_{2} }{m} -\Omega x_{1} \right)\frac{\partial U}{ \partial x_{2} } +\frac{\partial U}{\partial x_{3} } \frac{p_{3} }{m} -\frac{p_{3} }{m} \frac{\partial U}{\partial x_{3} } =$$ $${\; \; \; }=-\Omega x_{2} \frac{\partial U}{\partial x_{1} } +\Omega x_{1} \frac{\partial U}{\partial x_{2} } =0$$ dostali jsme tak další integrál pohybu $${\; \; \; w}=-\Omega x_{2} \frac{\partial U}{\partial x_{1} } +\Omega x_{1} \frac{\partial U}{\partial x_{2} } =0$$ 5.19 Ukažte, že transformace $Q_{j} =p_{j} $ , $P_{j} =-q_{j} $ je kanonická. budeme zkoumat, zda-li existuje taková funkce F, která splňuje rovnici $$\sum _{j}P_{j} dQ_{j} -p_{j} dq_{j} {\; =dF}$$ to jest po dosazení $$\sum _{j}-q_{j} dp_{j} -p_{j} dq_{j} {\; =dF}$$ odkud je rovnou vidět, že $$-d\left(\sum _{j}q_{j} p_{j} \right){=dF}$$ $$-2\sum _{j}q_{j} p_{j} {=F}$$ takže se nám to ukázat podařilo. } \priklad{5.20}{Ukažte, že kanonická transformace $(x_{1} ,x_{2} ,x_{3} ,p_{1} ,p_{2} ,p_{3} )\to (R,\varphi ,z,P_{R} ,P_{\varphi } ,P_{z} )$ s vytvořující funkcí $F_{2} =\sqrt{x_{1} ^{2} +x_{2} ^{2} } P_{R} +(arctg{\textstyle\frac{x_{2} }{x_{1} }} )P_{\varphi } +x_{3} P_{z} $ převádí souřadnice kartézské na cylindrické. }{ ze vztahů $$p_{i} =\frac{\partial F_{2} }{\partial x_{i} } {\; }kde{\; }i{\; } \in {\; }\hat{3}$$ $$P_{i} =-\frac{\partial F_{2} }{\partial i} {\; }kde{\; }i{\; }\in { \; \{ R,}\varphi ,z{\} }$$ dostaneme po dosazení za $F_{2} $soustavu vztahů $$p_{1} =\frac{\partial F_{2} }{\partial x_{1} } {=}\frac{{x}_{{1}} }{ \sqrt{{x}_{{1}} ^{2} +x_{2} ^{2} } } P_{R} -\frac{x_{2} }{\sqrt{{x}_{{ 1}} ^{2} +x_{2} ^{2} } } P_{\varphi } $$ $$p_{2} =\frac{\partial F_{2} }{\partial x_{2} } {=}\frac{{x}_{{1}} }{ \sqrt{{x}_{{1}} ^{2} +x_{2} ^{2} } } P_{R} +\frac{x_{1} }{\sqrt{{x}_{{ 1}} ^{2} +x_{2} ^{2} } } P_{\varphi } $$ $$p_{3} =\frac{\partial F_{2} }{\partial x_{3} } {=}P_{z} $$ $$R=\frac{\partial F_{2} }{\partial P_{R} } {=}\sqrt{{x}_{{1}} ^{2} +x_{2} ^{2} } $$ $$\varphi =\frac{\partial F_{2} }{\partial P_{\varphi } } {=arctg}\frac{{ x}_{{2}} }{{x}_{{1}} } $$ $$z=\frac{\partial F_{2} }{\partial P_{z} } {=x}_{{3}} $$ pomocí nich můžeme též lehce vyjádřit $$\begin{array}{l} {x_{1} =R\cos \varphi } \\ {x_{2} =R\sin \varphi } \\ {x_{3} =z} \end{array}$$ a dosadit do výrazů pro hybnosti, čímž dostaneme $$p_{1} =P_{R} {cos}\varphi -P_{\varphi } \frac{\sin \varphi }{R} $$ $$p_{2} =P_{R} {sin}\varphi +P_{\varphi } \frac{\cos \varphi }{R} $$ $$p_{3} {=}P_{z} $$ } \priklad{5.21}{ Ukažte, že transformace $Q=arctg\left(\sqrt{km} {\textstyle\frac{q}{p}} \right)$, $P={ \textstyle\frac{1}{2}} \left(\sqrt{km} q^{2} +{\textstyle\frac{1}{\sqrt{km} }} p^{2} \right)$je kanonická. Užijte ji k řešení pohybových rovnice harmonického oscilátoru $H={ \textstyle\frac{1}{2m}} p^{2} +{\textstyle\frac{k}{2}} q^{2} $. }{ nejprve vyjádříme souřadnice q,p v závislosti na Q,P $$q=\sqrt{\frac{2P}{\sqrt{km} } } \sin Q$$ $$p=\sqrt{2P\sqrt{km} } \cos Q$$ pro ověření, zda jsou takovéto transformace kanonické se pokusíme nalézt takovou funkci F, která splňuje rovnost $$dF=PdQ-pdq$$ budeme tedy za p a q dosazovat výše napsané vztahy $$dF\mathop{=}\limits^{?} PdQ-\sqrt{2P\sqrt{km} } \cos Q\left(\sqrt{\frac{2P}{\sqrt{km} } } \cos QdQ+\sqrt{\frac{1}{2P\sqrt{km} } } \sin QdP\right)$$ $$dF\mathop{=}\limits^{?} P\left(1-2\cos ^{2} Q\right)dQ-\frac{1}{2} \sin 2QdP$$ použijeme vztahu $2\cos ^{2} Q=1+\cos 2Q$ $$dF\mathop{=}\limits^{?} -P\cos 2QdQ-\frac{1}{2} \sin 2QdP$$ $$dF=d\left(-\frac{1}{2} P\sin 2Q\right)$$ našli jsme tak hledanou funkci, proto je takováto transformace kanonická přetransformujeme ještě Hamiltonovu funkci $$H'={\textstyle\frac{1}{2m}} p^{2} +{\textstyle\frac{k}{2}} q^{2} =\sqrt{\frac{k}{m} } P$$ Hamiltonovy rovnice v nových souřadnicích tedy budou $$\dot{Q}=\frac{\partial H}{\partial P} =\sqrt{\frac{k}{m} } $$ $$\dot{P}=-\frac{\partial H}{\partial Q} =0$$ a tedy $$Q=\sqrt{\frac{k}{m} } t+C_{Q} $$ $$P=C_{P} $$ } \priklad{5.22}{ Ukažte, že transformace $q=-\sqrt{\frac{2Q}{\sqrt{km} } } \sin P$, $p=\sqrt{2Q \sqrt{km} } \cos P$je kanonická. }{ opět budeme hledat nějakou funkci F, která vyhovuje rovnici $$dF=PdQ-pdq$$ tedy $$dF\mathop{=}\limits^{?} PdQ-\sqrt{2Q\sqrt{km} } \cos P\left(-\sqrt{\frac{2}{2Q \sqrt{km} } } \sin P-\sqrt{\frac{2Q}{\sqrt{km} } } \cos PdP\right)$$ $$dF\mathop{=}\limits^{?} PdQ+\sin P\cos PdQ+2Q\cos ^{2} PdP$$ $$dF\mathop{=}\limits^{?} \left(P+\frac{1}{2} \sin 2P\right)dQ+2Q\left(\frac{1+\cos 2P}{2} \right)dP$$ $$dF\mathop{=}\limits^{?} \left(P+\frac{1}{2} \sin 2P\right)dQ+Q\left(1+\cos 2P\right)dP$$ $$dF=d \left(PQ+\frac{1}{2} Q\sin 2P\right)$$ podařilo se nám najít takovou funkci a proto je transformace kanonická. } \priklad{5.23}{ Jaké kanonické transformace určují vytvořující funkce $F_{1} =\frac{1}{2} \sqrt{km} q^{2} \cot gQ$, resp. $F_{3} =-\frac{p^{2} tgQ}{2\sqrt{km} } $? Lze je použít k řešení pohybových rovnic harmonického oscilátoru ? }{ první funkce určuje kanonické transformace dané vztahy $$p=\frac{\partial F_{1} }{\partial q} =\sqrt{km} q\cot gQ$$ $$P=-\frac{\partial F_{1} }{\partial Q} =\frac{1}{2} \sqrt{km} q^{2} \frac{1}{\sin ^{2} Q} =\frac{1}{2} \sqrt{km} q^{2} (1+\cot g^{2} Q)$$ odkud dostaneme závislosti $$tgQ=\sqrt{km} \frac{q}{p} {\; }\Rightarrow {\; }Q=arctg\left(\sqrt{km} \frac{q}{p} \right)$$ $$P=\frac{1}{2} \sqrt{km} q^{2} \left(1+\frac{p^{2} }{q^{2} km} \right){\; =} \frac{{1}}{2} \left(\sqrt{km} q^{2} \frac{1}{\sqrt{km} } p^{2} \right)$$ které jsou identické s kanonickými transformacemi z příkladu 5.21 a lze je tedy použít k řešení pohybových rovnic harmonického oscilátoru druhá funkce určuje kanonické transformace $$q=-\frac{\partial F_{3} }{\partial p} =p\frac{1}{\sqrt{km} } tgQ$$ $$P=-\frac{\partial F_{1} }{\partial Q} =\frac{p^{2} }{2\sqrt{km} } \frac{1}{\cos ^{2} Q} =\frac{p^{2} }{2\sqrt{km} } \left(tg^{2} Q+1\right)$$ odkud dostaneme závislosti $$tgQ=\frac{q}{p} \sqrt{km} {\; }\Rightarrow Q=arctg\left(\frac{q}{p} \sqrt{km} \right)$$ $$P=\frac{p^{2} }{2\sqrt{km} } \left(\frac{q^{2} }{p^{2} } km+1\right)=\frac{1}{2} \left(q^{2} \sqrt{km} +p^{2} \frac{1}{\sqrt{km} } \right)$$ které jsou identické s kanonickými transformacemi z první části tohoto příkladu a tedy i příkladu 5.21 a lze je tedy použít k řešení pohybových rovnic harmonického oscilátoru } \priklad{5.24}{ Uvažujte transformaci $(q,p)\to (Q,P),{\; }Q=q^{\alpha } \cos \beta p,{ \; }P=q^{\alpha } \sin \beta p$. Reálné konstanty $\alpha ,\beta $ je třeba určit tak, aby transformace byla kanonická. Odvoďte též vytvořující funkci F. }{ budeme požadovat, aby pro nějakou funkci F platilo $$dF=PdQ-pdq$$ dosaďme tedy do tohoto výrazu za Q a P $$dF=\alpha q^{2\alpha -1} \sin (\beta p)\cos (\beta p)dq{\; }-{\; }pdq-q^{2 \alpha } \beta \sin ^{2} (\beta p)dp$$ použijeme trigonometrické vzorce a tento vztah upravíme na $$dF=\left(\frac{\alpha }{2} q^{2\alpha -1} \sin (2\beta p)-p\right)dq+\left(\frac{ \beta }{2} q^{2\alpha } \cos (2\beta p)-\frac{\beta }{2} q^{2\alpha } \right)dp$$ abychom mohli napsat $$dF=d(uv)=udv+vdu$$ je třeba, aby se rovnaly intergrály $$\int \frac{\alpha }{2} q^{2\alpha -1} \sin (2\beta p)-p{\; }dq {\; =}\int \frac{\beta }{2} q^{2\alpha } \cos (2\beta p)-\frac{\beta }{2} q^{2\alpha } dp $$ $$\frac{ \alpha }{2} \frac{1}{2\alpha } q^{2\alpha } \sin (2\beta p)-pq{\; =}\frac{\beta }{2} \frac{1}{2\beta } q^{2\alpha } \sin (2\beta p)-\frac{\beta }{2} pq^{2\alpha } $$ tedy krátce $$pq{\; =}\frac{\beta }{2} pq^{2\alpha } $$ odkud plyne, že hledaná reálná čísla jsou $$\begin{array}{l} {\alpha =\frac{1}{2} } \\ {\beta =2} \end{array}$$ a tedy $$dF=\left(\frac{1}{4} \sin (4p)-p\right)dq+\left(q\cos (4p)-q\right)dp$$ $$dF=d\left[\frac{q}{4} \left(\sin (4p)-4p\right)\right]$$ a hledanou vytvořující funkci tak můžeme zapsat jako $$F=\frac{q}{4} \left(\sin (4p)-4p\right)$$ } \priklad{5.25}{ Ukažte, že tyto transformace jsou kanonické(a) $Q=\sqrt{\frac{2q}{K} } \cos p,{\; }P=\sqrt{2qK} \sin p$(b) $Q=\ln \left(\frac{\sin p}{q} \right),{\; }P=q{\; }cotg{\; }p$(c) $Q=\ln \left(1+\sqrt{q} \cos p\right),{\; }P=2(1+ \sqrt{q} \cos p)\sqrt{q} \sin p$ }{ v každém ze tří případů se budeme snažit nalézt nějakou funkci F takovou, že splňuje rovnici $$dF=PdQ-pdq$$ případ (a) $$dF=PdQ-pdq=\sqrt{2Kq} \sin p\left(\frac{1}{2} \sqrt{\frac{2}{Kq} } \cos p{\; }dq-\sqrt{\frac{2q}{K} } \sin p{\; }dp\right)-pdq$$ $$dF=\left(\frac{1}{2} \sin 2p-p\right)dq+q(\cos 2p-1)dp=d\left(\frac{1}{2} q\sin 2p-qp\right)$$ $$F=\frac{1}{2} q\sin 2p-qp$$ případ (b) $$dF=PdQ-pdq=q{\; }\cot g(p){\; }\left(\cot g(p){\; }dp-\frac{1}{q} dq \right)-pdq$$ $$dF=q{\; }\cot g^{2} (p){\; }dp-\cot g(p)dq-pdq$$ $$dF=-d\left[q(\cot g(p)+1)\right]$$ $$F=-q(\cot g(p)+1)$$ případ (c) $$dF=PdQ-pdq=\frac{2(1+\sqrt{q} \cos p)\sqrt{q} \sin p}{1+\sqrt{q} \cos p} \left[ \frac{1}{2\sqrt{q} } \cos p{\; }dq-\sqrt{q} \sin p{\; }dp\right]-pdq$$ $$dF=\left(\frac{1}{2} \sin 2p-p\right)dq+\left(q\cos 2p-q\right)dp$$ $$dF=d\left(\frac{1}{2} q\sin 2p-qp\right)$$ $$F=\frac{1}{2} q\sin 2p-qp$$ } %% %% Autor postupu: Vašek Potoček %% \priklad{5.55}{ Najděte proměnné akce -- úhel v případě harmonického oscilátoru, $$H = \frac12(p^2 + \omega^2q^2).$$ } { Máme soustavu s jedním stupněm volnosti, $s = 1$. Pro integraci nám tedy postačí jeden integrál pohybu, za nějž zvolíme obecnou energii (Hamiltonián). Ve smyslu rovnice U~5.11.11 tedy definujeme $$P_1 = H, \ \alpha_1 = E = {\rm const.}$$ Harmonický oscilátor zřejmě vykonává finitní pohyb, jak je vidět z rovnice \begin{eqnarray*} H &= E \\ \frac12 (p^2 + \omega^2q^2) &= E \\ \frac{p^2}{2E} + \frac{w^2q^2}{2E} &= 1, \end{eqnarray*} varieta vytčená ve fázovém prostoru vztahem $H = E$ pro libovolnou hodnotu energie $E$ je totiž elipsa o poloosách $\sqrt{2E}$ a $\frac{\sqrt{2E}}{\omega}$. Je navíc okamžitě zřejmé, že ve smyslu topologie se jedná o torus $T^1$. Zaveďme dle rovnice U~5.11.12 jednu akční proměnnou $$I(E) := I_1(\alpha_1) = \frac{1}{2\pi} \oint_{M} p d q.$$ Integrace přitom probíhá po elipse $M$ (triviálně jediné kružnici na dané varietě) parametrizované rovnicemi \begin{eqnarray*} p(\phi) &= \sqrt{2E} \cos\phi, \\ q(\phi) &= \frac{\sqrt{2E}}{\omega} \sin\phi, \\ \phi & \in <0,2\pi), \end{eqnarray*} je tedy $$p d q = \sqrt{2E} \cos\phi \cdot \frac{\sqrt{2E}}{\omega} \cos\phi d\phi = \frac{2E}{\omega} \cos^2\phi d\phi$$ a odsud již $$I(E) = \int_0^{2\pi} \frac{2E}{\omega} \cos^2\phi d\phi = \frac{2E}{\omega} \cdot \frac12 = \frac{E}{\omega}. \eqno (1)$$ Dále podle návodu je nyní třeba vztah (1) zinvertovat na tvar $E = \omega I$, dosadit do rovnice variety $$\frac12(p^2 + \omega^2q^2) = E = \omega I$$ a vyjádřit $p$ pomocí $q$ a $I$: $$p = \pm\sqrt{2\omega I - \omega^2q^2}. \eqno (2)$$ Nyní máme vše připraveno k nalezení vytvořující funkce $$S_0(q,I) = \int_0^q p(\tilde q,I) d \tilde q = \pm\int_0^q \sqrt{2\omega I - \omega^2\tilde q^2} d \tilde q = \pm 2I \int_0^{\sqrt{\omega\/2I}q} \sqrt{1 - z^2} d z.$$ Bude třeba si připravit integrál \begin{eqnarray*} A &= \int\sqrt{1-z^2} d z = z\sqrt{1-z^2} + \int \frac{z^2}{\sqrt{1-z^2}} dz = z\sqrt{1-z^2} + \int \frac{1-(1-z^2) }{ \sqrt{1-z^2}} d z \\ &= z\sqrt{1-z^2} + \arcsin z - A = \frac12 (z\sqrt{1-z^2} + \arcsin z). \end{eqnarray*} S výsledkem tohoto pomocného výpočtu již snadno vyjádříme $$S_0(q,I) = \pm I ( \sqrt{ \frac{\omega}{2I} }q \cdot \sqrt{1-{\omega \frac{q^2}{2I}}} + \arcsin \sqrt\frac{\omega}{2I}q ) = \pm (\frac{q}{2}\sqrt{2\omega I - \omega^2q^2} + I \arcsin \sqrt{\omega\/2I}q ).$$ V tento okamžik tedy máme už jednu z nových kanonických souřadnic, $I$, vyjádřenou formálně pomocí rovnice (1), druhou získáme z funkce $S_0$, která má význam vytvořující funkce $F_2$ v proměnných "stará souřadnice, nová hybnost". Platí tedy $$\theta = \frac{\partial S_0 }{ \partial I} = \ldots = \pm\arcsin \sqrt\frac{\omega}{2I} q. \eqno (3)$$ Rovnicemi (2) a (3) je již zcela určen přechod mezi proměnnými $(p,q)$ a $(I,\theta)$. Pro úplnost ještě můžeme z těchto vztahů se smíšenými proměnnými vyjádřit například "nové" souřadnice pomocí "starých": \begin{eqnarray*} I &=& \frac{p^2 + \omega^2q^2 }{ 2\omega}, \\ \theta &=& \pm\arcsin{\omega q \/ \sqrt{p^2 + \omega^2q^2}}. \end{eqnarray*} }