Součásti dokumentu 02TFpriklady
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02TFpriklady}
\section{Kapitola 5: Hamiltonův formalismus}
\priklad{5.2}{
Napište Hamiltonovu funkci volného hmotného bodu v~kartézských, sférických
a cylindrických souřadnicích.
}{
Hamiltonova funkce v~obecných souřadnicích je definovaná takto
$$H(p_{j} ,q_{j} ,t)=\sum _{j}p_{j} {\; }\dot{q}_{j} {-}L(q_{j} {,}
\dot{q}_{j} ,t)$$
kde v~našem případě platí
$$p_{j} {=}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j} } $$
(a) kartézské souřadnice
$$L=\frac{1}{2} m(\dot{x}^{2} +\dot{y}^{2} +\dot{z}^{2} )-U(x,y,z)$$
odkud
$$\begin{array}{l} {p_{x} {=}m\dot{x}} \\ {p_{y} {=}m\dot{y}} \\ {p_{z} {
=}m\dot{z}} \end{array}$$
a zpětně si vyjádříme časové derivace souřadnice
$$\begin{array}{l} {\dot{x}=\frac{1}{m} p_{x} } \\ {\dot{y}=\frac{1}{m} p_{y} } \\
{\dot{z}=\frac{1}{m} p_{z} } \end{array}$$
takže Hamiltonova funkce dostane tvar
$$H=\frac{1}{m} \sum _{j{\; }\in {\; }\{ x,y,z\} }p_{j} ^{2} {-}\frac{1}{2}
m({\textstyle\frac{1}{m}} p_{j} )^{2} +U(x,y,z)=\frac{1}{2m} \sum _{j{\; }\in
{\; }\{ x,y,z\} }p_{j} ^{2} +U(x,y,z)$$
(b) polární souřadnice
$$L=\frac{1}{2} m(\dot{r}^{2} +r^{2} \dot{\varphi }^{2} \sin ^{2} \theta +r^{2} \dot{
\theta }^{2} )-U(r,\varphi ,\theta )$$
odkud
$$p_{r} {=}\frac{\partial L}{\partial \dot{r}} =m\dot{r}$$
$$p_{\varphi } {=}\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi }} =mr^{2} \dot{\varphi
}\sin ^{2} \theta $$
$$p_{\theta } {=}\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta }} =mr^{2} \dot{\theta
}$$
a zpětně
$$\dot{r}={\textstyle\frac{1}{m}} p_{r} $$
$$\dot{\varphi }{=}\frac{1}{mr^{2} \sin ^{2} \theta } p_{\varphi } $$
$$\dot{\theta }=\frac{1}{mr^{2} } p_{\theta } $$
Hamiltonova funkce poté dostane tvar
$$H=\frac{1}{2m} \left(p_{r} ^{2} +\frac{p_{\varphi } ^{2} }{r^{2} } +\frac{p_{\theta
} ^{2} }{r^{2} \sin ^{2} \theta } \right)+U(r,\varphi ,\theta )$$
(c) cylindrické souřadnice
$$L=\frac{1}{2} m(\dot{r}^{2} +r^{2} \dot{\varphi }^{2} +\dot{z}^{2} )-U(r,\varphi
,z)$$
odkud dostaneme
$$p_{r} {=}\frac{\partial L}{\partial \dot{r}} =m\dot{r}$$
$$p_{\varphi } {=}\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi }} =mr^{2} \dot{\varphi
}$$
$$p_{z} {=}\frac{\partial L}{\partial \dot{z}} =m\dot{z}$$
zpětně si vyjádříme
$$\dot{r}=\frac{1}{m} p_{r} $$
$$\dot{\varphi }=\frac{1}{mr^{2} } p_{\varphi } $$
$$\dot{z}=\frac{1}{m} p_{z} $$
a Hamiltonova funkce dostává tvar
$$H=\frac{1}{2m} \left(p_{r} ^{2} +\frac{p_{\varphi } ^{2} }{r^{2} } +p_{z} ^{2}
\right)+U(r,\varphi ,z)$$
}
\priklad{5.3}{
Sestavte Hamiltonovy rovnice pro pohyb volného hmotného bodu v poli konzervativních
sil (v kartézských souřadnicích) a ukažte, že získané rovnice jsou ekvivalentní
s rovnicemi Newtonovými.
}{
Hamiltonovy rovnice jsou dány vztahy
$$\dot{q}_{j} =\frac{\partial H}{\partial p_{j} } $$
$$\dot{p}_{j} =-\frac{\partial H}{\partial q_{j} } $$
uplatníme tedy znalost Hamiltonovy funkce v kartézských souřadnicích (viz
předchozí příklad)
$$H=\frac{1}{2m} (p_{1} ^{2} +p_{2} ^{2} +p_{3} ^{2} )+U(x_{1} ,x_{2} ,x_{3} )$$
a
po dosazení do výše zmíněných rovnic dostaneme, že pro $j{\; }
\in {\; }\hat{3}$ platí
$$\dot{x}_{j} =\frac{\partial H}{\partial p_{j} } =\frac{1}{m} p_{j} $$
což se dalo očekávat neb se jedná o hybnost a z druhé rovnosti dostaneme při použití
prvního výsledku
$$\dot{p}_{j} =m\ddot{x}_{j} =-\frac{\partial H}{\partial x_{j} } =-\frac{\partial
U}{\partial x_{j} } $$
a zapíšeme-li tuto rovnici vektorově, dostáváme výsledek
$$\dot{\vec{p}}=-\nabla U$$
}
\priklad{5.4}{
Napište Hamiltonovu funkci harmonického oscilátoru.
}{
Lagrangeova funkce harmonického oscilátoru má tvar
$$L=\frac{1}{2} m\dot{x}^{2} -\frac{1}{2} kx^{2} $$
Hamiltonovu funkci dostaneme použitím
$$H=\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \dot{x}-L=\frac{1}{2} m\dot{x}^{2} +\frac{1}{2}
kx^{2} $$
a po dosazení výrazu
$$\dot{x}=\frac{1}{m} p$$
obdržíme Hamiltonovu funkci
$$H(x,p)=\frac{1}{2m} p^{2} +\frac{1}{2} kx^{2} $$
}
\priklad{5.5}{
Sestavte Hamiltonovy rovnice pro pohyb volného hmotného bodu pod vlivem centrální
síly s potenciálem U(r) ve sférických souřadnicích. Určete integrály pohybu.
}{
Hamiltonova
funkce v sférických souřadnicích má tvar
$$H=\frac{1}{2m} \left(p_{r} ^{2} +\frac{p_{\varphi } ^{2} }{r^{2} } +\frac{p_{\theta
} ^{2} }{r^{2} \sin ^{2} \theta } \right)+U(r)$$
Hamiltonovy rovnice
$$\dot{r}=\frac{\partial H}{\partial p_{r} } =\frac{p_{r} }{m} $$
$$\dot{\varphi }=\frac{\partial H}{\partial p_{\varphi } } =\frac{p_{\varphi } }{mr^{2}
} $$
$$\dot{\theta }=\frac{\partial H}{\partial p_{\theta } } =\frac{p_{\theta } }{mr^{2}
\sin ^{2} \theta } $$
$$\dot{p}_{r} =-\frac{\partial H}{\partial r} =\frac{p_{\varphi } ^{2} }{mr^{3} }
+\frac{p_{\theta } ^{2} }{mr^{3} \sin ^{2} \theta } -\frac{\partial U}{\partial r} $$
$\dot{p}_{
\varphi } =-\frac{\partial H}{\partial \varphi } =0$ integrál pohybu
$$\dot{p}_{\theta } =-\frac{\partial H}{\partial \theta } =\frac{p_{\theta } ^{2}
}{mr^{2} } \frac{\cos \theta }{\sin ^{3} \theta } $$
}
\priklad{5.6}{Hmotný bod m je vázán na válcovou plochu $x^{2} +y^{2} =R^{2} $ a pohybuje
se pod vlivem centrální elastické síly $\vec{F}=-k\dot{\vec{r}}$ . Určete Hamiltonovu
funkci, sestavte Hamiltonovy rovnice a řešte je (v cylindrických souřadnicích).
}{
Hamiltonova
funkce volného hmotného bodu v cylindrických souřadnicích (viz příklad 5.2)
je dána vztahem
$$H=\frac{1}{2m} \left(p_{r} ^{2} +\frac{p_{\varphi } ^{2} }{r^{2} } +p_{z} ^{2}
\right)+U(r,\varphi ,z)$$
kde ovšem r = R = konst a $U(r,\varphi ,z)=U(z)=\frac{1}{2} k(\underbrace{x^{2} +y^{2}
}_{R^{2} }+z^{2} )=\frac{1}{2} k(R^{2} +z^{2} )$
mějme tedy tuto Hamiltonovu funkci s přesností na konstantu
$$H=\frac{1}{2m} \left(\frac{p_{\varphi } ^{2} }{R^{2} } +p_{z} ^{2} \right)+\frac{1}{2}
kz^{2} $$
Hamiltonovy pohybové rovnice mají tvar
$\dot{p}_{\varphi } =-\frac{\partial H}{\partial \varphi } =0$ integrál pohybu
$$\dot{p}_{z} =-\frac{\partial H}{\partial z} =-kz$$
$$\dot{z}=\frac{\partial H}{\partial p_{z} } =\frac{1}{m} p_{z} {\; }odkud{
\; }p_{z} =m\dot{z}\_ $$
$$\dot{\varphi }=\frac{\partial H}{\partial p_{\varphi } } =\frac{1}{mR^{2} } p_{
\varphi } {\; }odkud{\; }p_{\varphi } =mR^{2} \dot{\varphi }\_ $$
takže máme tuto soustavu diferenciálních rovnic a po dosazení dostaneme rovnice
$$\dot{p}_{z} =m\ddot{z}=-kz$$
$$\dot{p}_{\varphi } =mR^{2} \ddot{\varphi }=0$$
kterou řeší
$$z(t)=A\cos (\sqrt{{\textstyle\frac{k}{m}} } t+\delta )$$
$$\varphi (t)=v_{\varphi 0} t+\varphi _{0} $$
}
\priklad{5.7}{
Napište Hamiltonovu funkci částice s nábojem e a hmotností m v daném vnějším
elektromagnetickém poli s potenciály $\varphi (\vec{r},t),{\; }\vec{A}(\vec{r},t)$.
}{
napišme
nejprve Lagrangeovu funkci a drobě si ji upravme
$$L=\frac{1}{2} m\dot{\vec{r}}^{2} -e(\varphi -\dot{\vec{r}}\vec{A})=\frac{1}{2}
m\dot{\vec{r}}^{2} +e\dot{\vec{r}}\vec{A}-e\varphi $$
pomocí obecné hybnosti
$$\vec{p}=\frac{\partial L}{\partial \dot{\vec{r}}} =m\dot{\vec{r}}+e\vec{A}$$
odvodíme, že
$$\dot{\vec{r}}=\frac{1}{m} (\vec{p}-e\vec{A})$$
nyní na základě Lagrangeovy funkce sestavíme Hamiltonovu funkci tak, že za $\dot{
\vec{r}}$ dosadíme z předešlého vztahu
$$H=\vec{p}\dot{\vec{r}}-L=\frac{1}{m} \vec{p}(\vec{p}-e\vec{A})-\frac{1}{2} m\frac{1}{m^{2}
} (\vec{p}-e\vec{A})^{2} -\frac{1}{m} (\vec{p}-e\vec{A})e\vec{A}+e\varphi $$
$$H=\frac{1}{2m} \vec{p}^{2} -\frac{e}{m} \vec{p}\vec{A}+\frac{1}{2m} e^{2} \vec{A}^{2}
+e\varphi $$
$$H=\frac{1}{2m} (\vec{p}-e\vec{A})^{2} +e\varphi $$
}
\priklad{5.8}{
Napište Hamiltonovu funkci částice v neinerciální soustavě souřadné rotující
s konstantní úhlovou rychlostí $\vec{\Omega }$.
}{
vyjdeme ze vztahu pro energii v neinerciální soustavě
$$H=E=\frac{1}{2} m\vec{v}^{2} +U-\vec{p}\times \vec{r}\cdot \vec{\Omega }$$
a dosadíme do něj z výrazu pro hybnost
$$\vec{v}=\frac{1}{m} \vec{p}$$
čímž obdržíme
$$H=\frac{1}{2m} \vec{p}^{2} +U-\vec{p}\times \vec{r}\cdot \vec{\Omega }$$
}
\priklad{5.9}{
Najděte Routhovu funkci symetrického setrvačníku ve vnějším poli $U(\varphi ,
\theta )$, vyloučí-li se cyklická souřadnice $\psi $.
}{
vyjdeme z Lagrangeovy funkce
$$L=\frac{I_{1} }{2} (\dot{\theta }^{2} +\dot{\varphi }^{2} \sin ^{2} \theta )+\frac{I_{3}
}{2} (\dot{\psi }+\dot{\varphi }\cos \theta )^{2} -U(\varphi ,\theta )$$
obecnou hybnost ve směru $\psi $spočítáme z
$$p\_ _{\psi } =\frac{\partial L}{\partial \dot{\psi }} =I_{3} (\dot{\psi }+\dot{
\varphi }\cos \theta )$$
a zpětně dostaneme, že
$$\dot{\psi }=\frac{1}{I_{3} } p\_ _{\psi } -\dot{\varphi }\cos \theta $$
vyloučíme $\psi $ , tj. Routhovu funkci budeme počítat jako
$$R=p_{\psi } \dot{\psi }-L=\frac{1}{I_{3} } p\_ _{\psi } ^{2} -p_{\psi } \dot{\varphi
}\cos \theta -\frac{I_{1} }{2} (\dot{\theta }^{2} +\dot{\varphi }^{2} \sin ^{2} \theta
)-\frac{I_{3} }{2} (\frac{1}{I_{3} } p\_ _{\psi } -\dot{\varphi }\cos \theta +\dot{
\varphi }\cos \theta )^{2} +U(\varphi ,\theta )$$
$$R=\frac{1}{2I_{3} } p\_ _{\psi } ^{2} -p_{\psi } \dot{\varphi }\cos \theta -\frac{I_{1}
}{2} (\dot{\theta }^{2} +\dot{\varphi }^{2} \sin ^{2} \theta )+U(\varphi ,\theta
)$$
}
\priklad{5.10}{
Odvoďte Hamiltonovu funkci, zvolíte-li za Lagrangeovu funkci výraz
}{
$$L=\left[\frac{1}{2} m(\dot{x}+ax)^{2} -\frac{1}{2} m(b^{2} -a^{2} )x^{2} \right]e^{2at} $$
Ukažte,
že Hamiltonovy rovnice jsou ekvivalentní rovnici $\ddot{x}+2a\dot{x}+b^{2} x=0$ pro
tlumený harmonický oscilátor.
vyjádřeme nejprve obecnou hybnost
$$p=\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} =m(\dot{x}+ax)e^{2at} $$
odkud zřejmě
$$\dot{x}=\frac{e^{-2at} }{m} p-ax$$
sestavme Hamiltonovu funkci
$$H=\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \dot{x}-L=\left[m(\dot{x}+ax)\dot{x}-\frac{1}{2}
m(\dot{x}+ax)^{2} +\frac{1}{2} m(b^{2} -a^{2} )x^{2} \right]e^{2at} $$
$$H=\frac{1}{2} m\left[\dot{x}^{2} -2a^{2} x^{2} +b^{2} x^{2} \right]e^{2at} $$
a
dosaďme sem za $\dot{x}$
$$H=\frac{1}{2} m\left[(\frac{e^{-2at} }{m} p-ax)^{2} -2a^{2} x^{2} +b^{2} x^{2}
\right]e^{2at} $$
$$H=\frac{1}{2} m\left[\frac{e^{-4at} }{m^{2} } p^{2} -2\frac{e^{-2at} }{m} pax+a^{2}
x^{2} -2a^{2} x^{2} +b^{2} x^{2} \right]e^{2at} $$
$$H=\frac{e^{-2at} }{2m} p^{2} -pax+\frac{1}{2} m(b^{2} -a^{2} )x^{2} e^{2at} $$
Hamiltonovy
rovnice
$$\dot{x}=\frac{\partial H}{\partial p} =\frac{e^{-2at} }{m} p-ax$$
$$\dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial x} =pa-m(b^{2} -a^{2} )xe^{2at} $$
a když za p dosadíme z první rovnice do druhé dostáváme po provedení operace derivace
$$m(
\ddot{x}+a\dot{x})e^{2at} +2am(\dot{x}+ax)e^{2at} =am(\dot{x}+ax)e^{2at} -m(b^{2}
-a^{2} )xe^{2at} $$
tuto rovnici vydělíme $me^{2at} $ a dostaneme tak
$$\ddot{x}+2a\dot{x}+b^{2} x=0$$
}
\priklad{5.11}{
Napište pohybové rovnice částice, jejíž Hamiltonova funkce je $H(\vec{r},\vec{k})=c{
\textstyle\frac{\left|\vec{k}\right|}{n(\vec{r},\vec{k})}} $(světelný paprsek
s vlnovým vektorem $\vec{k}$).
}{
nejprve si uvědomíme, že
$$\left|\vec{k}\right|=\sqrt{\vec{k}\vec{k}} =k$$
a tedy Hamiltonovy rovnice budou
$$\dot{\vec{r}}=\frac{\partial H}{\partial \vec{k}} =\frac{c\vec{k}}{nk} -\frac{c
\vec{k}}{n^{2} } \frac{\partial n}{\partial \vec{k}} $$
$$\dot{\vec{k}}=-\frac{\partial H}{\partial \vec{r}} =\frac{ck}{n^{2} } \frac{\partial
n}{\partial \vec{r}} $$
}
\priklad{5.12}{
Vypočtěte $\left\{e^{\alpha q} ,e^{\beta p} \right\}$.
}{
$$\left\{e^{\alpha q} ,e^{\beta p} \right\}=\frac{\partial e^{\alpha q} }{\partial
q} \frac{\partial e^{\beta p} }{\partial p} -\frac{\partial e^{\alpha q} }{\partial
p} \frac{\partial e^{\beta p} }{\partial q} =\alpha \beta e^{\alpha q+\beta p} $$
}
\priklad{5.15}{
Dokažte, že platí: jsou-li $L_{1} ,{\; }L_{2} $ integrály pohybu, je i $L_{3} $integrálem
pohybu.
}{
vzhledem k výsledku příkladu 5.13 snadno určíme, že
$$\left\{L_{1} ,L_{2} \right\}=\sum _{k}\varepsilon _{12k} L_{k} =L_{3} $$
a tedy zkoumání, je-li $L_{3} $ integrálem pohybu, tj. zda
$$\left\{L_{3} ,H\right\}\mathop{=}\limits^{?} 0$$
převedeme na problém
$$\left\{\left\{L_{1} ,L_{2} \right\},H\right\}\mathop{=}\limits^{?} 0$$
zde ovšem aplikací Poissonovy věty : "Poissonova závorka dvou integrálů pohybu je
opět integrálem pohybu." dostáváme, že předchozí rovnost skutečně platí a otazníček
můžeme smazat.
což bylo dokázati.
}
\priklad{5.17}{
Pomocí Poissonovy věty odvoďte další integrál Hamiltonových rovnic v
případě hmotného bodu pod vlivem centrální síly v otáčející se soustavě, znáte-li
první integrály $v=\sum _{i{\; }\in {\; }\hat{3}}{\textstyle\frac{p_{i} ^{2}
}{2m}} +U(r)$a $u=\sum _{i{\; }\in {\; }\hat{3}}{\textstyle\frac{p_{i} ^{2}
}{2m}} -\Omega (x_{1} p_{2} -x_{2} p_{1} )+U(r)$.
}{
spočítáme tedy nějakou novou funkci (označíme ji w) jako Poissonovu závorku z již
známých prvních integrálů pohybu (Poissonova věta)
$$w=\left\{u,v\right\}=0{\; }=\sum _{i{\; }\in {\; }\hat{3}}\frac{\partial
u}{\partial x_{i} } \frac{\partial v}{\partial p_{i} } -\frac{\partial u}{\partial
p_{i} } \frac{\partial v}{\partial x_{i} } =$$
$${\; \; \; }=\left(-\Omega p_{2} +\frac{\partial U}{\partial x_{1} } \right)
\frac{p_{1} }{m} -\left(\frac{p_{1} }{m} +\Omega x_{2} \right)\frac{\partial U}{
\partial x_{1} } +\left(\Omega p_{1} +\frac{\partial U}{\partial x_{2} } \right)
\frac{p_{2} }{m} -\left(\frac{p_{2} }{m} -\Omega x_{1} \right)\frac{\partial U}{
\partial x_{2} } +\frac{\partial U}{\partial x_{3} } \frac{p_{3} }{m} -\frac{p_{3}
}{m} \frac{\partial U}{\partial x_{3} } =$$
$${\; \; \; }=-\Omega x_{2} \frac{\partial U}{\partial x_{1} } +\Omega x_{1}
\frac{\partial U}{\partial x_{2} } =0$$
dostali jsme tak další integrál pohybu
$${\; \; \; w}=-\Omega x_{2} \frac{\partial U}{\partial x_{1} } +\Omega x_{1}
\frac{\partial U}{\partial x_{2} } =0$$
}
\priklad{5.19}{Ukažte, že transformace $Q_{j} =p_{j} $ , $P_{j} =-q_{j} $ je kanonická.
}
{
budeme zkoumat, zda-li existuje taková funkce F, která splňuje rovnici
$$\sum _{j}P_{j} dQ_{j} -p_{j} dq_{j} {\; =dF}$$
to jest po dosazení
$$\sum _{j}-q_{j} dp_{j} -p_{j} dq_{j} {\; =dF}$$
odkud je rovnou vidět, že
$$-d\left(\sum _{j}q_{j} p_{j} \right){=dF}$$
$$-2\sum _{j}q_{j} p_{j} {=F}$$
takže se nám to ukázat podařilo.
}
\priklad{5.20}{Ukažte, že kanonická transformace $(x_{1} ,x_{2} ,x_{3} ,p_{1} ,p_{2} ,p_{3}
)\to (R,\varphi ,z,P_{R} ,P_{\varphi } ,P_{z} )$ s vytvořující funkcí $F_{2} =\sqrt{x_{1}
^{2} +x_{2} ^{2} } P_{R} +(arctg{\textstyle\frac{x_{2} }{x_{1} }} )P_{\varphi } +x_{3}
P_{z} $ převádí souřadnice kartézské na cylindrické.
}{
ze vztahů
$$p_{i} =\frac{\partial F_{2} }{\partial x_{i} } {\; }kde{\; }i{\; }
\in {\; }\hat{3}$$
$$P_{i} =-\frac{\partial F_{2} }{\partial i} {\; }kde{\; }i{\; }\in {
\; \{ R,}\varphi ,z{\} }$$
dostaneme po dosazení za $F_{2} $soustavu vztahů
$$p_{1} =\frac{\partial F_{2} }{\partial x_{1} } {=}\frac{{x}_{{1}} }{
\sqrt{{x}_{{1}} ^{2} +x_{2} ^{2} } } P_{R} -\frac{x_{2} }{\sqrt{{x}_{{
1}} ^{2} +x_{2} ^{2} } } P_{\varphi } $$
$$p_{2} =\frac{\partial F_{2} }{\partial x_{2} } {=}\frac{{x}_{{1}} }{
\sqrt{{x}_{{1}} ^{2} +x_{2} ^{2} } } P_{R} +\frac{x_{1} }{\sqrt{{x}_{{
1}} ^{2} +x_{2} ^{2} } } P_{\varphi } $$
$$p_{3} =\frac{\partial F_{2} }{\partial x_{3} } {=}P_{z} $$
$$R=\frac{\partial F_{2} }{\partial P_{R} } {=}\sqrt{{x}_{{1}} ^{2} +x_{2}
^{2} } $$
$$\varphi =\frac{\partial F_{2} }{\partial P_{\varphi } } {=arctg}\frac{{
x}_{{2}} }{{x}_{{1}} } $$
$$z=\frac{\partial F_{2} }{\partial P_{z} } {=x}_{{3}} $$
pomocí nich můžeme též lehce vyjádřit
$$\begin{array}{l} {x_{1} =R\cos \varphi } \\ {x_{2} =R\sin \varphi } \\ {x_{3} =z}
\end{array}$$
a dosadit do výrazů pro hybnosti, čímž dostaneme
$$p_{1} =P_{R} {cos}\varphi -P_{\varphi } \frac{\sin \varphi }{R} $$
$$p_{2} =P_{R} {sin}\varphi +P_{\varphi } \frac{\cos \varphi }{R} $$
$$p_{3} {=}P_{z} $$
}
\priklad{5.21}{
Ukažte, že transformace $Q=arctg\left(\sqrt{km} {\textstyle\frac{q}{p}} \right)$, $P={
\textstyle\frac{1}{2}} \left(\sqrt{km} q^{2} +{\textstyle\frac{1}{\sqrt{km} }} p^{2}
\right)$je kanonická. Užijte ji k řešení pohybových rovnice harmonického oscilátoru $H={
\textstyle\frac{1}{2m}} p^{2} +{\textstyle\frac{k}{2}} q^{2} $.
}{
nejprve vyjádříme souřadnice q,p v závislosti na Q,P
$$q=\sqrt{\frac{2P}{\sqrt{km} } } \sin Q$$
$$p=\sqrt{2P\sqrt{km} } \cos Q$$
pro ověření, zda jsou takovéto transformace kanonické se pokusíme nalézt takovou
funkci F, která splňuje rovnost
$$dF=PdQ-pdq$$
budeme tedy za p a q dosazovat výše napsané vztahy
$$dF\mathop{=}\limits^{?} PdQ-\sqrt{2P\sqrt{km} } \cos Q\left(\sqrt{\frac{2P}{\sqrt{km}
} } \cos QdQ+\sqrt{\frac{1}{2P\sqrt{km} } } \sin QdP\right)$$
$$dF\mathop{=}\limits^{?} P\left(1-2\cos ^{2} Q\right)dQ-\frac{1}{2} \sin 2QdP$$
použijeme
vztahu $2\cos ^{2} Q=1+\cos 2Q$
$$dF\mathop{=}\limits^{?} -P\cos 2QdQ-\frac{1}{2} \sin 2QdP$$
$$dF=d\left(-\frac{1}{2} P\sin 2Q\right)$$
našli jsme tak hledanou funkci, proto je takováto transformace kanonická
přetransformujeme ještě Hamiltonovu funkci
$$H'={\textstyle\frac{1}{2m}} p^{2} +{\textstyle\frac{k}{2}} q^{2} =\sqrt{\frac{k}{m}
} P$$
Hamiltonovy rovnice v nových souřadnicích tedy budou
$$\dot{Q}=\frac{\partial H}{\partial P} =\sqrt{\frac{k}{m} } $$
$$\dot{P}=-\frac{\partial H}{\partial Q} =0$$
a tedy
$$Q=\sqrt{\frac{k}{m} } t+C_{Q} $$
$$P=C_{P} $$
}
\priklad{5.22}{
Ukažte, že transformace $q=-\sqrt{\frac{2Q}{\sqrt{km} } } \sin P$, $p=\sqrt{2Q
\sqrt{km} } \cos P$je kanonická.
}{
opět budeme hledat nějakou funkci F, která vyhovuje rovnici
$$dF=PdQ-pdq$$
tedy
$$dF\mathop{=}\limits^{?} PdQ-\sqrt{2Q\sqrt{km} } \cos P\left(-\sqrt{\frac{2}{2Q
\sqrt{km} } } \sin P-\sqrt{\frac{2Q}{\sqrt{km} } } \cos PdP\right)$$
$$dF\mathop{=}\limits^{?} PdQ+\sin P\cos PdQ+2Q\cos ^{2} PdP$$
$$dF\mathop{=}\limits^{?} \left(P+\frac{1}{2} \sin 2P\right)dQ+2Q\left(\frac{1+\cos
2P}{2} \right)dP$$
$$dF\mathop{=}\limits^{?} \left(P+\frac{1}{2} \sin 2P\right)dQ+Q\left(1+\cos 2P\right)dP$$
$$dF=d
\left(PQ+\frac{1}{2} Q\sin 2P\right)$$
podařilo se nám najít takovou funkci a proto je transformace kanonická.
}
\priklad{5.23}{ Jaké kanonické transformace určují vytvořující funkce $F_{1} =\frac{1}{2} \sqrt{km}
q^{2} \cot gQ$, resp. $F_{3} =-\frac{p^{2} tgQ}{2\sqrt{km} } $? Lze je použít k řešení
pohybových rovnic harmonického oscilátoru ?
}{
první funkce určuje kanonické transformace dané vztahy
$$p=\frac{\partial F_{1} }{\partial q} =\sqrt{km} q\cot gQ$$
$$P=-\frac{\partial F_{1} }{\partial Q} =\frac{1}{2} \sqrt{km} q^{2} \frac{1}{\sin
^{2} Q} =\frac{1}{2} \sqrt{km} q^{2} (1+\cot g^{2} Q)$$
odkud dostaneme závislosti
$$tgQ=\sqrt{km} \frac{q}{p} {\; }\Rightarrow {\; }Q=arctg\left(\sqrt{km}
\frac{q}{p} \right)$$
$$P=\frac{1}{2} \sqrt{km} q^{2} \left(1+\frac{p^{2} }{q^{2} km} \right){\; =}
\frac{{1}}{2} \left(\sqrt{km} q^{2} \frac{1}{\sqrt{km} } p^{2} \right)$$
které jsou identické s kanonickými transformacemi z příkladu 5.21 a lze je
tedy použít k řešení pohybových rovnic harmonického oscilátoru
druhá funkce určuje kanonické transformace
$$q=-\frac{\partial F_{3} }{\partial p} =p\frac{1}{\sqrt{km} } tgQ$$
$$P=-\frac{\partial F_{1} }{\partial Q} =\frac{p^{2} }{2\sqrt{km} } \frac{1}{\cos
^{2} Q} =\frac{p^{2} }{2\sqrt{km} } \left(tg^{2} Q+1\right)$$
odkud dostaneme závislosti
$$tgQ=\frac{q}{p} \sqrt{km} {\; }\Rightarrow Q=arctg\left(\frac{q}{p} \sqrt{km}
\right)$$
$$P=\frac{p^{2} }{2\sqrt{km} } \left(\frac{q^{2} }{p^{2} } km+1\right)=\frac{1}{2}
\left(q^{2} \sqrt{km} +p^{2} \frac{1}{\sqrt{km} } \right)$$
které jsou identické s kanonickými transformacemi z první části tohoto příkladu
a tedy i příkladu 5.21 a lze je tedy použít k řešení pohybových rovnic harmonického
oscilátoru
}
\priklad{5.24}{
Uvažujte transformaci $(q,p)\to (Q,P),{\; }Q=q^{\alpha } \cos \beta p,{
\; }P=q^{\alpha } \sin \beta p$. Reálné konstanty $\alpha ,\beta $ je třeba určit
tak, aby transformace byla kanonická. Odvoďte též vytvořující funkci F.
}{
budeme požadovat, aby pro nějakou funkci F platilo
$$dF=PdQ-pdq$$
dosaďme tedy do tohoto výrazu za Q a P
$$dF=\alpha q^{2\alpha -1} \sin (\beta p)\cos (\beta p)dq{\; }-{\; }pdq-q^{2
\alpha } \beta \sin ^{2} (\beta p)dp$$
použijeme trigonometrické vzorce a tento vztah upravíme na
$$dF=\left(\frac{\alpha }{2} q^{2\alpha -1} \sin (2\beta p)-p\right)dq+\left(\frac{
\beta }{2} q^{2\alpha } \cos (2\beta p)-\frac{\beta }{2} q^{2\alpha } \right)dp$$
abychom
mohli napsat
$$dF=d(uv)=udv+vdu$$
je třeba, aby se rovnaly intergrály
$$\int \frac{\alpha }{2} q^{2\alpha -1} \sin (2\beta p)-p{\; }dq {\; =}\int
\frac{\beta }{2} q^{2\alpha } \cos (2\beta p)-\frac{\beta }{2} q^{2\alpha } dp $$
$$\frac{
\alpha }{2} \frac{1}{2\alpha } q^{2\alpha } \sin (2\beta p)-pq{\; =}\frac{\beta
}{2} \frac{1}{2\beta } q^{2\alpha } \sin (2\beta p)-\frac{\beta }{2} pq^{2\alpha
} $$
tedy krátce
$$pq{\; =}\frac{\beta }{2} pq^{2\alpha } $$
odkud plyne, že hledaná reálná čísla jsou
$$\begin{array}{l} {\alpha =\frac{1}{2} } \\ {\beta =2} \end{array}$$
a tedy
$$dF=\left(\frac{1}{4} \sin (4p)-p\right)dq+\left(q\cos (4p)-q\right)dp$$
$$dF=d\left[\frac{q}{4} \left(\sin (4p)-4p\right)\right]$$
a hledanou vytvořující funkci tak můžeme zapsat jako
$$F=\frac{q}{4} \left(\sin (4p)-4p\right)$$
}
\priklad{5.25}{
Ukažte, že tyto transformace jsou kanonické(a) $Q=\sqrt{\frac{2q}{K} } \cos
p,{\; }P=\sqrt{2qK} \sin p$(b) $Q=\ln \left(\frac{\sin p}{q} \right),{\;
}P=q{\; }cotg{\; }p$(c) $Q=\ln \left(1+\sqrt{q} \cos p\right),{\; }P=2(1+
\sqrt{q} \cos p)\sqrt{q} \sin p$
}{
v každém ze tří případů se budeme snažit nalézt nějakou funkci F takovou, že splňuje
rovnici
$$dF=PdQ-pdq$$
případ (a)
$$dF=PdQ-pdq=\sqrt{2Kq} \sin p\left(\frac{1}{2} \sqrt{\frac{2}{Kq} } \cos p{\;
}dq-\sqrt{\frac{2q}{K} } \sin p{\; }dp\right)-pdq$$
$$dF=\left(\frac{1}{2} \sin 2p-p\right)dq+q(\cos 2p-1)dp=d\left(\frac{1}{2} q\sin
2p-qp\right)$$
$$F=\frac{1}{2} q\sin 2p-qp$$
případ (b)
$$dF=PdQ-pdq=q{\; }\cot g(p){\; }\left(\cot g(p){\; }dp-\frac{1}{q} dq
\right)-pdq$$
$$dF=q{\; }\cot g^{2} (p){\; }dp-\cot g(p)dq-pdq$$
$$dF=-d\left[q(\cot g(p)+1)\right]$$
$$F=-q(\cot g(p)+1)$$
případ (c)
$$dF=PdQ-pdq=\frac{2(1+\sqrt{q} \cos p)\sqrt{q} \sin p}{1+\sqrt{q} \cos p} \left[
\frac{1}{2\sqrt{q} } \cos p{\; }dq-\sqrt{q} \sin p{\; }dp\right]-pdq$$
$$dF=\left(\frac{1}{2} \sin 2p-p\right)dq+\left(q\cos 2p-q\right)dp$$
$$dF=d\left(\frac{1}{2} q\sin 2p-qp\right)$$
$$F=\frac{1}{2} q\sin 2p-qp$$
}
%%
%% Autor postupu: Vašek Potoček
%%
\priklad{5.55}{
Najděte proměnné akce -- úhel v případě harmonického oscilátoru,
$$H = \frac12(p^2 + \omega^2q^2).$$
}
{
Máme soustavu s jedním stupněm volnosti, $s = 1$. Pro integraci nám tedy
postačí jeden integrál pohybu, za nějž zvolíme obecnou energii (Hamiltonián).
Ve smyslu rovnice U~5.11.11 tedy definujeme
$$P_1 = H, \ \alpha_1 = E = {\rm const.}$$
Harmonický oscilátor zřejmě vykonává finitní pohyb, jak je vidět z rovnice
\begin{eqnarray*}
H &= E \\
\frac12 (p^2 + \omega^2q^2) &= E \\
\frac{p^2}{2E} + \frac{w^2q^2}{2E} &= 1,
\end{eqnarray*}
varieta vytčená ve fázovém prostoru vztahem $H = E$ pro libovolnou hodnotu
energie $E$ je totiž elipsa o poloosách $\sqrt{2E}$ a $\frac{\sqrt{2E}}{\omega}$. Je navíc
okamžitě zřejmé, že ve smyslu topologie se jedná o torus $T^1$.
Zaveďme dle rovnice U~5.11.12 jednu akční proměnnou
$$I(E) := I_1(\alpha_1) = \frac{1}{2\pi} \oint_{M} p d q.$$
Integrace přitom probíhá po elipse $M$ (triviálně jediné kružnici na dané
varietě) parametrizované rovnicemi
\begin{eqnarray*}
p(\phi) &= \sqrt{2E} \cos\phi, \\
q(\phi) &= \frac{\sqrt{2E}}{\omega} \sin\phi, \\
\phi & \in <0,2\pi),
\end{eqnarray*}
je tedy
$$p d q = \sqrt{2E} \cos\phi \cdot \frac{\sqrt{2E}}{\omega} \cos\phi d\phi = \frac{2E}{\omega}
\cos^2\phi d\phi$$
a odsud již
$$I(E) = \int_0^{2\pi} \frac{2E}{\omega} \cos^2\phi d\phi = \frac{2E}{\omega} \cdot \frac12
= \frac{E}{\omega}. \eqno (1)$$
Dále podle návodu je nyní třeba vztah (1) zinvertovat na tvar $E = \omega I$,
dosadit do rovnice variety
$$\frac12(p^2 + \omega^2q^2) = E = \omega I$$
a vyjádřit $p$ pomocí $q$ a $I$:
$$p = \pm\sqrt{2\omega I - \omega^2q^2}. \eqno (2)$$
Nyní máme vše připraveno k nalezení vytvořující funkce
$$S_0(q,I) = \int_0^q p(\tilde q,I) d \tilde q = \pm\int_0^q \sqrt{2\omega
I - \omega^2\tilde q^2} d \tilde q = \pm 2I \int_0^{\sqrt{\omega\/2I}q} \sqrt{1 - z^2}
d z.$$
Bude třeba si připravit integrál
\begin{eqnarray*}
A &=
\int\sqrt{1-z^2} d z =
z\sqrt{1-z^2} + \int \frac{z^2}{\sqrt{1-z^2}} dz =
z\sqrt{1-z^2} + \int \frac{1-(1-z^2) }{ \sqrt{1-z^2}} d z \\
&=
z\sqrt{1-z^2} + \arcsin z - A =
\frac12 (z\sqrt{1-z^2} + \arcsin z).
\end{eqnarray*}
S výsledkem tohoto pomocného výpočtu již snadno vyjádříme
$$S_0(q,I) =
\pm I ( \sqrt{ \frac{\omega}{2I} }q \cdot \sqrt{1-{\omega \frac{q^2}{2I}}} + \arcsin \sqrt\frac{\omega}{2I}q ) =
\pm (\frac{q}{2}\sqrt{2\omega I - \omega^2q^2} + I \arcsin \sqrt{\omega\/2I}q
).$$
V tento okamžik tedy máme už jednu z nových kanonických souřadnic, $I$,
vyjádřenou formálně pomocí rovnice (1), druhou získáme z funkce $S_0$, která
má význam vytvořující funkce $F_2$ v proměnných "stará souřadnice, nová
hybnost". Platí tedy
$$\theta = \frac{\partial S_0 }{ \partial I} = \ldots = \pm\arcsin \sqrt\frac{\omega}{2I} q.
\eqno (3)$$
Rovnicemi (2) a (3) je již zcela určen přechod mezi proměnnými $(p,q)$
a $(I,\theta)$. Pro úplnost ještě můžeme z těchto vztahů se smíšenými
proměnnými vyjádřit například "nové" souřadnice pomocí "starých":
\begin{eqnarray*}
I &=& \frac{p^2 + \omega^2q^2 }{ 2\omega}, \\
\theta &=& \pm\arcsin{\omega q \/ \sqrt{p^2 + \omega^2q^2}}.
\end{eqnarray*}
}
