Součásti dokumentu 02TFpriklady
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02TFpriklady}
\section{Kapitola 1: Newtonova mechanika}
\priklad{1.1}{Dokažte, že poloha hmotného středu, definovaného vztahem
$$
\vec{{R}}{=}{\textstyle\frac{\sum _{\alpha }m_{\alpha } \vec{r}_{\alpha } }{\sum _{\alpha }m_{\alpha } }},
$$
nezávisí na volbě počátku.
}{
Transformujme souřadnice vztahy $\vec{r}=\vec{r}'+\vec{a}$ a $\vec{R}=\vec{R}'+\vec{a}$ a po dosazení dostaneme
$$
\vec{R}=
\frac{\sum _{\alpha }m_{\alpha } \vec{r}_{\alpha } }{\sum _{\alpha }m_{\alpha } } =
\frac{\sum _{\alpha }m_{\alpha } \vec{r}_{\alpha } ' +\vec{a}\sum _{\alpha }m_{\alpha } }{\sum _{\alpha }m_{\alpha } } =
\frac{\sum _{\alpha }m_{\alpha } \vec{r}_{\alpha } ' }{\sum _{\alpha }m_{\alpha } } +\vec{a}.
$$
Porovnáním s $\vec{R}=\vec{R}'+\vec{a}$ dostáváme
$$
\vec{R}'+\vec{a}=\frac{\sum _{\alpha }m_{\alpha } \vec{r}_{\alpha } ' }{\sum _{\alpha }m_{\alpha } } +\vec{a}
$$
a po odečtení $\vec{a}$ od obou stran dostaneme opět
$$
\vec{R}'=\frac{\sum _{\alpha }m_{\alpha } \vec{r}_{\alpha } ' }{\sum _{\alpha }m_{\alpha } }.
$$
} %priklad 1.1
\priklad{1.2}{Pohybové rovnice bezsilového hmotného bodu v kartézkském systému $S'$, který
se libovolně pohybuje vůči inerciálnímu systému $S$, má tvar
$$
m\ddot{\vec{r}}=m\ddot{\vec{r}}'{\; }+m\dot{\vec{\omega }}\times \vec{r}'+2m\vec{\omega }\times \dot{\vec{r}}'+m\vec{\omega }\times (\vec{\omega }\times\vec{r}')+m\ddot{\vec{r}}(0')=0,
$$
kde $\vec{\omega}$ je vektor okamžité úhlové rychlosti otáčení S', který se vzhledem k S otáčí kolem osy z konstantní úhlovou rychlostí $\omega _{0} $ ($\vec{r}(0')=0$), se tato pohybová rovnice zjednoduší na $\ddot{x}'-2\omega _{0} \dot{y}'-\omega _{0}^{2} x'=0$, $\ddot{y}'+2\omega _{0} \dot{x}'-\omega _{0}^{2} y'=0,$ $\ddot{z}'=0$.
}{
Vyjdeme z rovnosti
$$
m\ddot{\vec{r}}=m\ddot{\vec{r}}'{\; }+m\dot{\vec{\omega }}\times \vec{r}'+2m\vec{\omega }\times \dot{\vec{r}}'+m\vec{\omega }\times (\vec{\omega }\times \vec{r}')+m
\ddot{\vec{r}}(0')=0,
$$
kde $\vec{\omega }=(0,0,\omega _{0})$ a $\dot{\vec{\omega }}=(0,0,0)$, takže rozepsáno po složkách dostaneme maticově
$$
\ddot{\vec{r}}=\ddot{\vec{r}}'{\; }+\left(\begin{array}{ccc} {0} & {-2\omega_{0} } & {0} \\ {2\omega _{0} } & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} \end{array}\right)
\dot{\vec{r}}'+\left(\begin{array}{ccc} {-\omega _{0}^{2} } & {0} & {0} \\ {0} & {-\omega _{0}^{2} } & {0} \\ {0} & {0} & {0} \end{array}\right)\vec{r}'=0,
$$
což je hledaná soustava diferenciálních rovnic.
} %priklad 1.2
\priklad{1.3}{Určtete:
(a) Obecné řešení soustavy diferenciálních rovnic z příkladu 1.2;
(b) Parametrické rovnice trajektorie bezsilového bodu vypuštěného v čase t = 0 s nulovou počáteční rychlostí z bodu $x'=a,{\; }y'=z'=0$.
}{
(a) Řešení diferenciální rovnice z příkladu 1.2 zjednodušené vynecháním z-ové složky
$$
\ddot{\vec{\eta }}{\; }+2\omega _{0} \left(\begin{array}{cc} {0} & {-1} \\ {1} & {0} \end{array}\right)\dot{\vec{\eta }}-\omega _{0}^{2} \vec{\eta }=0
$$
budeme hledat ve tvaru
$$
\vec{\eta }=\left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {X} \\ {Y} \end{array}\right)e^{\lambda t}.
$$
Dosaďme toto řešení do diferenciální rovnice
$$
\left(\begin{array}{cc} {\lambda^{2} -\omega _{0}^{2} } & {-2\omega _{0} \lambda } \\ {2\omega _{0} \lambda } & {\lambda^{2} -\omega _{0} ^{2} } \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} {X} \\ {Y} \end{array}\right)e^{\lambda t} =0.
$$
Dostáváme podmínku, že
$$
\left|\begin{array}{cc} {\lambda ^{2} -\omega _{0} ^{2} } & {-2\omega _{0} \lambda } \\ {2\omega _{0} \lambda } & {\lambda ^{2} -\omega _{0} ^{2} } \end{array}\right|=0,
$$
tj.
$$
\left(\lambda ^{2} -\omega _{0} ^{2} \right)^{2} +4\omega _{0} ^{2} \lambda ^{2} =\left(\lambda ^{2} +\omega _{0} ^{2} \right)^{2} =0,
$$
s řešením $\lambda =\pm i\omega _{0},$ které nám odhalí obecné řešení soustavy diferenciálních rovnic
$$
\vec{\eta }=\left(\begin{array}{c} {X_{1} } \\ {Y_{1} } \end{array}\right)e^{i\omega _{0} t} +\left(\begin{array}{c} {X_{2} } \\ {Y_{2} } \end{array}\right)e^{-i\omega _{0} t}
$$
nebo též
$$
\vec{\eta }=\left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {(X_{1} +X_{2} )\cos \omega _{0} t+i(X_{2} -X_{1} )\sin \omega _{0} t} \\ {(Y_{1} +Y_{2} )\cos \omega _{0} t+i(Y_{2} -Y_{1} )\sin \omega _{0} t} \end{array}\right).
$$
(b) Počáteční podmínky jsou
$$
\vec{\eta }(0)=\left(\begin{array}{c} {x'} \\ {y'} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {a} \\ {0} \end{array}\right), \quad \dot{\vec{\eta }}(0)=\left(\begin{array}{c} {0} \\ {0} \end{array}\right)
$$
tj.
$$
\vec{\eta }(0)=\left(\begin{array}{c} {X_{1} +X_{2} } \\ {Y_{1} +Y_{2} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {a} \\ {0} \end{array}\right),
$$
$$
\dot{\vec{\eta }}(0)=\left(\begin{array}{c} {i\omega _{0} (X_{2} -X_{1} )} \\ {i\omega _{0} (Y_{2} -Y_{1} )} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {0} \\ {0} \end{array}\right),
$$
které splňují
$$
\begin{array}{l} {X_{1} =X_{2} =\frac{a}{2}, } \\ {Y_{1} =Y_{2} =0}. \end{array}
$$
Řešení je tedy tvaru
$$
\begin{array}{l} {x'(t)=a\cos \omega _{0} t} \\ {y'(t)=0} \\ {z'(t)=0} \end{array}
$$
} % priklad 1.3
\priklad{1.4}{
Vypočtěte celkový moment hybnosti $\vec{{L}}^{{Q}} $ soustavy hmotných bodů v systému $S$, ale vzhledem k bodu $Q\not \equiv 0$, který má
v S pevnou polohu (tj. $\dot{\vec{r}}(Q)=0$). Udejte, pro které body Q je $\vec{{L}}^{{Q}} =\vec{L}$. Ukažte, že $\vec{{L}}^{{Q}} =\vec{L}'$,
kde $\vec{L}'$ je moment hybnosti v soustavě $S'$ vzhledem k počátku $O'\equiv Q$, jestliže se $S'$ neotáčí vůči $S$.
}{
Použijme vztah
$$
\vec{L}=\vec{L}^{Q} +\vec{r}(Q)\times \vec{P}+\vec{r}(Q)\times M\dot{\vec{r}}(Q)+t\dot{\vec{r}}(Q)\times \vec{P}-\dot{\vec{r}}(Q)\times M\vec{R},
$$
do kterého dosadíme předpoklady a vyjádříme z něj
$$\vec{L}^{Q} =\vec{L}-\vec{r}(Q)\times \vec{P}.$$
Rovnost $\vec{L}=\vec{L}^{Q} $ nastává právě když jsou vektory $\vec{P}$ a $\vec{r}(Q)$ kolineární.
} % priklad 1.4
