02OKS:Kapitola9

PDF	[ znovu generovat,	výstup z překladu ]	Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly	[ znovu generovat,	výstup z překladu ]	Přeložení pouze této kaptioly.
ZIP			Kompletní zdrojový kód včetně obrázků.
Součásti dokumentu 02OKS

součást	akce		poslední editace			soubor
Hlavní dokument	editovat	Hlavní stránka dokumentu 02OKS	Kyseljar	5. 9. 2015	12:16
Řídící stránka	editovat	Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků	Admin	7. 9. 2015	14:52
Header	editovat	Hlavičkový soubor	Kyseljar	5. 9. 2015	12:04	header.tex
Kapitola1	editovat	Úvodní stránka	Kyseljar	5. 9. 2015	12:06	titlepage.tex
Kapitola2	editovat	Přehled značení	Kyseljar	5. 9. 2015	12:07	Prehled_znaceni.tex
Kapitola3	editovat	Úvod	Maresj23	12. 8. 2017	17:05	Uvod.tex
Kapitola4	editovat	Operátor hustoty	Gajaleks	15. 2. 2023	12:13	Operator_hustoty.tex
Kapitola5	editovat	Matematický aparát	Maresj23	1. 10. 2017	08:30	Matematicky_aparat.tex
Kapitola6	editovat	vonNeumannova entropie	Kyseljar	5. 9. 2015	12:08	vonNeumannova_entropie.tex
Kapitola7	editovat	Kvantové měření	Kyseljar	5. 9. 2015	12:09	Kvantove_mereni.tex
Kapitola8	editovat	Kvantové operace	Kyseljar	5. 9. 2015	12:09	Kvantove_operace.tex
Kapitola9	editovat	Změny kvantového systému	Kyseljar	5. 9. 2015	12:09	Zmeny_kvantoveho_systemu.tex
Kapitola10	editovat	Dovětek	Kyseljar	5. 9. 2015	12:09	Dovetek.tex
Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02OKS}
 
\section{Změny kvantového systému}
\label{sec:Zmeny_kvantoveho_systemu}
 
V předchozí sekci jsem si zevrubně představili kvantové operace, nástroj, jehož prostřednictvím lze studovat vývoj otevřených kvantových systémů. Uvedli jsme si některé vlastnosti těchto zobrazení a různé způsoby jejich vyjádření, různé reprezentace. V této sekci se již konečně podíváme na celou věc více fyzikálně a místo kvantových operací samotných bude v centru našeho zájmu stát vývoj kvantového systému. 
 
Přesto si napřed uveďme jisté požadavky či omezení, která budeme nyní na kvantové operace klást. Již od počátku budeme v definicích kvantových operací brát $\hilb_1 = \hilb_2 = \hilb$. Dále budeme uvažovat jen deterministické změny, jinými slovy budou naše kvantové operace zachovávat stopu. Konkrétně mějme zobrazení $\phi_{(t_1,t_0)}$, které vezme stav $\rho_A(t_0) \in \states{\hilb}$ a vrátí obecně jiný stav $\rho_A(t_1) \in \states{\hilb}$. O tomto zobrazení předpokládáme, že má za definiční obor celou množinu stavů $\states{\hilb}$, je lineární a úplně pozitivní. Platí tedy $\rho_A(t_1) = \phi_{(t_1,t_0)} \rho_A(t_0) = \sum_i K_i \, \rho_A(t_0) \, \adj{K}_i = \trPar{B}(U (\rho_A(t_0) \tens \ketbraSame{\varphi}) \adj{U})$. Druhá rovnost představuje Krausovu reprezentaci, třetí rovnost pak reprezentaci á la otevřený systém \eqref{eq:open_syst_repr}, kde jsme stavem $\ketbraSame{\varphi}$ popsali okolí systému.
 
Na tomto místě může vzniknout námitka, proč pro okolí bereme jen čistý stav a ne stav obecný, smíšený. Uvažme tedy obecnější tvar stavu okolí popsaný operátorem hustoty $\sigma = \sum_i \lambda_i \ketbraSame{\psi_i}$, kde $\ket{\psi_i}$ tvoří ortonormální bázi Hilbertova prostoru okolí. Pak dostáváme
\begin{eqnarray}
\rho_A(t_1) & = & \phi_{(t_1,t_0)} \rho_A(t_0) \ = \ \trPar{B}(U (\rho_A(t_0) \tens \sigma) \adj{U}) \\
& = & \sum_{il} \lambda_i \bra{\psi_l} (U (\rho_A(t_0) \tens \ketbraSame{\psi_i}) \adj{U}) \ket{\psi_l} \\
& = & \sum_{il} \left( \sqrt{\lambda_i} \bra{\psi_l} U \ket{\psi_i} \right) \rho_A(t_0) \left( \sqrt{\lambda_i} \bra{\psi_i} \adj{U} \ket{\psi_l} \right).
\end{eqnarray}
%$\rho_A(t_1) = \phi_{(t_1,t_0)} \rho_A(t_0) = \trPar{B}(U (\rho_A(t_0) \tens \sigma) \adj{U}) = \sum_{il} \lambda_i \bra{\psi_l} (U (\rho_A(t_0) \tens \ketbraSame{\psi_i}) \adj{U}) \ket{\psi_i} = \sum_{il} \sqrt{\lambda_i} \bra{\psi_l} U \ket{\psi_i} \rho_A(t_0) \sqrt{\lambda_i} \bra{\psi_i} \adj{U} \ket{\psi_l}$. 
Označíme-li si $K_{il} = \sqrt{\lambda_i} \bra{\psi_l} U \ket{\psi_i}$, přejde předchozí rovnost na tvar $\rho_A(t_1) = \sum_{il} K_{il} \rho_A(t_0) \adj{K}_{il}$, což není nic jiného, než vyjádření v Krausově reprezentaci. (Připomeňme, že operátor $U$ působí na celém prostoru a tak výraz $K_{il}$ není číslo, ale operátor na prostoru zkoumaného systému.) Opět tak máme zajištěnu existenci vhodného operátoru $\tilde{U}$ a čistého stavu $\ket{\tilde{\varphi}}$ tak, že $\rho_A(t_1) = \trPar{B}(\tilde{U} (\rho_A(t_0) \tens \ketbraSame{\tilde{\varphi}}) \adj{\tilde{U}})$. Jak vidno, uvažováním obecného stavu $\sigma$ namísto čistého $\ket{\varphi}$ pro popis okolí nepřináší žádné zobecnění.
 
Uvažujme dále obecnější změny ve tvaru $\rho_A(t_1) = \trPar{B}(U \rho(t_0) \adj{U})$, kde $\rho(t_0)$ je nyní stav celého systému, jak našeho zkoumaného podsystému, tak i jeho okolí. Oproti předchozímu případu je situace nyní obecnější v tom, že operátor hustoty $\rho(t_0)$ může obsahovat i korelace (provázání) mezi zkoumaným systémem a okolím. Formálně lze psát $\rho(t_0) = \rho_A(t_0) \tens \rho_B(t_0) + \rho_\mathrm{corr}$, kde $\tr \rho_\mathrm{corr} = 0$ a nejedná se o stav, ale o pomocný operátor. Potom máme
\begin{equation}
\rho_A(t_1) = \trPar{B}(U (\rho_A(t_0) \tens \rho_B(t_0)) \adj{U}) + \trPar{B}(U \rho_\mathrm{corr} \adj{U}) = \sum_{il} K_{il} \rho_A(t_0) \adj{K}_{il} + \delta_U \rho(t_1, t_0).
\label{eq:rho_corr}
\end{equation}
Formálně tedy můžeme výsledný stav popsat pomocí Krausovy reprezentace a \uv{něčeho navíc}, veličiny $\delta_U \rho(t_1, t_0)$. Tato veličina obecně závisí na stavu $\rho_A$. Dále je dobré mít na paměti, že operátor $\rho_\mathrm{corr}$ omezuje třídu vstupních stavů. Například nemůže dojít k situaci, kdy je stav $\rho_A(t_0)$ čistý a přitom je operátor $\rho_\mathrm{corr}$ nenulový. Pokud je $\rho_\mathrm{corr}$ nenulový, existují mezi zkoumaným systémem a okolím korelace, které nelze popsat pomocí čistých stavů podsystémů. V této souvislosti je též vhodné si uvést následující větu, která má spíše symbolický význam.
 
\begin{veta}
Jakýkoliv časový vývoj kvantového stavu $\rho_A$ lze vždy zapsat ve tvaru 
\begin{equation}
\rho_A(t_1) = \sum_{\alpha} K_\alpha(t_1,t_0,\rho_A) \rho_A(t_0) \adj{K}_\alpha(t_1,t_0,\rho_A).
\end{equation}
\end{veta}
 
\begin{proof}
Nechť $\rho_A(t_1) = \sum_i \lambda_i(t_1) \ketbraSame{\psi_i(t_1)}$ a $U_1$ je zobrazení přehazující operátory v tenzorovém součinu, $U_1 (A \tens B) \adj{U}_1 = B \tens A$. Každý operátor $A$ lze psát komplikovaným způsobem $A = \trPar{2}(U_1 (B \tens A) \adj{U}_1)$. Aplikujeme-li tuto identitu na stav $\rho_A(t_1)$ výše a provedeme-li výpočet obdobný výpočtům v předchozích odstavcích, dospíváme k vyjádření ve tvaru Krausovy reprezentace $\rho_A(t_1) = \sum_{il} K_{il} \rho_A(t_0) \adj{K}_{il}$, kde $K_{il} = \sqrt{\lambda_i(t_1)} \bra{\psi_l(t_1)} U \ket{\psi_i(t_1)}$.
\end{proof}
 
Hlavní rozdíl mezi Krausovou reprezentací, tak jak jsme si ji definovali výše, a předchozí větou tkví ve tvaru operátorů $K$. Zatímco v Krausově reprezentaci byly operátory plně určeny nezávisle na vstupním stavu, operátory $K_\alpha$ v předchozím tvrzení závisejí nejen na časech, ale i na vstupních stavech $\rho_A$. Pro každý vstupní stav je tedy $K_\alpha$ obecně různý.
 
\begin{pozn}
O kvantové mechanice se hovoří jako o lineární teorii. Toto tvrzení však není zcela správně. Například v purifikačních protokolech se lze setkat se vzorci tvaru
\begin{equation}
\rho_2 = \trPar{2}(U (\rho_1 \tens \rho_1) \adj{U}).
\end{equation}
Jak vidno, takovýto výraz je \emph{kvadratický} v proměnných specifikujících stav $\rho_1$.
\end{pozn}
 
\begin{pozn}
V předchozí sekci jsme podrobně studovali kvantové operace a jejich vlastnosti. Na počátku této sekce jsme dále ukazovali, do jaké míry jsou tato zobrazení schopna zachytit vývoj otevřeného kvantového systému. Kvantové operace lze studovat z čistě matematického hlediska, v kontextu fyzikálního vývoje systému však budeme těmto operacím
\begin{equation}
\phi_{(t_1,t_0)}(\cdot) = \sum_\alpha K_\alpha(t_1,t_0) (\cdot) \adj{K}_\alpha(t_1,t_0)
\end{equation}
říkat \textbf{univerzální dynamická zobrazení} (angl. \emph{universal dynamical maps, UDM}). Platí zjevně $\phi_{(t_1,t_0)}: \bound{\hilb} \to \bound{\hilb}$. Tento superoperátor vyjadřuje vývoj otevřeného systému. Jak je to však s reverzibilitou takového vývoje, existuje UDM $\phi_{(t_0,t_1)}$ popisující vývoj v opačném směru? Jednoduchým příkladem toho, že takový superoperátor obecně neexistuje, je následující zobrazení. Nechť $\basisPlain{\ket{\varphi_i}}{i}$ je ortonormální báze prostoru $\hilb$ a $\ketphi$ je nějaký vektor z $\hilb$. Definujme $\phi(\rho) = \sum_i E_i \rho \adj{E}_i = \sum_i \ketbra{\varphi}{\varphi_i} \rho \ketbra{\varphi_i}{\varphi} = (\tr \rho) \ketbra{\varphi}{\varphi}$. Toto zobrazení sice je UDM, ale nelze ho invertovat. Pro obecný případ lze dokázat následující větu, kterou si my však dokazovat nebudeme.
\end{pozn}
 
\begin{veta}
Pro dané univerzální dynamické zobrazení $\phi_{(t_1,t_0)}$ je jeho inverze též UDM právě tehdy, když existuje unitární operátor $U$ takový, že $\phi_{(t_1,t_0)}(\cdot) = U (\cdot) \adj{U}$.
\end{veta}
 
Vývoj kvantového systému popsaného UDM zobrazením je tedy reverzibilní právě tehdy, když je uzavřený, unitární.
 
\subsection[Časová spojitost]{Časová spojitost -- Markovovská evoluce}
\label{sec:Casova_spojitost_--_Markovovska_evoluce}
 
Dosud jsme k popisu časového vývoje otevřeného systému využívali kvantové operace alias univerzální dynamická zobrazení. Tato zobrazení udávají, jak se změní stav studovaného systému mezi dvěma danými časy. Konkrétně nechť $\phi_{(t_1,t_0)}$ popisuje časový vývoj systému od času $t_0$ k času $t_1$. Jedná se tedy o \emph{diskrétní} popis vývoje studovaného systému, nevíme nic o stavech systému v~časech $t_0 < t < t_1$. Zkusme nyní přistoupit k vývoji otevřeného systému z~jiné strany. Nyní budeme chtít studovat \emph{spojité} časové vývoje, stav systému tedy budeme chtít znát v každém čase. Uvažujme proto následující rovnici, kde $\rho \in \states{\hilb}$, s počáteční podmínkou $\rho(0) = \rho_0$, jejíž zápis zní
\begin{equation}
\der{\rho(t)} = \liou(t) (\rho(t)).
\label{eq:evolucni_rce}
\end{equation}
Zobrazení $\liou$ zatím zůstává nespecifikované, jeho účelem je však zjevně popisovat vývoj daného systému. Zmíněné rovnici se říká \textbf{evoluční rovnice}. Její řešení můžeme formálně vyjádřit ve tvaru $\rho(t) = T(t,t_0) \rho_0$, kde je $T$ lineární zobrazení, kterážto vlastnost plyne z linearity samotné evoluční rovnice. Kvůli konzistenci časového vývoje musejí tato zobrazení splňovat následující dvě podmínky:
\begin{equation}
T(t,t) = \ident, \qquad T(t_2,t_0) = T(t_2,t_1) \, T(t_1,t_0),
\label{eq:evolucni_trida}
\end{equation}
pro všechna $t$ a všechny časy $t_0, t_1, t_2$ splňující $t_2 \geq t_1 \geq t_0$. Každá sada operátorů vyhovující těmto podmínkám se nazývá \textbf{evoluční třída}.
 
\begin{veta}
Diferencovatelná evoluční třída $T(t,s)$ je jediným řešením soustavy rovnic
\begin{equation}
\der{T(t,s)} = \liou(t) T(t,s), \quad \derArg{T(t,s)}{s} = -T(t,s) \, \liou(s), \quad T(s,s) = \ident,
% \quad \mathrm{kde} \ t \geq s.
\end{equation}
kde $\liou$ je nějaký jednoparametrický systém operátorů.
\label{thm:evol_trida}
\end{veta}
 
\begin{proof}
Nechť $t \geq s$. Nejdříve ukažme, že evoluční třída $T$ skutečně řeší dané rovnice pro nějaký systém operátorů $\liou$. Platí
\begin{equation}
\der{T(t,s)} = \lim_{h \to 0}\frac{T(t+h,s) - T(t,s)}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{T(t+h,t) T(t,s) - T(t,s)}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{T(t+h,t)- \ident}{h} T(t,s).
\end{equation}
Definujeme-li si $\liou(t) = \lim_{h \to 0}\frac{T(t+h,t)- \ident}{h}$, je rovnost dokázána. Dokažme si ještě jednoznačnost. Pro spor mějme dvě řešení $T(t,s)$ a $S(t,s)$, z nichž si sestrojíme systém operátorů $Q$, kde $Q(r) \coloneqq T(t,r) S(r,s)$ pro $t \geq r \geq s$. Pro derivaci následně platí
\begin{equation}
\derArg{Q(r)}{r} = \derArg{T(t,r)}{r} S(r,s) + T(t,r) \derArg{S(r,s)}{r}.
\end{equation}
Když dosadíme za derivace z rovnic výše, tak zjišťujeme, že derivace $\derArg{Q(r)}{r}$ je nulová a $Q(r)$ je tedy stejný pro všechny časy $r$. Položíme-li $r = s$, redukuje se nám tvar tohoto operátoru na $Q(s) = T(t,s)$. Podobně při dosazení $r = t$ obdržíme $Q(t) = S(t,s)$. Dokázali jsme tak jednoznačnost řešení.
\end{proof}
 
V případě uzavřených systémů, jejichž vývoj se řídí Schrödingerovou rovnicí, je stav systému tvaru $\rho(t) = U(t,t_0) \rho_0$, kde $U(t,t_0)$ jsou unitární operátory zjevně tvořící evoluční třídu. Vraťme se nyní zpět k našemu popisu pomocí kvantových operací a pokusme se tento přístup propojit s právě naznačeným spojitým popisem vývoje. Jak lze snadno nahlédnout z reprezentace á la otevřený systém \eqref{eq:open_syst_repr}, k operaci $\phi_{(t_1,t_0)}$ zmíněné výše přísluší jistý unitární operátor $U(t_1,t_0)$ popisující vývoj studovaného systému spolu s jeho okolím
\begin{equation}
\phi_{(t_1,t_0)}(\rho_A(t_0)) = \trPar{B} \left( U(t_1,t_0) (\rho_A(t_0) \tens \rho_B(t_0)) \adj{U}(t_1,t_0) \right).
\label{eq:UDM_open_repr}
\end{equation}
 
Mějme dále kvantovou operaci $\phi_{(t_2,t_0)}$ popisující vývoj systému od času $t_0$ k času $t_2 > t_1$, jemuž je příslušný unitární operátor $U(t_2,t_0)$. Unitární operátory popisují vývoj celého, uzavřeného, systému, splňují tedy vztah $U(t_2,t_0) = U(t_2,t_1) \, U(t_1,t_0)$, kde $U(t_2,t_1)$ popisuje vývoj celého systému od času $t_1$ k času $t_2$. Kdybychom chtěli podobnou rovnost najít i pro odpovídající kvantové operace, tj.
\begin{equation}
\phi_{(t_2,t_0)} = \phi_{(t_2,t_1)} \circ \phi_{(t_1,t_0)},
\label{eq:UDM_konzist_podm}
\end{equation}
tak narazíme na problém. Necháme-li počáteční stav $\rho_A(t_0)$ vyvíjet do času $t_1$, může se tento provázat se stavem okolí $\rho_B$. Provedeme-li ale poté v \eqref{eq:UDM_open_repr} částečnou stopu, připravíme se o znalost těchto kvantových korelací. Kvantová operace $\phi_{(t_2,t_1)}$ tak obecně nemá dostatek informací pro správný popis vývoje systému od času $t_1$ k času $t_2$. Obecně bychom museli psát
\begin{equation}
\phi_{(t_2,t_1)}(\rho_A(t_0)) = \trPar{B}(U(t_2,t_1) \, \rho(t_1) \, \adj{U}(t_2,t_1)),
\end{equation}
kde $\rho(t_1)$ je stav zkoumaného systému spolu s okolím. Výše jsme viděli, že vývoj provázaného stavu nelze zcela zachytit pomocí Krausových o\-pe\-rá\-to\-rů a zobrazení $\phi_{(t_2,t_1)}$ tak obecně nemusí být kvantovou operací, viz \eqref{eq:rho_corr}. Nicméně, níže si vydělíme takovou podtřídu otevřených vývojů, pro níž bude vlastnost \eqref{eq:UDM_konzist_podm} splněna.
 
\begin{definice}
Říkáme, že kvantový systém podstupuje \textbf{Markovovský vývoj} (respektive \textbf{Mar\-ko\-vov\-skou evoluci}) právě tehdy, když je jeho vývoj popsán evoluční třídou tvořenou univerzálními dynamickými zobrazeními.
\end{definice}
 
Jinými slovy se systém řídí Markovovskou evolucí právě, když je jeho vývoj popsán evoluční třídou a tato třída je navíc tvořena kvantovými operacemi. Tyto předpoklady na vývoj systému jsou velmi omezující. Leč, v teoretických spisech se lze s tímto modelem setkat poměrně často.
 
Odvoďme si nyní diferenciální tvar Markovovského vývoje. Najdeme tedy tvar příslušného zobrazení $\liou$ v rovnici \eqref{eq:evolucni_rce}. Postupem obdobným tomu v důkazu věty \eqref{thm:evol_trida} upravíme tvar časové derivace operátoru hustoty následovně
\begin{equation}
\der{\rho(t)} = \lim_{h \to 0}\frac{\rho(t+h) - \rho(t)}{h} = %\lim_{h \to 0}\frac{T(t+h,t) - T(t,t)}{h} \rho(t) = 
\lim_{h \to 0}\frac{T(t+h,t)- \ident}{h} \rho(t) = L(t) \rho(t),
\end{equation}
kde jsme položili $\liou(t) = \lim_{h \to 0}\frac{T(t+h,t)- \ident}{h}$. Dospěli jsme tak k evoluční rovnici, které se v tomto kontextu též říká \textbf{řídící rovnice} (angl. \emph{master equation}). Zobrazení $\liou$ lze přitom vyjádřit v hezčím tvaru tak, jak je ukázáno v následujícím lemmatu. Uveďme si nejprve však pomocnou definici.
 
\begin{definice}
Zobrazení $\liou: \bound{\hilb} \to \bound{\hilb}$ je \textbf{podmíněně úplně pozitivní} právě tehdy, když
\begin{equation}
P (\liou \tens \ident_{\hilb})(\ketbraME) P \geq 0,
\end{equation}
kde $P$ je ortogonální projekce na $(\Span (\ketbraME))^\perp$, tj. $P = \ident - \ketbraME$.
\end{definice}
 
\begin{lemma}
Nechť $\liou: \bound{\hilb} \to \bound{\hilb}$ je nějaké zobrazení. Pak následující tvrzení jsou ekvivalentní.
\begin{enumerate}
\item Zobrazení $L$ je hermitovské (tj. obrazy hermitovských operátorů jsou opět hermitovské) a podmíněně úplně pozitivní.
\item Existuje úplně pozitivní zobrazení $\phi: \bound{\hilb} \to \bound{\hilb}$ a matice $K \in \bound{\hilb}$ tak, že $L(\rho) = \phi(\rho) - K \rho - \rho \adj{K}$.
\end{enumerate}
\label{thm:lemma_o_liou}
\end{lemma}
 
\begin{proof}
Nejprve ukážeme, že podmíněná úplná pozitivita nezávisí na volbě maximálně pro\-vá\-za\-né\-ho stavu $\ketME$. Uvažujme tedy $\ketMEp = (\ident \tens U)\ketME$. Pak výraz $P'(L \tens \ident)(\ketbraMEp)P'$ je roven
\begin{eqnarray*}
& & (\ident - \ketbraMEp)(L \tens \ident)((\ident \tens U) \ketbraME (\ident \tens \adj{U}))(\ident - \ketbraMEp) \\
& = & ((\ident \tens U) - \ketbraMEp (\ident \tens U))(L \tens \ident)(\ketbraME)((\ident \tens \adj{U}) - (\ident \tens \adj{U})\ketbraMEp) \\
%& = & (\ident - (\ident \tens U)\ketbraME(\ident \tens \adj{U}))(\ident \tens U)(L \tens \ident)(\ketbraME)(\ident \tens \adj{U})(\ident - (\ident \tens U)\ketbraME (\ident \tens \adj{U})) \\
& = & (\ident \tens U)(\ident - \ketbraME)(L \tens \ident)(\ketbraME)(\ident - \ketbraME)(\ident \tens \adj{U}) \\
& = & (\ident \tens U)P(L \tens \ident)(\ketbraME)P(\ident \tens \adj{U}).
\end{eqnarray*}
Obdrželi jsme tak výraz, který je podobnostní transformací spjat s výrazem $P(L \tens \ident)(\ketbraME)P$. Když je jeden výraz pozitivní, je pozitivní i druhý. Pozitivita tedy skutečně nezávisí na volbě stavu $\ketME$.
 
Přejděme nyní k důkazům jednotlivých implikací, začněme s implikací z prvního do druhého bodu. Zobrazení $L$ nechť je tedy hermitovské. Pak $\tau = (L \tens \ident_{\hilb})(\ketbraME)$ je též hermitovský. %, $\tau = \adj{\tau}$. 
Jako další krok doplníme vektor $\ketME$ na ortonormální bázi $\{\ketME, \ket{\Omega_1}, \ldots, \ket{\Omega_k}\}$. V této bázi můžeme $\tau$ vyjádřit způsobem $\tau = \tau_0 \ketbraME + \sum_i (\tau_i \ketbra{\Omega_i}{\Omega} + \cc{\tau_i} \ketbra{\Omega}{\Omega_i}) + Q$, kde $Q = \sum_{ij} \tau_{ij} \ketbra{\Omega_i}{\Omega_j}$ je hermitovská matice. Zavedeme-li vektor $\ketpsi = (\tau_0/2) \ketME + \sum_i \tau_i \ket{\Omega_i}$, můžeme přepsat $\tau$ jako $\tau = Q + \ketbra{\psi}{\Omega} + \ketbra{\Omega}{\psi}$. Jak vidno, $Q$ žije na ortogonálním doplňku k $\ketME$. Dále $P \tau P = Q$, takže $Q \geq 0$. Existuje tedy úplně pozitivní $\phi$ tak, že $Q = (\phi \tens \ident)(\ketbraME)$ a navíc existuje matice $K$ taková, že $-\ketpsi = (K \tens \ident)\ketME$. (Znaménko mínus je voleno tímto způsobem z historických důvodů.) Celkem máme $\tau = (\phi \tens \ident)(\ketbraME) - (K \tens \ident)\ketME - \ketME (\adj{K} \tens \ident)$. Tento vzorec můžeme dále upravit použitím vztahu $A B C \sim (A \tens C^T) \ket{B}$ na tvar $(\phi \tens \ident - (K(\cdot) \ident) \tens \ident - (\ident(\cdot) \adj{K}) \tens \ident)(\ketbraME)$. Porovnáním tohoto výrazu s původním tvarem pro $\tau$ získáváme $L(A) = \phi(A) - K A - A \adj{K}$.
 
Pro důkaz opačné implikace nechť $\liou(\rho) = \phi(\rho) - K \rho - \rho \adj{K}$. Z tohoto plyne $(\liou \tens \ident)(\ketbraME) = (\phi \tens \ident)(\ketbraME) - (K \tens \ident)(\ketbraME) - (\ketbraME)(\adj{K} \tens \ident)$. Uvědomíme-li si, že $P \ketME = 0 = \braME P$, tak ihned dostáváme $P(\liou \tens \ident)(\ketbraME)P = P(\phi \tens \ident)(\ketbraME)P$. Neboť je poslední výraz pozitivní, je zobrazení $\liou$ podmíněně úplně pozitivní. K dokončení důkazu ještě ověřme, že je $\liou$ hermitovské. Skutečně, platí $\liou(\adj{\rho}) = \phi(\adj{\rho}) - K \adj{\rho} - \adj{\rho} \adj{K} = \adj{(\phi(\rho) - \rho \adj{K} - K \rho)} = \adj{(\liou(\rho))}$, což bylo dokázati.
\end{proof}
 
Předešlé tvrzení udává specifičtější tvar zobrazení $\liou$ na základě některých jeho obecných vlastností. O tom, zda má popisovat Markovovský vývoj či ne, jsme se dosud nezmínili. To uděláme až v tvrzení následujícím.
 
\begin{veta}
Nechť $T(t,s): \bound{\hilb} \to \bound{\hilb}$ je evoluční třída. Pak následující dvě tvrzení jsou ekvivalentní.
\begin{enumerate}
\item $T(t,s)$ je Markovovská evoluční třída.
\item Zobrazení $\liou(t) = \lim_{h \to 0} \frac{T(t+h,t) - \ident}{h}$ je podmíněně úplně pozitivní.
\end{enumerate}
\label{thm:Markov_evol_trida}
\end{veta}
 
\begin{proof}
Pro důkaz implikace z jedničky do dvojky mějme $T(t,s)$, které je úplně pozitivní. Platí tedy $(T(t,s) \tens \ident)(\ketbraME) \geq 0$. Pro malá $h$ mohu rozumně provést rozklad způsobem $T(t+h,s) = T(t,s) + \der{T(t,s)} h + \mathcal{O}(h^2)$ a tedy $T(t+h,t) = \ident + \liou(t) h + \mathcal{O}(h^2)$. Z toho plyne $0 \leq (T(t+h,t) \tens \ident)(\ketbraME) = \ketbraME + h (\liou(t) \tens \ident)(\ketbraME) + \mathcal{O}(h^2)$. Celý výraz je pozitivní, tj. hermitovský. Pošleme-li $h$ do nuly, tak zjišťujeme, že i $(\liou(t) \tens \ident)(\ketbraME)$ je hermitovský a tak $\liou(t)$ zachovává hermitovost. Navíc, obložíme-li celý výraz projektorem $P$ a vydělíme-li číslem $h$, máme $0 \leq P(\liou(t) \tens \ident)(\ketbraME)P + P(\frac{1}{h} \mathcal{O}(h^2))P$. Druhý člen jde do nuly pro $h \to 0$ a tak $P(\liou(t) \tens \ident)(\ketbraME)P \geq 0$. Zobrazení $\liou(t)$ je tedy podmíněně úplně pozitivní. Důkaz opačné implikace z druhého do prvního bodu je nad rámec této přednášky.
%Důkaz opačné implikace si pouze nastíníme. Řešení rovnice $\der{T(t,s)} = \liou(t) T(t,s)$ má tvar exponenciely, kterou lze rozvinout do Dysonova rozvoje se současným využitím časového rozvoje. Celkem tedy $T(t,s) = \mathrm{T} \exp(\int_s^t \liou(t) \dt)$. Pravou stranu lze dále upravit s pomocí tvrzení, jež se anglicky nazývá \emph{time splitting formula} na tvar $\lim_{\max{|t_{j+1} - t_j|} \to 0} \Pi_{j=n-1}^0 \exp((t_{j+1} - t_j) \liou(t_j))$, který již je časově uspořádaný...
\end{proof}
 
Z důkazu právě uvedené věty plyne, že pro Markovovský vývoj je odpovídající zobrazení $\liou$ hermitovské a podmíněně úplně pozitivní. Podle lemmatu \ref{thm:lemma_o_liou} lze takovéto zobrazení napsat ve tvaru $L(\rho) = \phi(\rho) - K \rho - \rho \adj{K}$ pro jistou matici $K$ a kvantovou operaci $\phi$. Neboť $\liou$ může záviset na čase a kvantové operace $\phi_t$ lze vyjádřit v Krausově reprezentaci, platí
\begin{equation}
\liou(t)(A) = \phi_t(A) - K(t) A - A \adj{K}(t) = \sum_i V_i(t) A \adj{V}_i(t) - K(t) A - A \adj{K}(t)
\label{eq:liou_phi_K}
\end{equation}
pro vhodně zvolené jednoparametrické třídy matic $V_i$ a $K$. Takovýto vývoj nezvyšuje stopu, platí tedy, že časová derivace stopy $\tr(\rho(t))$ je nekladná. Neboli
\begin{equation}
0 \geq \der{\tr(\rho(t))} = \tr \left( \der{\rho(t)} \right) = \tr(\liou(t) \rho(t)) = \tr(\adj{\liou}(t)(\ident) \, \rho(t)),
\end{equation}
kde první rovnost plyne z definice derivace a linearity stopy. Druhá rovnost plyne z evoluční rovnice a konečně třetí rovnost plyne z vlastností Hilbert-Schmidtova skalárního součinu. Neboť výše odvozený vztah musí platit pro všechny časy $t$ a stavy $\rho(t)$, je jeho splnění ekvivalentní podmínce
\begin{equation}
\adj{\liou}(t)(\ident) \leq 0, \quad \forall t.
\end{equation}
Z toho již přímo vyplývá, že evoluční třída zachovává stopu právě tehdy, když $\adj{\liou}(t)(\ident) = 0$, tj. $\adj{\phi}_t(\ident) = K(t) + \adj{K}(t)$ pro všechny časy, viz \eqref{eq:liou_phi_K}. Tento vztah tedy ukazuje, že operátor $\adj{\phi}_t(\ident)$ je samosdružený. Navíc, obecnou matici $K$ lze rozložit na součet hermitovské a antihermitovské matice způsobem
\begin{equation}
K = \frac{K + \adj{K}}{2} + \frac{K - \adj{K}}{2} = K_H + K_A,
\end{equation}
kde $K_H = \frac{K + \adj{K}}{2} = \adj{K}_H$ a $K_A = \frac{K - \adj{K}}{2} = -\adj{K}_A$. Pro součet tedy máme $K + \adj{K} = 2 K_H$. Porovnáme-li tento výraz s obdrženým vztahem $\adj{\phi}_t(\ident) = K(t) + \adj{K}(t)$, můžeme psát $K(t) = \frac{1}{2}\adj{\phi}_t(\ident) + \ii H(t)$, kde $H(t)$ je nějaký samosdružený operátor. Dosadíme-li toto vyjádření do vzorce pro zobrazení $\liou$, dostáváme
\begin{eqnarray}
\liou(t)(A) & = & \sum_i V_i A \adj{V}_i - \frac{1}{2} \adj{\phi}(\ident) A - \frac{1}{2} A \adj{\phi}(\ident) - \ii H A + \ii A H \\
& = & \sum_i V_i A \adj{V}_i - \frac{1}{2} \{ \adj{\phi}(\ident), A \} + \ii \com{A}{H} \\
& = & \ii \com{A}{H} + \sum_i (V_i A \adj{V}_i - \frac{1}{2} \{ \adj{V}_i V_i, A\}) \\
& = & \ii \com{A}{H} + \frac{1}{2} \sum_i (2 V_i A \adj{V}_i - \adj{V}_i V_i A - A \adj{V}_i V_i) \\
& = & \ii \com{A}{H} + \frac{1}{2} \sum_i \left(\com{V_i A}{\adj{V}_i} + \com{V_i}{A \adj{V}_i} \right),
\end{eqnarray}
kde $\com{\cdot}{\cdot}$ značí komutátor a $\{\cdot,\cdot\}$ označuje antikomutátor. Výrazu $\sum_i (V_i (\cdot) \adj{V}_i - \frac{1}{2} \{ \adj{V}_i V_i,(\cdot)\})$ ve třetím řádku se říká \textbf{Lindbladovská forma}, resp. \textbf{Lindbladův superoperátor}, a operátory $V_i$ se nazývají \textbf{Lindbladovy operátory}. Řídící rovnici \eqref{eq:evolucni_rce}, kde za $\liou$ dosadíme ten, který jsme v poslední rovnosti odvodili, se říká  \textbf{Lindbladova rovnice}. Snadno nahlédneme, že pokud položíme všechny $V_i$ rovné nule, tak se nám Lindbladova rovnice redukuje do tvaru
\begin{equation}
\der{\rho(t)} = \ii \com{A}{H},
\end{equation}
což je \emph{Liouvilleova rovnice}. Operátor $H$ je hermitovský a lze ho tudíž interpretovat jako \emph{Hamiltonián} daného systému.
 
%Připomeňme si, k čemu jsme zatím dospěli. Uvažujeme spojitý časový vývoj kvantového systému, jehož stav je v každém čase $t$ popsán maticí hustoty $\rho(t)$. Tento vývoj splňuje evoluční rovnici \eqref{eq:evolucni_rce}, omezujeme se přitom jen na Markovovské vývoje. Pokud je zobrazení $\liou$ hermitovské, je tak tvaru $L(\rho) = \phi(\rho) - K \rho - \rho \adj{K}$, což vyplývá z lemmatu \ref{thm:lemma_o_liou} a věty \ref{thm:Markov_evol_trida}. 
 
\subsubsection{Homogenní Markovovské procesy}
 
Uvažujme nyní, že je zobrazení $\liou$ konstantní, neboli jednoparametrická třída zobrazení $\liou(t)$ má všechny prvky stejné a rovné $\liou$. Z diskuze výše vidíme, že $\liou$ je konstantní právě tehdy, když $\phi$ a $K$ jsou konstantní. Zobrazení $\liou$ lze chápat jako generátor evoluční třídy $T(t_2,t_1)$ \eqref{eq:evolucni_trida}. Z rovnice \eqref{eq:evolucni_rce} totiž plyne
\begin{equation}
T(t_2,t_1) = e^{\liou (t_2 - t_1)}.
\end{equation}
Operátor $T(t_2,t_1)$ tedy závisí jen na rozdílu $\tau = t_2 - t_1$ počátečního $t_1$ a konečného času $t_2$. Označme si $T(t_2,t_1) = \phi_\tau$. Pak z vlastností evoluční třídy plyne
\begin{equation}
\phi_{\tau_1 + \tau_2} = \phi_{\tau_2} \circ \phi_{\tau_1}.
\end{equation}
Množina univerzálních dynamických zobrazení $\phi_{\tau}$ tak zjevně tvoří pologrupu, této pologrupě se říká \textbf{(kvantová) Markovovská (dynamická) pologrupa}.
 
\begin{priklad}
\emph{Defázování dvouhladinového kvantového systému.} Uvažujme dvouhladinový systém, tj. systém, který se může nacházet buď v základním, nebo v excitovaném stavu. Nechť je tento navíc v kontaktu s tepelnou lázní. Zajímá nás chování našeho dvouhladinového systému při defázování, kde zanedbáme změny v lázni, o níž předpokládáme, že je obrovská ve srovnání s naším zkoumaným systémem. Defázování je pak za takovýchto předpokladů popsáno Hamiltoniánem $H = \frac{\omega_0}{2} \pauliz$ a Lindbladovským operátorem $V = \sqrt{\gamma} \pauliz$. Neboť $\frac{1}{2}\{\adj{\pauliz} \pauliz, \rho\} = \frac{1}{2}\{\ident, \rho\} = \rho$ je Lindbladova rovnice tvaru
\begin{equation}
\der{\rho(t)} = \ii \com{\rho(t)}{\frac{\omega_0}{2} \pauliz} + \gamma (\pauliz \rho(t) \pauliz - \rho(t)),
\end{equation}
kde $\rho(t)$ je matice hustoty dvouhladinového stavu. Lze ukázat, že časový vývoj popsaný touto rovnici vynucuje, že matice hustoty $\rho(t)$ vyjádřená ve výpočetní bázi přejde do diagonálního tvaru, pošleme-li čas do nekonečna. Neboli
\begin{equation}
\rho(0) =
\begin{pmatrix}
\rho_{11} & \rho_{12} \\
\rho_{21} & \rho_{22}
\end{pmatrix}
\ \stackrel{t \to \infty}{\xrightarrow{\hspace*{1.5cm}}} \
\begin{pmatrix}
\rho_{11} & 0 \\
0 & \rho_{22}
\end{pmatrix}.
\end{equation}
\end{priklad}
 
\subsection[Spektrální vlastnosti]{Spektrální vlastnosti kvantových operací a generátorů Markovovské evoluční třídy}
\label{sec:Spektralni_vlastnosti_operaci_a_generatoru}
 
Mnoho zajímavých vlastností superoperátorů lze vyčíst ze znalosti jejich vlastních čísel. V této kapitolce se tedy budeme blíže věnovat právě spektru kvantových operací a podobných zobrazení. Na úvod si připomeňme definici a některé vlastnosti operátorové normy pro operátory $A \in \bound{\hilb}$. Její definice pro takové operátory zní
\begin{equation}
\| A \| = \sup_{\|x\|=1} \| A x \|.
\end{equation}
Uvedeme si čtyři vlastnosti, jež budeme v následujícím potřebovat. Pro každé dva operátory $A, B \in \bound{\hilb}$ platí
\begin{enumerate}
\item $\| AB \| \leq \|A\| \|B\|,$
\item $\|A\| = \|\adj{A}\|$,
\item $\|\adj{A} A\|  =\|A\|^2$,
\item $\|A\| = \|UAV\|$ pro $U, V \in \bound{\hilb}$ unitární.
\end{enumerate}
Kromě té poslední byly všechny vlastnosti dokázány již v kurzu funkcionální analýzy. Poslední rovnost si dokážeme pomocí rozkladu operátoru na singulární hodnoty. Z právě zmíněných vlastností normy mimo jiné plyne, že množina omezených operátorů tvoří $C^\star$-algebru. 
 
\begin{pozn}
Každý (obecně komplexní) operátor $A$ lze rozložit do tvaru $A = U D V$, kde $U$ a $V$ jsou unitární operátory a $D$ je diagonální matice, jejíž prvky $d_i$ jsou všechny nezáporné. Těmto prvkům se říká \textbf{singulární vlastní hodnoty} operátoru $A$. Pro diagonalizovatelné operátory $A$ navíc existuje unitární operátor $U_1$ takový, že $A = U_1 D_1 \adj{U_1}$, kde $D_1$ je diagonální matice tvořená vlastními čísly $\alpha_i$. Součin $A\adj{A}$ pak splňuje rovnost $A \adj{A} = U_1 |D_1|^2 \adj{U_1} = U D^2 \adj{U}$. Máme tak dvojí vyjádření vlastních čísel operátoru $A\adj{A}$ -- jednak pomocí matice $|D_1|^2$, jednak pomocí matice $D^2$. Platí tedy rovnost $|\alpha_i|^2 = d_i^2$, tj. $|\alpha_i| = d_i$. Lze dále ukázat, že norma operátoru $A$ se spočte jako $\|A\| = s_1(d_i) = \max_i d_i$. S~využitím tohoto vztahu již lze dokázat druhou vlastnost operátorové normy zmíněné ve výčtu výše.
\end{pozn}
 
\begin{definice}
Nechť $A \in \bound{\hilb}$ je operátor splňující $\|A\| \leq 1$. Pak $A$ se nazývá \textbf{kontrakce}.
\end{definice}
 
\begin{veta}
Omezený operátor $A \in \bound{\hilb}$ je kontrakce právě, když
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
\ident & A \\
\adj{A} & \ident
\end{pmatrix}
\geq 0.
\end{equation}
\end{veta}
 
\begin{proof}
Uvažujme nejprve jednorozměrný případ, tj. $\dim \hilb = 1$. Pak je ihned vidět, že matice
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
1 & a \\
\cc{a} & 1
\end{pmatrix}
\end{equation}
je pozitivní právě tehdy, když $|a| \leq 1$. Pro vyšší dimenze vyjádřeme operátor $A$ pomocí jeho singulárních hodnot ve tvaru $A = U D V$. Pak
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
\ident & A \\
\adj{A} & \ident
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\ident & U D V \\
\adj{V} D \adj{U} & \ident
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
U & 0 \\
0 & \adj{V}
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
\ident & D \\
D & \ident
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
\adj{U} & 0 \\
0 & V
\end{pmatrix}.
\end{equation}
Poslední výraz je tvořen třemi maticemi, z nichž třetí je hermitovsky sdružená k první. Tento výraz je tedy sdružen podobnostní transformací s maticí
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
\ident & D \\
D & \ident
\end{pmatrix},
\end{equation}
která je tvořena diagonálními maticemi $D$ a $\ident$. Lze ji tedy přepsat do tvaru
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
\ident & D \\
D & \ident
\end{pmatrix}
=
P
\left(
\bigoplus_{i}
\begin{pmatrix}
1 & d_i \\
d_i & 1
\end{pmatrix}
\right)
\adj{P},
\end{equation}
kde $P$ je vhodná permutační matice a $d_i$ jsou diagonální prvky matice $D$. Tento výraz je podobností transformací sdružen s direktním součtem matic $2 \times 2$, které jsou stejného tvaru, jaký jsme vyšetřovali v jednorozměrném případě na začátku důkazu. Protože podobnostní transformace zachovává pozitivitu, stačí nám vyšetřovat pozitivitu každé takovéto matice $2 \times 2$ zvlášť. Pro tyto matice jsme ale už důkaz pozitivity provedli na počátku důkazu. Můžeme tedy shrnout, že daná matice je pozitivní právě, když $d_i \leq 1$ pro všechny indexy $i$, což je ekvivalentní s tím, že operátor $A$ je kontrakce.
\end{proof}
 
%\subsubsection{Russo-Dyeova věta}
 
\begin{veta}
\emph{Russo-Dyeova věta.} Nechť $\phi: \bound{\hilb} \to \bound{\hilb}$ je pozitivní a unitální lineární zobrazení. Pak jeho operátorová norma je rovna jedné, neboli
\begin{equation}
\| \phi \| \equiv \sup_{\|A\| = 1} \|\phi(A)\| = 1.
\end{equation}
\end{veta}
 
\begin{proof}
Nejprve ukážeme, že pro unitární $U$ platí $\| \phi(U) \| \leq 1$. Uvažujme spektrální rozklad operátoru $U$ ve tvaru $U = \sum_i \lambda_i P_i$, kde vlastní čísla tedy splňují $|\lambda_i|=1$ a projektory na vlastní podprostory se sčítají na identitu, $\sum_i P_i = \ident$. Zobrazení $\phi$ je unitální, tj. $\ident = \phi(\ident) = \phi(\sum_i P_i)$. S~využitím této vlastnosti pak můžeme psát
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
\ident & \phi(U) \\
\adj{\phi}(U) & \ident
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\sum_i \phi(P_i) & \sum_i \lambda_i \phi(P_i) \\
\sum_i \cc{\lambda_i} \phi(P_i) & \sum_i \phi(P_i)
\end{pmatrix}
= \sum_i 
\begin{pmatrix}
\phi(P_i) & \lambda_i \phi(P_i) \\
\cc{\lambda_i} \phi(P_i) & \phi(P_i)
\end{pmatrix}
\end{equation}
Sumu matic za poslední rovností lze vyjádřit jako tenzorový součin v následujícím tvaru
\begin{equation}
\sum_i 
\begin{pmatrix}
1 & \lambda_i \\
\cc{\lambda_i} & 1
\end{pmatrix}
\otimes \phi(P_i).
\end{equation}
Neboť $\phi$ je z předpokladů pozitivní a $|\lambda_i| = 1$, tak suma matic výše je pozitivní operátor a z předchozí věty tak plyne, že $\| \phi(U) \| \leq 1$. Uvažujme dále libovolný operátor $A \in \bound{\hilb}$ o jednotkové normě. Ukážeme nyní, že lze tento vyjádřit jako $A = \frac{1}{2}(U + V)$, kde $U$ a $V$ jsou unitární operátory. Protože $\|A\|=1$, tak všechny singulární hodnoty $d_i$ leží v intervalu $[0,1]$ a lze je tak napsat jako cosinus jistého úhlu $\varphi_i$. Rozklad $A$ na singulární hodnoty tedy vypadá jako $A = U_1 D V_1$, kde $D = \Diag(\cos(\varphi_1), \ldots, \cos(\varphi_n)) = \frac{1}{2} (D_1 + \adj{D_1})$. Matice $D_1$ je přitom diagonální matice tvaru $D_1 = \Diag(\exp(\ii\varphi_1), \ldots, \exp(\ii\varphi_n))$, neboť $\cos(\varphi_i)=\frac{1}{2}(\exp(\ii \varphi) + \exp(-\ii \varphi)$. Pak tedy $A = \frac{1}{2} U_1 (D_1 + \adj{D_1}) V_1 = \frac{1}{2}(U_1 D_1 V_1 + U_1 \adj{D_1} V_1)$.
 
Přikročme k závěrečné části důkazu. S využitím zápisu $A = \frac{1}{2}(U + V)$ a již dokázané nerovnosti pro unitární operátory dostáváme $\|\phi(A)\| = \frac{1}{2}\|\phi(U)+\phi(V)\| \leq 1$. Navíc $\phi(\ident) = \ident$, nerovnosti se tedy nabývá a platí tak $\|\phi\| = 1$.
\end{proof}
 
Tvrzení předchozí věty lze zobecnit v následujícím znění i pro neunitální operace $\phi$.
 
\begin{veta}
Nechť $\phi$ je pozitivní lineární superoperátor na $\bound{\hilb}$. Pak $\|\phi\| = \|\phi(\ident)\|$.
\end{veta}
 
\begin{proof}
Položme $R = \phi(\ident)$. Pokud je $R$ invertovatelné, pak pro $\tilde{\phi}(A) = R^{-\frac{1}{2}} \phi(A) R^{-\frac{1}{2}}$ platí, že $\tilde{\phi}(A)$ je unitální a pozitivní. Z předchozí věty tedy vyplývá $\|\tilde{\phi}(A)\| = \|R^{-\frac{1}{2}} \phi(A) R^{-\frac{1}{2}}\| = 1$. Takže $\|\phi(A)\| = \|R^{\frac{1}{2}} \tilde{\phi}(A) R^{\frac{1}{2}}\| \leq \|R^{\frac{1}{2}}\|^2 \|\tilde{\phi(A)}\|$. Neboť pro obecné $B \in \bound{\hilb}$ platí $\|\adj{B} B\|=\|B\|^2$, tak $\|\phi(A)\| \leq \|R^{\frac{1}{2}} R^{\frac{1}{2}}\| \|\tilde{\phi}\| \|A\| = \|R\| \|A\|$. Z definice normy operátoru tedy $\|\phi\| \leq \|R\|=\|\phi(\ident)\|$. Navíc pro volbu $A = \ident$ dostáváme $\|\phi(\ident)\| \leq \|R\| \|\ident\| = \|R\|$. Neboť $R = \phi(\ident)$, tak se předchozí nerovnosti nabývá a celkem tedy platí $\|\phi\|=\|\phi(\ident)\|$. Pro neinvertibilní $R$ můžeme definovat $\phi_\varepsilon(A) = \phi(A)+\varepsilon \ident$, které je pro každé $\varepsilon > 0$ invertovatelné. Nyní bychom postupovali stejně jako v předchozím případě pro $\phi_\varepsilon$ a nakonec provedli limitní přechod $\varepsilon \to 0$. Neboť je norma spojité zobrazení, tak i pro neinvertovatelné $R$ máme $\|\phi\|=\|\phi(\ident)\|$.
\end{proof}