Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02OKS}
\section{Operátor hustoty}
\label{sec:Operator_hustoty}
Popisujeme-li vývoj \emph{uzavřeného} kvantového systému, vystačíme si většinou s pojmem \emph{čistého stavu}. Jedná se o vektor v Hilbertově prostoru $\hilb$, který je danému kvantovému systému přidružen. Na daném Hilbertově prostoru je definován skalární součin, my si tento budeme značit v souhlase s Diracovou notací jako $\braket{\cdot}{\cdot}$. Spolu s vektory Hilbertova prostoru uvažujeme i zobrazení, která na těchto vektorech působí. Neboť se omezujeme pouze na konečněrozměrné Hilbertovy prostory, jsou všechny operátory definované na daném Hilbertově prostoru h omezené, a tedy $\bound{\hilb}$ představuje množinu všech operátorů. Omezené operátory samotné tvoří další Hilbertův prostor, zavedeme-li na něm \emph{Hilbert-Schmidtův skalární součin} následujícím způsobem. Mějme dva operátory $A, B \in \bound{\hilb}$, pak jejich skalární součin je definován vztahem
\begin{equation}
(A,B) \equiv \tr(\adj{A} B),
\end{equation}
kde $\adj{A}$ je operátor hermitovsky sdružený k operátoru $A$ a $\tr(\cdot)$ značí stopu operátoru, viz sekci \ref{sec:Prehled_znaceni}. V~prostoru operátorů můžeme dále vydělit množinu všech \emph{pozorovatelných} $\{A \in \bound{\hilb}| \adj{A} = A\}$ \emph{na prostoru} $\hilb$ tvořenou hermitovskými operátory. Jak bylo předesláno, dosud se pracovalo především s~čistými stavy, vektory. Operátory představující vývoj systému či měření vzaly vektor a vrátili jiný vektor. Když jsme měli jistou pozorovatelnou $A$, dostali jsme jejím změřením na daném čistém stavu $\ketpsi$ číslo, které bylo vlastním číslem operátoru $A$ a které jsme interpretovali jako výsledek měření. Pokud přitom nebyl vektor $\ketpsi$ vlastním vektorem pro $A$, obdrželi jsme různá čísla s různou pravděpodobností výskytu.
Důležité bylo si uvědomit, že vše, co o daném stavu kvantového systému jsme schopni zjistit, jsou průměrné hodnoty nejrůznějších veličin. Výsledek jediného měření na daném stavu neměl valné hodnoty. Rozlišujme nyní na chvíli důsledně dva pojmy, stav systému $\psi$ a jemu příslušný vektor $\ketpsi$. Stavem systému máme na mysli soubor všech jeho vlastností. Pro popis stavu kvantového systému tak je nezbytné uvést střední hodnoty $\average{A}{\psi}$ všech pozorovatelných $A$ na daném stavu působících. V případě stavů uzavřených systémů byla situace jednodušší v tom, že místo vypisování všech těchto středních hodnot jsme měli prostředek, jak je snadno spočítat. Tímto prostředkem byl vektor $\ketpsi$, z něhož jsme odpovídající střední hodnotu pozorovatelné $A$ obdrželi vypočtením výrazu $\brapsi A \ketpsi$, který jsme prohlásili za střední hodnotu $\average{A}{\psi}$. Pokud se dal stav systému takto popsat pomocí vektoru, nazvali jsme ho čistým stavem.
Použijme analogický postup v širším kontextu. Opusťme zažitou představu čistých stavů a definujme si stav jako zobrazení, které každé pozorovatelné přiřazuje reálné číslo, na které naklademe pár podmínek. Máme tedy přesně to, co chceme. Dané zobrazení vezme pozorovatelnou $A$ a vrátí odpovídající střední hodnotu $\average{A}{}$. Korektní definice zní následovně.
\begin{definice}
\textbf{Stavem systému} nazveme lineární funkcionál $S: \bound{\hilb} \to \R$ splňující dodatečné podmínky:
\begin{enumerate}
\item Normalizace: $S(\ident) = 1$. (To jest, na identitu vrátí jedničku.)
\item Pozitivita: $S(\adj{A} A) \geq 0$, $\forall A \in \bound{\hilb}$. (To jest, na každý pozitivní operátor vrátí nezá\-porné číslo.)
\end{enumerate}
\end{definice}
Rieszova věta říká, že pro každý lineární funkcionál $S$ najdeme operátor $\rho \in \bound{\hilb}$ tak, že $S(A) = (\rho, A) = \tr(\adj{\rho} A)$ pro každý $A \in \bound{\hilb}$. O tomto operátoru si ukážeme, že je hermitovský a má jednotkovou stopu. Pro důkaz $\rho=\adj{\rho}$ ukážeme, že $(\rho,A)=(\adj{\rho},A)$ pro každý operátor $A \in \bound{\hilb}$. Rovnost však stačí ukázat pro $A$ hermitovkské, jelikož skalární součin je bilineární a každý operátor $A \in \bound{\hilb}$ je možné napsat jako součet dvou hermitovských operátorů $A=A_1+iA_2 = (A+\adj{A})/2+i\left(i(-A+\adj{A})/2 \right)$. Nyní využijeme toho, že $S(\cdot)$ je reálné číslo, a tedy $S(\cdot) = \cc{S(\cdot)}$. Pak dostáváme $(\rho,A) = \tr(\adj{\rho}A) = S(A)=\cc{S(A)} = \cc{\tr(\adj{\rho}A)}=\tr(\rho^T \cc{A}) = \tr((\rho^T \cc{A})^T) = \tr(\adj{A} \rho) = \tr(\rho \adj{A}) = \tr(\rho A) = (\adj{\rho},A)$. Z normalizační podmínky navíc vyplývá $1 = S(\ident) = \tr(\adj{\rho} \ident) = \tr(\rho)$. Druhá definiční vlastnost nám přitom zajišťuje $0 \leq S(C) = \tr(\rho C)$ pro všechny pozitivní operátory $C$. Pokud zvolíme $C = \ketbraSame{\psi}$, tak $\tr(\rho C) = \tr(\rho \ketbrapsi) = \brapsi \rho \ketpsi \geq 0$ pro všechny $\ketpsi \in \hilb$. Operátor $\rho$ je tedy dokonce pozitivní.
\begin{definice}
Operátor z úvah výše se nazývá \textbf{operátor hustoty}, popř. \textbf{matice hustoty}. Neboť pozitivita již vynucuje hermitovost, tak lze operátor hustoty charakterizovat jako \emph{pozitivní operátor s jednotkovou stopou}, tj. $\rho \geq 0$ a $\tr(\rho) = 1$.
\end{definice}
Z definičních vlastností plyne, že obecný operátor hustoty lze vyjádřit ve tvaru $\rho = \sum_i \lambda_i \ketbraSame{\psi_i}$, kde $\lambda_i \geq 0$, $\sum_i \lambda_i = 1$ a $\basisPlain{\psi_i}{i}$ je ortonormální báze tvořená jeho vlastními vektory. Vidíme, že ač jsme si stav definovali jako jistý lineární funkcionál, veškerou práci se stavem daného systému lze redukovat na počítání s jemu odpovídající maticí hustoty. V následujícím budeme pojmy \emph{operátor hustoty} a \emph{stav} volně zaměňovat.
Množinu všech stavů na daném Hilbertově prostoru $\hilb$ označíme $\states{\hilb}$. Jedná se o konvexní množinu, neboť konvexní kombinace operátorů hustoty je opět operátor hustoty. Extremálními body této množiny jsou přitom \emph{čisté stavy}, tj. stavy, jejichž operátor hustoty je projektor $\rho = \ketbrapsi$ pro nějaké $\ketpsi \in \hilb$. Máme-li zadán operátor hustoty, jak snadno zjistit, zda popisuje čistý stav? Nutnou a postačující podmínku uvádí následující tvrzení.
\begin{veta}
Operátor hustoty $\rho \in \states{\hilb}$ popisuje čistý stav právě tehdy, když $\tr(\rho^2) = 1$.
\end{veta}
\begin{proof}
Pro důkaz implikace zleva si stačí uvědomit, že když je operátor hustoty $\rho$ čistý stav, tak existuje vektor $\ketpsi \in \hilb$ takový, že $\rho = \ketbrapsi$ je projektor. Platí tedy $\rho^2 = \rho$ a z normalizace operátoru hustoty ihned $\tr(\rho^2) = \tr(\rho) = 1$. Pro důkaz opačné implikace uvažujme obecný tvar operátoru hustoty, $\rho = \sum_i \lambda_i \ketbraSame{\psi_i}$, kde $\basisPlain{\ket{\psi_i}}{i}$ je ortonormální báze a $\{\lambda_i\}_i$ tvoří pravděpodobnostní rozdělení. Jednoduchými výpočty zjistíme, že $\rho^2 = \sum_i \lambda_i^2 \ketbraSame{\psi_i}$, jehož stopa je $\tr(\rho^2) = \sum_i \lambda_i^2$. Neboť je $\lambda_i \geq 0$ a $\sum_i \lambda_i = 1$, z podmínky $\tr(\rho^2) = 1$ už rovnou plyne, že právě jedno vlastní číslo $\lambda_{i_0}$ je jednička a ostatní jsou nuly. Kdyby tomu tak nebylo, tak by všechna nenulová vlastní čísla splňovala $\lambda_i < 1$, což implikuje $\lambda_i^2 < \lambda_i$. Máme tedy $1 = \sum_i \lambda_i > \sum_i \lambda_i^2$, což je spor s předpoklady dokazované implikace. Celkem tak máme $\rho = \lambda_{i_0} \ketbraSame{\psi_{i_0}} = \ketbraSame{\psi_{i_0}}$ a $\rho$ je tak čistý stav.
\end{proof}
V případě dvourozměrného Hilbertova prostoru lze operátory hustoty vyjádřit pomocí Pauliho matic. \textbf{Pauliho matice} jsou tři $2 \times 2$ matice tvaru
\begin{equation}
\paulix =
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix},
\quad
\pauliy =
\begin{pmatrix}
0 & -\ii \\
\ii & 0
\end{pmatrix},
\quad
\pauliz =
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}.
\end{equation}
Operátory hustoty jsou pak tvaru $\rho = \frac{1}{2}(\ident + \tau_1 \paulix + \tau_2 \pauliy + \tau_3 \pauliz)$, kde $\vec{\tau} = (\tau_1, \tau_2,\tau_3) \in \R^3$ je vektor, jehož velikost je $\|\vec{\tau}\| \leq 1$, jinak by $\rho$ nebyl pozitivní operátor. Pro $\|\vec{\tau}\| = 1$ popisuje $\rho$ čistý stav.
\subsection[Evoluce operátoru hustoty]{Evoluce operátoru hustoty v uzavřeném systému}
\label{sec:Evoluce_operatoru_hustoty_v_uzavrenem_systemu}
Výše jsme uvedli, že se budeme zabývat otevřenými systémy. Udělejme na chvíli krok zpět a koukněme se, jak se operátor hustoty $\rho$ chová v případě uzavřeného systému. Uvažujme $\rho(t) = \sum_i \lambda_i \ketbraSame{\psi_i(t)}$ coby funkci času, kde jednotlivé bazické vektory $\ket{\psi_i(t)}$ podléhají Schrödingerově rovnici
\begin{equation}
\ii \der{\ket{\psi_i(t)}} = \ham \ket{\psi_i(t)},
\end{equation}
Zderivujeme-li operátor hustoty $\rho(t)$ podle času a dosadíme-li za vzniklé výrazy ze Schrödingerovy rovnice, dospíváme k rovnici tvaru
\begin{equation}
\der{\rho(t)} = -\ii \com{\ham}{\rho(t)} \equiv \liou(\rho(t)),
\label{eq:Liouvill_rce}
\end{equation}
kde jsme si definovali zobrazení $\liou: \bound{\hilb} \to \bound{\hilb}$, jež se nazývá \textbf{Liouvilleův operátor}. Jedná se o antihermitovský lineární superoperátor zachovávající stopu (viz později). Právě uvedenou rovnici budeme moci porovnat s evoluční rovnicí obecného operátoru hustoty, až budeme studovat vývoj otevřených systémů.
Časový vývoj operátoru hustoty lze explicitně v případě uzavřeného systému vyjádřit ve tvaru
\begin{equation}
\rho(t) = U(t) \, \rho(0) \, \adj{U}(t),
\end{equation}
kde $U(t)$ je jednoparametrický systém jistých unitárních operátorů. Stále platí, že časovým vývojem přejde čistý stav opět na čistý stav. U otevřených systémů už vývoj stavu nepůjde popsat pomocí unitárního operátoru tímto způsobem.
\subsection{Popis složeného systému}
\label{sec:Popis_slozeneho_systemu}
Velmi důležitým konceptem v kvantové teorii je pojem složeného systému. Každému kvantovému systému je přidružen Hilbertův stavový prostor $\hilb$. V axiomatickém přístupu kvantové teorie se postuluje, že Hilbertův prostor systému složeného ze systémů $A$ a $B$ je roven tenzorovému součinu $\hilb = \hilb_A \tens \hilb_B$ Hilbertova prostoru $\hilb_A$ systému $A$ a Hilbertova prostoru $\hilb_B$ systému $B$. Množina všech omezených operátorů na prostoru složeného systému je přitom rovna $\bound{\hilb} = \bound{\hilb_A \tens \hilb_B} = \bound{\hilb_A} \tens \bound{\hilb_B}$. Víme tedy, jak ze dvou systémů udělat systém jeden, jakým postupem ale postupovat v opačném směru? Mějme operátor hustoty $\rho$ popisující společný stav podsystémů $A$ a $B$. Jak vypadá stav podsystému $A$ samotného?
Kdybychom jako $\rho_A$ označili stav samotného podsystému $A$, platila by pro libovolnou pozorovatelnou $M_A$ působící pouze na podsystému $A$ samozřejmá rovnost $\average{M_A}{\rho_A} = \tr(\rho_A \, M_A)$. Neboť pozorovatelná $M_A$ nijak neovlivňuje podsystém $B$, měla by platit i rovnost vztažená k celému systému $\average{M_A}{\rho_A} = \tr(\rho M)$, kde $\rho$ je stav celého systému a $M$ je pozorovatelná $M_A$ chápaná jako operátor na celém systému. Dohromady tedy $\tr(\rho M) = \tr(\rho_A M_A)$. Pokud je celkový stav faktorizovaného tvaru $\rho = \rho_A \tens \rho_B$, je zřejmě $M = M_A \tens \ident$. Rovnost středních hodnot je pak splněna, neboť $\tr(\rho M) = \tr((\rho_A \tens \rho_B)(M_A \tens \ident)) = \tr(\rho_A M_A) \tr(\rho_B) = \tr(\rho_A M_A)$. Existuje i jiný tvar vyjma $M = M_A \tens \ident$? Pro všechny $\rho_A$ a $\rho_B$ musí být splněno $\tr((\rho_A \tens \rho_B) \, M) = \tr((\rho_A \tens \rho_B) \, (M_A \tens \ident))$, to znamená $\tr((\rho_A \tens \rho_B) \, (M - M_A \tens \ident)) = 0$. Žádný jiný tvar operátoru $M$ již tedy neexistuje. Pro faktorizovaný stav systému $\rho = \rho_A \tens \rho_B$, kde $M_A$ je pozorovatelná na podsystému $A$, je odpovídající pozorovatelná $M$ působící na celém systému tvaru $M = M_A \tens \ident$. Neboť je množina faktorizovaných stavů totální v prostoru operátorů, platí získaný výsledek pro všechny stavy $\rho$.
Musí tedy platit $\tr(\rho_A \, M_A) = \tr(\rho (M_A \tens \ident))$. Rozepíšeme-li si stopu explicitně v ortonormální bázi $\basisPlain{\ket{i^{(A)}} \ket{j^{(B)}}}{i j}$, dostáváme $\tr(\rho (M_A \tens \ident)) = \sum_{i j} \bra{i^{(A)}} \bra{j^{(B)}} (\rho (M_A \tens \ident)) \ket{i^{(A)}} \ket{j^{(B)}} = \sum_{i} \bra{i^{(A)}} (\sum_j \bra{j^{(B)}} \rho \ket{j^{(B)}}) M_A \ket{i^{(A)}}$. Když si označíme $\rho_A = \sum_j \bra{j^{(B)}} \rho \ket{j^{(B)}}$, je poslední výraz roven $\sum_{i} \bra{i^{(A)}} \rho_A M_A \ket{i^{(A)}} = \tr(\rho_A M_A)$, kde nyní jde stopa již jen přes podsystém $A$.
\begin{definice}
Vzorec $\sum_j \bra{j^{(B)}} \rho \ket{j^{(B)}}$, kterým jsme v předchozím odstavci zavedli operátor $\rho_A$, nazýváme \textbf{částečná stopa} operátoru $\rho$ přes podsystém $B$ (angl. \emph{partial trace over subsystem B}) a značíme $\trPar{B}(\rho)$. Neboli
\begin{equation}
\rho_A = \sum_j \bra{j^{(B)}} \rho \ket{j^{(B)}} = \trPar{B}(\rho).
\end{equation}
\end{definice}
Dobrá, máme zavedený operátor $\rho_A$, který splňuje požadovanou rovnost středních hodnot, jaký vztah má ale tento operátor ke skutečnému systému $A$? Ukážeme, že je tento operátor určen jednoznačně. K danému podsystému tedy existuje právě jeden operátor schopný konzistentně popisovat střední hodnoty libovolných pozorovatelných na tomto podsystému. Pro spor nechť existuje nějaký jiný operátor $\tilde{\rho}_A$, pro nějž $\tr(M_A \tilde{\rho}_A) = \tr(M \rho)$. Tento operátor lze rozložit do báze prostoru $\bound{\hilb_A}$ tvořené hermitovskými operátory $\basisPlain{B_i}{i}$. Dostáváme tak rozvoj do Fourierových koeficientů způsobem
\begin{equation}
\tilde{\rho}_A = \sum_i B_i (B_i, \tilde{\rho}_A) = \sum_i B_i \tr(B_i \tilde{\rho}_A) = \sum_i B_i \tr((B_i \tens \ident) \rho) = \sum_i B_i \tr(B_i \rho_A) = \rho_A,
\end{equation}
což je spor. Operátor $\rho_A$ je tedy určen jednoznačně a můžeme ho interpretovat jako stav podsystému $A$. Poznamenejme ještě důležitou věc, že informace obsažená ve stavech jednotlivých podsystémů \emph{není} schopna v obecném případě reprodukovat stav celého systému. Pokud mezi oběma podsystémy existují korelace, provedením částečné stopy tyto korelace z popisu systému vypadnou.
\subsection{Schmidtův rozklad}
\label{sec:Schmidtuv_rozklad}
Při práci se stavy i při důkazech nejrůznějších tvrzení je velmi užitečné následující tvrzení, díky kterému lze každý čistý stav vyjádřit v jistém pěkném tvaru. Tomuto vyjádření se říká \textbf{Schmidtův rozklad} (angl. \emph{Schmidt decomposition}).
\begin{veta}
\emph{Schmidtův rozklad.} Nechť $\ketpsi \in \hilb_A \tens \hilb_B$ je čistý stav. Pak existuje ortonormální báze $\basisPlain{\ket{e_j^{(A)}}}{j}$ prostoru $\hilb_A$ a ortonormální báze $\basisPlain{\ket{f_j^{(B)}}}{j}$ prostoru $\hilb_B$ takové, že
\begin{equation}
\ketpsi = \sum_{j=1}^d \alpha_j \ket{e_j^{(A)}} \tens \ket{f_j^{(B)}},
\label{eq:Schmidt_rozklad}
\end{equation}
kde $d = \min\{\dim \hilb_A, \dim \hilb_B\}$. Koeficienty $\vec{\alpha} = (\alpha_1, \ldots, \alpha_d)$ lze navíc vždy volit jako nezáporná čísla splňující rovnost $\|\vec{\alpha}\| = \|\ketpsi\|$.
\end{veta}
\begin{proof}
Uvažujme stav podsystému $A$, $\rho_A = \trPar{B}(\ketbrapsi)$. Tento lze jistě rozložit do ortonormální báze vlastních vektorů, $\rho_A = \sum_i \alpha_i^2 \ketbraSame{e_i^{(A)}}$. Vlastní čísla operátoru $\rho_A$ lze psát ve tvaru kvadrátu, neboť jsou díky pozitivitě operátoru nezáporná. Dále určitě můžeme vyjádřit vektor $\ketpsi$ ve tvaru $\ketpsi = \sum_i \ket{e_i^{(A)}} \tens \ket{\varphi_i^{(B)}}$, kde $\ket{\varphi_i^{(B)}}% = \sum_j \beta_{ij} \ket{f_j^{(B)}}
$ jsou nějaké vhodné vektory z prostoru $\hilb_B$. Pak platí $\rho_A = \trPar{B} (\ketbrapsi) = \trPar{B}(\sum_{i j} \ketbra{e_i^{(A)}}{e_j^{(A)}} \tens \ketbra{\varphi_i^{(B)}}{\varphi_j^{(B)}}) = \sum_{i j} \ketbra{e_i^{(A)}}{e_j^{(A)}} \tr(\ketbra{\varphi_i^{(B)}}{\varphi_j^{(B)}})$. Využijeme-li vztahu $\tr(\ketbra{a}{b}) = \braket{b}{a}$, redukuje se poslední výraz na $\sum_{i j} \ketbra{e_i^{(A)}}{e_j^{(A)}} \braket{\varphi_j^{(B)}}{\varphi_i^{(B)}}$. Tento výsledek můžeme porovnat s prvním vyjádřením operátoru $\rho_A$ uvedeným výše, abychom shrnuli $\braket{\varphi_j^{(B)}}{\varphi_i^{(B)}} = \alpha_i^2 \delta_{ij}$. Vektory $\{\ket{\varphi_i^{(B)}}\}_i$ jsou tedy navzájem kolmé a po vhodném přeškálování z nich můžeme vytvořit ortonormální bázi $\ket{f_i^{(B)}} \coloneqq \frac{1}{\alpha_i} \ket{\varphi_i^{(B)}}$. Vektor $\ketpsi$ lze tak psát ve tvaru $\ketpsi = \sum_i \alpha_i \ket{e_i^{(A)}} \tens \ket{f_i^{(B)}}$, což bylo dokázati.
\end{proof}
\begin{definice}
Koeficientům $\alpha_1, \ldots, \alpha_d$ v rozkladu \eqref{eq:Schmidt_rozklad} se říká \textbf{Schmidtovy koeficienty}. Počet nenulových Schmidtových koeficientů ve Schmidtově rozkladu se nazývá \textbf{Schmidtovo číslo}
%Číslu $d$ v rozkladu \eqref{eq:Schmidt_rozklad} se říká \textbf{Schmidtovo číslo}
či \textbf{Schmidtova hodnost} (angl. \emph{Schmidt number} či \emph{Schmidt rank}). Schmidtovu hodnost stavu $\rho$ budeme označovat symbolem $\rank \rho$.
\end{definice}
Největším rozdílem mezi obecným rozkladem operátoru a jeho Schmidtovým rozkladem je v tom, že ve druhém jmenovaném sčítáme jen přes jeden index, ke každému bazickému vektoru prostoru $\hilb_A$ přísluší právě jeden bazický vektor prostoru $\hilb_B$. Ze Schmidtova rozkladu lze však vyčíst daleko více. Například vezmeme-li si vektor $\ketpsi$ ve vyjádření \eqref{eq:Schmidt_rozklad}, jeho redukované stavy jsou tvarů $\rho_A = \sum_i \alpha_i^2 \ketbraSame{e_i^{(A)}}$ a $\rho_B = \sum_i \alpha_i^2 \ketbraSame{f_i^{(B)}}$. Operátory hustoty obou podsystémů mají tedy \emph{stejné spektrum}! V souvislosti se Schmidtovým rozkladem je užitečné uvést následující proceduru.
\begin{pozn}
Uvažujme nějaký systém $A$ s operátorem hustoty $\rho_A = \sum_i \alpha_i^2 \ketbraSame{e_i} \in \hilb_A$, který není obecně čistý. Potom ke studovanému systému $A$ lze uměle přidat pomocný systém $B$ o Hilbertově prostoru $\hilb_B$ tak, že existuje čistý stav $\ketpsi \in \hilb_A \tens \hilb_B$ splňující $\rho_A = \trPar{B}(\ketbrapsi)$. Jinými slovy, ke každému operátoru hustoty $\rho_A$ z prostoru $\hilb_A$ lze najít čistý stav $\ketpsi$ v prostoru $\hilb_A \tens \hilb_B$ tak, že $\rho_A$ lze interpretovat jako stav podsystému $A$, kdy se přitom celý systém $A + B$ nachází v čistém stavu $\ketpsi$. Prostoru $\hilb_B$ se v angličtině říká \emph{ancilla} a jeho dimenzi lze položit rovnou Schmidtově číslu operátoru $\rho_A$, tj. $\dim \hilb_B = \rank \rho_A$. Využívajíce postupu při důkazu předchozí věty lze zjevně položit $\ketpsi = \sum_i \alpha_i \ket{e_i} \ket{f_i}$, kde $\{\ket{f_i}\}_i$ je nějaká ortonormální báze prostoru $\hilb_B$.
Právě popsané matematické hříčce vhodně přidávající pomocný systém k původní úloze se říká \textbf{purifikace} či \textbf{vyčišťování} (angl. \emph{purification}). Pro znalé připomínáme, že právě uvedená purifikace (stavů) nemá nic společného s \emph{purifikací provázání}.
\end{pozn}
\begin{pozn}
\emph{\uv{Monogamie stavů}: Čisté stavy nemohou být korelovány s jiným systémem.} Mějme složený systém $A + B$ ve stavu $\rho \in \states{\hilb_A \tens \hilb_B}$, přičemž stav podsystému $A$ nechť je čistý, $\trPar{B}(\rho) = \rho_A = \ketbrapsi$ pro jisté $\ketpsi \in \hilb_A$. Pak stav tohoto podsystému nevykazuje žádné korelace se stavem systému $B$. Důvod je následující. Vzhledem k předchozí poznámce můžeme vždy zavést pomocný systém $C$ a najít vektor $\ket{\omega} \in \hilb_A \tens \hilb_B \tens \hilb_C$ tak, že $\trPar{C}(\ketbraSame{\omega}) = \rho$. Tento vektor je tedy purifikací stavu $\rho$, současně je ale i purifikací stavu $\ketpsi$. To lze jen tak, že $\ket{\omega} = \ketpsi \tens \ket{\varphi_{BC}}$ pro jisté $\ket{\varphi_{BC}} \in \hilb_B \tens \hilb_C$. Celkem tedy $\rho = \trPar{C}(\ketbraSame{\omega}) = \ketbrapsi \tens \trPar{C}(\ketbraSame{\varphi_{BC}})$. Vidíme tedy explicitně, že stav složeného systému $A + B$ je ve faktorizovaném tvaru, jenž nepřipouští žádné korelace mezi oběma podsystémy.
\end{pozn}
\subsection{Klasifikace stavů podle korelací}
\label{sec:Klasifikace_stavu_podle_korelaci}
Uvažujme dva Hilbertovy prostory $\hilb_1$ a $\hilb_2$ a množinu stavů definovaných na jejich tenzorovém součinu, $\states{\hilb_1 \tens \hilb_2}$. Tuto množinu lze rozdělit na podmnožiny tvořené vždy stavy, jejichž tvar je podobný co do jejich přípravy a kvantových vlastností. Základní dělení na čisté a smíšené stavy jsme již nastínili v předchozích sekcích, následující seznam uvádí další podpřípady.
\begin{itemize}
\item \textbf{Smíšené stavy} -- Odpovídající operátor hustoty není projektor.
\begin{itemize}
\item \textbf{Faktorizované stavy} -- Stav $\rho$ je faktorizovaný, pokud lze zapsat ve tvaru tenzorového součinu $\rho = \rho_1 \tens \rho_2$, kde $\rho_i \in \states{\hilb_i}$. Tyto stavy zřejmě tvoří podmnožinu separabilních stavů.
\item \textbf{Separabilní stavy} -- Stav $\rho$ je separabilní, pokud lze zapsat ve tvaru sumy faktorizovaných stavů $\rho = \sum_i \alpha_i \rho_1^{(i)} \tens \rho_2^{(i)}$, kde $\rho_1^{(i)} \in \states{\hilb_1}$, $\rho_2^{(i)} \in \states{\hilb_2}$ a $\{\alpha_i\}_i$ tvoří pravděpodobnostní rozdělení, tj. $\alpha_i > 0$ a $\sum_i \alpha_i = 1$. Takovýmto stavům se také říká \emph{statistické směsi} či \emph{klasicky korelované stavy}. Korelace v měřeních na takovýchto stavech lze totiž popsat čistě klasicky, žádné kvantové efekty není třeba uvažovat. V tom se tato rodina stavů zásadně liší od té následující tvořené provázanými stavy. Obecný tvar separabilního stavu se zdá být dost obecný. Naprosto libovolný operátor lze rozložit do tvaru $A = \sum_i \alpha_i E_i \tens F_i$, kde $\basisPlain{E_i}{i}$ je ortonormální báze v $\bound{\hilb_1}$ a podobně $\basisPlain{F_i}{i}$ je ortonormální báze v $\bound{\hilb_2}$. Nejdůležitější rozdíl tohoto obecného případu od případu separabilních stavů je v tom, že nyní operátory $E_i$ a $F_i$ samotné musejí být operátory hustoty.
\item \textbf{Provázané stavy} -- Všechny stavy, které nejsou separabilní, se nazývají provázané. Tyto stavy vykazují čistě kvantové korelace, které lze využít při kvantovém počítání. Kvantové korelace se silně využívají například v případě kvantové teleportace.
\end{itemize}
\item \textbf{Čisté stavy} -- Odpovídající operátor hustoty je projektor.
\begin{itemize}
\item \textbf{Neprovázané stavy} -- Čistý stav $\ketpsi$ je neprovázaný, pokud lze zapsat ve tvaru $\ketpsi = \ket{\psi_1} \tens \ket{\psi_2}$. Vidíme, že se jedná o analogii faktorizovaných stavů ve smíšeném případě. Na druhou stranu, vektor, který bychom vyjádřili analogicky případu separabilních smíšených stavů, již nebude čistý. Zbývají nám tak již pouze provázané stavy.
\item \textbf{Provázané stavy} -- Čistý stav $\ketpsi$ je provázaný, pokud není neprovázaný. Obecně je tedy tvaru $\ketpsi = \sum_i \alpha_i \ket{e_i} \tens \ket{f_i}$, viz \eqref{eq:Schmidt_rozklad}. Stav $\ketpsi$ je přitom provázaný právě tehdy, když má alespoň dva nenulové koeficienty $\alpha_i$, tj. $\rank \ketpsi \geq 2$. Z množiny provázaných stavů se vydělují \textbf{maximálně provázané stavy} $\ketME$. Jedná se o stavy, pro něž jsou stavy podsystémů \emph{maximálně smíšené}. Jinými slovy, čistý stav $\ketME$ je maximálně provázaný právě tehdy, když $\rho_1 \equiv \trPar{2}(\ketbraME) = \frac{1}{d_1} \ident_1$ a $\rho_2 \equiv \trPar{1}(\ketbraME) = \frac{1}{d_2} \ident_2$. Ze Schmidtova rozkladu plyne $d_1 = d_2 = d$, maximálně provázaný stav je tedy tvaru $\ketME = \sum_i \frac{1}{\sqrt{d}} \ket{e_i} \tens \ket{f_i}$.
\end{itemize}
\end{itemize}
