02LIAG:Kapitola9: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Založena nová stránka s textem „%\wikiskriptum{02LIAG} \section{Klasifikace pomocí kořenů} Nadále se budeme zabývat pouze \textbf{komplexními poloprostými} algebrami. \lemma{ $K…“) |
|||
Řádka 79: | Řádka 79: | ||
\item $[E_\alpha,E_{-\alpha}]\in \g_0$. | \item $[E_\alpha,E_{-\alpha}]\in \g_0$. | ||
\end{itemize} | \end{itemize} | ||
− | (Navíc lze volit $E_\alpha$ aby $N_{\alpha \beta} \in \Z$, $N_{\alpha \beta}=-N_{(-\alpha)(-\beta)}=\pm(-p+1)$, $p\le 0$ nejmenší číslo splňující $\alpha +p \beta \in \Delta$, volba $\pm$ je částečně daná strukturou $\g$ a částečně záleží na nás...) | + | (Navíc lze volit $E_\alpha$ aby $N_{\alpha \beta} \in \Z$, $N_{\alpha \beta}=-N_{(-\alpha)(-\beta)}=\pm(-p+1)$, $p\le 0$ nejmenší číslo splňující $\alpha + p \beta \in \Delta$, volba $\pm$ je částečně daná strukturou $\g$ a částečně záleží na nás...) |
} | } | ||
Protože víme, že komutační relace určují $\g$ jednoznačně (až na izomorfismus), můžeme tak klasifikovat všechny poloprosté komplexní algebry. | Protože víme, že komutační relace určují $\g$ jednoznačně (až na izomorfismus), můžeme tak klasifikovat všechny poloprosté komplexní algebry. |
Verze z 27. 2. 2016, 13:05
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02LIAG
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02LIAG | Hazalmat | 3. 8. 2016 | 21:54 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Hazalmat | 7. 7. 2016 | 07:04 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Hazalmat | 10. 7. 2016 | 22:12 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Úvod | Hazalmat | 3. 8. 2016 | 22:12 | LIAG_Kapitola0.tex | |
Kapitola1 | editovat | Definice Lieovy grupy a Lieovy algebry | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 18:02 | LIAG_Kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Vztah mezi Lieovou grupou a její algebrou | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 18:27 | LIAG_Kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Nástin teorie integrabilních distribucí | Hazalmat | 30. 7. 2016 | 15:10 | LIAG_Kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Akce grupy na varietě | Hazalmat | 17. 7. 2016 | 20:23 | LIAG_Kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Reprezentace Lieových grup a algeber | Hazalmat | 4. 8. 2016 | 18:21 | LIAG_Kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Souvislost Lieových grup a algeber | Hazalmat | 4. 8. 2016 | 19:51 | LIAG_Kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Lieovy algebry | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 02:06 | LIAG_Kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Cartanova kritéria | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 18:29 | LIAG_Kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Klasifikace pomocí kořenů | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 18:34 | LIAG_Kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Kořenové diagramy, Cartanova martice | Hazalmat | 31. 7. 2016 | 16:32 | LIAG_Kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Dynkinovy diagramy | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 18:39 | LIAG_Kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Reálné formy komplexních poloprostých algeber | Hazalmat | 1. 8. 2016 | 00:39 | LIAG_Kapitola12.tex | |
Kapitola13 | editovat | Význam kompaktních Lieových grup | Hazalmat | 1. 8. 2016 | 00:45 | LIAG_Kapitola13.tex | |
Kapitola14 | editovat | Reprezentace poloprostých Lieových algeber | Hazalmat | 1. 8. 2016 | 13:45 | LIAG_Kapitola14.tex | |
Kapitola15 | editovat | Spinorové reprezentace | Hazalmat | 27. 7. 2016 | 21:38 | LIAG_Kapitola15.tex | |
Kapitola16 | editovat | Symetrie v QM | Hazalmat | 27. 7. 2016 | 22:21 | LIAG_Kapitola16.tex | |
Kapitola17 | editovat | Cvičení | Hazalmat | 6. 8. 2016 | 04:42 | LIAG_Kapitola17.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:liag-1.pdf | liag-1.pdf |
Image:su3_1.pdf | su3_1.pdf |
Image:su3_2.pdf | su3_2.pdf |
Image:su3_3.pdf | su3_3.pdf |
Image:su3_4.pdf | su3_4.pdf |
Image:su3_5.pdf | su3_5.pdf |
Image:su3_6.pdf | su3_6.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02LIAG} \section{Klasifikace pomocí kořenů} Nadále se budeme zabývat pouze \textbf{komplexními poloprostými} algebrami. \lemma{ $K(X,H)=0$, $\forall H \in \g,\; \forall X \in \g_\lambda (H),\, \lambda \neq 0$. } \lemma{ $\g$ poloprostá $H \in \g_0$, potom $(\lambda (H)=0, \forall \lambda \in \Delta ) \Rightarrow (H=0)$.\\ (Tj. $\mathrm{span}\{\Delta \}=\g_0^*$.) } \Pzn{ $\Norm_\g (\g_0)=\g_0$ a tedy $\g_0$ je Cartanova podalgebra. } \Def{ Cartanova podalgebra poloprosté $\g$ je maximální Abelovská podalgebra $\g_0$, splňující $\ad_H$ je poloprostý $\forall H \in \g_0$. } \lemma{ $(\g_\alpha \perp_K \g_\beta ) (\forall \alpha,\, \beta \in \Delta,\, \alpha +\beta \neq 0)$. %OG vzhledem ke Killingově formě } \lemma{ $\zuz{K}{\g_0}$ je nedegenerovaná. \\ $\forall \alpha \in \Delta$, $\exists_1 H_\alpha \in \g_0$ splňující $\forall H \in \g$: $\alpha (H)=K(H,H_\alpha )$. \\ ($\zuz{K}{\g_\alpha}=\zuz{K}{\g_\alpha\times \g_\alpha}$. Máme vyjádření $\alpha (\cdot )=K(\cdot , H_\alpha )$.) } \Pzn{ $\g_0$ je sama Abelovská grupa, tedy je její Killingova forma nulová. } \lemma{ Buď $\alpha \in \Delta$. Potom $-\alpha \in \Delta$ a $(\forall X \in \g_\alpha, \, \forall Y \in \g_{-\alpha} )([X,Y]=K(X,Y)H_\alpha)$. } \lemma{ $\alpha(H_\alpha)=K(H_\alpha , H_\alpha ) \neq 0$. } \Def{ $T_\alpha := \frac{2}{K(H_\alpha , H_\alpha )}H_\alpha$, $a_{\beta \alpha}=\beta (T_\alpha )=\frac{2K(H_\beta , H_\alpha )}{K(H_\alpha , H_\alpha )}$. } Nalezněme $X_{\pm\alpha}\in \g_{\pm \alpha}$ splňující $K(X_\alpha ,X_{-\alpha})=\frac{2}{\alpha (H_\alpha )}$. Pak platí \begin{align} [X_\alpha ,X_{-\alpha}]= T_\alpha ,&& [X_{\pm\alpha} ,T_\alpha]= \pm 2 X_{\pm\alpha} \,. \end{align} To jsou komutační relace $\mathfrak{sl}(2,\C )$ (konkrétně pro $H=\left(\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{smallmatrix}\right)$, $X_+=\left(\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}\right)$, $X_-=\left(\begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\right)$). \lemma{ $V$ nad $\C$, $\dim V < +\infty$, $(T,X_{\pm}\in \mathscr{B}(V),\, [X_+ ,X_-]= T,\, [T ,X_\pm]= \pm 2 X_{\pm})$ působí na $V$ ireducibilně. \\ Potom $\exists \{v_j \}_{j=0}^{\dim V -1}$ báze splňující $T v_j =(r-2j)v_j$, $X_+v_j=v_{j+1}$, $r=\dim V-1$. } \lemma{. \label{lemma_Koreny} \begin{enumerate} \item $(\forall \alpha ,\beta \in \Delta)(\exists p,q \in \Z, p\le 0 \le p)(\{\beta +n \alpha \}_{n=p}^q \text{ je nepřerušená posloupnost kořenů, případně 0})$. Navíc žádné jiné kořeny tvaru $\beta +m \alpha$ neexistují %($m$ CELOČÍSLENÉ NEBO LIBOVOLNÉ???) a platí \begin{align} \beta (T_\alpha ) = 2\frac{\beta (H_\alpha )}{\alpha (H_\alpha )}= \frac{2K(H_\beta,H_\alpha)}{K(H_\alpha , H_\alpha )}= -(p+q) \,. \end{align} \label{posloupnost korenu} \item $\alpha \in \Delta$, $\dim \g_\alpha =1$. Potom $(\beta \in \Delta \cap \mrm{span}\{\alpha\}) \Rightarrow \; \beta =\pm \alpha$. \item $\forall \alpha ,\beta \in \Delta$, $\alpha +\beta \neq 0$. Potom $[\g_\alpha , \g_\beta]=\g_{\alpha +\beta}$. \\ (Pokud $\alpha+\beta \notin \Delta \cup \{ 0\}$, je $\g_{\alpha +\beta}=\{ 0\}$.) \item $\forall \alpha ,\beta \in \Delta$, $\epsilon = -\mrm{sgn}(p+q)$. Potom $\beta -\epsilon \alpha,\, \beta -2\epsilon \alpha,\dots , \beta +(p+q) \alpha$ jsou kořeny (ne nutně všechny z~rozsahu). \end{enumerate} } \Def{ $a_{\beta \alpha}=\beta (T_\alpha ) =\frac{2K(H_\beta,H_\alpha)}{K(H_\alpha , H_\alpha )}=-(p+q)$ nazýváme \emph{Cartanova celá čísla}. } Na základě těchto poznatků lze libovolnou komplexní poloprostou algebru $\g$ zapsat ve tvaru tzv. \textbf{Weyl-Chevalleyho normální formy}. \Vet{ V~$\g$ existuje báze $\{H_i\}_{i=1}^{\dim \g_0}\cup \{E_\alpha \}_{\alpha \in \Delta}$, $\g_\alpha =\mrm{span}\{E_\alpha\}$, $H_i \in \g_0$ splňující \begin{itemize} \item $(\forall H \in \g_0)([H,E_\alpha]=\alpha(H)E_\alpha)$, \item $[E_\alpha,E_\beta]=N_{\alpha \beta}E_{\alpha + \beta}$, $N_{\alpha \beta} \neq 0$ pro $\alpha, \beta , \alpha +\beta \in \Delta$, \item $[E_\alpha,E_{-\alpha}]\in \g_0$. \end{itemize} (Navíc lze volit $E_\alpha$ aby $N_{\alpha \beta} \in \Z$, $N_{\alpha \beta}=-N_{(-\alpha)(-\beta)}=\pm(-p+1)$, $p\le 0$ nejmenší číslo splňující $\alpha + p \beta \in \Delta$, volba $\pm$ je částečně daná strukturou $\g$ a částečně záleží na nás...) } Protože víme, že komutační relace určují $\g$ jednoznačně (až na izomorfismus), můžeme tak klasifikovat všechny poloprosté komplexní algebry.