02LIAG:Kapitola5: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Založena nová stránka s textem „%\wikiskriptum{02LIAG} \section{Reprezentace Lieových grup a algeber} \Def{ \emph{Reprezentace $G$} na vekt. prostoru $V$ je (hladký) homomorfismus $\…“) |
|||
Řádka 2: | Řádka 2: | ||
\section{Reprezentace Lieových grup a algeber} | \section{Reprezentace Lieových grup a algeber} | ||
− | |||
\Def{ | \Def{ | ||
\emph{Reprezentace $G$} na vekt. prostoru $V$ je (hladký) homomorfismus $\phi : G \to GL(V)$. | \emph{Reprezentace $G$} na vekt. prostoru $V$ je (hladký) homomorfismus $\phi : G \to GL(V)$. | ||
Řádka 48: | Řádka 47: | ||
} | } | ||
\Vet{ | \Vet{ | ||
− | $V$ nad $\C$, $\Sigma \subset \gl (V)$ úplně reducibilní. Pokud platí $(\forall A \in \gl (V) )([A,\Sigma ]=0 \Leftarrow A=\lambda \vec{1})$, potom $\Sigma$ je ireducibilní. | + | $V$ nad $\C$, $\Sigma \subset \gl (V)$ úplně reducibilní. Pokud platí $(\forall A \in \gl (V) )([A,\Sigma ]=0 \Leftarrow A=\lambda \vec{1})$, potom $\Sigma$ je ireducibilní. |
} | } |
Verze z 27. 2. 2016, 13:01
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02LIAG
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02LIAG | Hazalmat | 3. 8. 2016 | 21:54 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Hazalmat | 7. 7. 2016 | 07:04 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Hazalmat | 10. 7. 2016 | 22:12 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Úvod | Hazalmat | 3. 8. 2016 | 22:12 | LIAG_Kapitola0.tex | |
Kapitola1 | editovat | Definice Lieovy grupy a Lieovy algebry | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 18:02 | LIAG_Kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Vztah mezi Lieovou grupou a její algebrou | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 18:27 | LIAG_Kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Nástin teorie integrabilních distribucí | Hazalmat | 30. 7. 2016 | 15:10 | LIAG_Kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Akce grupy na varietě | Hazalmat | 17. 7. 2016 | 20:23 | LIAG_Kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Reprezentace Lieových grup a algeber | Hazalmat | 4. 8. 2016 | 18:21 | LIAG_Kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Souvislost Lieových grup a algeber | Hazalmat | 4. 8. 2016 | 19:51 | LIAG_Kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Lieovy algebry | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 02:06 | LIAG_Kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Cartanova kritéria | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 18:29 | LIAG_Kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Klasifikace pomocí kořenů | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 18:34 | LIAG_Kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Kořenové diagramy, Cartanova martice | Hazalmat | 31. 7. 2016 | 16:32 | LIAG_Kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Dynkinovy diagramy | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 18:39 | LIAG_Kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Reálné formy komplexních poloprostých algeber | Hazalmat | 1. 8. 2016 | 00:39 | LIAG_Kapitola12.tex | |
Kapitola13 | editovat | Význam kompaktních Lieových grup | Hazalmat | 1. 8. 2016 | 00:45 | LIAG_Kapitola13.tex | |
Kapitola14 | editovat | Reprezentace poloprostých Lieových algeber | Hazalmat | 1. 8. 2016 | 13:45 | LIAG_Kapitola14.tex | |
Kapitola15 | editovat | Spinorové reprezentace | Hazalmat | 27. 7. 2016 | 21:38 | LIAG_Kapitola15.tex | |
Kapitola16 | editovat | Symetrie v QM | Hazalmat | 27. 7. 2016 | 22:21 | LIAG_Kapitola16.tex | |
Kapitola17 | editovat | Cvičení | Hazalmat | 6. 8. 2016 | 04:42 | LIAG_Kapitola17.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:liag-1.pdf | liag-1.pdf |
Image:su3_1.pdf | su3_1.pdf |
Image:su3_2.pdf | su3_2.pdf |
Image:su3_3.pdf | su3_3.pdf |
Image:su3_4.pdf | su3_4.pdf |
Image:su3_5.pdf | su3_5.pdf |
Image:su3_6.pdf | su3_6.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02LIAG} \section{Reprezentace Lieových grup a algeber} \Def{ \emph{Reprezentace $G$} na vekt. prostoru $V$ je (hladký) homomorfismus $\phi : G \to GL(V)$. } \Pzn{ V~případě $\dim G= +\infty$ je vhodné uvažovat $\mathscr{H}$ a $\phi : G \to \mathscr{B}(\mathscr{H})$. } \Def{ \emph{Reprezentace $\g$} na vekt. prostoru $V$ je homomorfismus $\phi : \g \to \gl (V)$. (Tedy $\phi$ je lineární a platí $[\phi (X),\phi (Y)]=\phi([X,Y])$. } \Prl{ \label{Pr_reprezentace_so(3)} Reprezentace $\mathfrak{so}(3)$ na $\mathcal{C}^{\infty}(\R^3)$: $\phi(X_i)=\varepsilon_{ijk}x_k\partial_{j}$ (sumace podle dolních indexů). } \Def{ Reprezentace $G$ (resp. $\g$) je \emph{věrná}, právě když $\phi$ je monomorfismus (tj. prosté). } \Pzn{ Na základě věrné reprezentace jsem jsem schopen zrekonstruovat $G$ (resp. $\g$), proto nazýváme věrné reprezentace \emph{realizací} dané $G$ (resp. $\g$), např. $\mathfrak{so}(3)$ jako matice nebo vektorová pole z~př. \ref{Pr_reprezentace_so(3)}. } \Def{ Buď $\Sigma \subset \gl (V)$. $\Sigma$ je \begin{itemize} \item \emph{ireducibilní} $\Leftrightarrow$ $(\forall W \subset\subset V, W \neq V)((\Sigma W \subset W)\Rightarrow W=\{0\})$, \item \emph{reducibilní} $\Leftrightarrow$ $(\exists W \subset\subset V, W \notin \{ V,\{0\} \})(\Sigma W \subset W)$, \item \emph{úplně reducibilní} $\Leftrightarrow$ $(\forall W \subset\subset V, \Sigma W \subset W)(\exists \tilde{W} \subset\subset V, \Sigma \tilde{W}\subset \tilde{W}) (V=W \oplus \tilde{W})$. \end{itemize} Reprezentace $G$ (resp. $\g$) je ireducibilní (reducibilní, úplně reducibilní) právě tehdy když $\phi (G)$ (resp. $\phi (\g)$) je ireducibilní (reducibilní, úplně reducibilní). } \Prl{ Reprezentace $\phi: G \to \mathcal{U}(\mathscr{H})$ (\emph{unitární reprezentace}) jsou úplně reducibilní. } Z~unitarity platí $\phi(G) W \subset W$ $\Rightarrow$ $\phi(G) W^\perp \subset W^\perp$. Navíc na úrovni algeber platí $\phi_* : \g \to \mathfrak{u}(\mathscr{H})$ a pomocí exponenciely lze ukázat %(PODÍVAT SE JAK) $(\phi_*(X))^+=-\phi_*(X)$, tj. $\phi_*(X)$ jsou antihermitovské matice. Ve fyzice se obvykle používají unitární matice, proto se definují \emph{fyzikální veličiny} \begin{align} A \mapsto A_{\mrm{F}}=-\cu A \,. \end{align} $A_{\mrm{F}}$ již splňují $A_{\mrm{F}}^+=A_{\mrm{F}}$. \vspace{1cm} \textbf{Shurovo lemma} \Vet{ $V$ komplexní vektorový prostor $\dim V < +\infty$, $\Sigma \subset \gl(V)$ ireducibilní. Potom $\forall A \in \gl (V): ([A,\Sigma ]=0 \Rightarrow (\exists \alpha \in \C)(A=\alpha \vec{1}))$. } \Vet{ $V$ nad $\C$, $\Sigma \subset \gl (V)$ úplně reducibilní. Pokud platí $(\forall A \in \gl (V) )([A,\Sigma ]=0 \Leftarrow A=\lambda \vec{1})$, potom $\Sigma$ je ireducibilní. }