02LIAG:Kapitola17: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Založena nová stránka s textem „%\wikiskriptum{02LIAG} \section{Cvičení} \Prl{ $\mfrk{so}(3,\C)\sim\mfrk{sl}(2,\C): [L_3,L_\pm]=\pm L_\pm,\ [L_+,L_-] = 2L_3$, \begin{align*} &\rho…“) |
m |
||
Řádka 8: | Řádka 8: | ||
\rho(L_+) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, && | \rho(L_+) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, && | ||
\rho(L_-) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \\ | \rho(L_-) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \\ | ||
− | &\rho(L_3)\ket{\uparrow} = \frac{1}{2}\ket{\uparrow}, && \rho(L_3)\ket{\downarrow} = -\frac{1}{2}\ket{\downarrow}, && \text{váhy: } | + | &\rho(L_3)\ket{\uparrow} = \frac{1}{2}\ket{\uparrow}, && \rho(L_3)\ket{\downarrow} = -\frac{1}{2}\ket{\downarrow}, && \text{váhy: } \lambda = \pm\frac{1}{2}, |
\end{align*} | \end{align*} | ||
$\rho:\mfrk{sl}(2,\C) \to \gl\left(D^{1/2}\right),\ D^{1/2} = \mrm{span}\left\{ \ket{\uparrow},\ket{\downarrow} \right\}$ . | $\rho:\mfrk{sl}(2,\C) \to \gl\left(D^{1/2}\right),\ D^{1/2} = \mrm{span}\left\{ \ket{\uparrow},\ket{\downarrow} \right\}$ . | ||
Tenzorový součin $\rho$ se sebou samou: | Tenzorový součin $\rho$ se sebou samou: | ||
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
− | (\rho\otimes\rho)(L_3) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} | + | (\rho\otimes\rho)(L_3) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\otimes\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} |
\end{align*} | \end{align*} | ||
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
Řádka 26: | Řádka 26: | ||
& (\rho\otimes\rho)(L_+) \dots | & (\rho\otimes\rho)(L_+) \dots | ||
\end{align*} | \end{align*} | ||
− | Váhy: $\pm 2\lambda,0; n_{\pm 2\lambda} = 1,\ n_0 = 2$. | + | Váhy: $\pm 2\lambda,0;\ n_{\pm 2\lambda} = 1,\ n_0 = 2$. |
} | } | ||
\Prl{ | \Prl{ | ||
Řádka 40: | Řádka 40: | ||
\lambda_1 \\ | \lambda_1 \\ | ||
& \ddots \\ | & \ddots \\ | ||
− | & & \ | + | & & \lambda_{l+1} |
\end{pmatrix} = \lambda_i. | \end{pmatrix} = \lambda_i. | ||
\end{align*} | \end{align*} | ||
− | + | $\alpha_i(T_j) = a_{ij} = t_{j,i} - t_{j,i+1} \neq 0 \text{ pro } i = j-1,j,j+1:$ | |
− | + | ||
\end{align*} | \end{align*} | ||
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
− | \left.\begin{array}{ | + | \left.\begin{array}{rl} |
− | t_{j,j-1} - t_{j,j} = -1 \\ | + | \alpha_{j-1}(T_j) &= t_{j,j-1} - t_{j,j} = -1 \\ |
− | t_{j,j} - t_{j,j+1} = 2 \\ | + | \alpha_j(T_j) &= t_{j,j} - t_{j,j+1} = 2 \\ |
− | t_{j,j+1} - t_{j,j+2} = -1 \\ | + | \alpha_{j+1}(T_j) &= t_{j,j+1} - t_{j,j+2} = -1 \\ |
\end{array} \right\} \rimpl T_j = \begin{array}{cc} | \end{array} \right\} \rimpl T_j = \begin{array}{cc} | ||
− | \left(\begin{array}{ | + | \left(\begin{array}{cccccc} |
− | + | \ddots \\ | |
− | + | & 0 \\ | |
− | + | & & 1 & \dots & \dots & \dots \\ | |
− | + | & & & -1 \\ | |
− | + | & & & & 0 \\ | |
− | + | & & & & & \ddots \\ | |
− | + | ||
− | + | ||
\end{array}\right) & | \end{array}\right) & | ||
\begin{array}{c} | \begin{array}{c} | ||
− | + | \\ \\ j \\ \\ \\ \\ | |
\end{array} | \end{array} | ||
\end{array} | \end{array} | ||
\end{align*} | \end{align*} | ||
− | $\lambda_i(T_j) = \delta_{ij}$: | + | Fundamentální váhy, $\lambda_i(T_j) = \delta_{ij}$: |
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
&\lambda_1 \begin{pmatrix} | &\lambda_1 \begin{pmatrix} | ||
Řádka 76: | Řádka 73: | ||
& & & & 0 | & & & & 0 | ||
\end{pmatrix} = 1, && | \end{pmatrix} = 1, && | ||
− | \ | + | \lambda_1 \begin{pmatrix} |
− | + | \ddots \\ | |
− | + | & 0 \\ | |
− | + | & & 1 \\ | |
− | + | & & & -1 \\ | |
− | + | & & & & 0 \\ | |
− | + | & & & & & \ddots \\ | |
− | + | \end{pmatrix} = 0 && \rimpl \lambda_1 = \phi_1 \\ | |
− | + | ||
− | \end{pmatrix} && \rimpl \lambda_1 = \phi_1 \\ | + | |
&\lambda_2\begin{pmatrix} | &\lambda_2\begin{pmatrix} | ||
1 \\ | 1 \\ | ||
Řádka 99: | Řádka 94: | ||
& & & 0 \\ | & & & 0 \\ | ||
& & & & \ddots \\ | & & & & \ddots \\ | ||
− | + | \end{pmatrix} = 1, \\ | |
− | \end{pmatrix} = | + | |
&\lambda_2 \begin{pmatrix} | &\lambda_2 \begin{pmatrix} | ||
− | + | \ddots \\ | |
− | + | & 0 \\ | |
− | + | & & 1 \\ | |
− | + | & & & -1 \\ | |
− | + | & & & & 0 \\ | |
− | + | & & & & & \ddots \\ | |
− | + | \end{pmatrix} = 0 &&\rimpl \lambda_2 = \phi_2 + \phi_1 | |
− | + | ||
− | \end{pmatrix} &&\rimpl \lambda_2 = \phi_2 + \phi_1 | + | |
\end{align*} | \end{align*} | ||
$\Rightarrow\quad \lambda_i = \phi_1 + \dots + \phi_i$. Je vidět že pak platí $\lambda_i(T_j) = \delta_{ij}$. | $\Rightarrow\quad \lambda_i = \phi_1 + \dots + \phi_i$. Je vidět že pak platí $\lambda_i(T_j) = \delta_{ij}$. | ||
− | Mějme standardní bázi $(e_j),\ D \in \g_0,\ \ De_j = \left(\begin{smallmatrix} d_1 \\ & \ddots \\ && | + | Mějme definující reprezentaci v standardní bázi $(e_j),\ D \in \g_0,\ \ De_j = \left(\begin{smallmatrix} d_1 \\ & \ddots \\ && d_{l+1} \end{smallmatrix} \right) e_j = d_je_j$, její váhy $\{ \phi_1,\dots,\phi_{l+1} \},\ \phi_{l+1} = -(\phi_1 + \dots + \phi_l)$, lze zapsat jako $\{ \phi_1, \phi_1 - \alpha_1, \phi_1 - \alpha_1 - \alpha_2, \dots,\phi_1 - \alpha_1 - \dots - \alpha_l \}$. Nejvyšší váha je $\phi_1 = \lambda_1$, násobnosti $1$, $\dim\rho_1 = l+1$. $\rho_1 \land \rho_1$: |
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
(\rho_1 \land \rho_1)(e_i \land e_j) &= (D \otimes \mathbb{1} + \mathbb{1} \otimes D)(e_i \otimes e_j - e_j \otimes e_i) = \\ | (\rho_1 \land \rho_1)(e_i \land e_j) &= (D \otimes \mathbb{1} + \mathbb{1} \otimes D)(e_i \otimes e_j - e_j \otimes e_i) = \\ | ||
Řádka 126: | Řádka 118: | ||
} | } | ||
\Pzn{ | \Pzn{ | ||
− | Nechť $\rho$ reprezentace $\g$ na $V$, definujeme $\rho^T: \rho^T(X) = (-\rho(X))^T \rimpl \rho^{\land | + | Nechť $\rho$ reprezentace $\g$ na $V$, definujeme $\rho^T: \rho^T(X) = (-\rho(X))^T \rimpl \rho^{\land l} = \rho^T$. |
} | } | ||
\Prl{ | \Prl{ | ||
Řádka 140: | Řádka 132: | ||
\end{pmatrix} && \begin{array}{l} | \end{pmatrix} && \begin{array}{l} | ||
\phi_i(D) = d_i \\ | \phi_i(D) = d_i \\ | ||
− | \alpha_i = \phi_i - \phi_{i+1} \\ | + | \alpha_i = \phi_i - \phi_{i+1},\ i \leq l-1 \\ |
\alpha_l = 2\phi_l | \alpha_l = 2\phi_l | ||
\end{array} | \end{array} | ||
Řádka 146: | Řádka 138: | ||
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
T_j &= \begin{array}{cc} | T_j &= \begin{array}{cc} | ||
− | \left(\begin{array}{ | + | \left(\begin{array}{ccccccccccc} |
− | + | \ddots \\ | |
− | + | & 0 \\ | |
− | + | && 1 & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ | |
− | + | &&& -1 \\ | |
− | + | &&&& 0 \\ | |
− | + | &&&&& \ddots \\ | |
− | + | &&&&&& 0 \\ | |
− | + | &&&&&&& 1 & \dots & \dots & \dots \\ | |
− | + | &&&&&&&& -1 \\ | |
− | + | &&&&&&&&& 0 \\ | |
− | + | &&&&&&&&&& \ddots \\ | |
− | + | ||
− | + | ||
\end{array}\right) & | \end{array}\right) & | ||
\begin{array}{c} | \begin{array}{c} | ||
− | |||
\\ | \\ | ||
\\ | \\ | ||
Řádka 172: | Řádka 161: | ||
\\ | \\ | ||
l+j \\ | l+j \\ | ||
− | |||
\\ | \\ | ||
\\ | \\ | ||
\\ | \\ | ||
\end{array} | \end{array} | ||
− | \end{array} | + | \end{array},\ pro j \leq l-1 |
\end{align*} | \end{align*} | ||
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
− | \left .\begin{array}{ | + | \left .\begin{array}{rl} |
− | \alpha_i(T_l) = 0,\ i < l-1 \\ | + | \alpha_i(T_l) &= 0,\ i < l-1 \\ |
− | \alpha_{l-1}(T_l) = -1 \\ | + | \alpha_{l-1}(T_l) &= -1 \\ |
− | \alpha_l(T_l) = 2 | + | \alpha_l(T_l) &= 2 |
\end{array} \right\} \rimpl T_l = \begin{array}{cc} | \end{array} \right\} \rimpl T_l = \begin{array}{cc} | ||
− | \left(\begin{array}{ | + | \left(\begin{array}{ccccccc} |
− | + | \ddots \\ | |
− | + | & 0 \\ | |
− | + | && 1 & \dots & \dots & \dots & \dots \\ | |
− | + | &&& 0 \\ | |
− | + | &&&& \ddots \\ | |
− | + | &&&&& 0 \\ | |
− | + | &&&&&& 1 \\ | |
− | + | ||
\end{array}\right) & | \end{array}\right) & | ||
\begin{array}{c} | \begin{array}{c} | ||
− | |||
\\ | \\ | ||
\\ | \\ |
Verze z 3. 8. 2016, 04:38
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02LIAG
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02LIAG | Hazalmat | 3. 8. 2016 | 21:54 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Hazalmat | 7. 7. 2016 | 07:04 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Hazalmat | 10. 7. 2016 | 22:12 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Úvod | Hazalmat | 3. 8. 2016 | 22:12 | LIAG_Kapitola0.tex | |
Kapitola1 | editovat | Definice Lieovy grupy a Lieovy algebry | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 18:02 | LIAG_Kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Vztah mezi Lieovou grupou a její algebrou | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 18:27 | LIAG_Kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Nástin teorie integrabilních distribucí | Hazalmat | 30. 7. 2016 | 15:10 | LIAG_Kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Akce grupy na varietě | Hazalmat | 17. 7. 2016 | 20:23 | LIAG_Kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Reprezentace Lieových grup a algeber | Hazalmat | 4. 8. 2016 | 18:21 | LIAG_Kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Souvislost Lieových grup a algeber | Hazalmat | 4. 8. 2016 | 19:51 | LIAG_Kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Lieovy algebry | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 02:06 | LIAG_Kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Cartanova kritéria | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 18:29 | LIAG_Kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Klasifikace pomocí kořenů | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 18:34 | LIAG_Kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Kořenové diagramy, Cartanova martice | Hazalmat | 31. 7. 2016 | 16:32 | LIAG_Kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Dynkinovy diagramy | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 18:39 | LIAG_Kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Reálné formy komplexních poloprostých algeber | Hazalmat | 1. 8. 2016 | 00:39 | LIAG_Kapitola12.tex | |
Kapitola13 | editovat | Význam kompaktních Lieových grup | Hazalmat | 1. 8. 2016 | 00:45 | LIAG_Kapitola13.tex | |
Kapitola14 | editovat | Reprezentace poloprostých Lieových algeber | Hazalmat | 1. 8. 2016 | 13:45 | LIAG_Kapitola14.tex | |
Kapitola15 | editovat | Spinorové reprezentace | Hazalmat | 27. 7. 2016 | 21:38 | LIAG_Kapitola15.tex | |
Kapitola16 | editovat | Symetrie v QM | Hazalmat | 27. 7. 2016 | 22:21 | LIAG_Kapitola16.tex | |
Kapitola17 | editovat | Cvičení | Hazalmat | 6. 8. 2016 | 04:42 | LIAG_Kapitola17.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:liag-1.pdf | liag-1.pdf |
Image:su3_1.pdf | su3_1.pdf |
Image:su3_2.pdf | su3_2.pdf |
Image:su3_3.pdf | su3_3.pdf |
Image:su3_4.pdf | su3_4.pdf |
Image:su3_5.pdf | su3_5.pdf |
Image:su3_6.pdf | su3_6.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02LIAG} \section{Cvičení} \Prl{ $\mfrk{so}(3,\C)\sim\mfrk{sl}(2,\C): [L_3,L_\pm]=\pm L_\pm,\ [L_+,L_-] = 2L_3$, \begin{align*} &\rho(L_3) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, && \rho(L_+) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, && \rho(L_-) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \\ &\rho(L_3)\ket{\uparrow} = \frac{1}{2}\ket{\uparrow}, && \rho(L_3)\ket{\downarrow} = -\frac{1}{2}\ket{\downarrow}, && \text{váhy: } \lambda = \pm\frac{1}{2}, \end{align*} $\rho:\mfrk{sl}(2,\C) \to \gl\left(D^{1/2}\right),\ D^{1/2} = \mrm{span}\left\{ \ket{\uparrow},\ket{\downarrow} \right\}$ . Tenzorový součin $\rho$ se sebou samou: \begin{align*} (\rho\otimes\rho)(L_3) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\otimes\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{align*} \begin{align*} &(\rho\otimes\rho)(L_3)\ket{\uparrow\uparrow} = \ket{\uparrow\uparrow} && (\rho\otimes\rho)(L_3)\ket{\uparrow\downarrow} = \frac{1}{2}\ket{\uparrow\downarrow} -\frac{1}{2}\ket{\uparrow\downarrow} = 0 \\ &(\rho\otimes\rho)(L_3)\ket{\downarrow\downarrow} = -\ket{\downarrow\downarrow} && (\rho\otimes\rho)(L_3)\ket{\downarrow\uparrow} = 0 \\ \\ &(\rho\otimes\rho)(L_-)\ket{\uparrow\uparrow} = \ket{\downarrow\uparrow} + \ket{\uparrow\downarrow} && (\rho\otimes\rho)(L_-)\big(\ket{\downarrow\uparrow} - \ket{\uparrow\downarrow}\big) = \ket{\downarrow\downarrow} - \ket{\downarrow\downarrow} = 0\\ &(\rho\otimes\rho)(L_-)\ket{\downarrow\downarrow} = 0 && \\ \\ & (\rho\otimes\rho)(L_+) \dots \end{align*} Váhy: $\pm 2\lambda,0;\ n_{\pm 2\lambda} = 1,\ n_0 = 2$. } \Prl{ $A_l = \mfrk{sl}(l+1,\C)$, kořeny: $\alpha_i = \phi_i - \phi_{i+1},\ \alpha_i(T_j) = a_{ij}$, \begin{align*} a =\begin{pmatrix} 2 & -1 & \\ -1 & \ddots & \ddots \\ & \ddots & \ddots & -1 \\ & & -1 & 2 \end{pmatrix}, && \phi_i \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ & \ddots \\ & & \lambda_{l+1} \end{pmatrix} = \lambda_i. \end{align*} $\alpha_i(T_j) = a_{ij} = t_{j,i} - t_{j,i+1} \neq 0 \text{ pro } i = j-1,j,j+1:$ \end{align*} \begin{align*} \left.\begin{array}{rl} \alpha_{j-1}(T_j) &= t_{j,j-1} - t_{j,j} = -1 \\ \alpha_j(T_j) &= t_{j,j} - t_{j,j+1} = 2 \\ \alpha_{j+1}(T_j) &= t_{j,j+1} - t_{j,j+2} = -1 \\ \end{array} \right\} \rimpl T_j = \begin{array}{cc} \left(\begin{array}{cccccc} \ddots \\ & 0 \\ & & 1 & \dots & \dots & \dots \\ & & & -1 \\ & & & & 0 \\ & & & & & \ddots \\ \end{array}\right) & \begin{array}{c} \\ \\ j \\ \\ \\ \\ \end{array} \end{array} \end{align*} Fundamentální váhy, $\lambda_i(T_j) = \delta_{ij}$: \begin{align*} &\lambda_1 \begin{pmatrix} 1 \\ & -1 \\ & & 0 \\ & & & \ddots \\ & & & & 0 \end{pmatrix} = 1, && \lambda_1 \begin{pmatrix} \ddots \\ & 0 \\ & & 1 \\ & & & -1 \\ & & & & 0 \\ & & & & & \ddots \\ \end{pmatrix} = 0 && \rimpl \lambda_1 = \phi_1 \\ &\lambda_2\begin{pmatrix} 1 \\ & -1 \\ & & 0 \\ & & & \ddots \\ & & & & 0 \end{pmatrix} = 0, && \lambda_2\begin{pmatrix} 0 \\ & 1 \\ & & -1 \\ & & & 0 \\ & & & & \ddots \\ \end{pmatrix} = 1, \\ &\lambda_2 \begin{pmatrix} \ddots \\ & 0 \\ & & 1 \\ & & & -1 \\ & & & & 0 \\ & & & & & \ddots \\ \end{pmatrix} = 0 &&\rimpl \lambda_2 = \phi_2 + \phi_1 \end{align*} $\Rightarrow\quad \lambda_i = \phi_1 + \dots + \phi_i$. Je vidět že pak platí $\lambda_i(T_j) = \delta_{ij}$. Mějme definující reprezentaci v standardní bázi $(e_j),\ D \in \g_0,\ \ De_j = \left(\begin{smallmatrix} d_1 \\ & \ddots \\ && d_{l+1} \end{smallmatrix} \right) e_j = d_je_j$, její váhy $\{ \phi_1,\dots,\phi_{l+1} \},\ \phi_{l+1} = -(\phi_1 + \dots + \phi_l)$, lze zapsat jako $\{ \phi_1, \phi_1 - \alpha_1, \phi_1 - \alpha_1 - \alpha_2, \dots,\phi_1 - \alpha_1 - \dots - \alpha_l \}$. Nejvyšší váha je $\phi_1 = \lambda_1$, násobnosti $1$, $\dim\rho_1 = l+1$. $\rho_1 \land \rho_1$: \begin{align*} (\rho_1 \land \rho_1)(e_i \land e_j) &= (D \otimes \mathbb{1} + \mathbb{1} \otimes D)(e_i \otimes e_j - e_j \otimes e_i) = \\ &= d_ie_i \otimes e_j - d_je_j \otimes e_i + e_i \otimes d_je_j - e_j \otimes d_ie_i = (d_i+d_j)(e_i \land e_j), \end{align*} váhy: $\{ \phi_i + \phi_j | i \neq j \},\ \dim \rho\land\rho = \binom{l+1}{2}$, nejvyšší je $\phi_1 + \phi_2$. Pro $\rho^{\land j}$ jsou váhy $\left\{ \phi_{i_1} + \dots + \phi_{i_j} \middle| i_1 < \dots < i_j \right\},\ \dim\rho^{\land j} = \binom{l+1}{j}$, nejvyšší váha $\lambda_j = \phi_1 + \dots + \phi_j$. Pro $\rho^{\land l}$ jsou váhy $\left\{ \sum_{i\neq 1}\phi_i,\dots,\sum_{i\neq l+1}\phi_i \right\} = \{ -\phi_1,\dots,-\phi_{l+1} \} \overset{l\neq 1}{\neq} \{ \phi_1,\dots,\phi_{l+1} \}$. Když $l=1$, pak $\rho^{\land l=1} \simeq \rho$, tj. $\rho^{\land l=1}$ je izomorfní definující reprezentaci. } \Pzn{ Nechť $\rho$ reprezentace $\g$ na $V$, definujeme $\rho^T: \rho^T(X) = (-\rho(X))^T \rimpl \rho^{\land l} = \rho^T$. } \Prl{ $C_l = \mfrk{sp}(2l,\C),\ D \in \g_0,\ \alpha_i(T_j) = a_{ij}$: \begin{align*} D = \begin{pmatrix} d_1 \\ & \ddots \\ && d_l \\ &&& -d_1 \\ &&&& \ddots \\ &&&&& -d_l \end{pmatrix} && \begin{array}{l} \phi_i(D) = d_i \\ \alpha_i = \phi_i - \phi_{i+1},\ i \leq l-1 \\ \alpha_l = 2\phi_l \end{array} \end{align*} \begin{align*} T_j &= \begin{array}{cc} \left(\begin{array}{ccccccccccc} \ddots \\ & 0 \\ && 1 & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ &&& -1 \\ &&&& 0 \\ &&&&& \ddots \\ &&&&&& 0 \\ &&&&&&& 1 & \dots & \dots & \dots \\ &&&&&&&& -1 \\ &&&&&&&&& 0 \\ &&&&&&&&&& \ddots \\ \end{array}\right) & \begin{array}{c} \\ \\ j \\ \\ \\ \\ \\ \\ l+j \\ \\ \\ \\ \end{array} \end{array},\ pro j \leq l-1 \end{align*} \begin{align*} \left .\begin{array}{rl} \alpha_i(T_l) &= 0,\ i < l-1 \\ \alpha_{l-1}(T_l) &= -1 \\ \alpha_l(T_l) &= 2 \end{array} \right\} \rimpl T_l = \begin{array}{cc} \left(\begin{array}{ccccccc} \ddots \\ & 0 \\ && 1 & \dots & \dots & \dots & \dots \\ &&& 0 \\ &&&& \ddots \\ &&&&& 0 \\ &&&&&& 1 \\ \end{array}\right) & \begin{array}{c} \\ \\ l \\ \\ \\ \\ \\ \end{array} \end{array}\\ \end{align*} $\lambda_i(T_j) = \delta_{ij} \rimpl \lambda_i = \phi_1 + \dots + \phi_i,\ i \in \hat{l}$. Definující reprezentace má váhy $\{ \phi_1,\dots,\phi_l,\phi_{-1},\dots,\phi_{-l} \},\ \dim = 2l$, nejvyšší váha je $\phi_1$. } \Prl{ $D_l = \mfrk{so}(2l,\C)$. \begin{align*} H = \begin{pmatrix} d_1\sigma_2 \\ & \ddots \\ && d_l\sigma_2 \end{pmatrix} = H(d_1,\dots,d_l) && (a_{ij}) = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & \ddots & \ddots \\ & \ddots & 2 & -1 & -1 \\ & & -1 & 2 & 0 \\ & & -1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{align*} \begin{align*} &\phi_i(H) = d_i && \alpha_i = \phi_i - \phi_{i+1},\ i \leq l-1 \\ &T_i = H(0,\dots,0,\underset{i}{1},\underset{i+1}{-1},0,\dots,0),\ i \leq l-1 && \alpha_l = \phi_{l-1}+\phi_l \end{align*} $T_l$: \begin{align*} \left .\begin{array}{rll} \alpha_{l-2}(T_l) &= -1 &= d_{l-2} - d_{l-1} \\ \alpha_{l-1}(T_l) &= 0 &= d_{l-1} - d_l \\ \alpha_l(T_l) &= 2 &= \phi_{l-1}(T_l) + \phi_l(t_l) = d_{l-1} + d_l \end{array}\right\} \rimpl T_l = H(0,\dots,0,1,1) \end{align*} $\lambda_i(T_j) = \delta_{ij}$: \begin{align*} \lambda_1 &= \phi_1 \\ \lambda_i &= \phi_1 + \dots + \phi_i,\ i \leq l-2 \\ \lambda_{l-1} &= \frac{1}{2}(\phi_1 + \dots + \phi_{l-1} - \phi_l) \\ \lambda_l &= \frac{1}{2}(\phi_1 + \dots + \phi_l) \end{align*} Definující reprezentace má váhy $\{ \phi_1,\dots,\phi_l,-\phi_1,\dots, -\phi_l \}$. } \Prl{ $B_l = \mfrk{so}(2l + 1)$. \begin{align*} H = \begin{pmatrix} d_1\sigma_2 \\ & \ddots \\ && d_l\sigma_2 \\ &&& 0 \end{pmatrix} && (a_{ij}) = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & \ddots & \ddots \\ & \ddots & 2 & -2 \\ && -1 & 2 \end{pmatrix} \end{align*} \begin{align*} &\phi_i(H) = d_i && \alpha_i = \phi_i - \phi_{i+1},\ i \leq l-1 \\ &T_i = H(0,\dots,0,\underset{i}{1},\underset{i+1}{-1},0,\dots,0) && \alpha_l = \phi_l \end{align*} $T_l$: \begin{align*} \left.\begin{array}{rl} \alpha_{l-1}(T_l) &= -2 \\ \alpha_l(t_l) &= 2 \end{array}\right\} \rimpl T_l = H(0,\dots,0,2) \end{align*} $\lambda_i(T_j)=\delta_{ij}$: \begin{align*} \lambda_i &= \phi_1 + \dots + \phi_i,\ i \leq l-1 \\ \lambda_l &= \frac{1}{2}(\phi_1 + \dots + \phi_l) \end{align*} }