02KVAN:Kapitola8: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
m
 
(Nejsou zobrazeny 3 mezilehlé verze od 3 dalších uživatelů.)
Řádka 1: Řádka 1:
 
%\wikiskriptum{02KVAN}
 
%\wikiskriptum{02KVAN}
  
\section{Přibližné metody výpočtu vlastních hodnot operátoru}
+
\chapter{Bra-ketový formalismus a posunovací operátory}
 +
\label{kets:ladders}
  
Přesný výpočet vlastních čísel operátorů a vlastních funkcí je možné provést analytickými metodami jen u velmi
 
omezeného počtu fyzikálně zajímavých případů. Některé z nich některé jsme již uvedli: energie harmonického
 
oscilátoru, energie \cc e v Coulombově poli, moment hybnosti. Pro mnohé další případy se musíme většinou uchýlit
 
k přibližným metodám. Jednou z nich je tzv. poruchová teorie, kterou popíšeme v následujících podkapitolách.
 
Její podstatou je, že operátor, jehož vlastní čísla chceme spočítat, je možno zapsat jako $\hat A + \hat B$, kde
 
spektrum operátoru $\hat A$ je možno řešit přesně a operátor $\hat B$ je možno v nějakém smyslu považovat za
 
malou opravu -- "poruchu" -- operátoru $\hat A$.
 
  
Přesněji, nechť $\hat A,\ \hat B$ jsou samosdružené operátory. Budeme zkoumat operátor \be \hat A + \epsilon\hat
+
\section{Bra-ketový formalismus}
B, \ll{aeb}\ee kde $\epsilon$ leží v okolí nuly a vlastnosti vlastních čísel a funkcí v závislosti na
+
\label{kets}
parametru $\epsilon$. Dá se očekávat (ač to obecně nemusí být splněno), že pro $\epsilon\rightarrow 0$ se budou
+
vlastní čísla a funkce blížit k odpovídajícím veličinám pro operátor $\hat A$ a pro $\epsilon\rightarrow 1$ za
+
příznivých okolností též k vlastním číslům a funkcím operátoru $\hat A +\hat B$. V některých případech jako je
+
např. Starkův jev, který vysvětlíme níže, lze navíc proměnné $\epsilon$ dát fyzikální smysl.
+
  
Než přejdeme k
+
V kvantové mechanice často nepotřebujeme znát explicitní tvar vlnové funkce $\psi(x)$ popisující stav částice. Stačí vědět, že stav je vlastní vektor nějakých pozorovatelných (resp. superpozice vlastních vektorů) a znát příslušná kvantová čísla. Vhodný způsob pro takový popis stavu kvantové částice představuje Diracův bra-ketový formalismus, se kterým se nyní seznámíme.
výsledkům poruchových metod rozeberme důsledky uvedených  předpokladů.
+
Nechť $\lambda(\epsilon),\lambda_K^{(0)}$ a $\psi(\epsilon), \psi_K^{(0)}$ jsou vlastní čísla a vlastní funkce
+
operátorů $\hat A+\epsilon\hat B$ a $\hat A$ \be (\hat A+\epsilon\hat B )\psi(\epsilon) = \lambda(\epsilon)
+
\psi(\epsilon), \ \ \hat A\psi_K^{(0)} = \lambda_K^{(0)} \psi_K^{(0)}. \label{apsilam}\ee Odtud snadno dostaneme
+
\be (\hat A -\lambda_K^{(0)})\Delta\psi_K = (\Delta\lambda_K-\epsilon\hat B)\psi(\epsilon),\label{startpm}\ee kde \be
+
\Delta\psi_K=\psi(\epsilon)-\psi_K^{(0)},\ \ \Delta\lambda_K=\lambda(\epsilon)-\lambda_K^{(0)}.\ee Vynásobíme-li
+
skalárně rovnost (\ref{startpm}) funkcí $\psi_J^{(0)}$, využijeme samosdruženost operátoru $\hat A$ a druhou rovnost v
+
(\ref{apsilam}), dostaneme \be
+
(\lambda_J^{(0)}-\lambda_K^{(0)})(\psi_J^{(0)},\Delta\psi_K)=\Delta\lambda_K(\psi_J^{(0)},\psi(\epsilon))
+
-\epsilon(\psi_J^{(0)},\hat B\psi(\epsilon)).\label{dpsieps}\ee
+
Pro $J=K$ odtud plyne \be \Delta\lambda_K(\psi_K^{(0)},\psi(\epsilon))=\epsilon(\psi_K^{(0)},\hat
+
B\psi(\epsilon)).\label{dlameps}\ee
+
Tyto dvě rovnice představují výchozí bod pro aplikaci poruchového počtu.
+
Jako první
+
rozebereme případ, kdy operátor $\hat A$ má čistě bodové spektrum a všechna vlastní čísla jsou navzájem různá.
+
  
\special{src: 14 PORTEOR.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Uvažujme abstraktní Hilbertův prostor $\mathcal H$. Vektory z $\mathcal H$ budeme značit pomocí tzv. ketů - $\ket{\psi}$. Skalární součin dvou vektorů $\ket{\psi}$ a $\ket{\varphi}$ zapíšeme ve tvaru $\braket{\psi}{\varphi}$. Prvky duálního prostoru $\Hil^*$ (spojité lineární funkcionály) označíme jako tzv. bra - $\bra{\psi}$. Díky Rieszově lemmatu je každý bra $\bra{\psi}$ jednoznačně spojený s ketem $\ket{\psi}$ pomocí skalárního součinu (skalární součin = závorka = bracket = $\braket{\mathrm{bra}}{\mathrm{ket}}$)
 +
$$
 +
\bra{\psi}\left(\frac{}{}\ket{\phi}\right) = \braket{\psi}{\phi},\  \forall \ket{\phi}\in\Hil.
 +
$$
  
\subsection{Poruchová teorie pro nedegenerované čistě bodové spektrum}
+
\noindent \bp
 +
Uvažujme $\Hil = \C^2$ se standardním skalárním součinem. Označme vektory standardní báze pomocí ketů
 +
$$
 +
\ket{1} = \begin{pmatrix}
 +
1\\
 +
0
 +
\end{pmatrix},\quad \ket{2} = \begin{pmatrix}
 +
0\\
 +
1
 +
\end{pmatrix} .
 +
$$
 +
Příslušné bra dostaneme jejich hermitovským sdružením
 +
$$
 +
\bra{1} = \ket{1}^\dagger = \begin{pmatrix}
 +
1,0
 +
\end{pmatrix},\quad \bra{2} = \ket{2}^\dagger =  \begin{pmatrix}
 +
0,1
 +
\end{pmatrix} .
 +
$$
 +
Kety $\ket{1}$ a $\ket{2}$ jsou ortonormální, tj. platí
 +
$$
 +
\braket{1}{1} = 1,\quad \braket{1}{2} = 0, \quad  \braket{2}{2} = 1.
 +
$$
 +
Pomocí braketového formalismu můžeme snadno zapsat i operátory. Platí totiž následující vztahy
 +
$$
 +
\ketbra{1}{1} = \begin{pmatrix}
 +
1 & 0\\
 +
0 & 0
 +
\end{pmatrix},\quad \ketbra{1}{2} = \begin{pmatrix}
 +
0 & 1\\
 +
0 & 0
 +
\end{pmatrix},\quad
 +
\ketbra{2}{1} = \begin{pmatrix}
 +
0 & 0\\
 +
1 & 0
 +
\end{pmatrix},\quad
 +
\ketbra{2}{2} = \begin{pmatrix}
 +
0 & 0\\
 +
0 & 1
 +
\end{pmatrix},
 +
$$
 +
Speciálně operátor $\ketbra{i}{i}$ je ortogonální projektor na podprostor určený ketem $\ket{i}$. Libovolný operátor $\hat{A}$ v $ \C^2$ pak můžeme zapsat ve tvaru
 +
$$
 +
\hat{A} = A_{1,1} \ketbra{1}{1} + A_{1,2}\ketbra{1}{2} + A_{2,1}\ketbra{2}{1} + A_{2,2}\ketbra{2}{2}.
 +
$$
 +
Čísla $A_{i,j}$ jsou koeficienty matice operátoru $\hat{A}$ ve standardní bázi.
 +
\ep
  
Nechť operátor $\hat A$ má čistě bodové spektrum s navzájem různými vlastními čísly $\lambda_k^{(0)}$.
+
\noindent \bp
Odpovídající vlastní funkce označme $ \psi_k^{(0)}$. Předpokládejme dále, že v okolí nuly lze vlastní čísla i
+
Uvažujme nyní Hilbertův prostor $\Hil$ dimenze $n$, $\hat{A}$ bude hermitovský operátor s prostým spektrem. Označme jeho vlastní vektory pomocí ketů $\ket{i}$, ty splňují vztahy
vlastní funkce operátoru $\hat A +\epsilon\hat B$ napsat jako nekonečnou řadu v proměnné $\epsilon$ s nenulovým
+
$$
poloměrem konvergence. Neboť pro $\epsilon=0$ operátor $\hat A +\epsilon\hat B$ přejde na $\hat A$, lze
+
\hat{A} \ket{i} = a_i\ket{i},
očekávat, že \be \lambda(\epsilon)=\lambda_k^{(0)}+\epsilon\lambda_k^{(1)}+ \epsilon^2\lambda_k^{(2)}+\ldots
+
$$
\ll{lamep}\ee \be \psi(\epsilon)=\psi_k^{(0)}+\epsilon\psi_k^{(1)}+ \epsilon^2\psi_k^{(2)}+\ldots \ll{psiep}\ee
+
kde $a_i$ jsou příslušná vlastní čísla. Množina vektorů $\{\ket{1},\ldots, \ket{n}\}$ tvoří ortonormální bázi $\Hil$, což můžeme zapsat pomocí relací ortogonality
Ideální by bylo, kdybychom uměli vypočítat všechny koeficienty řad \rf{lamep}) a \rf{psiep}) a odtud usoudit na
+
$$
konvergenci či dokonce provést součet. V praxi se nám obvykle podaří vypočítat pouze několik nejnižších členů,
+
\braket{i}{j} = \delta_{ij},
jejichž příspěvky však často překvapivě dobře odpovídají experimentálně naměřeným hodnotám fyzikálních
+
$$
pozorovatelných. Vzorce pro výpočet koeficientů lze odvodit dosazením \rf{lamep}) a
+
a relací úplnosti (resp. rozkladu jednotky)
\rf{psiep}) do (\ref{dpsieps}) a (\ref{dlameps}). %úlohy pro vlastní čísla
+
$$
%\be (\hat A +\epsilon\hat B)\psi_k(\epsilon)=\lambda_k(\epsilon)\psi_k(\epsilon) \ll{vlcep}\ee
+
\sum_{i=1}^n \ketbra{i}{i} = \hat{I}.
Porovnáním členů u první mocniny $\epsilon$ v (\ref{dlameps})
+
$$
zjistíme, že první oprava vlastního čísla je střední hodnota
+
Z těchto vztahů pak snadno plyne Fourierův rozvoj do ortonormální báze
operátoru $\hat B$ ve stavu $\psi_k^{(0)}$. \be \lambda_k^{(1)} = <\hat B>_{\psi_k^{(0)}}. \ll{1oprvlc}\ee
+
$$
Porovnáním členů u první mocniny $\epsilon$ v (\ref{dpsieps}) dostaneme
+
\ket{\psi} = \hat{I}\ket{\psi} = \left(\sum_{i=1}^n \ketbra{i}{i}\right)\ket{\psi} = \sum_{i=1}^n \braket{i}{\psi}\ket{i},\quad \forall \ket{\psi}\in\Hil,
 +
$$
 +
a Parsevalova rovnost
 +
$$
 +
||\psi||^2 = \braket{\psi}{\psi} = \braketA{\psi}{\left(\sum_{i=1}^n \ketbra{i}{i}\right)}{\psi} = \sum_{i=1}^n \braket{\psi}{i}\braket{i}{\psi} = \sum_{i=1}^n |\braket{i}{\psi}|^2.
 +
$$
 +
Pro operátor $\hat{A}$ pak platí spektrální rozklad
 
\be
 
\be
(\psi_j^{(0)},\psi_k^{(1)})=\frac{(\psi_j^{(0)},\hat B \psi_k^{(0)})}{\lambda_k^{(0)}-\lambda_j^{(0)}},\ \ j\neq
+
\hat{A} = \sum_{i=1}^n a_i\ketbra{i}{i}.
k, \ll{1oprvlf}\ee odkud plyne, že první oprava vlastní \fc e $\psi(\epsilon)$ tedy je \be \psi_k^{(1)}=\gamma \psi_k^{(0)}+ \sum_{j\neq
+
\label{srA}
k}\frac{(\psi_j^{(0)},\hat B \psi_k^{(0)})}{(\lambda_k^{(0)}-\lambda_j^{(0)})(\psi_j^{(0)},\psi_j^{(0)})} \psi_j^{(0)},\ll{1oprvlfce}\ee
+
\ee
kde
+
Jak známo z lineární algebry, matice operátoru v bázi jeho vlastních vektorů je diagonální a na diagonále jsou vlastní čísla. Jiný operátor $\hat{B}$, který s $\hat{A}$ nekomutuje, už diagonální nebude
$\gamma$ je libovolná konstanta, kterou můžeme použít například pro normalizaci vlastní funkce  $\psi(\epsilon)$.
+
$$
 +
\hat{B} = \hat{I}\hat{B}\hat{I} = \left(\sum_{i=1}^n \ketbra{i}{i}\right) \hat{B} \left(\sum_{j=1}^n \ketbra{j}{j}\right) = \sum_{i,j=1}^n \braketA{i}{\hat{B}}{j}\ketbra{i}{j}.
 +
$$
 +
Čísla $\braketA{i}{\hat{B}}{j}$ jsou maticové elementy operátoru $\hat{B}$ v bázi ketů $\{\ket{1},\ldots, \ket{n}\}$. Poznamenejme, že libovolnou funkci $f$ operátoru $\hat A$ můžeme pomocí spektrálního rozkladu (\ref{srA}) zapsat ve tvaru
 +
$$
 +
f(\hat A) = \sum_{i=1}^n f(a_i)\ketbra{i}{i}.
 +
$$
 +
\ep
  
Opravu vlastního čísla do druhého řádu v $\epsilon$ vypočteme porovnáním členů (\ref{dlameps}) u druhé mocniny $\epsilon$.
+
V kvantové mechanice typicky pracujeme se separabilními Hilbertovými prostory se spočetnou ortonormální bází. Vztahy známé z lineární algebry jako rozklad jednotky, Fourierův rozvoj, Parsevalova rovnost nebo spektrální rozklad operátoru (s čistě bodovým spektrem) v nich platí podobně, jen je třeba konečné sumy nahradit nekonečnými řadami. Vyvstává pak otázka jejich konvergence, která je ale zaručena úplností Hilbertova prostoru.
%Ze samosdruženosti $\hat A$ opět plyne\[ (\psi_k^{(0)},\hat A \psi_k^{(2)})=(\hat A\psi_k^{(0)},\psi_k^{(2)})=\lambda_k^{(0)} (\psi_k^{(0)},\psi_k^{(2)}) \] a stejným postupem jako v předchozím případě dostaneme
+
\be \lambda_k^{(2)} = \frac{(\psi_k^{(0)},(\hat B -\lambda_k^{(1)}) \psi_k^{(1)})}
+
{(\psi_k^{(0)},\psi_k^{(0)})}=\sum_{j\neq k}\frac{|(\psi_j^{(0)},\hat B \psi_k^{(0)})|^2}
+
{(\lambda_k^{(0)}-\lambda_j^{(0)})(\psi_k^{(0)},\psi_k^{(0)})(\psi_j^{(0)},\psi_j^{(0)})}, \ll{2oprvlc}\ee přičemž v druhém rovnítku jsme
+
použili vztahy (\ref{1oprvlc}), (\ref{1oprvlfce}).
+
  
Analogickými operacemi bychom mohli dostat vzorce pro další opravy vlastních čísel a vlastních \fc í. Bohužel
 
formule jsou pak již tak komplikované, že pro většinu případů jsou prakticky nepoužitelné. Použijeme-li však
 
dodatečnou normovací podmínku (ze které m.j. plyne $\gamma=0$)
 
\be (\psi(\epsilon),\psi_k^{(0)})=1\ \Leftrightarrow\ (\Delta\psi(\epsilon),\psi_k^{(0)})=0, \ee
 
tyto formule se podstatně zjednoduší. Porovnáním členů (\ref{dlameps}) a (\ref{dpsieps}) u s-té mocniny
 
$\epsilon$ pak dostaneme relativně jednoduché rekurentní relace
 
\begin{equation}\label{oprvlcvlf1}
 
\lambda_k^{(s)}=\frac{(\psi_k^{(0)},\hat B\psi_k^{(s-1)})}{(\psi_k^{(0)},\psi_k^{(0)})}
 
\end{equation}
 
\begin{equation}\label{oprvlcvlf2}
 
\psi_k^{(s)}=\sum_{j\neq k}\frac{(\psi_j^{(0)},\hat B\psi_k^{(s-1)})-
 
\sum_{r=1}^{s-1}\lambda_k^{(r)}(\psi_j^{(0)},\psi_k^{(s-r)})}{\lambda_k^{(0)}-\lambda_j^{(0)}}\psi_j^{(0)},
 
\end{equation}
 
které nám umožní počítat opravy vlastních čísel i vlastních funkcí do libovolně vysokého řádu $\epsilon$.
 
\bc Poruchovou
 
metodou spočítejte energie do druhého řádu jednorozměrné \qv é \cc e  na kterou působí síla $M \omega^2 x+F$
 
(harmonický oscilátor v homogenním poli). \ec
 
\bc Poruchovou metodou spočítejte energie  do druhého řádu
 
jednorozměrné \qv é \cc e  v potenciálu \[ V(x)=\half M \omega^2 x^2 + \alpha x^3 + \beta x^4. \] (Anharmonický
 
oscilátor.) \ec
 
  
\subsection{Poruchová teorie pro vícenásobná vlastní čísla} V předchozí kapitole jsme využili faktu, že ke
+
Uvažujme nyní kvantový lineární oscilátor. Označme vlastní vektory hamiltoniánu pomocí ketů $\ket{n}$, pro které platí
každému vlastnímu číslu existovala právě jedna vlastní \fc e. Nyní ukážeme jak postupovat pro {\bf
+
\be
konečněnásobná} vlastní čísla $\lambda_k^{(0)}$ operátoru $\hat A$, tedy v případě, kdy vlastní \fc e příslušné
+
\ll{ket:LHO}
k číslu $\lambda_k^{(0)}$ tvoří lineární podprostor dimenze $N>1$. Nechť $\{f_{k,i}\}_{i=1}^N$ je ortonomální
+
\hat H\ket{n} = E_n\ket{n},\quad E_n = \left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega,\quad n\in\Z_+ .
base v prostoru vlastních \fc í operátoru $\hat A$ příslušných k vlastnímu číslu operátoru $\lambda_k^{(0)}$.
+
\ee
 +
Množina vlastních vektorů $\left\{\ket{n},n\in\Z_+\right\}$ tvoří ortonormální bázi Hilbertova prostoru, což můžeme zapsat pomocí relací ortogonality a relací úplnosti
 +
$$
 +
\braket{n}{m} = \delta_{n,m},\quad \sum_{n=0}^\infty \ketbra{n}{n} = \hat{I}.
 +
$$
 +
Vztah mezi abstraktním ketem $\ket{n}$ a funkcí $\psi_n$ popíšeme v následující části.
  
\special{src: 68 PORTEOR.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Analogicky jako na konečné dimenzi platí Fourierův rozvoj a Parsevalova rovnost
 +
$$
 +
\ket{\psi} = \sum_{n=0}^\infty \braket{n}{\psi}\ket{n},\quad \braket{\psi}{\psi} = \sum_{n=0}^\infty |\braket{\psi}{n}|^2,\quad \forall\ket{\psi}\in\Hil .
 +
$$
 +
Hamiltonián je v bázi svých vlastních vektorů (v tzv. energetické reprezentaci) diagonální
 +
$$
 +
\hat H = \sum_{n=0}^\infty E_n\ketbra{n}{n}.
 +
$$
 +
Operátory polohy a hybnosti v energetické reprezentaci diagonální nejsou
 +
$$
 +
\hat{Q} = \sum_{n,m=0}^\infty \braketA{n}{\hat{Q}}{m} \ketbra{n}{m},\quad \hat{P} = \sum_{n,m=0}^\infty \braketA{n}{\hat{P}}{m} \ketbra{n}{m}.
 +
$$
 +
Maticové elementy $\braketA{n}{\hat{Q}}{m}$, resp. $\braketA{n}{\hat{P}}{m}$, lze snadno spočítat s využitím posunovacích operátorů, které si představíme v části \ref{shift:lho}.
  
Zaměníme-li operátor $\hat A$ operátorem $\hat A+\epsilon\hat B$, pak se v obecném případě změní i vlastní čísla
+
Podobně jako v případě lineárního oscilátoru můžeme zavést kety pro libovolný kvantový systém. Do ketů typicky zapisujeme kvantová čísla, která označují vlastní čísla relevantních pozorovatelných. Například společné vlastní vektory operátorů $\hat{L}_3$ a $\hat{L}^2$, označíme pomocí ketů $\ket{l,m}$ (odpovídající kulovým funkcím $Y_{lm}$), pro které platí
i jejich násobnost. Opět budeme předpokládat, že v okolí nuly lze vlastní čísla i vlastní funkce operátoru $\hat
+
\begin{eqnarray}
A +\epsilon\hat B$ napsat jako nekonečnou řadu v proměnné $\epsilon$ s nenulovým poloměrem konvergence, takže
+
\nonumber \hat{L}_3\ket{l,m} & = & \hbar m \ket{l,m}, \\
vlastní čísla operátoru $\hat A+\epsilon\hat B$, která pro $\epsilon\rightarrow 0$ konvergují k
+
\ll{ket:lm} \hat{L}^2\ket{l,m} & = & \hbar^2 l(l+1)\ket{l,m},\quad l\in\Z_+,\quad m\in\Z,\quad |m|\leq l.
$\lambda_{k}^{(0)}$, lze zapsat jako \be \lambda_{k,n}(\epsilon)=\lambda_{k}^{(0)}+\epsilon\lambda_{k,n}^{(1)}+
+
\end{eqnarray}
\epsilon^2\lambda_{k,n}^{(2)}+\ldots,\ll{lamepdg}\ee a \be
+
Kety $\ket{l,m}$ tvoří bázi uvažovaného Hilbertova prostoru, tj. platí
\psi_{k,n}(\epsilon)=\psi_{k,n}^{(0)}+\epsilon\psi_{k,n}^{(1)}+ \epsilon^2\psi_{k,n}^{(2)}+\ldots,
+
$$
\ll{psiepdg}\ee kde $ \ n=1,\ldots,N$.
+
\braket{l,m}{l',m'}=\delta_{l,l'}\ \delta_{m,m'} ,\quad \sum_{l=0}^\infty\sum_{m=-l}^l \ketbra{l,m}{l,m} = \hat{I}
 +
$$
 +
Operátory $\hat{L}_3$ a $\hat{L}^2$ jsou v této bázi diagonální
 +
$$
 +
\hat{L}_3 = \sum_{l=0}^\infty\sum_{m=-l}^l \hbar m\ketbra{l,m}{l,m},\quad \hat{L}^2 = \sum_{l=0}^\infty \hbar^2 l(l+1) \sum_{m=-l}^l \ketbra{l,m}{l,m}.
 +
$$
 +
Operátory $\hat{L}_{1,2}$ diagonální nejsou
 +
$$
 +
\hat{L}_{1,2} = \sum_{l,l'=0}^\infty\sum_{m=-l}^l\sum_{m'=-l'}^{l'} \braketA{l',m'}{\hat{L}_{1,2}}{l,m}\ketbra{l',m'}{l,m},
 +
$$
 +
jejich maticové elementy lze opět snadno spočítat pomocí posunovacích operátorů, viz. část \ref{shift:L}.
  
Funkce $\psi_{k,n}^{(0)}=lim_{\epsilon\rightarrow 0}\psi_{k,n}(\epsilon)$, na rozdíl od případu nedegenerovaného
+
\section{Vztah mezi ketem a vlnovou funkcí}
spektra, nejsou určeny řešením úlohy pro vlastní čísla a \fc e operátoru $\hat A$. Víme pouze, že jsou jistou
+
\ll{ket:xp}
lineární kombinací \fc í $f_{k,i}$ \be \psi_{k,n}^{(0)}=\sum_{i=1}^N a_{kn,i}f_{k,i}. \ll{psipresf}\ee %
+
Musíme tedy napřed určit \fc e $\psi_{k,n}^{(0)}$. Dosadíme opět řady (\ref{lamepdg}), (\ref{psiepdg}) do úlohy pro
+
vlastní čísla \be (\hat A+\epsilon\hat B)\psi_{k,n}= \lambda_{k,n}\psi_{k,n} \ee a porovnáme členy úměrné první
+
mocnině $\epsilon$. Dostaneme \be \hat A \psi_{k,n}^{(1)}+\hat B
+
\psi_{k,n}^{(0)}=\lambda_{k,n}^{(0)}\psi_{k,n}^{(1)}+ \lambda_{k,n}^{(1)}\psi_{k,n}^{(0)}. \ll{1raddg}\ee
+
Vynásobíme-li tuto rovnost skalárně zprava \fc í $f_{k,j}$, použijeme samosdruženost $\hat A$ a toho, že
+
$f_{k,j}$ je vlastní \fc í operátoru $\hat A$, dostaneme \be (f_{k,j},\hat B \psi_{k,n}^{(0)}) =
+
\lambda_{k,n}^{(1)}(f_{k,j},\psi_{k,n}^{(0)}). \ee Dosadíme-li sem (\ref{psipresf}) a využijeme ortonormálnost
+
\fc í $f_{k,j}$, pak můžeme tuto rovnost přepsat způsobem \be \sum_{i=1}^N
+
B_{ji}a_{kn,i}=\lambda_{k,n}^{(1)}a_{kn,j},\ll{matvlc}\ee což je úloha pro vlastní čísla matice \be
+
B_{ji}:=(f_{k,j},\hat B f_{k,i}),\ i,j:=1,\ldots,N. \ee První opravy vlastních čísel  $\lambda_{k,n}^{(1)}$ pak
+
dostaneme z řešení úlohy (\ref{matvlc}), tedy jako kořeny sekulární rovnice
+
\be \det(B_{ji}-\lambda_{k,n}^{(1)}\delta_{ji})=0. \ll{sekub}\ee Řešením úlohy (\ref{matvlc}) pak dostaneme též
+
koeficienty $a_{kn,i}$, které určují "nultou opravu" $\psi_{k,n}^{(0)}$ vlastních funkcí $f_{k,i}$. Výpočet
+
dalších oprav je opět dosti komplikovaný a příslušné vzorce zde nebudeme uvádět. \subsubsection{Starkův jev na
+
vodíku} Starkovým jevem nazýváme rozštěpení spektrálních čar atomu vlivem homogenního elektrostatického pole.
+
Elektron v atomu vodíku v homogenním elektrostatickém poli $\vec {\cal E}$ můžeme popsat Hamiltoniánem \be \hat
+
H = -\frac{\hbar^2}{2M}\triangle- \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r}+e\vec {\cal E}\vec x. \ee Pro slabé
+
elektrické pole tj. $\frac{e}{4\pi\epsilon_0 a^2}\gg |\vec{\cal E}|$, kde $a$ je Bohrův poloměr atomu vodíku, je možno poslední
+
člen považovat za malou opravu předchozí části Hamiltoniánu $\hat H_0$ popisující atom vodíku bez přítomnosti
+
vnějšího elektrického pole. Jeho vlastní čísla i vlastní funkce známe z podkapitoly \ref{podkap:coulomb}. Víme,
+
že vlastní čísla (kromě nejnižší energie) jsou degenerovaná, takže musíme použít poruchovou metodu pro
+
degenerované spektrum.
+
  
\special{src: 101 PORTEOR.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
V této části se podíváme na souvislost mezi popisem stavu kvantové částice pomocí abstraktního ketu $\ket{\psi}$ a pomocí vlnové funkce $\psi(\vec{x})$. Zobecněným vlastním vektorům polohy, resp. hybnosti, přiřadíme kety $\ket{\vec{x}\,}$, resp. $\ket{\vec{p}\,}$. Tyto kety splňují rovnice
 +
$$
 +
\braketA{\vec{x}\,}{\hat Q_j}{\psi} = x_j \braket{\vec{x}\,}{\psi},\quad \braketA{\vec{p}\,}{\hat P_j}{\psi} = p_j \braket{\vec{p}\,}{\psi},
 +
$$
 +
a jsou normované k $\delta$-funkci, tj. platí \footnote{Srovnej s \rf{rceprophip}, \rf{dnormp}, \rf{vlfceQ}, \rf{dnormx}.}
 +
$$
 +
\braket{\vec{x}'\,}{\vec{x}\,} = \delta(\vec{x}-\vec{x}'),\quad \braket{\vec{p}'\,}{\vec{p}\,} = \delta(\vec{p}-\vec{p}').
 +
$$
 +
Tyto vztahy představují analogii relací ortogonality pro prvky ortonormální báze. Podobně platí pro kety i analogie relací úplnosti ve tvaru
 +
$$
 +
\int_{\R^3}d^3x\, \ketbra{\vec{x}\,}{\vec{x}\,} = \hat{I},\quad \int_{\R^3}d^3p\, \ketbra{\vec{p}\,}{\vec{p}\,} = \hat{I}.
 +
$$
 +
Libovolný ket $\ket{\psi}$ pak můžeme rozložit do \uv{báze} zobecněných vlastních vektorů polohy způsobem
 +
$$
 +
\ket{\psi} = \int_{\R^3}d^3x\, \braket{\vec{x}\,}{\psi}\,\ket{\vec{x}\,} = \int_{\R^3}d^3x\ \psi(\vec{x})\, \ket{\vec{x}\,},
 +
$$
 +
tj. identifikujeme vlnovou funkci s Fourierovým koeficientem
 +
$$
 +
\psi(\vec{x}) = \braket{\vec{x}\,}{\psi}.
 +
$$
 +
O vlnové funkci $\psi(\vec{x})$ pak mluvíme jako o $\vec{x}$-reprezentaci (resp. \uv{souřadnicové reprezentaci}) stavu $\ket{\psi}$. Vztah mezi ketem $\ket{n}$ a funkcí $\psi_n$ pak je $\psi_n(x)=\braket{{x}\,}{n\,}$. Podobným způsobem můžeme rozepsat ket $\ket{\psi}$ do \uv{báze} zobecněných vlastních vektorů hybnosti
 +
$$
 +
\ket{\psi} = \int_{\R^3}d^3p\, \braket{\vec{p}\,}{\psi}\,\ket{\vec{p}\,} = \int_{\R^3}d^3p\ \widetilde{\psi}(\vec{p})\, \ket{\vec{p}\,},
 +
$$
 +
kde
 +
$$
 +
\widetilde{\psi}(\vec{p})= \braket{\vec{p}\,}{\psi},
 +
$$
 +
je $\vec{p}$-reprezentace (resp. \uv{impulsová reprezentace}) stavu $\ket{\psi}$. Pro úplnost si ukážeme, že funkce $\psi$ a $\widetilde{\psi}$ jsou spojeny Fourierovou transformací. Postupně najdeme
 +
\begin{eqnarray}
 +
\label{x:p:fourier}
 +
\nonumber \widetilde{\psi}(\vec{p}) & = & \braketA{\vec{p}\,}{\left(\int_{\R^3}d^3x\, \ketbra{\vec{x}\,}{\vec{x}\,}\right)}{\psi} = \int_{\R^3}d^3x\, \braket{\vec{p}\,}{\vec{x}\,}\braket{\vec{x}}{\psi} \\
 +
& = & \int_{\R^3}d^3x\, \phi^*_{\vec{p}}(\vec{x})\, \psi(\vec{x}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}^3}\int_{\R^3}d^3x\, e^{-\frac{i}{\hbar}\vec{p}\cdot\vec{x}}\, \psi(\vec{x}) = (\mathcal{F}\psi)(\vec{p}).
 +
\end{eqnarray}
  
Bez újmy na obecnosti (neporušený hamiltonián je isotropní), můžeme předpokládat, že $\vec{\cal
 
E}=(0,0,\epsilon)$. Oprava $\epsilon\hat B$ hamiltoniánu $\hat H_0$ je $e \epsilon\,\hat X_3=e\epsilon\,
 
r\cos\theta\cdot$ a zajímá nás změna $k$-té energetické hladiny vodíku $E_k=-R/k^2$ v závislosti na síle
 
elektrického pole $\epsilon$.
 
  
\special{src: 105 PORTEOR.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\section{Posunovací operátory}
 +
\ll{posunovacioperatory}
  
Vlastní funkce $\psi_{k,l,m}$ příslušné k $E_k$ jsou vyjádřeny vzorcem (\ref{nlmcoul}), kde $N=k$. Matice
+
Posunovací operátory jsou důležitým prostředkem pro studium spekter a práci s vlastními vektory. Operátor $\hat A$ nazveme \emph{posunovacím operátorem
$B_{ji}$, jejíž vlastní hodnoty, představují první opravy energie má v tomto případě elementy \[ B_{ji}\equiv
+
k~operátoru $\hat B$ s~posunutím} $\Delta\in\C$ pokud
B_{lm,l'm'}=e(\psi_{klm},r\cos\theta\,\psi_{kl'm'})= \] \be =e\int R_{kl}(r)R_{kl'}(r)r^3dr\int
+
\be
Y_{lm}(\theta,\phi)\cos\theta\, Y_{l'm'}(\theta,\phi)d\Omega. \ll{starkmatel}\ee Druhý integrál je roven (viz
+
[\hat B,\hat A] = \triangle \hat A.
např \cite{for:ukt} G.29) \be \int Y_{lm}(\theta,\phi)\cos\theta\, Y_{l'm'}(\theta,\phi)d\Omega
+
\ll{posop}  
=\delta_{mm'}(\delta_{l,l'+1}\sqrt{\frac{l^2-m^2}{4l^2-1}}+
+
\ee
\delta_{l+1,l'}\sqrt{\frac{l'^2-m^2}{4l'^2-1}}),\ll{YzzY}\ee takže maticové elementy jsou nenulové pouze pro
+
Důvod pro tento název spočívá v~tom, že pokud $\lambda$ je vlastní hodnota operátoru $\hat B$ a $\ket{\lambda}$ příslušný vlastní vektor, pak
$m=m'$ a $l'=l\pm 1$. Výpočet prvního integrálu v (\ref{starkmatel}) je obecně dosti složitý a proto se omezíme
+
z \rf{posop} ihned plyne
na výpočet prvních oprav základní a první excitované hladiny. Pro nejnižší energii $k=1$ je $l=l'=0$ a
+
\be \hat B \hat A \ket{\lambda} = (\lambda+\Delta) \hat A \ket{\lambda}, \ll{posunl} \ee
$(\psi_{100},r\cos\theta\psi_{100})=0$, takže základní hladina se do prvního řádu v $\epsilon$ nezmění. Pro
+
což znamená, že $\hat A \ket{\lambda}$ je buď nula nebo vlastní vektor operátoru $\hat B$ s~vlastní hodnotou $\lambda+\Delta$.
první excitovanou hladinu je  $k=2$ a $l,l'=0,1$. Jediné nenulové elementy $B_{ji}$ v důsledku (\ref{YzzY}) jsou
+
\be e(\psi_{210},r\cos\theta\,\psi_{200})=e(\psi_{200},r\cos\theta\,\psi_{210})^*=-3ea. \ee Matice $B_{ij}$ v
+
tomto případě má tvar \be B=\left( \begin{array}{cccc} 0&0&-3ea&0\\0&0&0&0\\-3ea&0&0&0\\0&0&0&0 \end{array}
+
\right), \ee a kořeny sekulární rovnice (\ref{sekub}) jsou $0,0,3ea,-3ea$. Znamená to, že první excitovaná
+
hladina vodíku, která je čtyřnásobně degenerovaná, se ve slabém vnějším elektrickém poli rozštěpí na tři s
+
hodnotami $-3,4eV$ a $-3,4eV\pm 3 ea\epsilon$, kde $e$ je náboj elektronu, $a$ je Bohrův poloměr vodíku
+
$a=0,53\times10^{-8}$ cm a $\epsilon$ je hodnota intenzity vnějšího elektrického pole. Původní hladina $-3,4eV$
+
zůstane degenerovaná i v elektrickém poli, avšak pouze dvakrát -- její vlastní funkce tvoří dvourozměrný prostor
+
lineárních kombinací $a_+\psi_{2,1,1}+a_-\psi_{2,1,-1}$, zatímco hladiny $-3,4eV\pm 3 ea\epsilon$ jsou již
+
nedegenerované a odpovídají jim vlastní \fc e $a(\psi_{2,1,0}\mp\psi_{2,0,0})$, kde $\psi_{2,1,0},\psi_{2,0,0}$
+
jsou normalizované k jedničce. Všimněme si, že šířka rozštěpení je úměrná intenzitě elektrického pole. Podobně
+
se rozštěpí i vyšší excitované hladiny. Toto experimentálně pozorované rozštěpení hladin se nazývá (lineární)
+
Starkův jev.
+
\bc Spočítejte rozštěpení druhé excitované hladiny atomu vodíku při Starkově jevu. \ec
+
\bc Existuje
+
lineární Starkův jev pro isotropní oscilátor? %2008
+
\ec \subsection{Struktura atomu, Hartreeho metoda} %Viz
+
\cite{for:ukt} 10.6 Atomy se skládají z kladně nabitého jádra a záporně nabitého obalu. Vzhledem k rozdílu
+
hmotností částic jádra %t.j. protonů a neutronů a obalu %t.j. elektronů je možno různé stavy atomů s dobrou
+
aproximací popisovat jako stavy soustavy záporně nabitých \cc{} - elektronů - pohybujících se v potenciálovém
+
poli jádra.
+
  
\special{src: 352 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Ze vztahu \rf{posop} rovněž ihned plyne, že pokud operátor $\hat A$ je posunovacím operátorem k~operátoru $\hat B$ s~posunutím $\Delta$,
 +
pak $\hat A^\dagger$ je posunovacím operátorem k~operátoru $\hat B^\dagger$ s~posunutím $-\Delta^*$. Pokud navíc $\hat B$ je samosdružený
 +
(tzn.~má pouze reálné vlastní hodnoty) a existuje alespoň jeden vlastní vektor $\ket{\lambda}$ operátoru $\hat B$ takový, že
 +
$\hat A \ket{\lambda} \neq 0$ pak $\Delta\in\R$.
  
Zabývejme se tedy atomem s atomovým číslem $Z$. Hamiltonián systému $Z$ elektronů elektrostaticky interagujících
+
Je zřejmé, že posunovací operátory budou mít význam, zejména pro operátory které mají ekvidistantní spektrum. Uvedeme dva typické příklady.
s jádrem a mezi sebou je \be \hat H=-\frac{\hbar^2}{2m_e}\sum_{j=1}^Z\triangle_j -
+
\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_{j=1}^Z \frac{Ze^2}{ |\vex_j|} +\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_{j<k}
+
\frac{e^2}{|\vex_j-\vex_k|}. \ll{hamatob}\ee
+
  
\special{src: 360 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
  
\bc Spočítejte prouchovou metodou energii základního stavu helia, považujeme-li poslední člen v (\ref{hamatob})
 
za poruchu. \ec Přesné nalezení vlastních (Z-částicových) stavů hamiltoniánu (\ref{hamatob}) je prakticky
 
nemožné. Ukazuje se však, že  stavy atomu a jeho energie je možné popsat pomocí antisymetrických kombinací
 
jednočásticových vlnových \fc í v poli sféricky symetrického potenciálu. Jeho tvar lze dostat tzv. Hartreeho
 
metodou self-konzistentního pole, kterou nyní popíšeme.
 
  
\special{src: 366 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\subsection{Lineární harmonický oscilátor}
 +
\ll{shift:lho}
  
Předpokládejme, že jsou známy polohy všech elektronů obalu atomu kromě j-tého. Hamiltonián j-tého elektronu pak
+
Budeme se zajímat o~posunovací operátory pro hamiltonián LHO
má tvar \be \hat H_j=-\frac{\hbar^2}{2m_e}\triangle_j - \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Ze^2}{ |\vex_j|}
+
\be  
+\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_{j\neq k}^Z \frac{e^2}{|\vex_j-\vex_k|}, \ll{hamatj}\ee kde $\vex_k,\ k\neq j$
+
\hat H = \frac{\hat{P}^2}{2M} + \frac{1}{2}M\omega^2 \hat{Q}^2 .
jsou parametry hamiltoniánu. Tento předpoklad však bohužel není splněn, neboť polohy všech elektronů jsou
+
\ee
kvantově mechanické pozorovatelné a informace o jejich okamžité hodnotě je ukryta ve vlnových \fc ích.
+
Z~komutačních relací mezi $\hat H$ a operátorem polohy a hybnosti lze odvodit, že posunovací operátory pro $\hat H$ lze zapsat ve tvaru
Modifikujeme-li tedy náš předpoklad tak, že známe vlnové \fc e $\phi_k,\ k\neq j$, pak můžeme hamiltonián
+
\be
\rf{hamatj}) nahradit \ha nem \be \hat H_j=-\frac{\hbar^2}{2m_e}\triangle_j -
+
\ll{kreanop}  
\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Ze^2}{ |\vex_j|} +\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_{j\neq k}^Z
+
\hat a_\pm = \sqrt{\frac{M\omega}{2\hbar}}(\hat Q \mp \frac{i}{M\omega} \hat P),
\int_{R^3}\frac{|\phi_k(\vex_k)|^2e^2}{|\vex_j-\vex_k|}d^3x_k. \ll{hamatj2}\ee Problém je v tom, že funkce
+
\ee
$\phi_k$ neznáme stejně jako $\phi_j$. Mohli bychom se nicméně pokusit řešit soustavu rovnic \be \hat
+
neboť platí
H_j\phi_j=E_j\phi_j ,\ j=1,\ldots,Z \ee pro funkce $\phi_j$. Avšak díky přítomnosti $\phi_k,\ k\neq j$ v
+
\be [\hat H,\hat a_\pm] = \pm\hbar \omega \hat a_\pm. \ll{hcoma} \ee
\rf{hamatj2}) se opět jedná o prakticky neřešitelný (dokonce nelineární) problém.
+
Obecně jsou posunovací operátory podmínkou (\ref{posop}) určené až na multiplikativní konstantu. Faktor $\sqrt{\frac{M\omega}{2\hbar}}$ ve vztahu (\ref{kreanop}) je vhodně zvolen tak, že pro komutátor $\hat a _-$ a $\hat a_+$ platí
 +
\be
 +
\ll{komut:apm}
 +
[\hat a _-,\hat a_+] = \unit.
 +
\ee
  
\special{src: 384 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
  
Hartreeho metoda spočívá v iteračním postupu, kde na začátku jsou zvoleny jednočásticové funkce $\phi_k^0$,
+
Označme vlastní vektory $\hat{H}$ pomocí ketů $\ket{n}$ jako ve vztahu (\ref{ket:LHO}). Posunovací operátory na ně působí takto
které splňují některé základní fyzikální požadavky na očekávaný tvar řešení. Ty jsou v prvním kroku dosazeny do
+
\be
\ha nu \rf{hamatj2}), přičemž je respektován Pauliho princip, že každý stav může být obsazen maximálně jedním
+
\ll{a:n}
elektronem, a (obvykle numerickou metodou) vypočítány energie $E^1_j$ a funkce $\phi_j^1$, které splňují \be
+
\hat{a}_\pm \ket{n} = \alpha_n^\pm \ket{n\pm 1},
\hat H_j^0\phi_j^1=E_j^1\phi_j^1. \ee Funkce $\phi_j^1$se opět dosadí do \ha nu \rf{hamatj2}) a tento postup se
+
\ee
opakuje tak dlouho až  $\phi_j^{n+1}\approx\phi_j^n$ a $E_j^{n+1}\approx E_j^n$, takže \be \hat
+
kde $\alpha_n^\pm$ jsou čísla ($\ket{n}$ je normován k jedné, ale $\hat{a}_\pm \ket{n}$ obecně normovaný k jedné být nemusí). Operátor $\hat a_+$ tedy \uv{zvyšuje energii stavu} o~$\hbar\omega$ a nazývá se obvykle \emph{kreační} operátor, zatímco operátor $\hat a_-$ se
H_j^n\phi_j^{n}=E_j^n\phi_j^{n}. \ee
+
z~podobného důvodu nazývá \emph{anihilační}.
  
\special{src: 391 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Pomocí kreačního a anihilačního operátoru můžeme zpětně vyjádřit operátory polohy, hybnosti a hamiltonián. Snadno zjistíme, že platí
 +
$$
 +
\hat{Q} = \sqrt{\frac{\hbar}{2M\omega}}\left(\hat{a}_+ + \hat{a}_-\right),\quad \hat{P} = i\sqrt{\frac{M\hbar\omega}{2}}\left(\hat{a}_+ - \hat{a}_-\right).
 +
$$
 +
Tyto vztahy jsou vhodné pro určení matic operátorů polohy a hybnosti v energetické reprezentaci. S použitím vztahu (\ref{a:n}) zjistíme, že maticové elementy $\hat{Q}$ a $\hat{P}$ jsou
 +
\begin{eqnarray}
 +
\nonumber \braketA{n}{\hat{Q}}{m} & = & \sqrt{\frac{\hbar}{2M\omega}} \left(\alpha_m^+\ \delta_{n,m+1} + \alpha_m^-\ \delta_{n,m-1}\right), \\
 +
\nonumber \braketA{n}{\hat{P}}{m} & = & i\sqrt{\frac{M\hbar\omega}{2}} \left(\alpha_m^+\ \delta_{n,m+1} - \alpha_m^-\ \delta_{n,m-1}\right).
 +
\end{eqnarray}
 +
Matice $\hat{Q}$ a $\hat{P}$ v energetické reprezentaci mají tedy nenulové prvky jen v pásech nad a pod diagonálou.
  
Mimo to se obvykle  při podobných výpočtech používá přiblížení sféricky symetrického pole, kdy se poslední člen
+
Hamiltonián LHO můžeme pomocí kreačního a anihilačního operátoru zapsat několika ekvivalentními způsoby (díky komutačním relacím (\ref{komut:apm}))
\rf{hamatj2}) vystředuje přes prostorové úhly, tzn. nahradí se členem \be
+
\begin{eqnarray}
V_{int}(r_j)=\frac{1}{(4\pi)^2\epsilon_0}\int_{\Omega}\sin\theta_j d\theta_j d\varphi_j\sum_{j\neq k}^Z
+
\ll{ham:apm:1} \hat H & = & \frac{\hbar\omega}{2}(\hat a_-\hat a_+ + \hat a_+\hat a_-) = {\hbar\omega}\left(\hat a_-\hat a_+ -\half\right)\\
\int_{R^3}\frac{|\phi_k(\vex_k)|^2e^2}{|\vex_j-\vex_k|}d^3x_k. \ll{hamatj3}\ee Díky sférické symetrii takto
+
\ll{ham:apm:2} & = &  {\hbar\omega}\left(\hat a_+\hat a_- +\half\right).
zkonstruovaného \ha nu pak lze hledat vlastní \fc e energie ve tvaru \be
+
\end{eqnarray}
\phi_j(\vex)=R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta,\varphi) \ee a vlastní čísla nezávisí na $m$. \be E_j=E_{nl} \ll{ejnl}\ee
+
Z posledního vztahu vyplývá identita
Tímto způsobem lze získat dosti dobrou aproximaci vlnových \fc í částic pohybujících se v odpudivém
+
$$
elektrostatickém poli ostatních.
+
\hat a_+\hat a_- \ket{n} = n \ket{n}.
 +
$$
 +
Operátor $\hat a_+\hat a_-$ se pak někdy nazývá \uv{operátorem počtu energetických kvant}.
 +
Ze vztahů (\ref{ham:apm:1}) a (\ref{ham:apm:2}) lze snadno ukázat, že pro koeficienty $\alpha_n^\pm$ platí
 +
\be
 +
\ll{alpha:lho}
 +
|\alpha_n^-| = \sqrt{n},\quad |\alpha_n^+| = \sqrt{n+1}.
 +
\ee
 +
Jejich fázi zvolíme později tak, aby $x$ reprezentace ketů $\ket{n}$ odpovídala už spočítaným vlastním funkcím $\psi_n(x)$ ve vztahu (\ref{vlfcelho}).
  
\special{src: 403 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Ukážeme si, jak lze s použitím kreačního a anihilačního operátoru odvodit vlastní čísla i vlastní vektory hamiltoniánu LHO. Z existence posunovacích operátorů přímo plyne, že bodové spektrum hamiltoniánu LHO je ekvidistantní a rozdíl dvou po sobě jdoucích energií je $\hbar\omega$. Dále se snadno ukáže, že spektrum $\hat{H}$ je zdola omezené nulou. Řekněme, že $\ket{\psi}$ je vlastní vektor s vlastním číslem $E$, normovaný k jedné. Pak platí nerovnost
 +
$$
 +
E = \braketA{\psi}{\hat{H}}{\psi} = \frac{1}{2M}\braketA{\psi}{\hat{P}^2}{\psi} + \frac{1}{2}M\omega^2\braketA{\psi}{\hat{Q}^2}{\psi} = \frac{1}{2M}\|\hat{P}\psi\|^2  + \frac{1}{2}M\omega^2 \|\hat{Q}\psi\|^2 \geq 0.
 +
$$
 +
Odtud plyne, že $\hat{H}$ má základní stav, tj. stav s nejnižší energií, pro který platí
 +
\be
 +
\ll{gs:lho}
 +
\hat a_- \ket{0} = 0.
 +
\ee
 +
S použitím (\ref{ham:apm:2}) zjistíme, že $\ket{0}$ odpovídá vlastnímu číslu $\half{\hbar\omega}$. Bodové spektrum $\hat{H}$ je tedy tvořeno vlastními čísly $E_n = \left(n+\half\right)\hbar\omega$, $n\in\Z_+$.
  
 +
S použitím posunovacích operátorů lze získat i příslušné vlastní funkce v $x$-reprezentaci, tj. $\psi_n(x) = \braket{x}{n}$. Začněme se základním stavem $\psi_0(x)$. Když vyjádříme anihilační operátor v $x$-reprezentaci, tak rovnice (\ref{gs:lho}) přejde do tvaru
 +
\be
 +
\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\xi+\frac{\d}{\d\xi}\right)\psi_0 = 0, \ee
 +
kde $\xi=\sqrt{\frac{M\omega}{h}}x$. Tuto diferenciální rovnici 1.~řádu se separovanými proměnnými snadno vyřešíme
 +
\be
 +
\psi_0(\xi) = C e^{-\xi^2/2}.
 +
\ee
 +
Porovnáním této \fc e s~\rf{vlfcelho} zjistíme, že se skutečně jedná o~vlastní \fc i energie jednorozměrného harmonického oscilátoru s~vlastním
 +
číslem $\half \hbar\omega$. Stavy s~energiemi $\hbar\omega(n+\half)$ dostaneme aplikací kreačního operátoru na stav s~nejnižší energií
 +
\be
 +
  \psi_n(\xi)
 +
    = K_n \hat a_+^n\psi_0(\xi)
 +
    = \frac{K_n}{\sqrt{2^n}}\left(\xi-\frac{d}{d\xi}\right)^ne^{-\xi^2/2},\ \ \
 +
  K_n^{-1}
 +
    =\left(\frac{\hbar\pi}{M\omega}\right)^{1/4}\prod_{k=0}^{n-1}\alpha^+_k.
 +
  \ll{ntylho}
 +
\ee
 +
Fáze normalizačních konstant \rf{nvlfcelho} vlastních funkcí energie jednorozměrného harmonického oscilátoru určuje i fázi koeficientů
 +
$\alpha^{\pm}_n$. Volba $\alpha^{\pm}_n>0$ je ve shodě s~přijatou fázovou konvencí \rf{nvlfcelho}, kde všechny normalizační koeficienty jsou kladné. Platí tedy
 +
$$
 +
\alpha_n^- = \sqrt{n},\quad \alpha_n^+ = \sqrt{n+1}.
 +
$$
 +
Odtud plyne další užitečný vztah
 +
$$
 +
\ket{n} = \frac{1}{\sqrt{n!}} \hat{a}_+^n\ket{0}.
 +
$$
  
\special{src: 406 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\bc Spočítejte koeficienty $\alpha^\pm_n$. \ec
  
Vlnovou \fc i atomového obalu Z proměnných $\vex_j$ pak dostaneme např. jako Slaterův determinant \rf{slaterd}),
+
Poznamenejme ještě nakonec, že stav s~nejnižší energií je zvláštním případem koherentního stavu. \emph{Koherentní stavy} jsou definovány jako vlastní stavy anihilačního operátoru
kde $\alpha_j=(n_j,l_j,m_j,\pm\half)$, neboť elektrony mají spin 1/2 a jsou tedy fermiony.
+
$$
 +
\hat a_- \ket{\alpha} = \alpha\ket{\alpha},\ \mathrm{resp.}\  \hat a_- \phi_\alpha(x) = \alpha \phi_\alpha(x)
 +
$$
 +
V $x$-reprezentaci má rovnice jednoduchý tvar
 +
$$
 +
\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\xi+\frac{d}{d\xi}\right)\phi_\alpha = \alpha\phi_\alpha,
 +
$$
 +
jejímž řešení je funkce
 +
\be
 +
\phi_\alpha(\xi) = C_\alpha e^{-\frac{(\xi-\sqrt{2}\alpha)^2}{2}}. \ll{kohstav}  
 +
\ee
 +
Ta je kvadraticky integrabilní pro všechna komplexní čísla $\alpha$, tj. bodové spektrum anihilačního operátoru je celá komplexní rovina. To nevede k žádnému sporu, protože anihilační operátor není samosdružený (platí $\hat a_-^\dagger = \hat a_+$), takže jeho vlastní vektory netvoří ortonormální bázi.  Koherentní stavy mají řadu zajímavých vlastností (např. minimalizují Heisenbergovy relace neurčitosti, mají jednoduchý časový vývoj) se kterými se seznámíme na cvičeních.
 +
 
 +
\subsection{Moment hybnosti}
 +
\ll{shift:L}
 +
 
 +
 
 +
Složky momentu hybnosti mají ekvidistantní spektrum s $\Delta = \hbar$, lze tedy očekávat, že pro ně opět budou existovat posunovací operátory. Typicky pracujeme v bázi společných vlastních vektorů $\ket{l,m}$ operátorů $\hat{L}_3$ a $\hat{L}^2$ splňujících vztahy (\ref{ket:lm}). Posunovací operátory $\hat{L}_\pm$ hledáme tak, aby neměnily hodnotu orbitálního kvantového čísla $l$, a magnetické kvantové číslo $m$ změnily o $\pm 1$, tj. aby platilo
 +
$$
 +
[\hat L_3,\hat L_\pm] = \pm \hbar \hat L_\pm, \quad [\hat L^2,\hat L_\pm] = 0.
 +
$$
 +
Z komutačních relací pro složky momentu hybnosti
 +
$$
 +
[\hat L_i,\hat L_j] = i\hbar\epsilon_{ijk}\hat L_k,
 +
$$
 +
se snadno ukáže, že posunovací operátory lze zvolit ve tvaru
 +
\be
 +
\hat L_\pm = \hat L_1 \pm i \hat L_2 \ll{pm}.
 +
\label{lpm}
 +
\ee
 +
Působení posunovacích operátorů na kety $\ket{l,m}$ je dáno vztahy
 +
\be
 +
\ll{posalpha}
 +
\hat{L}_\pm \ket{l,m} = \alpha^\pm_{l,m}\ket{l,m\pm 1}.
 +
\ee
 +
Z (\ref{lpm}) můžeme vyjádřit operátory $\hat L_1$ a $\hat L_2$ ve tvaru
 +
$$
 +
\hat L_1 = \frac{1}{2}(\hat L_+ + \hat L_-),\quad \hat L_2 = \frac{1}{2i} (\hat L_+ - \hat L_-).
 +
$$
 +
Z těchto vztahů plyne pro maticové elementy operátorů $\hat L_{1,2}$
 +
\begin{eqnarray}
 +
\nonumber \braketA{l',m'}{\hat L_1}{l,m} & = & \half\delta_{l,l'}(\alpha_{l,m}^+\delta_{m',m+1} + \alpha_{l,m}^-\delta_{m',m-1}), \\
 +
\nonumber \braketA{l',m'}{\hat L_2}{l,m} & = & \frac{1}{2i}\delta_{l,l'}(\alpha_{l,m}^+\delta_{m',m+1} - \alpha_{l,m}^-\delta_{m',m-1}) .
 +
\end{eqnarray}
 +
Matice operátorů $\hat L_{1,2}$ v bázi $\{\ket{l,m}\}$ mají tedy nenulové prvky jen v pásech nad a pod diagonálou.
  
\special{src: 410 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Pomocí posunovacích operátorů a $\hat L_3$ můžeme vyjádřit operátor kvadrátu momentu hybnosti jako
 +
$$
 +
\hat L^2 = \hat L_3^2 -\hbar \hat L_3 + \hat L_+\hat L_- = \hat L_3^2 +\hbar \hat L_3 + \hat L_-\hat L_+.
 +
$$
 +
Odtud snadno zjistíme, že pro koeficienty $\alpha^\pm_{lm}$ platí
 +
$$
 +
|\alpha^\pm_{lm}| = \hbar\sqrt{l(l+1) - m(m\pm 1)}.
 +
$$
 +
Koeficienty $\alpha^\pm_{lm}$ jsou určeny relací \rf{posalpha} až na fázi. Přijmeme-li tzv.~Condon-Shortleyovu konvenci, že $\alpha^\pm_{lm}$ jsou reálné kladné a rovněž tak normalizační konstanta pro $Y_{l,0}$ je reálná kladná, pak je určena i fáze všech normalizačních konstant $C_{lm}$ \rf{normconsY} pro $Y_{l,m}$ jako $(-1)^m$.
  
Celková vnitřní energie atomu ve výše uvedené aproximaci je součtem energií jednotlivých elektronů obalu \be
+
\bc Ověřte komutační relaci \be [\hat L_+,\hat L_-] = 2 \hbar \hat L_3. \ee \ec
E_{atom}=\sum_{j=1}^Z E_{n_j,l_j}.\ee
+
  
\special{src: 415 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\bc
 +
Napište operátor $\hat L^2$ vyjádřený pomocí posunovacích operátorů  $\hat L_\pm$ a $\hat L_3$.  
 +
\ec
  
Vzhledem k tomu, že energie jednočásticových stavů \rf{ejnl}) nezávisí na projekci spinu ani magnetickém
+
\bc \ll{alplm} Spočítejte koeficienty $\alpha^\pm_{lm}$. \ec
kvantovém čísle $m$ má  každá hladina $E_{n,l}$ degeneraci $2(2l+1)$. Jednočásticové stavy se stejným $n_j$ a
+
$l_j$ tvoří tzv. {\em slupky atomu}. Z Pauliho principu plyne, že {\em žádná energetická slupka nemůže být
+
obsazena víc než $2(2l+1)$ elektrony}.
+
  
\special{src: 420 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\bc Spočítejte maticové elementy $\braketA{l',m'}{\hat L_k}{l,m}$. \ec
  
Pro atomy v základním stavu jsou obsazeny všechny nejnižší jednoelektronové hladiny. Je zřejmé, že energie
+
Pomocí posunovacích operátorů $\hat L_\pm$ lze odvodit spektrum $\hat L_3$ a $\hat L^2$, jak si detailně ukážeme v algebraické teorii momentu hybnosti v kapitole~\ref{atmh}. Posunovací operátory rovněž intenzivně využijeme při skládání momentů hybnosti v kapitole~\ref{smh}. Na závěr této kapitoly si ukážeme, jak lze s použitím posunovacích operátorů odvodit explicitní tvar kulových funkcí $Y_{l,m}$. Využijeme toho, že $m$ je v absolutní hodnotě omezené velikostí $l$. Platí tedy
spočítané Hartreeho metodou nelze vyjádřit vzorcem, nicméně se ukazuje, že pořadí nejnižších hladin téměř
+
\be
nezávisí na atomovém čísle. Platí \[
+
\hat L_+ Y_{l,l} = 0.
E_{10}<<E_{20}<E_{21}<<E_{30}<E_{31}<<(E_{40},E_{32})<E_{41}<<(E_{50},E_{42})<E_{51}<<\ldots \] Energie uvedené
+
\ll{lpyll}
v závorkách jsou velmi blízké a jejich pořadí je dáno atomovým číslem $Z$. Naopak, skupiny energií oddělené $<<$
+
\ee
jsou relativně velmi vzdálené. Chemické vlastnosti prvků určují elektrony s největší energií (klasicky:
+
Z explicitního tvaru operátorů $\hat L_{1,2}$ ve sférických souřadnicích (\ref{lx}), (\ref{ly}) nalezneme
nejvzdálenější orbitou) a atomy, které v základním stavu mají "obsazené" energie stejných skupin tvoří periody
+
$$
Mendělejevovy tabulky prvků. Je snadné se přesvědčit, že počty stavů v jednotlivých skupinách 2,8,8,18,18,...
+
\hat L_\pm = i\hbar \cot\theta e^{\pm i\varphi}\frac{\partial}{\partial\varphi} \pm \hbar e^{\pm i \varphi}\frac{\partial}{\partial\theta}.
odpovídají délkám period. \bc Atom uhlíku má čtyři valenční elektrony (přesvědčte se). Můžeme na něj tedy
+
$$
nahlížet jako na systém čtyř elektronů ve sféricky symetrickém poli. Jaká je pak degenerace jeho základního
+
Závislost kulových funkcí na úhlu $\varphi$ známe, takže je můžeme hledat ve tvaru
stavu? \ec
+
$$
 +
Y_{l,m}(\theta,\varphi) = f_{l,m}(\theta)e^{i m\varphi}.
 +
$$
 +
Rovnice (\ref{lpyll}) potom přejde v obyčejnou diferenciální rovnici prvního řádu
 +
$$
 +
f_{l,l}' - l f_{l,l}\cot\theta = 0,
 +
$$
 +
jejímž řešením je funkce
 +
$$
 +
f_{l,l}(\theta) = C \sin^l\theta .
 +
$$
 +
Kulová funkce s maximální možnou hodnotou $m=l$ je tedy rovna
 +
$$
 +
Y_{l,l}(\theta,\varphi) = C \sin^l\theta e^{i l\varphi}.
 +
$$
 +
Funkce s nižší hodnotou $m$ získáme s použitím posunovacího operátoru $\hat L_-$.

Aktuální verze z 18. 9. 2018, 13:59

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02KVAN

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02KVANStefamar 18. 9. 201813:38
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůStefamar 18. 9. 201814:04
Header editovatHlavičkový souborStefamar 18. 9. 201813:39 header.tex
Kapitola0 editovatPoznámkaStefamar 18. 9. 201813:40 kapitola0.tex
Kapitola1 editovatCharakteristické rysy kvantové mechanikyStefamar 18. 9. 201813:41 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatZrod kvantové mechanikyStefamar 18. 9. 201813:42 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatStavy a pozorovatelné v kvantové mechaniceStefamar 18. 9. 201813:48 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatJednoduché kvantové systémyStefamar 18. 9. 201813:49 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatPříprava stavu kvantové částiceStefamar 18. 9. 201814:09 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatKvantová částice v centrálně symetrickém potenciáluStefamar 18. 9. 201813:57 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatZobecněné vlastní funkceStefamar 18. 9. 201813:58 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatBra-ketový formalismus a posunovací operátoryStefamar 18. 9. 201813:59 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatPředpovědi výsledků měřeníStefamar 18. 9. 201813:59 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatČasový vývoj kvantové částiceStefamar 18. 9. 201814:01 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatČástice v elektromagnetickém poli. SpinStefamar 18. 9. 201814:02 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatSystémy více částicStefamar 18. 9. 201814:03 kapitola12.tex
Kapitola13 editovatPřibližné metody výpočtu vlastních hodnot operátoruStefamar 18. 9. 201814:36 kapitola13.tex
Kapitola14 editovatPotenciálový rozptyl, tunelový jevStefamar 18. 9. 201814:05 kapitola14.tex
KapitolaA editovatLiteraturaStefamar 18. 9. 201814:06 literatura.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:blackbody.pdf blackbody.pdf
Image:s1s2.png s1s2.png
Image:s1full.png s1full.png
Image:s2full.png s2full.png
Image:wavefull.png wavefull.png
Image:ballfull.png ballfull.png
Image:roz1.pdf roz1.pdf
Image:roz2.pdf roz2.pdf
Image:fine_structure.pdf fine_structure.pdf
Image:zeeman_FS.pdf zeeman_FS.pdf
Image:tunel_prob.pdf tunel_prob.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02KVAN}
 
\chapter{Bra-ketový formalismus a posunovací operátory}
\label{kets:ladders}
 
 
\section{Bra-ketový formalismus}
\label{kets}
 
V kvantové mechanice často nepotřebujeme znát explicitní tvar vlnové funkce $\psi(x)$ popisující stav částice. Stačí vědět, že stav je vlastní vektor nějakých pozorovatelných (resp. superpozice vlastních vektorů) a znát příslušná kvantová čísla. Vhodný způsob pro takový popis stavu kvantové částice představuje Diracův bra-ketový formalismus, se kterým se nyní seznámíme.
 
Uvažujme abstraktní Hilbertův prostor $\mathcal H$. Vektory z $\mathcal H$ budeme značit pomocí tzv. ketů - $\ket{\psi}$. Skalární součin dvou vektorů $\ket{\psi}$ a $\ket{\varphi}$ zapíšeme ve tvaru $\braket{\psi}{\varphi}$. Prvky duálního prostoru $\Hil^*$ (spojité lineární funkcionály) označíme jako tzv. bra - $\bra{\psi}$. Díky Rieszově lemmatu je každý bra $\bra{\psi}$ jednoznačně spojený s ketem $\ket{\psi}$ pomocí skalárního součinu (skalární součin = závorka = bracket = $\braket{\mathrm{bra}}{\mathrm{ket}}$)
$$
\bra{\psi}\left(\frac{}{}\ket{\phi}\right) = \braket{\psi}{\phi},\  \forall \ket{\phi}\in\Hil.
$$
 
\noindent \bp
Uvažujme $\Hil = \C^2$ se standardním skalárním součinem. Označme vektory standardní báze pomocí ketů
$$
\ket{1} = \begin{pmatrix}
1\\
0
\end{pmatrix},\quad \ket{2} = \begin{pmatrix}
0\\
1
\end{pmatrix} .
$$
Příslušné bra dostaneme jejich hermitovským sdružením
$$
\bra{1} = \ket{1}^\dagger = \begin{pmatrix}
1,0
\end{pmatrix},\quad \bra{2} = \ket{2}^\dagger =  \begin{pmatrix}
0,1
\end{pmatrix} .
$$
Kety $\ket{1}$ a $\ket{2}$ jsou ortonormální, tj. platí
$$
\braket{1}{1} = 1,\quad \braket{1}{2} = 0, \quad  \braket{2}{2} = 1.
$$
Pomocí braketového formalismu můžeme snadno zapsat i operátory. Platí totiž následující vztahy
$$
\ketbra{1}{1} = \begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 0
\end{pmatrix},\quad \ketbra{1}{2} = \begin{pmatrix}
0 & 1\\
0 & 0
\end{pmatrix},\quad 
\ketbra{2}{1} = \begin{pmatrix}
0 & 0\\
1 & 0
\end{pmatrix},\quad 
\ketbra{2}{2} = \begin{pmatrix}
0 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix},
$$
Speciálně operátor $\ketbra{i}{i}$ je ortogonální projektor na podprostor určený ketem $\ket{i}$. Libovolný operátor $\hat{A}$ v $ \C^2$ pak můžeme zapsat ve tvaru
$$
\hat{A} = A_{1,1} \ketbra{1}{1} + A_{1,2}\ketbra{1}{2} + A_{2,1}\ketbra{2}{1} + A_{2,2}\ketbra{2}{2}.
$$
Čísla $A_{i,j}$ jsou koeficienty matice operátoru $\hat{A}$ ve standardní bázi. 
\ep
 
\noindent \bp
Uvažujme nyní Hilbertův prostor $\Hil$ dimenze $n$, $\hat{A}$ bude hermitovský operátor s prostým spektrem. Označme jeho vlastní vektory pomocí ketů $\ket{i}$, ty splňují vztahy
$$
\hat{A} \ket{i} = a_i\ket{i},
$$
kde $a_i$ jsou příslušná vlastní čísla. Množina vektorů $\{\ket{1},\ldots, \ket{n}\}$ tvoří ortonormální bázi $\Hil$, což můžeme zapsat pomocí relací ortogonality 
$$
\braket{i}{j} = \delta_{ij},
$$
a relací úplnosti (resp. rozkladu jednotky)
$$
\sum_{i=1}^n \ketbra{i}{i} = \hat{I}.
$$
Z těchto vztahů pak snadno plyne Fourierův rozvoj do ortonormální báze
$$
\ket{\psi} = \hat{I}\ket{\psi} = \left(\sum_{i=1}^n \ketbra{i}{i}\right)\ket{\psi} = \sum_{i=1}^n \braket{i}{\psi}\ket{i},\quad \forall \ket{\psi}\in\Hil,
$$
a Parsevalova rovnost
$$
||\psi||^2 = \braket{\psi}{\psi} = \braketA{\psi}{\left(\sum_{i=1}^n \ketbra{i}{i}\right)}{\psi} = \sum_{i=1}^n \braket{\psi}{i}\braket{i}{\psi} = \sum_{i=1}^n |\braket{i}{\psi}|^2.
$$
Pro operátor $\hat{A}$ pak platí spektrální rozklad
\be
\hat{A} = \sum_{i=1}^n a_i\ketbra{i}{i}.
\label{srA}
\ee
Jak známo z lineární algebry, matice operátoru v bázi jeho vlastních vektorů je diagonální a na diagonále jsou vlastní čísla. Jiný operátor $\hat{B}$, který s $\hat{A}$ nekomutuje, už diagonální nebude
$$
\hat{B} = \hat{I}\hat{B}\hat{I} = \left(\sum_{i=1}^n \ketbra{i}{i}\right) \hat{B} \left(\sum_{j=1}^n \ketbra{j}{j}\right) = \sum_{i,j=1}^n \braketA{i}{\hat{B}}{j}\ketbra{i}{j}.
$$
Čísla $\braketA{i}{\hat{B}}{j}$ jsou maticové elementy operátoru $\hat{B}$ v bázi ketů $\{\ket{1},\ldots, \ket{n}\}$. Poznamenejme, že libovolnou funkci $f$ operátoru $\hat A$ můžeme pomocí spektrálního rozkladu (\ref{srA}) zapsat ve tvaru
$$
f(\hat A) = \sum_{i=1}^n f(a_i)\ketbra{i}{i}.
$$
\ep
 
V kvantové mechanice typicky pracujeme se separabilními Hilbertovými prostory se spočetnou ortonormální bází. Vztahy známé z lineární algebry jako rozklad jednotky, Fourierův rozvoj, Parsevalova rovnost nebo spektrální rozklad operátoru (s čistě bodovým spektrem) v nich platí podobně, jen je třeba konečné sumy nahradit nekonečnými řadami. Vyvstává pak otázka jejich konvergence, která je ale zaručena úplností Hilbertova prostoru.
 
 
Uvažujme nyní kvantový lineární oscilátor. Označme vlastní vektory hamiltoniánu pomocí ketů $\ket{n}$, pro které platí
\be 
\ll{ket:LHO}
\hat H\ket{n} = E_n\ket{n},\quad E_n = \left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega,\quad n\in\Z_+ .
\ee
Množina vlastních vektorů $\left\{\ket{n},n\in\Z_+\right\}$ tvoří ortonormální bázi Hilbertova prostoru, což můžeme zapsat pomocí relací ortogonality a relací úplnosti
$$
\braket{n}{m} = \delta_{n,m},\quad \sum_{n=0}^\infty \ketbra{n}{n} = \hat{I}.
$$
Vztah mezi abstraktním ketem $\ket{n}$ a funkcí $\psi_n$ popíšeme v následující části.
 
Analogicky jako na konečné dimenzi platí Fourierův rozvoj a Parsevalova rovnost
$$
\ket{\psi} = \sum_{n=0}^\infty \braket{n}{\psi}\ket{n},\quad \braket{\psi}{\psi} = \sum_{n=0}^\infty |\braket{\psi}{n}|^2,\quad \forall\ket{\psi}\in\Hil .
$$
Hamiltonián je v bázi svých vlastních vektorů (v tzv. energetické reprezentaci) diagonální
$$
\hat H = \sum_{n=0}^\infty E_n\ketbra{n}{n}.
$$
Operátory polohy a hybnosti v energetické reprezentaci diagonální nejsou
$$
\hat{Q} = \sum_{n,m=0}^\infty \braketA{n}{\hat{Q}}{m} \ketbra{n}{m},\quad \hat{P} = \sum_{n,m=0}^\infty \braketA{n}{\hat{P}}{m} \ketbra{n}{m}.
$$
Maticové elementy $\braketA{n}{\hat{Q}}{m}$, resp. $\braketA{n}{\hat{P}}{m}$, lze snadno spočítat s využitím posunovacích operátorů, které si představíme v části \ref{shift:lho}.
 
Podobně jako v případě lineárního oscilátoru můžeme zavést kety pro libovolný kvantový systém. Do ketů typicky zapisujeme kvantová čísla, která označují vlastní čísla relevantních pozorovatelných. Například společné vlastní vektory operátorů $\hat{L}_3$ a $\hat{L}^2$, označíme pomocí ketů $\ket{l,m}$ (odpovídající kulovým funkcím $Y_{lm}$), pro které platí
\begin{eqnarray}
\nonumber \hat{L}_3\ket{l,m} & = & \hbar m \ket{l,m}, \\
\ll{ket:lm} \hat{L}^2\ket{l,m} & = & \hbar^2 l(l+1)\ket{l,m},\quad l\in\Z_+,\quad m\in\Z,\quad |m|\leq l.
\end{eqnarray}
Kety $\ket{l,m}$ tvoří bázi uvažovaného Hilbertova prostoru, tj. platí
$$
\braket{l,m}{l',m'}=\delta_{l,l'}\ \delta_{m,m'} ,\quad \sum_{l=0}^\infty\sum_{m=-l}^l \ketbra{l,m}{l,m} = \hat{I}
$$
Operátory $\hat{L}_3$ a $\hat{L}^2$ jsou v této bázi diagonální
$$
\hat{L}_3 = \sum_{l=0}^\infty\sum_{m=-l}^l \hbar m\ketbra{l,m}{l,m},\quad \hat{L}^2 = \sum_{l=0}^\infty \hbar^2 l(l+1) \sum_{m=-l}^l \ketbra{l,m}{l,m}.
$$
Operátory $\hat{L}_{1,2}$ diagonální nejsou
$$
\hat{L}_{1,2} = \sum_{l,l'=0}^\infty\sum_{m=-l}^l\sum_{m'=-l'}^{l'} \braketA{l',m'}{\hat{L}_{1,2}}{l,m}\ketbra{l',m'}{l,m},
$$
jejich maticové elementy lze opět snadno spočítat pomocí posunovacích operátorů, viz. část \ref{shift:L}.
 
\section{Vztah mezi ketem a vlnovou funkcí}
\ll{ket:xp}
 
V této části se podíváme na souvislost mezi popisem stavu kvantové částice pomocí abstraktního ketu $\ket{\psi}$ a pomocí vlnové funkce $\psi(\vec{x})$. Zobecněným vlastním vektorům polohy, resp. hybnosti, přiřadíme kety $\ket{\vec{x}\,}$, resp. $\ket{\vec{p}\,}$. Tyto kety splňují rovnice
$$
\braketA{\vec{x}\,}{\hat Q_j}{\psi} = x_j \braket{\vec{x}\,}{\psi},\quad \braketA{\vec{p}\,}{\hat P_j}{\psi} = p_j \braket{\vec{p}\,}{\psi},
$$
a jsou normované k $\delta$-funkci, tj. platí \footnote{Srovnej s \rf{rceprophip}, \rf{dnormp}, \rf{vlfceQ}, \rf{dnormx}.}
$$
\braket{\vec{x}'\,}{\vec{x}\,} = \delta(\vec{x}-\vec{x}'),\quad \braket{\vec{p}'\,}{\vec{p}\,} = \delta(\vec{p}-\vec{p}').
$$
Tyto vztahy představují analogii relací ortogonality pro prvky ortonormální báze. Podobně platí pro kety i analogie relací úplnosti ve tvaru
$$
\int_{\R^3}d^3x\, \ketbra{\vec{x}\,}{\vec{x}\,} = \hat{I},\quad \int_{\R^3}d^3p\, \ketbra{\vec{p}\,}{\vec{p}\,} = \hat{I}.
$$
Libovolný ket $\ket{\psi}$ pak můžeme rozložit do \uv{báze} zobecněných vlastních vektorů polohy způsobem
$$
\ket{\psi} = \int_{\R^3}d^3x\, \braket{\vec{x}\,}{\psi}\,\ket{\vec{x}\,} = \int_{\R^3}d^3x\ \psi(\vec{x})\, \ket{\vec{x}\,},
$$ 
tj. identifikujeme vlnovou funkci s Fourierovým koeficientem
$$
\psi(\vec{x}) = \braket{\vec{x}\,}{\psi}.
$$ 
O vlnové funkci $\psi(\vec{x})$ pak mluvíme jako o $\vec{x}$-reprezentaci (resp. \uv{souřadnicové reprezentaci}) stavu $\ket{\psi}$. Vztah mezi ketem $\ket{n}$ a funkcí $\psi_n$ pak je $\psi_n(x)=\braket{{x}\,}{n\,}$. Podobným způsobem můžeme rozepsat ket $\ket{\psi}$ do \uv{báze} zobecněných vlastních vektorů hybnosti
$$
\ket{\psi} = \int_{\R^3}d^3p\, \braket{\vec{p}\,}{\psi}\,\ket{\vec{p}\,} = \int_{\R^3}d^3p\ \widetilde{\psi}(\vec{p})\, \ket{\vec{p}\,},
$$
kde 
$$
\widetilde{\psi}(\vec{p})= \braket{\vec{p}\,}{\psi},
$$
je $\vec{p}$-reprezentace (resp. \uv{impulsová reprezentace}) stavu $\ket{\psi}$. Pro úplnost si ukážeme, že funkce $\psi$ a $\widetilde{\psi}$ jsou spojeny Fourierovou transformací. Postupně najdeme
\begin{eqnarray}
\label{x:p:fourier}
\nonumber \widetilde{\psi}(\vec{p}) & = & \braketA{\vec{p}\,}{\left(\int_{\R^3}d^3x\, \ketbra{\vec{x}\,}{\vec{x}\,}\right)}{\psi} = \int_{\R^3}d^3x\, \braket{\vec{p}\,}{\vec{x}\,}\braket{\vec{x}}{\psi} \\
 & = & \int_{\R^3}d^3x\, \phi^*_{\vec{p}}(\vec{x})\, \psi(\vec{x}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}^3}\int_{\R^3}d^3x\, e^{-\frac{i}{\hbar}\vec{p}\cdot\vec{x}}\, \psi(\vec{x}) = (\mathcal{F}\psi)(\vec{p}).
\end{eqnarray}
 
 
\section{Posunovací operátory}
\ll{posunovacioperatory}
 
Posunovací operátory jsou důležitým prostředkem pro studium spekter a práci s vlastními vektory. Operátor $\hat A$ nazveme \emph{posunovacím operátorem
k~operátoru $\hat B$ s~posunutím} $\Delta\in\C$ pokud
\be 
[\hat B,\hat A] = \triangle \hat A. 
\ll{posop} 
\ee
Důvod pro tento název spočívá v~tom, že pokud $\lambda$ je vlastní hodnota operátoru $\hat B$ a $\ket{\lambda}$ příslušný vlastní vektor, pak
z \rf{posop} ihned plyne
\be \hat B \hat A \ket{\lambda} = (\lambda+\Delta) \hat A \ket{\lambda}, \ll{posunl} \ee
což znamená, že $\hat A \ket{\lambda}$ je buď nula nebo vlastní vektor operátoru $\hat B$ s~vlastní hodnotou $\lambda+\Delta$.
 
Ze vztahu \rf{posop} rovněž ihned plyne, že pokud operátor $\hat A$ je posunovacím operátorem k~operátoru $\hat B$ s~posunutím $\Delta$,
pak $\hat A^\dagger$ je posunovacím operátorem k~operátoru $\hat B^\dagger$ s~posunutím $-\Delta^*$. Pokud navíc $\hat B$ je samosdružený
(tzn.~má pouze reálné vlastní hodnoty) a existuje alespoň jeden vlastní vektor $\ket{\lambda}$ operátoru $\hat B$ takový, že
$\hat A \ket{\lambda} \neq 0$ pak $\Delta\in\R$.
 
Je zřejmé, že posunovací operátory budou mít význam, zejména pro operátory které mají ekvidistantní spektrum. Uvedeme dva typické příklady.
 
 
 
\subsection{Lineární harmonický oscilátor}
\ll{shift:lho}
 
Budeme se zajímat o~posunovací operátory pro hamiltonián LHO
\be 
\hat H = \frac{\hat{P}^2}{2M} + \frac{1}{2}M\omega^2 \hat{Q}^2 . 
\ee
Z~komutačních relací mezi $\hat H$ a operátorem polohy a hybnosti lze odvodit, že posunovací operátory pro $\hat H$ lze zapsat ve tvaru
\be 
\ll{kreanop} 
\hat a_\pm = \sqrt{\frac{M\omega}{2\hbar}}(\hat Q \mp \frac{i}{M\omega} \hat P),
\ee
neboť platí
\be [\hat H,\hat a_\pm] = \pm\hbar \omega \hat a_\pm. \ll{hcoma} \ee
Obecně jsou posunovací operátory podmínkou (\ref{posop}) určené až na multiplikativní konstantu. Faktor $\sqrt{\frac{M\omega}{2\hbar}}$ ve vztahu (\ref{kreanop}) je vhodně zvolen tak, že pro komutátor $\hat a _-$ a $\hat a_+$ platí
\be
\ll{komut:apm}
[\hat a _-,\hat a_+] = \unit.
\ee
 
 
Označme vlastní vektory $\hat{H}$ pomocí ketů $\ket{n}$ jako ve vztahu (\ref{ket:LHO}). Posunovací operátory na ně působí takto
\be
\ll{a:n}
\hat{a}_\pm \ket{n} = \alpha_n^\pm \ket{n\pm 1},
\ee
kde $\alpha_n^\pm$ jsou čísla ($\ket{n}$ je normován k jedné, ale $\hat{a}_\pm \ket{n}$ obecně normovaný k jedné být nemusí). Operátor $\hat a_+$ tedy \uv{zvyšuje energii stavu} o~$\hbar\omega$ a nazývá se obvykle \emph{kreační} operátor, zatímco operátor $\hat a_-$ se
z~podobného důvodu nazývá \emph{anihilační}.
 
Pomocí kreačního a anihilačního operátoru můžeme zpětně vyjádřit operátory polohy, hybnosti a hamiltonián. Snadno zjistíme, že platí
$$
\hat{Q} = \sqrt{\frac{\hbar}{2M\omega}}\left(\hat{a}_+ + \hat{a}_-\right),\quad \hat{P} = i\sqrt{\frac{M\hbar\omega}{2}}\left(\hat{a}_+ - \hat{a}_-\right).
$$
Tyto vztahy jsou vhodné pro určení matic operátorů polohy a hybnosti v energetické reprezentaci. S použitím vztahu (\ref{a:n}) zjistíme, že maticové elementy $\hat{Q}$ a $\hat{P}$ jsou
\begin{eqnarray}
\nonumber \braketA{n}{\hat{Q}}{m} & = & \sqrt{\frac{\hbar}{2M\omega}} \left(\alpha_m^+\ \delta_{n,m+1} + \alpha_m^-\ \delta_{n,m-1}\right), \\
\nonumber \braketA{n}{\hat{P}}{m} & = & i\sqrt{\frac{M\hbar\omega}{2}} \left(\alpha_m^+\ \delta_{n,m+1} - \alpha_m^-\ \delta_{n,m-1}\right).
\end{eqnarray}
Matice $\hat{Q}$ a $\hat{P}$ v energetické reprezentaci mají tedy nenulové prvky jen v pásech nad a pod diagonálou.
 
Hamiltonián LHO můžeme pomocí kreačního a anihilačního operátoru zapsat několika ekvivalentními způsoby (díky komutačním relacím (\ref{komut:apm}))
\begin{eqnarray}
\ll{ham:apm:1}  \hat H & = & \frac{\hbar\omega}{2}(\hat a_-\hat a_+ + \hat a_+\hat a_-) = {\hbar\omega}\left(\hat a_-\hat a_+ -\half\right)\\
\ll{ham:apm:2}  & = &  {\hbar\omega}\left(\hat a_+\hat a_- +\half\right).
\end{eqnarray}
Z posledního vztahu vyplývá identita
$$
\hat a_+\hat a_- \ket{n} = n \ket{n}.
$$ 
Operátor $\hat a_+\hat a_-$ se pak někdy nazývá \uv{operátorem počtu energetických kvant}.
Ze vztahů (\ref{ham:apm:1}) a (\ref{ham:apm:2}) lze snadno ukázat, že pro koeficienty $\alpha_n^\pm$ platí
\be
\ll{alpha:lho}
|\alpha_n^-| = \sqrt{n},\quad |\alpha_n^+| = \sqrt{n+1}.
\ee
Jejich fázi zvolíme později tak, aby $x$ reprezentace ketů $\ket{n}$ odpovídala už spočítaným vlastním funkcím $\psi_n(x)$ ve vztahu (\ref{vlfcelho}).
 
Ukážeme si, jak lze s použitím kreačního a anihilačního operátoru odvodit vlastní čísla i vlastní vektory hamiltoniánu LHO. Z existence posunovacích operátorů přímo plyne, že bodové spektrum hamiltoniánu LHO je ekvidistantní a rozdíl dvou po sobě jdoucích energií je $\hbar\omega$. Dále se snadno ukáže, že spektrum $\hat{H}$ je zdola omezené nulou. Řekněme, že $\ket{\psi}$ je vlastní vektor s vlastním číslem $E$, normovaný k jedné. Pak platí nerovnost
$$
E = \braketA{\psi}{\hat{H}}{\psi} = \frac{1}{2M}\braketA{\psi}{\hat{P}^2}{\psi} + \frac{1}{2}M\omega^2\braketA{\psi}{\hat{Q}^2}{\psi} = \frac{1}{2M}\|\hat{P}\psi\|^2  + \frac{1}{2}M\omega^2 \|\hat{Q}\psi\|^2 \geq 0.
$$
Odtud plyne, že $\hat{H}$ má základní stav, tj. stav s nejnižší energií, pro který platí
\be
\ll{gs:lho}
\hat a_- \ket{0} = 0.
\ee
S použitím (\ref{ham:apm:2}) zjistíme, že $\ket{0}$ odpovídá vlastnímu číslu $\half{\hbar\omega}$. Bodové spektrum $\hat{H}$ je tedy tvořeno vlastními čísly $E_n = \left(n+\half\right)\hbar\omega$, $n\in\Z_+$. 
 
S použitím posunovacích operátorů lze získat i příslušné vlastní funkce v $x$-reprezentaci, tj. $\psi_n(x) = \braket{x}{n}$. Začněme se základním stavem $\psi_0(x)$. Když vyjádříme anihilační operátor v $x$-reprezentaci, tak rovnice (\ref{gs:lho}) přejde do tvaru
\be 
\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\xi+\frac{\d}{\d\xi}\right)\psi_0 = 0, \ee
kde $\xi=\sqrt{\frac{M\omega}{h}}x$. Tuto diferenciální rovnici 1.~řádu se separovanými proměnnými snadno vyřešíme
\be 
\psi_0(\xi) = C e^{-\xi^2/2}. 
\ee
Porovnáním této \fc e s~\rf{vlfcelho} zjistíme, že se skutečně jedná o~vlastní \fc i energie jednorozměrného harmonického oscilátoru s~vlastním
číslem $\half \hbar\omega$. Stavy s~energiemi $\hbar\omega(n+\half)$ dostaneme aplikací kreačního operátoru na stav s~nejnižší energií
\be
  \psi_n(\xi)
    = K_n \hat a_+^n\psi_0(\xi)
    = \frac{K_n}{\sqrt{2^n}}\left(\xi-\frac{d}{d\xi}\right)^ne^{-\xi^2/2},\ \ \
  K_n^{-1}
    =\left(\frac{\hbar\pi}{M\omega}\right)^{1/4}\prod_{k=0}^{n-1}\alpha^+_k.
  \ll{ntylho}
\ee
Fáze normalizačních konstant \rf{nvlfcelho} vlastních funkcí energie jednorozměrného harmonického oscilátoru určuje i fázi koeficientů
$\alpha^{\pm}_n$. Volba $\alpha^{\pm}_n>0$ je ve shodě s~přijatou fázovou konvencí \rf{nvlfcelho}, kde všechny normalizační koeficienty jsou kladné. Platí tedy
$$
\alpha_n^- = \sqrt{n},\quad \alpha_n^+ = \sqrt{n+1}.
$$
Odtud plyne další užitečný vztah
$$
\ket{n} = \frac{1}{\sqrt{n!}} \hat{a}_+^n\ket{0}.
$$
 
\bc Spočítejte koeficienty $\alpha^\pm_n$. \ec
 
Poznamenejme ještě nakonec, že stav s~nejnižší energií je zvláštním případem koherentního stavu. \emph{Koherentní stavy} jsou definovány jako vlastní stavy anihilačního operátoru
$$
\hat a_- \ket{\alpha} = \alpha\ket{\alpha},\ \mathrm{resp.}\  \hat a_- \phi_\alpha(x) = \alpha \phi_\alpha(x)
$$
V $x$-reprezentaci má rovnice jednoduchý tvar
$$
\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\xi+\frac{d}{d\xi}\right)\phi_\alpha = \alpha\phi_\alpha,
$$
jejímž řešení je funkce 
\be 
\phi_\alpha(\xi) = C_\alpha e^{-\frac{(\xi-\sqrt{2}\alpha)^2}{2}}. \ll{kohstav} 
\ee
Ta je kvadraticky integrabilní pro všechna komplexní čísla $\alpha$, tj. bodové spektrum anihilačního operátoru je celá komplexní rovina. To nevede k žádnému sporu, protože anihilační operátor není samosdružený (platí $\hat a_-^\dagger = \hat a_+$), takže jeho vlastní vektory netvoří ortonormální bázi.   Koherentní stavy mají řadu zajímavých vlastností (např. minimalizují Heisenbergovy relace neurčitosti, mají jednoduchý časový vývoj) se kterými se seznámíme na cvičeních.
 
\subsection{Moment hybnosti}
\ll{shift:L}
 
 
Složky momentu hybnosti mají ekvidistantní spektrum s $\Delta = \hbar$, lze tedy očekávat, že pro ně opět budou existovat posunovací operátory. Typicky pracujeme v bázi společných vlastních vektorů $\ket{l,m}$ operátorů $\hat{L}_3$ a $\hat{L}^2$ splňujících vztahy (\ref{ket:lm}). Posunovací operátory $\hat{L}_\pm$ hledáme tak, aby neměnily hodnotu orbitálního kvantového čísla $l$, a magnetické kvantové číslo $m$ změnily o $\pm 1$, tj. aby platilo
$$
[\hat L_3,\hat L_\pm] = \pm \hbar \hat L_\pm, \quad [\hat L^2,\hat L_\pm] = 0. 
$$
Z komutačních relací pro složky momentu hybnosti 
$$
[\hat L_i,\hat L_j] = i\hbar\epsilon_{ijk}\hat L_k,
$$
se snadno ukáže, že posunovací operátory lze zvolit ve tvaru
\be
\hat L_\pm = \hat L_1 \pm i \hat L_2 \ll{pm}. 
\label{lpm}
\ee
Působení posunovacích operátorů na kety $\ket{l,m}$ je dáno vztahy
\be
\ll{posalpha}
\hat{L}_\pm \ket{l,m} = \alpha^\pm_{l,m}\ket{l,m\pm 1}.
\ee
Z (\ref{lpm}) můžeme vyjádřit operátory $\hat L_1$ a $\hat L_2$ ve tvaru
$$
\hat L_1 = \frac{1}{2}(\hat L_+ + \hat L_-),\quad \hat L_2 = \frac{1}{2i} (\hat L_+ - \hat L_-).
$$
Z těchto vztahů plyne pro maticové elementy operátorů $\hat L_{1,2}$
\begin{eqnarray}
\nonumber \braketA{l',m'}{\hat L_1}{l,m} & = & \half\delta_{l,l'}(\alpha_{l,m}^+\delta_{m',m+1} + \alpha_{l,m}^-\delta_{m',m-1}), \\
\nonumber \braketA{l',m'}{\hat L_2}{l,m} & = & \frac{1}{2i}\delta_{l,l'}(\alpha_{l,m}^+\delta_{m',m+1} - \alpha_{l,m}^-\delta_{m',m-1}) .
\end{eqnarray}
Matice operátorů $\hat L_{1,2}$ v bázi $\{\ket{l,m}\}$ mají tedy nenulové prvky jen v pásech nad a pod diagonálou.
 
Pomocí posunovacích operátorů a $\hat L_3$ můžeme vyjádřit operátor kvadrátu momentu hybnosti jako
$$
\hat L^2 = \hat L_3^2 -\hbar \hat L_3 + \hat L_+\hat L_- = \hat L_3^2 +\hbar \hat L_3 + \hat L_-\hat L_+.
$$
Odtud snadno zjistíme, že pro koeficienty $\alpha^\pm_{lm}$ platí
$$
|\alpha^\pm_{lm}| = \hbar\sqrt{l(l+1) - m(m\pm 1)}.
$$
Koeficienty $\alpha^\pm_{lm}$ jsou určeny relací \rf{posalpha} až na fázi. Přijmeme-li tzv.~Condon-Shortleyovu konvenci, že $\alpha^\pm_{lm}$ jsou reálné kladné a rovněž tak normalizační konstanta pro $Y_{l,0}$ je reálná kladná, pak je určena i fáze všech normalizačních konstant $C_{lm}$ \rf{normconsY} pro $Y_{l,m}$ jako $(-1)^m$.
 
\bc Ověřte komutační relaci \be [\hat L_+,\hat L_-] = 2 \hbar \hat L_3. \ee \ec
 
\bc 
Napište operátor $\hat L^2$ vyjádřený pomocí posunovacích operátorů  $\hat L_\pm$ a $\hat L_3$. 
\ec
 
\bc \ll{alplm} Spočítejte koeficienty $\alpha^\pm_{lm}$. \ec
 
\bc Spočítejte maticové elementy $\braketA{l',m'}{\hat L_k}{l,m}$. \ec
 
Pomocí posunovacích operátorů $\hat L_\pm$ lze odvodit spektrum $\hat L_3$ a $\hat L^2$, jak si detailně ukážeme v algebraické teorii momentu hybnosti v kapitole~\ref{atmh}. Posunovací operátory rovněž intenzivně využijeme při skládání momentů hybnosti v kapitole~\ref{smh}. Na závěr této kapitoly si ukážeme, jak lze s použitím posunovacích operátorů odvodit explicitní tvar kulových funkcí $Y_{l,m}$. Využijeme toho, že $m$ je v absolutní hodnotě omezené velikostí $l$. Platí tedy
\be 
\hat L_+ Y_{l,l} = 0.
\ll{lpyll}
\ee
Z explicitního tvaru operátorů $\hat L_{1,2}$ ve sférických souřadnicích (\ref{lx}), (\ref{ly}) nalezneme
$$
\hat L_\pm = i\hbar \cot\theta e^{\pm i\varphi}\frac{\partial}{\partial\varphi} \pm \hbar e^{\pm i \varphi}\frac{\partial}{\partial\theta}.
$$
Závislost kulových funkcí na úhlu $\varphi$ známe, takže je můžeme hledat ve tvaru
$$
Y_{l,m}(\theta,\varphi) = f_{l,m}(\theta)e^{i m\varphi}.
$$
Rovnice (\ref{lpyll}) potom přejde v obyčejnou diferenciální rovnici prvního řádu
$$
f_{l,l}' - l f_{l,l}\cot\theta = 0,
$$
jejímž řešením je funkce
$$
f_{l,l}(\theta) = C \sin^l\theta .
$$
Kulová funkce s maximální možnou hodnotou $m=l$ je tedy rovna
$$
Y_{l,l}(\theta,\varphi) = C \sin^l\theta e^{i l\varphi}.
$$
Funkce s nižší hodnotou $m$ získáme s použitím posunovacího operátoru $\hat L_-$.