02KVAN:Kapitola8: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
m
m
Řádka 3: Řádka 3:
 
\section{Přibližné metody výpočtu vlastních hodnot operátoru}
 
\section{Přibližné metody výpočtu vlastních hodnot operátoru}
  
Přesný výpočet vlastních čísel operátorů a vlastních funkcí je možné provést analytickými metodami jen u velmi
+
Přesný výpočet vlastních čísel operátorů a vlastních funkcí je možné provést analytickými metodami jen u~velmi omezeného počtu fyzikálně  
omezeného počtu fyzikálně zajímavých případů. Některé z nich jsme již uvedli: energie harmonického
+
zajímavých případů. Některé z~nich jsme již uvedli: energie harmonického oscilátoru, energie \cc e v~Coulombově poli, moment hybnosti. Pro  
oscilátoru, energie \cc e v Coulombově poli, moment hybnosti. Pro mnohé další případy se musíme většinou uchýlit
+
mnohé další případy se musíme většinou uchýlit k~přibližným metodám. Jednou z~nich je tzv.~poruchová teorie, kterou popíšeme v~následujících  
k přibližným metodám. Jednou z nich je tzv. poruchová teorie, kterou popíšeme v následujících podkapitolách.
+
podkapitolách. Její podstatou je, že operátor, jehož vlastní čísla chceme spočítat, je možno zapsat jako $\hat A + \hat B$, kde spektrum  
Její podstatou je, že operátor, jehož vlastní čísla chceme spočítat, je možno zapsat jako $\hat A + \hat B$, kde
+
operátoru $\hat A$ je možno řešit přesně a operátor $\hat B$ je možno v~nějakém smyslu považovat za malou opravu --- \uv{poruchu} ---
spektrum operátoru $\hat A$ je možno řešit přesně a operátor $\hat B$ je možno v nějakém smyslu považovat za
+
operátoru $\hat A$.
malou opravu -- "poruchu" -- operátoru $\hat A$.
+
 
 +
Přesněji, nechť $\hat A$ a $\hat B$ jsou samosdružené operátory. Budeme zkoumat operátor
 +
\be \hat A + \epsilon\hat B, \ll{aeb} \ee
 +
kde $\epsilon$ leží v~okolí nuly a vlastnosti vlastních čísel a funkcí v~závislosti na parametru $\epsilon$. Dá se očekávat (ač to obecně
 +
nemusí být splněno), že pro $\epsilon\rightarrow 0$ se budou vlastní čísla a funkce blížit k~odpovídajícím veličinám pro operátor $\hat A$ a
 +
pro $\epsilon\rightarrow 1$ za příznivých okolností též k~vlastním číslům a funkcím operátoru $\hat A +\hat B$. V některých případech, jako
 +
je např.~Starkův jev, který vysvětlíme níže, lze navíc proměnné $\epsilon$ dát fyzikální smysl.
 +
 
 +
Než přejdeme k~výsledkům poruchových metod rozeberme důsledky uvedených  předpokladů. Nechť $\lambda(\epsilon)$, $\lambda_K^{(0)}$ a
 +
$\psi(\epsilon)$, $\psi_K^{(0)}$ jsou vlastní čísla a vlastní funkce operátorů $\hat A+\epsilon\hat B$ a $\hat A$
 +
\be
 +
  (\hat A + \epsilon\hat B ) \psi(\epsilon) = \lambda(\epsilon) \psi(\epsilon), \ \
 +
  \hat A\psi_K^{(0)} = \lambda_K^{(0)} \psi_K^{(0)}.
 +
  \ll{apsilam}
 +
\ee
 +
Odtud snadno dostaneme
 +
\be (\hat A -\lambda_K^{(0)})\Delta\psi_K = (\Delta\lambda_K-\epsilon\hat B)\psi(\epsilon), \ll{startpm} \ee
 +
kde
 +
\be \Delta\psi_K = \psi(\epsilon)-\psi_K^{(0)},\ \ \Delta\lambda_K = \lambda(\epsilon)-\lambda_K^{(0)}. \ee
 +
Vynásobíme-li skalárně rovnost \rf{startpm} funkcí $\psi_J^{(0)}$, využijeme samosdruženost operátoru $\hat A$ a druhou rovnost
 +
v~\rf{apsilam}, dostaneme
 +
\be
 +
  (\lambda_J^{(0)}-\lambda_K^{(0)})(\psi_J^{(0)},\Delta\psi_K)
 +
    = \Delta\lambda_K(\psi_J^{(0)},\psi(\epsilon))-\epsilon(\psi_J^{(0)},\hat B\psi(\epsilon)).
 +
  \ll{dpsieps}
 +
\ee
 +
Pro $J=K$ odtud plyne
 +
\be \Delta\lambda_K(\psi_K^{(0)},\psi(\epsilon)) = \epsilon(\psi_K^{(0)},\hat B\psi(\epsilon)). \ll{dlameps} \ee
 +
Tyto dvě rovnice představují výchozí bod pro aplikaci poruchového počtu. Jako první rozebereme případ, kdy operátor $\hat A$ má čistě bodové
 +
spektrum a všechna vlastní čísla jsou navzájem různá.
  
Přesněji, nechť $\hat A,\ \hat B$ jsou samosdružené operátory. Budeme zkoumat operátor \be \hat A + \epsilon\hat
 
B, \ll{aeb}\ee kde $\epsilon$ leží v okolí nuly a vlastnosti vlastních čísel a funkcí v závislosti na
 
parametru $\epsilon$. Dá se očekávat (ač to obecně nemusí být splněno), že pro $\epsilon\rightarrow 0$ se budou
 
vlastní čísla a funkce blížit k odpovídajícím veličinám pro operátor $\hat A$ a pro $\epsilon\rightarrow 1$ za
 
příznivých okolností též k vlastním číslům a funkcím operátoru $\hat A +\hat B$. V některých případech jako je
 
např. Starkův jev, který vysvětlíme níže, lze navíc proměnné $\epsilon$ dát fyzikální smysl.
 
  
Než přejdeme k
 
výsledkům poruchových metod rozeberme důsledky uvedených  předpokladů.
 
Nechť $\lambda(\epsilon),\lambda_K^{(0)}$ a $\psi(\epsilon), \psi_K^{(0)}$ jsou vlastní čísla a vlastní funkce
 
operátorů $\hat A+\epsilon\hat B$ a $\hat A$ \be (\hat A+\epsilon\hat B )\psi(\epsilon) = \lambda(\epsilon)
 
\psi(\epsilon), \ \ \hat A\psi_K^{(0)} = \lambda_K^{(0)} \psi_K^{(0)}. \label{apsilam}\ee Odtud snadno dostaneme
 
\be (\hat A -\lambda_K^{(0)})\Delta\psi_K = (\Delta\lambda_K-\epsilon\hat B)\psi(\epsilon),\label{startpm}\ee kde \be
 
\Delta\psi_K=\psi(\epsilon)-\psi_K^{(0)},\ \ \Delta\lambda_K=\lambda(\epsilon)-\lambda_K^{(0)}.\ee Vynásobíme-li
 
skalárně rovnost (\ref{startpm}) funkcí $\psi_J^{(0)}$, využijeme samosdruženost operátoru $\hat A$ a druhou rovnost v
 
(\ref{apsilam}), dostaneme \be
 
(\lambda_J^{(0)}-\lambda_K^{(0)})(\psi_J^{(0)},\Delta\psi_K)=\Delta\lambda_K(\psi_J^{(0)},\psi(\epsilon))
 
-\epsilon(\psi_J^{(0)},\hat B\psi(\epsilon)).\label{dpsieps}\ee
 
Pro $J=K$ odtud plyne \be \Delta\lambda_K(\psi_K^{(0)},\psi(\epsilon))=\epsilon(\psi_K^{(0)},\hat
 
B\psi(\epsilon)).\label{dlameps}\ee
 
Tyto dvě rovnice představují výchozí bod pro aplikaci poruchového počtu.
 
Jako první
 
rozebereme případ, kdy operátor $\hat A$ má čistě bodové spektrum a všechna vlastní čísla jsou navzájem různá.
 
  
\special{src: 14 PORTEOR.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
  
 
\subsection{Poruchová teorie pro nedegenerované čistě bodové spektrum}
 
\subsection{Poruchová teorie pro nedegenerované čistě bodové spektrum}
  
Nechť operátor $\hat A$ má čistě bodové spektrum s navzájem různými vlastními čísly $\lambda_k^{(0)}$.
+
Nechť operátor $\hat A$ má čistě bodové spektrum s~navzájem různými vlastními čísly $\lambda_k^{(0)}$. Odpovídající vlastní funkce označme  
Odpovídající vlastní funkce označme $ \psi_k^{(0)}$. Předpokládejme dále, že v okolí nuly lze vlastní čísla i
+
$\psi_k^{(0)}$. Předpokládejme dále, že v~okolí nuly lze vlastní čísla i vlastní funkce operátoru $\hat A + \epsilon\hat B$ napsat jako  
vlastní funkce operátoru $\hat A +\epsilon\hat B$ napsat jako nekonečnou řadu v proměnné $\epsilon$ s nenulovým
+
nekonečnou řadu v~proměnné $\epsilon$ s~nenulovým poloměrem konvergence. Neboť pro $\epsilon=0$ operátor $\hat A +\epsilon\hat B$ přejde na  
poloměrem konvergence. Neboť pro $\epsilon=0$ operátor $\hat A +\epsilon\hat B$ přejde na $\hat A$, lze
+
$\hat A$, lze očekávat, že  
očekávat, že \be \lambda(\epsilon)=\lambda_k^{(0)}+\epsilon\lambda_k^{(1)}+ \epsilon^2\lambda_k^{(2)}+\ldots
+
\be \lambda(\epsilon) = \lambda_k^{(0)}+\epsilon\lambda_k^{(1)}+ \epsilon^2\lambda_k^{(2)}+\cdots \ll{lamep} \ee
\ll{lamep}\ee \be \psi(\epsilon)=\psi_k^{(0)}+\epsilon\psi_k^{(1)}+ \epsilon^2\psi_k^{(2)}+\ldots \ll{psiep}\ee
+
\be \psi(\epsilon) = \psi_k^{(0)}+\epsilon\psi_k^{(1)}+ \epsilon^2\psi_k^{(2)}+\cdots \ll{psiep} \ee
Ideální by bylo, kdybychom uměli vypočítat všechny koeficienty řad \rf{lamep}) a \rf{psiep}) a odtud usoudit na
+
Ideální by bylo, kdybychom uměli vypočítat všechny koeficienty řad \rf{lamep} a \rf{psiep} a odtud usoudit na konvergenci či dokonce provést  
konvergenci či dokonce provést součet. V praxi se nám obvykle podaří vypočítat pouze několik nejnižších členů,
+
součet. V~praxi se nám obvykle podaří vypočítat pouze několik nejnižších členů, jejichž příspěvky však často překvapivě dobře odpovídají  
jejichž příspěvky však často překvapivě dobře odpovídají experimentálně naměřeným hodnotám fyzikálních
+
experimentálně naměřeným hodnotám fyzikálních pozorovatelných. Vzorce pro výpočet koeficientů lze odvodit dosazením \rf{lamep} a \rf{psiep} do  
pozorovatelných. Vzorce pro výpočet koeficientů lze odvodit dosazením \rf{lamep}) a
+
\rf{dpsieps} a \rf{dlameps}. Porovnáním členů u~první mocniny $\epsilon$ v~\rf{dlameps} zjistíme, že první oprava vlastního čísla je střední  
\rf{psiep}) do (\ref{dpsieps}) a (\ref{dlameps}). %úlohy pro vlastní čísla
+
hodnota operátoru $\hat B$ ve stavu $\psi_k^{(0)}$
%\be (\hat A +\epsilon\hat B)\psi_k(\epsilon)=\lambda_k(\epsilon)\psi_k(\epsilon) \ll{vlcep}\ee
+
\be \lambda_k^{(1)} = \mean{\hat B}{\psi_k^{(0)}}. \ll{1oprvlc} \ee
Porovnáním členů u první mocniny $\epsilon$ v (\ref{dlameps})
+
Porovnáním členů u~první mocniny $\epsilon$ v~\rf{dpsieps} dostaneme
zjistíme, že první oprava vlastního čísla je střední hodnota
+
\be
operátoru $\hat B$ ve stavu $\psi_k^{(0)}$. \be \lambda_k^{(1)} = <\hat B>_{\psi_k^{(0)}}. \ll{1oprvlc}\ee
+
  (\psi_j^{(0)},\psi_k^{(1)}) = \frac{ (\psi_j^{(0)},\hat B \psi_k^{(0)}) }{ \lambda_k^{(0)}-\lambda_j^{(0)} }, \ \ j \neq k, \ll{1oprvlf} \ee
Porovnáním členů u první mocniny $\epsilon$ v (\ref{dpsieps}) dostaneme
+
odkud plyne, že první oprava vlastní \fc e $\psi(\epsilon)$ tedy je
 
\be
 
\be
(\psi_j^{(0)},\psi_k^{(1)})=\frac{(\psi_j^{(0)},\hat B \psi_k^{(0)})}{\lambda_k^{(0)}-\lambda_j^{(0)}},\ \ j\neq
+
  \psi_k^{(1)}  
k, \ll{1oprvlf}\ee odkud plyne, že první oprava vlastní \fc e $\psi(\epsilon)$ tedy je \be \psi_k^{(1)}=\gamma \psi_k^{(0)}+ \sum_{j\neq
+
    = \gamma \psi_k^{(0)}  
k}\frac{(\psi_j^{(0)},\hat B \psi_k^{(0)})}{(\lambda_k^{(0)}-\lambda_j^{(0)})(\psi_j^{(0)},\psi_j^{(0)})} \psi_j^{(0)},\ll{1oprvlfce}\ee
+
    + \sum_{j\neq k}\frac{(\psi_j^{(0)},\hat B \psi_k^{(0)})}{(\lambda_k^{(0)}-\lambda_j^{(0)})(\psi_j^{(0)},\psi_j^{(0)})} \psi_j^{(0)},
 +
  \ll{1oprvlfce}
 +
\ee
 
kde
 
kde
$\gamma$ je libovolná konstanta, kterou můžeme použít například pro normalizaci vlastní funkce $\psi(\epsilon)$.
+
$\gamma$ je libovolná konstanta, kterou můžeme použít například pro normalizaci vlastní funkce $\psi(\epsilon)$.
  
Opravu vlastního čísla do druhého řádu v $\epsilon$ vypočteme porovnáním členů (\ref{dlameps}) u druhé mocniny $\epsilon$.
+
Opravu vlastního čísla do druhého řádu v~$\epsilon$ vypočteme porovnáním členů \rf{dlameps} u~druhé mocniny $\epsilon$
%Ze samosdruženosti $\hat A$ opět plyne\[ (\psi_k^{(0)},\hat A \psi_k^{(2)})=(\hat A\psi_k^{(0)},\psi_k^{(2)})=\lambda_k^{(0)} (\psi_k^{(0)},\psi_k^{(2)}) \] a stejným postupem jako v předchozím případě dostaneme
+
 
\be \lambda_k^{(2)} = \frac{(\psi_k^{(0)},(\hat B -\lambda_k^{(1)}) \psi_k^{(1)})}
 
\be \lambda_k^{(2)} = \frac{(\psi_k^{(0)},(\hat B -\lambda_k^{(1)}) \psi_k^{(1)})}
 
{(\psi_k^{(0)},\psi_k^{(0)})}=\sum_{j\neq k}\frac{|(\psi_j^{(0)},\hat B \psi_k^{(0)})|^2}
 
{(\psi_k^{(0)},\psi_k^{(0)})}=\sum_{j\neq k}\frac{|(\psi_j^{(0)},\hat B \psi_k^{(0)})|^2}
{(\lambda_k^{(0)}-\lambda_j^{(0)})(\psi_k^{(0)},\psi_k^{(0)})(\psi_j^{(0)},\psi_j^{(0)})}, \ll{2oprvlc}\ee přičemž v druhém rovnítku jsme
+
{(\lambda_k^{(0)}-\lambda_j^{(0)})(\psi_k^{(0)},\psi_k^{(0)})(\psi_j^{(0)},\psi_j^{(0)})}, \ll{2oprvlc}\ee přičemž v~druhém rovnítku jsme
použili vztahy (\ref{1oprvlc}), (\ref{1oprvlfce}).
+
použili vztahy \rf{1oprvlc}, \rf{1oprvlfce}.
  
 
Analogickými operacemi bychom mohli dostat vzorce pro další opravy vlastních čísel a vlastních \fc í. Bohužel
 
Analogickými operacemi bychom mohli dostat vzorce pro další opravy vlastních čísel a vlastních \fc í. Bohužel
Řádka 73: Řádka 80:
 
dodatečnou normovací podmínku (ze které m.j. plyne $\gamma=0$)
 
dodatečnou normovací podmínku (ze které m.j. plyne $\gamma=0$)
 
\be (\psi(\epsilon),\psi_k^{(0)})=1\ \Leftrightarrow\ (\Delta\psi(\epsilon),\psi_k^{(0)})=0, \ee
 
\be (\psi(\epsilon),\psi_k^{(0)})=1\ \Leftrightarrow\ (\Delta\psi(\epsilon),\psi_k^{(0)})=0, \ee
tyto formule se podstatně zjednoduší. Porovnáním členů (\ref{dlameps}) a (\ref{dpsieps}) u s-té mocniny
+
tyto formule se podstatně zjednoduší. Porovnáním členů \rf{dlameps} a \rf{dpsieps} u~s-té mocniny
 
$\epsilon$ pak dostaneme relativně jednoduché rekurentní relace
 
$\epsilon$ pak dostaneme relativně jednoduché rekurentní relace
 
\begin{equation}\label{oprvlcvlf1}
 
\begin{equation}\label{oprvlcvlf1}
Řádka 83: Řádka 90:
 
\end{equation}
 
\end{equation}
 
které nám umožní počítat opravy vlastních čísel i vlastních funkcí do libovolně vysokého řádu $\epsilon$.
 
které nám umožní počítat opravy vlastních čísel i vlastních funkcí do libovolně vysokého řádu $\epsilon$.
\bc Poruchovou
 
metodou spočítejte energie do druhého řádu jednorozměrné \qv é \cc e  na kterou působí síla $M \omega^2 x+F$
 
(harmonický oscilátor v homogenním poli). \ec
 
\bc Poruchovou metodou spočítejte energie  do druhého řádu
 
jednorozměrné \qv é \cc e  v potenciálu \[ V(x)=\half M \omega^2 x^2 + \alpha x^3 + \beta x^4. \] (Anharmonický
 
oscilátor.) \ec
 
  
\subsection{Poruchová teorie pro vícenásobná vlastní čísla} V předchozí kapitole jsme využili faktu, že ke
+
\bc
každému vlastnímu číslu existovala právě jedna vlastní \fc e. Nyní ukážeme jak postupovat pro {\bf
+
  Poruchovou metodou spočítejte energie do druhého řádu jednorozměrné \qv é \cc e na kterou působí síla $M \omega^2 x+F$
konečněnásobná} vlastní čísla $\lambda_k^{(0)}$ operátoru $\hat A$, tedy v případě, kdy vlastní \fc e příslušné
+
  (harmonický oscilátor v~homogenním poli).
k číslu $\lambda_k^{(0)}$ tvoří lineární podprostor dimenze $N>1$. Nechť $\{f_{k,i}\}_{i=1}^N$ je ortonomální
+
\ec
base v prostoru vlastních \fc í operátoru $\hat A$ příslušných k vlastnímu číslu operátoru $\lambda_k^{(0)}$.
+
  
\special{src: 68 PORTEOR.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\bc
 +
  Poruchovou metodou spočítejte energie do druhého řádu jednorozměrné \qv é \cc e v~potenciálu
 +
  \[ V(x)=\half M \omega^2 x^2 + \alpha x^3 + \beta x^4. \]
 +
  (Anharmonický oscilátor.)
 +
\ec
  
Zaměníme-li operátor $\hat A$ operátorem $\hat A+\epsilon\hat B$, pak se v obecném případě změní i vlastní čísla
+
\subsection{Poruchová teorie pro vícenásobná vlastní čísla}
i jejich násobnost. Opět budeme předpokládat, že v okolí nuly lze vlastní čísla i vlastní funkce operátoru $\hat
+
V~předchozí kapitole jsme využili faktu, že ke každému vlastnímu číslu existovala právě jedna vlastní \fc e. Nyní ukážeme jak postupovat
A +\epsilon\hat B$ napsat jako nekonečnou řadu v proměnné $\epsilon$ s nenulovým poloměrem konvergence, takže
+
pro \textbf{konečněnásobná} vlastní čísla $\lambda_k^{(0)}$ operátoru $\hat A$, tedy v~případě, kdy vlastní \fc e příslušné k~číslu
vlastní čísla operátoru $\hat A+\epsilon\hat B$, která pro $\epsilon\rightarrow 0$ konvergují k
+
$\lambda_k^{(0)}$ tvoří lineární podprostor dimenze $N>1$. Nechť $\{f_{k,i}\}_{i=1}^N$ je ortonomální baze v~prostoru vlastních \fc í
$\lambda_{k}^{(0)}$, lze zapsat jako \be \lambda_{k,n}(\epsilon)=\lambda_{k}^{(0)}+\epsilon\lambda_{k,n}^{(1)}+
+
operátoru $\hat A$ příslušných k~vlastnímu číslu operátoru $\lambda_k^{(0)}$.
\epsilon^2\lambda_{k,n}^{(2)}+\ldots,\ll{lamepdg}\ee a \be
+
\psi_{k,n}(\epsilon)=\psi_{k,n}^{(0)}+\epsilon\psi_{k,n}^{(1)}+ \epsilon^2\psi_{k,n}^{(2)}+\ldots,
+
\ll{psiepdg}\ee kde $ \ n=1,\ldots,N$.
+
  
Funkce $\psi_{k,n}^{(0)}=lim_{\epsilon\rightarrow 0}\psi_{k,n}(\epsilon)$, na rozdíl od případu nedegenerovaného
+
Zaměníme-li operátor $\hat A$ operátorem $\hat A+\epsilon\hat B$, pak se v~obecném případě změní i vlastní čísla a jejich násobnost. Opět
 +
budeme předpokládat, že v~okolí nuly lze vlastní čísla i vlastní funkce operátoru $\hat A +\epsilon\hat B$ napsat jako nekonečnou řadu
 +
v~proměnné $\epsilon$ s~nenulovým poloměrem konvergence, takže vlastní čísla operátoru $\hat A+\epsilon\hat B$, která pro
 +
$\epsilon\rightarrow 0$ konvergují k~$\lambda_{k}^{(0)}$, lze zapsat jako
 +
\be \lambda_{k,n}(\epsilon) = \lambda_{k}^{(0)}+\epsilon\lambda_{k,n}^{(1)}+\epsilon^2\lambda_{k,n}^{(2)}+\cdots, \ll{lamepdg} \ee
 +
a
 +
\be \psi_{k,n}(\epsilon) = \psi_{k,n}^{(0)}+\epsilon\psi_{k,n}^{(1)}+ \epsilon^2\psi_{k,n}^{(2)}+\cdots, \ll{psiepdg} \ee
 +
kde $ \ n=1,\ldots,N$.
 +
 
 +
Funkce $\psi_{k,n}^{(0)} = \lim_{\epsilon\rightarrow 0}\psi_{k,n}(\epsilon)$, na rozdíl od případu nedegenerovaného
 
spektra, nejsou určeny řešením úlohy pro vlastní čísla a \fc e operátoru $\hat A$. Víme pouze, že jsou jistou
 
spektra, nejsou určeny řešením úlohy pro vlastní čísla a \fc e operátoru $\hat A$. Víme pouze, že jsou jistou
 
lineární kombinací \fc í $f_{k,i}$ \be \psi_{k,n}^{(0)}=\sum_{i=1}^N a_{kn,i}f_{k,i}. \ll{psipresf}\ee %
 
lineární kombinací \fc í $f_{k,i}$ \be \psi_{k,n}^{(0)}=\sum_{i=1}^N a_{kn,i}f_{k,i}. \ll{psipresf}\ee %
Musíme tedy napřed určit \fc e $\psi_{k,n}^{(0)}$. Dosadíme opět řady (\ref{lamepdg}), (\ref{psiepdg}) do úlohy pro
+
Musíme tedy napřed určit \fc e $\psi_{k,n}^{(0)}$. Dosadíme opět řady \rf{lamepdg}, \rf{psiepdg} do úlohy pro
 
vlastní čísla \be (\hat A+\epsilon\hat B)\psi_{k,n}= \lambda_{k,n}\psi_{k,n} \ee a porovnáme členy úměrné první
 
vlastní čísla \be (\hat A+\epsilon\hat B)\psi_{k,n}= \lambda_{k,n}\psi_{k,n} \ee a porovnáme členy úměrné první
 
mocnině $\epsilon$. Dostaneme \be \hat A \psi_{k,n}^{(1)}+\hat B
 
mocnině $\epsilon$. Dostaneme \be \hat A \psi_{k,n}^{(1)}+\hat B
Řádka 116: Řádka 126:
 
Vynásobíme-li tuto rovnost skalárně zprava \fc í $f_{k,j}$, použijeme samosdruženost $\hat A$ a toho, že
 
Vynásobíme-li tuto rovnost skalárně zprava \fc í $f_{k,j}$, použijeme samosdruženost $\hat A$ a toho, že
 
$f_{k,j}$ je vlastní \fc í operátoru $\hat A$, dostaneme \be (f_{k,j},\hat B \psi_{k,n}^{(0)}) =
 
$f_{k,j}$ je vlastní \fc í operátoru $\hat A$, dostaneme \be (f_{k,j},\hat B \psi_{k,n}^{(0)}) =
\lambda_{k,n}^{(1)}(f_{k,j},\psi_{k,n}^{(0)}). \ee Dosadíme-li sem (\ref{psipresf}) a využijeme ortonormálnost
+
\lambda_{k,n}^{(1)}(f_{k,j},\psi_{k,n}^{(0)}). \ee Dosadíme-li sem \rf{psipresf} a využijeme ortonormálnost
 
\fc í $f_{k,j}$, pak můžeme tuto rovnost přepsat způsobem \be \sum_{i=1}^N
 
\fc í $f_{k,j}$, pak můžeme tuto rovnost přepsat způsobem \be \sum_{i=1}^N
 
B_{ji}a_{kn,i}=\lambda_{k,n}^{(1)}a_{kn,j},\ll{matvlc}\ee což je úloha pro vlastní čísla matice \be
 
B_{ji}a_{kn,i}=\lambda_{k,n}^{(1)}a_{kn,j},\ll{matvlc}\ee což je úloha pro vlastní čísla matice \be
B_{ji}:=(f_{k,j},\hat B f_{k,i}),\ i,j:=1,\ldots,N. \ee První opravy vlastních čísel  $\lambda_{k,n}^{(1)}$ pak
+
B_{ji}:=(f_{k,j},\hat B f_{k,i}),\ i,j=1,\ldots,N. \ee První opravy vlastních čísel  $\lambda_{k,n}^{(1)}$ pak
dostaneme z řešení úlohy (\ref{matvlc}), tedy jako kořeny sekulární rovnice
+
dostaneme z~řešení úlohy \rf{matvlc}, tedy jako kořeny sekulární rovnice
\be \det(B_{ji}-\lambda_{k,n}^{(1)}\delta_{ji})=0. \ll{sekub}\ee Řešením úlohy (\ref{matvlc}) pak dostaneme též
+
\be \det(B_{ji}-\lambda_{k,n}^{(1)}\delta_{ji})=0. \ll{sekub}\ee
koeficienty $a_{kn,i}$, které určují "nultou opravu" $\psi_{k,n}^{(0)}$ vlastních funkcí $f_{k,i}$. Výpočet
+
Řešením úlohy \rf{matvlc} pak dostaneme též koeficienty $a_{kn,i}$, které určují \uv{nultou opravu} $\psi_{k,n}^{(0)}$ vlastních funkcí  
dalších oprav je opět dosti komplikovaný a příslušné vzorce zde nebudeme uvádět. \subsubsection{Starkův jev na
+
$\psi_{k,n}(\epsilon)$. Výpočet dalších oprav je opět dosti komplikovaný a příslušné vzorce zde nebudeme uvádět.
vodíku} Starkovým jevem nazýváme rozštěpení spektrálních čar atomu vlivem homogenního elektrostatického pole.
+
Elektron v atomu vodíku v homogenním elektrostatickém poli $\vec {\cal E}$ můžeme popsat Hamiltoniánem \be \hat
+
H = -\frac{\hbar^2}{2M}\triangle- \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r}+e\vec {\cal E}\vec x. \ee Pro slabé
+
elektrické pole tj. $\frac{e}{4\pi\epsilon_0 a^2}\gg |\vec{\cal E}|$, kde $a$ je Bohrův poloměr atomu vodíku, je možno poslední
+
člen považovat za malou opravu předchozí části Hamiltoniánu $\hat H_0$ popisující atom vodíku bez přítomnosti
+
vnějšího elektrického pole. Jeho vlastní čísla i vlastní funkce známe z podkapitoly \ref{podkap:coulomb}. Víme,
+
že vlastní čísla (kromě nejnižší energie) jsou degenerovaná, takže musíme použít poruchovou metodu pro
+
degenerované spektrum.
+
  
\special{src: 101 PORTEOR.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
\subsubsection{Starkův jev na vodíku}
 +
Starkovým jevem nazýváme rozštěpení spektrálních čar atomu vlivem homogenního elektrostatického pole. Elektron v~atomu vodíku v~homogenním
 +
elektrostatickém poli $\vec {\cal E}$ můžeme popsat hamiltoniánem
 +
\be \hat H = -\frac{\hbar^2}{2M}\triangle- \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r}+e\vec {\cal E}\vec x. \ee
 +
Pro slabé elektrické pole tj.~$\frac{e}{4\pi\epsilon_0 a^2} \gg |\vec{\cal E}|$, kde $a$ je Bohrův poloměr atomu vodíku, je možno poslední
 +
člen považovat za malou opravu předchozí části hamiltoniánu $\hat H_0$ popisující atom vodíku bez přítomnosti vnějšího elektrického pole.
 +
Jeho vlastní čísla i vlastní funkce známe z~podkapitoly \ref{podkap:coulomb}. Víme, že vlastní čísla (kromě nejnižší energie) jsou
 +
degenerovaná, takže musíme použít poruchovou metodu pro degenerované spektrum.
  
Bez újmy na obecnosti (neporušený hamiltonián je isotropní), můžeme předpokládat, že $\vec{\cal
+
Bez újmy na obecnosti (neporušený hamiltonián je isotropní), můžeme předpokládat, že $\vec{\cal E}=(0,0,\epsilon)$. Oprava $\epsilon\hat B$  
E}=(0,0,\epsilon)$. Oprava $\epsilon\hat B$ hamiltoniánu $\hat H_0$ je $e \epsilon\,\hat X_3=e\epsilon\,
+
hamiltoniánu $\hat H_0$ je $e \epsilon\,\hat X_3=e\epsilon\,r\cos\theta\cdot$ a zajímá nás změna $k$-té energetické hladiny vodíku  
r\cos\theta\cdot$ a zajímá nás změna $k$-té energetické hladiny vodíku $E_k=-R/k^2$ v závislosti na síle
+
$E_k=-R/k^2$ v~závislosti na síle elektrického pole $\epsilon$.
elektrického pole $\epsilon$.
+
  
\special{src: 105 PORTEOR.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
+
Vlastní funkce $\psi_{k,l,m}$ příslušné k~$E_k$ jsou vyjádřeny vzorcem \rf{nlmcoul}, kde $N=k$. Matice $B_{ji}$, jejíž vlastní hodnoty,
 +
představují první opravy energie má v~tomto případě elementy
 +
\[ B_{ji} \equiv B_{lm,l'm'} = e (\psi_{klm},r\cos\theta\,\psi_{kl'm'}) = \]
 +
\be = e \int R_{kl}^*(r)R_{kl'}(r)r^3dr \int Y_{lm}^*(\theta,\phi)\cos\theta\, Y_{l'm'}(\theta,\phi)d\Omega. \ll{starkmatel} \ee
 +
Druhý integrál je roven (viz např.~\cite[G.29]{for:ukt})
 +
\be
 +
  \int Y_{lm}^*(\theta,\phi)\cos\theta\, Y_{l'm'}(\theta,\phi)d\Omega
 +
    = \delta_{mm'} \left( \delta_{l,l'+1}\sqrt{\frac{l^2-m^2}{4l^2-1}}+\delta_{l+1,l'}\sqrt{\frac{l'^2-m^2}{4l'^2-1}} \right), \ll{YzzY}
 +
\ee
 +
takže maticové elementy jsou nenulové pouze pro $m=m'$ a $l'=l \pm 1$. Výpočet prvního integrálu v~\rf{starkmatel} je obecně dosti složitý
 +
a proto se omezíme na výpočet prvních oprav základní a první excitované hladiny. Pro nejnižší energii $k=1$ je $l=l'=0$ a
 +
$(\psi_{100},r\cos\theta\psi_{100})=0$, takže základní hladina se do prvního řádu v~$\epsilon$ nezmění. Pro první excitovanou hladinu je
 +
$k=2$ a $l,l'=0,1$. Jediné nenulové elementy $B_{ji}$ v~důsledku \rf{YzzY} jsou
 +
\be e (\psi_{210},r\cos\theta\,\psi_{200}) = e (\psi_{200},r\cos\theta\,\psi_{210})^*=-3ea. \ee
 +
Matice $B_{ij}$ v~tomto případě má tvar
 +
\be B = \left( \begin{array}{cccc} 0&0&-3ea&0\\0&0&0&0\\-3ea&0&0&0\\0&0&0&0 \end{array} \right), \ee
 +
a kořeny sekulární rovnice \rf{sekub} jsou $0,0,3ea,-3ea$. Znamená to, že první excitovaná hladina vodíku, která je čtyřnásobně degenerovaná,
 +
se ve slabém vnějším elektrickém poli rozštěpí na tři s hodnotami $-3,4$ eV a $-3,4$eV $\pm 3 ea\epsilon$, kde $e$ je náboj elektronu, $a$
 +
je Bohrův poloměr vodíku $a=0,53\times10^{-8}$ cm a $\epsilon$ je hodnota intenzity vnějšího elektrického pole. Původní hladina $-3,4$eV
 +
zůstane degenerovaná i v~elektrickém poli, avšak pouze dvakrát --- její vlastní funkce tvoří dvourozměrný prostor lineárních kombinací
 +
$a_+\psi_{2,1,1}+a_-\psi_{2,1,-1}$, zatímco hladiny $-3,4$eV $\pm 3 ea\epsilon$ jsou již nedegenerované a odpovídají jim vlastní \fc e
 +
$a(\psi_{2,1,0}\mp\psi_{2,0,0})$, kde $\psi_{2,1,0},\psi_{2,0,0}$ jsou normalizované k~jedničce. Všimněme si, že šířka rozštěpení je úměrná
 +
intenzitě elektrického pole. Podobně se rozštěpí i vyšší excitované hladiny. Toto experimentálně pozorované rozštěpení hladin se nazývá
 +
(lineární) Starkův jev.
  
Vlastní funkce $\psi_{k,l,m}$ příslušné k $E_k$ jsou vyjádřeny vzorcem (\ref{nlmcoul}), kde $N=k$. Matice
 
$B_{ji}$, jejíž vlastní hodnoty, představují první opravy energie má v tomto případě elementy \[ B_{ji}\equiv
 
B_{lm,l'm'}=e(\psi_{klm},r\cos\theta\,\psi_{kl'm'})= \] \be =e\int R_{kl}(r)R_{kl'}(r)r^3dr\int
 
Y_{lm}(\theta,\phi)\cos\theta\, Y_{l'm'}(\theta,\phi)d\Omega. \ll{starkmatel}\ee Druhý integrál je roven (viz
 
např \cite{for:ukt} G.29) \be \int Y_{lm}(\theta,\phi)\cos\theta\, Y_{l'm'}(\theta,\phi)d\Omega
 
=\delta_{mm'}(\delta_{l,l'+1}\sqrt{\frac{l^2-m^2}{4l^2-1}}+
 
\delta_{l+1,l'}\sqrt{\frac{l'^2-m^2}{4l'^2-1}}),\ll{YzzY}\ee takže maticové elementy jsou nenulové pouze pro
 
$m=m'$ a $l'=l\pm 1$. Výpočet prvního integrálu v (\ref{starkmatel}) je obecně dosti složitý a proto se omezíme
 
na výpočet prvních oprav základní a první excitované hladiny. Pro nejnižší energii $k=1$ je $l=l'=0$ a
 
$(\psi_{100},r\cos\theta\psi_{100})=0$, takže základní hladina se do prvního řádu v $\epsilon$ nezmění. Pro
 
první excitovanou hladinu je  $k=2$ a $l,l'=0,1$. Jediné nenulové elementy $B_{ji}$ v důsledku (\ref{YzzY}) jsou
 
\be e(\psi_{210},r\cos\theta\,\psi_{200})=e(\psi_{200},r\cos\theta\,\psi_{210})^*=-3ea. \ee Matice $B_{ij}$ v
 
tomto případě má tvar \be B=\left( \begin{array}{cccc} 0&0&-3ea&0\\0&0&0&0\\-3ea&0&0&0\\0&0&0&0 \end{array}
 
\right), \ee a kořeny sekulární rovnice (\ref{sekub}) jsou $0,0,3ea,-3ea$. Znamená to, že první excitovaná
 
hladina vodíku, která je čtyřnásobně degenerovaná, se ve slabém vnějším elektrickém poli rozštěpí na tři s
 
hodnotami $-3,4eV$ a $-3,4eV\pm 3 ea\epsilon$, kde $e$ je náboj elektronu, $a$ je Bohrův poloměr vodíku
 
$a=0,53\times10^{-8}$ cm a $\epsilon$ je hodnota intenzity vnějšího elektrického pole. Původní hladina $-3,4eV$
 
zůstane degenerovaná i v elektrickém poli, avšak pouze dvakrát -- její vlastní funkce tvoří dvourozměrný prostor
 
lineárních kombinací $a_+\psi_{2,1,1}+a_-\psi_{2,1,-1}$, zatímco hladiny $-3,4eV\pm 3 ea\epsilon$ jsou již
 
nedegenerované a odpovídají jim vlastní \fc e $a(\psi_{2,1,0}\mp\psi_{2,0,0})$, kde $\psi_{2,1,0},\psi_{2,0,0}$
 
jsou normalizované k jedničce. Všimněme si, že šířka rozštěpení je úměrná intenzitě elektrického pole. Podobně
 
se rozštěpí i vyšší excitované hladiny. Toto experimentálně pozorované rozštěpení hladin se nazývá (lineární)
 
Starkův jev.
 
 
\bc Spočítejte rozštěpení druhé excitované hladiny atomu vodíku při Starkově jevu. \ec
 
\bc Spočítejte rozštěpení druhé excitované hladiny atomu vodíku při Starkově jevu. \ec
\bc Existuje
+
\bc Existuje lineární Starkův jev pro isotropní oscilátor? \ec
lineární Starkův jev pro isotropní oscilátor? %2008
+
 
\ec \subsection{Struktura atomu, Hartreeho metoda} %Viz
+
 
\cite{for:ukt} 10.6 Atomy se skládají z kladně nabitého jádra a záporně nabitého obalu. Vzhledem k rozdílu
+
 
hmotností částic jádra %t.j. protonů a neutronů a obalu %t.j. elektronů je možno různé stavy atomů s dobrou
+
\subsection{Struktura atomu, Hartreeho metoda} %Viz
aproximací popisovat jako stavy soustavy záporně nabitých \cc{} - elektronů - pohybujících se v potenciálovém
+
Podrobnosti k~této části viz \cite[kap.~10.6]{for:ukt}. Atomy se skládají z~kladně nabitého jádra a záporně nabitého obalu. Vzhledem  
 +
k~rozdílu hmotností částic jádra %t.j. protonů a neutronů a obalu %t.j. elektronů je možno různé stavy atomů s~dobrou
 +
aproximací popisovat jako stavy soustavy záporně nabitých \cc{} --- elektronů --- pohybujících se v~potenciálovém
 
poli jádra.
 
poli jádra.
  
 
\special{src: 352 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
\special{src: 352 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
  
Zabývejme se tedy atomem s atomovým číslem $Z$. Hamiltonián systému $Z$ elektronů elektrostaticky interagujících
+
Zabývejme se tedy atomem s~atomovým číslem $Z$. Hamiltonián systému $Z$ elektronů elektrostaticky interagujících
 
s jádrem a mezi sebou je \be \hat H=-\frac{\hbar^2}{2m_e}\sum_{j=1}^Z\triangle_j -
 
s jádrem a mezi sebou je \be \hat H=-\frac{\hbar^2}{2m_e}\sum_{j=1}^Z\triangle_j -
 
\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_{j=1}^Z \frac{Ze^2}{ |\vex_j|} +\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_{j<k}
 
\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_{j=1}^Z \frac{Ze^2}{ |\vex_j|} +\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_{j<k}
Řádka 183: Řádka 193:
 
\special{src: 360 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
\special{src: 360 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
  
\bc Spočítejte prouchovou metodou energii základního stavu helia, považujeme-li poslední člen v (\ref{hamatob})
+
\bc Spočítejte prouchovou metodou energii základního stavu helia, považujeme-li poslední člen v~\rf{hamatob}
za poruchu. \ec Přesné nalezení vlastních (Z-částicových) stavů hamiltoniánu (\ref{hamatob}) je prakticky
+
za poruchu. \ec Přesné nalezení vlastních (Z-částicových) stavů hamiltoniánu \rf{hamatob} je prakticky
 
nemožné. Ukazuje se však, že  stavy atomu a jeho energie je možné popsat pomocí antisymetrických kombinací
 
nemožné. Ukazuje se však, že  stavy atomu a jeho energie je možné popsat pomocí antisymetrických kombinací
jednočásticových vlnových \fc í v poli sféricky symetrického potenciálu. Jeho tvar lze dostat tzv. Hartreeho
+
jednočásticových vlnových \fc í v~poli sféricky symetrického potenciálu. Jeho tvar lze dostat tzv.~Hartreeho
 
metodou self-konzistentního pole, kterou nyní popíšeme.
 
metodou self-konzistentního pole, kterou nyní popíšeme.
  
Řádka 197: Řádka 207:
 
kvantově mechanické pozorovatelné a informace o jejich okamžité hodnotě je ukryta ve vlnových \fc ích.
 
kvantově mechanické pozorovatelné a informace o jejich okamžité hodnotě je ukryta ve vlnových \fc ích.
 
Modifikujeme-li tedy náš předpoklad tak, že známe vlnové \fc e $\phi_k,\ k\neq j$, pak můžeme hamiltonián
 
Modifikujeme-li tedy náš předpoklad tak, že známe vlnové \fc e $\phi_k,\ k\neq j$, pak můžeme hamiltonián
\rf{hamatj}) nahradit \ha nem \be \hat H_j=-\frac{\hbar^2}{2m_e}\triangle_j -
+
\rf{hamatj} nahradit \ha nem \be \hat H_j=-\frac{\hbar^2}{2m_e}\triangle_j -
 
\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Ze^2}{ |\vex_j|} +\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_{j\neq k}^Z
 
\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Ze^2}{ |\vex_j|} +\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_{j\neq k}^Z
\int_{R^3}\frac{|\phi_k(\vex_k)|^2e^2}{|\vex_j-\vex_k|}d^3x_k. \ll{hamatj2}\ee Problém je v tom, že funkce
+
\int_{R^3}\frac{|\phi_k(\vex_k)|^2e^2}{|\vex_j-\vex_k|}d^3x_k. \ll{hamatj2}\ee Problém je v~tom, že funkce
 
$\phi_k$ neznáme stejně jako $\phi_j$. Mohli bychom se nicméně pokusit řešit soustavu rovnic \be \hat
 
$\phi_k$ neznáme stejně jako $\phi_j$. Mohli bychom se nicméně pokusit řešit soustavu rovnic \be \hat
 
H_j\phi_j=E_j\phi_j ,\ j=1,\ldots,Z \ee pro funkce $\phi_j$. Avšak díky přítomnosti $\phi_k,\ k\neq j$ v
 
H_j\phi_j=E_j\phi_j ,\ j=1,\ldots,Z \ee pro funkce $\phi_j$. Avšak díky přítomnosti $\phi_k,\ k\neq j$ v
\rf{hamatj2}) se opět jedná o prakticky neřešitelný (dokonce nelineární) problém.
+
\rf{hamatj2} se opět jedná o prakticky neřešitelný (dokonce nelineární) problém.
  
 
\special{src: 384 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
\special{src: 384 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
  
Hartreeho metoda spočívá v iteračním postupu, kde na začátku jsou zvoleny jednočásticové funkce $\phi_k^0$,
+
Hartreeho metoda spočívá v~iteračním postupu, kde na začátku jsou zvoleny jednočásticové funkce $\phi_k^0$,
které splňují některé základní fyzikální požadavky na očekávaný tvar řešení. Ty jsou v prvním kroku dosazeny do
+
které splňují některé základní fyzikální požadavky na očekávaný tvar řešení. Ty jsou v~prvním kroku dosazeny do
\ha nu \rf{hamatj2}), přičemž je respektován Pauliho princip, že každý stav může být obsazen maximálně jedním
+
\ha nu \rf{hamatj2}, přičemž je respektován Pauliho princip, že každý stav může být obsazen maximálně jedním
 
elektronem, a (obvykle numerickou metodou) vypočítány energie $E^1_j$ a funkce $\phi_j^1$, které splňují \be
 
elektronem, a (obvykle numerickou metodou) vypočítány energie $E^1_j$ a funkce $\phi_j^1$, které splňují \be
\hat H_j^0\phi_j^1=E_j^1\phi_j^1. \ee Funkce $\phi_j^1$se opět dosadí do \ha nu \rf{hamatj2}) a tento postup se
+
\hat H_j^0\phi_j^1=E_j^1\phi_j^1. \ee Funkce $\phi_j^1$se opět dosadí do \ha nu \rf{hamatj2} a tento postup se
 
opakuje tak dlouho až  $\phi_j^{n+1}\approx\phi_j^n$ a $E_j^{n+1}\approx E_j^n$, takže \be \hat
 
opakuje tak dlouho až  $\phi_j^{n+1}\approx\phi_j^n$ a $E_j^{n+1}\approx E_j^n$, takže \be \hat
 
H_j^n\phi_j^{n}=E_j^n\phi_j^{n}. \ee
 
H_j^n\phi_j^{n}=E_j^n\phi_j^{n}. \ee
Řádka 217: Řádka 227:
  
 
Mimo to se obvykle  při podobných výpočtech používá přiblížení sféricky symetrického pole, kdy se poslední člen
 
Mimo to se obvykle  při podobných výpočtech používá přiblížení sféricky symetrického pole, kdy se poslední člen
\rf{hamatj2}) vystředuje přes prostorové úhly, tzn. nahradí se členem \be
+
\rf{hamatj2} vystředuje přes prostorové úhly, tzn.~nahradí se členem \be
 
V_{int}(r_j)=\frac{1}{(4\pi)^2\epsilon_0}\int_{\Omega}\sin\theta_j d\theta_j d\varphi_j\sum_{j\neq k}^Z
 
V_{int}(r_j)=\frac{1}{(4\pi)^2\epsilon_0}\int_{\Omega}\sin\theta_j d\theta_j d\varphi_j\sum_{j\neq k}^Z
 
\int_{R^3}\frac{|\phi_k(\vex_k)|^2e^2}{|\vex_j-\vex_k|}d^3x_k. \ll{hamatj3}\ee Díky sférické symetrii takto
 
\int_{R^3}\frac{|\phi_k(\vex_k)|^2e^2}{|\vex_j-\vex_k|}d^3x_k. \ll{hamatj3}\ee Díky sférické symetrii takto
 
zkonstruovaného \ha nu pak lze hledat vlastní \fc e energie ve tvaru \be
 
zkonstruovaného \ha nu pak lze hledat vlastní \fc e energie ve tvaru \be
 
\phi_j(\vex)=R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta,\varphi) \ee a vlastní čísla nezávisí na $m$. \be E_j=E_{nl} \ll{ejnl}\ee
 
\phi_j(\vex)=R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta,\varphi) \ee a vlastní čísla nezávisí na $m$. \be E_j=E_{nl} \ll{ejnl}\ee
Tímto způsobem lze získat dosti dobrou aproximaci vlnových \fc í částic pohybujících se v odpudivém
+
Tímto způsobem lze získat dosti dobrou aproximaci vlnových \fc í částic pohybujících se v~odpudivém
 
elektrostatickém poli ostatních.
 
elektrostatickém poli ostatních.
  
Řádka 230: Řádka 240:
 
\special{src: 406 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
\special{src: 406 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
  
Vlnovou \fc i atomového obalu Z proměnných $\vex_j$ pak dostaneme např. jako Slaterův determinant \rf{slaterd}),
+
Vlnovou \fc i atomového obalu Z~proměnných $\vex_j$ pak dostaneme např.~jako Slaterův determinant \rf{slaterd},
 
kde $\alpha_j=(n_j,l_j,m_j,\pm\half)$, neboť elektrony mají spin 1/2 a jsou tedy fermiony.
 
kde $\alpha_j=(n_j,l_j,m_j,\pm\half)$, neboť elektrony mají spin 1/2 a jsou tedy fermiony.
  
Řádka 240: Řádka 250:
 
\special{src: 415 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
\special{src: 415 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
  
Vzhledem k tomu, že energie jednočásticových stavů \rf{ejnl}) nezávisí na projekci spinu ani magnetickém
+
Vzhledem k~tomu, že energie jednočásticových stavů \rf{ejnl} nezávisí na projekci spinu ani magnetickém
 
kvantovém čísle $m$ má  každá hladina $E_{n,l}$ degeneraci $2(2l+1)$. Jednočásticové stavy se stejným $n_j$ a
 
kvantovém čísle $m$ má  každá hladina $E_{n,l}$ degeneraci $2(2l+1)$. Jednočásticové stavy se stejným $n_j$ a
$l_j$ tvoří tzv. {\em slupky atomu}. Z Pauliho principu plyne, že {\em žádná energetická slupka nemůže být
+
$l_j$ tvoří tzv.~\emph{slupky atomu}. Z~Pauliho principu plyne, že \emph{žádná energetická slupka nemůže být
 
obsazena víc než $2(2l+1)$ elektrony}.
 
obsazena víc než $2(2l+1)$ elektrony}.
  
 
\special{src: 420 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
\special{src: 420 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
  
Pro atomy v základním stavu jsou obsazeny všechny nejnižší jednoelektronové hladiny. Je zřejmé, že energie
+
Pro atomy v~základním stavu jsou obsazeny všechny nejnižší jednoelektronové hladiny. Je zřejmé, že energie
 
spočítané Hartreeho metodou nelze vyjádřit vzorcem, nicméně se ukazuje, že pořadí nejnižších hladin téměř
 
spočítané Hartreeho metodou nelze vyjádřit vzorcem, nicméně se ukazuje, že pořadí nejnižších hladin téměř
 
nezávisí na atomovém čísle. Platí \[
 
nezávisí na atomovém čísle. Platí \[
E_{10}<<E_{20}<E_{21}<<E_{30}<E_{31}<<(E_{40},E_{32})<E_{41}<<(E_{50},E_{42})<E_{51}<<\ldots \] Energie uvedené
+
E_{10}<<E_{20}<E_{21}<<E_{30}<E_{31}<<(E_{40},E_{32})<E_{41}<<(E_{50},E_{42})<E_{51}<<\cdots \] Energie uvedené
 
v závorkách jsou velmi blízké a jejich pořadí je dáno atomovým číslem $Z$. Naopak, skupiny energií oddělené $<<$
 
v závorkách jsou velmi blízké a jejich pořadí je dáno atomovým číslem $Z$. Naopak, skupiny energií oddělené $<<$
jsou relativně velmi vzdálené. Chemické vlastnosti prvků určují elektrony s největší energií (klasicky:
+
jsou relativně velmi vzdálené. Chemické vlastnosti prvků určují elektrony s~největší energií (klasicky:
nejvzdálenější orbitou) a atomy, které v základním stavu mají "obsazené" energie stejných skupin tvoří periody
+
nejvzdálenější orbitou) a atomy, které v~základním stavu mají \uv{obsazené} energie stejných skupin tvoří periody
Mendělejevovy tabulky prvků. Je snadné se přesvědčit, že počty stavů v jednotlivých skupinách 2,8,8,18,18,...
+
Mendělejevovy tabulky prvků. Je snadné se přesvědčit, že počty stavů v~jednotlivých skupinách 2, 8, 8, 18, 18,...
odpovídají délkám period. \bc Atom uhlíku má čtyři valenční elektrony (přesvědčte se). Můžeme na něj tedy
+
odpovídají délkám period.
nahlížet jako na systém čtyř elektronů ve sféricky symetrickém poli. Jaká je pak degenerace jeho základního
+
 
stavu? \ec
+
\bc
 +
  Atom uhlíku má čtyři valenční elektrony (přesvědčte se). Můžeme na něj tedy nahlížet jako na systém čtyř elektronů ve sféricky symetrickém  
 +
  poli. Jaká je pak degenerace jeho základního stavu?
 +
\ec

Verze z 11. 9. 2011, 10:52

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02KVAN

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02KVANStefamar 18. 9. 201813:38
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůStefamar 18. 9. 201814:04
Header editovatHlavičkový souborStefamar 18. 9. 201813:39 header.tex
Kapitola0 editovatPoznámkaStefamar 18. 9. 201813:40 kapitola0.tex
Kapitola1 editovatCharakteristické rysy kvantové mechanikyStefamar 18. 9. 201813:41 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatZrod kvantové mechanikyStefamar 18. 9. 201813:42 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatStavy a pozorovatelné v kvantové mechaniceStefamar 18. 9. 201813:48 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatJednoduché kvantové systémyStefamar 18. 9. 201813:49 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatPříprava stavu kvantové částiceStefamar 18. 9. 201814:09 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatKvantová částice v centrálně symetrickém potenciáluStefamar 18. 9. 201813:57 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatZobecněné vlastní funkceStefamar 18. 9. 201813:58 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatBra-ketový formalismus a posunovací operátoryStefamar 18. 9. 201813:59 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatPředpovědi výsledků měřeníStefamar 18. 9. 201813:59 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatČasový vývoj kvantové částiceStefamar 18. 9. 201814:01 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatČástice v elektromagnetickém poli. SpinStefamar 18. 9. 201814:02 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatSystémy více částicStefamar 18. 9. 201814:03 kapitola12.tex
Kapitola13 editovatPřibližné metody výpočtu vlastních hodnot operátoruStefamar 18. 9. 201814:36 kapitola13.tex
Kapitola14 editovatPotenciálový rozptyl, tunelový jevStefamar 18. 9. 201814:05 kapitola14.tex
KapitolaA editovatLiteraturaStefamar 18. 9. 201814:06 literatura.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:blackbody.pdf blackbody.pdf
Image:s1s2.png s1s2.png
Image:s1full.png s1full.png
Image:s2full.png s2full.png
Image:wavefull.png wavefull.png
Image:ballfull.png ballfull.png
Image:roz1.pdf roz1.pdf
Image:roz2.pdf roz2.pdf
Image:fine_structure.pdf fine_structure.pdf
Image:zeeman_FS.pdf zeeman_FS.pdf
Image:tunel_prob.pdf tunel_prob.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02KVAN}
 
\section{Přibližné metody výpočtu vlastních hodnot operátoru}
 
Přesný výpočet vlastních čísel operátorů a vlastních funkcí je možné provést analytickými metodami jen u~velmi omezeného počtu fyzikálně 
zajímavých případů. Některé z~nich jsme již uvedli: energie harmonického oscilátoru, energie \cc e v~Coulombově poli, moment hybnosti. Pro 
mnohé další případy se musíme většinou uchýlit k~přibližným metodám. Jednou z~nich je tzv.~poruchová teorie, kterou popíšeme v~následujících 
podkapitolách. Její podstatou je, že operátor, jehož vlastní čísla chceme spočítat, je možno zapsat jako $\hat A + \hat B$, kde spektrum 
operátoru $\hat A$ je možno řešit přesně a operátor $\hat B$ je možno v~nějakém smyslu považovat za malou opravu --- \uv{poruchu} --- 
operátoru $\hat A$.
 
Přesněji, nechť $\hat A$ a $\hat B$ jsou samosdružené operátory. Budeme zkoumat operátor
\be \hat A + \epsilon\hat B, \ll{aeb} \ee
kde $\epsilon$ leží v~okolí nuly a vlastnosti vlastních čísel a funkcí v~závislosti na parametru $\epsilon$. Dá se očekávat (ač to obecně 
nemusí být splněno), že pro $\epsilon\rightarrow 0$ se budou vlastní čísla a funkce blížit k~odpovídajícím veličinám pro operátor $\hat A$ a 
pro $\epsilon\rightarrow 1$ za příznivých okolností též k~vlastním číslům a funkcím operátoru $\hat A +\hat B$. V některých případech, jako 
je např.~Starkův jev, který vysvětlíme níže, lze navíc proměnné $\epsilon$ dát fyzikální smysl.
 
Než přejdeme k~výsledkům poruchových metod rozeberme důsledky uvedených  předpokladů. Nechť $\lambda(\epsilon)$, $\lambda_K^{(0)}$ a 
$\psi(\epsilon)$, $\psi_K^{(0)}$ jsou vlastní čísla a vlastní funkce operátorů $\hat A+\epsilon\hat B$ a $\hat A$
\be
  (\hat A + \epsilon\hat B ) \psi(\epsilon) = \lambda(\epsilon) \psi(\epsilon), \ \ 
  \hat A\psi_K^{(0)} = \lambda_K^{(0)} \psi_K^{(0)}.
  \ll{apsilam}
\ee
Odtud snadno dostaneme
\be (\hat A -\lambda_K^{(0)})\Delta\psi_K = (\Delta\lambda_K-\epsilon\hat B)\psi(\epsilon), \ll{startpm} \ee
kde
\be \Delta\psi_K = \psi(\epsilon)-\psi_K^{(0)},\ \ \Delta\lambda_K = \lambda(\epsilon)-\lambda_K^{(0)}. \ee
Vynásobíme-li skalárně rovnost \rf{startpm} funkcí $\psi_J^{(0)}$, využijeme samosdruženost operátoru $\hat A$ a druhou rovnost 
v~\rf{apsilam}, dostaneme
\be
  (\lambda_J^{(0)}-\lambda_K^{(0)})(\psi_J^{(0)},\Delta\psi_K) 
    = \Delta\lambda_K(\psi_J^{(0)},\psi(\epsilon))-\epsilon(\psi_J^{(0)},\hat B\psi(\epsilon)).
  \ll{dpsieps}
\ee
Pro $J=K$ odtud plyne
\be \Delta\lambda_K(\psi_K^{(0)},\psi(\epsilon)) = \epsilon(\psi_K^{(0)},\hat B\psi(\epsilon)). \ll{dlameps} \ee
Tyto dvě rovnice představují výchozí bod pro aplikaci poruchového počtu. Jako první rozebereme případ, kdy operátor $\hat A$ má čistě bodové 
spektrum a všechna vlastní čísla jsou navzájem různá.
 
 
 
 
\subsection{Poruchová teorie pro nedegenerované čistě bodové spektrum}
 
Nechť operátor $\hat A$ má čistě bodové spektrum s~navzájem různými vlastními čísly $\lambda_k^{(0)}$. Odpovídající vlastní funkce označme 
$\psi_k^{(0)}$. Předpokládejme dále, že v~okolí nuly lze vlastní čísla i vlastní funkce operátoru $\hat A + \epsilon\hat B$ napsat jako 
nekonečnou řadu v~proměnné $\epsilon$ s~nenulovým poloměrem konvergence. Neboť pro $\epsilon=0$ operátor $\hat A +\epsilon\hat B$ přejde na 
$\hat A$, lze očekávat, že 
\be \lambda(\epsilon) = \lambda_k^{(0)}+\epsilon\lambda_k^{(1)}+ \epsilon^2\lambda_k^{(2)}+\cdots \ll{lamep} \ee
\be \psi(\epsilon) = \psi_k^{(0)}+\epsilon\psi_k^{(1)}+ \epsilon^2\psi_k^{(2)}+\cdots \ll{psiep} \ee
Ideální by bylo, kdybychom uměli vypočítat všechny koeficienty řad \rf{lamep} a \rf{psiep} a odtud usoudit na konvergenci či dokonce provést 
součet. V~praxi se nám obvykle podaří vypočítat pouze několik nejnižších členů, jejichž příspěvky však často překvapivě dobře odpovídají 
experimentálně naměřeným hodnotám fyzikálních pozorovatelných. Vzorce pro výpočet koeficientů lze odvodit dosazením \rf{lamep} a \rf{psiep} do 
\rf{dpsieps} a \rf{dlameps}. Porovnáním členů u~první mocniny $\epsilon$ v~\rf{dlameps} zjistíme, že první oprava vlastního čísla je střední 
hodnota operátoru $\hat B$ ve stavu $\psi_k^{(0)}$
\be \lambda_k^{(1)} = \mean{\hat B}{\psi_k^{(0)}}. \ll{1oprvlc} \ee
Porovnáním členů u~první mocniny $\epsilon$ v~\rf{dpsieps} dostaneme
\be
  (\psi_j^{(0)},\psi_k^{(1)}) = \frac{ (\psi_j^{(0)},\hat B \psi_k^{(0)}) }{ \lambda_k^{(0)}-\lambda_j^{(0)} }, \ \ j \neq k, \ll{1oprvlf} \ee
odkud plyne, že první oprava vlastní \fc e $\psi(\epsilon)$ tedy je
\be
  \psi_k^{(1)} 
    = \gamma \psi_k^{(0)} 
    + \sum_{j\neq k}\frac{(\psi_j^{(0)},\hat B \psi_k^{(0)})}{(\lambda_k^{(0)}-\lambda_j^{(0)})(\psi_j^{(0)},\psi_j^{(0)})} \psi_j^{(0)},
  \ll{1oprvlfce}
\ee
kde
$\gamma$ je libovolná konstanta, kterou můžeme použít například pro normalizaci vlastní funkce $\psi(\epsilon)$.
 
Opravu vlastního čísla do druhého řádu v~$\epsilon$ vypočteme porovnáním členů \rf{dlameps} u~druhé mocniny $\epsilon$
\be \lambda_k^{(2)} = \frac{(\psi_k^{(0)},(\hat B -\lambda_k^{(1)}) \psi_k^{(1)})}
{(\psi_k^{(0)},\psi_k^{(0)})}=\sum_{j\neq k}\frac{|(\psi_j^{(0)},\hat B \psi_k^{(0)})|^2}
{(\lambda_k^{(0)}-\lambda_j^{(0)})(\psi_k^{(0)},\psi_k^{(0)})(\psi_j^{(0)},\psi_j^{(0)})}, \ll{2oprvlc}\ee přičemž v~druhém rovnítku jsme
použili vztahy \rf{1oprvlc}, \rf{1oprvlfce}.
 
Analogickými operacemi bychom mohli dostat vzorce pro další opravy vlastních čísel a vlastních \fc í. Bohužel
formule jsou pak již tak komplikované, že pro většinu případů jsou prakticky nepoužitelné. Použijeme-li však
dodatečnou normovací podmínku (ze které m.j. plyne $\gamma=0$)
\be (\psi(\epsilon),\psi_k^{(0)})=1\ \Leftrightarrow\ (\Delta\psi(\epsilon),\psi_k^{(0)})=0, \ee
tyto formule se podstatně zjednoduší. Porovnáním členů \rf{dlameps} a \rf{dpsieps} u~s-té mocniny
$\epsilon$ pak dostaneme relativně jednoduché rekurentní relace
\begin{equation}\label{oprvlcvlf1}
\lambda_k^{(s)}=\frac{(\psi_k^{(0)},\hat B\psi_k^{(s-1)})}{(\psi_k^{(0)},\psi_k^{(0)})}
\end{equation}
\begin{equation}\label{oprvlcvlf2}
\psi_k^{(s)}=\sum_{j\neq k}\frac{(\psi_j^{(0)},\hat B\psi_k^{(s-1)})-
\sum_{r=1}^{s-1}\lambda_k^{(r)}(\psi_j^{(0)},\psi_k^{(s-r)})}{\lambda_k^{(0)}-\lambda_j^{(0)}}\psi_j^{(0)},
\end{equation}
které nám umožní počítat opravy vlastních čísel i vlastních funkcí do libovolně vysokého řádu $\epsilon$.
 
\bc
  Poruchovou metodou spočítejte energie do druhého řádu jednorozměrné \qv é \cc e  na kterou působí síla $M \omega^2 x+F$
  (harmonický oscilátor v~homogenním poli).
\ec
 
\bc
  Poruchovou metodou spočítejte energie do druhého řádu jednorozměrné \qv é \cc e v~potenciálu
  \[ V(x)=\half M \omega^2 x^2 + \alpha x^3 + \beta x^4. \]
  (Anharmonický oscilátor.)
\ec
 
\subsection{Poruchová teorie pro vícenásobná vlastní čísla}
V~předchozí kapitole jsme využili faktu, že ke každému vlastnímu číslu existovala právě jedna vlastní \fc e. Nyní ukážeme jak postupovat 
pro \textbf{konečněnásobná} vlastní čísla $\lambda_k^{(0)}$ operátoru $\hat A$, tedy v~případě, kdy vlastní \fc e příslušné k~číslu 
$\lambda_k^{(0)}$ tvoří lineární podprostor dimenze $N>1$. Nechť $\{f_{k,i}\}_{i=1}^N$ je ortonomální baze v~prostoru vlastních \fc í 
operátoru $\hat A$ příslušných k~vlastnímu číslu operátoru $\lambda_k^{(0)}$.
 
Zaměníme-li operátor $\hat A$ operátorem $\hat A+\epsilon\hat B$, pak se v~obecném případě změní i vlastní čísla a jejich násobnost. Opět 
budeme předpokládat, že v~okolí nuly lze vlastní čísla i vlastní funkce operátoru $\hat A +\epsilon\hat B$ napsat jako nekonečnou řadu 
v~proměnné $\epsilon$ s~nenulovým poloměrem konvergence, takže vlastní čísla operátoru $\hat A+\epsilon\hat B$, která pro 
$\epsilon\rightarrow 0$ konvergují k~$\lambda_{k}^{(0)}$, lze zapsat jako
\be \lambda_{k,n}(\epsilon) = \lambda_{k}^{(0)}+\epsilon\lambda_{k,n}^{(1)}+\epsilon^2\lambda_{k,n}^{(2)}+\cdots, \ll{lamepdg} \ee
a
\be \psi_{k,n}(\epsilon) = \psi_{k,n}^{(0)}+\epsilon\psi_{k,n}^{(1)}+ \epsilon^2\psi_{k,n}^{(2)}+\cdots, \ll{psiepdg} \ee
kde $ \ n=1,\ldots,N$.
 
Funkce $\psi_{k,n}^{(0)} = \lim_{\epsilon\rightarrow 0}\psi_{k,n}(\epsilon)$, na rozdíl od případu nedegenerovaného
spektra, nejsou určeny řešením úlohy pro vlastní čísla a \fc e operátoru $\hat A$. Víme pouze, že jsou jistou
lineární kombinací \fc í $f_{k,i}$ \be \psi_{k,n}^{(0)}=\sum_{i=1}^N a_{kn,i}f_{k,i}. \ll{psipresf}\ee %
Musíme tedy napřed určit \fc e $\psi_{k,n}^{(0)}$. Dosadíme opět řady \rf{lamepdg}, \rf{psiepdg} do úlohy pro
vlastní čísla \be (\hat A+\epsilon\hat B)\psi_{k,n}= \lambda_{k,n}\psi_{k,n} \ee a porovnáme členy úměrné první
mocnině $\epsilon$. Dostaneme \be \hat A \psi_{k,n}^{(1)}+\hat B
\psi_{k,n}^{(0)}=\lambda_{k,n}^{(0)}\psi_{k,n}^{(1)}+ \lambda_{k,n}^{(1)}\psi_{k,n}^{(0)}. \ll{1raddg}\ee
Vynásobíme-li tuto rovnost skalárně zprava \fc í $f_{k,j}$, použijeme samosdruženost $\hat A$ a toho, že
$f_{k,j}$ je vlastní \fc í operátoru $\hat A$, dostaneme \be (f_{k,j},\hat B \psi_{k,n}^{(0)}) =
\lambda_{k,n}^{(1)}(f_{k,j},\psi_{k,n}^{(0)}). \ee Dosadíme-li sem \rf{psipresf} a využijeme ortonormálnost
\fc í $f_{k,j}$, pak můžeme tuto rovnost přepsat způsobem \be \sum_{i=1}^N
B_{ji}a_{kn,i}=\lambda_{k,n}^{(1)}a_{kn,j},\ll{matvlc}\ee což je úloha pro vlastní čísla matice \be
B_{ji}:=(f_{k,j},\hat B f_{k,i}),\ i,j=1,\ldots,N. \ee První opravy vlastních čísel  $\lambda_{k,n}^{(1)}$ pak
dostaneme z~řešení úlohy \rf{matvlc}, tedy jako kořeny sekulární rovnice
\be \det(B_{ji}-\lambda_{k,n}^{(1)}\delta_{ji})=0. \ll{sekub}\ee
Řešením úlohy \rf{matvlc} pak dostaneme též koeficienty $a_{kn,i}$, které určují \uv{nultou opravu} $\psi_{k,n}^{(0)}$ vlastních funkcí 
$\psi_{k,n}(\epsilon)$. Výpočet dalších oprav je opět dosti komplikovaný a příslušné vzorce zde nebudeme uvádět.
 
\subsubsection{Starkův jev na vodíku}
Starkovým jevem nazýváme rozštěpení spektrálních čar atomu vlivem homogenního elektrostatického pole. Elektron v~atomu vodíku v~homogenním 
elektrostatickém poli $\vec {\cal E}$ můžeme popsat hamiltoniánem
\be \hat H = -\frac{\hbar^2}{2M}\triangle- \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r}+e\vec {\cal E}\vec x. \ee
Pro slabé elektrické pole tj.~$\frac{e}{4\pi\epsilon_0 a^2} \gg |\vec{\cal E}|$, kde $a$ je Bohrův poloměr atomu vodíku, je možno poslední
člen považovat za malou opravu předchozí části hamiltoniánu $\hat H_0$ popisující atom vodíku bez přítomnosti vnějšího elektrického pole. 
Jeho vlastní čísla i vlastní funkce známe z~podkapitoly \ref{podkap:coulomb}. Víme, že vlastní čísla (kromě nejnižší energie) jsou 
degenerovaná, takže musíme použít poruchovou metodu pro degenerované spektrum.
 
Bez újmy na obecnosti (neporušený hamiltonián je isotropní), můžeme předpokládat, že $\vec{\cal E}=(0,0,\epsilon)$. Oprava $\epsilon\hat B$ 
hamiltoniánu $\hat H_0$ je $e \epsilon\,\hat X_3=e\epsilon\,r\cos\theta\cdot$ a zajímá nás změna $k$-té energetické hladiny vodíku 
$E_k=-R/k^2$ v~závislosti na síle elektrického pole $\epsilon$.
 
Vlastní funkce $\psi_{k,l,m}$ příslušné k~$E_k$ jsou vyjádřeny vzorcem \rf{nlmcoul}, kde $N=k$. Matice $B_{ji}$, jejíž vlastní hodnoty, 
představují první opravy energie má v~tomto případě elementy
\[ B_{ji} \equiv B_{lm,l'm'} = e (\psi_{klm},r\cos\theta\,\psi_{kl'm'}) = \]
\be = e \int R_{kl}^*(r)R_{kl'}(r)r^3dr \int Y_{lm}^*(\theta,\phi)\cos\theta\, Y_{l'm'}(\theta,\phi)d\Omega. \ll{starkmatel} \ee
Druhý integrál je roven (viz např.~\cite[G.29]{for:ukt})
\be
  \int Y_{lm}^*(\theta,\phi)\cos\theta\, Y_{l'm'}(\theta,\phi)d\Omega 
    = \delta_{mm'} \left( \delta_{l,l'+1}\sqrt{\frac{l^2-m^2}{4l^2-1}}+\delta_{l+1,l'}\sqrt{\frac{l'^2-m^2}{4l'^2-1}} \right), \ll{YzzY}
\ee
takže maticové elementy jsou nenulové pouze pro $m=m'$ a $l'=l \pm 1$. Výpočet prvního integrálu v~\rf{starkmatel} je obecně dosti složitý 
a proto se omezíme na výpočet prvních oprav základní a první excitované hladiny. Pro nejnižší energii $k=1$ je $l=l'=0$ a 
$(\psi_{100},r\cos\theta\psi_{100})=0$, takže základní hladina se do prvního řádu v~$\epsilon$ nezmění. Pro první excitovanou hladinu je 
$k=2$ a $l,l'=0,1$. Jediné nenulové elementy $B_{ji}$ v~důsledku \rf{YzzY} jsou
\be e (\psi_{210},r\cos\theta\,\psi_{200}) = e (\psi_{200},r\cos\theta\,\psi_{210})^*=-3ea. \ee
Matice $B_{ij}$ v~tomto případě má tvar
\be B = \left( \begin{array}{cccc} 0&0&-3ea&0\\0&0&0&0\\-3ea&0&0&0\\0&0&0&0 \end{array} \right), \ee
a kořeny sekulární rovnice \rf{sekub} jsou $0,0,3ea,-3ea$. Znamená to, že první excitovaná hladina vodíku, která je čtyřnásobně degenerovaná, 
se ve slabém vnějším elektrickém poli rozštěpí na tři s hodnotami $-3,4$ eV a $-3,4$eV $\pm 3 ea\epsilon$, kde $e$ je náboj elektronu, $a$ 
je Bohrův poloměr vodíku $a=0,53\times10^{-8}$ cm a $\epsilon$ je hodnota intenzity vnějšího elektrického pole. Původní hladina $-3,4$eV 
zůstane degenerovaná i v~elektrickém poli, avšak pouze dvakrát --- její vlastní funkce tvoří dvourozměrný prostor lineárních kombinací 
$a_+\psi_{2,1,1}+a_-\psi_{2,1,-1}$, zatímco hladiny $-3,4$eV $\pm 3 ea\epsilon$ jsou již nedegenerované a odpovídají jim vlastní \fc e 
$a(\psi_{2,1,0}\mp\psi_{2,0,0})$, kde $\psi_{2,1,0},\psi_{2,0,0}$ jsou normalizované k~jedničce. Všimněme si, že šířka rozštěpení je úměrná 
intenzitě elektrického pole. Podobně se rozštěpí i vyšší excitované hladiny. Toto experimentálně pozorované rozštěpení hladin se nazývá 
(lineární) Starkův jev.
 
\bc Spočítejte rozštěpení druhé excitované hladiny atomu vodíku při Starkově jevu. \ec
\bc Existuje lineární Starkův jev pro isotropní oscilátor? \ec
 
 
 
\subsection{Struktura atomu, Hartreeho metoda} %Viz
Podrobnosti k~této části viz \cite[kap.~10.6]{for:ukt}. Atomy se skládají z~kladně nabitého jádra a záporně nabitého obalu. Vzhledem 
k~rozdílu hmotností částic jádra %t.j. protonů a neutronů a obalu %t.j. elektronů je možno různé stavy atomů s~dobrou
aproximací popisovat jako stavy soustavy záporně nabitých \cc{} --- elektronů --- pohybujících se v~potenciálovém
poli jádra.
 
\special{src: 352 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Zabývejme se tedy atomem s~atomovým číslem $Z$. Hamiltonián systému $Z$ elektronů elektrostaticky interagujících
s jádrem a mezi sebou je \be \hat H=-\frac{\hbar^2}{2m_e}\sum_{j=1}^Z\triangle_j -
\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_{j=1}^Z \frac{Ze^2}{ |\vex_j|} +\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_{j<k}
\frac{e^2}{|\vex_j-\vex_k|}. \ll{hamatob}\ee
 
\special{src: 360 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
\bc Spočítejte prouchovou metodou energii základního stavu helia, považujeme-li poslední člen v~\rf{hamatob}
za poruchu. \ec Přesné nalezení vlastních (Z-částicových) stavů hamiltoniánu \rf{hamatob} je prakticky
nemožné. Ukazuje se však, že  stavy atomu a jeho energie je možné popsat pomocí antisymetrických kombinací
jednočásticových vlnových \fc í v~poli sféricky symetrického potenciálu. Jeho tvar lze dostat tzv.~Hartreeho
metodou self-konzistentního pole, kterou nyní popíšeme.
 
\special{src: 366 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Předpokládejme, že jsou známy polohy všech elektronů obalu atomu kromě j-tého. Hamiltonián j-tého elektronu pak
má tvar \be \hat H_j=-\frac{\hbar^2}{2m_e}\triangle_j - \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Ze^2}{ |\vex_j|}
+\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_{j\neq k}^Z \frac{e^2}{|\vex_j-\vex_k|}, \ll{hamatj}\ee kde $\vex_k,\ k\neq j$
jsou parametry hamiltoniánu. Tento předpoklad však bohužel není splněn, neboť polohy všech elektronů jsou
kvantově mechanické pozorovatelné a informace o jejich okamžité hodnotě je ukryta ve vlnových \fc ích.
Modifikujeme-li tedy náš předpoklad tak, že známe vlnové \fc e $\phi_k,\ k\neq j$, pak můžeme hamiltonián
\rf{hamatj} nahradit \ha nem \be \hat H_j=-\frac{\hbar^2}{2m_e}\triangle_j -
\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Ze^2}{ |\vex_j|} +\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_{j\neq k}^Z
\int_{R^3}\frac{|\phi_k(\vex_k)|^2e^2}{|\vex_j-\vex_k|}d^3x_k. \ll{hamatj2}\ee Problém je v~tom, že funkce
$\phi_k$ neznáme stejně jako $\phi_j$. Mohli bychom se nicméně pokusit řešit soustavu rovnic \be \hat
H_j\phi_j=E_j\phi_j ,\ j=1,\ldots,Z \ee pro funkce $\phi_j$. Avšak díky přítomnosti $\phi_k,\ k\neq j$ v
\rf{hamatj2} se opět jedná o prakticky neřešitelný (dokonce nelineární) problém.
 
\special{src: 384 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Hartreeho metoda spočívá v~iteračním postupu, kde na začátku jsou zvoleny jednočásticové funkce $\phi_k^0$,
které splňují některé základní fyzikální požadavky na očekávaný tvar řešení. Ty jsou v~prvním kroku dosazeny do
\ha nu \rf{hamatj2}, přičemž je respektován Pauliho princip, že každý stav může být obsazen maximálně jedním
elektronem, a (obvykle numerickou metodou) vypočítány energie $E^1_j$ a funkce $\phi_j^1$, které splňují \be
\hat H_j^0\phi_j^1=E_j^1\phi_j^1. \ee Funkce $\phi_j^1$se opět dosadí do \ha nu \rf{hamatj2} a tento postup se
opakuje tak dlouho až  $\phi_j^{n+1}\approx\phi_j^n$ a $E_j^{n+1}\approx E_j^n$, takže \be \hat
H_j^n\phi_j^{n}=E_j^n\phi_j^{n}. \ee
 
\special{src: 391 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Mimo to se obvykle  při podobných výpočtech používá přiblížení sféricky symetrického pole, kdy se poslední člen
\rf{hamatj2} vystředuje přes prostorové úhly, tzn.~nahradí se členem \be
V_{int}(r_j)=\frac{1}{(4\pi)^2\epsilon_0}\int_{\Omega}\sin\theta_j d\theta_j d\varphi_j\sum_{j\neq k}^Z
\int_{R^3}\frac{|\phi_k(\vex_k)|^2e^2}{|\vex_j-\vex_k|}d^3x_k. \ll{hamatj3}\ee Díky sférické symetrii takto
zkonstruovaného \ha nu pak lze hledat vlastní \fc e energie ve tvaru \be
\phi_j(\vex)=R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta,\varphi) \ee a vlastní čísla nezávisí na $m$. \be E_j=E_{nl} \ll{ejnl}\ee
Tímto způsobem lze získat dosti dobrou aproximaci vlnových \fc í částic pohybujících se v~odpudivém
elektrostatickém poli ostatních.
 
\special{src: 403 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
 
\special{src: 406 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Vlnovou \fc i atomového obalu Z~proměnných $\vex_j$ pak dostaneme např.~jako Slaterův determinant \rf{slaterd},
kde $\alpha_j=(n_j,l_j,m_j,\pm\half)$, neboť elektrony mají spin 1/2 a jsou tedy fermiony.
 
\special{src: 410 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Celková vnitřní energie atomu ve výše uvedené aproximaci je součtem energií jednotlivých elektronů obalu \be
E_{atom}=\sum_{j=1}^Z E_{n_j,l_j}.\ee
 
\special{src: 415 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Vzhledem k~tomu, že energie jednočásticových stavů \rf{ejnl} nezávisí na projekci spinu ani magnetickém
kvantovém čísle $m$ má  každá hladina $E_{n,l}$ degeneraci $2(2l+1)$. Jednočásticové stavy se stejným $n_j$ a
$l_j$ tvoří tzv.~\emph{slupky atomu}. Z~Pauliho principu plyne, že \emph{žádná energetická slupka nemůže být
obsazena víc než $2(2l+1)$ elektrony}.
 
\special{src: 420 SYSVICC.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
 
Pro atomy v~základním stavu jsou obsazeny všechny nejnižší jednoelektronové hladiny. Je zřejmé, že energie
spočítané Hartreeho metodou nelze vyjádřit vzorcem, nicméně se ukazuje, že pořadí nejnižších hladin téměř
nezávisí na atomovém čísle. Platí \[
E_{10}<<E_{20}<E_{21}<<E_{30}<E_{31}<<(E_{40},E_{32})<E_{41}<<(E_{50},E_{42})<E_{51}<<\cdots \] Energie uvedené
v závorkách jsou velmi blízké a jejich pořadí je dáno atomovým číslem $Z$. Naopak, skupiny energií oddělené $<<$
jsou relativně velmi vzdálené. Chemické vlastnosti prvků určují elektrony s~největší energií (klasicky:
nejvzdálenější orbitou) a atomy, které v~základním stavu mají \uv{obsazené} energie stejných skupin tvoří periody
Mendělejevovy tabulky prvků. Je snadné se přesvědčit, že počty stavů v~jednotlivých skupinách 2, 8, 8, 18, 18,...
odpovídají délkám period.
 
\bc
  Atom uhlíku má čtyři valenční elektrony (přesvědčte se). Můžeme na něj tedy nahlížet jako na systém čtyř elektronů ve sféricky symetrickém 
  poli. Jaká je pak degenerace jeho základního stavu?
\ec