|
|
Řádka 1: |
Řádka 1: |
− | \wikiskriptum{02KVAN} | + | %\wikiskriptum{02KVAN} |
− | | + | |
− | Základní úlohou všech odvětví teoretické fyziky (mechaniky, elektřiny a
| + | |
− | magnetismu, termodynamiky, ...) je popis {\em množiny stavů a
| + | |
− | určení časového
| + | |
− | vývoje} fyzikálních systémů. Jinými slovy to znamená určení
| + | |
− | měřitelných veličin tzv. {\em pozorovatelných},
| + | |
− | %-- {\em dynamických proměnných},
| + | |
− | které jsou pro zkoumaný systém relevantní, a
| + | |
− | předpovězení vývoje jejich hodnot.
| + | |
− | % parametrů, které jsme pro daný systém schopni změřit.
| + | |
− | Jejich příkladem je poloha, hybnost, energie,
| + | |
− | elektrická a magnetická intenzita, teplota, objem atd.
| + | |
− | | + | |
− | \special{src: 13 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
| + | |
− | | + | |
− | {\small Klasická fyzika popisuje pozorovatelné jako funkce na prostoru
| + | |
− | stavů. Jejich hodnoty pro daný stav jsou přesně určeny
| + | |
− | %tzv. jež jsou funkcemi času, případně místa
| + | |
− | a fyzikální zákony určující
| + | |
− | jejich časový vývoj jsou popsány diferenciálními rovnicemi.
| + | |
− | Tímto způsobem lze popsat širokou třídu jevů, ve kterých
| + | |
− | interagují jak hmotné objekty, tak fyzikální pole či záření.
| + | |
− | Rozsah těchto jevů je tak velký, že na konci minulého století se
| + | |
− | zdálo, že vývoj fyziky je ukončen, že známe všechny
| + | |
− | fyzikální zákony. Bohužel či bohudík se ukázalo, že to není
| + | |
− | pravda, a že klasická fyzika nedokáže bezesporně popsat
| + | |
− | některé jevy, ke kterým dochází v důsledku interakcí na atomární
| + | |
− | úrovni.}
| + | |
− | \bc Popište jednorozměrný harmonický oscilátor Hamiltonovskou
| + | |
− | formulací klasické mechaniky. Napište a vyřešte pohybové rovnice.
| + | |
− | Napište rovnici pro fázové trajektorie. Hodnotou jaké fyzikální
| + | |
− | veličiny jsou určeny?
| + | |
− | \ec
| + | |
− | | + | |
− | \special{src: 34 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
| + | |
− | | + | |
− | Základní
| + | |
− | fyzikální objekty -- {\bf hmota a záření} --
| + | |
− | jsou v klasické fyzice {\bf popsány zcela odlišným
| + | |
− | způsobem}. Hmotné objekty jsou lokalizované a řídí se Newtonovými
| + | |
− | pohybovými rovnicemi, zatímco záření je nelokalizované a řídí se
| + | |
− | Maxwellovými polními rovnicemi. Dochází u něj k vlnovým
| + | |
− | jevům např. interferenci a ohybu.
| + | |
− | | + | |
− | \special{src: 44 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
| + | |
− | | + | |
− | V makrosvětě je toto rozlišení plně oprávněné a odlišný způsob
| + | |
− | popisu kvalitativně různých objektů zcela logický.
| + | |
− | Pokusy prováděné počátkem tohoto století však ukázaly, že pro
| + | |
− | popis objektů v mikrosvětě jsou původní představy neadekvátní,
| + | |
− | ba dokonce vedou k předpovědím které jsou v rozporu s
| + | |
− | pozorováními.
| + | |
− | | + | |
− | \special{src: 53 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
| + | |
− | | + | |
− | {\small Příkladem takového rozporu je Rutherfordův planetární model atomu,
| + | |
− | který předpokládá, že záporně nabité elektrony obíhají
| + | |
− | okolo kladně nabitého jádra podobně jako planety okolo Slunce.
| + | |
− | Podle této představy
| + | |
− | jsou elektrony klasické, elektricky
| + | |
− | nabité (na rozdíl od planet!) částice.
| + | |
− | Problém je však v tom, že z teorie elektromagnetického pole pak vyplývá, že by při pohybu
| + | |
− | po zakřivené dráze měly produkovat elektromagnetické záření na úkor své vlastní
| + | |
− | mechanické energie.}
| + | |
− | | + | |
− | \special{src: 65 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
| + | |
− | | + | |
− | Předpovědí klasické teorie tedy je, že atomy by
| + | |
− | měly produkovat záření se spojitým spektrem energií a měly by mít
| + | |
− | konečnou, dokonce velmi krátkou (cca $10^{-10}$ sec)
| + | |
− | dobu života.
| + | |
− | Obě tyto předpovědi jsou v rozporu s pozorováním. Smířit tento
| + | |
− | rozpor teorie a experimentu se podařilo až kvantové mechanice za
| + | |
− | cenu opuštění některých zdánlivě přirozených představ, v tomto
| + | |
− | případě elektronu jako částice pohybující se po nějaké dráze.
| + | |
− | \begin{cvi}Spočtěte charakteristickou dobu života elektronu v
| + | |
− | atomu vodíku pokud jej považujeme za klasickou částici
| + | |
− | pohybující se po kruhové dráze o (Bohrově) poloměru
| + | |
− | $a\approx 10^{-10}$ m. (viz \cite{sto:tf}, příklad 9.52)
| + | |
− | \end{cvi}
| + | |
− | | + | |
− | \special{src: 81 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
| + | |
− | | + | |
− | K dalším klasicky nevysvětlitelným jevům, jež stály u zrodu \qv é
| + | |
− | mechaniky patří Planckova formule pro záření černého tělesa,
| + | |
− | %vyzařovací zákon,
| + | |
− | fotoefekt a Comptonův rozptyl elektronů, které popíšeme v
| + | |
− | příštích podkapitolách.
| + | |
− | Ukáže se, že pro jejich vysvětlení se budeme muset vzdát i
| + | |
− | představy o čistě vlnové povaze elektromagnetického záření.
| + | |
− | | + | |
− | \special{src: 91 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
| + | |
− | | + | |
− | \subsection{Planckův vyzařovací zákon}
| + | |
− | | + | |
− | \special{src: 95 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
| + | |
− | | + | |
− | Jedním z problémů klasické %termodynamiky
| + | |
− | fyziky je popsat spektrální rozdělení intenzity záření
| + | |
− | %závislost hustoty energie záření $\rho(\nu,T)$
| + | |
− | tzv. absolutně černého tělesa, přesněji její závislost
| + | |
− | na frekvenci záření a teplotě tělesa.
| + | |
− | | + | |
− | \special{src: 103 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
| + | |
− | | + | |
− | {\em Absolutně černé těleso}, tzn. těleso které neodráží žádné vnější
| + | |
− | záření, lze realizovat otvorem v dutině, jejíž vnější stěny jsou vodivé a jsou
| + | |
− | ohřáty na jistou teplotu $T$. Takto zahřátá dutina vyzařuje elektromagnetické
| + | |
− | záření, jehož experimentálně změřené spektrální rozdělení
| + | |
− | %rozdělovací funkce tj. závislost intenzity záření na frekvenci a teplotě
| + | |
− | je v rozporu s klasickým popisem tohoto jevu.
| + | |
− | %\subsubsection{Klasický popis záření černého tělesa,
| + | |
− | %Rayleigh--Jeansův zákon}
| + | |
− | | + | |
− | \special{src: 114 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
| + | |
− | | + | |
− | Oscilací atomů stěn dutiny zahřáté na teplotu $T$ se v dutině
| + | |
− | vytváří elektromagnetické pole (viz \cite{sto:tf} Kap.8), jež je zdrojem záření černého
| + | |
− | tělesa.
| + | |
− | Jeho složky $\vec E(\vec x,t), \vec B(\vec x,t)$
| + | |
− | musí splňovat Maxwellovy--Lorentzovy rovnice beze zdrojů
| + | |
− | %tj. s nulovou pravou stranou %splňujícím
| + | |
− | \be {\rm div} \vec{E}=0,\ \ \ {\rm rot} \vec B - \frac{1}{c^2} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}=0. \ll{ml1} \ee
| + | |
− | \be {\rm div} \vec{B}=0,\ \ \ {\rm rot} \vec E + \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}=0. \ll{ml2}\ee
| + | |
− | a okrajové podmínky, které vyžadují, aby
| + | |
− | tečné složky elektrického a normálové složky magnetického pole
| + | |
− | byly na
| + | |
− | stěnách dutiny nulové (viz např. \cite{sto:tf} U9.1 a \cite{uhl:uvaf} I.2), tj.
| + | |
− | \be \vec{N}\cdot\vec{H}=0,\ \ \ \vec N\times \vec E=0, \ll{podnast}\ee
| + | |
− | kde
| + | |
− | $\vec N$ je jednotkový vektor směřující ve směru normály ke stěně
| + | |
− | dutiny. Jako první krok odvození Planckova zákona ukážeme, že takovéto pole je ekvivalentní
| + | |
− | systému neinteragujících harmonických oscilátorů.
| + | |
− | | + | |
− | Nechť $\vec E,\vec B$ vyhovují podmínkám \rf{ml1})--\rf{podnast}). Z II. serie Maxwellových --Lorentzových rovnic plyne, že elektromagnetické pole lze popsat čtveřicí potenciálů $(\phi(\vex,t),\vec A(\vex,t))$ způsobem
| + | |
− | \be \vec E = -{\rm grad}\ \phi' -\frac{\partial \vec{A'}}{\partial t},\ \ \vec B = {\rm rot}\ \vec{A'}.\ee
| + | |
− | Pro Maxwellovy rovnice beze zdrojů lze kalibrační transformací
| + | |
− | dosáhnout toho, že elektromagnetické
| + | |
− | potenciály $(\phi,\vec{A})$ splňují $\phi=0,\ div\vec{A}=0$ a
| + | |
− | okrajové podmínky $\vec N\times\vec A=0$ na stěnách dutiny.
| + | |
− | | + | |
− | \special{src: 143 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
| + | |
− | | + | |
− | Kalibrační transformace
| + | |
− | \be \phi(\vec x,t)=\phi'(\vec x,t)-%\frac{1}{c}
| + | |
− | \frac{\partial\lambda}{\partial t}(\vec x,t)\ee
| + | |
− | \be \vec A(\vec x,t)=\vec A'(\vec x,t)+grad\ \lambda(\vec x,t), \ee
| + | |
− | která zaručí splnění výše uvedených podmínek, je dána funkcí
| + | |
− | $\lambda$, která splňuje rovnice
| + | |
− | \be \frac{\partial \lambda}{\partial t}=\phi' \ee
| + | |
− | \be %\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\lambda
| + | |
− | \triangle \lambda=-div \vec A' \ee
| + | |
− | spolu s okrajovými podmínkami na stěnách
| + | |
− | \be \vec N\times grad\ \lambda=-\vec N\times\vec A'.\ee
| + | |
− | Fakt, že všechny tyto podmínky lze splnit dostatečně hladkou \fc í $\lambda$ je zaručen rovnicí ${\rm div} \vec{E}=0$ a požadavky na tečné a
| + | |
− | normálové složky intenzit na stěnách dutiny.
| + | |
− | | + | |
− | \special{src: 159 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
| + | |
− | | + | |
− | Předpokládejme dále, že dutina má tvar krychle o hraně $L$.
| + | |
− | Rozložíme složky vektorového potenciálu do
| + | |
− | trojné Fourierovy řady (viz např. \cite{uhl:uvaf}).
| + | |
− | | + | |
− | \special{src: 165 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
| + | |
− | | + | |
− | \be {A}_1(\vec x,t)=\sum_{\vec m \in {\bf Z}_+^3} Q_1(\vec{m},t)
| + | |
− | \cos(m_1x_1\pi/L)\sin(m_2x_2\pi/L)\sin(m_3x_3\pi/L)
| + | |
− | \ll{Four1}\ee
| + | |
− | \be {A}_2(\vec x,t)=\sum_{\vec m \in {\bf Z}_+^3} Q_2(\vec{m},t)
| + | |
− | \sin(m_1x_1\pi/L)\cos(m_2x_2\pi/L)\sin(m_3x_3\pi/L)
| + | |
− | \ll{Four2}\ee
| + | |
− | \be {A}_3(\vec x,t)=\sum_{\vec m \in {\bf Z}_+^3} Q_3(\vec{m},t)
| + | |
− | \sin(m_1x_1\pi/L)\sin(m_2x_2\pi/L)\cos(m_3x_3\pi/L)
| + | |
− | \ll{Four3}\ee
| + | |
− | %f_i(\vec{m},\vec{x}),
| + | |
− | %kde $f_i$ jsou vhodně vybrané funkce (viz
| + | |
− | Důvod pro tento specální výběr Fourierova rozvoje je následující: Okrajové podmínky
| + | |
− | $\vec N\times\vec A=0$ na stěnách krychle implikují
| + | |
− | \[ A_1(x_1,x_2,0,t)=0,\ A_1(x_1,0,x_3,t)=0 \]
| + | |
− | takže funkci $A_1$, lze rozšířit na interval $<-L,L>\times
| + | |
− | <-L,L>\times<-L,L>$ jako spojitou funkci lichou v proměnných $x_2,x_3$. O
| + | |
− | hodnotách $A_1(0,x_2,x_3)$ žádnou informaci nemáme, můžeme ji
| + | |
− | nicméně prodloužit sudě v $x_1$. Fourierův rozklad liché spojité
| + | |
− | funkce na intervalu $<-L,L>$ lze provést pomocí funkcí $\sin
| + | |
− | mx\pi/L$, zatímco rozklad sudé funkce pomocí funkcí $\cos
| + | |
− | mx\pi/L$. Odtud plyne možnost rozkladu \rf{Four1}). Důležité je,
| + | |
− | že podmínka
| + | |
− | \[ A_1(x_1,x_2,L,t)=0,\ A_1(x_1,L,x_3,t)=0 \]
| + | |
− | už neklade na koeficienty rozvoje žádné dodatečné omezení na rozdíl
| + | |
− | od případu, kdybychom užili jiné typy rozvojů, např. pomocí funkcí $\cos
| + | |
− | mx\pi/L$ pro sudá rozšíření $A_1$ v $x_2,x_3$.
| + | |
− | Stejnou
| + | |
− | argumentací dostaneme rozklady funkcí $A_2,A_3$ způsobem
| + | |
− | \rf{Four2},\ref{Four3}).
| + | |
− | | + | |
− | \special{src: 197 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
| + | |
− | | + | |
− | Z rovnic pro potenciály ve vybrané kalibraci
| + | |
− | \be \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}A_i-\triangle
| + | |
− | A_i=0, \ll{vlnrce}\ee
| + | |
− | které dostaneme z \rf{ml1}), pak plyne, že koeficienty
| + | |
− | $\vec Q_{\vec{m}}(t)\equiv \vec Q(\vec m,t)$ pro $ \vec m \in {\bf
| + | |
− | Z}_+^3$ (trojice celých nezáporných čísel)
| + | |
− | splňují jednoduché
| + | |
− | \rc e
| + | |
− | \be \ddot{\vec{Q}}_{\vec m}+\omega_{\vec m}^2\vec {Q}_{\vec m} = 0
| + | |
− | \ll{rceHO}\ee
| + | |
− | kde
| + | |
− | \be \omega_{\vec m}=\frac{\pi c}{L}\sqrt{m_1^2+m_2^2+m_3^2} \ll{omgm} \ee
| + | |
− | a $c$ je rychlost světla.
| + | |
− | | + | |
− | \special{src: 213 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
| + | |
− | | + | |
− | Kalibrační podmínka $div \vec A=0$ přejde na tvar
| + | |
− | \be \vec m\cdot\vec Q_{\vec m}=0 \ll{kalpod}\ee
| + | |
− | ze kterého plyne, že pro každé $\vec m\in\integer_+^3$
| + | |
− | existují dvě lineárně nezávislé funkce
| + | |
− | $Q^\alpha_{\vec m}(t),\ \alpha=1,2$ splňující \rf{rceHO},\ref{kalpod}), což odpovídá dvěma polarizacím elektromagnetického záření.
| + | |
− | \bc
| + | |
− | Ze vzorců \rf{Four1})--\rf{Four3}) odvoďte formule pro složky elektrického a magnetického pole $\vec E(\vec x,t), \vec B(\vec x,t)$.
| + | |
− | \ec
| + | |
− | | + | |
− | \special{src: 224 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
| + | |
− | | + | |
− | Energie elektromagnetického pole
| + | |
− | \[ {\cal E}= \frac{1}{2}\int(\epsilon_0\vec E^2+\frac{1}{\mu_0}\vec B^2)dV \]
| + | |
− | po dosazení \rf{Four1})--\rf{Four3}) a integraci přejde na tvar
| + | |
− | \be {\cal E} = \frac{\epsilon_0 L^3}{16}\sum_{\vec m \in {\bf
| + | |
− | Z}_+^3}\sum_{\alpha=1,2}(\dot{{Q^\alpha}}_{\vec m}^2+\omega_{\vec m}^2 {Q^\alpha}_{\vec
| + | |
− | m}^2).
| + | |
− | %=\sum_{\vec m \in {\bf Z}_+^3}\sum_{\alpha=1,2}{E^\alpha_{\vec m}}.
| + | |
− | %= \sum energií\ harmonických\ oscilátorů
| + | |
− | \ll{ergempole}\ee
| + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | Z rovnic \rf{rceHO},\ref{ergempole}) vidíme, že {elektromagnetické pole v uzavřené
| + | |
− | dutině je ekvivalentní soustavě nezávislých
| + | |
− | harmonických oscilátorů} (stojatých vln)
| + | |
− | číslovaných vektory $\vec m \in {\bf Z}_+^3$.
| + | |
− | % s frekvencemi \rf{omgm}).
| + | |
− | | + | |
− | Elektromagnetické intenzity nejsou plně určeny, neboť nejsou dány
| + | |
− | žádné počáteční podmínky a není tedy ani možno určit energii elektromagnetického pole
| + | |
− | ani energie jednotlivých harmonických oscilátorů v sumě (\ref{ergempole}).
| + | |
− | Na druhé straně však víme, že elektromagnetické pole je v termodynamické rovnováze
| + | |
− | se stěnami dutiny o teplotě $T$ a lze jej tedy
| + | |
− | popsat metodami statistické fyziky.
| + | |
− | Z tohoto hlediska je možno na {\em elektromagnetické pole v dutině pohlížet jako na soubor
| + | |
− | oscilátorů, přičemž
| + | |
− | každý z nich
| + | |
− | může interakcí s termostatem nabývat různých
| + | |
− | energií}. Pravděpodobnost výskytu oscilátoru ve stavu $s$ s energií ${\epsilon}(s)$ je dána
| + | |
− | Boltzmannovou statistikou s rozdělovací funkcí.
| + | |
− | \be P(s,T)= A(T)\ e^{-\frac{\epsilon (s)}{kT} }
| + | |
− | %=\prod_{\vec m,\alpha} P^\alpha_{\vec m},\ \ P^\alpha_{\vec m}\propto e^{-{E^\alpha_{\vec m}}/(kT) },
| + | |
− | \ll{boltzman}\ee
| + | |
− | kde $k$ je Boltzmannova konstanta $k=1.38\times 10^{-23}J/grad$ a $A(T)$ je normalizační konstanta daná podmínkou
| + | |
− | \[ \sum_s P(s,T)=1.\] Nás budou zajímat střední hodnoty energií oscilátorů
| + | |
− | s vlastními frekvencemi
| + | |
− | $\nu = \omega_{\vec{m}}/(2\pi)=c|\vec{m}|/(2L)$
| + | |
− | $$\overline{\epsilon(\nu,T)}=\sum_s \epsilon(s)P(s,T),$$
| + | |
− | neboť energii elektromagnetických vln, jejichž frekvence leží v
| + | |
− | intervalu $<\nu,\nu+d\nu>$, pak lze spočítat jako součet středních
| + | |
− | energií
| + | |
− | oscilátorů s frekvencemi v témže intervalu.
| + | |
− | | + | |
− | Jednotlivé oscilátory jsou číslovány celočíselnými vektory $\vec m$ a směrem polarizace $\alpha$.
| + | |
− | Přiřadíme-li každé dvojici oscilátorů s pevným $\vec m$ bod v ${\bf Z}_+^3$, pak v důsledku \rf{omgm})
| + | |
− | množina oscilátorů s
| + | |
− | frekvencemi v intervalu $<\nu,\nu+d\nu>$ leží v jednom oktantu
| + | |
− | kulové
| + | |
− | slupky poloměru $\frac{2L\nu}{c}$ a tloušťky $\frac{2L}{c}d\nu$ v prostoru
| + | |
− | vektorů v ${\bf Z}^3$. Energie oscilátorů s frekvencemi v intervalu $<\nu,\nu+d\nu>$
| + | |
− | je pak rovna součtu energií (\ref{ergempole}) avšak pouze přes body v této slupce, tedy
| + | |
− | %\be n(\nu)=2\,\frac{1}{8}\left(\frac{2L}{c}\right)^3 4\pi \nu^2 d\nu=V\frac{8\pi}{c^3} \nu^2 d\nu, \ll{pocetstavu}\ee
| + | |
− | \be d\bar{\cal E}=2\,\frac{1}{8}\overline{\epsilon(\nu,T)}\, 4\pi m^2 dm
| + | |
− | =\overline{\epsilon(\nu,T)}\,\left(\frac{2L}{c}\right)^3 \pi \nu^2 d\nu=
| + | |
− | V\,\overline{\epsilon(\nu,T)}\,\frac{8\pi}{c^3} \nu^2 d\nu, \ll{pocetstavu}\ee
| + | |
− | kde $V$ je objem dutiny a $c$ je rychlost světla.
| + | |
− | Hustota energie oscilátorů (elektromagnetického pole)
| + | |
− | s danou frekvencí tedy je
| + | |
− | \be \rho(\nu,T)
| + | |
− | =\overline{\epsilon(\nu,T)}\,\frac{8\pi}{c^3}\nu^2 .
| + | |
− | \ll{spechus1}\ee
| + | |
− | | + | |
− | {\small Předpokládáme-li, že se jedná o klasické oscilátory, jejichž energie může nabývat libovolných
| + | |
− | kladných hodnot $E(q,p)=\alpha p^2 +
| + | |
− | \beta q^2$ %, což odpovídá klasickým představám
| + | |
− | a rozdělovací funkce
| + | |
− | %tohoto podsouboru je
| + | |
− | souboru stavů oscilátoru daných hybností $p$ a polohou $q$ je
| + | |
− | \[ P(q,p)= A\ e^{-\frac{E(q,p)}{kT} }, \]
| + | |
− | pak střední hodnota oscilátorů je nezávislá na $\nu$
| + | |
− | \be \overline{\epsilon(\nu,T)}=kT \ll{sthoden} \ee
| + | |
− | a energie pole v dutině připadající na interval frekvencí $<\nu,
| + | |
− | \nu+d\nu>$ je
| + | |
− | \[ \rho(\nu,T)d\nu= \frac{8\pi}{c^3} \nu^2 kT d\nu \]
| + | |
− | (Rayleigh--Jeansova formule).
| + | |
− | Tato rozdělovací funkce
| + | |
− | %Toto záření absolutně černého tělesa
| + | |
− | však neodpovídá experimentálním hodnotám pro
| + | |
− | velké frekvence $\nu$. Navíc celková hustota energie elektromagnetického pole
| + | |
− | \be \epsilon=\int_0^\infty \rho(\nu,T)d\nu \ll {heemp}\ee
| + | |
− | diverguje.
| + | |
− | }
| + | |
− | \bc Odvoďte formuli \rf{sthoden}).\ec
| + | |
− | | + | |
− | \special{src: 317 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
| + | |
− | | + | |
− | Experimentálně naměřené hodnoty spektrálního rozdělení hustoty
| + | |
− | energie dobře popisuje
| + | |
− | funkce navržená M. Planckem ve tvaru
| + | |
− | \be \fbox{\LARGE$
| + | |
− | \rho(\nu,T)=
| + | |
− | \frac{8\pi}{c^3}\frac{h\nu^3}{e^{\frac{h\nu}{kT}}-1}
| + | |
− | $}\ ,\ll{planck}\ee
| + | |
− | kde
| + | |
− | experimentálně určená hodnota konstanty $h = 6.62\times
| + | |
− | 10^{-34}$ Js. (Viz obr.1)
| + | |
− | \begin {figure}[hbtp]
| + | |
− | % \begin{center}
| + | |
− | \hskip 2cm\special{em:graph s_planck.gif} \vskip 5cm
| + | |
− | \caption
| + | |
− | {Spektrální rozdělení hustoty energie absolutně
| + | |
− | černého tělesa pro teploty 900 K, 1100 K, 1300K, 1500 K}
| + | |
− | \end{figure}
| + | |
− | \bc Napište rovnice určující polohu maxima Planckovy rozdělovací
| + | |
− | funkce při dané teplotě. Jak se mění poloha maxima s teplotou
| + | |
− | (Wienův posunovací zákon)?
| + | |
− | \ec
| + | |
− | \bc Určete přibližně teplotu, při níž se spektrální rozdělení
| + | |
− | hustoty energie záření černého tělesa spočtené na základě
| + | |
− | Rayleighova -- Jeansova zákona liší ve viditelné oblasti od
| + | |
− | veličiny měřené o 5 procent.
| + | |
− | Jak velký je tento rozdíl v oblasti
| + | |
− | maxima $\rho$ při této teplotě? Závisí poměr této odchylky na
| + | |
− | teplotě?
| + | |
− | \ec
| + | |
− | \bc Napište rozdělovací funkci hustoty záření černého tělesa
| + | |
− | podle vlnových délek. Napište rovnici určující její maximum pro
| + | |
− | danou teplotu.
| + | |
− | \ec
| + | |
− | K odvození rozdělovací funkce \rf{planck})
| + | |
− | je třeba učinit následující podivný
| + | |
− | předpoklad (Max Planck, 1900):
| + | |
− | | + | |
− | \special{src: 356 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
| + | |
− | | + | |
− | Harmonické oscilátory, jejichž soubor je z energetického hlediska
| + | |
− | ekvivalentní %(viz \rf{ergempole}) )
| + | |
− | elektromagnetickému poli v
| + | |
− | dutině, {\em nemohou nabývat libovolných hodnot energie, ale pouze
| + | |
− | takových, které jsou %se liší o
| + | |
− | celým násobkem základního kvanta energie $\epsilon_0$, tzn.
| + | |
− | $E_n=n\epsilon_0$.
| + | |
− | Základní kvantum energie oscilátoru je úměrné jeho frekvenci.}
| + | |
− | \[ \epsilon_0=\epsilon_0(\nu)=h\nu. \]
| + | |
− | | + | |
− | \special{src: 368 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
| + | |
− | | + | |
− | Stavy harmonického oscilátoru jsou tedy číslovány kladnými celými čísly $n$
| + | |
− | a rozdělovací funkce stavů oscilátoru s
| + | |
− | frekvencí $\nu$ a energií $E_n$ je
| + | |
− | \[ P_n= A^{-1}e^{-\frac{n h\nu}{kT}}. \]
| + | |
− | Hodnotu konstanty $A$ dostaneme z normovací podmínky $\sum_{n=0}^\infty
| + | |
− | P_n=1$. Sečtením geometrické řady
| + | |
− | \[ A=\sum_{n=0}^\infty e^{-\frac{n
| + | |
− | h\nu}{kT}}=1/[1-e^{-\frac{h\nu}{kT}}]. \]
| + | |
− | | + | |
− | \special{src: 379 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
| + | |
− | | + | |
− | Střední hodnota energie harmonických oscilátorů s frekvencí
| + | |
− | $\nu$ je pak
| + | |
− | \[ \overline{\epsilon(\nu,T)}=\sum_{n=0}^\infty nh\nu P_n
| + | |
− | = A^{-1}\sum_{n=0}^\infty nh\nu e^{-\frac{n h\nu}{kT}} =
| + | |
− | A^{-1}[-\frac{\partial A}{\partial(\frac{1}{kt})}]=
| + | |
− | \frac{h\nu}{e^\frac{h\nu}{kT}-1}. \]
| + | |
− | Energii elektromagnetického pole v dutině připadající na interval frekvencí $<\nu,
| + | |
− | \nu+d\nu>$ pak opět spočítáme jako součin (\ref{pocetstavu}) střední hodnoty
| + | |
− | energie oscilátorů s frekvencí $\nu$ a počtu oscilátorů s frekvencemi uvnitř
| + | |
− | daného intervalu, z čehož dostaneme Planckovu formuli
| + | |
− | \rf{planck}).
| + | |
− | | + | |
− | \special{src: 393 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
| + | |
− | | + | |
− | Celková hustota energie elektromagnetického pole \rf{heemp}) spočítaná z takto
| + | |
− | určené rozdělovací funkce nediverguje a její teplotní závislost
| + | |
− | odpovídá Stefan--Boltzmannovu zákonu.
| + | |
− | \[
| + | |
− | \epsilon(T)=
| + | |
− | \frac{8\pi}{c^3}h\int_0^\infty\frac{\nu^3}
| + | |
− | {e^\frac{h\nu}{kT}-1}d\nu
| + | |
− | =\frac{8\pi}{c^3}\frac{k^4 T^4}{h^3}\int_0^\infty
| + | |
− | \frac{x^3}{e^x-1}dx=\kappa T^4, \]
| + | |
− | kde
| + | |
− | \[ \kappa=\frac{8\pi k^4}{c^3h^3}\frac{\pi^4 }{15}. \]
| + | |
− | | + | |
− | \special{src: 407 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
| + | |
− | | + | |
− | {\bf Závěr}: Rozdělovací funkci záření absolutně černého tělesa
| + | |
− | lze odvodit pomocí předpokladu, že {\em energie harmonického
| + | |
− | oscilátoru s frekvencí $\nu$ může nabývat pouze diskretních
| + | |
− | hodnot $E_n=nh\nu$}, kde $h$ je univerzální konstanta.
| + | |
− | %jejíž experimentálně určená hodnota je $h = 6.62\times 10^{-27}$ erg s.
| + | |
− | | + | |
− | \special{src: 415 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
| + | |
− | | + | |
− | Uvědomme si, že jakkoliv je tento předpoklad zvláštní, není v rozporu s naší zkušeností,
| + | |
− | neboť díky velikosti Planckovy konstanty $h$ jsou nespojitosti energií $h\nu$ i pro velmi rychlé mechanické
| + | |
− | oscilátory
| + | |
− | hluboko pod mezí pozorovacích chyb.
| + | |
− | | + | |
− | \special{src: 422 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
| + | |
− | | + | |
− | Existenci diskretních hodnot energie se podařilo prokázat i u atomů (konkrétně rtuti) v serii pokusů Francka a Hertze v letech 1914--1919 (viz \cite{uhl:uvaf}).
| + | |
− | \subsection{Fotoefekt}
| + | |
− | Potvrzením Planckovy hypotézy o kvantovém charakteru energie
| + | |
− | elektromagnetického pole bylo i
| + | |
− | Einsteinovo vysvětlení fotoefektu -- emise
| + | |
− | elektronů stimulované světelným zářením, pozorované poprvé Lenardem v
| + | |
− | roce 1903.
| + | |
− | | + | |
− | \special{src: 432 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
| + | |
− | | + | |
− | Popišme tento experiment v pozdějším uspořádání, které provedl
| + | |
− | Milikan v roce 1916 (viz obr.2). Na fotokatodu zapojenou do elektrického obvodu
| + | |
− | dopadá monochromatické světlo s frekvencí $\nu$, která se
| + | |
− | postupně mění. Světlo produkuje elektrický proud. Zdroj
| + | |
− | stejnosměrného napětí je zapojen tak, že vytváří elektrické pole,
| + | |
− | které vrací
| + | |
− | elektrony emitované světelným zářením zpět.
| + | |
− | \begin{figure}[hbtp]
| + | |
− | %%\input{fotoefkt.pic}
| + | |
− | \caption{Milikanovo zapojení pro měření fotoefektu}
| + | |
− | \end{figure}
| + | |
− | | + | |
− | \special{src: 446 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
| + | |
− | | + | |
− | Při jisté velikosti napětí $U_s=U_s(\nu)$ proud přestane
| + | |
− | procházet. Experimentálně zjištěná závislost napětí $U_s$ na frekvenci světelného záření
| + | |
− | je lineární.
| + | |
− | \[U_s=\frac{h}{e}(\nu-\nu_0)\]
| + | |
− | | + | |
− | \special{src: 453 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
| + | |
− | | + | |
− | Einsteinovo vysvětlení faktu, že od jisté frekvence níže nejsou
| + | |
− | fotokatodou emitovány žádné elektrony (neprochází proud), spočívá v
| + | |
− | tom, že v procesu emise elektronu působí vždy pouze určité celistvé kvantum
| + | |
− | záření -- foton, jehož energie je ve shodě s Planckovou hypotézou
| + | |
− | úměrná frekvenci $E=h\nu$. ("...the energy of a light ... consists of a finite number of energy quanta ... each of which moves wtihout dividing and can only be absorbed and emitted as a whole.") Kinetická energie emitovaného
| + | |
− | elektronu je
| + | |
− | \be E_{kin}=eU_s(\nu)=h(\nu-\nu_0)=E_{foton}-E_{ion}.
| + | |
− | \ll{ekine}\ee
| + | |
− | | + | |
− | \special{src: 464 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
| + | |
− | | + | |
− | Pro frekvence nižší než $\nu_0=E_{ion}/h$, kde $E_{ion}$ je
| + | |
− | ionizační energie materiálu fotokatody, k emisi elektronů nedochází ani při
| + | |
− | zvětšování intenzity záření (tím se pouze zvětšuje počet neúspěšných
| + | |
− | pokusů překonat ionizační bariéru), zatímco pro $\nu >\nu_0$
| + | |
− | získávají elektrony energii \rf{ekine}).
| + | |
− | Konstanta úměrnosti $h$, změřená z fotoefektu se shodovala s
| + | |
− | konstantou určenou ze záření černého tělesa.
| + | |
− | | + | |
− | \special{src: 474 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
| + | |
− | | + | |
− | {\bf Závěr:} Existují {\em kvanta světelného záření -- fotony},
| + | |
− | která působí v
| + | |
− | elementárním procesu uvolňujícím jeden elektron. Energie jednoho
| + | |
− | fotonu je $h\nu$ kde $\nu$ je frekvence odpovídajícího záření a
| + | |
− | $h$ je konstanta určená z Planckova vyzařovacího zákona.
| + | |
− | \bc
| + | |
− | Kolik fotonů za vteřinu emituje stowattová sodíková výbojka
| + | |
− | mající 30 procentní světelnou účinnost? Kolik z nich se dostane do oka
| + | |
− | pozorovatele ve vzdálenosti 10 km? (Poloměr čočky oka je asi 5 mm.)
| + | |
− | %Kolik fotonů emituje anténa vysílače o výkonu 1 W vysílající
| + | |
− | %na krátkých vlnách 30 m?
| + | |
− | \ec
| + | |
− | \subsection{Comptonův rozptyl}
| + | |
− | | + | |
− | \special{src: 490 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
| + | |
− | | + | |
− | V roce 1923 provedl A.H. Compton pokus, který měl odhalit, zda se
| + | |
− | kvanta elektromagnetického záření chovají jako částice, tzn. zda vedle
| + | |
− | energie mají též definovanou hybnost. V tomto pokusu byl měřen
| + | |
− | rozptyl elektromagnetického (rentgenového) záření na grafitu, v jehož krystalické
| + | |
− | mříži jsou elektrony relativně volné.
| + | |
− | | + | |
− | \special{src: 498 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
| + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | \special{src: 501 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
| + | |
− | | + | |
− | {\small Podle klasické teorie je elektromagnetické záření pohlcováno látkou a pak opět
| + | |
− | vyzářeno. Přitom dochází k předání hybnosti látce (tj. všem elektronům současně), což se interpretuje jako tzv. tlak
| + | |
− | světla. V klidové soustavě elektronu pak dojde k emisi záření
| + | |
− | se stejnou vlnovou délkou a nulovou střední hybností.
| + | |
− | V laboratorní soustavě, ve které mají elektrony hybnost $\vec P_e$ a
| + | |
− | energii $E_e$, pak pozorujeme podle Dopplerova principu
| + | |
− | změnu vlnové délky záření
| + | |
− | \be
| + | |
− | (\Delta\lambda)_{klas}=\lambda_0\frac{cP_e}{E_e-cP_e}
| + | |
− | (1-cos\Theta),
| + | |
− | \ll{compclas}\ee
| + | |
− | kde $\lambda_0$ je délka dopadající vlny,
| + | |
− | $\Theta$ je úhel, pod kterým pozorujeme emitované záření,
| + | |
− | $E_e,P_e$
| + | |
− | jsou velikost energie a hybnosti elektronu, které s délkou ozařování rostou.
| + | |
− | }
| + | |
− | | + | |
− | \special{src: 520 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
| + | |
− | | + | |
− | Podívejme se jak bude tento jev %proces %podobná formule
| + | |
− | probíhat, pokud se fotony na atomární úrovni
| + | |
− | chovají jako částice s danou energií a hybností (viz
| + | |
− | Obr.\ref{fig:compton}).
| + | |
− | \begin{figure}
| + | |
− | %%\input{compton1.pic}
| + | |
− | \caption{Rozptyl elektromagnetického záření na elektronu}\ll{fig:compton}
| + | |
− | \end{figure}
| + | |
− | V tom případě je třeba elementární proces rozptylu záření
| + | |
− | popsat jako srážku dvou částic, fotonu a elektronu ("... when an X-ray quantum is scattered it spends all of its energy and momentum upon some particular electron."),
| + | |
− | při které se celková energie a hybnost zachovává.
| + | |
− | \be \epsilon_{\nu_0}+m_ec^2=\epsilon_{\nu}+ E_e
| + | |
− | \ll{zachovanienergie} \ee
| + | |
− | \be \vec p_{\nu_0}+0=\vec p_{\nu}+\vec p_{e},\ll{zachovani hybnosti} \ee
| + | |
− | kde
| + | |
− | \[ \vec p_e=\frac{m_e\vec v_e}{\sqrt{1-v_e^2/c^2}},\ \
| + | |
− | E_e=\frac{m_ec^2}{\sqrt{1-v_e^2/c^2}},\]
| + | |
− | \[ \epsilon_\nu=h\nu,\ \ |\vec p_\nu|=h\nu/c=h/\lambda \]
| + | |
− | a $v_e$ je rychlost odraženého elektronu.
| + | |
− | Ze zákona zachování hybnosti plyne
| + | |
− | \[ (\vec p_{\nu_0}-\vec p_{\nu})^2=
| + | |
− | \frac{\hbar^2}{c^2}(\nu^2+\nu_0^2-2\nu\nu_0\cos\Theta)=\]
| + | |
− | \[ {\vec p_e}{}^2=\frac{m_e^2v_e^2}{1-v_e^2/c^2}=E_e^2/c^2-m_e^2c^2. \]
| + | |
− | Použijeme-li ještě zákon zachování energie,
| + | |
− | pak algebraickými úpravami dostaneme
| + | |
− | \be \lambda-\lambda_0 = \frac{h}{m_ec}(1-\cos \Theta),
| + | |
− | \ll{compton2}\ee
| + | |
− | což je vzorec pro vlnovou délku emitovaného záření v závislosti
| + | |
− | na úhlu emise pro počáteční nulovou hybnost elektronu.
| + | |
− | Veličina
| + | |
− | $\frac{\hbar}{m_ec}$ se často nazývá {\em Comptonova
| + | |
− | vlnová délka elektronu}. Její hodnota je $2.4\times 10^{-12}m$.
| + | |
− | | + | |
− | \special{src: 555 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
| + | |
− | | + | |
− | Předpokládáme-li, že opakovaným rozptylem EM záření získaly elektrony hybnost rovnoběžnou se směrem dopadajícího záření
| + | |
− | velikosti $P_e$, pak vzorec pro Comptonovský rozptyl se změní na
| + | |
− | \be \lambda-\lambda_0=
| + | |
− | \frac{(\lambda_0 P_e+h)c}{\sqrt{m_e^2c^4+P_e^2c^2}-P_ec}(1-\cos
| + | |
− | \Theta).
| + | |
− | \ll{compton}\ee
| + | |
− | Pro $P_e\gg h/\lambda$ dostáváme klasickou formuli
| + | |
− | \rf{compclas}).
| + | |
− | Comptonovy vzorce \rf{compton}) resp. \rf{compton2})
| + | |
− | se však experimentálně potvrdily
| + | |
− | i pro krátkovlné rentgenovské záření.
| + | |
− | | + | |
− | \special{src: 569 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
| + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | \special{src: 572 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
| + | |
− | | + | |
− | {\bf Závěr:} Kvanta světelného či obecněji elektromagnetického záření mají nejen definovanou
| + | |
− | energii, ale i hybnost, jejíž velikost je nepřímo úměrná vlnové
| + | |
− | délce záření $|\vec p| = h/\lambda$.
| + | |
− | \bc Určete hybnost fotonů viditelného světla a R\"ontgenova
| + | |
− | záření.
| + | |
− | \ec
| + | |
− | \bc Jakou vlnovou délku má elektromagnetické záření, jehož
| + | |
− | zdrojem je elektron -- pozitronová anihilace
| + | |
− | \[ e^+ + e^- \rightarrow \gamma + \gamma \]
| + | |
− | v klidu?
| + | |
− | \ec
| + | |
− | | + | |
− | \special{src: 586 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
| + | |
− | | + | |
− | \subsection{Shrnutí}
| + | |
− | | + | |
− | \special{src: 590 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
| + | |
− | | + | |
− | Z výše uvedných vysvětlení experimentálních fakt
| + | |
− | %v předchozích podkapitolách
| + | |
− | plyne, že v mikrosvětě, tj. při zkoumání atomárních jevů:
| + | |
− | \begin{enumerate}
| + | |
− | \item
| + | |
− | Existují fyzikální objekty -- kvanta, kvantové částice --
| + | |
− | %Ztrácí se rozdíl mezi hmotnými objekty a zářením.
| + | |
− | mající jak vlnový tak částicový charakter.
| + | |
− | % a chová se podobně jako soubor částic.
| + | |
− | % a hmotné objekty přestávají mít čistě částicový charakter.
| + | |
− | \item
| + | |
− | Množiny hodnot některých fyzikálních veličin, např. energie či
| + | |
− | momentu hybnosti, mohou být diskrétní tzn. tyto veličiny se mohou
| + | |
− | měnit pouze o konečné přírustky.
| + | |
− | %nabývají než se očekávalo
| + | |
− | \end{enumerate}
| + | |
− | Tato podivuhodná experimentální fakta se nepodařilo vysvětlit metodami klasické fyziky, ale bylo nutno vybudovat novou fyzikální teorii a použít nové matematické struktury a techniky. To vedlo
| + | |
− | ke zrodu \qv é teorie, která se obecně zabývá širokou třídou mikroskopických
| + | |
− | fyzikálních systémů.
| + | |
− | | + | |
− | \special{src: 612 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
| + | |
− | | + | |
− | Z pedagogických důvodů začneme její výklad popisem
| + | |
− | jedné kvantové částice bez vazeb,
| + | |
− | jejímž typickým reprezentantem je například elektron.
| + | |
− | Při studiu kvantové teorie je třeba mít na mysli, že jako u každé fyzikální teorie {\bf se nejedná o odvození
| + | |
− | %Slovo "odvodíme" v minulém odstavci je přitom třeba chápatnikoliv
| + | |
− | ve smyslu, na který jsme zvyklí z matematiky, nýbrž o
| + | |
− | sérii rozumných návrhů a předpokladů vedoucích k předpovědím, %konstrukci,
| + | |
− | jejichž správnost musí prověřit experimenty.}
| + | |
− | Ostatně, klasickou mechaniku Newton také neodvodil, nýbrž
| + | |
− | postuloval.
| + | |
− | %další vývoj její správnost prověřil do té
| + | |
− | %%míry, že na počátku tohoto století byla považována za
| + | |
− | %neotřesitelné dogma.jí nyní považujeme
| + | |
− | %a uvěřitelných
| + | |
− | \subsection{De Broglieova hypotéza a \sv a \rc e}
| + | |
− | %\input{debrogli.sub}
| + | |
− | %Strategicko--pedagogický plán této kapitoly je následující:
| + | |
− | %Z \db ovy hypotézy odvodíme \sv u rovnici pro volnou částici a
| + | |
− | %postulujeme její zobecnění pro částici v silovém poli. Poté z
| + | |
− | %matematické formy \sv y \rc e a pravděpodobnostní interpretace %jejích
| + | |
− | %řešení odvodíme strukturu stavového prostoru.
| + | |
− | %Pro popis kvantových stavů z
| + | |
− | %Zavedeme pojem pozorovatelných, jejich spektra a
| + | |
− | %kompatibility a tyto pojmy pak využijeme k popisu
| + | |
− | %kvantově--mechanického stavu a fyzikálním předpovědím.
| + | |
− | | + | |
− | \special{src: 640 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
| + | |
− | | + | |
− | Z vysvětlení experimentálních fakt v předchozích kapitolách
| + | |
− | plyne, že při zkoumání atomárních jevů
| + | |
− | záření přestává
| + | |
− | mít čistě vlnový charakter a chová se v některých aspektech jako
| + | |
− | soubor částic.
| + | |
− | Zdá se tedy užitečné zavést nový fyzikální pojem -- kvantové \cc e -- popisující fyzikální objekty vyskytující se na atomárních a nižších úrovních.
| + | |
− | | + | |
− | \special{src: 649 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
| + | |
− | | + | |
− | Pod vlivem poznatků o duálním částicově--vlnovém charakteru
| + | |
− | světla
| + | |
− | De Broglie v roce 1923 usoudil, že tento %částicově--vlnový
| + | |
− | dualismus je vlastností všech mikroskopických
| + | |
− | objektů a že nejen elektromagnetické záření, ale i hmotné objekty (např.
| + | |
− | elektrony) se mohou chovat buď jako vlna nebo jako částice,
| + | |
− | podle toho jaké jevy, v nichž se účastní, zkoumáme.
| + | |
− | Vyslovil hypotézu, že {\em pro popis jevů na atomární
| + | |
− | úrovni je třeba přiřadit volným
| + | |
− | kvantovým částicím s hybností $\vec p$ a energií $E$ -- nikoliv bod fázového prostoru nýbrž rovinou monochromatickou vlnu $\psi_{\vec p,E}$,
| + | |
− | jejíž frekvence je (stejně jako pro foton)
| + | |
− | úměrná energii a jejíž vlnová délka je nepřímo úměrná hybnosti
| + | |
− | částice, přesněji funkci}
| + | |
− | \be\mbox{\Large $
| + | |
− | \psi_{\vec p,E}(\vec{x},t) = A
| + | |
− | e^{\frac{i}{\hbar}(\vec{p}\vec{x}- Et) } $},
| + | |
− | \ll{dbvlna}\ee
| + | |
− | kde $A$ je zatím neurčená konstanta a $\hbar:=h/2\pi=1.054 572\times10^{-34}$ Js.
| + | |
− | | + | |
− | \special{src: 670 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
| + | |
− | | + | |
− | Abychom plně docenili hloubku a smělost této hypotézy,
| + | |
− | %vynikne zejména tehdy,
| + | |
− | je třeba si uvědomit, že
| + | |
− | v té době nebyly známy žádné pokusy dokazující vlnové vlastnosti
| + | |
− | hmotných \cc{} jako je ohyb, či interference. Ty se objevily až o
| + | |
− | několik let později, při zkoumání rozptylu elektronů na
| + | |
− | krystalech.
| + | |
− | \bc Určete vlnovou délku a frekvenci \db ovy vlny pro molekulu
| + | |
− | kyslíku ve vzduchu vašeho pokoje a pro částici o hmotnosti 10
| + | |
− | $\mu$g pohybující se rychlostí zvuku.
| + | |
− | \ec
| + | |
− | \bc Podle \db ovy hypotézy určete ohyb způsobený průletem tenisového míčku ($m=0.1$ kg) obdélníkovitým otvorem ve zdi o rozměrech $1\times 1.5$ m.
| + | |
− | \ec
| + | |
− | \bc Na jakou rychlost je třeba urychlit elektrony aby bylo možno pozorovat jejich difrakci na krystalové mříži s charakteristickou vzdáleností atomů 0.1 nm?
| + | |
− | \ec
| + | |
− | | + | |
− | \special{src: 688 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
| + | |
− | | + | |
− | Je-li vztah mezi hybností kvanta a jeho energií %\db ovy vlny je
| + | |
− | stejný jako u
| + | |
− | klasické volné částice $E=\vec{p}^2/2m$ %pro nerelativistický případ či
| + | |
− | (případně $E=\sqrt{\vec{p}^2c^2+m^2c^4}$ pro kvantum pohybující se rychlostí
| + | |
− | blízkou rychlosti světla), pak to znamená že \db ova vlna
| + | |
− | %pro hmotnou částici
| + | |
− | nesplňuje vlnovou rovnici \rf{vlnrce}), která plyne z teorie elektromagnetického
| + | |
− | pole. Otázkou tedy je, zda a jakou rovnici splňuje.
| + | |
− | Tuto \rc i našel v roce 1925 E. Schr\"{o}dinger a nese jeho jméno.
| + | |
− | %\input{schr_rce.sub}
| + | |
− | | + | |
− | \special{src: 701 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
| + | |
− | | + | |
− | K odvození \rc e pro \db ovy vlny
| + | |
− | je nejsnazší vyjít z výše uvedených klasických vztahů mezi
| + | |
− | energií a hybností, které vlastně představují disperzní relace,
| + | |
− | a použít identity
| + | |
− | \be p_i\psi%(\vec{x},t}
| + | |
− | =-i\hbar\frac{\partial}{\partial x_i} \psi, E \psi=i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \psi \ll{imps}\ee
| + | |
− | plynoucí z popisu kvant
| + | |
− | %vztah mezi hodnotou složek hybnosti a
| + | |
− | příslušnou \db ovou vlnou.
| + | |
− | Odtud již celkem přímočaře dostaneme rovnici pro \db ovu vlnu
| + | |
− | \be \frac{\partial\psi}{\partial t}=
| + | |
− | -\frac{i}{\hbar}\sum_{i=1}^3\frac{p_i^2}{2m}\psi=
| + | |
− | -\frac{i}{2m\hbar}\sum_{i=1}^3(-\hbar^2\frac{\partial^2}{\partial
| + | |
− | x_i^2})\psi \ll{srvolna}\ee
| + | |
− | | + | |
− | \special{src: 718 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
| + | |
− | | + | |
− | E. Schr\"{o}dinger postuloval platnost rovnice
| + | |
− | \be \frac{\partial\psi}{\partial t}= -i\frac{E}{\hbar} \psi \ee
| + | |
− | i pro kvantovou
| + | |
− | částici, která se pohybuje pod vlivem sil daných potenciálovým polem
| + | |
− | $V(\vec{x})$. Diferenciální rovnice pro vlnovou funkci
| + | |
− | takovéto kvantové \cc e se obvykle
| + | |
− | píše ve tvaru
| + | |
− | \be\fbox{\LARGE $
| + | |
− | i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\triangle\psi + V(\vec{x})\psi
| + | |
− | $}\ll{sr}\ee
| + | |
− | a nazývá se {\em Schr\"{o}dingerova rovnice}. Lineární
| + | |
− | operátor na pravé straně \sv y \rc e
| + | |
− | \be \hat H = -\frac{\hbar^2}{2m}\triangle+ \hat V(\vec{x})
| + | |
− | \ll{hamiltonian} \ee
| + | |
− | se nazývá {\em hamiltonián}. (Použili jsme zde obvyklé konvence
| + | |
− | učebnic kvantové mechaniky,
| + | |
− | že symboly pro operátory jsou označeny stříškou.)
| + | |
− | | + | |
− | \special{src: 738 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
| + | |
− | | + | |
− | Řešením \sv y \rc e \rf{srvolna}) pro "volnou \qv ou částici"
| + | |
− | (což může být např.
| + | |
− | elektron pohybující se mimo elektromagnetické pole) není pouze \db ova vlna,
| + | |
− | ale i mnoho jiných funkcí čtyř proměnných.
| + | |
− | Díky linearitě \sv
| + | |
− | \rc e je řešením \rf{srvolna}) i lineární superpozice \db ových vln odpovídajících různým hybnostem
| + | |
− | \be \psi(\vec{x},t)=\int_{\real^3}\tilde\psi(\vec
| + | |
− | p)e^{\frac{i}{\hbar}(\vec p\vec x-\frac{p^2}{2m}t)}dp^3.
| + | |
− | \ll{vlnbalik}\ee
| + | |
− | %$\psi =\psi(x,t)$.
| + | |
− | %$\psi: {\bf D \->\complex,\ \ \bf D \part
| + | |
− | To je velmi důležité, neboť monochromatická vlna \rf{dbvlna}) má jenom
| + | |
− | některé vlastnosti odpovídající volné částici, totiž rovnoměrnou
| + | |
− | a přímočarou rychlost šíření, ale nedává žádnou informaci o její
| + | |
− | poloze.
| + | |
− | Chceme-li do vlnového popisu částice zahrnout i další její
| + | |
− | vlastnosti, např. lokalizovatelnost v určité části prostoru, pak musíme použít
| + | |
− | jiný typ řešení než je čistá \db ova vlna.
| + | |
− | \begin{cvi}
| + | |
− | Nechť $V(\vec x)=0$ (volná částice) a vlnová \fc e částice má v čase $t_0$ ("lokalizovaný") tvar
| + | |
− | \be g(\vec x)=C\exp[-A\vex^2+\vec B\vec x] \ll{mvb}\ee
| + | |
− | Pomocí Fourierovy
| + | |
− | transformace určete řešení \sv y
| + | |
− | \rc e $\psi(\vec x,t)$, které v čase $t_0$ má tvar $g(\vec x)$, tj. splňuje počáteční podmínku
| + | |
− | $\psi(\vec x,t_0)=g(\vec x),$
| + | |
− | %(nazývané minimalizující vlnový balík, viz \ref{relneu}),
| + | |
− | kde $Re\ A>0,\ \vec B\in\complex^3,\ C\in\complex$.
| + | |
− | \ll{ex:vlnbal}
| + | |
− | \end{cvi}
| + | |
− | \bc Nechť $\psi(x,y,z,t)$ je řešením \sv y \rc e pro volnou \cc i. Ukažte, že
| + | |
− | \[ \tilde \psi(x,y,z,t):= \exp[-i\frac{Mg}{\hbar}(zt+gt^3/6)]\,\psi(x,y,z+gt^2/2,t) \]
| + | |
− | je řešením \sv y \rc e pro \cc i v homogenním gravitačním poli (Avron-Herbstova formule). Je možné tuto formuli a její použití nějak zobecnit?
| + | |
− | \ec
| + | |
− | \special{src: 770 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
| + | |
− | | + | |
− | \subsection{Bornova interpretace vlnové funkce}
| + | |
− | | + | |
− | \special{src: 774 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
| + | |
− | | + | |
− | Jakmile se objevila \sv a \rc e, která vedle \db ovy vlny
| + | |
− | připouští i mnoho dalších řešení, vznikla přirozeně otázka, jaký je jejich
| + | |
− | význam, neboli problém {\em fyzikální interpretace řešení
| + | |
− | \sv y \rc e.}
| + | |
− | | + | |
− | \special{src: 781 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
| + | |
− | | + | |
− | Zatímco řešení pohybových rovnic klasické
| + | |
− | mechaniky jsou snadno a přirozeně interpretovatelná
| + | |
− | jako dráhy hmotných bodů v prostoru, fyzikální
| + | |
− | význam řešení \sv y \rc e je na první pohled nejasný.
| + | |
− | Problém %jejich
| + | |
− | interpretace ještě navíc komplikuje fakt, že \sv a \rc e je
| + | |
− | rovnicí v
| + | |
− | komplexním oboru, takže její řešení jsou komplexní funkce.
| + | |
− | Podotázkou tohoto problému pak je, zda
| + | |
− | všechna řešení jsou fyzikálně upotřebitelná.
| + | |
− | | + | |
− | \special{src: 794 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
| + | |
− | | + | |
− | Po mnoha marných pokusech interpretovat řešení \sv y \rc e jako
| + | |
− | silové pole obdobné elektromagnetickému či gravitačnímu byla navržena jeho statistická
| + | |
− | interpretace (Max Born, 1926):
| + | |
− | %Problém interpretace řešení \sv y \rc e řeší Bornův postulát:
| + | |
− | | + | |
− | \special{src: 801 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
| + | |
− | | + | |
− | {\bf Řešení \sv y \rc e %obsahuje veškerou informaci
| + | |
− | udává časový vývoj pravděpodobnosti nalezení
| + | |
− | částice v různých oblastech prostoru:
| + | |
− | Je-li $\psi(x,y,z,t)$ řešení \sv y \rc e popisující kvantovou \cc i, pak kvadrát její absolutní
| + | |
− | hodnoty $ |\psi(x,y,z,t)|^2$
| + | |
− | je úměrný hustotě pravděpodobnosti nalezení částice v okamžiku $t$ v místě
| + | |
− | s kartézskými souřadnicemi $(x,y,z)$. (Bornův postulát)}
| + | |
− | \begin{cvi}
| + | |
− | Čemu je úměrná pravděpodobnost nalezení částice popsané
| + | |
− | de Broglieovou vlnou \rf{dbvlna}) v oblasti
| + | |
− | $(x_1,x_2)\times(y_1,y_2)\times(z_1,z_2)$ ?
| + | |
− | \end{cvi}
| + | |
− | \begin{cvi}\ll{casvmvb}
| + | |
− | Čemu je úměrná hustota pravděpodobnosti pro řešení
| + | |
− | \be \psi(\vec x,t)=Ce^{\frac{\vec B^2}{4A}}
| + | |
− | \chi(t)^{-3/2}\exp\{-A\frac{[\vec x-\vec B/(2A)]^2}{\chi(t)}\} \ll{mvbt}\ee
| + | |
− | \[ \chi(t)=1+\frac{2iA\hbar}{m}(t-t_0) \]
| + | |
− | z příkladu \ref{ex:vlnbal} pro $A>0$?
| + | |
− | Jak se mění poloha jejího maxima s časem? Čemu je
| + | |
− | rovna její střední kvadratická odchylka? Jak se mění s časem?
| + | |
− | %Jaká je rychlost rozplývání
| + | |
− | Za jak dlouho se zdvojnásobí "šířka" vlnového balíku
| + | |
− | pro elektron lokalizovaný s přesností 1 cm a pro hmotný bod o hmotě 1 gram
| + | |
− | jehož těžiště je lokalizováno s přesností $10^{-6}$m?
| + | |
− | \ll{ex:pstvb}\end{cvi}
| + | |
− | {Jaká omezení klade Bornův postulát na řešení \sv y rovnice?}
| + | |
− | Pravděpodobnost nalezení částice v oblasti $O\subset{\bf R}^3$
| + | |
− | je úměrná
| + | |
− | \[ \int_O |\psi(x,y,z,t)|^2 dxdydz. \]
| + | |
− | %přirozeným způsobem jako
| + | |
− | %četnost výskytu v oblasti $O$ dělená četností výskytu "kdekoliv"
| + | |
− | %tj. v ${\bf R^3}$ pak
| + | |
− | Koeficient úměrnosti je možno nalézt z požadavku,
| + | |
− | %Je zřejmě přirozené považovat,
| + | |
− | aby pravděpodobnost nalezení částice "kdekoliv" se rovnala
| + | |
− | jedné.
| + | |
− | % takže fyzikální význam mají řešení, pro která platí
| + | |
− | %\[ =1 \]
| + | |
− | %Vzhledem k tomu, že množina řešení \sv y \rc e je lineární
| + | |
− | %prostor, pak
| + | |
− | Tuto podmínku lze snadno splnit, položíme-li hustotu
| + | |
− | pravděpodobnosti rovnou
| + | |
− | \be w(x,y,z,t) = A(\psi)^{-1}
| + | |
− | |\psi(x,y,z,t)|^2,
| + | |
− | \ll{pst}\ee
| + | |
− | %vydělením libovolného řešení $\psi$ číslem $1/\sqrt{A(\psi)}$,
| + | |
− | kde
| + | |
− | \be A(\psi)=\int_{\bf R^3} |\psi(x,y,z,t)|^2 dxdydz ,\ll{norma}\ee
| + | |
− | pokud tento integrál existuje.
| + | |
− | | + | |
− | \special{src: 853 ZROD_QM.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel
| + | |
− | | + | |
− | Fyzikálně snadno
| + | |
− | interpretovatelná jsou tedy taková řešení \sv y \rc e, která
| + | |
− | splňují
| + | |
− | \be \int_{\bf R^3} |\psi(x,y,z,t)|^2 dxdydz <\infty.\ll{konecnanorma}\ee
| + | |
− | Těmi se budeme v následujícím textu zabývat především.
| + | |