02KVAN2:Kapitola7

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02KVAN2

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02KVAN2Hoskoant 6. 5. 201411:44
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůPotocvac 12. 6. 201711:17
Header editovatHlavičkový souborPotocvac 12. 6. 201718:07 header.tex
Kapitola0 editovatPředmluvaHoskoant 6. 5. 201410:48 predmluva.tex
Kapitola1 editovatAlgebraická teorie momentu hybnostiPotocvac 8. 6. 201813:31 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatTenzorové operátory, Wigner-Eckartův teorémKubuondr 13. 6. 201812:22 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatDalší ekvivalentní způsoby zápisu kvantové mechanikyKubuondr 13. 6. 201813:00 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatMatice hustoty a smíšené kvantové stavyKubuondr 12. 6. 201809:59 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatPřibližné metody v kvantové mechaniceKubuondr 9. 6. 201821:23 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatPropagátorPotocvac 3. 5. 201816:34 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatDráhový integrálKubuondr 5. 4. 202017:09 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatTeorie rozptyluKubuondr 13. 6. 201807:54 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatPartiční sumaKubuondr 13. 6. 201808:14 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatReprezentace vícečásticových systémůKubuondr 11. 6. 201809:34 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatKvantování klasických políKubuondr 13. 6. 201810:45 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatLiteraturaHoskoant 6. 5. 201410:53 kapitolaA.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:wkb-1.pdf wkb-1.pdf
Image:wkb-2.pdf wkb-2.pdf
Image:wkb-3.pdf wkb-3.pdf
Image:wkb-4.pdf wkb-4.pdf
Image:wkb-5.pdf wkb-5.pdf
Image:wkb-ho.pdf wkb-ho.pdf
Image:itw-1.pdf itw-1.pdf
Image:drahy-1.pdf drahy-1.pdf
Image:drahy-2.pdf drahy-2.pdf
Image:feynman-1.pdf feynman-1.pdf
Image:feynman-2.pdf feynman-2.pdf
Image:feynman-3.pdf feynman-3.pdf
Image:feynman-4.pdf feynman-4.pdf
Image:rozptyl-1.pdf rozptyl-1.pdf
Image:rozptyl-2.pdf rozptyl-2.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02KVAN2}
\section{Dráhový integrál}
 
Víme už, že propagátor udává časový vývoj systému. Víme, že bychom ho mohli dostat z řešení Schrödingerovy rovnice. Ovšem, propagátor se dá dostat i z dráhového integrálu, což je objekt, který se pokusíme osvětlit v této kapitole.
 
%================================================================================
\subsection{Opravdu všechny možné historie}
%================================================================================
 
V kapitolce \ref{sec:propagator} jsme mluvili o propagátoru pomocí obrázku \ref{fig:cesty}, což byl velmi ilustrativní přístup a není důvodu proč stejný postup nezopakovat $N$ krát a potom poslat $N$ do nekonečna a podívat se co člověk dostane.
 
Ještě se stručně zmíním o tom, že v této kapitole budu používat značení $x_0, t_0$ místo $x_i, t_i$ z předchozí kapitoly o propagátorech, za tuto změnu vděčí čtenář tomu, že $i$ jako \textit{initial} koliduje s $i$ jako komplexní jednotkou.
 
Podívejme se nyní na maticový element časového vývoje (propagátor) z nového úhlu
\begin{equation}
	\braket{\vec{x}_f, t_f}{\vec{x}_0, t_0} = \bra{\vec{x}_f} \hat{U}(t_f, t_0) \ket{\vec{x}_0, t_0},
\end{equation}
rozdělíme ho na vývoj přes malé podintervaly $\Delta t$, kde
\begin{align}
	\Delta t &= \frac{t_f-t_0}{N+1}, \: N \in \mathbb{N},\\
	t_k &= t_0 + k \Delta t.	
\end{align}
Dále v časech $t_k$ rozepíšeme "mezistav" vždy pomocí rozkladu jedničky
\begin{equation}
	I = \int \dif^3 x \ket{\vec{x}} \bra{\vec{x}},
\end{equation}
a dostaneme tak
\begin{eqnarray}
	\braket{\vec{x}_f, t_f}{\vec{x}_0, t_0} = & \int \dif^3 x_1 \ldots \dif^3 x_N & \brapigket{\vec{x}_f}{\hat{U}(t_f, t_N)}{\vec{x}_N} \brapigket{\vec{x}_N}{\hat{U}(t_N, t_{N-1})}{\vec{x}_{N-1}} \notag \\
	& & \ldots \brapigket{\vec{x}_1}{\hat{U}(t_1, t_{0})}{\vec{x}_{0}}. \label{eq:rozkladvyvoje}
\end{eqnarray}
Z Taylorova rozvoje exponenciály (časového vývoje) je zřejmé (je to jen trocha psaní), že pro malá $\Delta t$
\begin{equation}
	\hat{U}(t_k, t_{k-1}) \approx I - \frac{i}{\hbar} \Delta t \hat{H}(t_k), \label{eq:mala_delta}
\end{equation}
pokud předpokládáme $\hat{H} = \frac{\hat{\vec{p}}^2}{2m} + V(\vec{x}, t)$, dostaneme v \eqref{eq:mala_delta} po obložení vektory
\begin{eqnarray}
	\brapigket{\vec{x}_k}{\hat{U}(t_k, t_{k-1})}{\vec{x}_{k-1}} & \approx & \delta^{(3)} (\vec{x}_k - \vec{x}_{k-1}) - \frac{i}{\hbar} \Delta t \brapigket{\vec{x}_k}{\hat{V}(t_k)}{\vec{x}_{k-1}} \notag \\
	 & & - \frac{i}{\hbar} \Delta t \int \braket{\vec{x}_k}{\vec{p}} \frac{\vec{p}^2}{2m} \braket{\vec{p}}{\vec{x}_{k-1}} \dif^3 p, \label{eq:element_prop}\end{eqnarray}
kde si pečlivý čtenář jistě všiml toho, že na pravé straně už $\vec{p}$ přestalo být operátorem. Dále díky tomu, že z kapitoly o reprezentacích známe skalární součiny v \eqref{eq:element_prop}, můžeme poslední člen rozepsat na
\begin{equation}
- \frac{i}{\hbar} \Delta t \int \braket{\vec{x}_k}{\vec{p}} \frac{\vec{p}^2}{2m} \braket{\vec{p}}{\vec{x}_{k-1}} \dif^3 p = - \frac{i}{\hbar} \Delta t \int \frac{\vec{p}^2}{2m} e^{\frac{i (\vec{x}_k - \vec{x}_{k-1})\vec{p}}{\hbar}} \frac{\dif^3 p}{(2 \pi \hbar )^3}.
\end{equation}
 
Na tomto místě si vzpomeneme na Metody matematické fyziky a na to jak fyzici drze píšou delta funkci pomocí integrálu jako
\begin{equation}
	\delta^{(3)} (\vec{x} - \vec{y}) = \int \frac{\dif^3 p}{(2 \pi \hbar )^3} e^{\frac{i (\vec{x} - \vec{y}) \vec{p}}{\hbar}},
\end{equation}
pomocí čehož rozepíšeme delta funkci v \eqref{eq:element_prop} a dostaneme
\begin{equation}
	\brapigket{\vec{x}_k}{\hat{U}(t_k, t_{k-1})}{\vec{x}_{k-1}} = \int  \frac{\dif^3 p}{(2 \pi \hbar )^3} e^{\frac{i (\vec{x}_k - \vec{x}_{k-1})\vec{p}}{\hbar}} \left( 1 - \frac{i}{\hbar} \Delta t \left( V(\vec{x}_k, t_k) + \frac{\vec{p}^2}{2m} \right) \right). \label{eq:podelta}
\end{equation}
Na poslední závorku v \eqref{eq:podelta} pustíme odhad exponenciály z \eqref{eq:mala_delta} $e^a \approx 1 + a$, ale tentokrát pozpátku
\begin{equation}
	\brapigket{\vec{x}_k}{\hat{U}(t_k, t_{k-1})}{\vec{x}_{k-1}} = \int  \frac{\dif^3 p}{(2 \pi \hbar )^3} e^{\frac{i (\vec{x}_k - \vec{x}_{k-1})\vec{p}}{\hbar}} e^{- \frac{i}{\hbar} \Delta t H(\vec{p}, \vec{x}_k)}, \label{eq:jedenclen}
\end{equation}
a to už je hledaný výsledek, kde znovu upozorňuji na to, že v exponentu Hamiltonián už není operátor, opravdu nemá mít stříšku.
 
Tohoto výsledku využijeme a dosadíme ho za každý rozklad v \eqref{eq:rozkladvyvoje}, kde ještě potřebujeme odlišit hybnosti přes které integrujeme v \eqref{eq:jedenclen}, tak je označíme $\vec{p}_k$ pro každý rozklad
\begin{eqnarray}
	\braket{\vec{x}_f, t_f}{\vec{x}_0, t_0} & \approx \int & \frac{\dif^3 p_{N+1}}{(2 \pi \hbar )^3} \dif^3 x_{N} \frac{\dif^3 p_{N}}{(2 \pi \hbar )^3} \ldots \dif^3 x_{1} \frac{\dif^3 p_{1}}{(2 \pi \hbar )^3} \notag \\
	& &\exp \left( \frac{i}{\hbar} \sum_{k=1}^{N+1} (\vec{x}_k - \vec{x}_{k-1})\vec{p}_k - \frac{i}{\hbar} \Delta t \sum_{k=1}^{N+1} H(\vec{p}_k, \vec{x}_k) \right),
\end{eqnarray}
kde $\vec{x}_f \equiv \vec{x}_{N+1}$. Pro $\Delta t \longrightarrow 0$, jinak řečeno $N \longrightarrow \infty$ se naše odhady blíží přesnému výsledku
\begin{equation}
	\braket{\vec{x}_f, t_f}{\vec{x}_0, t_0} = \lim_{N \rightarrow \infty} \int \prod_{k=1}^{N+1} \frac{\dif^3 p_{k}}{(2 \pi \hbar )^3} \prod_{k=1}^{N+1} \dif^3 x_k \exp \left( \frac{i}{\hbar} \sum_{k=1}^{N+1} \left( \frac{\vec{x}_k - \vec{x}_{k-1}}{\Delta t} \vec{p}_k - H(\vec{p}_k, \vec{x}_k) \right) \Delta t \right), \label{eq:skorodraha}
\end{equation}
kde indexy $k$ v součinech jsou pouze zjednodušení notace dlouhého $\dif \ldots$ a nijak se nevztahují k vnitřku integrálu.
 
Tento integrál se interpretuje jako integrál přes všechny trajektorie ve fázovém prostoru spojující zadanou počáteční a koncovou konfiguraci, odtud název kapitoly. Tato rovnice je definicí dráhového integrálu, to co přijde je pouze označení, které šetří křídu. Otázka existence limity a její závislosti na tom, že jsme si zvolili ekvidistantní rozdělení v čase $\Delta t$, se ve většině fyzikálních publikacích zanedbává.
 
Většinou se zavádí označení
\begin{equation}
	\mathscr{D} \vec{p} \mathscr{D} \vec{x} = \lim_{N \rightarrow  \infty} \prod_{k=1}^{N+1} \frac{\dif^3 p_{k}}{(2 \pi \hbar )^3} \prod_{k=1}^{N+1} \dif^3 x_k,
\end{equation}
a v exponentu \eqref{eq:skorodraha} se \textit{přepočítá} suma $\frac{\vec{x}_k - \vec{x}_{k-1}}{\Delta t}$ na derivaci a suma na integrál, takže náš výsledek se potom zapisuje jako
\begin{equation}
	\braket{\vec{x}_f, t_f}{\vec{x}_0, t_0} = \int \mathscr{D} \vec{p} \mathscr{D} \vec{x} e^{\frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^{t_f} \overset{.}{\vec{x}} \vec{p} - H(\vec{p}, \vec{x}) \dif t}.
\end{equation}
Stejný výsledek jako jsme dostali lze získat obecně pro Hamiltoniány ve tvaru $H = f(\vec{p}) + g(\vec{x})$. Pro Hamiltoniány kvadratické v $\vec{p}$ (dále $H = \frac{\vec{p}^2}{2m} +V(\vec{x})$) lze ještě integrovat přes hybnostní část fázového prostoru pomocí regularizace a Gaussovských integrálů (viz. \ref{ssec:volna}):
\begin{eqnarray}
	\int \frac{\dif^3 p_{k}}{(2 \pi \hbar )^3} e^{\frac{i}{\hbar} \left( \frac{\vec{x}_k - \vec{x}_{k-1}}{\Delta t} \vec{p}_k - \left( \frac{1}{2m} -i \epsilon \right) \vec{p}_k^2 \right) \Delta t} \underset{\epsilon \rightarrow 0}{\longrightarrow} \left( \frac{m}{2 \pi i \hbar \Delta t} \right)^{\frac{3}{2}} e^{\frac{im (\vec{x}_k - \vec{x}_{k-1})^2}{2 \hbar \Delta t}}.
\end{eqnarray}
 
Když tento výpočet dosadíme do definiční limity dráhového integrálu,
\begin{eqnarray}
	\braket{\vec{x}_f, t_f}{\vec{x}_0, t_0} & = & \lim_{N \rightarrow \infty} \int \left( \prod_{k=1}^{N+1} \dif^3 x_k \right) \left( \frac{m}{2 \pi i \hbar \Delta t} \right)^{\frac{3(N+1)}{2}} \notag \\
	& & \exp \left( \frac{i}{\hbar} \sum_{k=1}^{N+1} \left( \frac{m}{2} \left( \frac{\vec{x}_k - \vec{x}_{k-1}}{\Delta t} \right)^2 - V(\vec{x}_k) \right) \Delta t \right),
\end{eqnarray}
a pokud schováme zlomek do "míry" konfiguračního prostoru, to jest označíme
\begin{equation}
	\mathscr{D} \vec{x} \equiv \lim_{N \rightarrow \infty} \left( \prod_{k=1}^{N+1} \dif^3 x_k \right) \left( \frac{m}{2 \pi i \hbar \Delta t} \right)^{\frac{3(N+1)}{2}},
\end{equation}
v exponentu dostaneme dobře známý objekt z teoretické fyziky:
\begin{equation}
	\braket{\vec{x}_f, t_f}{\vec{x}_0, t_0} = \int \mathscr{D} \vec{x} e^{\frac{i}{h} \int_{t_0}^{t_f} \mathscr{L}(\vec{x}, \overset{.}{\vec{x}}) \dif t} =  \int \mathscr{D} \vec{x} e^{\frac{i}{\hbar} S[\vec{x}]}, \label{eq:drahaSakci}
\end{equation}
akci podél trajektorie $\vec{x}$. Tento integrál se interpretuje jako integrál přes všechny trajektorie v konfiguračním prostoru spojující počáteční a koncový bod v odpovídajících časech.
 
Občasně se lze setkat s tvrzením, že do integrálu \eqref{eq:drahaSakci} přispívají hlavně trajektorie blízké trajektorii extremální, klasické. To lze částečně vykoukat z toho, že pokud bych měl dvě akce podél různých trajektorií, pro které by platilo
\begin{equation}
	S_1 - S_2 = \pi \hbar,
\end{equation}
díky tomu, že $e^{i \pi} = -1$, jejich příspěvky by se v integrálu odečetly. Z makroskopického hlediska lze říct, že trajektorie blízké $\vec{x}_{kl}$ ($\delta S[\vec{x}_{kl}] = 0$) se nemají s čím odečíst a budou přispívat nejvíc a v klasické situaci bude pohyb probíhat po trajektoriích blízkých extremální trajektorii.
 
%================================================================================
\subsubsection{Výhody a nevýhody dráhového integrálu}
%================================================================================
 
Zápis pomocí dráhového integrálu umožňuje snadno zkonstruovat poruchový rozvoj propagátoru (ano, to nás čeká a nemine) a přes matematickou nekorektnost, kterou jsme si dovolili, výsledky dobře souhlasí s těmi, které jdou získat z tradičnějšího, operátorového, přístupu.
 
Nebylo dokázáno zda $\mathscr{D} \vec{x}$ je mírou v pravém slova smyslu a tak výpočty integrálů jsou matematicky nekorektní. (Výzva pro další generaci fyziků ;).)
 
Obdobná tvrzení platí i v kvantové teorii pole: Co lze kvantovat kanonickým (operátorovým) přístupem, lze popsat i pomocí dráhového (funkcionálního) integrálu a fyzikálně měřitelné předpovědi jsou stejné. Ve většině případů je ale postup s dráhovým integrálem mnohem snazší (např. kalibrační teorie ve standardním modelu) a řadu systémů fyzikové jinak než pomocí dráhového integrálu popsat vůbec neumí. Proto se funkcionální integrál všeobecně v QFT (Quantum Field Theory) používá navzdory matematické nekorektnosti.
 
%================================================================================
\subsection{Volná částice}
%================================================================================
 
Náš nově nabitý kanón necháme pochopitelně poprvé vystřelit na volnou částici a spočítáme její propagátor přímo z definiční limity dráhového integrálu.
 
Již při prvním pohledu na výpočet, který nás čeká, vyskočí, že bychom si měli připravit následující vzoreček (zobecnění Gaussovských integrálů)
\begin{equation}
	\int_{\mathbb{R}^N} e^{-\lambda \sum_{n=1}^{N+1} (x_n - x_{n-1})^2} \dif x_1 \ldots \dif x_N = \sqrt{\frac{\pi^N}{(N+1) \lambda^N}} e^{-\frac{\lambda}{N+1} (x_{N+1} - x_0)^2},
\end{equation}
platného pro $\mathrm{Re} \lambda > 0$. Dokážeme ho indukcí.
 
Prní krok $N=1$ dokážeme pomocí Gaussovských integrálů (konvergetních díky stejné podmínce na $\lambda$):
\begin{eqnarray}
	\int_{\mathbb{R}} e^{-\lambda [(x_1 - x_0)^2 + (x_2 - x_1)^2]} = e^{-\lambda (x_1^2 + x_2^2)} \sqrt{\frac{\pi}{2 \lambda}} e^{\frac{4 \lambda^2 (x_0 + x_2)^2}{4 \cdot 2\lambda}} = \sqrt{\frac{\pi}{2 \lambda}} e^{-\frac{\lambda}{2}(x_0 - x_2)^2},
\end{eqnarray}
 
Indukční krok provedeme od $N-1$ k $N$:
\begin{align}
	\int_{\mathbb{R}^N} e^{-\lambda \sum_{n=1}^{N+1} (x_n - x_{n-1})^2} \dif x_1 \ldots \dif x_N & \overset{\mathrm{IP}}{=} \int_{\mathbb{R}} \sqrt{\frac{\pi^{N-1}}{N \lambda^{N-1}}} e^{- \frac{\lambda}{N} (x_N - x_0)^2 - \lambda (x_{N+1} - x_N)^2} \dif x_N = \notag \\
	&= \sqrt{\frac{\pi^{N-1}}{N \lambda^{N-1}}} e^{-\frac{\lambda}{N} x_0^2 -\lambda x_{N+1}^2} \sqrt{\frac{\pi N}{\lambda (N+1)}} e^{\frac{4 \lambda^2 (x_0 + N x_{N+1})^2 N}{4 \lambda N^2 (N+1)}} \notag \\
	&= \sqrt{\frac{\pi^N}{(N+1) \lambda^N}} e^{-\frac{\lambda}{N+1} (x_{N+1} - x_0)^2}.
\end{align}
 
Zpět k příkladu.
\begin{equation}
	\propU{0}{}{\vec{x}}{t_f}{\vec{x}_0}{t_0} = \lim_{N \rightarrow \infty} \int \prod_{k=1}^{N+1} \dif^3 x_k \left( \frac{m}{2 \pi i \hbar \Delta t} \right)^{\frac{3(N+1)}{2}} e^{\frac{i}{\hbar} \sum_{k=1}^{N+1} \frac{m}{2 \Delta t} (\vec{x}_k - \vec{x_{k-1}})^2},
\end{equation}
každý z těchto integrálů je divergentní, opět provedeme regularizaci
\begin{equation}
	\lambda = - \frac{i m}{2 \hbar \Delta t} \longrightarrow - \frac{i (m + i \epsilon)}{2 \hbar \Delta t},
\end{equation}
a provedeme výpočet pomocí připraveného vzorečku a pošleme $\epsilon$ do nuly:
\begin{equation}
	\lim_{N \rightarrow \infty} \left( \frac{m}{2 \pi i \hbar \Delta t} \right)^{\frac{3(N+1)}{2}} \left( \frac{2 \pi \hbar \Delta t}{-i m} \right)^{\frac{3N}{2}} \frac{1}{(N+1)^\frac{3}{2}} \exp \left( \frac{im}{2 \hbar \Delta t (N+1)} (\vec{x}_{N+1} - \vec{x}_0)^2 \right).
\end{equation}
Všimneme si, že $\Delta t (N+1) = t_f - t_0$ a po zkrácení konstant, dostáváme
\begin{equation}
	\left( \frac{m}{2 \pi i \hbar (t_f-t_0)} \right)^{\frac{3}{2}} e^{\frac{im(\vec{x} - \vec{x}_0)^2}{2 \hbar (t_f - t_0)}},
\end{equation}
kde jsme využili toho, že $\vec{x}_{N+1} = \vec{x}$. To je stejný výsledek jako jsme dostali dřív. Značení propagátoru volné částice jako $K_0(\ldots)$ zde zavedené už budeme dodržovat až do konce poznámek.
 
%================================================================================
\subsection{Harmonický oscilátor}
%================================================================================
Ukážeme si nyní na příkladu harmonického oscilátoru, které trajektorie přispívají do dráhového integrálu nejvíc. Nechť Lagrangián našeho systému je
\begin{equation}
	L = \frac{m \overset{.}{x}^2}{2} - \frac{1}{2} m \omega^2 x^2,
\end{equation}
Langrangián 1D harmonického oscilátoru.
 
Budeme nějak potřebovat formalizovat \textit{všechny trajektorie} v konfiguračním prostoru, to uděláme rozdělením obecné trajektorie $x(t)$ následovně:
\begin{equation}
	x(t) = x_{kl}(t) + y(t),
\end{equation}
kde $x_{kl}(t)$ je klasická trajektorie, kterou lze získat např. z variace akce a $y(t)$ je nějaká funkce, která nám právě umožní proběhnout všechny možné trajektorie. Obě funkce musejí zároveň odpovídat určitým okrajovým podmínkám, zvolíme je takto:
\begin{align}
	x(t_0) &= x_0 = x_{kl}(t_0) + 0, \label{eq:okrajovePodminky} \\
	x(t_f) &= x_f = x_{kl}(t_f) + 0. \notag
\end{align}
Rádi bychom nyní využili zápisu \eqref{eq:drahaSakci} k výpočtu propagátoru. Tušíme, že se nám bude hodit si připomenout, že pro klasickou trajektorii platí
\begin{equation}
	\delta S = 0 = \delta \left( \int_{x_{kl}} L \dif t \right). \label{eq:variacAakce}
\end{equation}
Podívejme se na akci v exponentu \eqref{eq:drahaSakci}
\begin{equation}
	S[x] = S[x_{kl}] = \int_{t_0}^{t_f} \frac{m (\overset{.}{x_{kl}} + \overset{.}{y})^2}{2} - \frac{m \omega^2}{2} (x_{kl} + y)^2 \dif t,
\end{equation}
vnitřek integrálu lze rozepsat a dostat tak akci podél klasické trajektorie, akci podél $y(t)$ a smíšené členy
\begin{equation}
	S[x] = S[x_{kl}] + S[y] + \int \ldots.
\end{equation}
Poslední člen se dá rozepsat pomocí Taylorova rozvoje funkce dvou proměnných. Pro harmonický oscilátor a obecně pro tzv. \textit{separovatelné} Lagrangiány (Lagrangiány kvadratické v $x$ a $\overset{.}{x}$) platí, že díky Euler-Lagrangiovým rovnicím pro klasickou trajektorii a okrajovým podmínkám \eqref{eq:okrajovePodminky}, je poslední integrál roven $0$. Pro ostatní Lagrangiány platí pouze, že díky E.-L. rovnicím je první člen Taylorova rozvoje roven $0$.
 
Rozepišme nyní vztah \eqref{eq:drahaSakci} s využitím nově nabitých znalostí
\begin{equation}
	 \int \mathscr{D} x e^{\frac{i}{\hbar} S[x]} = e^{\frac{i}{\hbar} S[x_{kl}]}  \int_{\begin{array}{c}
y(t_{0})=0\\
y(t_{f})=0
\end{array}} \mathscr{D} x e^{\frac{i}{\hbar} S[y]}, \label{eq:drahaOscilatoru}
\end{equation}
a všimneme si, že integrál už nezávisí na $x_{kl}(t_0)$ ani $x_{kl}(t_f)$ a je to pouze funkce $(t_f - t_0)$.
 
Vyčíslíme nyní akci podél klasické trajektorie (viz též příklad 5.43 v~\cite{sto:TEF}), studenti třetího ročníku již vědí, že E.-L. rovnice pro 1D LHO mají obecné řešení ve tvaru
\begin{equation}
	x_{kl} = a \sin \omega t + b \cos \omega t,
\end{equation}
kde konstanty $a$ a $b$ určíme z podmínek \eqref{eq:okrajovePodminky}
\begin{align}
	x_0 &= a \sin \omega t_0 + b \cos \omega t_0,\\
	x_f &= a \sin \omega t_f + b \cos \omega t_f.
\end{align}
Každý by tuto soustavu vyřešil svojí oblíbenou metodou a našel by
\begin{align}
	a &= \frac{x_f \cos \omega t_0 - x_0 \cos \omega t_f}{\sin \omega (t_f - t_0)},\\
	b &= \frac{x_f \sin \omega t_0 - x_0 \sin \omega t_f}{\sin \omega (t_f - t_0)}.
\end{align}
Po poměrně rozsáhlém výpočtu integrálu $S[x_{kl}]$, kam dosadíme klasickou trajektorii včetně konstant $a$ a $b$, obdržíme 
\begin{equation}
	S[x_{kl}] = \frac{m \omega}{2} \frac{(x_f^2 + x_0^2) \cos \omega (t_f - t_0) - 2 x_0 x_f}{\sin \omega (t_f - t_0)}.
\end{equation}
 
Zbývající část v \eqref{eq:drahaOscilatoru} určíme pomocí dvou triků. Zaprvé využijeme unitárnosti časového vývoje, který si vhodně zapíšeme pomocí propagátoru
\begin{align}
	\psi(x, t_f) &= \int \dif y \prop{\alpha}{t_f}{y}{t_0} \psi(y, t_0),\\
	\overline{\psi(x, t_f)} &= \int \dif z \overline{\prop{\alpha}{t_f}{z}{t_0}} \overline{\psi(z, t_0)}. 
\end{align}
Unitárnost vývoje dává
\begin{equation}
	\int \overline{\psi(x, t_f)} \psi(x, t_f) \dif x = \int \overline{\psi(x, t_0)} \psi(x, t_0) \dif x,
\end{equation}
kam když vlevo dosadíme pomocí propagátoru, dostaneme
\begin{equation}
	\int \dif x \dif y \dif z \prop{x}{t_f}{y}{t_0} \overline{\prop{x}{t_f}{z}{t_0}} \psi(y, t_0) \overline{\psi(z, t_0)},
\end{equation}
což dohromady dává podmínku na propagátor
\begin{equation}
	\int \dif x \overline{\prop{x}{t_f}{z}{t_0}} \prop{x}{t_f}{y}{t_0} = \delta(z-y). \label{eq:podminkaLHO}
\end{equation}
 
Jak už jsem dříve komentoval, hledaný propagátor LHO má tvar
\begin{equation}
	\prop{x}{t_f}{y}{t_0} = e^{\frac{i}{\hbar} S[x_{kl}]} F(t_f - t_0),
\end{equation}
což když dosadíme do podmínky \eqref{eq:podminkaLHO}, po několika úpravách obdžíme podmínku na absolutní hodnotu $F$, která dá řešení
\begin{equation}
	\abs{F}^2 = \frac{m \omega}{2 \pi \hbar \sin \omega (t_f - t_0)},
\end{equation}
neboli
\begin{equation}
	\abs{F} = \frac{1}{2} \sqrt{2} \sqrt{\frac{m \omega}{\pi \hbar \sin \omega (t_f - t_0)}}.
\end{equation}
 
Fázi $F$ téměř určíme z druhého triku, budeme požadovat, aby pro $\omega \rightarrow 0$ propagátor přešel v propagátor volné částice. Je konvence výsledek zapisovat takto
\begin{equation}
	F(t_f - t_0) = \frac{1}{2} \sqrt{2} \sqrt{\frac{-i m \omega}{\pi \hbar \sin \omega (t_f - t_0)}},
\end{equation}
což celkově dá hledaný výsledek ve tvaru
\begin{equation}
 \prop{x_f}{t_f}{x_0}{t_0} = \frac{1}{2} \exp \left( \frac{i m \omega}{2 \hbar} \frac{(x_f^2 + x_0^2) \cos \omega (t_f - t_0) - 2 x_0 x_f}{\sin \omega (t_f - t_0)} \right) \sqrt{\frac{-2 i m \omega}{\pi \hbar \sin \omega (t_f - t_0)}}.
\end{equation}