02KVAN2:Kapitola10: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
(Význam sumy, zdůraznění závislosti na pořadí.)
 
(Není zobrazeno 6 mezilehlých verzí od 2 dalších uživatelů.)
Řádka 1: Řádka 1:
 
%\wikiskriptum{02KVAN2}
 
%\wikiskriptum{02KVAN2}
 
\section{Reprezentace vícečásticových systémů}
 
\section{Reprezentace vícečásticových systémů}
Nechť Hilbertův prostor 1 částice je nějaký separabilní $\mathscr{H}$, na tomto Hilbertově prostoru zvolíme vhodnou úplnou množinu pozorovatelných tak, abychom měli bázi oindexovanou přirozenými čísly $\left\lbrace \ket{k} \right\rbrace_{k \in \mathbb{N}}$.
+
Nechť Hilbertův prostor jedné částice je nějaký separabilní $\hilbert$, na němž zvolíme konečnou nebo spočetnou bázi $(\ket{1}, \ket{2}, \ldots) = (\ket{i})_{i \in \mathscr{I}}$.
  
Uvažujme $n$ částic stejného typu, t.j. nerozlišitelných, jak vypadá báze příslušného Hilbertova prostoru
+
Uvažujme $n$ částic stejného typu, t.j. nerozlišitelných; jak vypadá báze příslušného Hilbertova prostoru
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\mathscr{H}=\begin{cases}
+
  \hilbert_n=\begin{cases}
\mathscr{S}\left(\underbrace{\mathscr{H}\otimes\mathscr{H}\ldots\mathscr{H}\otimes\mathscr{H}}_{n\times}\right),\\
+
  \mathscr{S}\bigl(\underbrace{\hilbert\otimes\hilbert\ldots\hilbert\otimes\hilbert}_{n\text{-krát}}\bigr),\\
\mathscr{A}\left(\underbrace{\mathscr{H}\otimes\mathscr{H}\ldots\mathscr{H}\otimes\mathscr{H}}_{n\times}\right),
+
  \mathscr{A}\bigl(\underbrace{\hilbert\otimes\hilbert\ldots\hilbert\otimes\hilbert}_{n\text{-krát}}\bigr),
\end{cases}
+
  \end{cases}
\label{eq:hilbert}
+
  \label{eq:hilbert}
 
\end{equation}  
 
\end{equation}  
kde $\mathscr{S}$ a $\mathscr{A}$ označuje symetrickou či antisymetrickou část? Symetrická a antisymetrická část prostoru je zde kvůli fermionům a bosonům, viz. \cite{hlav:QM}.
+
kde $\mathscr{S}$ a $\mathscr{A}$ označuje symetrickou či antisymetrickou část? (Proč ty jsou pro nerozlišitelné čístice nutné, jsme odvozovali v \cite{hlav:QM}.)
  
Označme si $m_j$ index vektoru v bázi $j$-tého Hilbertova prostoru v \eqref{eq:hilbert}, dohromady tak dostaneme vektor přirozených čísel $(m_1, \ldots, m_n) \in \mathbb{N}^n$, multiindex, který parametrizuje bázi celkového Hilbertova prostoru, protože tu tvoří normované vektory
+
Označme si $m_k$ index vektoru v bázi $k$-tého Hilbertova prostoru v \eqref{eq:hilbert}, dohromady tak dostaneme vektor přirozených čísel -- multiindex $(m_1, \ldots, m_n) \in \mathbb{N}^n$. Ten parametrizuje bázi celkového Hilbertova prostoru, protože ta je tvořena normovanými vektory
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\mathscr{S}(\mathscr{A}) \left( \frac{\psi_{m_1} (x_1) \otimes \psi_{m_2} (x_2) \otimes \ldots \otimes \psi_{m_n} (x_n)}{\norm{\ldots}} \right), \label{eq:bazeTenzoru}
+
\frac{ \mathscr{S}\!/\!\mathscr{A} \left( \ket{m_1} \otimes \ket{m_2} \otimes \ldots \otimes \ket{m_n} \right)}{\norm{\ldots}}, \label{eq:bazeTenzoru}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
kde jsme kompaktně zapsali symetrizaci/antisymetrizaci příslušného vektoru.
+
kde $\mathscr{S}$, resp. $\mathscr{A}$ působící na vektor značí jeho ortogonální projekci na odpovídající stavový prostor. Takto bychom ovšem mnoho stavů započítali několikrát, při vyčíslování báze si tedy zavedeme podmínku $m_1 \leq m_2 \leq \ldots \leq m_n$, což takovým kolizím zabrání. Pro fermiony je podmínku ještě potřeba posílit na $m_1 < m_2 < \ldots < m_n$, jinak by antisymetrizace v~případech s rovností dávala nulové vektory.
 
+
Jelikož uvažujeme částice nerozlišitelné, mnoho stavů v \eqref{eq:bazeTenzoru} by bylo \textit{nabytečných}, můžeme si tak zvolit konvenci $m_1 \leq m_2 \leq \ldots \leq m_n$, pokud prohlásíme stavy s permutovanými indexy za identické.
+
  
 
%================================================================================
 
%================================================================================
 
\subsection{Obsazovací čísla, Fockův prostor}
 
\subsection{Obsazovací čísla, Fockův prostor}
 
%================================================================================
 
%================================================================================
Ukazuje se býti užitečným místo $(m_1, \ldots, m_n)$ parametrizovat bázi tzv. \textit{obsazovacími čísly} $(n_1, \ldots, n_k, \ldots)$,  $n_i \in \mathbb{N}_0$ a $\sum_{i=1}^\infty n_i = n$, která se definují jako
+
Ukazuje se býti užitečným místo $(m_1, \ldots, m_n)$ parametrizovat bázi tzv. \textbf{obsazovacími čísly} $(n_1, n_2, \ldots)$,  $n_i \in \mathbb{N}_0$ a $\sum_{i\in\mathscr{I}} n_i = n$, která se definují jako
 +
\begin{equation*}
 +
n_i = \#\left\lbrace k \in \hat{n}: m_k = i \right\rbrace,
 +
\end{equation*}
 +
kde $\hat{n} = \{ 1, 2, \ldots, n \}$. Obsazovací číslo $n_i$ tedy představuje počet částic ve stavu $\ket{i}$. Pomocí obsazovacích čísel zapíšeme stav \eqref{eq:bazeTenzoru} jako
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
n_j = \#\left\lbrace i \in \hat{n}: m_i = j \right\rbrace,
+
\ket{n_1, n_2, \ldots, n_k, \ldots} = \frac{\mathscr{S}\!/\!\mathscr{A} \bigl( \overbrace{\ket{1} \otimes \ldots \otimes \ket{1}}^{n_1\text{-krát}} \otimes \overbrace{\ket{2} \otimes \ldots \otimes \ket{2}}^{n_2\text{-krát}} \ldots \bigr)}{\norm{\ldots}}.
 +
  \label{BF:obsaz-cisla}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
kde jsme použili stříškovou notaci z lineární algebry $\hat{n} = \{ 1, 2, \ldots, n \}$. Obsazovací číslo $n_j$ tedy představuje počet částic ve stavu $\psi_j$. Pomocí obsazovacích čísel zapíšeme stav \eqref{eq:bazeTenzoru} jako
+
Pro ferminony musíme vyžadovat $\forall i: n_i \in \{0, 1\}$.%
\begin{equation}
+
\footnote{To znamená, že v \eqref{BF:obsaz-cisla} budou hodnoty $n_i$ značit přítomnost nebo nepřítomnost daného členu.}
\ket{n_1, n_2, \ldots, n_k, \ldots} = \mathscr{S}(\mathscr{A}) \left( \frac{\psi_1(x_1) \ldots \psi_1(x_{n_1}) \psi_2(x_{n_1+1}) \ldots \psi_2(x_{n_1 + n_2}) \ldots}{\norm{\ldots}} \right),
+
Při překročení jednoho fermionu na bázový stav by antisymetrizace dala nulový vektor a normalizace by nebyla definovaná.
\end{equation}
+
kde už pro zkrácení nepíšeme tenzořítka $\otimes$.
+
 
+
Z antisymetrizace pro fermiony hned vidíme, že $\exists i: n_i > 1$ implikuje $\ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} = 0$.
+
  
Naší touhou je formalizovat Hilbertův prostor pro libovolný počet částic fermionových či bosonových, to jest prostor, který by obsahoval stavy se všemi možnými počty částic v různých stavech. Tento prostor se nazývá \textit{Fockův prostor} a pro fermiony a bosony se definuje zvlášť. Označme
+
Naším cílem je formalizovat Hilbertův prostor pro libovolný počet částic, tj. prostor, který by obsahoval stavy se všemi možnými počty částic v různých stavech a jejich superpozice. Tento prostor se nazývá \textbf{Fockův prostor} a pro fermiony a bosony se definuje zvlášť. Označme
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\mathscr{H}^{\otimes k} = \underbrace{\mathscr{H} \otimes \ldots \otimes \mathscr{H}}_{k \times},
+
\hilbert^{\otimes k} = \underbrace{\hilbert \otimes \ldots \otimes \hilbert}_{k\text{-krát}},
 
\end{equation}
 
\end{equation}
kde $\mathscr{H}$ je stále Hilbertův prostor jedné částice, a kde dodefinujeme $\mathscr{H}^{\otimes 0} = \mathbb{C}$. S pomocí této notace např. pro bosony hned umíme napsat hledaný prostor jako direktní součet prostoru pro vakuum ($\mathbb{C}$), prostoru jedné částice, dvou, \ldots
+
kde $\hilbert$ je stále Hilbertův prostor jedné částice, a kde dodefinujeme $\hilbert^{\otimes 0} = \mathbb{C}$. S pomocí této notace např. pro bosony hned umíme napsat hledaný prostor jako direktní součet prostoru pro vakuum ($\mathbb{C}$), prostoru jedné částice, dvou, \ldots
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\mathscr{F}_\mathrm{B} = \mathbb{C} \oplus \mathscr{H} \oplus \mathscr{S}(\mathscr{H}^{\otimes 2}) \oplus \ldots = \sum_{k=0}^{+\infty} \mathscr{S} (\mathscr{H}^{\otimes k}),
+
\fock_B(\hilbert) = \mathbb{C} \oplus \hilbert \oplus \mathscr{S}(\hilbert^{\otimes 2}) \oplus \ldots = \sum_{k=0}^{+\infty} \mathscr{S} (\hilbert^{\otimes k}),
 
\end{equation}
 
\end{equation}
 
a stejně tak pro fermiony
 
a stejně tak pro fermiony
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\mathscr{F}_\mathrm{F} = \mathbb{C} \oplus \mathscr{H} \oplus \mathscr{A}(\mathscr{H}^{\otimes 2}) \oplus \ldots = \sum_{k=0}^{+\infty} \mathscr{A} (\mathscr{H}^{\otimes k}).
+
\fock_F(\hilbert) = \mathbb{C} \oplus \hilbert \oplus \mathscr{A}(\hilbert^{\otimes 2}) \oplus \ldots = \sum_{k=0}^{+\infty} \mathscr{A} (\hilbert^{\otimes k}).
 
\end{equation}
 
\end{equation}
  
Je hned vidět, že pro $\dim \mathscr{H} < \infty$ tak dostáváme
+
Je hned vidět, že pro $\dim \hilbert < \infty$ tak dostáváme
\begin{eqnarray}
+
\[
\dim \mathscr{F}_{\mathrm{B}} (\mathscr{H}) & = & \infty, \\
+
  \begin{aligned}
\dim \mathscr{F}_{\mathrm{F}} (\mathscr{H}) & = & 2^{\dim \mathscr{H}}.
+
    \dim \fock_B(\hilbert) &= \infty, \\
\end{eqnarray}
+
    \dim \fock_F(\hilbert) &= 2^{\dim \hilbert}.
 +
  \end{aligned}
 +
\]
  
Z konstrukce Fockova prostoru dále vyplývá, že pokud $\mathscr{H}$ je separabilní, $\mathscr{F}_{\mathrm{B}} (\mathscr{H})$ i $\mathscr{F}_{\mathrm{F}} (\mathscr{H})$ jsou separabilní Hilbertovy prostory, pokud dodefinujeme skalární součin pro $k_1 \neq k_2$, $\ket{\psi} \in \mathscr{H}^{\otimes k_1}$ a $\ket{\varphi} \in \mathscr{H}^{\otimes k_2}$ jako
+
Z konstrukce Fockova prostoru dále vyplývá, že pokud $\hilbert$ je separabilní, $\fock_B(\hilbert)$ i $\fock_F(\hilbert)$ jsou separabilní Hilbertovy prostory, pokud dodefinujeme skalární součin pro $n_1 \neq n_2$, $\ket{\psi} \in \hilbert^{\otimes n_1}$ a $\ket{\varphi} \in \hilbert^{\otimes n_2}$ jako
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\braket{\psi}{\varphi} = 0,
+
\braket{\psi}{\varphi} = 0
 
\end{equation}
 
\end{equation}
a pro $k_1 = k_2 = k$ využijeme definice skalárního součinu na tenzorovém součinu prostorů a pro $\ket{\psi_1} \ldots \ket{\psi_k}$, $\ket{\varphi_1} \ldots \ket{\varphi_k}$ definujeme
+
a pro $n_1 = n_2 = n$ využijeme definice skalárního součinu na tenzorovém součinu prostorů -- pro $\ket{\psi_1} \ldots \ket{\psi_n}$, $\ket{\varphi_1} \ldots \ket{\varphi_n}$ definujeme
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\left(\bra{\psi_1} \ldots \bra{\psi_k}\right) \left(\ket{\varphi_1} \ldots \ket{\varphi_k}\right) = \braket{\psi_1}{\varphi_1} \ldots \braket{\psi_k}{\varphi_k}.
+
\left(\bra{\psi_1} \ldots \bra{\psi_n}\right) \left(\ket{\varphi_1} \ldots \ket{\varphi_n}\right) = \braket{\psi_1}{\varphi_1} \ldots \braket{\psi_n}{\varphi_n}.
 
\end{equation}
 
\end{equation}
S pomocí těchto skalárních součinů už umíme spočítat skalární součin libovolných dvou vektorů z Fockova prostoru, obecný direktní součet by se rozložil na součet jednotlivých skalárních součinů jako je zvykem.
+
S pomocí těchto skalárních součinů už umíme spočítat skalární součin libovolných dvou vektorů z Fockova prostoru, obecný direktní součet by se rozložil na součet jednotlivých skalárních součinů, jak je zvykem.
  
 
%================================================================================
 
%================================================================================
 
\subsection{Bosonové kreační a anihilační operátory}
 
\subsection{Bosonové kreační a anihilační operátory}
 
%================================================================================
 
%================================================================================
Dále je vhodné a pro druhou kvantizaci nutné, zavést kreační a anihilační operátory. A opravdu se Vám nebude zdát, když Vám tento formalismus bude připadat podobný tomu pro LHO ze zimy, je to úmysl.
+
Zavádět Fockův prostor nemá mnoho významu bez operátorů, které by vyjadřovaly zobrazení mezi jednotlivými částmi direktního součtu, tj. měnily počet částic v systému. Zavedeme zde kreační a anihilační operátory, které mají velký význam pro druhou kvantizaci.%
 +
\footnote{Jestliže vám připomínají formalizmus kolem harmonického oscilátoru ze zimy, jste na dobré cestě.}
  
Prvně se soustřeďme na bosonové operátory a bosonový Fockův prostor. Chceme nějak vhodně zvolit \textit{kreační} operátor $\kreak{i}$, který by působil
+
Prvně se soustřeďme na bosonové operátory v bosonovém Fockově prostoru. Budeme požadovat, aby \textbf{kreační operátor} $\kreak{i}$ přidával do systému jednu částici v $i$-tém stavu, tj. pro bázové vektory
 +
\begin{equation*}
 +
  \kreak{i} : \fock_B(\hilbert) \to \fock_B(\hilbert): \kreak{i} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} = \beta_{n_i} \ket{n_1, \ldots, n_i + 1, \ldots},
 +
\end{equation*}
 +
kde konstanta $\beta_{n_i}$ prozatím zůstává neurčena. Když už budeme mít kreační operátor, odpovídající \textbf{anihilační operátor} definujeme pomocí hermitovského sdružení
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\kreak{i} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} = \beta_{n_i} \ket{n_1, \ldots, n_i + 1, \ldots},
+
\anihilak{i} = \bigl(\kreak{i}\bigr)^\dagger.
\end{equation}
+
neboli tak, aby nám přidával jednu částici ve stavu $\ket{\psi_i}$ a konstantu $\beta_{n_i}$ vhodně zvolíme. Vidíme, že $\kreak{i}$ je zobrazení
+
\begin{equation}
+
\kreak{i}: \mathscr{F}_\mathrm{B} \longrightarrow \mathscr{F}_\mathrm{B}.
+
\end{equation}
+
Když už budeme mít kreační operátor, anihilační k němu definujeme pomocí hermitovského sdružení
+
\begin{equation}
+
\anihilak{i} = \left(\kreak{i}\right)^\dagger.
+
 
\end{equation}
 
\end{equation}
  
Abychom viděli jak konstanty $\beta_{n_i}$ vyskočí u anihilačních operátorů, rozepíšeme si jejich působení ve skalárním součinu
+
Abychom viděli, jaké konstanty $\beta'_{n_i}$ zvolit u anihilačních operátorů, rozepíšeme si jejich působení ve skalárním součinu
\begin{eqnarray}
+
\[
\brapigket{m_1, \ldots, m_i, \ldots}{&\left(\kreak{i}\right)^\dagger &}{n_1, \ldots, n_i, \ldots} = \overline{\brapigket{n_1, \ldots, n_i, \ldots}{\kreak{i}}{m_1, \ldots, m_i, \ldots}} \notag \\
+
  \begin{aligned}
& = & \overline{\beta_{n_i} \braket{n_1, \ldots, n_i, \ldots}{m_1, \ldots, m_i + 1, \ldots}} \notag \\
+
    &\brapigket{m_1, \ldots, m_i, \ldots}{\bigl(\kreak{i}\bigr)^\dagger}{n_1, \ldots, n_i, \ldots} = \overline{\brapigket{n_1, \ldots, n_i, \ldots}{\kreak{i}}{m_1, \ldots, m_i, \ldots}} \notag \\
& = & \overline{\beta_{n_i}} \delta_{n_1, m_1} \ldots \delta_{n_i, m_i + 1} \ldots  \notag \\
+
    &\qquad = \overline{\beta_{n_i} \braket{n_1, \ldots, n_i, \ldots}{m_1, \ldots, m_i + 1, \ldots}} \notag \\
& = &
+
    &\qquad = \overline{\beta_{n_i}} \delta_{n_1, m_1} \ldots \delta_{n_i, m_i + 1} \ldots  \notag \\
\begin{cases}
+
    &\qquad = \begin{cases}
0 & \mathrm{pro}\: n_{i}=0\\
+
      0 & \mathrm{pro}\: n_{i}=0\\
\ldots & \mathrm{pro}\: n_{i}>0
+
      \ldots & \mathrm{pro}\: n_{i}>0
\end{cases} \notag \\
+
    \end{cases} \notag \\
& = & \overline{\beta_{n_i-1} \braket{n_1, \ldots, n_{i} - 1, \ldots}{m_1, \ldots, m_i, \ldots}} \notag \\
+
    &\qquad = \overline{\beta_{n_i-1} \braket{n_1, \ldots, n_{i} - 1, \ldots}{m_1, \ldots, m_i, \ldots}} \notag \\
& = & \overline{\beta_{n_i-1}} \braket{m_1, \ldots, m_i, \ldots}{n_1, \ldots, n_i - 1, \ldots},
+
    &\qquad = \overline{\beta_{n_i-1}} \braket{m_1, \ldots, m_i, \ldots}{n_1, \ldots, n_i - 1, \ldots},
\end{eqnarray}
+
  \end{aligned}
 +
\]
 
neboli vidíme, že
 
neboli vidíme, že
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
Řádka 105: Řádka 104:
 
\end{equation}
 
\end{equation}
 
Vhodnou volbu konstant $\beta_{n_i}$ najdeme z volby komutačních relací kreačního a anihilačního operátoru. Nejprve si ale připravíme $\komut{\anihilak{i}}{\anihilak{j}}$ pro $n_i, n_j > 0$
 
Vhodnou volbu konstant $\beta_{n_i}$ najdeme z volby komutačních relací kreačního a anihilačního operátoru. Nejprve si ale připravíme $\komut{\anihilak{i}}{\anihilak{j}}$ pro $n_i, n_j > 0$
\begin{eqnarray}
+
\[
\komut{\anihilak{i}}{\anihilak{j}} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots, n_j, \ldots} &=& \overline{\beta_{n_j-1}} \overline{\beta_{n_i-1}}\ket{n_1, \ldots, n_i - 1, \ldots, n_j - 1, \ldots} \notag \\
+
  \begin{aligned}
& & - \overline{\beta_{n_i-1}} \overline{\beta_{n_j-1}} \ket{n_1, \ldots, n_i - 1, \ldots, n_j - 1, \ldots} \notag \\
+
    \komut{\anihilak{i}}{\anihilak{j}} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots, n_j, \ldots} &= \overline{\beta_{n_i-1}} \overline{\beta_{n_j-1}}\ket{n_1, \ldots, n_i - 1, \ldots, n_j - 1, \ldots} \notag \\
& = & 0,
+
    &\quad - \overline{\beta_{n_j-1}} \overline{\beta_{n_i-1}} \ket{n_1, \ldots, n_i - 1, \ldots, n_j - 1, \ldots} \notag \\
\end{eqnarray}
+
    &= 0,
pro $n_i = 0 \vee n_j = 0$ nebo pro $i=j$ je výsledek triviálně stejný. Úplně stejně by se ukázalo, že kreační operátory vzájemně komutují.
+
  \end{aligned}
 +
\]
 +
pro $n_i = 0 \vee n_j = 0$ nebo pro $i=j$ je výsledek stejný triviálně. Úplně stejně by se ukázalo, že kreační operátory vzájemně komutují. Zkusme nyní pro $i\ne j$
 +
\[
 +
  \begin{aligned}
 +
    \komut{\anihilak{i}}{\kreak{j}} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots, n_j, \ldots} &= \overline{\beta_{n_i - 1}} \beta_{n_j} \ket{n_1, \ldots, n_i - 1, \ldots, n_j + 1, \ldots} \notag \\
 +
    &\quad - \beta_{n_j} \overline{\beta_{n_i - 1}} \ket{n_1, \ldots, n_i - 1, \ldots, n_j + 1, \ldots} \notag \\
 +
    &= 0
 +
  \end{aligned}
 +
\]
 +
a nakonec pro $i = j$
 +
\[
 +
  \begin{aligned}
 +
    \komut{\anihilak{i}}{\kreak{i}} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} &= \overline{\beta_{n_i}} \beta_{n_i} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} - \beta_{n_i - 1} \overline{\beta_{n_i - 1}} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots}.
 +
  \end{aligned}
 +
\]
  
Zpět k volbě konstant z komutátoru, zkusíme ho spočítat pro $i \neq j$
+
Poslední komutátor položíme roven jedničce, abychom se co nejvíce přiblížili lineárnímu harmonickému oscilátoru. Celkově tedy pokládáme
\begin{eqnarray}
+
\komut{\anihilak{i}}{\kreak{j}} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots, n_j, \ldots} & = & \beta_{n_j} \overline{\beta_{n_i - 1}} \ket{n_1, \ldots, n_i - 1, \ldots, n_j + 1, \ldots} \notag \\
+
& & - \overline{\beta_{n_i - 1}} \beta_{n_j} \ket{n_1, \ldots, n_i - 1, \ldots, n_j + 1, \ldots} \notag \\
+
& = & 0.
+
\end{eqnarray}
+
A pro $i = j$
+
\begin{eqnarray}
+
\komut{\anihilak{i}}{\kreak{i}} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} & = & \beta_{n_i} \overline{\beta_{n_i}} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} \notag \\
+
& & - \overline{\beta_{n_i - 1}} \beta_{n_i - 1} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots},
+
\end{eqnarray}
+
Komutátor položíme roven jedničce, abychom se co nejvíce přiblížili lineárnímu harmonickému oscilátoru.
+
 
+
Celkově tedy pokládáme
+
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\komut{\anihilak{i}}{\kreak{j}} = \delta_{i, j} I, \label{eq:komutatorBosony}
+
\komut{\anihilak{i}}{\kreak{j}} = \delta_{ij} \opone.
 +
  \label{eq:komutatorBosony}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
Ještě ověříme, že k tomu postačí volba $\beta_{n_i} = \sqrt{n_i + 1}$
+
Ke splnění postačí volba $\beta_{n_i} = \sqrt{n_i + 1}$:
\begin{eqnarray}
+
\[
\beta_{n_i} \overline{\beta_{n_i}} - \overline{\beta_{n_i -1}} \beta_{n_i - 1} = \sqrt{n_i + 1} \sqrt{n_i + 1} - \sqrt{n_i} \sqrt{n_i} = 1.
+
  \begin{aligned}
\end{eqnarray}
+
    \overline{\beta_{n_i}} \beta_{n_i} - \beta_{n_i - 1} \overline{\beta_{n_i -1}} = \sqrt{n_i + 1} \sqrt{n_i + 1} - \sqrt{n_i} \sqrt{n_i} = 1.
 +
  \end{aligned}
 +
\]
 
Shrnutí naší volby tedy je
 
Shrnutí naší volby tedy je
\begin{eqnarray}
+
\begin{equation*}
\anihilak{i} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} &=& \sqrt{n_i} \ket{n_1, \ldots, n_i - 1, \ldots} \\
+
  \begin{aligned}
\kreak{i} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} &=& \sqrt{n_i + 1} \ket{n_1, \ldots, n_i + 1, \ldots}
+
    \anihilak{i} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} &= \sqrt{n_i} \ket{n_1, \ldots, n_i - 1, \ldots}, \\
\end{eqnarray}
+
    \kreak{i} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} &= \sqrt{n_i + 1} \ket{n_1, \ldots, n_i + 1, \ldots}.
 +
  \end{aligned}
 +
\end{equation*}
 +
 
 
Nyní stav s danými obsazovacími čísly můžeme zapsat výhodně jako
 
Nyní stav s danými obsazovacími čísly můžeme zapsat výhodně jako
\begin{equation}
+
\begin{equation*}
 
\ket{n_1, n_2, \ldots} = \frac{\kreak{1}^{n_1}}{\sqrt{n_1 !}} \frac{\kreak{2}^{n_2}}{\sqrt{n_2 !}} \ldots \ket{0},
 
\ket{n_1, n_2, \ldots} = \frac{\kreak{1}^{n_1}}{\sqrt{n_1 !}} \frac{\kreak{2}^{n_2}}{\sqrt{n_2 !}} \ldots \ket{0},
\end{equation}
+
\end{equation*}
kde $\ket{0}$ je vakuový stav, který vyhovuje
+
kde $\ket{0}$ je vakuový stav, který splňuje
\begin{equation}
+
\anihilak{j} \ket{0} = 0 \: \mathrm{pro} \: \forall j. \label{eq:anihilakkk}
+
\end{equation}
+
A díky tomu lze Fockův prostor napsat jako
+
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\mathscr{F}_{\mathrm{B}} (\mathscr{H}) = \obal{\left. \left( \prod_{i=1}^{\infty} \frac{\kreak{i}^{n_i}}{\sqrt{n_i !}} \right) \ket{0} \right| \sum_{i=1}^{\infty} n_i < + \infty}.
+
\anihilak{j} \ket{0} = 0, \forall j \in \mathscr{I},
 +
  \label{eq:anihilakkk}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
 +
a díky tomu lze Fockův prostor napsat jako
 +
\begin{equation*}
 +
\fock_B(\hilbert) = \obal{\left. \left( \prod_{i\in\mathscr{I}} \frac{\kreak{i}^{n_i}}{\sqrt{n_i !}} \right) \ket{0} \right| \sum_{i\in\mathscr{I}} n_i < + \infty}.
 +
\end{equation*}
  
 
%================================================================================
 
%================================================================================
 
\subsubsection{Operátory počtu částic}
 
\subsubsection{Operátory počtu částic}
 
%================================================================================
 
%================================================================================
Pomocí kreačních a anihilačních operátorů lze zavést \textit{operátor počtu částic v $i$-tém stavu}
+
Pomocí kreačních a anihilačních operátorů lze zavést \textbf{\boldmath operátor počtu částic v $i$-tém stavu}
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\hat{N_i} = \kreak{i} \anihilak{i},
+
\hat{N}_i = \kreak{i} \anihilak{i},
 
\end{equation}
 
\end{equation}
podívejme se jak působí
+
podívejme se, jak působí:
\begin{eqnarray}
+
\begin{equation*}
\kreak{i} \anihilak{i} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} & = & \kreak{i} \anihilak{i} \left( \prod_{k=1}^{\infty} \frac{\kreak{k}^{n_k}}{\sqrt{n_k !}} \right) \ket{0} \notag \\
+
  \begin{aligned}
& = & \underbrace{\prod_{k=1, k \neq i}^{\infty} \frac{\kreak{k}^{n_k}}{\sqrt{n_k !}} \frac{\kreak{i}}{\sqrt{n_i !}}}_{= A} \left( \anihilak{i} \left( \kreak{i} \right)^{n_i} \right) \ket{0}, = *
+
    \kreak{i} \anihilak{i} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} &= \kreak{i} \anihilak{i} \left( \prod_{j\in\mathscr{I}} \frac{\kreak{j}^{n_j}}{\sqrt{n_j !}} \right) \ket{0} \\
\end{eqnarray}
+
    &= \underbrace{\prod_{j\in\mathscr{I}, j \ne i} \frac{\kreak{j}^{n_j}}{\sqrt{n_j !}} \frac{\kreak{i}}{\sqrt{n_i !}}}_{= A} \left( \anihilak{i} \left( \kreak{i} \right)^{n_i} \right) \ket{0} = *,
 +
  \end{aligned}
 +
\end{equation*}
 
kde jsme využili toho, že operátory stejného druhu komutují a stejně tak komutují kreační a anihilační operátory s různými indexy, dále použijeme $n_i$-krát známý komutátor \eqref{eq:komutatorBosony}
 
kde jsme využili toho, že operátory stejného druhu komutují a stejně tak komutují kreační a anihilační operátory s různými indexy, dále použijeme $n_i$-krát známý komutátor \eqref{eq:komutatorBosony}
\begin{eqnarray}
+
\[
* &=& A \left( \underbrace{\komut{\anihilak{i}}{\kreak{i}}}_1 \kreak{i}^{n_i -1} + \kreak{i} \anihilak{i} \kreak{i}^{n_i -1} \right) \ket{0} \notag \\
+
  \begin{aligned}
& = & \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} + A \kreak{i} \anihilak{i} \kreak{i}^{n_i -1} \ket{0} \notag \\
+
    * &=  A \left( \underbrace{\komut{\anihilak{i}}{\kreak{i}}}_1 \kreak{i}^{n_i -1} + \kreak{i} \anihilak{i} \kreak{i}^{n_i -1} \right) \ket{0} \notag \\
& = & \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} + A \kreak{i} \left( \kreak{i} \anihilak{i} \kreak{i}^{n_i - 2} + \kreak{i}^{n_i - 2}\right) \ket{0} \notag \\
+
    &= \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} + A \kreak{i} \anihilak{i} \kreak{i}^{n_i -1} \ket{0} \notag \\
& = & 2 \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} + A \kreak{i}^2 \anihilak{i} \kreak{i}^{n_i - 2} \ket{0} \notag \\
+
    &= \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} + A \kreak{i} \left( \kreak{i} \anihilak{i} \kreak{i}^{n_i - 2} + \kreak{i}^{n_i - 2}\right) \ket{0} \notag \\
& \vdots & \notag \\
+
    &= 2 \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} + A \kreak{i}^2 \anihilak{i} \kreak{i}^{n_i - 2} \ket{0} \notag \\
& = & n_i \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots},
+
    &\,\,\,\vdots \notag \\
\end{eqnarray}
+
    &= n_i \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots},
a vidíme, že název sedí.
+
  \end{aligned}
 +
\]
 +
a vidíme, že operátor $\hat{N}_i$ je věrný svému názvu.
  
Pomocí těchto operátorů lze dále definovat \textit{operátor celkového počtu částic}
+
Pomocí těchto operátorů lze dále definovat \textbf{operátor celkového počtu částic}
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\hat{N} = \sum_{i=1}^{+\infty} \hat{N}_i = \sum_{i=1}^{+\infty} \kreak{i} \anihilak{i}.
+
\hat{N} = \sum_{i\in\mathscr{I}} \hat{N}_i = \sum_{i\in\mathscr{I}} \kreak{i} \anihilak{i}.
 
\end{equation}
 
\end{equation}
  
Také si všimněme toho, že ${\left\lbrace \hat{N}_i \right\rbrace}_{i=1}^{+ \infty}$ tvoří ÚMP na $\mathscr{F}_{\mathrm{B}} (\mathscr{H})$ se společnými vlastními vektory $\ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots}$.
+
Také si všimněme toho, že ${\left\lbrace \hat{N}_i \right\rbrace}_{i=1}^{+ \infty}$ tvoří na $\fock_B(\hilbert)$ úplný soubor komutujících operátorů se společnými vlastními vektory $\ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots}$.
  
 
%================================================================================
 
%================================================================================
\subsubsection{Hamiltonián}
+
\subsubsection{Časový vývoj}
 
%================================================================================
 
%================================================================================
Abychom mohli napsat Hamiltonián soustavy částic, musíme znát i jejich interakci, předpokládejme prozatím proto, že máme neinteragující částice. V tom případě, pokud $\hat{H}_0$ je Hamiltonián jedné částice, hned umíme napsat
+
Uvažujme nejprve soustavu $n$ neinteragujících částic. Z hlediska operátoru časového vývoje se každá vyvíjí nezávisle na ostatních, tedy evoluci $n$ částic jsme schopni zapsat pomocí jednočásticových operátorů časového vývoje jako
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\hat{H} = \hat{H}_0 \otimes I \otimes \ldots \otimes I + I \otimes \hat{H}_0  \otimes I \otimes \ldots \otimes I + \ldots + I \otimes \ldots \otimes \hat{H}_0.
+
  \hat{U}_n(t, t_0) = \hat{U}_1(t, t_0) \otimes \hat{U}_1(t, t_0) \otimes \ldots \otimes \hat{U}_1(t, t_0) =: \hat{U}_1(t, t_0)^{\otimes n}.
 +
  \label{BF:operatorU}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
Pokud $\ket{i} \in \mathscr{H}$, $\hat{H}_0 \ket{i} = \epsilon_i \ket{i}$, můžeme zapsat působení takového Hamiltoniánu
+
 
 +
Hamiltonián celkového systému získáme časovou derivací \eqref{BF:operatorU}. Podle Leibnizova pravidla, ohnutého pro tenzorový součin,
 +
\begin{equation*}
 +
  \hat{H} = \hat{H}_1 \otimes I \otimes \ldots \otimes I \ + \ I \otimes \hat{H}_1  \otimes I \otimes \ldots \otimes I \ + \ \ldots \ + \ I \otimes \ldots \otimes \hat{H}_1 =: \hat{H}_1^{\oplus n}.
 +
\end{equation*}
 +
 
 +
Pokud $(\ket{i})_{i\in\mathscr{I}}$ je báze vlastních stavů energie v $\hilbert$, $\hat{H}_1 \ket{i} = E_i \ket{i}$, můžeme přepsat působení takového hamiltoniánu do formalizmu obsazovacích čísel jako
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\hat{H} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} = \sum_{i=1}^{\infty} n_i \epsilon_i \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots}, \: \sum_{i=1}^{\infty} n_i = n,
+
\hat{H} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} = \sum_{i\in\mathscr{I}} n_i E_i \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots},
 
\end{equation}
 
\end{equation}
neboli
+
což je vzorec použitelný nejen pro pevný celkový počet částic $n$, ale i na Fockově prostoru. Odsud už je jen krok k přepisu pomocí operátorů počtu částic,
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\hat{H} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} = \sum_{i=1}^{\infty} \epsilon_i \hat{N}_i \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots}.
+
\hat{H} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} = \sum_{i\in\mathscr{I}} E_i \hat{N}_i \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots}.
 
\end{equation}
 
\end{equation}
 
Protože jsme tak rozepsali působení operátoru na každém bazickém vektoru, platí i operátorově
 
Protože jsme tak rozepsali působení operátoru na každém bazickém vektoru, platí i operátorově
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\hat{H} =  \sum_{i=1}^{\infty} \epsilon_i \hat{N}_i = \sum_{i=1}^{\infty} \epsilon_i \kreak{i} \anihilak{i},
+
\hat{H} =  \sum_{i=1}^{\infty} E_i \hat{N}_i = \sum_{i\in\mathscr{I}} E_i \kreak{i} \anihilak{i},
 
\end{equation}
 
\end{equation}
pro neinteragující částice na $\mathscr{F}_{\mathrm{B}} (\mathscr{H})$.
+
pro neinteragující částice na $\fock_B(\hilbert)$.
  
Pokud budeme chtít započítat interakci, musíme přidat další členy do Hamiltoniánu, které také zapíšeme pomocí kreačních a anihilačních operátorů. Významnou třídu takových operátorů tvoří ty, pro které
+
Pokud budeme chtít započítat interakci, musíme přidat další členy do hamiltoniánu, které také zapíšeme pomocí kreačních a anihilačních operátorů. Významnou třídu takových operátorů tvoří ty, pro které
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
 
\komut{\hat{H}}{\hat{N}} = 0,
 
\komut{\hat{H}}{\hat{N}} = 0,
Řádka 208: Řádka 227:
 
které zachovávají celkový počet částic.
 
které zachovávají celkový počet částic.
  
Formálně lze uvažovat popis interakce pomocí obsazovacích čísel příslušejících i spojité části spektra, obvykle hybnosti a spinu. Označme odpovídající operátory jako
+
%================================================================================
 +
\subsubsection{Spojité stupně volnosti}
 +
%================================================================================
 +
Formálně lze uvažovat popis interakce pomocí obsazovacích čísel příslušejících i operátorům se spojitým spektrem či kombinacím komutujících operátorů, obvykle hybnosti a spinu. Označme odpovídající kreační a anihilační operátory jako
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
 
\kreak{\vec{p}, \xi}, \anihilak{\vec{p}, \xi},
 
\kreak{\vec{p}, \xi}, \anihilak{\vec{p}, \xi},
 
\end{equation}
 
\end{equation}
kde $\vec{p}$ předepisuje tři složky hybnosti a $\xi$ spin částice, kterou takový operátor vytvoří/anihiluje
+
kde $\vec{p}$ předepisuje tři složky hybnosti a $\xi$ spin částice, kterou takový operátor vytvoří nebo anihiluje
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
 
\kreak{\vec{p}, \xi} \ket{0} \longleftrightarrow \psi_{\vec{p}, \xi} (\vec{x}).
 
\kreak{\vec{p}, \xi} \ket{0} \longleftrightarrow \psi_{\vec{p}, \xi} (\vec{x}).
Řádka 218: Řádka 240:
 
Třeba
 
Třeba
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\frac{\kreak{\vec{p}, \xi}^2}{\sqrt{2}} \ket{0},
+
\kreak{\vec{p}, \xi} \kreak{\vec{p}', \xi} \ket{0},
 
\end{equation}
 
\end{equation}
odpovídá stavu se dvěma částicemi s danou hybností a spinem, neboli stavu popsaném vlnovou funkcí $\psi_{\vec{p}, \xi} (\vec{x}) \psi_{\vec{p}, \xi} (\vec{y})$.
+
odpovídá stavu se dvěma částicemi s daným spinem a hybnostmi $\vec{p}$ a $\vec{p}'$, neboli stavu popsaném vlnovou funkcí $\mathscr{S}\bigl(\psi_{\vec{p}, \xi} (\vec{x}) \psi_{\vec{p}', \xi} (\vec{y})\bigr)$.
  
Stále postulujeme stejné komutační relace
+
Postulujeme komutační relace dle stejné logiky jako výše, ale s Diracovou funkcí místo Kroneckerovy delty u spojitých indexů:
\begin{eqnarray}
+
\[
\komut{\anihilak{\vec{p}, \xi}}{\anihilak{\vec{p}', \xi'}} & = & 0, \\
+
  \begin{aligned}
\komut{\kreak{\vec{p}, \xi}}{\kreak{\vec{p}', \xi'}} & = & 0, \\
+
    \komut{\anihilak{\vec{p}, \xi}}{\anihilak{\vec{p}', \xi'}} &= 0, \\
\komut{\anihilak{\vec{p}, \xi}}{\kreak{\vec{p}', \xi'}} & = & \delta_{\xi, \xi'} \delta^{(3)} (\vec{p} - \vec{p}') I.
+
    \komut{\kreak{\vec{p}, \xi}}{\kreak{\vec{p}', \xi'}} &= 0, \\
\end{eqnarray}
+
    \komut{\anihilak{\vec{p}, \xi}}{\kreak{\vec{p}', \xi'}} &= \delta_{\xi, \xi'} \delta^{(3)} (\vec{p} - \vec{p}') \opone.
Obecný vektor z takového Fockova prostoru částic se spinem můžeme napsat jako
+
  \end{aligned}
 +
\]
 +
Ve vyjádření pro obecný vektor z takového Fockova prostoru je pak potřeba sumu nahradit integrálem,
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\ket{\varphi} = \sum_{k=0}^{+ \infty} \left( \prod_{j=1}^{k} \int \dif^3 p_j \sum_{\xi_j} \right) \alpha_{\begin{array}{c} p_{1},\ldots,p_{k} \\ \xi_{1},\ldots,\xi_{k} \end{array}} \prod_{j=1}^k \kreak{\vec{p}_j, \xi_j} \ket{0}, \label{eq:obecnyVektor}
+
\ket{\varphi} = \sum_{k=0}^{+ \infty} \left( \prod_{j=1}^{k} \int \dif^3 p_j \sum_{\xi_j} \right) \alpha_{\substack{p_{1},\ldots,p_{k} \\ \xi_{1},\ldots,\xi_{k}}} \prod_{j=1}^k \kreak{\vec{p}_j, \xi_j} \ket{0}, \label{eq:obecnyVektor}
 
\end{equation}
 
\end{equation}
kde v koeficientech $\alpha_{\begin{array}{c} p_{1},\ldots,p_{k} \\ \xi_{1},\ldots,\xi_{k} \end{array}}$ jsou schované informace o stavu.
+
kde v koeficientech $\alpha_{\substack{p_{1},\ldots,p_{k} \\ \xi_{1},\ldots,\xi_{k}}}$ jsou schované informace o stavu.
  
 
%================================================================================
 
%================================================================================
 
\subsection{Fermionové kreační a anihilační operátory}
 
\subsection{Fermionové kreační a anihilační operátory}
 
%================================================================================
 
%================================================================================
Podobně jako pro bosony zavedeme fermionový kreační operátor, který rozepíšeme a dáme si pozor na antisymetrizaci
+
Podobně jako pro bosony zavedeme fermionový kreační operátor $\bkreak{j}$. Rozepíšeme jeho působení na stav s obsazovacími čísly $(n_i)_{i\in\mathscr{I}}$ a budeme uvažovat, že konzistentně přidává $j$-tý stav \textsl{nalevo} od již existujících stavů.%
\begin{eqnarray}
+
\footnote{Pochopitelně $j$-tý stav nesmí již být obsazen, proto uvažujeme $n_j = 0$.}
\bkreak{j} \ket{n_1, \ldots, n_j, \ldots} &=& \bkreak{j} \mathscr{A} \left( \frac{\psi_1(x_1) \ldots \psi_1(x_{n_1}) \psi_2(x_{n_1+1}) \ldots \psi_2(x_{n_1 + n_2}) \ldots}{\norm{\ldots}} \right) \notag \\
+
To je důležité, protože antisymetrizace pak přidá správný znaménkový faktor:
&=& \sqrt{n_j + 1} \: \mathscr{A} \left( \frac{\psi_j(x_1) \psi_1(x_2) \ldots \psi_1(x_{n_1 + 1}) \ldots}{\norm{\ldots}} \right) \notag \\
+
\[
&=& \sqrt{n_j + 1} \left( -1 \right)^{\sum_{k=1}^{j-1} n_k} \ket{n_1, n_2, \ldots, n_j + 1, \ldots},
+
  \begin{aligned}
\end{eqnarray}
+
    \bkreak{j} \ket{n_1, \ldots, n_j = 0, \ldots} &= \bkreak{j} \frac{\mathscr{A} \bigl( \ket{1}^{\otimes n_1} \otimes \ket{2}^{\otimes n_2} \otimes \ldots \bigr)}{\norm{\ldots}} \\
kde mínus vyskočilo právě kvůli antisymetrizaci, protože u fermionů záleží na pořadí jednočásticových vlnových funkcí. Fermionový anihilační operátor je potom
+
    &= \frac{\mathscr{A} \bigl( \ket{j} \otimes \ket{1}^{\otimes n_1} \otimes \ket{2}^{\otimes n_2} \otimes \ldots \bigr)}{\norm{\ldots}} \\
\begin{equation}
+
    &= \left( -1 \right)^{\sum_{k=1}^{j-1} n_k} \frac{\mathscr{A} \bigl( \ket{1}^{\otimes n_1} \otimes \ket{2}^{\otimes n_2} \otimes \ldots \otimes \ket{j} \otimes \ldots \bigr)}{\norm{\ldots}} \\
 +
    &= \left( -1 \right)^{\sum_{k=1}^{j-1} n_k} \ket{n_1, n_2, \ldots, n'_j = 1, \ldots}.
 +
  \end{aligned}
 +
\]
 +
Suma v předchozím výrazu počítá, kolik stavů před $j$–tým je obsazeno.  
 +
Fermionový anihilační operátor je potom
 +
\begin{equation*}
 
\banihilak{j} \ket{n_1, \ldots, n_j, \ldots} = \begin{cases}
 
\banihilak{j} \ket{n_1, \ldots, n_j, \ldots} = \begin{cases}
0 & n_{j}=0\\
+
0 & \text{pro\ } n_{j}=0,\\
\sqrt{n_j} \left( -1 \right)^{\sum_{k=1}^{j-1} n_k} \ket{n_1, \ldots, n_j - 1, \ldots} & n_{j}>0.
+
\left( -1 \right)^{\sum_{k=1}^{j-1} n_k} \ket{n_1, \ldots, n_j' = 0, \ldots} & \text{pro\ } n_{j} = 1.
 
\end{cases}
 
\end{cases}
\end{equation}
+
\end{equation*}
  
Pro další postup budeme bez újmy na obecnosti předpokládat $i<j$, chceme se podívat jaké relace že to naše operátory splňují, rozepišme si proto
+
Podívejme se, jaké relace naše operátory splňují. Bez újmy na obecnosti nechť $i<j$. Pokud $n_i$ nebo $n_j$ jsou $1$, pak
\begin{eqnarray}
+
\begin{equation*}
& \bkreak{i}\bkreak{j} & \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots, n_j, \ldots} = \notag \\
+
  \bkreak{i}\bkreak{j} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots, n_j, \ldots} = \bkreak{j}\bkreak{i} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots, n_j, \ldots} = 0,
&=&\sqrt{n_i + 1} \sqrt{n_j + 1} \left( -1 \right)^{\sum_{k=1}^{i-1} n_k} \left( -1 \right)^{\sum_{k=1}^{j-1} n_k} \ket{n_1, \ldots, n_i + 1, \ldots, n_j + 1, \ldots} \notag \\
+
\end{equation*}
&=& \sqrt{n_i + 1} \sqrt{n_j + 1} \left( -1 \right)^{\sum_{k=i}^{j-1} n_k} \ket{n_1, \ldots, n_i + 1, \ldots, n_j + 1, \ldots},
+
jinak
\end{eqnarray}
+
\begin{equation*}
 +
  \begin{aligned}
 +
    &\bkreak{i}\bkreak{j} \ket{n_1, \ldots, 0, \ldots, 0, \ldots} = \notag \\
 +
    &\qquad = (-1)^{\sum_{k=1}^{j-1} n_k} \bkreak{i}\ket{n_1, \ldots, 0, \ldots, 1, \ldots} \notag \\
 +
    &\qquad = (-1)^{\sum_{k=1}^{i-1} n_k} (-1)^{\sum_{k=1}^{j-1} n_k} \ket{n_1, \ldots, 1, \ldots, 1, \ldots} \notag \\
 +
    &\qquad = (-1)^{\sum_{k=i}^{j-1} n_k} \ket{n_1, \ldots, 1, \ldots, 1, \ldots},
 +
  \end{aligned}
 +
\end{equation*}
 
podobně
 
podobně
\begin{eqnarray}
+
\begin{equation*}
& \bkreak{j}\bkreak{i} & \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots, n_j, \ldots} = \notag \\
+
  \begin{aligned}
&=& \sqrt{n_i + 1} \sqrt{n_j + 1} \left( -1 \right)^{\left( \sum_{k=i}^{j-1} n_k \right) + 1} \ket{n_1, \ldots, n_i + 1, \ldots, n_j + 1, \ldots},
+
    &\bkreak{j}\bkreak{i} \ket{n_1, \ldots, n_i = 0, \ldots, n_j = 0, \ldots} = \\
\end{eqnarray}
+
    &\qquad = (-1)^{\sum_{k=1}^{i-1} n_k} \bkreak{j}\ket{n_1, \ldots, 1, \ldots, 0, \ldots} \\
takže
+
    &\qquad = (-1)^{\left( \sum_{k=1}^{j-1} n_k \right)+ 1} (-1)^{\sum_{k=1}^{i-1} n_k} \ket{n_1, \ldots, 1, \ldots, 1, \ldots} \\
 +
    &\qquad = (-1)^{\left( \sum_{k=i}^{j-1} n_k \right) + 1} \ket{n_1, \ldots, 1, \ldots, 1, \ldots},
 +
  \end{aligned}
 +
\end{equation*}
 +
takže ve všech situacích
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
 
\bkreak{i}\bkreak{j} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots, n_j, \ldots} = - \bkreak{j}\bkreak{i} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots, n_j, \ldots}.
 
\bkreak{i}\bkreak{j} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots, n_j, \ldots} = - \bkreak{j}\bkreak{i} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots, n_j, \ldots}.
 
\end{equation}
 
\end{equation}
  
Z toho vidíme, oproti bosonovým operátorům, že kreační operátory fermionů antikomutují!
+
Z toho vidíme, oproti bosonovým operátorům, že kreační operátory fermionů antikomutují!%
 
\footnote{Příští rok v QFT ukážete, že nějaké kreační a anihilační operátory komutují/antikomutují a z toho usoudíte, že jste popisovali bosony/fermiony.}
 
\footnote{Příští rok v QFT ukážete, že nějaké kreační a anihilační operátory komutují/antikomutují a z toho usoudíte, že jste popisovali bosony/fermiony.}
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
Řádka 273: Řádka 314:
 
\end{equation}
 
\end{equation}
 
Podobně by se ukázalo
 
Podobně by se ukázalo
\begin{eqnarray}
+
\[
\antikomut{\banihilak{i}}{\banihilak{j}} &=& 0, \\
+
  \begin{aligned}
\antikomut{\banihilak{i}}{\bkreak{j}} &=& \delta_{ij} I,
+
    \antikomut{\banihilak{i}}{\banihilak{j}} &= 0, \\
\end{eqnarray}
+
    \antikomut{\banihilak{i}}{\bkreak{j}} &= \delta_{ij} \opone,
 +
  \end{aligned}
 +
\]
 
a díky tomu lze fermionový stav zapsat pomocí obsazovacích čísel jako
 
a díky tomu lze fermionový stav zapsat pomocí obsazovacích čísel jako
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} = \frac{\bkreak{1}^{n_1}}{\sqrt{n_1 !}} \ldots \frac{\bkreak{i}^{n_i}}{\sqrt{n_i !}} \ldots \ket{0}.
+
\ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} = \bkreak{1}^{n_1} \ldots \bkreak{i}^{n_i} \ldots \ket{0}.
 
\end{equation}
 
\end{equation}
 +
(V tomto případě, na rozdíl od bosonů, na pořadí operátorů záleží!)
 
Z antikomutačních relací je také hned vidět
 
Z antikomutačních relací je také hned vidět
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
Řádka 286: Řádka 330:
 
\end{equation}
 
\end{equation}
 
což je elegantně zapsaný Pauliho vylučovací princip.
 
což je elegantně zapsaný Pauliho vylučovací princip.
 +
 
%================================================================================
 
%================================================================================
 
\subsubsection{Operátory počtu částic}
 
\subsubsection{Operátory počtu částic}
 
%================================================================================
 
%================================================================================
Obdobně jako dřív lze zavést operátory počtu částic v $j$-tém stavu i pro fermiony
+
Obdobně jako v případě bosonů lze zavést operátory počtu částic v $j$-tém stavu stejným vztahem i pro fermiony,
\begin{equation}
+
\begin{equation*}
\hat{N}_j = \bkreak{j} \banihilak{j},
+
\hat{N}_j = \bkreak{j} \banihilak{j}.
\end{equation}
+
\end{equation*}
které mají velmi zajímavou vlastnost
+
Ty navíc mají zajímavou vlastnost
\begin{equation}
+
\begin{equation*}
 
\hat{N}_j^2 = \bkreak{j} \banihilak{j} \bkreak{j} \banihilak{j} = \bkreak{j} \left( \antikomut{\banihilak{j}}{\bkreak{j}} - \bkreak{j} \banihilak{j} \right) \banihilak{j} = \bkreak{j} \banihilak{j} = \hat{N}_j,
 
\hat{N}_j^2 = \bkreak{j} \banihilak{j} \bkreak{j} \banihilak{j} = \bkreak{j} \left( \antikomut{\banihilak{j}}{\bkreak{j}} - \bkreak{j} \banihilak{j} \right) \banihilak{j} = \bkreak{j} \banihilak{j} = \hat{N}_j,
\end{equation}
+
\end{equation*}
která dává opět Pauliho vylučovací princip, neboť jediná nezáporná celá čísla, která splňují $n_j^2 = n_j$ jsou jednička a nula.
+
která dává opět jinak zapsaný Pauliho vylučovací princip, neboť jediná nezáporná celá čísla, která splňují $n_j^2 = n_j$, a tedy mohou být ve spektru $\hat{N}_j$, jsou jednička a nula.
  
 
V naprosté analogii s bosony lze zavést operátor celkového počtu částic
 
V naprosté analogii s bosony lze zavést operátor celkového počtu částic
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\hat{N} = \sum_{j=1}^{+\infty} \hat{N}_j = \sum_{j=1}^{+\infty} \bkreak{j} \banihilak{j}.
+
\hat{N} = \sum_{j\in\mathscr{I}} \hat{N}_j = \sum_{j\in\mathscr{I}} \bkreak{j} \banihilak{j}.
 
\end{equation}
 
\end{equation}
  
Řádka 307: Řádka 352:
 
\subsubsection{Hamiltonián}
 
\subsubsection{Hamiltonián}
 
%================================================================================
 
%================================================================================
Pro neinteragující částice, pokud $\ket{j} \in \mathscr{H}$, $\hat{H}_0 \ket{j} = \epsilon_j \ket{j}$, můžeme opět zapsat Hamiltonián $n$ fermionů
+
Pro neinteragující částice můžeme opět zapsat hamiltonián soustavy fermionů
\begin{equation}
+
\begin{equation*}
\hat{H} = \sum_{j=1}^{\infty} \epsilon_j \hat{N}_j = \sum_{j=1}^{\infty} \epsilon_j \bkreak{j} \banihilak{j}.
+
\hat{H} = \sum_{j\in\mathscr{I}} E_j \hat{N}_j = \sum_{j\in\mathscr{I}} E_j \bkreak{j} \banihilak{j},
\end{equation}
+
\end{equation*}
Užitečná identita pro práci s fermiony je, pokud máme nějaké operátory $A, b, c, D$, kde $A = bc$
+
pokud $(\ket{j})_{j\in\mathscr{I}}$ je báze vlastních stavů jednočásticového hamiltoniánu.
\begin{equation}
+
 
\komut{A}{D} = bcD - Dbc = bcD - bDc + bDc - Dbc = b \antikomut{c}{D} - \antikomut{b}{D}c,
+
Užitečná identita pro práci s fermiony je
\end{equation}
+
\begin{equation*}
například v situacích
+
\komut{AB}{C} = ABC + (ACB - ACB) - CAB = A \antikomut{B}{C} - \antikomut{A}{C}B,
\begin{equation}
+
\end{equation*}
\komut{\hat{H}}{\bkreak{i}} = \epsilon_i \komut{\bkreak{i} \banihilak{i}}{\bkreak{i}} = \epsilon_i \bkreak{i} \antikomut{\banihilak{i}}{\bkreak{i}} = \epsilon_i \bkreak{i},
+
kterou využijeme například v situacích
\end{equation}
+
\begin{gather*}
\begin{equation}
+
\komut{\hat{H}}{\bkreak{i}} = E_j \komut{\bkreak{j} \banihilak{j}}{\bkreak{i}} = E_j \Bigl( \bkreak{j} \underbrace{\antikomut{\banihilak{j}}{\bkreak{i}}}_{\delta_{ij}} - \underbrace{\antikomut{\bkreak{j}}{\bkreak{i}}}_0 \banihilak{j} \Bigr) = E_i \bkreak{i}, \\
\komut{\hat{H}}{\banihilak{i}} = - \epsilon_i \banihilak{i},
+
\komut{\hat{H}}{\banihilak{i}} = - E_i \banihilak{i}
\end{equation}
+
\end{gather*}
pro neinteragující část Hamiltoniánů.
+
pro neinteragující část hamiltoniánů.
  
 
%================================================================================
 
%================================================================================
Řádka 329: Řádka 374:
 
Pokud potřebujeme teorii popisující více druhů částic, je odpovídající Fockův prostor tenzorovým součinem Fockových prostorů jednotlivých druhů částic
 
Pokud potřebujeme teorii popisující více druhů částic, je odpovídající Fockův prostor tenzorovým součinem Fockových prostorů jednotlivých druhů částic
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\mathscr{F} = \mathscr{F}_{\mathbb{B}} (\mathscr{H}^1) \otimes \ldots \otimes \mathscr{F}_{\mathbb{B}} (\mathscr{H}^{\Lambda}) \otimes \mathscr{F}_{\mathbb{F}} (\widetilde{\mathscr{H}}^1) \otimes \ldots \otimes \mathscr{F}_{\mathbb{F}} (\widetilde{\mathscr{H}}^{\Sigma}),
+
\fock = \fock_B(\hilbert^1) \otimes \ldots \otimes \fock_B(\hilbert^{\Lambda}) \otimes \fock_F(\tilde{\hilbert}^1) \otimes \ldots \otimes \fock_F(\tilde{\hilbert}^{\Sigma}),
\end{equation}
+
kde $\Lambda$ je počet druhů bosonů a $\Sigma$ je počet druhů fermionů. Je konvence označit
+
\begin{equation}
+
\kreak{\lambda, \vec{p}, \xi}
+
\end{equation}
+
bosonový kreační operátor částice s danou hybností a spinem $\left\{ -s_\lambda, \ldots, s_\lambda \right\}$ a obdobně pro fermiony
+
\begin{equation}
+
\bkreak{\sigma, \vec{p}, \xi}
+
 
\end{equation}
 
\end{equation}
Obvyklá konvence je nechat všechny možné kombinace různých (fermionových vs. bosonových) operátorů komutovat \footnote{O této volbě bude ještě mluvit vyučující QFT příští rok.}
+
kde $\Lambda$ je počet druhů bosonů a $\Sigma$ je počet druhů fermionů. Je konvence označit $\kreak{\lambda, \vec{p}, \xi}$ bosonový kreační operátor $\lambda$-té částice s danou hybností a spinem $\left\{ -s_\lambda, -s_\lambda+1, \ldots, s_\lambda \right\}$ a obdobně pro fermiony $\bkreak{\sigma, \vec{p}, \xi}$. Dále je obvyklé platnost komutačních relací uvedených výše rozšířit i na různé druhy částic,
 +
\begin{equation*}
 +
  \begin{aligned}
 +
    \komut{\anihilak{\lambda, \vec{p}, \xi}}{\kreak{\lambda', \vec{p}', \xi'}} &= \delta_{\lambda \lambda'} \delta_{\xi  \xi'} \delta^{(3)}(\vec{p} - \vec{p}'), \\
 +
    \antikomut{\banihilak{\sigma, \vec{p}, \xi}}{\banihilak{\sigma', \vec{p}', \xi'}} &= 0 = \antikomut{\bkreak{\sigma, \vec{p}, \xi}}{\bkreak{\sigma', \vec{p}', \xi'}}\\
 +
    \antikomut{\banihilak{\sigma, \vec{p}, \xi}}{\bkreak{\sigma', \vec{p}', \xi'}} &= \delta_{\sigma \sigma'} \delta_{\xi  \xi'} \delta^{(3)}(\vec{p} - \vec{p}'),
 +
  \end{aligned}
 +
\end{equation*}
 +
a nechat všechny možné kombinace různých (fermionových vs. bosonových) operátorů komutovat,%
 +
\footnote{O této volbě bude ještě mluvit vyučující QFT příští rok.}
 
\begin{equation}
 
\begin{equation}
\komut{\hat{a}}{\hat{b}} = 0,
+
\komut{\hat{a}}{\hat{b}} = 0.
 
\end{equation}
 
\end{equation}
a ostatní komutátory volit tak jako dřív, tedy
 
\begin{align}
 
\komut{\anihilak{\lambda, \vec{p}, \xi}}{\kreak{\lambda', \vec{p}', \xi'}} &= \delta_{\lambda \lambda'} \delta_{\xi  \xi'} \delta^{(3)}(\vec{p} - \vec{p}'), \\
 
\antikomut{\banihilak{\sigma, \vec{p}, \xi}}{\banihilak{\sigma', \vec{p}', \xi'}} &= 0 = \antikomut{\bkreak{\sigma, \vec{p}, \xi}}{\bkreak{\sigma', \vec{p}', \xi'}}\\
 
\antikomut{\banihilak{\sigma, \vec{p}, \xi}}{\bkreak{\sigma', \vec{p}', \xi'}} &= \delta_{\sigma \sigma'} \delta_{\xi  \xi'} \delta^{(3)}(\vec{p} - \vec{p}').
 
\end{align}
 
 
Lze ještě napsat obecný vektor pro tento systém, ale je to jen komplikovanější, zobecněná analogie vztahu \eqref{eq:obecnyVektor}.
 
Lze ještě napsat obecný vektor pro tento systém, ale je to jen komplikovanější, zobecněná analogie vztahu \eqref{eq:obecnyVektor}.

Aktuální verze z 11. 6. 2018, 09:34

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02KVAN2

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02KVAN2Hoskoant 6. 5. 201411:44
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůPotocvac 12. 6. 201711:17
Header editovatHlavičkový souborPotocvac 12. 6. 201718:07 header.tex
Kapitola0 editovatPředmluvaHoskoant 6. 5. 201410:48 predmluva.tex
Kapitola1 editovatAlgebraická teorie momentu hybnostiPotocvac 8. 6. 201813:31 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatTenzorové operátory, Wigner-Eckartův teorémKubuondr 13. 6. 201812:22 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatDalší ekvivalentní způsoby zápisu kvantové mechanikyKubuondr 13. 6. 201813:00 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatMatice hustoty a smíšené kvantové stavyKubuondr 12. 6. 201809:59 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatPřibližné metody v kvantové mechaniceKubuondr 9. 6. 201821:23 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatPropagátorPotocvac 3. 5. 201816:34 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatDráhový integrálKubuondr 5. 4. 202017:09 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatTeorie rozptyluKubuondr 13. 6. 201807:54 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatPartiční sumaKubuondr 13. 6. 201808:14 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatReprezentace vícečásticových systémůKubuondr 11. 6. 201809:34 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatKvantování klasických políKubuondr 13. 6. 201810:45 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatLiteraturaHoskoant 6. 5. 201410:53 kapitolaA.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:wkb-1.pdf wkb-1.pdf
Image:wkb-2.pdf wkb-2.pdf
Image:wkb-3.pdf wkb-3.pdf
Image:wkb-4.pdf wkb-4.pdf
Image:wkb-5.pdf wkb-5.pdf
Image:wkb-ho.pdf wkb-ho.pdf
Image:itw-1.pdf itw-1.pdf
Image:drahy-1.pdf drahy-1.pdf
Image:drahy-2.pdf drahy-2.pdf
Image:feynman-1.pdf feynman-1.pdf
Image:feynman-2.pdf feynman-2.pdf
Image:feynman-3.pdf feynman-3.pdf
Image:feynman-4.pdf feynman-4.pdf
Image:rozptyl-1.pdf rozptyl-1.pdf
Image:rozptyl-2.pdf rozptyl-2.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02KVAN2}
\section{Reprezentace vícečásticových systémů}
Nechť Hilbertův prostor jedné částice je nějaký separabilní $\hilbert$, na němž zvolíme konečnou nebo spočetnou bázi $(\ket{1}, \ket{2}, \ldots) = (\ket{i})_{i \in \mathscr{I}}$.
 
Uvažujme $n$ částic stejného typu, t.j. nerozlišitelných; jak vypadá báze příslušného Hilbertova prostoru
\begin{equation}
  \hilbert_n=\begin{cases}
  \mathscr{S}\bigl(\underbrace{\hilbert\otimes\hilbert\ldots\hilbert\otimes\hilbert}_{n\text{-krát}}\bigr),\\
  \mathscr{A}\bigl(\underbrace{\hilbert\otimes\hilbert\ldots\hilbert\otimes\hilbert}_{n\text{-krát}}\bigr),
  \end{cases}
  \label{eq:hilbert}
\end{equation} 
kde $\mathscr{S}$ a $\mathscr{A}$ označuje symetrickou či antisymetrickou část? (Proč ty jsou pro nerozlišitelné čístice nutné, jsme odvozovali v \cite{hlav:QM}.)
 
Označme si $m_k$ index vektoru v bázi $k$-tého Hilbertova prostoru v \eqref{eq:hilbert}, dohromady tak dostaneme vektor přirozených čísel -- multiindex $(m_1, \ldots, m_n) \in \mathbb{N}^n$. Ten parametrizuje bázi celkového Hilbertova prostoru, protože ta je tvořena normovanými vektory
\begin{equation}
	\frac{ \mathscr{S}\!/\!\mathscr{A} \left( \ket{m_1} \otimes \ket{m_2} \otimes \ldots \otimes \ket{m_n} \right)}{\norm{\ldots}}, \label{eq:bazeTenzoru}
\end{equation}
kde $\mathscr{S}$, resp. $\mathscr{A}$ působící na vektor značí jeho ortogonální projekci na odpovídající stavový prostor. Takto bychom ovšem mnoho stavů započítali několikrát, při vyčíslování báze si tedy zavedeme podmínku $m_1 \leq m_2 \leq \ldots \leq m_n$, což takovým kolizím zabrání. Pro fermiony je podmínku ještě potřeba posílit na $m_1 < m_2 < \ldots < m_n$, jinak by antisymetrizace v~případech s rovností dávala nulové vektory.
 
%================================================================================
\subsection{Obsazovací čísla, Fockův prostor}
%================================================================================
Ukazuje se býti užitečným místo $(m_1, \ldots, m_n)$ parametrizovat bázi tzv. \textbf{obsazovacími čísly} $(n_1, n_2, \ldots)$,  $n_i \in \mathbb{N}_0$ a $\sum_{i\in\mathscr{I}} n_i = n$, která se definují jako
\begin{equation*}
	n_i = \#\left\lbrace k \in \hat{n}: m_k = i \right\rbrace,
\end{equation*}
kde $\hat{n} = \{ 1, 2, \ldots, n \}$. Obsazovací číslo $n_i$ tedy představuje počet částic ve stavu $\ket{i}$. Pomocí obsazovacích čísel zapíšeme stav \eqref{eq:bazeTenzoru} jako
\begin{equation}
	\ket{n_1, n_2, \ldots, n_k, \ldots} = \frac{\mathscr{S}\!/\!\mathscr{A} \bigl( \overbrace{\ket{1} \otimes \ldots \otimes \ket{1}}^{n_1\text{-krát}} \otimes \overbrace{\ket{2} \otimes \ldots \otimes \ket{2}}^{n_2\text{-krát}} \ldots \bigr)}{\norm{\ldots}}.
  \label{BF:obsaz-cisla}
\end{equation}
Pro ferminony musíme vyžadovat $\forall i: n_i \in \{0, 1\}$.%
\footnote{To znamená, že v \eqref{BF:obsaz-cisla} budou hodnoty $n_i$ značit přítomnost nebo nepřítomnost daného členu.}
Při překročení jednoho fermionu na bázový stav by antisymetrizace dala nulový vektor a normalizace by nebyla definovaná.
 
Naším cílem je formalizovat Hilbertův prostor pro libovolný počet částic, tj. prostor, který by obsahoval stavy se všemi možnými počty částic v různých stavech a jejich superpozice. Tento prostor se nazývá \textbf{Fockův prostor} a pro fermiony a bosony se definuje zvlášť. Označme
\begin{equation}
	\hilbert^{\otimes k} = \underbrace{\hilbert \otimes \ldots \otimes \hilbert}_{k\text{-krát}},
\end{equation}
kde $\hilbert$ je stále Hilbertův prostor jedné částice, a kde dodefinujeme $\hilbert^{\otimes 0} = \mathbb{C}$. S pomocí této notace např. pro bosony hned umíme napsat hledaný prostor jako direktní součet prostoru pro vakuum ($\mathbb{C}$), prostoru jedné částice, dvou, \ldots
\begin{equation}
	\fock_B(\hilbert) = \mathbb{C} \oplus \hilbert \oplus \mathscr{S}(\hilbert^{\otimes 2}) \oplus \ldots = \sum_{k=0}^{+\infty} \mathscr{S} (\hilbert^{\otimes k}),
\end{equation}
a stejně tak pro fermiony
\begin{equation}
	\fock_F(\hilbert) = \mathbb{C} \oplus \hilbert \oplus \mathscr{A}(\hilbert^{\otimes 2}) \oplus \ldots = \sum_{k=0}^{+\infty} \mathscr{A} (\hilbert^{\otimes k}).
\end{equation}
 
Je hned vidět, že pro $\dim \hilbert < \infty$ tak dostáváme
\[
  \begin{aligned}
    \dim \fock_B(\hilbert) &= \infty, \\
    \dim \fock_F(\hilbert) &= 2^{\dim \hilbert}.
  \end{aligned}
\]
 
Z konstrukce Fockova prostoru dále vyplývá, že pokud $\hilbert$ je separabilní, $\fock_B(\hilbert)$ i $\fock_F(\hilbert)$ jsou separabilní Hilbertovy prostory, pokud dodefinujeme skalární součin pro $n_1 \neq n_2$, $\ket{\psi} \in \hilbert^{\otimes n_1}$ a $\ket{\varphi} \in \hilbert^{\otimes n_2}$ jako
\begin{equation}
	\braket{\psi}{\varphi} = 0
\end{equation}
a pro $n_1 = n_2 = n$ využijeme definice skalárního součinu na tenzorovém součinu prostorů -- pro $\ket{\psi_1} \ldots \ket{\psi_n}$, $\ket{\varphi_1} \ldots \ket{\varphi_n}$ definujeme
\begin{equation}
	\left(\bra{\psi_1} \ldots \bra{\psi_n}\right) \left(\ket{\varphi_1} \ldots \ket{\varphi_n}\right) = \braket{\psi_1}{\varphi_1} \ldots \braket{\psi_n}{\varphi_n}.
\end{equation}
S pomocí těchto skalárních součinů už umíme spočítat skalární součin libovolných dvou vektorů z Fockova prostoru, obecný direktní součet by se rozložil na součet jednotlivých skalárních součinů, jak je zvykem.
 
%================================================================================
\subsection{Bosonové kreační a anihilační operátory}
%================================================================================
Zavádět Fockův prostor nemá mnoho významu bez operátorů, které by vyjadřovaly zobrazení mezi jednotlivými částmi direktního součtu, tj. měnily počet částic v systému. Zavedeme zde kreační a anihilační operátory, které mají velký význam pro druhou kvantizaci.%
\footnote{Jestliže vám připomínají formalizmus kolem harmonického oscilátoru ze zimy, jste na dobré cestě.}
 
Prvně se soustřeďme na bosonové operátory v bosonovém Fockově prostoru. Budeme požadovat, aby \textbf{kreační operátor} $\kreak{i}$ přidával do systému jednu částici v $i$-tém stavu, tj. pro bázové vektory
\begin{equation*}
  \kreak{i} : \fock_B(\hilbert) \to \fock_B(\hilbert): \kreak{i} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} = \beta_{n_i} \ket{n_1, \ldots, n_i + 1, \ldots},
\end{equation*}
kde konstanta $\beta_{n_i}$ prozatím zůstává neurčena. Když už budeme mít kreační operátor, odpovídající \textbf{anihilační operátor} definujeme pomocí hermitovského sdružení
\begin{equation}
	\anihilak{i} = \bigl(\kreak{i}\bigr)^\dagger.
\end{equation}
 
Abychom viděli, jaké konstanty $\beta'_{n_i}$ zvolit u anihilačních operátorů, rozepíšeme si jejich působení ve skalárním součinu
\[
  \begin{aligned}
    &\brapigket{m_1, \ldots, m_i, \ldots}{\bigl(\kreak{i}\bigr)^\dagger}{n_1, \ldots, n_i, \ldots} = \overline{\brapigket{n_1, \ldots, n_i, \ldots}{\kreak{i}}{m_1, \ldots, m_i, \ldots}} \notag \\
    &\qquad = \overline{\beta_{n_i} \braket{n_1, \ldots, n_i, \ldots}{m_1, \ldots, m_i + 1, \ldots}} \notag \\
    &\qquad = \overline{\beta_{n_i}} \delta_{n_1, m_1} \ldots \delta_{n_i, m_i + 1} \ldots  \notag \\
    &\qquad = \begin{cases}
      0 & \mathrm{pro}\: n_{i}=0\\
      \ldots & \mathrm{pro}\: n_{i}>0
    \end{cases} \notag \\
    &\qquad = \overline{\beta_{n_i-1} \braket{n_1, \ldots, n_{i} - 1, \ldots}{m_1, \ldots, m_i, \ldots}} \notag \\
    &\qquad = \overline{\beta_{n_i-1}} \braket{m_1, \ldots, m_i, \ldots}{n_1, \ldots, n_i - 1, \ldots},
  \end{aligned}
\]
neboli vidíme, že
\begin{equation}
	\anihilak{i} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} = 
		\begin{cases}
			0 & \mathrm{pro}\: n_{i}=0,\\
			\overline{\beta_{n_i-1}} \ket{n_1, \ldots, n_i - 1, \ldots} & \mathrm{pro}\: n_{i}>0.
		\end{cases}
\end{equation}
Vhodnou volbu konstant $\beta_{n_i}$ najdeme z volby komutačních relací kreačního a anihilačního operátoru. Nejprve si ale připravíme $\komut{\anihilak{i}}{\anihilak{j}}$ pro $n_i, n_j > 0$
\[
  \begin{aligned}
    \komut{\anihilak{i}}{\anihilak{j}} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots, n_j, \ldots} &= \overline{\beta_{n_i-1}} \overline{\beta_{n_j-1}}\ket{n_1, \ldots, n_i - 1, \ldots, n_j - 1, \ldots} \notag \\
    &\quad - \overline{\beta_{n_j-1}} \overline{\beta_{n_i-1}} \ket{n_1, \ldots, n_i - 1, \ldots, n_j - 1, \ldots} \notag \\
    &= 0,
  \end{aligned}
\]
pro $n_i = 0 \vee n_j = 0$ nebo pro $i=j$ je výsledek stejný triviálně. Úplně stejně by se ukázalo, že kreační operátory vzájemně komutují. Zkusme nyní pro $i\ne j$
\[
  \begin{aligned}
    \komut{\anihilak{i}}{\kreak{j}} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots, n_j, \ldots} &= \overline{\beta_{n_i - 1}} \beta_{n_j} \ket{n_1, \ldots, n_i - 1, \ldots, n_j + 1, \ldots} \notag \\
    &\quad - \beta_{n_j} \overline{\beta_{n_i - 1}} \ket{n_1, \ldots, n_i - 1, \ldots, n_j + 1, \ldots} \notag \\
    &= 0
  \end{aligned}
\]
a nakonec pro $i = j$
\[
  \begin{aligned}
    \komut{\anihilak{i}}{\kreak{i}} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} &= \overline{\beta_{n_i}} \beta_{n_i} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} - \beta_{n_i - 1} \overline{\beta_{n_i - 1}} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots}.
  \end{aligned}
\]
 
Poslední komutátor položíme roven jedničce, abychom se co nejvíce přiblížili lineárnímu harmonickému oscilátoru. Celkově tedy pokládáme
\begin{equation}
	\komut{\anihilak{i}}{\kreak{j}} = \delta_{ij} \opone.
  \label{eq:komutatorBosony}
\end{equation}
Ke splnění postačí volba $\beta_{n_i} = \sqrt{n_i + 1}$:
\[
  \begin{aligned}
    \overline{\beta_{n_i}} \beta_{n_i} - \beta_{n_i - 1} \overline{\beta_{n_i -1}} = \sqrt{n_i + 1} \sqrt{n_i + 1} - \sqrt{n_i} \sqrt{n_i} = 1.
  \end{aligned}
\]
Shrnutí naší volby tedy je
\begin{equation*}
  \begin{aligned}
    \anihilak{i} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} &= \sqrt{n_i} \ket{n_1, \ldots, n_i - 1, \ldots}, \\
    \kreak{i} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} &= \sqrt{n_i + 1} \ket{n_1, \ldots, n_i + 1, \ldots}.
  \end{aligned}
\end{equation*}
 
Nyní stav s danými obsazovacími čísly můžeme zapsat výhodně jako
\begin{equation*}
	\ket{n_1, n_2, \ldots} = \frac{\kreak{1}^{n_1}}{\sqrt{n_1 !}} \frac{\kreak{2}^{n_2}}{\sqrt{n_2 !}} \ldots \ket{0},
\end{equation*}
kde $\ket{0}$ je vakuový stav, který splňuje
\begin{equation}
	\anihilak{j} \ket{0} = 0, \forall j \in \mathscr{I},
  \label{eq:anihilakkk}
\end{equation}
a díky tomu lze Fockův prostor napsat jako
\begin{equation*}
	\fock_B(\hilbert) = \obal{\left. \left( \prod_{i\in\mathscr{I}} \frac{\kreak{i}^{n_i}}{\sqrt{n_i !}} \right) \ket{0} \right| \sum_{i\in\mathscr{I}} n_i < + \infty}.
\end{equation*}
 
%================================================================================
\subsubsection{Operátory počtu částic}
%================================================================================
Pomocí kreačních a anihilačních operátorů lze zavést \textbf{\boldmath operátor počtu částic v $i$-tém stavu}
\begin{equation}
	\hat{N}_i = \kreak{i} \anihilak{i},
\end{equation}
podívejme se, jak působí:
\begin{equation*}
  \begin{aligned}
    \kreak{i} \anihilak{i} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} &= \kreak{i} \anihilak{i} \left( \prod_{j\in\mathscr{I}} \frac{\kreak{j}^{n_j}}{\sqrt{n_j !}} \right) \ket{0} \\
    &= \underbrace{\prod_{j\in\mathscr{I}, j \ne i} \frac{\kreak{j}^{n_j}}{\sqrt{n_j !}} \frac{\kreak{i}}{\sqrt{n_i !}}}_{= A} \left( \anihilak{i} \left( \kreak{i} \right)^{n_i} \right) \ket{0} = *,
  \end{aligned}
\end{equation*}
kde jsme využili toho, že operátory stejného druhu komutují a stejně tak komutují kreační a anihilační operátory s různými indexy, dále použijeme $n_i$-krát známý komutátor \eqref{eq:komutatorBosony}
\[
  \begin{aligned}
    * &=  A \left( \underbrace{\komut{\anihilak{i}}{\kreak{i}}}_1 \kreak{i}^{n_i -1} + \kreak{i} \anihilak{i} \kreak{i}^{n_i -1} \right) \ket{0} \notag \\
    &= \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} + A \kreak{i} \anihilak{i} \kreak{i}^{n_i -1} \ket{0} \notag \\
    &= \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} + A \kreak{i} \left( \kreak{i} \anihilak{i} \kreak{i}^{n_i - 2} + \kreak{i}^{n_i - 2}\right) \ket{0} \notag \\
    &= 2 \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} + A \kreak{i}^2 \anihilak{i} \kreak{i}^{n_i - 2} \ket{0} \notag \\
    &\,\,\,\vdots \notag \\
    &= n_i \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots},
  \end{aligned}
\]
a vidíme, že operátor $\hat{N}_i$ je věrný svému názvu.
 
Pomocí těchto operátorů lze dále definovat \textbf{operátor celkového počtu částic}
\begin{equation}
	\hat{N} = \sum_{i\in\mathscr{I}} \hat{N}_i = \sum_{i\in\mathscr{I}} \kreak{i} \anihilak{i}.
\end{equation}
 
Také si všimněme toho, že ${\left\lbrace \hat{N}_i \right\rbrace}_{i=1}^{+ \infty}$ tvoří na $\fock_B(\hilbert)$ úplný soubor komutujících operátorů se společnými vlastními vektory $\ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots}$.
 
%================================================================================
\subsubsection{Časový vývoj}
%================================================================================
Uvažujme nejprve soustavu $n$ neinteragujících částic. Z hlediska operátoru časového vývoje se každá vyvíjí nezávisle na ostatních, tedy evoluci $n$ částic jsme schopni zapsat pomocí jednočásticových operátorů časového vývoje jako
\begin{equation}
  \hat{U}_n(t, t_0) = \hat{U}_1(t, t_0) \otimes \hat{U}_1(t, t_0) \otimes \ldots \otimes \hat{U}_1(t, t_0) =: \hat{U}_1(t, t_0)^{\otimes n}.
  \label{BF:operatorU}
\end{equation}
 
Hamiltonián celkového systému získáme časovou derivací \eqref{BF:operatorU}. Podle Leibnizova pravidla, ohnutého pro tenzorový součin,
\begin{equation*}
  \hat{H} = \hat{H}_1 \otimes I \otimes \ldots \otimes I \ + \ I \otimes \hat{H}_1  \otimes I \otimes \ldots \otimes I \ + \ \ldots \ + \ I \otimes \ldots \otimes \hat{H}_1 =: \hat{H}_1^{\oplus n}.
\end{equation*}
 
Pokud $(\ket{i})_{i\in\mathscr{I}}$ je báze vlastních stavů energie v $\hilbert$, $\hat{H}_1 \ket{i} = E_i \ket{i}$, můžeme přepsat působení takového hamiltoniánu do formalizmu obsazovacích čísel jako
\begin{equation}
	\hat{H} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} = \sum_{i\in\mathscr{I}} n_i E_i \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots},
\end{equation}
což je vzorec použitelný nejen pro pevný celkový počet částic $n$, ale i na Fockově prostoru. Odsud už je jen krok k přepisu pomocí operátorů počtu částic,
\begin{equation}
	\hat{H} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} = \sum_{i\in\mathscr{I}} E_i \hat{N}_i \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots}.
\end{equation}
Protože jsme tak rozepsali působení operátoru na každém bazickém vektoru, platí i operátorově
\begin{equation}
	\hat{H} =  \sum_{i=1}^{\infty} E_i \hat{N}_i = \sum_{i\in\mathscr{I}} E_i \kreak{i} \anihilak{i},
\end{equation}
pro neinteragující částice na $\fock_B(\hilbert)$.
 
Pokud budeme chtít započítat interakci, musíme přidat další členy do hamiltoniánu, které také zapíšeme pomocí kreačních a anihilačních operátorů. Významnou třídu takových operátorů tvoří ty, pro které
\begin{equation}
	\komut{\hat{H}}{\hat{N}} = 0,
\end{equation}
které zachovávají celkový počet částic.
 
%================================================================================
\subsubsection{Spojité stupně volnosti}
%================================================================================
Formálně lze uvažovat popis interakce pomocí obsazovacích čísel příslušejících i operátorům se spojitým spektrem či kombinacím komutujících operátorů, obvykle hybnosti a spinu. Označme odpovídající kreační a anihilační operátory jako
\begin{equation}
	\kreak{\vec{p}, \xi}, \anihilak{\vec{p}, \xi},
\end{equation}
kde $\vec{p}$ předepisuje tři složky hybnosti a $\xi$ spin částice, kterou takový operátor vytvoří nebo anihiluje
\begin{equation}
	\kreak{\vec{p}, \xi} \ket{0} \longleftrightarrow \psi_{\vec{p}, \xi} (\vec{x}).
\end{equation}
Třeba
\begin{equation}
	\kreak{\vec{p}, \xi} \kreak{\vec{p}', \xi} \ket{0},
\end{equation}
odpovídá stavu se dvěma částicemi s daným spinem a hybnostmi $\vec{p}$ a $\vec{p}'$, neboli stavu popsaném vlnovou funkcí $\mathscr{S}\bigl(\psi_{\vec{p}, \xi} (\vec{x}) \psi_{\vec{p}', \xi} (\vec{y})\bigr)$.
 
Postulujeme komutační relace dle stejné logiky jako výše, ale s Diracovou funkcí místo Kroneckerovy delty u spojitých indexů:
\[
  \begin{aligned}
    \komut{\anihilak{\vec{p}, \xi}}{\anihilak{\vec{p}', \xi'}} &= 0, \\
    \komut{\kreak{\vec{p}, \xi}}{\kreak{\vec{p}', \xi'}} &= 0, \\
    \komut{\anihilak{\vec{p}, \xi}}{\kreak{\vec{p}', \xi'}} &= \delta_{\xi, \xi'} \delta^{(3)} (\vec{p} - \vec{p}') \opone.
  \end{aligned}
\]
Ve vyjádření pro obecný vektor z takového Fockova prostoru je pak potřeba sumu nahradit integrálem,
\begin{equation}
	\ket{\varphi} = \sum_{k=0}^{+ \infty} \left( \prod_{j=1}^{k} \int \dif^3 p_j \sum_{\xi_j} \right) \alpha_{\substack{p_{1},\ldots,p_{k} \\ \xi_{1},\ldots,\xi_{k}}} \prod_{j=1}^k \kreak{\vec{p}_j, \xi_j} \ket{0}, \label{eq:obecnyVektor}
\end{equation}
kde v koeficientech $\alpha_{\substack{p_{1},\ldots,p_{k} \\ \xi_{1},\ldots,\xi_{k}}}$ jsou schované informace o stavu.
 
%================================================================================
\subsection{Fermionové kreační a anihilační operátory}
%================================================================================
Podobně jako pro bosony zavedeme fermionový kreační operátor $\bkreak{j}$. Rozepíšeme jeho působení na stav s obsazovacími čísly $(n_i)_{i\in\mathscr{I}}$ a budeme uvažovat, že konzistentně přidává $j$-tý stav \textsl{nalevo} od již existujících stavů.%
\footnote{Pochopitelně $j$-tý stav nesmí již být obsazen, proto uvažujeme $n_j = 0$.}
To je důležité, protože antisymetrizace pak přidá správný znaménkový faktor:
\[
  \begin{aligned}
    \bkreak{j} \ket{n_1, \ldots, n_j = 0, \ldots} &= \bkreak{j} \frac{\mathscr{A} \bigl( \ket{1}^{\otimes n_1} \otimes \ket{2}^{\otimes n_2} \otimes \ldots \bigr)}{\norm{\ldots}} \\
    &= \frac{\mathscr{A} \bigl( \ket{j} \otimes \ket{1}^{\otimes n_1} \otimes \ket{2}^{\otimes n_2} \otimes \ldots \bigr)}{\norm{\ldots}} \\
    &= \left( -1 \right)^{\sum_{k=1}^{j-1} n_k} \frac{\mathscr{A} \bigl( \ket{1}^{\otimes n_1} \otimes \ket{2}^{\otimes n_2} \otimes \ldots \otimes \ket{j} \otimes \ldots \bigr)}{\norm{\ldots}} \\
    &= \left( -1 \right)^{\sum_{k=1}^{j-1} n_k} \ket{n_1, n_2, \ldots, n'_j = 1, \ldots}.
  \end{aligned}
\]
Suma v předchozím výrazu počítá, kolik stavů před $j$–tým je obsazeno. 
Fermionový anihilační operátor je potom
\begin{equation*}
	\banihilak{j} \ket{n_1, \ldots, n_j, \ldots} = \begin{cases}
0 & \text{pro\ } n_{j}=0,\\
\left( -1 \right)^{\sum_{k=1}^{j-1} n_k} \ket{n_1, \ldots, n_j' = 0, \ldots} & \text{pro\ } n_{j} = 1.
\end{cases}
\end{equation*}
 
Podívejme se, jaké relace naše operátory splňují. Bez újmy na obecnosti nechť $i<j$. Pokud $n_i$ nebo $n_j$ jsou $1$, pak
\begin{equation*}
  \bkreak{i}\bkreak{j} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots, n_j, \ldots} = \bkreak{j}\bkreak{i} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots, n_j, \ldots} = 0,
\end{equation*}
jinak
\begin{equation*}
  \begin{aligned}
    &\bkreak{i}\bkreak{j} \ket{n_1, \ldots, 0, \ldots, 0, \ldots} = \notag \\
    &\qquad = (-1)^{\sum_{k=1}^{j-1} n_k} \bkreak{i}\ket{n_1, \ldots, 0, \ldots, 1, \ldots} \notag \\
    &\qquad = (-1)^{\sum_{k=1}^{i-1} n_k} (-1)^{\sum_{k=1}^{j-1} n_k} \ket{n_1, \ldots, 1, \ldots, 1, \ldots} \notag \\
    &\qquad = (-1)^{\sum_{k=i}^{j-1} n_k} \ket{n_1, \ldots, 1, \ldots, 1, \ldots},
  \end{aligned}
\end{equation*}
podobně
\begin{equation*}
  \begin{aligned}
    &\bkreak{j}\bkreak{i} \ket{n_1, \ldots, n_i = 0, \ldots, n_j = 0, \ldots} = \\
    &\qquad = (-1)^{\sum_{k=1}^{i-1} n_k} \bkreak{j}\ket{n_1, \ldots, 1, \ldots, 0, \ldots} \\
    &\qquad = (-1)^{\left( \sum_{k=1}^{j-1} n_k \right)+ 1} (-1)^{\sum_{k=1}^{i-1} n_k} \ket{n_1, \ldots, 1, \ldots, 1, \ldots} \\
    &\qquad = (-1)^{\left( \sum_{k=i}^{j-1} n_k \right) + 1} \ket{n_1, \ldots, 1, \ldots, 1, \ldots},
  \end{aligned}
\end{equation*}
takže ve všech situacích
\begin{equation}
	\bkreak{i}\bkreak{j} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots, n_j, \ldots} = - \bkreak{j}\bkreak{i} \ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots, n_j, \ldots}.
\end{equation}
 
Z toho vidíme, oproti bosonovým operátorům, že kreační operátory fermionů antikomutují!%
\footnote{Příští rok v QFT ukážete, že nějaké kreační a anihilační operátory komutují/antikomutují a z toho usoudíte, že jste popisovali bosony/fermiony.}
\begin{equation}
	\antikomut{\bkreak{i}}{\bkreak{j}} = \bkreak{i} \bkreak{j} + \bkreak{j} \bkreak{i} = 0.
\end{equation}
Podobně by se ukázalo
\[
  \begin{aligned}
    \antikomut{\banihilak{i}}{\banihilak{j}} &= 0, \\
    \antikomut{\banihilak{i}}{\bkreak{j}} &= \delta_{ij} \opone,
  \end{aligned}
\]
a díky tomu lze fermionový stav zapsat pomocí obsazovacích čísel jako
\begin{equation}
	\ket{n_1, \ldots, n_i, \ldots} = \bkreak{1}^{n_1} \ldots \bkreak{i}^{n_i} \ldots \ket{0}.
\end{equation}
(V tomto případě, na rozdíl od bosonů, na pořadí operátorů záleží!)
Z antikomutačních relací je také hned vidět
\begin{equation}
	\bkreak{i}^2 = \frac{1}{2} \antikomut{\bkreak{i}}{\bkreak{i}} = 0,
\end{equation}
což je elegantně zapsaný Pauliho vylučovací princip.
 
%================================================================================
\subsubsection{Operátory počtu částic}
%================================================================================
Obdobně jako v případě bosonů lze zavést operátory počtu částic v $j$-tém stavu stejným vztahem i pro fermiony,
\begin{equation*}
	\hat{N}_j = \bkreak{j} \banihilak{j}.
\end{equation*}
Ty navíc mají zajímavou vlastnost
\begin{equation*}
	\hat{N}_j^2 = \bkreak{j} \banihilak{j} \bkreak{j} \banihilak{j} = \bkreak{j} \left( \antikomut{\banihilak{j}}{\bkreak{j}} - \bkreak{j} \banihilak{j} \right) \banihilak{j} = \bkreak{j} \banihilak{j} = \hat{N}_j,
\end{equation*}
která dává opět jinak zapsaný Pauliho vylučovací princip, neboť jediná nezáporná celá čísla, která splňují $n_j^2 = n_j$, a tedy mohou být ve spektru $\hat{N}_j$, jsou jednička a nula.
 
V naprosté analogii s bosony lze zavést operátor celkového počtu částic
\begin{equation}
	\hat{N} = \sum_{j\in\mathscr{I}} \hat{N}_j = \sum_{j\in\mathscr{I}} \bkreak{j} \banihilak{j}.
\end{equation}
 
%================================================================================
\subsubsection{Hamiltonián}
%================================================================================
Pro neinteragující částice můžeme opět zapsat hamiltonián soustavy fermionů
\begin{equation*}
	\hat{H} = \sum_{j\in\mathscr{I}} E_j \hat{N}_j = \sum_{j\in\mathscr{I}} E_j \bkreak{j} \banihilak{j},
\end{equation*}
pokud $(\ket{j})_{j\in\mathscr{I}}$ je báze vlastních stavů jednočásticového hamiltoniánu.
 
Užitečná identita pro práci s fermiony je
\begin{equation*}
	\komut{AB}{C} = ABC + (ACB - ACB) - CAB = A \antikomut{B}{C} - \antikomut{A}{C}B,
\end{equation*}
kterou využijeme například v situacích
\begin{gather*}
	\komut{\hat{H}}{\bkreak{i}} = E_j \komut{\bkreak{j} \banihilak{j}}{\bkreak{i}} = E_j \Bigl( \bkreak{j} \underbrace{\antikomut{\banihilak{j}}{\bkreak{i}}}_{\delta_{ij}} - \underbrace{\antikomut{\bkreak{j}}{\bkreak{i}}}_0 \banihilak{j} \Bigr) = E_i \bkreak{i}, \\
	\komut{\hat{H}}{\banihilak{i}} = - E_i \banihilak{i}
\end{gather*}
pro neinteragující část hamiltoniánů.
 
%================================================================================
\subsubsection{Více druhů částic}
%================================================================================
Pokud potřebujeme teorii popisující více druhů částic, je odpovídající Fockův prostor tenzorovým součinem Fockových prostorů jednotlivých druhů částic
\begin{equation}
	\fock = \fock_B(\hilbert^1) \otimes \ldots \otimes \fock_B(\hilbert^{\Lambda}) \otimes \fock_F(\tilde{\hilbert}^1) \otimes \ldots \otimes \fock_F(\tilde{\hilbert}^{\Sigma}),
\end{equation}
kde $\Lambda$ je počet druhů bosonů a $\Sigma$ je počet druhů fermionů. Je konvence označit $\kreak{\lambda, \vec{p}, \xi}$ bosonový kreační operátor $\lambda$-té částice s danou hybností a spinem $\left\{ -s_\lambda, -s_\lambda+1, \ldots, s_\lambda \right\}$ a obdobně pro fermiony $\bkreak{\sigma, \vec{p}, \xi}$. Dále je obvyklé platnost komutačních relací uvedených výše rozšířit i na různé druhy částic,
\begin{equation*}
  \begin{aligned}
    \komut{\anihilak{\lambda, \vec{p}, \xi}}{\kreak{\lambda', \vec{p}', \xi'}} &= \delta_{\lambda \lambda'} \delta_{\xi  \xi'} \delta^{(3)}(\vec{p} - \vec{p}'), \\
    \antikomut{\banihilak{\sigma, \vec{p}, \xi}}{\banihilak{\sigma', \vec{p}', \xi'}} &= 0 = \antikomut{\bkreak{\sigma, \vec{p}, \xi}}{\bkreak{\sigma', \vec{p}', \xi'}}\\
    \antikomut{\banihilak{\sigma, \vec{p}, \xi}}{\bkreak{\sigma', \vec{p}', \xi'}} &= \delta_{\sigma \sigma'} \delta_{\xi  \xi'} \delta^{(3)}(\vec{p} - \vec{p}'),
  \end{aligned}
\end{equation*}
a nechat všechny možné kombinace různých (fermionových vs. bosonových) operátorů komutovat,%
\footnote{O této volbě bude ještě mluvit vyučující QFT příští rok.}
\begin{equation}
	\komut{\hat{a}}{\hat{b}} = 0.
\end{equation}
Lze ještě napsat obecný vektor pro tento systém, ale je to jen komplikovanější, zobecněná analogie vztahu \eqref{eq:obecnyVektor}.