02GMF1:Kapitola5: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Založena nová stránka: %\wikiskriptum{02GMF1} %\chapter{Diferenciální formy} \begin{defi} V každém bodě $p$ variety $M$ můžeme uvažovat vektorový prostor duální k tečnému prostor...) |
|||
Řádka 4: | Řádka 4: | ||
\begin{defi} | \begin{defi} | ||
− | V každém bodě $p$ variety $M$ můžeme uvažovat vektorový prostor duální | + | V každém bodě $p$ variety $M$ můžeme uvažovat vektorový prostor duální k tečnému prostoru $\tecn$. Značíme ho {\boldmath $\kotecn$} a nazýváme \textbf{kotečný prostor} k varietě $M$ v bodě $p$. Prvky $\kotecn$ obvykle značíme řeckými písmeny a nazýváme \textbf{{\boldmath$1$}-formy v bodě} {\boldmath $p$}, tedy |
− | + | \[ \omega \in \kotecn \Leftrightarrow \omega : \tecn \rightarrow \R \text{ a platí } (\forall X, Y \in \tecn)(\forall a \in \R)(\omega (a X + Y) = a \, \omega (X) + \omega(Y)). | |
− | k tečnému prostoru $\tecn$. Značíme ho {\boldmath $\kotecn$} a nazýváme | + | |
− | + | ||
− | \textbf{kotečný prostor} k varietě $M$ v bodě $p$. Prvky $\kotecn$ | + | |
− | + | ||
− | obvykle značíme řeckými písmeny a nazýváme \textbf{{\boldmath$1$}-formy | + | |
− | + | ||
− | v bodě} {\boldmath $p$}, tedy | + | |
− | \[ \omega \in \kotecn \Leftrightarrow \omega : \tecn \rightarrow \R | + | |
− | + | ||
− | \text{ a platí } (\forall X, Y \in \tecn)(\forall a \in \R)(\omega (a X | + | |
− | + | ||
− | + Y) = a \, \omega (X) + \omega(Y)). | + | |
\] | \] | ||
\end{defi} | \end{defi} | ||
− | Mějme lokální souřadnice $(x^i)$ na $U = U^\circ \subset M$, $p \in U$. | + | Mějme lokální souřadnice $(x^i)$ na $U = U^\circ \subset M$, $p \in U$. Pak báze $\tecn$ má tvar $\left( \restr{\pder{x^i}}{p} \right)_{i=1}^n$. Bázi $\kotecn$ k ní duální, tj. funkcionály $\varphi^i \in \kotecn:$ $\varphi^i \left( \restr{\pder{x^j}}{p} \right) = \delta_j^i$, značíme $\left(\restr{\de{x^i}}{p} \right)_{i=1}^n$. Jinak psáno tedy $\restr{\dx^i}{p} \left( \restr{\pder{x^j}}{p} \right) = \delta_j^i$ (důvod pro toto značení bude zřejmý později). Souřadnice 1-formy $\omega$ v bázi $(\dx^i)$ značíme $\omega_i$, tj. |
− | + | ||
− | Pak báze $\tecn$ má tvar $\left( \restr{\pder{x^i}}{p} \right)_{i=1}^n | + | |
− | + | ||
− | $. Bázi $\kotecn$ k ní duální, tj. funkcionály $\varphi^i \in \kotecn:$ | + | |
− | + | ||
− | $\varphi^i \left( \restr{\pder{x^j}}{p} \right) = \delta_j^i$, značíme | + | |
− | + | ||
− | $\left(\restr{\de{x^i}}{p} \right)_{i=1}^n$. Jinak psáno tedy $\restr | + | |
− | + | ||
− | {\dx^i}{p} \left( \restr{\pder{x^j}}{p} \right) = \delta_j^i$ (důvod | + | |
− | + | ||
− | pro toto značení bude zřejmý později). Souřadnice 1-formy $\omega$ v | + | |
− | + | ||
− | bázi $(\dx^i)$ značíme $\omega_i$, tj. | + | |
\[ \omega = \omega_i \restr{\dx^i}{p}. | \[ \omega = \omega_i \restr{\dx^i}{p}. | ||
\] | \] | ||
− | Při změně souřadnic $\tilde{x}^i = \tilde{x}^i (x^j)$, ($\delta_i^k = | + | Při změně souřadnic $\tilde{x}^i = \tilde{x}^i (x^j)$, ($\delta_i^k = \restr{\de{\tilde{x}}^k}{p} \left( \pder{\tilde{x}^i} \right)$), máme |
− | + | \[ \restr{\pder{\tilde{x}^i}}{p} = \restr{\pderA{x^j}{\tilde{x}^i}}{p} \restr{\pder{x^j}}{p} \Rightarrow | |
− | \restr{\de{\tilde{x}}^k}{p} \left( \pder{\tilde{x}^i} \right)$), máme | + | \restr{\de{\tilde{x}}^k}{p} \left( \pder{\tilde{x}^i} \right) = \pderA{x^j}{\tilde{x}^i} \restr{\de{\tilde{x}}^k}{p} \left( \pder{x^j} \right) = \delta_i^k. |
− | \[ \restr{\pder{\tilde{x}^i}}{p} = \restr{\pderA{x^j}{\tilde{x}^i}}{p} | + | |
− | + | ||
− | \restr{\pder{x^j}}{p} \Rightarrow | + | |
− | \restr{\de{\tilde{x}}^k}{p} \left( \pder{\tilde{x}^i} \right) = \pderA | + | |
− | + | ||
− | {x^j}{\tilde{x}^i} \restr{\de{\tilde{x}}^k}{p} \left( \pder{x^j} | + | |
− | + | ||
− | \right) = \delta_i^k. | + | |
\] | \] | ||
− | Poslední rovnost vynásobíme výrazem $\pderA{\tilde{x}^i}{x^l}$ a | + | Poslední rovnost vynásobíme výrazem $\pderA{\tilde{x}^i}{x^l}$ a vysčítáme přes index $i$, čímž dostáváme |
− | + | \[ \restr{\de{\tilde{x}^k}}{p} \left( \pder{x^l} \right) = \restr{\pderA{\tilde{x}^k}{x^l}}{p}, | |
− | vysčítáme přes index $i$, čímž dostáváme | + | |
− | \[ \restr{\de{\tilde{x}^k}}{p} \left( \pder{x^l} \right) = \restr | + | |
− | + | ||
− | {\pderA{\tilde{x}^k}{x^l}}{p}, | + | |
\] | \] | ||
a pro přechod mezi souřadnicemi tedy platí | a pro přechod mezi souřadnicemi tedy platí | ||
− | \[ \fbox{\restr{\de{\tilde{x}^k}}{p} = \restr{\pderA{\tilde{x}^k} | + | \[ \fbox{\restr{\de{\tilde{x}^k}}{p} = \restr{\pderA{\tilde{x}^k}{x^j}}{p} \ \restr{\dx^j}{p}} |
− | + | ||
− | {x^j}}{p} \ \restr{\dx^j}{p}} | + | |
\] | \] | ||
− | Pro $\omega = \omega_i \, \dx^i = \tilde{\omega}_j \, \de{\tilde{x}}^j$ | + | Pro $\omega = \omega_i \, \dx^i = \tilde{\omega}_j \, \de{\tilde{x}}^j$ dosazením získáváme |
− | + | \[ \tilde{\omega}_j \, \de{\tilde{x}}^j = \tilde{\omega}_j \pderA{\tilde{x}^j}{x^i} \, \dx^i, | |
− | dosazením získáváme | + | |
− | \[ \tilde{\omega}_j \, \de{\tilde{x}}^j = \tilde{\omega}_j \pderA | + | |
− | + | ||
− | {\tilde{x}^j}{x^i} \, \dx^i, | + | |
\] | \] | ||
a tedy $\omega_i = \tilde{\omega}_j \pderA{\tilde{x}^j}{x^i}$ neboli | a tedy $\omega_i = \tilde{\omega}_j \pderA{\tilde{x}^j}{x^i}$ neboli | ||
− | \[ \fbox{$\tilde{\omega}_j = \restr{\pderA{x^i}{\tilde{x}^j}}{p} | + | \[ \fbox{$\tilde{\omega}_j = \restr{\pderA{x^i}{\tilde{x}^j}}{p} \omega_i$} |
− | + | ||
− | \omega_i$} | + | |
\] | \] | ||
\begin{defi} | \begin{defi} | ||
− | Podobně jako jsme zavedli tečný fibrovaný prostor, zavádíme i strukturu | + | Podobně jako jsme zavedli tečný fibrovaný prostor, zavádíme i strukturu známou jako \textbf{kotečný fibrovaný prostor} neboli \textbf{kotečný bundle} (angl. cotangent bundle) {\boldmath $\kotecnA$}: |
− | + | ||
− | známou jako \textbf{kotečný fibrovaný prostor} neboli \textbf{kotečný | + | |
− | + | ||
− | bundle} (angl. cotangent bundle) {\boldmath $\kotecnA$}: | + | |
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
\item totální prostor $\kotecnA = \coprod_{p \in M} \kotecn$ | \item totální prostor $\kotecnA = \coprod_{p \in M} \kotecn$ | ||
− | \item projekce $\pi: \kotecnA \rightarrow M$ splňující $(\forall \omega | + | \item projekce $\pi: \kotecnA \rightarrow M$ splňující $(\forall \omega \in \kotecn)(\pi (\omega) = p)$ |
− | + | ||
− | \in \kotecn)(\pi (\omega) = p)$ | + | |
\item typické vlákno $F \simeq \R^n$ | \item typické vlákno $F \simeq \R^n$ | ||
− | \item lokální trivializace -- buďte $\pokryti : \bigcup_{\alpha \in I} | + | \item lokální trivializace -- buďte $\pokryti : \bigcup_{\alpha \in I} U_\alpha = M, \ U_\alpha = U_\alpha^\circ$ souřadnicová okolí se souřadnicemi $(x_\alpha^i)$, pak definujeme systém lokálních trivializací $(V_\alpha, \psi_\alpha), V_\alpha = \pi^{(-1)} (U_\alpha)$, $\psi_\alpha: V_\alpha \rightarrow U_\alpha \times F$, kde ($\omega = \omega_i^\alpha \restr{\dx_\alpha^i}{p}$): |
− | + | ||
− | U_\alpha = M, \ U_\alpha = U_\alpha^\circ$ souřadnicová okolí se | + | |
− | + | ||
− | souřadnicemi $(x_\alpha^i)$, pak definujeme systém lokálních | + | |
− | + | ||
− | trivializací $(V_\alpha, \psi_\alpha), V_\alpha = \pi^{(-1)} (U_ | + | |
− | + | ||
− | \alpha)$, $\psi_\alpha: V_\alpha \rightarrow U_\alpha \times F$, kde | + | |
− | + | ||
− | ($\omega = \omega_i^\alpha \restr{\dx_\alpha^i}{p}$): | + | |
\[ \psi_\alpha (\omega) = (p, (\omega_i^\alpha)_{i=1}^n). | \[ \psi_\alpha (\omega) = (p, (\omega_i^\alpha)_{i=1}^n). | ||
\] | \] | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
− | Topologii na $\kotecnA$ zavádíme jako topologii indukovanou vzory | + | Topologii na $\kotecnA$ zavádíme jako topologii indukovanou vzory otevřených množin při $\psi_\alpha, \ \alpha \in I$. |
− | + | ||
− | otevřených množin při $\psi_\alpha, \ \alpha \in I$. | + | |
\end{defi} | \end{defi} | ||
\begin{pozn} | \begin{pozn} | ||
− | Buď $p \in U_\alpha \cap U_\beta$. Pak z předchozí definice vyplývá, že | + | Buď $p \in U_\alpha \cap U_\beta$. Pak z předchozí definice vyplývá, že přechodové funkce na vlákně tvaru |
− | + | \[ \tau_{\alpha \beta} (p) \left( \left( \omega_i^\alpha \right)_{i=1}^n \right) = \left( \pderA{x_\alpha^k}{x_\beta^i} \ \omega_k^\alpha \right)_{i=1}^n , | |
− | přechodové funkce na vlákně tvaru | + | |
− | \[ \tau_{\alpha \beta} (p) \left( \left( \omega_i^\alpha \right)_{i=1} | + | |
− | + | ||
− | ^n \right) = \left( \pderA{x_\alpha^k}{x_\beta^i} \ \omega_k^\alpha | + | |
− | + | ||
− | \right)_{i=1}^n , | + | |
\] | \] | ||
− | kde $\omega = \omega_i^\alpha \restr{\dx_\alpha^i}{p} = \omega_j^\beta | + | kde $\omega = \omega_i^\alpha \restr{\dx_\alpha^i}{p} = \omega_j^\beta \restr{\dx_\beta^j}{p}$, $\psi_\beta \circ \psi_\alpha^{-1} (p, (\omega_i^\alpha (p))_{i=1}^n) = (p, \big( \omega_k^\alpha \pderA{x_\alpha^k}{x_\beta^j} (p) \big)_{j=1}^n)$, |
− | + | jsou \emph{inverzemi} přechodových funkcí na vlákně tečného bundlu a tečný a kotečný bundle jsou tedy geometricky odlišné struktury. Navíc $\left( \omega_i^\alpha \right)_{i=1}^n \in \R^n$, a tedy $\tau_{\alpha \beta} (p) \in \mathcal{L} (\R^n)$ hladce závisející na $p$. | |
− | \restr{\dx_\beta^j}{p}$, $\psi_\beta \circ \psi_\alpha^{-1} (p, | + | |
− | + | ||
− | (\omega_i^\alpha (p))_{i=1}^n) = (p, \big( \omega_k^\alpha \pderA{x_ | + | |
− | + | ||
− | \alpha^k}{x_\beta^j} (p) \big)_{j=1}^n)$, | + | |
− | jsou \emph{inverzemi} přechodových funkcí na vlákně tečného bundlu a | + | |
− | + | ||
− | tečný a kotečný bundle jsou tedy geometricky odlišné struktury. Navíc | + | |
− | + | ||
− | $\left( \omega_i^\alpha \right)_{i=1}^n \in \R^n$, a tedy $\tau_{\alpha | + | |
− | + | ||
− | \beta} (p) \in \mathcal{L} (\R^n)$ hladce závisející na $p$. | + | |
\end{pozn} | \end{pozn} | ||
\begin{defi} | \begin{defi} | ||
− | \textbf{Diferenciální {\boldmath $1$}-forma} {\boldmath $\omega$} na | + | \textbf{Diferenciální {\boldmath $1$}-forma} {\boldmath $\omega$} na $M$ je řez kotečného fibrovaného prostoru, $\omega \in \Gamma(\kotecnA)$. |
− | + | ||
− | $M$ je řez kotečného fibrovaného prostoru, $\omega \in \Gamma | + | |
− | + | ||
− | (\kotecnA)$. | + | |
\end{defi} | \end{defi} | ||
− | V lokálních souřadnicích $(x^i)$ na souřadnicovém okolí $U$ bodu $p$ | + | V lokálních souřadnicích $(x^i)$ na souřadnicovém okolí $U$ bodu $p$ máme vyjádření formy $\omega \in \Gamma(\kotecnA)$ ve tvaru $\omega(p) = \omega_i(p) \, \dx^i (p)$, kde $\omega_i \in \CnekA{U}$. Většinou značíme $\Gamma(\kotecnA) =$ {\boldmath $\Omega^1 (M)$}. |
− | + | ||
− | máme vyjádření formy $\omega \in \Gamma(\kotecnA)$ ve tvaru $\omega(p) | + | |
− | + | ||
− | = \omega_i(p) \, \dx^i (p)$, kde $\omega_i \in \CnekA{U}$. Většinou | + | |
− | + | ||
− | značíme $\Gamma(\kotecnA) =$ {\boldmath $\Omega^1 (M)$}. | + | |
\begin{defi} | \begin{defi} | ||
− | Buď $1 < k \leq n = \dim M, \ p \in M$. Pak \textbf{{\boldmath $k$}- | + | Buď $1 < k \leq n = \dim M, \ p \in M$. Pak \textbf{{\boldmath $k$}-forma v bodě} {\boldmath $p$} je $k$-lineární totálně antisymetrické zobrazení $\omega: \underbrace{\tecn \times \dots \times \tecn}_{k\text{-krát}} \rightarrow \R$. Tedy \mbox{$\forall X_1, \dots, X_k \in \tecn ,\ \forall \pi \in S_k = B_{ij}(\{ 1, \dots, k\})$ platí:} |
− | + | \[ \omega (X_{\pi (1)}, \dots , X_{\pi (k)}) = \sgn \pi \ \omega(X_1, \dots, X_k). | |
− | forma v bodě} {\boldmath $p$} je $k$-lineární totálně antisymetrické | + | |
− | + | ||
− | zobrazení $\omega: \underbrace{\tecn \times \dots \times \tecn}_{k | + | |
− | + | ||
− | \text{-krát}} \rightarrow \R$. Tedy \mbox{$\forall X_1, \dots, X_k \in | + | |
− | + | ||
− | \tecn ,\ \forall \pi \in S_k = B_{ij}(\{ 1, \dots, k\})$ platí:} | + | |
− | \[ \omega (X_{\pi (1)}, \dots , X_{\pi (k)}) = \sgn \pi \ \omega(X_1, | + | |
− | + | ||
− | \dots, X_k). | + | |
\] | \] | ||
− | Vektorový prostor všech $k$-forem v bodě $p$ značíme $\Lamb{k}$ nebo | + | Vektorový prostor všech $k$-forem v bodě $p$ značíme $\Lamb{k}$ nebo {\boldmath $\LambP{k}$}, $\dim \LambP{k} = \binom{n}{k}$. |
− | + | ||
− | {\boldmath $\LambP{k}$}, $\dim \LambP{k} = \binom{n}{k}$. | + | |
\end{defi} | \end{defi} | ||
− | Buď $\left( \restr{\pder{x^i}}{p}\right)_{i=1}^n$ báze $\tecn$, $\left( | + | Buď $\left( \restr{\pder{x^i}}{p}\right)_{i=1}^n$ báze $\tecn$, $\left( \restr{\dx^i}{p} \right)_{i=1}^n$ báze $\kotecn$, $i_1, \ldots, i_k \in \hat{n}$. Bazické vektory prostoru $\LambP{k}$ značíme $\restr{dx^{i_1} \wedge \ldots \wedge \dx^{i_k}}{p}$ (symbol $\wedge$ se nazývá \textbf{skobka} (angl. wedge)) a definujeme způsobem $(j_1, \ldots, j_k \in \hat{n})$: |
− | + | \[ \dx^{i_1} \wedge \ldots \wedge \dx^{i_k} \restr{\left( \pder{x^{j_1}}, \ldots , \pder{x^{j_k}} \right)}{p} = \sum_{\pi \in S_k} \sgn \pi \ \delta_{j_1}^{i_{\pi (1)}} \dots \delta_{j_k}^{i_{\pi (k)}}. | |
− | \restr{\dx^i}{p} \right)_{i=1}^n$ báze $\kotecn$, $i_1, \ldots, i_k \in | + | |
− | + | ||
− | \hat{n}$. Bazické vektory prostoru $\LambP{k}$ značíme $\restr{dx^{i_1} | + | |
− | + | ||
− | \wedge \ldots \wedge \dx^{i_k}}{p}$ (symbol $\wedge$ se nazývá \textbf | + | |
− | + | ||
− | {skobka} (angl. wedge)) a definujeme způsobem $(j_1, \ldots, j_k \in | + | |
− | + | ||
− | \hat{n})$: | + | |
− | \[ \dx^{i_1} \wedge \ldots \wedge \dx^{i_k} \restr{\left( \pder{x^ | + | |
− | + | ||
− | {j_1}}, \ldots , \pder{x^{j_k}} \right)}{p} = \sum_{\pi \in S_k} \sgn | + | |
− | + | ||
− | \pi \ \delta_{j_1}^{i_{\pi (1)}} \dots \delta_{j_k}^{i_{\pi (k)}}. | + | |
\] | \] | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
− | $\R^3 [x^1, x^2, x^3]: \dx^1 \wedge \dx^2 \left( \pder{x^2}, \pder{x^1} | + | $\R^3 [x^1, x^2, x^3]: \dx^1 \wedge \dx^2 \left( \pder{x^2}, \pder{x^1} \right) = -1$, $\dx^1 \wedge \dx^3 \left( \pder{x^2}, \pder{x^1} \right) = 0$ |
− | + | ||
− | \right) = -1$, $\dx^1 \wedge \dx^3 \left( \pder{x^2}, \pder{x^1} | + | |
− | + | ||
− | \right) = 0$ | + | |
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\begin{pozn} | \begin{pozn} | ||
− | Zavádíme tzv. \textbf{multiindexy}, kde $j_1, \ldots , j_k \in \hat{n}, | + | Zavádíme tzv. \textbf{multiindexy}, kde $j_1, \ldots , j_k \in \hat{n}, \ |J| = k$ ($|J|$ označuje délku indexu): |
− | + | ||
− | \ |J| = k$ ($|J|$ označuje délku indexu): | + | |
\begin{itemize} | \begin{itemize} | ||
\item $J = (j_1, \ldots , j_k)$ | \item $J = (j_1, \ldots , j_k)$ | ||
− | \item $\overrightharpoon{J} = (j_1, \ldots , j_k), \ 1 \leq j_1 < j_2 < | + | \item $\overrightharpoon{J} = (j_1, \ldots , j_k), \ 1 \leq j_1 < j_2 < \ldots < j_k \leq n$ |
− | + | \item $\delta_J^I = \sum_{\pi \in S_k} \sgn \pi \ \delta_{j_1}^{i_{\pi (1)}} \ldots \ \delta_{j_k}^{i_{\pi (k)}}$ | |
− | \ldots < j_k \leq n$ | + | \item $\dx^{\overrightharpoon{J}} = \dx^{j_1} \wedge \ldots \wedge \dx^{j_k}$ |
− | \item $\delta_J^I = \sum_{\pi \in S_k} \sgn \pi \ \delta_{j_1}^{i_{\pi | + | |
− | + | ||
− | (1)}} \ldots \ \delta_{j_k}^{i_{\pi (k)}}$ | + | |
− | \item $\dx^{\overrightharpoon{J}} = \dx^{j_1} \wedge \ldots \wedge | + | |
− | + | ||
− | \dx^{j_k}$ | + | |
\end{itemize} | \end{itemize} | ||
\end{pozn} | \end{pozn} | ||
\begin{pozn} | \begin{pozn} | ||
− | $\dx^{i_1} \wedge \ldots \wedge \dx^{i_k} \left( \pder{x^{j_1}}, | + | $\dx^{i_1} \wedge \ldots \wedge \dx^{i_k} \left( \pder{x^{j_1}}, \ldots, \pder{x^{j_k}}\right) = \delta_J^I$ |
− | + | ||
− | \ldots, \pder{x^{j_k}}\right) = \delta_J^I$ | + | |
\end{pozn} | \end{pozn} | ||
Souřadnicové vyjádření $\omega \in \LambP{k}$ je | Souřadnicové vyjádření $\omega \in \LambP{k}$ je | ||
− | \[ \omega = \sum_{j_1 < \ldots < j_k} \omega_{j_1, \ldots , j_k} \dx^ | + | \[ \omega = \sum_{j_1 < \ldots < j_k} \omega_{j_1, \ldots , j_k} \dx^{j_1} \wedge \ldots \wedge \dx^{j_k} = \omega_{\overrightharpoon{J}} \, \dx^{\overrightharpoon{J}}, |
− | + | ||
− | {j_1} \wedge \ldots \wedge \dx^{j_k} = \omega_{\overrightharpoon{J}} \, | + | |
− | + | ||
− | \dx^{\overrightharpoon{J}}, | + | |
\] | \] | ||
− | kde $\omega_{\overrightharpoon{J}} = \omega_{j_1, \ldots , j_k} = | + | kde $\omega_{\overrightharpoon{J}} = \omega_{j_1, \ldots , j_k} = \omega \left( \pder{x^{j_1}}, \ldots, \pder{x^{j_k}} \right)$. Tudíž $(\dx^{i_1} \wedge \ldots \wedge \dx^{i_k})_{i_1 < \ldots < i_k}$ neboli $(\dx^{\overrightharpoon{J}})$ tvoří bázi vektorového prostoru $\LambP{k}$ (jehož dimenze je rovna $\binom{n}{k}$). |
− | \ | + | Podobně jako pro kotečný prostor konstruujeme vektorový fibrovaný prostor označený $\Lambda^k (\kotecnA)$ nebo {\boldmath $\LambA{k}$} jako disjunktní sjednocení $\Lambda^k (\kotecnA) = \coprod_{p \in M} \Lamb{k}$. Jeho bazickou varietou je $M$, projekcí $\pi: \LambA{k} \rightarrow M$, kde $(\forall \omega \in \LambP{k})(\pi (\omega) = p)$, a typickým vláknem $F = \R^{\binom{n}{k}}$. |
− | + | Lokální trivializace na prostoru $\LambA{k}$ zavádíme pomocí atlasu $\atlas$ na varietě $M$ způsobem $\psi_\alpha : \pi^{(-1)} (U_\alpha) \rightarrow U_\alpha \times F$, kde ($p \in U_\alpha$, $\omega \in \LambP{k}$, $\omega = \omega_{\overrightharpoon{J}} \restr{\dx_\alpha^{\overrightharpoon{J}}}{p}$, $ (\omega_{j_1, \dots , j_k})_{j_1 < j_2 < \ldots < j_k}$ je $\binom{n}{k}$-tice čísel): | |
− | + | \[ \psi_\alpha ( \omega_{\overrightharpoon{J}} \ \dx^{\overrightharpoon{J}}|_p) = (p, (\omega_{j_1, \dots , j_k})_{j_1 < j_2 < \ldots < j_k}). %tady neni vyjimecne pouzit prikaz \restr, protoze zde jeho vystup nevypada dobre | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | Lokální trivializace na prostoru $\LambA{k}$ zavádíme pomocí atlasu $ | + | |
− | + | ||
− | \atlas$ na varietě $M$ způsobem $\psi_\alpha : \pi^{(-1)} (U_\alpha) | + | |
− | + | ||
− | \rightarrow U_\alpha \times F$, kde ($p \in U_\alpha$, $\omega \in | + | |
− | + | ||
− | \LambP{k}$, $\omega = \omega_{\overrightharpoon{J}} \restr{\dx_\alpha^ | + | |
− | + | ||
− | {\overrightharpoon{J}}}{p}$, $ (\omega_{j_1, \dots , j_k})_{j_1 < j_2 < | + | |
− | + | ||
− | \ldots < j_k}$ je $\binom{n}{k}$-tice čísel): | + | |
− | \[ \psi_\alpha ( \omega_{\overrightharpoon{J}} \ \dx^ | + | |
− | + | ||
− | {\overrightharpoon{J}}|_p) = (p, (\omega_{j_1, \dots , j_k})_{j_1 < j_2 | + | |
− | + | ||
− | < \ldots < j_k}). %tady neni vyjimecne pouzit prikaz \restr, protoze | + | |
− | + | ||
− | zde jeho vystup nevypada dobre | + | |
\] | \] | ||
\begin{defi} | \begin{defi} | ||
− | Zobrazení $\omega \in \Gamma(\LambA{k})$ nazýváme \textbf{diferenciální | + | Zobrazení $\omega \in \Gamma(\LambA{k})$ nazýváme \textbf{diferenciální {\boldmath $k$}-forma} na varietě $M$. Značíme {\boldmath $\Om{k}$}$ = \Gamma(\LambA{k})$. |
− | + | ||
− | {\boldmath $k$}-forma} na varietě $M$. Značíme {\boldmath $\Om{k}$}$ = | + | |
− | + | ||
− | \Gamma(\LambA{k})$. | + | |
\end{defi} | \end{defi} | ||
Řádka 278: | Řádka 104: | ||
Též je možné používat vyjádření: | Též je možné používat vyjádření: | ||
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
− | \Omega^k (M) = \{ \, & \omega: \cX \times \ldots \times \cX | + | \Omega^k (M) = \{ \, & \omega: \cX \times \ldots \times \cX \rightarrow \Cnek | \ (\forall X_1, \ldots, X_k \in \cX)(\forall \pi \in S_k) |
− | + | \\& (\omega (X_{\pi(1)}, \ldots , X_{\pi (k)}) = \sgn \pi \ \omega (X_1, \ldots, X_k)) \text{ a současně } | |
− | \rightarrow \Cnek | \ (\forall X_1, \ldots, X_k \in \cX)(\forall \pi | + | \\& (\forall X_1, \ldots, X_k, Y_1, \ldots, Y_k \in \cX)(\forall p \in M)(\forall j \in \hat{n}: X_j(p) = Y_j(p)) |
− | + | ||
− | \in S_k) | + | |
− | \\& (\omega (X_{\pi(1)}, \ldots , X_{\pi (k)}) = \sgn \pi \ \omega | + | |
− | + | ||
− | (X_1, \ldots, X_k)) \text{ a současně } | + | |
− | \\& (\forall X_1, \ldots, X_k, Y_1, \ldots, Y_k \in \cX)(\forall p \in | + | |
− | + | ||
− | M)(\forall j \in \hat{n}: X_j(p) = Y_j(p)) | + | |
\\& (\omega (X_1, \ldots, X_k)(p) = \omega (Y_1, \ldots, Y_k)(p))\}. | \\& (\omega (X_1, \ldots, X_k)(p) = \omega (Y_1, \ldots, Y_k)(p))\}. | ||
\end{align*} | \end{align*} | ||
Řádka 297: | Řádka 115: | ||
\end{pozn} | \end{pozn} | ||
− | Direktním součtem všech nenulových $\LambP{k}$ (tj. $k \in \hat{n} \cup | + | Direktním součtem všech nenulových $\LambP{k}$ (tj. $k \in \hat{n} \cup \{ 0 \}$, kde $n = \dim M$) dostáváme \mbox{$2^n$-rozměrný} vektorový prostor $\LambP{\bullet}$, tedy: |
− | + | \[ \LambP{0} \oplus \LambP{1} \oplus \ldots \oplus \LambP{n} = \LambP{\bullet}. | |
− | \{ 0 \}$, kde $n = \dim M$) dostáváme \mbox{$2^n$-rozměrný} vektorový | + | |
− | + | ||
− | prostor $\LambP{\bullet}$, tedy: | + | |
− | \[ \LambP{0} \oplus \LambP{1} \oplus \ldots \oplus \LambP{n} = \LambP | + | |
− | + | ||
− | {\bullet}. | + | |
\] | \] | ||
− | K němu příslušný vektorový fibrovaný prostor (tj. vybudovaný podobně | + | K němu příslušný vektorový fibrovaný prostor (tj. vybudovaný podobně jako výše) značíme $\Lambda^\bullet (\kotecnA)$ nebo {\boldmath $\LambA{\bullet}$}. Prostor jeho řezů značíme {\boldmath $\Omega^\bullet (M)$}$ = \Gamma (\LambA{\bullet})$. |
− | + | ||
− | jako výše) značíme $\Lambda^\bullet (\kotecnA)$ nebo {\boldmath $ | + | |
− | + | ||
− | \LambA{\bullet}$}. Prostor jeho řezů značíme {\boldmath $\Omega^\bullet | + | |
− | + | ||
− | (M)$}$ = \Gamma (\LambA{\bullet})$. | + | |
\begin{defi} | \begin{defi} | ||
− | Prvky $\Om{\bullet}$ nazýváme \textbf{diferenciální formy} na varietě | + | Prvky $\Om{\bullet}$ nazýváme \textbf{diferenciální formy} na varietě $M$. |
− | + | ||
− | $M$. | + | |
\end{defi} | \end{defi} | ||
\begin{pozn} | \begin{pozn} | ||
− | Každá diferenciální forma $\omega \in \Om{\bullet}$ se dá jednoznačně | + | Každá diferenciální forma $\omega \in \Om{\bullet}$ se dá jednoznačně rozložit na $\omega (p) = \sum_{k=0}^n \omega^{(k)}$, kde $\omega^{(k)} \in \Om{k}$, tj. lokálně: |
− | + | \[ \omega (p) = \sum_{k=0}^n \omega^{(k)}, \quad \text{kde} \quad\omega^{(k)} (p) = \sum_{|J| = k} \omega_{\overrightharpoon{J}} (p) \dx^{\overrightharpoon{J}}. | |
− | rozložit na $\omega (p) = \sum_{k=0}^n \omega^{(k)}$, kde $\omega^{(k)} | + | |
− | + | ||
− | \in \Om{k}$, tj. lokálně: | + | |
− | \[ \omega (p) = \sum_{k=0}^n \omega^{(k)}, \quad \text{kde} \quad | + | |
− | + | ||
− | \omega^{(k)} (p) = \sum_{|J| = k} \omega_{\overrightharpoon{J}} (p) | + | |
− | + | ||
− | \dx^{\overrightharpoon{J}}. | + | |
\] | \] | ||
\end{pozn} | \end{pozn} |
Verze z 21. 3. 2013, 21:35
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02GMF1
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02GMF1 | Kyseljar | 21. 3. 2013 | 22:31 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:50 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Kyseljar | 21. 3. 2013 | 22:12 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Diferencovatelné variety | Kyseljar | 10. 11. 2013 | 13:32 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Tečné vektory k varietě | Kyseljar | 27. 10. 2013 | 17:12 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Tečný bundle, vektorová pole, integrální křivky | Kyseljar | 27. 10. 2013 | 18:38 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Abstraktnější pohled na vektorová pole | Kyseljar | 21. 3. 2013 | 22:17 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Diferenciální formy | Kyseljar | 27. 10. 2013 | 20:30 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Operace s diferenciálními formami | Kyseljar | 30. 10. 2013 | 01:05 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Zobrazení indukovaná zobrazením variet, podvariety | Kyseljar | 31. 10. 2013 | 12:24 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Lieova derivace | Kyseljar | 10. 11. 2013 | 15:44 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Geometrická formulace Hamiltonovy mechaniky | Kyseljar | 10. 11. 2013 | 17:26 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Integrace forem | Kyseljar | 10. 11. 2013 | 18:15 | kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Integrace na varietách s hranicí, Stokesova věta | Kyseljar | 10. 11. 2013 | 21:00 | kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Variety s dodatečnou strukturou | Kyseljar | 21. 3. 2013 | 22:19 | kapitola12.tex | |
Kapitola13 | editovat | Literatura a poznámka na konec | Kyseljar | 30. 3. 2013 | 01:08 | literatura.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02GMF1} %\chapter{Diferenciální formy} \begin{defi} V každém bodě $p$ variety $M$ můžeme uvažovat vektorový prostor duální k tečnému prostoru $\tecn$. Značíme ho {\boldmath $\kotecn$} a nazýváme \textbf{kotečný prostor} k varietě $M$ v bodě $p$. Prvky $\kotecn$ obvykle značíme řeckými písmeny a nazýváme \textbf{{\boldmath$1$}-formy v bodě} {\boldmath $p$}, tedy \[ \omega \in \kotecn \Leftrightarrow \omega : \tecn \rightarrow \R \text{ a platí } (\forall X, Y \in \tecn)(\forall a \in \R)(\omega (a X + Y) = a \, \omega (X) + \omega(Y)). \] \end{defi} Mějme lokální souřadnice $(x^i)$ na $U = U^\circ \subset M$, $p \in U$. Pak báze $\tecn$ má tvar $\left( \restr{\pder{x^i}}{p} \right)_{i=1}^n$. Bázi $\kotecn$ k ní duální, tj. funkcionály $\varphi^i \in \kotecn:$ $\varphi^i \left( \restr{\pder{x^j}}{p} \right) = \delta_j^i$, značíme $\left(\restr{\de{x^i}}{p} \right)_{i=1}^n$. Jinak psáno tedy $\restr{\dx^i}{p} \left( \restr{\pder{x^j}}{p} \right) = \delta_j^i$ (důvod pro toto značení bude zřejmý později). Souřadnice 1-formy $\omega$ v bázi $(\dx^i)$ značíme $\omega_i$, tj. \[ \omega = \omega_i \restr{\dx^i}{p}. \] Při změně souřadnic $\tilde{x}^i = \tilde{x}^i (x^j)$, ($\delta_i^k = \restr{\de{\tilde{x}}^k}{p} \left( \pder{\tilde{x}^i} \right)$), máme \[ \restr{\pder{\tilde{x}^i}}{p} = \restr{\pderA{x^j}{\tilde{x}^i}}{p} \restr{\pder{x^j}}{p} \Rightarrow \restr{\de{\tilde{x}}^k}{p} \left( \pder{\tilde{x}^i} \right) = \pderA{x^j}{\tilde{x}^i} \restr{\de{\tilde{x}}^k}{p} \left( \pder{x^j} \right) = \delta_i^k. \] Poslední rovnost vynásobíme výrazem $\pderA{\tilde{x}^i}{x^l}$ a vysčítáme přes index $i$, čímž dostáváme \[ \restr{\de{\tilde{x}^k}}{p} \left( \pder{x^l} \right) = \restr{\pderA{\tilde{x}^k}{x^l}}{p}, \] a pro přechod mezi souřadnicemi tedy platí \[ \fbox{\restr{\de{\tilde{x}^k}}{p} = \restr{\pderA{\tilde{x}^k}{x^j}}{p} \ \restr{\dx^j}{p}} \] Pro $\omega = \omega_i \, \dx^i = \tilde{\omega}_j \, \de{\tilde{x}}^j$ dosazením získáváme \[ \tilde{\omega}_j \, \de{\tilde{x}}^j = \tilde{\omega}_j \pderA{\tilde{x}^j}{x^i} \, \dx^i, \] a tedy $\omega_i = \tilde{\omega}_j \pderA{\tilde{x}^j}{x^i}$ neboli \[ \fbox{$\tilde{\omega}_j = \restr{\pderA{x^i}{\tilde{x}^j}}{p} \omega_i$} \] \begin{defi} Podobně jako jsme zavedli tečný fibrovaný prostor, zavádíme i strukturu známou jako \textbf{kotečný fibrovaný prostor} neboli \textbf{kotečný bundle} (angl. cotangent bundle) {\boldmath $\kotecnA$}: \begin{enumerate} \item totální prostor $\kotecnA = \coprod_{p \in M} \kotecn$ \item projekce $\pi: \kotecnA \rightarrow M$ splňující $(\forall \omega \in \kotecn)(\pi (\omega) = p)$ \item typické vlákno $F \simeq \R^n$ \item lokální trivializace -- buďte $\pokryti : \bigcup_{\alpha \in I} U_\alpha = M, \ U_\alpha = U_\alpha^\circ$ souřadnicová okolí se souřadnicemi $(x_\alpha^i)$, pak definujeme systém lokálních trivializací $(V_\alpha, \psi_\alpha), V_\alpha = \pi^{(-1)} (U_\alpha)$, $\psi_\alpha: V_\alpha \rightarrow U_\alpha \times F$, kde ($\omega = \omega_i^\alpha \restr{\dx_\alpha^i}{p}$): \[ \psi_\alpha (\omega) = (p, (\omega_i^\alpha)_{i=1}^n). \] \end{enumerate} Topologii na $\kotecnA$ zavádíme jako topologii indukovanou vzory otevřených množin při $\psi_\alpha, \ \alpha \in I$. \end{defi} \begin{pozn} Buď $p \in U_\alpha \cap U_\beta$. Pak z předchozí definice vyplývá, že přechodové funkce na vlákně tvaru \[ \tau_{\alpha \beta} (p) \left( \left( \omega_i^\alpha \right)_{i=1}^n \right) = \left( \pderA{x_\alpha^k}{x_\beta^i} \ \omega_k^\alpha \right)_{i=1}^n , \] kde $\omega = \omega_i^\alpha \restr{\dx_\alpha^i}{p} = \omega_j^\beta \restr{\dx_\beta^j}{p}$, $\psi_\beta \circ \psi_\alpha^{-1} (p, (\omega_i^\alpha (p))_{i=1}^n) = (p, \big( \omega_k^\alpha \pderA{x_\alpha^k}{x_\beta^j} (p) \big)_{j=1}^n)$, jsou \emph{inverzemi} přechodových funkcí na vlákně tečného bundlu a tečný a kotečný bundle jsou tedy geometricky odlišné struktury. Navíc $\left( \omega_i^\alpha \right)_{i=1}^n \in \R^n$, a tedy $\tau_{\alpha \beta} (p) \in \mathcal{L} (\R^n)$ hladce závisející na $p$. \end{pozn} \begin{defi} \textbf{Diferenciální {\boldmath $1$}-forma} {\boldmath $\omega$} na $M$ je řez kotečného fibrovaného prostoru, $\omega \in \Gamma(\kotecnA)$. \end{defi} V lokálních souřadnicích $(x^i)$ na souřadnicovém okolí $U$ bodu $p$ máme vyjádření formy $\omega \in \Gamma(\kotecnA)$ ve tvaru $\omega(p) = \omega_i(p) \, \dx^i (p)$, kde $\omega_i \in \CnekA{U}$. Většinou značíme $\Gamma(\kotecnA) =$ {\boldmath $\Omega^1 (M)$}. \begin{defi} Buď $1 < k \leq n = \dim M, \ p \in M$. Pak \textbf{{\boldmath $k$}-forma v bodě} {\boldmath $p$} je $k$-lineární totálně antisymetrické zobrazení $\omega: \underbrace{\tecn \times \dots \times \tecn}_{k\text{-krát}} \rightarrow \R$. Tedy \mbox{$\forall X_1, \dots, X_k \in \tecn ,\ \forall \pi \in S_k = B_{ij}(\{ 1, \dots, k\})$ platí:} \[ \omega (X_{\pi (1)}, \dots , X_{\pi (k)}) = \sgn \pi \ \omega(X_1, \dots, X_k). \] Vektorový prostor všech $k$-forem v bodě $p$ značíme $\Lamb{k}$ nebo {\boldmath $\LambP{k}$}, $\dim \LambP{k} = \binom{n}{k}$. \end{defi} Buď $\left( \restr{\pder{x^i}}{p}\right)_{i=1}^n$ báze $\tecn$, $\left( \restr{\dx^i}{p} \right)_{i=1}^n$ báze $\kotecn$, $i_1, \ldots, i_k \in \hat{n}$. Bazické vektory prostoru $\LambP{k}$ značíme $\restr{dx^{i_1} \wedge \ldots \wedge \dx^{i_k}}{p}$ (symbol $\wedge$ se nazývá \textbf{skobka} (angl. wedge)) a definujeme způsobem $(j_1, \ldots, j_k \in \hat{n})$: \[ \dx^{i_1} \wedge \ldots \wedge \dx^{i_k} \restr{\left( \pder{x^{j_1}}, \ldots , \pder{x^{j_k}} \right)}{p} = \sum_{\pi \in S_k} \sgn \pi \ \delta_{j_1}^{i_{\pi (1)}} \dots \delta_{j_k}^{i_{\pi (k)}}. \] \begin{priklad} $\R^3 [x^1, x^2, x^3]: \dx^1 \wedge \dx^2 \left( \pder{x^2}, \pder{x^1} \right) = -1$, $\dx^1 \wedge \dx^3 \left( \pder{x^2}, \pder{x^1} \right) = 0$ \end{priklad} \begin{pozn} Zavádíme tzv. \textbf{multiindexy}, kde $j_1, \ldots , j_k \in \hat{n}, \ |J| = k$ ($|J|$ označuje délku indexu): \begin{itemize} \item $J = (j_1, \ldots , j_k)$ \item $\overrightharpoon{J} = (j_1, \ldots , j_k), \ 1 \leq j_1 < j_2 < \ldots < j_k \leq n$ \item $\delta_J^I = \sum_{\pi \in S_k} \sgn \pi \ \delta_{j_1}^{i_{\pi (1)}} \ldots \ \delta_{j_k}^{i_{\pi (k)}}$ \item $\dx^{\overrightharpoon{J}} = \dx^{j_1} \wedge \ldots \wedge \dx^{j_k}$ \end{itemize} \end{pozn} \begin{pozn} $\dx^{i_1} \wedge \ldots \wedge \dx^{i_k} \left( \pder{x^{j_1}}, \ldots, \pder{x^{j_k}}\right) = \delta_J^I$ \end{pozn} Souřadnicové vyjádření $\omega \in \LambP{k}$ je \[ \omega = \sum_{j_1 < \ldots < j_k} \omega_{j_1, \ldots , j_k} \dx^{j_1} \wedge \ldots \wedge \dx^{j_k} = \omega_{\overrightharpoon{J}} \, \dx^{\overrightharpoon{J}}, \] kde $\omega_{\overrightharpoon{J}} = \omega_{j_1, \ldots , j_k} = \omega \left( \pder{x^{j_1}}, \ldots, \pder{x^{j_k}} \right)$. Tudíž $(\dx^{i_1} \wedge \ldots \wedge \dx^{i_k})_{i_1 < \ldots < i_k}$ neboli $(\dx^{\overrightharpoon{J}})$ tvoří bázi vektorového prostoru $\LambP{k}$ (jehož dimenze je rovna $\binom{n}{k}$). Podobně jako pro kotečný prostor konstruujeme vektorový fibrovaný prostor označený $\Lambda^k (\kotecnA)$ nebo {\boldmath $\LambA{k}$} jako disjunktní sjednocení $\Lambda^k (\kotecnA) = \coprod_{p \in M} \Lamb{k}$. Jeho bazickou varietou je $M$, projekcí $\pi: \LambA{k} \rightarrow M$, kde $(\forall \omega \in \LambP{k})(\pi (\omega) = p)$, a typickým vláknem $F = \R^{\binom{n}{k}}$. Lokální trivializace na prostoru $\LambA{k}$ zavádíme pomocí atlasu $\atlas$ na varietě $M$ způsobem $\psi_\alpha : \pi^{(-1)} (U_\alpha) \rightarrow U_\alpha \times F$, kde ($p \in U_\alpha$, $\omega \in \LambP{k}$, $\omega = \omega_{\overrightharpoon{J}} \restr{\dx_\alpha^{\overrightharpoon{J}}}{p}$, $ (\omega_{j_1, \dots , j_k})_{j_1 < j_2 < \ldots < j_k}$ je $\binom{n}{k}$-tice čísel): \[ \psi_\alpha ( \omega_{\overrightharpoon{J}} \ \dx^{\overrightharpoon{J}}|_p) = (p, (\omega_{j_1, \dots , j_k})_{j_1 < j_2 < \ldots < j_k}). %tady neni vyjimecne pouzit prikaz \restr, protoze zde jeho vystup nevypada dobre \] \begin{defi} Zobrazení $\omega \in \Gamma(\LambA{k})$ nazýváme \textbf{diferenciální {\boldmath $k$}-forma} na varietě $M$. Značíme {\boldmath $\Om{k}$}$ = \Gamma(\LambA{k})$. \end{defi} \begin{pozn} Též je možné používat vyjádření: \begin{align*} \Omega^k (M) = \{ \, & \omega: \cX \times \ldots \times \cX \rightarrow \Cnek | \ (\forall X_1, \ldots, X_k \in \cX)(\forall \pi \in S_k) \\& (\omega (X_{\pi(1)}, \ldots , X_{\pi (k)}) = \sgn \pi \ \omega (X_1, \ldots, X_k)) \text{ a současně } \\& (\forall X_1, \ldots, X_k, Y_1, \ldots, Y_k \in \cX)(\forall p \in M)(\forall j \in \hat{n}: X_j(p) = Y_j(p)) \\& (\omega (X_1, \ldots, X_k)(p) = \omega (Y_1, \ldots, Y_k)(p))\}. \end{align*} \end{pozn} \begin{pozn} $\LambP{0} \equiv \R$ \end{pozn} Direktním součtem všech nenulových $\LambP{k}$ (tj. $k \in \hat{n} \cup \{ 0 \}$, kde $n = \dim M$) dostáváme \mbox{$2^n$-rozměrný} vektorový prostor $\LambP{\bullet}$, tedy: \[ \LambP{0} \oplus \LambP{1} \oplus \ldots \oplus \LambP{n} = \LambP{\bullet}. \] K němu příslušný vektorový fibrovaný prostor (tj. vybudovaný podobně jako výše) značíme $\Lambda^\bullet (\kotecnA)$ nebo {\boldmath $\LambA{\bullet}$}. Prostor jeho řezů značíme {\boldmath $\Omega^\bullet (M)$}$ = \Gamma (\LambA{\bullet})$. \begin{defi} Prvky $\Om{\bullet}$ nazýváme \textbf{diferenciální formy} na varietě $M$. \end{defi} \begin{pozn} Každá diferenciální forma $\omega \in \Om{\bullet}$ se dá jednoznačně rozložit na $\omega (p) = \sum_{k=0}^n \omega^{(k)}$, kde $\omega^{(k)} \in \Om{k}$, tj. lokálně: \[ \omega (p) = \sum_{k=0}^n \omega^{(k)}, \quad \text{kde} \quad\omega^{(k)} (p) = \sum_{|J| = k} \omega_{\overrightharpoon{J}} (p) \dx^{\overrightharpoon{J}}. \] \end{pozn}