Součásti dokumentu 01VYMA
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01VYMA}
\section{Funkce komplexní proměnné} % FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ
\subsection{Komplexní čísla} % Komplexní čísla
\subsubsection{Definice}
\begin{equation*}
\mathbb{C}=\left\{(x,y):x,y \in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}
\subsubsection{Definice - operace na $\mathbb{C}$}
Na $\mathbb{C}$ definujeme sčítání a odčítání jako
\begin{equation*}
(x_1,y_1)\pm(x_2,y_2)=(x_1\pm x_2,y_1\pm y_2)
\end{equation*}
a násobení jako
\begin{equation*}
(x_1,y_1)\cdot(x_2,y_2)=(x_1 x_2 - y_1 y_2,x_1y_2+x_2y_1)
\end{equation*}
\subsubsection{Věta}
Číslo $x \in \mathbb{R}$ ztotožníme s $(x,0)$.
\hfill \\
\emph{Důkaz:}
\begin{itemize}
\item $x,y \in \mathbb{R}$
\item $(x,0)\pm(y,0)=(x\pm y,0)$
\item $(x,0)\cdot(y,0)=(xy,0)$
\end{itemize}
\subsubsection{Důsledek}
Operace $\pm$ a $\cdot$ na $\mathbb{C}$ rozšiřují sčítání, odčítání a násobení z $\mathbb{R}$.
\subsubsection{Definice}
$(0,1):=\ui$
\subsubsection{Věta}
$\ui^2=-1$
\hfill \\
\emph{Důkaz:} $(0,1)\cdot(0,1)=(0-1,0+0)=-1$
\subsubsection{Věta}
Libovolné komplexní číslo $(x,y)$, kde $x,y \in \mathbb{R}$ lze psát ve tvaru
\begin{equation*}
z=(x,y)=x(1,0)+y(0,1)=x+\ui y
\end{equation*}
Tomuto zápisu říkáme algebraický tvar komplexního čísla. $x=\reca z, \ y=\imca z$. K číslu $z=x+\ui y$, $x,y \in \mathbb{R}$ přiřazuji číslo komplexně sdružené: $\bar{z}=x-\ui y$. $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$.
\subsubsection{Důsledky}
Pro libovolné $z_1,z_2 \in \mathbb{C}$ platí
\begin{equation*}
z\cdot \bar{z}=|z|^2 \qquad |z|=|\bar{z}|
\end{equation*}
\begin{equation*}
\reca z=\frac{z+\bar{z}}{2} \qquad \imca z= \frac{z-\bar{z}}{2\ui}
\end{equation*}
\begin{align*}
|z_1\cdot z_2| & =|z_1|\cdot|z_2| \\
|z_1+ z_2| & \leq |z_1|+|z_2| \\
|z_1- z_2| & \geq ||z_1|-|z_2||
\end{align*}
Dělení komlexních čísel probíhá následovně (po složkách)
\begin{equation*}
\frac{z_1}{z_2}\cdot \frac{\bar{z}_2}{\bar{z}_2}=\frac{ \overbrace{z_1\cdot \bar{z}_2}^{\in \mathbb{C}} }{ \underbrace{|z_2|^2}_{\in \mathbb{R}} }
\end{equation*}
%
\subsubsection{Věta}
Každé $z=x+\ui y$; $x,y \in \mathbb{R}$ lze chápat jako $[x,y] \in \mathbb{R}^2$ v Gaussově rovině. Můžeme tedy zavést polární souřadnice
\begin{align*}
x=r\cos(\varphi)\\
y=r\sin(\varphi)
\end{align*}
kde $r \geq 0$ a $\varphi$ je úhel, který svírá průvodič $[x,y]$ s kladnou částí osy $x$. $r=\sqrt{x^2+y^2}=|z|$.
\subsubsection{Důsledek}
Každé komplexní číslo lze zapsat v goniometrickém tvaru
\begin{equation*}
z=|z|\left( \cos(\varphi)+\ui \sin(\varphi) \right)
\end{equation*}
\subsubsection{Věta}
Jelikož funkce $\sin$ a $\cos$ jsou $2\pi$ periodické, zavedeme množinu argumentů čísla $z$
\begin{equation*}
\mathrm{Arg}z:=\left\{ \varphi \in \mathbb{R} : z=|z|\left( \cos(\varphi)+\ui \sin(\varphi) \right) \right\}
\end{equation*}
Mezi prvky množiny Arg$z$ existuje právě jedno $\varphi \in (-\pi,\pi \rangle$. Tomuto $\varphi$ říkáme hlavní hodnota argumentu čísla $z$ a značíme ho arg$z$, tj.
\begin{equation*}
\mathrm{arg}z=\mathrm{Arg}z \cap (-\pi,\pi \rangle
\end{equation*}
\subsubsection{Věta}
Násobení a mocnění čísel v goniometrickém tvaru:
\begin{equation*}
z=|z|\left( \cos(\varphi)+\ui \sin(\varphi) \right) \qquad w=|w|\left( \cos(\psi)+\ui \sin(\psi) \right)
\end{equation*}
\begin{align*}
z\cdot w & =|z|\cdot|w|\left( \cos(\varphi)\cos(\psi)-\sin(\varphi)\sin(\psi)+\ui\cos(\varphi)\sin(\psi) +\ui \cos(\psi)\sin(\varphi) \right) \\
& = |z\cdot w|\left( \cos(\varphi+\psi) +\ui \sin(\varphi+\psi) \right) \\
\end{align*}
\subsubsection{Poznámka}
Arg($z\cdot w$) = Arg$z$ + Arg$w$, ale arg($z\cdot w$) = arg$z$ + arg$w$ neplatí! Platí pouze arg($z\cdot w$) = arg$z$ + arg$w +2k\pi$ pro vhodně zvolené $k\in \{-1,0,1\}$.
\subsubsection{Příklad}
\begin{align*}
z & =\ui=\cos(\frac{\pi}{2})+\ui\sin(\frac{\pi}{2}) \qquad \mathrm{arg}z=\frac{\pi}{2} \\
w & =-1+\ui=\sqrt{2} \left( \cos(\frac{3}{4}\pi)+\ui\sin(\frac{3}{4}\pi) \right) \qquad \mathrm{arg}w=\frac{3}{4}\pi \\
z\cdot w & =-1-\ui=\sqrt{2} \left( \cos(\frac{5}{4}\pi)+\ui\sin(\frac{5}{4}\pi) \right) \qquad \mathrm{arg}(z\cdot w)=-\frac{3}{4}\pi \neq \mathrm{arg}z+\mathrm{arg}w
\end{align*}
%
\subsection{Základní pojmy} % Základní pojmy FKP
\subsubsection{Definice - funkce komplexní proměnné}
Řekněme, že na množině $M \subset \mathbb{C}$ je dána funkce $f(z)$ komplexní proměnné, je-li každému $z\in M$ přiřazeno právě jedno komplexní číslo $w\in \mathbb{C}$. Potom značíme $w=f(z)$ $\forall z \in M$.
\subsubsection{Poznámka - reálná a imaginární složka FKP}
$z\in M \to z=x+\ui y$ kde $x,y \in \mathbb{R}$ \\
$w=f(z) \to w=u+\ui v$ kde $u,v \in \mathbb{R}$ \\
\begin{equation*}
f(x+\ui y)=\underbrace{u(x,y)}_{\reca f}+\ui \underbrace{v(x,y)}_{\imca f}
\end{equation*}
\subsubsection{Příklad}
$f(z)=z^2$, $ z = x+iy$, kde $x,y \in \mathbb{R}$\\
$f(x+iy)=(x+iy)^2=x^2+2ixy-y^2=\underbrace{x^2-y^2}_{u(x,y)}+ \ui \underbrace{2xy}_{v(x,y)}$ \\
$u,v$ jsou definované $\forall [x,y] \in \mathbb{R}^2 \iff f $ je definována $\forall z \in \mathbb{C}$.
\subsubsection{Definice - rozšíření množiny komplexních čísel} %Limita a spojitost FKP\\
Rozšíříme $\mathbb{C}$ o komplexní nekonečno $\mathbb{C}^* = \mathbb{C} \cup \{\infty\} $, kde operace s nekonečnem se definují jako:
\begin{itemize}
\item $ z \pm \infty = \infty \qquad \forall z \in \mathbb{C}$
\item $ z \cdot \infty = \infty \qquad \forall z \in \mathbb{C}^* \backslash \{0\}$
\item $ \frac{z}{\infty} = 0 \qquad \forall z \in \mathbb{C}$
\item $ \frac{z}{0} = \infty \qquad \forall z \in \mathbb{C}^* \backslash \{0\}$
\end{itemize}
Nedefinujeme tyto neurčité výrazy: $\infty + \infty$, $0 \cdot \infty$, $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$.
%
\subsection{Limita a spojitost FKP} % Limita a spojitost
\subsubsection{Definice - okolí bodu}
Pro dané $\varepsilon>0$ rozumíme $\varepsilon$-okolím bodu $z_0 \in \mathbb{C}$ množinu
\begin{align*}
H_{\varepsilon}(z_0) & =\{ z \in \mathbb{C} : |z-z_0| < \varepsilon \} \\
H_{\varepsilon} (\infty) & =\{ z \in \mathbb{C} : |z| > \varepsilon \}
\end{align*}
\subsubsection{Definice}
Nechť $z_0\in \mathbb{C}^*$ je hromadný bod definičního oboru fce $f(z)$. Řekneme, že fce $f(z)$ má v bodě $z_0$ limitu rovnou $w \in \mathbb{C}^*$ a píšeme
\begin{equation*}
\lim_{z\to z_0} f(z)=w
\end{equation*}
právě tehdy když
\begin{equation*}
( \forall H(w) )( \exists H(z_0) ):( \forall z \in H(z_0) \cap Dom(f) \backslash \{z_0\}) \implies f(z) \in H(w)
\end{equation*}
Ekvivalentně lze psát ($z\neq \infty \wedge w\neq \infty$)
\begin{equation*}
(\forall \varepsilon>0)(\exists \delta>0):(\forall z \in \mathbb{C}, 0<|z-z_0|<\delta)\implies |f(z)-w| < \varepsilon
\end{equation*}
a v případě, že $z_0=\infty$, $w\in \mathbb{C}$
\begin{equation*}
( \forall \varepsilon > 0 )(\exists \delta > 0):(\forall z \in \mathbb{C}, |z|>\delta)\implies |f(z)-w| < \varepsilon
\end{equation*}
Na další speciální případy ($z_0\in \mathbb{C}$ a $w=\infty$; $z_0=\infty$ a $w=\infty$) jistě přijde pozorný čtenář sám.
\subsubsection{Definice}
Speciální případ. Řekneme, že komplexní posloupnost $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ má limitu rovnou $a \in \mathbb{C}^*$ a píšeme
\begin{equation*}
\lim_{n\to \infty} a_n=a
\end{equation*}
\begin{equation*}
\iff (\forall H(a))(\exists n_0 \in \mathbb{R}):(\forall n \in \mathbb{N}, n > n_0)\implies a_n \in H(a)
\end{equation*}
\subsubsection{Poznámka}
Podobně jako v $\mathbb{R}$ platí v $\mathbb{C}$ věty o limitách součtu, rozdílu, součinu a podílu limit, pokud je příslušný součet, rozdíl, součin respektive podíl definován v $\mathbb{C}$. Narozdíl od $\mathbb{R}^*$ platí v $\mathbb{C}^*$:
\begin{align*}
z_n & \to \infty \iff |z_n| \to +\infty \qquad \mathrm{v} \ \mathbb{R} \ \mathrm{pouze} \ \implies \\
z_n & \to 0 \iff \frac{1}{z_n} \to \infty \qquad \mathrm{v} \ \mathbb{R} \ \mathrm{pouze} \ \Leftarrow \\
\end{align*}
\subsubsection{Definice}
Řekneme, že funkce $f(z)$ je spojitá v bodě $z_0 \in \mathbb{C}$, pokud je v $z_0$ definována a platí
\begin{equation*}
\lim_{z\to z_0} f(z) = f(z_0)
\end{equation*}
Funkce je spojitá na množině $M\subset \mathbb{C} \iff$ je spojitá v každém bodě $M$.
\subsubsection{Věta}
Funkce je spojitá v bodě $z_0 \in \mathbb{C} \iff$ její složky $u,v$ jsou spojité funkce v bodě $ [x_0,y_0] \in \mathbb{R}^2$, kde $z_0=x_0+\ui y_0$.
\subsubsection{Příklad}
$f(z) =\frac{1}{z} \qquad Dom(f) = \mathbb{C} \backslash \{0\}$
\begin{align*}
f(x+\ui y) & = \frac{1}{x+\ui y}=\frac{x-\ui y}{x^2+y^2}=\frac{x}{x^2+y^2}-\ui\frac{y}{x^2+y^2} \\
u(x,y) & =\frac{x}{x^2+y^2} \qquad v(x,y) =\frac{-y}{x^2+y^2} \\
x^2+y^2 & = 0 \iff [x,y]=[0,0] \iff z=0
\end{align*}
$\forall [x,y] \neq [0,0]$ jsou $u,v$ spojité.
\subsubsection{Příklad}
$ \arg z \qquad \forall z \in \mathbb{C} \quad \arg z \in \mathbb{R} \in (-\pi,\pi \rangle$
\begin{equation*}
\cos(\varphi) = \frac {x}{\sqrt{x^2+y^2}} \qquad z=x+iy \qquad x,y \in \mathbb{R}
\end{equation*}
$$
\arg z = \begin{cases}
\arccos \frac {x}{\sqrt{x^2+y^2}}, & y \geq 0 \\
- \arccos \frac {x}{\sqrt{x^2+y^2}}, & y < 0
\end{cases}
$$
$$
u(x,y) = \begin{cases}
\arccos \frac {x}{\sqrt{x^2+y^2}}, & y \geq 0 \\
- \arccos \frac {x}{\sqrt{x^2+y^2}}, & y < 0
\end{cases}
$$
\centerline{$v(x,y)=0 \qquad \forall x,y \in \mathbb{R}$ }
\begin{itemize}
\item $x>0, y=0$\\
$ \lim_{[x,y]\to [x_0,0]} u(x,y)=0$
\item $x_0 <0,y_0=0$\\
$\lim_{[x,y]\to [x_0,0]} u(x,y)=\arccos(-1)=\pi$
\item $y_0>0$\\
$\lim_{[x,y]\to [x_0,0]} u(x,y)=-\pi$
\end{itemize}
$\implies$ Celkově limita neexistuje.\\
$\arg z$ je spojitá na $\mathbb{C} \backslash P_{\theta}$, kde $P_{\theta} = \{ \alpha (\cos \theta + i \cos \theta):\alpha \geq 0 \}$. Na $P_\theta$ má $\arg z$ skok v reálné složce o velikosti $2\pi$.
\subsubsection{Příklad}
Funkce $f(z)=|z|$ je spojitá na $\mathbb{C}$.
%
\subsection {Elementární funkce komplexní proměnné} % Elementární funkce
\subsubsection{Definice}
$z\in \mathbb{C}$, definujeme
\begin{align*}
e^z & = \sum^{+\infty}_{n=0} \frac{z^n}{n!}\\
\cos(z) & = \sum^{+\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n z^{2n}}{(2n)!}\\
\sin(z) & = \sum^{+\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n z^{2n+1}}{(2n+1)!}
\end{align*}
\subsubsection{Věta}
Za pomoci těchto definic můžeme získat Eulerův vzorec:
\begin{align} \label{eq:euler}
e^{\ui z} & = \sum^{+\infty}_{n=0} \frac{\ui^n z^n}{n!} = \sum^{+\infty}_{k=0} \frac{(-1)^k z^{2k}}{(2k)! } + \ui \cdot \sum^{+\infty}_{k=0} \frac{(-1)^k z^{2k+1}}{(2k+1)!}\nonumber \\
& =\cos(z) + \ui \sin(z) \qquad \forall z \in \mathbb{C}
\end{align}
$\implies$ každé $z \in \mathbb{C}$ lez psát v exponenciálním tvaru $z=|z|e^{\ui\varphi}$, kde $\varphi \in$ Arg$(z)$
%
\subsubsection{Poznámka}
\begin{equation*}
e^{\ui z} = \cos(z) + \ui \sin(z) \qquad e^{-\ui z} = \cos(z) - \ui \sin(z)
\end{equation*}
Sečtením těchto dvou rovností získáme:
\begin{equation*}
\cos(z) = \frac {e^{\ui z}+e^{-\ui z}}{2} \qquad \cosh(z) = \frac {e^{z}+e^{-z}}{2}
\end{equation*}
Odečtením získáme:
\begin{equation*}
\sin(z) = \frac {e^{\ui z}-e^{-\ui z}}{2\ui}\qquad \sinh(z) = \frac {e^{z}-e^{-z}}{2}
\end{equation*}
%
\subsubsection{Věta}
$\forall z,w \in \mathbb{C}: \quad e^{z+w}=e^z e^w$
\hfill \\
\emph{Důkaz:}
\begin{align*}
e^z e^w & = \left( \sum^{+\infty}_{n=0} \frac{z^n}{n!} \right) \left( \sum^{+\infty}_{k=0} \frac{w^k}{k!} \right)
= \sum^{+\infty}_{n=0} \sum^n_{k=0} \frac{z^k}{k!} \frac{w^{n-k}}{(n-k)!} \quad /\cdot\frac{n!}{n!} \\
& = \sum^{+\infty}_{n=0} \frac {1}{n!} \sum^{n}_{k=0} {n \choose k} z^k w^{n-k}= \sum^{+\infty}_{n=0} \frac {(z+w)^n}{n!}=e^{z+w}
\end{align*}
%
\subsubsection{Příklad - peridiciota exponenciály}
$z= \underbrace{\reca z}_{x} + i \underbrace {\imca z}_{y}$\\
$e^z= e^x e^{iy}=e^x(\cos y + i \sin y)$ \\
$\implies$ funkce $e^z, z \in \mathbb{C}$ je periodická, s periodou $2\pi\ui$!
%
\subsubsection{Příklad - komplexní logaritmus}
Pro zadané $w \in \mathbb{C}$ řešte rovnici $e^z=w$ \\
hledáme množinu Ln$(w) = \{ z \in \mathbb{C}, e^z = w\}=?$\\
$w=|w|e^{\ui\varphi},\quad \varphi \in $Arg$(w)$\\
$z$ hledáme ve tvaru $x+\ui y,\quad x,y \in \mathbb{R}$\\
$e^z=e^x e^{\ui y}=w \qquad$ na rovnici aplikuji absolutní hodnotu\\
$e^x=|w| \quad \implies \quad x=\ln |w| $\\
$y \in $Arg$(w)$\\
$z=x+\ui y \in \ln|w| + \ui$ Arg$(w)$\\
\begin{equation*}
\implies \mathrm{Ln}(w) = \ln|w| + \ui \mathrm{Arg}(w)
\end{equation*}
Funkci $e^z$ nelze invertovat na $\mathbb{C}$, protože není na $\mathbb{C}$ prostá. V množině Ln$(w)$ existuje právě jedno číslo $z$ takové, že $\imca z \in (-\pi, \pi \rangle$. Toto $z$ značíme $\ln(w)$ (přirozený logaritmus čísla $w$) a nazývá se hlavní hodnota logaritmu.
\begin{equation*}
\ln(w) = \ln|w| + \ui \arg(w)
\end{equation*}
%
\subsubsection{Poznámka}
Funkce $\ln(w)$ je definovaná $\forall w \in \mathbb{C} \backslash \{0\}$.
\subsubsection{Poznámka}
Rovnice $e^z=w$ má řešení nejen $\ln(w)$, ale i $z_k= \ln(w) + 2k\pi\ui, \quad k \in \mathbb{Z}$
\subsubsection{Poznámka}
Ln$(z\cdot w)=$ Ln$(z)+$ Ln$(w)$\\
$\ln(z\cdot w)=\ln(z) + \ln(w) + 2k\pi\ui, \quad$ pro vhodně zvolené $k \in \{-1,0,1\}$.
%
\subsubsection{Definice - obecná mocnina}
$z^w:=e^{w\ln z} \qquad \forall z,w \in \mathbb{C}, z \neq 0$
\subsubsection{Příklad}
\begin{equation*}
\sqrt{\ui} = e^{\frac{1}{2} \ln(\ui)} = e^{\frac{1}{2}(\ln|\ui|+\ui\arg(\ui))}= e^{\frac{1}{2}(0+ \ui \frac{\pi}{2})}= e^{\ui \frac{\pi}{4}}
\end{equation*}
\subsubsection{Poznámka}
\begin{equation*}
\sqrt[n]{z}=z^{\frac{1}{n}}=e^{\frac{1}{n}\ln(z)}
\end{equation*}
je jednoznačně určená funkce, ale rovnice $z^n=w$ má pro dané $w\in \mathbb{C}/\{0\}$ celkem $n$ řešení v $\mathbb{C}$ ve tvaru
\begin{equation*}
z_k=\sqrt[n]{w}\cdot e^{\frac{2k\pi}{n}\ui} \quad k \in \{0,1,\dots,n-1\}
\end{equation*}
%
\subsection {Derivace funkce komplexní proměnné} % Derivace FKP
\subsubsection{Definice}
Nechť funkce $f(z)$ komplexní proměnné je definována na množině $M \subset \mathbb{C}$ a nechť je $z_0 \in M$ vnitřní bod $Dom(f)$. Existuje-li konečná limita
\begin{equation} \label{eq:derivace}
\lim_{z \to z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}
\end{equation}
potom říkáme, že $f(z)$ je diferencovatelná v bodě $z_0$, tutu hodnotu značíme $f'(z_0)$ a nazýváme derivací funkce $f(z)$ v bodě $z_0$.
\subsubsection{Definice - holomorfnost funkce}
Pro komplexní funkci komplexní proměnné se běžně zavádí následující označení.
Pokud je $f(z)$ diferencovatelná v $z_0$ a na celém okolí $z_0$, pak říkáme, že $f(z)$ je {\bf holomorfní} v $z_0$.
Pokud je $f(z)$ diferencovatelná v každém bodě otevřené množiny $M$, pak říkáme, že $f(z)$ je holomorfní na $M$.
Pokud je $f(z)$ diferencovatelná na okolí $\infty$, tj. $\forall z, |z|>R$, a při označení $w=\frac{1}{z}$, $g(w)=f(z)$ je funkce $g(w)$ holomorfní v 0. Pak říkáme, že $f(z)$ je holomorfní v $\infty$.
\subsubsection{Poznámka}
Pokud $f'(z_0)$ existuje, pak hodnota limity \eqref{eq:derivace} nesmí záviset na způsobu, jakým se $z$ přibližuje k $z_0$. Diferencovatelnost v komplexních číslech je silnější požadavek než v číslech reálných a má zajímavé důsledky.
\subsubsection{Příklad}
Nechť $z_0 = x_0 + iy_0$
\begin{enumerate}
\item $z = x_0 + \Delta x + \ui y_0 \qquad \Delta x \in \mathbb{R} \qquad$ přibližovanání $\leftrightarrow$\\
$f(x+\ui y)=u(x,y)+\ui v(x,y) \qquad u,v: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$
\begin{align*}
f'(z_0) & =\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac {u(x_0+\Delta x,y_0)+\ui v(x_0+\Delta x,y_0)-u(x_0,y_0)-\ui v(x_0,y_0)}{\Delta x} \\
& = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \left( \frac{u(x_0+\Delta x,y_0) - u(x_0,y_0)}{\Delta x} - \ui \frac{v(x_0+\Delta x,y_0) - v(x_0,y_0)}{\Delta x} \right) \\
& = \frac{\partial u}{\partial x}(x_0,y_0) + \ui \frac{\partial v}{\partial x}(x_0,y_0) = f'(z_0)
\end{align*}
\item $z=x_0+i(y_0+\Delta y) \qquad \Delta y \in \mathbb{R} \qquad$ přibližování $\updownarrow$
\begin{align*}
f'(z_0) & =\lim_{\Delta y \rightarrow 0}\frac{u(x_0,y_0+\Delta y)+\ui v (x_0,y_0+\Delta y) - u(x_0,y_0)-\ui v(x_0,y_0)}{\ui\Delta y}\\
& =\lim_{\Delta y \rightarrow 0} \left( \frac{1}{\ui} \frac{u(x_0,y_0+\Delta y) - u(x_0,y_0)}{\Delta y} - \frac{\ui}{\ui} \frac{v(x_0,y_0+\Delta y) - v(x_0,y_0)}{\Delta y} \right) \\
& = \frac{\partial v}{\partial y}(x_0,y_0) - \ui \frac{\partial u}{\partial y}(x_0,y_0) = f'(z_0)
\end{align*}
\end{enumerate}
Když je $f(z)$ diferencovatelná, tak 1. musí být stejná jako 2. $\implies$ musí se rovnat reálné i imaginární části:
\begin{align} \label{eq:cauchy}
\frac {\partial u}{\partial x}(x_0,y_0) & = \frac{\partial v}{\partial y}(x_0,y_0)\nonumber \\
\frac {\partial u}{\partial y}(x_0,y_0) & = - \frac{\partial v}{\partial x}(x_0,y_0)
\end{align}
Tyto dvě rovnosti se nazývají {\bf Cauchy-Riemannovy podmínky} a jsou nutné pro existenci $f'(z_0)$.
%
\subsubsection{Věta - Cauchy-Riemannova}
Funkce $\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ má v bodě $z_0=(x_0+\ui y_0); x_0,y_0 \in \mathbb{R}$ derivaci, tehdy a jen tehdy, mají-li funkce $u(x,y)=\reca f(x+\ui y)$ a $v(x,y)=\imca f(x+\ui y)$ totální diferenciál v bodě $[x_0,y_0]$ a platí-li Cauchy-Reimannovy podmínky \eqref{eq:cauchy}.
\subsubsection{Příklad}
$f(z)=e^{x+\ui y}=e^x(\cos(y) + \ui \sin(y))$
\begin{align*}
u(x,y)=e^x \cos(y)\\
v(x,y)=e^x \sin(y)
\end{align*}
\begin{align*}
\frac{\partial u}{\partial x}(x,y) & =e^x \cos(y) = \frac {\partial v}{\partial y}(x,y) \\
\frac{\partial u}{\partial y}(x,y) & = -e^x \sin(y) = -\frac{\partial v}{\partial x}(x,y)
\end{align*}
Parciální derivace jsou spojité a všechny existují $\implies$ funkce $f(z)$ má Totální diferenciál $\forall z\in\mathbb{C}$.
\begin{equation*}
f'(z)= \frac{\partial u}{\partial x}(x,y) + \ui \frac{\partial u}{\partial y}(x,y) =e^x \cos(y) + \ui\cdot e^x \sin(y)=e^x(\cos(y) + \ui \sin(y))=e^z
\end{equation*}
Funkce $f(z)=e^z$ je holomorfní.
%
\subsubsection{Příklad}
Vyřešíme diferencovatelnost funkce $f(z)=z|z|$
$$f(x,y)=(x+iy)\sqrt{x^2+y^2}$$
$$u(x,y)=x\sqrt{x^2+y^2}$$
$$v(x,y)=y\sqrt{x^2+y^2}$$
$$\frac{\partial u}{\partial x}(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}+x \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{2x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}$$
$$\frac{\partial u}{\partial y}(x,y)=\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$$
$$\frac{\partial v}{\partial x}(x,y)=\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$$
$$\frac{\partial v}{\partial y}(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}+y\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{x^2+2y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}$$
Jsou definované a spojité $\forall [x,y] \in \mathbb{R}^2 \backslash \{[0,0]\}$. Cauchy-Reimannovy podmínky nejsou splněny všude kromě $x=0,y=0 \implies f'(z)$ existuje pouze pro $z=0, f'(0)=0$.
%
\subsubsection{Věta}
Nechť $f(z)$ a $g(z)$ jsou diferencovatelné v bodě $z \in \mathbb{C}$ a nechť $c \in \mathbb{C}$. Potom
\begin{align*}
(f\pm g)'(z) & =f'(z)\pm g'(z)\\
(cf)'(z) & =cf'(z)\\
(f \cdot g)'(z) & =f'(z)g(z)+f(z)g'(z)\\
\left( \frac{f(z)}{g(z)} \right)'(z) & = \frac{f'(z)g(z)-f(z)g'(z)}{g^2(z)} \qquad \mathrm{pokud} \ g(z) \neq 0
\end{align*}
%
\subsubsection{Věta - o vztahu diferencovatelnosti a spojitosti}
Pokud je $f(z)$ diferencovatelná v bodě $z\in \mathbb{C}$, pak je v bodě $z$ také spojitá. Obrácené tvrzené neplatí.
\subsubsection{Věta - o derivaci složené funkce}
Je-li $g(z)$ diferencovatelná v $z_0 \in \mathbb{C}$ a $f(z)$ je diferencovatelná v bodě $g(z_0)$, potom $(f\circ g)(z)$ je diferencovatelná v bodě $z_0$ a platí
\begin{equation*}
(f\circ g)'(z_0)=f'(g(z_0))\cdot g'(z_0)
\end{equation*}
\subsubsection{Věta - o derivaci inverzní funkce}
Nechť $f(z)$ je holomorfní v oblasti $\Omega \subset \mathbb{C}, f'(z) \neq 0, \forall z \in \Omega$. Je-li $f^{-1}(z)$ inverzní funkce k funkci $f(z)$ definovaná a spojitá na oblasti $\Omega' \subset f(\Omega)$. Potom $f^{-1}(z)$ je holomorfní na $\Omega '$ a platí
\begin{equation*}
(f^{-1})'(z)=\frac{1}{f'(f^{-1}(z))} \quad \forall z \in \Omega'
\end{equation*}
%
\subsubsection{Příklad}
$f(z)= \ln(z)$ -- inverzní funkce k $g(z)=e^z$ definovaná na množině $M, \forall z\in \mathbb{C}$.
$$ (\ln(z))'=(g^{-1})'(z)= \frac {1}{e^{\ln(z)}}= \frac{1}{z} \qquad \forall z \in \mathbb{C} \backslash P_\pi$$
$P_{\rm \pi}$ je polopřímka od počátku ve směru záporné části reálné osy. Na $P_\pi$ je logaritmus nespojitý.
%
\subsection{Integrál funkce komplexní proměnné} % Integrál FKP
\subsubsection{Definice - integrál komplexní funkce reálné proměnné}
Pro funkci $f: \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ definujeme:
\begin{equation*}
\int_a^b f(x) \ud x = \int_a^b \reca f(x) \ud x + \ui \int_a^b \imca f(x) \ud x
\end{equation*}
\subsubsection{Definice - křivka}
Křivkou v $\mathbb{C}$ rozumíme libovolné spojité zobrazení nějakého uzavřeného intervalu $\langle a,b\rangle$ do $\mathbb{C}$, tj. $\varphi:\langle a,b\rangle \to \mathbb{C}$.
Křivku $\varphi$ nazveme {\bf uzavřenou} pokud $\varphi(a)=\varphi(b)$
Křivku $\varphi$ nazveme {\bf jednoduchou} pokud $\varphi$ je prosté na $\langle a,b\rangle$ (sama sebe neprotíná)
Křivku $\varphi$ nazveme {\bf Jordanovou}, je-li $\varphi$ prosté na $\langle a,b)$ a $\varphi(a)=\varphi(b)$
Obor hodnot $\varphi$ značíme $\langle \varphi \rangle$ a nazýváme ho geometrický obraz křivky.
Řekneme, že křivka $\varphi$ je třídy $\mathcal{C}^1$ (hladká), pokud má v $(a,b)$ spojitou derivaci.
Řekneme, že křivka $\varphi$ je po částech hladká (po částech třídy $\mathcal{C}^1$), pokud ji lze rozložit na sjednocení konečně mnoha křivek třídy $\mathcal{C}^1$.
%
\subsubsection{Definice - operace s křivkami}
Součet křivek $\varphi: \langle a,b\rangle \to \mathbb{C}$ a $\psi: \langle c,d\rangle \to \mathbb{C}$ lze definovat, pokud $\varphi(b)=\psi(c)$
\begin{equation*}
(\varphi \dot{+} \psi)(t):\langle a,d+b-c\rangle \to \mathbb{C}=
\begin{cases}
\varphi(t) \quad t \in \langle a,b\rangle \\
\psi(t-b+c) \quad t \in \langle b,d+b-c\rangle
\end{cases}
\end{equation*}
Opačná křivka ke křivce $\varphi:\langle a,b\rangle \to \mathbb{C}$ je křivka $\dot{-}\varphi:\langle -b,-a\rangle \to \mathbb{C}$, dána předpisem $\dot{-}\varphi(t)= \varphi(-t)$ pro $t \in \langle -b,-a\rangle$
%
\subsubsection{Poznámka}
Je-li $\varphi$ křivka po částech třídy $\mathcal{C}^1$ dána rovnicí $\varphi(t)= x(t)+\ui y(t)$ pro $t\in \langle a,b\rangle$, pak výraz
\begin{equation*}
S_\varphi := \int^b_a |\varphi'(t)| \ud t = \int^b_a \sqrt{\dot{x}^2(t)+\dot{y}^2(t)}\ud t
\end{equation*}
představuje délku křivky $\varphi$. Dále platí:
\begin{equation*}
S_{\varphi \dot{+} \psi}=S_\varphi + S_\psi \qquad S_{\dot{-}\varphi}=S_\varphi
\end{equation*}
%
\subsubsection{Definice - křivkový integrál komplexní funkce komplexní proměnné}
Nechť $\varphi:\langle a,b\rangle \to \mathbb{C}$ je po částech hladká křivka v $\mathbb{C}$ a nechť funkce komplexní proměnné $f$ je spojitá na $\langle \varphi \rangle$. Potom klademe
\begin{equation*}
\int_\varphi f (z) \ud z := \int_a^b f(\varphi(t))\dot{\varphi}(t) \ud t
\end{equation*}
%
\subsubsection{Příklad}
$ \displaystyle \int_\varphi z^2 \ud z \qquad \varphi$ úsečka spojující $z_1=0$ a $z_2=1+i$ \\
$\varphi (t)=(1+i)t \quad t\in \langle 0,1\rangle$ \\
$ \dot\varphi(t)=1+i$
\begin{equation*}
\int_\varphi z^2 \ud z = \int_0^1\left((1+i)t\right)^2(1+i)\ud t = (1+i)^3 \int^1_0 t^2 \ud t = \frac{(1+i)^3}{3}= \frac{(2i-2)}{3}
\end{equation*}
%
\subsubsection{Příklad}
Popisy jedné $\langle \varphi \rangle$ pomocí dvou $\varphi_{1,2}$
\begin{align*}
\varphi_1 (t)=e^{it} \qquad t\in \langle 0,\pi\rangle \\
\varphi_2 (t)=\sqrt{1-t^2} \qquad t\in \langle 0,\pi\rangle
\end{align*}
%
\subsubsection{Poznámka}
V reálné analýze platí
\begin{equation*}
\left| \int^b_a f(x)\ud x \right| \leq \int^b_a |f(x)|\ud x
\end{equation*}
ale v $\mathbb{C}$ toto neplatí.
\subsubsection{Věta}
Nechť $\varphi$ je křivka po částech třídy $\mathcal{C}^1$ konečné délky $S_\varphi$ a nechť funkce $f$ je spojitá a omezená na $\langle \varphi \rangle$. Potom
\begin{equation*}
\left| \int_\varphi f(z)\ud z \right| \leq S_\varphi \cdot \max_{z \in \langle \varphi \rangle} |f(z)|
\end{equation*}
\hfill \\
\emph{Důkaz:}
\begin{equation*}
\left| \int_\varphi f(z)\ud z \right| = \left| \int_a^b f(\varphi(t)) \dot{\varphi}(t)\ud t \right| \leq \int_a^b \underbrace{| f(\varphi(t))|}_{\mathrm{omezená~na} \ \langle \varphi \rangle}|\dot{\varphi}(t)|\ud t \leq \max_{z \in \langle \varphi \rangle}|f(z)| \int^b_a|\dot{\varphi}(t)|\ud t
\end{equation*}
\begin{equation*}
\leq S_\varphi \cdot \max_{z \in \langle \varphi \rangle} |f(z)|
\end{equation*}
%
\subsubsection{Věta}
Jsou-li $\varphi$ a $\psi$ po částech hladké křivky v $\mathbb{C}$ a $f$ a $g$ funkce komplexní proměnné spojité na $\langle \varphi \rangle$, respektive $\langle \psi \rangle$, $\alpha, \beta \in \mathbb{C}$, potom platí:
\begin{itemize}
\item linearita $\int_\varphi [\alpha f(z) + \beta g(z)]\ud z = \alpha \int_\varphi f(z)\ud z + \beta \int_\varphi g(z)\ud z$
\item aditivita v mezích $\int_{\varphi \dot{+} \psi} f(z)\ud z= \int_\varphi f(z)\ud z + \int_\psi f(z)\ud z$
\item $\int_{\dot{-}\varphi} f(z)\ud z = -\int_{\varphi} f(z)\ud z$
\end{itemize}
%
\subsubsection{Primitivní funkce}
Nechť $f$ a $F$ jsou funkce komplexní proměnné takové, že $F'(z)=f(z) \ \forall z \in \Omega$ ($\Omega$ otevřená podmnožina v $\mathbb{C}$). Pak říkáme, že $F$ je primitivní funkce k $f$ na $\Omega$.
\subsubsection{Věta}
Jsou-li $F$ a $G$ primitivní funkce k funkcím $f$ a $g$ na otevřené množině $\Omega \subset \mathbb{C}$ a jsou-li $\alpha, \beta \in \mathbb{C}$, pak $\alpha F + \beta G$ jsou primitivni fuknce k $\alpha f + \beta g$ na $\Omega$.
Je-li $F$ primitivní funkce k $f$ na $\Omega \in \mathbb{C}$ a je-li $C \in \mathbb{C}$ libovolná konstanta, potom je $F+C$ primitivní funkce k $f$ na $\Omega$.
Jsou-li $F$ a $G$ primitivní funkce k $f$ a $g$ na $\Omega \subset \mathbb{C}$ a je-li $H$ primitivní funkce k $fG$ na $\Omega$, potom funkce $FG-H$ je primitivní funkce k $Fg$ na $\Omega$.
$\varphi$ je po částech hladká křivka, $F$ je primitivní funkce k $f$ na oblasti $\Omega \subset \mathbb{C}$, která obsahuje $\langle \varphi \rangle$. Vyšetřujeme
\begin{equation*}
\int_\varphi f(z) \ud z = \int_a^b f(\varphi(t))(\dot{\varphi}(t))\ud t = \int_a^b \underbrace{F'(\varphi(t))}_{\frac{d}{\ud t}\left( F(\varphi(t)\right)}\ud t =\left[ F(\varphi(t)) \right]^b_a=F(\varphi(b))-F(\varphi(a))
\end{equation*}
%
\subsubsection{Důsledky}
Má-li $f$ v oblasti $\Omega \subset \mathbb{C}$ primitivní funkci, potom:
\begin{enumerate}
\item $\int_\varphi f(z)\ud z=0 \quad$ pro každou uzavřenou křivku $\varphi$, pro kterou $\langle \varphi \rangle \subset \Omega$
\item $\int_\varphi f(z)\ud z$ nezávisí na integrační cestě $\varphi$ v $\Omega$, ale pouze na počátečním a koncovém bodu křivky, tj.:
\begin{equation*}
\int_\varphi f(z)\ud z=\int_\psi f(z)\ud z
\end{equation*}
kde $\varphi:\langle a,b\rangle \rightarrow \mathbb{C} \quad \psi:\langle c,d\rangle \rightarrow \mathbb{C}$\\
$\varphi(a)=\psi(c) \quad \varphi(b)=\psi(d)$\\
$\langle \varphi \rangle \subset \Omega, \langle \psi \rangle \subset \Omega$
\end{enumerate}
%
\subsubsection{Příklad}
Vypočtěte: $\int_\varphi (z-z_0)^n \ud z \qquad n \in \mathbb{Z} $ \\
$\varphi$ je kladně orientovaná kružnice se středem $z_0$ a poloměrem $R>0$\\
$\varphi(t)=z_0 + Re^{\ui t} \qquad t\in \langle 0,2\pi\rangle$\\
$\dot{\varphi}(t)= \ui Re^{\ui t}$
\begin{equation*}
\int_\varphi (z-z_0)^n \ud z = \int_0^{2\pi} (Re^{\ui t})^n R\ui e^{\ui t} \ud t = \int_0^{2\pi} \ui R^{n+1} e^{\ui(n+1)t}\ud t=I
\end{equation*}
\begin{itemize}
\item $n \neq -1 \quad I=R^{n+1}\ui \left[ \frac{e^{\ui(n+1)t}}{\ui(n+1)} \right]^{2\pi}_{0}=\frac{\ui R^{n+1}}{\ui(n+1)}\left( e^{2\pi \ui (n+1)} - e^0\right)=0$
\item $n=-1 \quad I= \int_\varphi \frac{1}{z-z_0}\ud z = \ui \int^{2\pi}_0 e^{0\cdot t}\ud t = \ui \int^{2\pi}_0 1 \ud t = 2\pi\ui$
\end{itemize}
Tento výsledek není v rozporu s předchozí větou $f(z)= \frac {1} {z-z_0}$ má primitivní funkci $F(z)=\ln(z-z_0)$. $F'(z)=f(z)$ platí $\forall z \in \mathbb{C} \backslash P_\pi$. Hodnota skoku $f$ na $P_\pi$ je právě $2\pi\ui$.
%
\subsubsection{Poznámka}
Libovolná Jordanova křivka (uzavřená a jednoduchá v $\mathbb{C}$) rozděluje $\mathbb{C}$ na 2 komponenty z nichž právě jedna je omezená -- Int$\varphi$, tzv. "vnitřek křivky". Druhá je neomezená -- Ext$\varphi$, tzv. "vnějšek křivky".
\subsubsection{Věta - Cauchyho}
Nechť $f$ je holomorfní na otevřené množině $\Omega \subset \mathbb{C}$ a nechť $\varphi$ je po částech hladká Jordanova křivka taková, že $\overline{\mathrm{Int} \varphi} \subset \Omega$. Potom
\begin{equation*}
\int_\varphi f(z) \ud z = 0
\end{equation*}
\hfill \\
\emph{Důkaz:} $\quad z=x+\ui y \qquad x,y \in \mathbb{R} \qquad f(x+\ui y)=u(x,y)+\ui v(x,y)$\\
$\varphi: \langle a,b\rangle \rightarrow \mathbb{C}$\\
$\varphi(t) = x(t) + \ui y(t)$\\
$\dot{\varphi} (t) = \dot{x}(t) + \ui \dot{y}(t)$
\begin{align*}
\int_\varphi f(z){\rm d}z & = \int^b_a f(\varphi(t))(\dot\varphi)(t){\rm d}t=\int^b_a [u(x(t),y(t))+\ui v(x(t),y(t))][\dot{x}(t)+\ui\dot{y}(t)]{\rm d}t \\
& =\int^b_a u(x(t),y(t))\dot{x}(t)-v(x(t),y(t))\dot{y}(t){\rm d}t\\
& +\ui\int^b_a u(x(t),y(t))\dot{y}(t)+v(x(t),y(t))\dot{x}(t){\rm d}t \\
& = \int_\varphi u {\rm d}x - v dy + \ui\int_\varphi u dy + v {\rm d}x \\
& \underbrace{=}_{Green} \int_{\overline{Int \varphi}}\underbrace{ \left[\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y}\right]}_{=0} {\rm d}x\, dy + \ui \int_{\overline{Int \varphi}}\underbrace{\left[\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x}\right]}_{=0}{\rm d}x\, dy= 0
\end{align*}
Hranaté závorky jsou nulové díky platnosti Cauchy-Riemannových podmínek.
%
\subsubsection{Důsledek}
Nechť $\varphi$ a $\psi$ jsou stejně orientované, po částech hladké Jordanovy křivky takové, že $\langle \varphi \rangle \subset$ Int$\psi$ a nechť funkce $f$ je holomorfní na oblasti $\Omega$ obsahující $\overline{\mathrm{Int}\psi} \ \backslash \ $ Int$\varphi$. Potom
\begin{equation*}
\int_\varphi f(z) {\rm d}z =\int_\psi f(z) {\rm d}z
\end{equation*}
%
\subsubsection{Poznámka}
Body, v nichž funkce $f$ není holomorfní nazveme {\bf singulární}. Věta říká, že integrál z $f$ se nezmění pokud křivky $\varphi$ a $\psi$ mají stejnou orientaci a obě obíhají stejné singulární body.
%
\subsubsection{Definice - index bodu}
Nechť $\varphi$ je po částech hladká, uzavřená křivka (ne nutně Jordanova) a $z_0 \in \mathbb{C} \ \backslash \ \langle \varphi \rangle$. Index bodu $z_0$ vzhledek ke křivce $\varphi$ je definován jako
\begin{equation*}
\ind_\varphi z_0 = \frac{1}{2\pi\ui} \int_\varphi \frac{\ud z}{z-z_0}
\end{equation*}
%
\subsubsection{Poznámka - vlastnosti $\ind_\varphi z_0$}
Nechť $\varphi$ je Jordanova křivka. Funkce $f(z)=\frac{1}{z-z_0}$ je holomorfní $\forall z \in \mathbb{C} \ \backslash \ \{z_0\}$.
\begin{itemize}
\item $z_0 \in$ Ext$\varphi \Rightarrow \ind_\varphi z_0= 0$ z Cauchyho věty.
\item $z_0 \in$ Int$\varphi \Rightarrow \ind_\varphi z_0=\frac {1} {2 {\rm \pi} i} \underbrace{\int_\psi \frac {{\rm d}z}{z-z_0}}_{2\pi\ui} = 1$, kde $\psi$ je dost malá kladně orientovaná kružnice se středem v $z_0$ a poloměrem takovým, že $\langle\psi\rangle \subset$ Int$\varphi$.
\item pokud $z_0 \in$ Int$\varphi$ a $\varphi$ je záporně orientovaná, pak
\begin{equation*}
\ind_\varphi z_0=\frac {1} {2 {\rm \pi} i} \int_\psi \frac {{\rm d}z}{z-z_0} = -1
\end{equation*}
kde $\psi$ je záporně orientovaná kružnice se středem $z_0$ a poloměrem $R>0$ dost malým, aby křivka $\langle\psi\rangle \subset$ Int$\varphi$.
\item pokud je $\varphi$ uzavřená, ale ne Jordanova $\ind_\varphi z_0 \in \mathbb{Z}$ udává počet oběhů daného bodu křivkou $\varphi$. Oběhy v kladném smyslu se přičítají, v záporném odečítají.
\end{itemize}
%
\subsubsection{Věta - Cauchyho integrální vzorec}
Nechť $\varphi$ je po částech hladká Jordanova křivka a nechť $f$ je holomorfní na obslati $\Omega \supset \overline{\mathrm{Int}\varphi}$. Potom $\forall z_0 \in$ Int$\varphi$ platí
\begin{equation*}
f(z_0)= \frac{1}{2\pi\ui \cdot \ind_\varphi z_0} \int_\varphi \frac{f(z)\ud z}{z-z_0}
\end{equation*}
Hodnoty holomorfní funkce uvnitř Int$\varphi$ jsou jednoznačně určeny hodnotami $f$ na $\langle \varphi \rangle$.\footnote{Například v elektrostatice u potenciálu. Hodnoty potenciálu na povrchu tělesa určují hodnoty potenciálu uvnitř tělesa.}
\hfill \\
\emph{Důkaz:}
$$\frac {1}{2\pi\ui \cdot \ind_\varphi z_0} \int_\varphi \frac{f(z) {\rm d}z}{z-z_0}=\frac {1}{2\rm\pi\ui \cdot \ind_\varphi z_0} \left[\underbrace{\int_\varphi \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}{\rm d}z}_{I_1}+ \int_\varphi \frac{f(z_0)}{z-z_0}{\rm d}z\right] $$
Křivka $\psi \ldots$ malá kružnice se středem $z_0$ s poloměrem $R>0$. $\langle \psi \rangle \subset$ Int$\varphi$, stejně orientovaná jako $\varphi$.
$$ I_1 = \int_\psi \frac {f(z)-f(z_0)}{z-z_0}{\rm d}z$$
$$|I_1|=\left|\int_\psi \frac {f(z)-f(z_0)}{z-z_0}{\rm d}z \right| \leq 2\pi R \cdot \max_{z \in \langle \psi \rangle}\underbrace{\left|\frac {f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\right|}_{\hbox{spojitá fce na $\langle \psi \rangle$}}$$
pro $R \rightarrow 0 \quad \frac {f(z)-f(z_0)}{z-z_0} \longmapsto f'(z_0)$\\
pro $R \in H^+_0$ lze hodnoty $\left| \frac {f(z)-f(z_0)}{z-z_0} \right|$ odhadnout shora pomocí konstanty $M>0$
$$ |I_1| \leq 2\pi R M \qquad | \lim\limits_{R \rightarrow 0}$$
$$ |I_1| = 0 \Rightarrow I_1 = 0 $$
$$ \frac {(\ind_\varphi z_0)^{-1}} {2\pi\ui } \int\limits_\varphi \frac {f(z)}{z-z_0}{\rm d}z = 0 + \frac {f(z_0)} {\ind_\varphi z_0} \underbrace{\frac {1}{2\pi\ui } \int\limits_\varphi \frac{\ud z}{z-z_0}}_{\ind_\varphi z_0} = f(z_0)$$
%
\subsubsection{Věta - o rozvoji holomorfní funkce v mocninou řadu}
Nechť $f$ je holomorfní v kruhu $B(z_0,R)$, kde $R>0$. Potom $\forall z \in B(z_0,R)$ platí
\begin{equation*}
f(z) = \sum^{+\infty}_{n=0} a_n (z-z_0)^n
\end{equation*}
\begin{equation*}
\mathrm{kde } \ a_n = \frac{1}{2\pi\ui} \int_\varphi \frac {f(\xi)}{(\xi - z_0)^{n+1}} \ud \xi
\end{equation*}
a $\varphi$ je kladně orientovaná po částech hladká Jordanova křivka taková, že $\langle \varphi \rangle \subset B(z_0,R)$ a $ z_0 \in$ Int$\varphi$.
%
\subsubsection{Důsledek - Cauchyho integrální vzorec pro derivace}
Nechť $f$ je holomorfní na oblasti $\Omega \in \mathbb{C}$ a nechť $\varphi$ je po částech hladká Jordanova křivka taková, že $\overline{\mathrm{Int}\varphi} \subset \Omega$. Potom $f$ má v každém bodě $z_0 \in \Omega$ derivace všech řádů a platí
\begin{equation*}
f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi\ui \ind_\varphi (z_0)} \int_\varphi \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z_0)^{n+1}} \qquad n \in \mathbb{N}_0
\end{equation*}
\hfill \\
\emph{Důkaz:}
\begin{itemize}
\item $\varphi$ kladně orientovaná
\item z Taylorovy věty \begin{equation*}
a_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}=\frac{1}{2\pi\ui \ind_\varphi (z_0)} \int_\varphi \frac{f(\xi) \ud\xi}{(\xi-z_0)^{n+1}}
\end{equation*}
\end{itemize}
%
\subsubsection{Příklad}
I =$\int_\varphi \frac{\sin(z)}{(z-\ui)^2}\ud z$\\
$f(z)=\sin(z) \quad f'(z)=\cos(z) \quad z_0=\ui$\\
$\varphi$ je nějaká uzavřená křivka neprocházející bodem $\ui$.\\
I =$2\pi\ui\cdot\ind_\varphi (z_0)\frac{1}{1!}f'(\ui)=2\pi\ui\cdot\ind_\varphi (\ui) \cos(\ui)$
