01RMF:Kapitola4: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Řádka 147: | Řádka 147: | ||
Proto použijeme člen $(II)$ a aplikujeme podmínky na $Z^{(r)}$ a definici koeficientů $c_r$. Odtud snadno vyplývá, že $u^{(r)}(0) = u_r$ | Proto použijeme člen $(II)$ a aplikujeme podmínky na $Z^{(r)}$ a definici koeficientů $c_r$. Odtud snadno vyplývá, že $u^{(r)}(0) = u_r$ | ||
Tímto jsme rovněž ukázali, že splňujeme počáteční podmínky a větu jsme zcela dokázali. | Tímto jsme rovněž ukázali, že splňujeme počáteční podmínky a větu jsme zcela dokázali. | ||
+ | \end{proof} | ||
\end{theorem} | \end{theorem} | ||
Řádka 158: | Řádka 159: | ||
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
\item Rovnici $\pd{}{t}u + a\pd{}{x}u =0$ splní jakákoliv funkce $u(x,t) = f(x-at)$ pro libovolnou $f \in \mathcal{C}^1$. | \item Rovnici $\pd{}{t}u + a\pd{}{x}u =0$ splní jakákoliv funkce $u(x,t) = f(x-at)$ pro libovolnou $f \in \mathcal{C}^1$. | ||
+ | \item Rovnici $\mathrm{div} u =0$ řeší v $\R^3$ libovolná funkce tvaru $ u = \mathrm{rot} F $, kde $F$ je libovolné vektorové pole. | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
+ | |||
+ | \subsection{PDR 1. řádu a metoda charakteristik} | ||
+ | Uvažujme lineární PDR 1. řádu se 2 neznámými proměnnými ve tvaru | ||
+ | \begin{equation*} | ||
+ | \tilde{a}(x,t) u + \tilde{b}(x,t) u_t + \tilde{c}(x,t) u_x = \tilde{g}(x,t) | ||
+ | \end{equation*} | ||
+ | Je-li $\tilde{b}(x,t)$, lze tímto členem vydělit celou rovnici a převést ji na tvar | ||
+ | |||
+ | \begin{equation} | ||
+ | \label{metoda_charakteristik} | ||
+ | a(x,t) + u_t + c(x,t)u_x = g(x,t) \\ | ||
+ | \mbox{s počáteční podmínkou } u(x,0) = u_0(x) | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | |||
+ | \begin{remark} | ||
+ | Následující sled poznámek poslouží jako popis metody charakteristik. | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item $u_t + c(x,t)u_x$ lze chápat jako směrovou derivaci funkce $u$ ve směru $(c(x,t),1)$ v rovině $(x,t)$; | ||
+ | \item Vektory $(c(x,t),1)$ tvoří vektorové pole v rovině $(x,t)$. Křivky $x=X(t)$ podél vektorového pole jsou dány obyčejnou diferenciální rovnicí $X'(t) = c(X(t),t)$. | ||
+ | tyto křivky zveme {\it charakteristiky} | ||
+ | \item Charakteristika procházející bodem $(x_0,0)$ vyhovuje počátečním podmínkám $X(0) = x_0$. | ||
+ | \item Nechť $u(x,t)$ je řešením úlohy (\ref{metoda_charakteristik}) a $x=X(t)$ s $X(0) = x_0$ je charakteristika. Zúžení řešení $u(x,t)$ na charakteristiku je dáno | ||
+ | $$v(t) = u(X(t),t),$$ | ||
+ | kde $v'(t) = u_x(X(t),t)\codt X'(t) + u_t(X(t),t) = u_x(X(t),t)\codt c(X(t),t) + u_t(X(t),t)$. Touto úpravou jsme úlohu (\ref{metoda_charakteristik}) převedli na úlohu řešení | ||
+ | systému ODR. | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | \end{remark} | ||
+ | |||
+ | \begin{remark} | ||
+ | |||
+ | \end{remark} |
Verze z 28. 11. 2016, 23:26
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01RMF
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01RMF | Mazacja2 | 16. 12. 2016 | 19:29 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Mazacja2 | 28. 12. 2016 | 14:12 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Mazacja2 | 18. 12. 2016 | 22:10 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Předmluva | Mazacja2 | 9. 11. 2016 | 21:51 | predmluva.tex | |
Kapitola1 | editovat | Motivace | Johndavi | 8. 4. 2019 | 17:34 | motivace.tex | |
Kapitola2 | editovat | Zobecněné funkce | Lomicond | 7. 12. 2019 | 17:51 | zobecnene_funkce.tex | |
Kapitola3 | editovat | Integrální transformace | Lomicond | 25. 12. 2019 | 16:58 | integralni_transformace.tex | |
Kapitola4 | editovat | Řešení dif. rovnic | Johndavi | 9. 4. 2019 | 16:15 | reseni.tex | |
Kapitola5 | editovat | Integrální rovnice | Johndavi | 8. 4. 2019 | 17:25 | Kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Sturm-Liouvilleova teorie | Johndavi | 8. 4. 2019 | 16:35 | Kapitola6.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01RMF} \chapter{Řešení počátečních úloh ODR a PDR} V této části se budeme věnovat již konečně řešení jednotlivých typů diferenciálních rovnic za použití nástrojů, které jsme dosud vybudovali. Schéma řešení již pro zobecněné lineární diferenciální rovnice známe. Máme-li $$L u = f \mbox{ v } \D' ,$$ pak pokud naleznu řešení $L\epsilon = \delta$, tak jsme ukázali, že $u = \epsilon \ast f$ řeší rovnici $L u = f $. Fundamentální řešení $\epsilon$ budeme hledat právě pomocí integrálních transformací. Dodejme, že v následujících kapitolách nejprve vždy uvedeme konkrétní příklad řešení dané úlohy a následně postup abstrahujeme do věty, která bude popisovat řešení. \section{Lineární ODR s konstantními koeficienty} Řešte počáteční úlohu: \begin{eqnarray*} \ddot{y} + 3\dot{y}+2y & = & 3te^t \\ y(0) & = & 2 \\ \dot{y}(0) & = &1 \\ \end{eqnarray*} Označme $Ly = \ddot{y} + 3\dot{y}+2y $ a $f = 3te^t$. Předpokládejme, že $y(t)$ je řešením této rovnice, tj. $y(t) \in \Ci$. Zkonstruujme nyní zobecněnou funkci $$\tidle{y}(t) := \Theta(t) y(t) \in \D'_{reg}$$ Pomocí této funkce se pokusíme náš problém převést do řeči zobecněných funkcí a řešit jej. Proto si připravme derivace výrazu $\tidle{y}(t)$: $$ \dot{\tidle{y}}(t) = \Theta(t)\dot{y}(t) + \delta(t)y(t) = \Theta(t)\dot{y}(t) + \delta(t) y(0) = \Theta(t)\dot{y}(t) + 2\delta(t)$$ $$ \ddot{\tidle{y}}(t) = \dot{y}(t)\delta(t) + \Theta(t)\ddot{y}(t) + 2 \dot{\delta}(t) = \Theta(t)\ddot{y}(t) + \delta(t) + 2 \dot{\delta}(t)$$ Stojí za zmínku, že již v tomto kroku jsme využili počátečních podmínek a zahrnuli je tímto do řešení. Nyní již můžeme dosadit $$ L\tilde{y} = \Theta(t)\ddot{y}(t) + \delta(t) + 2 \dot{\delta}(t) + 3(\Theta(t)\dot{y}(t) + 2\delta(t)) + 2\Theta(t) y(t) = \Theta(t) Ly + 7 \delta(t) +2\dot{\delta}(t) = \underbrace{\Theta(t)f(t)}_{=\tilde{f}(t)} + 7 \delta(t) +2\dot{\delta}(t) $$ Klasickou úlohu jsme tedy převedli na problém v $\D'$, který už umíme vyřešit. Tato zobecněná úloha jde vždy zkonstruovat pomocí $\tidle{y}(t) := \Theta(t) y(t)$. Úloha tedy přešla na tvar: $$L\tilde{y} = \underbrace{\tilde{f}(t) + 7 \delta(t) +2\dot{\delta}(t)}_{F(t)}, \mbox{kde } \tilde{f}(t) = \Theta(t)f(t).$$ Řešení této úlohy je $\tilde{y} = \epsilon \ast F$. Řešení rozdělíme do dvou kroků, nejprve nalezneme fundamentální řešení a následně vyřešíme zobecněnou úlohu. \paragraph{I. Fundamentální řešení $\epsilon$} Řešíme úlohu $L\epsilon = \delta$. Ze cvičení (eventuálně [Šťovíček]) víme, že fundamentální řešení je možné hledat ve tvaru $\epsilon(t) = \Theta(t)Z(t)$, kde funkce $Z(t)$ splňuje $LZ=0 $ a počáteční podmínky $Z(0) =0$ a $\dot{Z}(0) = 1$. V našem případě tedy řešíme rovnici $$LZ = \ddot{Z} + 3 \dot{Z} + 2Z = 0$$ Její řešení je $Z(t) = C_1 e^{-t}+C_2 e^{-2t}$, po započtení počátečních podmínek máme $Z(t) = e^{-t}-e^{-2t}$ a tedy fundamentální řešení našeho operátoru je tvaru $$ \epsilon(t) = \Theta(t) \left( e^{-t}-e^{-2t} \right)$$ \paragraph{II. Vyřešení zobecněné úlohy} Nyní se pokusíme spočíst konvoluci $\epsilon \ast \F = \tilde{y}$. Nejprve si rozepíšeme z linearity konvoluce veškeré příspěvky a každý z nich poté vyšetříme zvlášť. $$\tilde{y} = \epsilon \ast F =\epsilon \ast (\tilde{f} + 7 \delta +2\dot{\delta}) = \underbrace{\epsilon \ast \tilde{f}}_{(1)} + \underbrace{7 \epsilon \ast \delta}_{(2)} + \underbrace{2 \epsilon \ast \dot{\delta}}_{(3)}$$ Výpočty jednotlivých konvolucí provedeme postupně v následujících odstavcích: \subparagraph{Výpočet (2)} $$ 7 \epsilon \ast \delta = 7 \epsilon = \Theta (t)\left(7 \left( e^{-t}-e^{-2t} \right) \right)$$ Poznamenejme, že se vždy budeme snažit převést řešení na tvar $\Theta(t)$ krát nějaká funkce. Proč je toto pro nás důležité, vyplývá z konstrukce řešení, neboť jsme volili jako zobecněné řešení funkci tvaru $\tilde{y}(t) = \Theta(t) y(t)$, kde $y(t)$ bylo řešením klasické rovnice. \subparagraph{Výpočet (3)} $$2 \epsilon \ast \dot{\delta} = 2 \dot{\epsilon} \ast \delta = 2 \dot{\epsilon} = \Theta(t)\left(2 \left( 2-e^{-2t} + -e^{-t}\right)\right)$$ \subparagraph{Výpočet (1)} Pro tuto část výpočtu bychom potřebovali spočítat konvoluci $f\ats g$, kde $f,g \in \D'_{reg}$ a $\nf f \subset \R^+$, $\nf g \subset \R^+$. Pro takový případ ale konvoluci nemáme zavedenou. \footnote{Konvoluci, která by toto umožňovala lze zavést. Tuto její vlastnost bychom ale využili jen zde, proto byla použita jiná definice. Zájemci definici naleznou ve [Šťovíček] } Přesto se můžeme pokusit tento případ vyřešit: $$ ((f\ast g)(t),\phi(t)) = (f(t), (g(\tau),\phi(t+\tau))) =\bullet$$ O funkci $(g(\tau),\phi(t+\tau))$ víme, že je třídy $\Ci$. Pokud bychom ještě dokázali říci, že je její nosič omezený, měli bychom vyhráno. (Toto je v podstatě jediný rozdíl mezi naší definicí konvoluce a tou, ve skriptech prof. Šťovíčka). $$ \bullet = \displaystyle \int_{\R} \dd t f(t) \displaystyle \int_{\R} \dd \tau g(\tau) \underbrace{\phi(t+\tau)}_{\psi(t,\tau)} = $$ Zkoumejme nyní nosič funkce $\psi(t,\tau)$. Vzhledem k její definici se jedná o \uv{pás} v rovině $(t,\tau)$ protínající osu $t$ v $\nf \phi$ a osu $\tau$ rovněž v těchto bodech. Vzhledem k tomu, že funkce $f(t)$ je nulová dle definice alespoň na $\R^-$ a funkce $g(\tau)$ stejně tak, lze nosič funkce $\psi(t,\tau)$ omezit a tím umožnit výpočet integrálu. Zde bude taky jednoho krásného dne obrázek. Doufám... Budeme se jej snažit převést do tvaru definice působení regulární zobecněné funkce. Proto použijeme substituci: $$ = \left\{ \begin{array} c \\ \mbox{\scriptsize Substituce} \\ z = t + \tau \\ t =t \end{array}\right\} = \displaystyle \int_{\R} \dd t f(t) \displaystyle \int_{\R} \dd z g(z-t) \phi(z) = \displaystyle \int_{\R} \dd z \phi(z) \left( \displaystyle \int_{\R} f(t) g(z-t) \dd t \right) $$ Tímto jsme zjistili, že výsledek konvoluce regulárních zobecněných funkcí je regulární zobecněná funkce, jejíž klasický generátor je klasická konvoluce generátorů zobecněných funkcí. Tento výsledek by neměl být překvapivý. Mají-li tedy funkce $f,g$ nosič na kladné polopřímce, lze je zapsat jako $f(t) = \Theta(t)f(t) $ a $g(z-t) = \Theta(z-t) g(z-t)$. Vidíme, že $\Theta(t) \Theta(z-t) \neq \Leftrightarrow t \in (0,z), z>0$. Pak $$ \displaystyle \int _{\R} \dd t f(t) g(z-t) = \Theta(z) \displaystyle \int_{0}^{z} f(t)g(z-t) \dd t.$$ Naše funkce $\tilde{f}(t)$ a $\epsilon(t)$ splňují z definice předpoklady výše zmíněné, a proto můžeme spočíst jejich konvoluci. $$\epsilon(t) \ast \tilde{f}(t) = \Theta(t)Z(t) \ast \Theta(t)f(t) = \Theta(t)\displaystyle \int_{0}^{t} Z(\tau) f(t-\tau) \dd \tau = \Theta(t)\displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})3(t-\tau)e^{t-\tau} \dd \tau =$$ $$ = \Theta(t) 3e^{t} \left[t \displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})e^{-\tau}\dd \tau - \displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})\tau e^{-\tau}\dd \tau \right] = (1)$$ Tímto jsme spočetli i poslední člen konvoluce a opět vidíme, že je napsatelný ve tvaru součinu Heavisideovy funkce a nějaké klasické funkce. Tedy nyní již víme, že $$\tilde{y}(t) = (1)+ (2) + (3) = $$ $$= \Theta(t) \underbrace{\left[ 7 \left( e^{-t}-e^{-2t} \right) + 2 \left( 2-e^{-2t} + -e^{-t}\right) + 3e^{t} \left[t \displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})e^{-\tau}\dd \tau - \displaystyle \int_{0}^{t} (e^{-\tau} - e^{-2\tau})\tau e^{-\tau}\dd \tau \right] \right]}_{= y(t)}$$ O funkci $y(t)$ bychom mohli tvrdit, že je řešením klasické úlohy. Z našeho postupu to ale nevyplývá. Ve skutečnosti tomu tak ale je a přesvědčí nás o tom následující věta. \begin{theorem} Nechť $u=u(t)$ pro $t \geq 0$ je klasické řešení diferenciální rovnice tvaru $$L u = u^{(n)}+ a_1 u^{(n-1)}+ \dots + a_{n-1}U' +a_n u = \displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_{n-k}u^{(k)} = f(t),$$ kde $a_k = const.$ pro všechna $k\in \hat{n}$ a $a_0 = 1$, které splňuje počáteční podmínky $u^{(k)}(0) = u_k$ pro všechna $k\in \hat{n}$ a nechť $f(t)\in L^1_{loc}(\R^+)$ je po částech spojitá funkce. Definujeme-li $\tilde{u}(t) = \Theta(t)u(t)$ a $\tilde{f}(t) = \Theta(t) f(t)$, tak potom: \begin{enumerate} \item Zobecněná funkce $\tilde{u}$ vyhovuje rovnici v $\D'$: $$ L\tilde{u} =\displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_{n-k}\tilde{u}^{(k)} = \tilde{f} + \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \delta^{(r)} = F,$$ kde $c_r = \displaystyle \sum_{k=1}^{n-r} a_{n-k-r}u_{k-1}$. \item Pro řešení klasické úlohy platí $$ u(t) = \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau)\dd \tau + \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}c_k Z^{(k)},$$ kde $Z(t)$ je funkce z fundamentálního řešení operátoru $L$, tj. $LZ =0$ a $Z^{(k)}(0) = 0 \ \foral k \in \{0,1,\dots,n-2\}$ a $Z^{(n-1)}(0) =1$. \begin{proof} První tvrzení se ověří přímým výpočtem, stejně, jako u ilustračního příkladu. Druhá část tvrzení se dokáže taky přímo. Potřebujeme znát fundamentální řešení. Buď tedy $\tilde{u} = \espilon \ast F$, kde $\espilon(t) = \Theta(t) Z(t)$. Pak $$\tilde{u} = \espilon \ast F = \epsilon \ast \tilde{f} + \epsilon \ast \left(\displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \delta^{(r)}\right) = $$ $$ = \epsilon \ast \tilde{f} + \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \epsilon \ast \delta^{(r)} = \epsilon \ast \tilde{f} + \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \epsilon^{(r)} \ast \delta = \epsilon \ast \tilde{f} + \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r \epsilon^{(r)}.$$ Díky počátečním podmínkám na funkci $Z(t)$ je tato vždy spojitou funkcí a pro její derivace (za použití věty pro derivování po částech spojité funkce) platí $\epsilon^{(r)} =\Theta(t)Z^{(r)}$. 7 Z předešlého výpočtu taky mj. víme, že $(\espilon \ast \tilde{f})(t) = \Theta(t) \displaystyle \int_{0}^{t} Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau$. Pokud toto dosadíme do vztahu pro $\tilde{u}(t)$, dostaneme: $$ \tilde{u}(t) = \Theta(t) \left[\underbrace{\displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau}_{(I)} + \underbrace{\displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r Z^{(r)}}_{(II)}\right]$$ Tedy skutečně získáváme $\tilde{u}(t) = \Theta(t)u(t)$ Nyní ověříme, že $u(t)$ je řešením klasické úlohy. U členů $(I)$ a $(II)$ ověříme, že jsou $n$-krát diferencovatelné a že řeší $L$. \textit{(II):} Jelikož je $Z \in \Ci$ je $$\left( \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r Z^{(r)}\right)^{(k)} = \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r Z^{(r+k)} \in \Ci \ \forall k. $$ Navíc díky linearitě $L$ a konstantnosti koeficientů $a_k$ platí: $$ L\left( \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r Z^{(r)} \right) = \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r L Z^{(r)} = \displaystyle \sum_{r =0}^{n-1}c_r (LZ)^{(r)} = 0$$ Tedy toto je homogenní řešení operátoru $L$. \textit{(I): }Nejprve ověříme, že je výraz $n$-krát diferencovatelný \begin{remark} Z MAA4 (MAB4) si jistě pamatujete vztah $\frac{\dd}{\dd t}\left( \displaystyle \int_{0}^{t} g(t,\tau)\dd \tau \right) = g(t,t) + \displaystyle \int_{0}^{t} \frac{\partial}{\partial t}g(t,\tau) \dd \tau$. Pokud ne, je vhodné si jej dokázat. \end{remark} Díky této poznámce můžeme psát: \begin{eqnarray*} \frac{\dd}{\dd t} \left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) & = & \underbrace{Z(t-t)}_{Z(0) = 0}f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t}\dot{Z}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau = \displaystyle \int_{0}^{t}\dot{Z}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \\ \frac{\dd^2}{\dd t^2} \left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) & = & \underbrace{\dot{Z}(t-t)}_{\dot{Z}(0) = 0}f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t}\ddot{Z}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau = \displaystyle \int_{0}^{t}\ddot{Z}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \\ & \vdots & \\ \frac{\dd^{n-1}}{\dd t^{n-1}} \left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) & = & \underbrace{Z^{(n-2)}(t-t)}_{Z^{(n-2)}(0) = 0}f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t}Z^{(n-1)}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau = \displaystyle \int_{0}^{t}Z^{(n-1)}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \\ \frac{\dd^{n}}{\dd t^{n}} \left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) & = & \underbrace{Z^{(n-1)}(t-t)}_{Z^{(n-1)}(0) = 1}f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t}Z^{(n)}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau = f(t)+ \displaystyle \int_{0}^{t}Z^{(n)}(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \end{eqnarray*} Vidíme, že všechny derivace existují. To, že je toto řešením dané úlohy plyne z aplikace operátoru $L$. Je zřejmé, že toto řešení je partikulárním řešením (díky členu $f(t)$ v $n$té derivaci) $$ L\left( \displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right) = \displaystyle \sum_ {k=0}^{n} a_{n-k} \left(\displaystyle \int_{0}^{t}Z(t-\tau)f(\tau) \dd \tau \right)^{(k)} = $$ $$ = f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t} \left(\displaystyle \sum_ {k=0}^{n} a_{n-k} Z^{(k)}(t-\tau)f(\tau) \right) \dd \tau = f(t) + \displaystyle \int_{0}^{t} LZ \cdot f(t) \dd \tau = f(t)$$ Tímto jsme ukázali, že $u(t)$ řeší rovnici $Lu = f$. Že toto řešení splňuje i počáteční podmínky je taky jednoduché ukázat. Pro $k \in \{0,1, \dots n-1\}$ plyne z nulovosti integrálu $(I)^{(k)}(0) = 0$ a tedy nepřispívají do počátečních podmínek Proto použijeme člen $(II)$ a aplikujeme podmínky na $Z^{(r)}$ a definici koeficientů $c_r$. Odtud snadno vyplývá, že $u^{(r)}(0) = u_r$ Tímto jsme rovněž ukázali, že splňujeme počáteční podmínky a větu jsme zcela dokázali. \end{proof} \end{theorem} \section{Parciální diferenciální rovnice} \begin{remark} Pro parciální diferenciální rovnice nemáme k dispozici nic jako fundamentální systém řešení, který známe z lineárních obyčejných diferenciálních rovnic. Prakticky to znamená, že zabývat se problémem nalezení \uv{obecného řešení PDR} nedává příliš smysl. Zabýváme se tedy vždy úlohou řešit PDR doplněnou o počáteční, eventuelně okrajové podmínky. \end{remark} Uvedmě pro ilustraci této poznámky následující příklady: \begin{enumerate} \item Rovnici $\pd{}{t}u + a\pd{}{x}u =0$ splní jakákoliv funkce $u(x,t) = f(x-at)$ pro libovolnou $f \in \mathcal{C}^1$. \item Rovnici $\mathrm{div} u =0$ řeší v $\R^3$ libovolná funkce tvaru $ u = \mathrm{rot} F $, kde $F$ je libovolné vektorové pole. \end{enumerate} \subsection{PDR 1. řádu a metoda charakteristik} Uvažujme lineární PDR 1. řádu se 2 neznámými proměnnými ve tvaru \begin{equation*} \tilde{a}(x,t) u + \tilde{b}(x,t) u_t + \tilde{c}(x,t) u_x = \tilde{g}(x,t) \end{equation*} Je-li $\tilde{b}(x,t)$, lze tímto členem vydělit celou rovnici a převést ji na tvar \begin{equation} \label{metoda_charakteristik} a(x,t) + u_t + c(x,t)u_x = g(x,t) \\ \mbox{s počáteční podmínkou } u(x,0) = u_0(x) \end{equation} \begin{remark} Následující sled poznámek poslouží jako popis metody charakteristik. \begin{enumerate} \item $u_t + c(x,t)u_x$ lze chápat jako směrovou derivaci funkce $u$ ve směru $(c(x,t),1)$ v rovině $(x,t)$; \item Vektory $(c(x,t),1)$ tvoří vektorové pole v rovině $(x,t)$. Křivky $x=X(t)$ podél vektorového pole jsou dány obyčejnou diferenciální rovnicí $X'(t) = c(X(t),t)$. tyto křivky zveme {\it charakteristiky} \item Charakteristika procházející bodem $(x_0,0)$ vyhovuje počátečním podmínkám $X(0) = x_0$. \item Nechť $u(x,t)$ je řešením úlohy (\ref{metoda_charakteristik}) a $x=X(t)$ s $X(0) = x_0$ je charakteristika. Zúžení řešení $u(x,t)$ na charakteristiku je dáno $$v(t) = u(X(t),t),$$ kde $v'(t) = u_x(X(t),t)\codt X'(t) + u_t(X(t),t) = u_x(X(t),t)\codt c(X(t),t) + u_t(X(t),t)$. Touto úpravou jsme úlohu (\ref{metoda_charakteristik}) převedli na úlohu řešení systému ODR. \end{enumerate} \end{remark} \begin{remark} \end{remark}